Uso de algoritmos evolucionários na calibração de modelos hidrológicos e na operação de sistemas de reservatórios

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO EM RECURSOS HÍDRICOS

USO DE ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS E NA OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS

FRANCISCO VENÍCIUS FERNANDES BARROS

FRANCISCO VENÍCIUS FERNANDES BARROS

USO DE ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS E NA OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS

Dissertação apresentada ao Curso de

Mestrado em Engenharia Civil/Área de

Concentração em Recursos Hídricos da

Universidade Federal do Ceará, como

requisito parcial para obtenção do grau de

Mestre.

Orientador: Professor Eduardo Sávio Passos

Rodrigues Martins

Esta Dissertação foi submetida como parte dos requisitos necessários à obtenção do

Grau de Mestre em Engenharia Civil/Área de Concentração em Recursos Hídricos, outorgado

pela Universidade Federal do Ceará, e encontra-se à disposição dos interessados na Biblioteca

de Pós-Graduação do Centro de Tecnologia da referida Universidade.

A citação de qualquer trecho desta Dissertação é permitida, desde que seja feita de

conformidade com as normas da ética científica.

_______________________________________

Francisco Venícius Fernandes Barros

Dissertação Aprovada em: ____/____/______

Examinadores:

__________________________________________________

Professor Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, PhD

(Orientador da Dissertação)

__________________________________________________

Professor Carlos de Oliveira Galvão, Dr

Universidade Federal de Campina Grande

__________________________________________________

Professor Walter Collischonn, Dr

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

__________________________________________________

Pesquisador Dirceu Silveira Reis Junior, PhD

AGRADECIMENTOS

A Deus, em primeiro lugar, por todas as coisas.

Ao Professor Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, pela amizade e orientação sempre

dedicada.

Ao Curso de Pós-Gradução em Recursos Hídricos, pelo ensino prestado.

Ao Professor José Carlos pela ajuda e atenção dispensada durante o período no programa.

À FUNCAP e FUNCEME pelo apoio financeiro.

À FUNCEME, na pessoa do seu Presidente Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, por

todo apoio e infra-estrutura (cluster de 30 computadores) e mais recentemente por uma bolsa

de pesquisa, para dar continuidade a este trabalho.

Aos colegas Luiz Sérgio Vasconcelos do Nascimento, Conceição de Maria Albuquerque

Alves, Dirceu Silveira Reis Junior, Glaudiney Moreira Mendonça Junior, Giovanni Brígido

Bezerra Cardoso, Socorro Damasceno e Jair Barroso Lúcio do Departamento de Recursos

Hídricos da FUNCEME (DEHID) pelo companheirismo durante a pesquisa.

Aos colegas da turma de mestrado, pela amizade e ajuda no decorrer do curso.

À COGERH, pela disponibilidade de dados utilizados nesta dissertação.

À minha família, em especial à minha mãe Conceição, ao meu pai Valderi, aos meus irmãos

César e Fábio, às minhas tias Euda e Zuleide e à minha prima Lúcia, pela convivência e

apoio.

Em especial à minha noiva Rafhaela, pelo apoio e compreensão durante a realização deste

trabalho.

RESUMO

A experiência tem mostrado que buscas de ótimos baseadas em apenas um objetivo,

por mais cuidadosas que sejam, não conseguem determinar uma solução que modele

satisfatoriamente um dado fenômeno. O uso de abordagens multiobjetivo pode ainda ser

justificado pela natureza dos problemas reais, a qual requer a utilização de múltiplos

objetivos, muitas vezes conflitantes. Um conceito muito utilizado neste contexto é o de

dominância de Pareto, a qual possibilita comparar soluções usando múltiplos objetivos e

explorar diferentes características dos dados observados. Este trabalho tem como foco a

aplicação de algoritmos evolucionários baseados no acasalamento de abelhas em sua versão

uni- (Honey-Bee Mating Optimization - HBMO) e multiobjetivo (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization - MOHBMO) na minimização de funções-teste, calibração de modelos hidrológicos e otimização da operação de sistemas de reservatórios. A versão uniobjetivo é

aquela proposta por Haddad et al. (2006), enquanto a multiobjetivo é uma proposição do presente trabalho. Como algoritmos de referência da performance foram utilizados: PSO

(Particle Swarm Optimization), sua versão multiobjetivo MOPSO (Multiobjective Particle

Swarm), SCEM (Shuffled Complex Evolucion Metropolis) e sua versão multiobjetivo MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolucion Metropolis). Aplicações teóricas foram realizadas pela minimização de problemas compostos por funções matemáticas

encontradas na literatura. Aplicações reais de calibração de modelos hidrológicos e operações

de sistemas de reservatórios tiveram como estudo de caso a calibração dos modelos HYMOD

e SMAP a nível diário para 15 estações fluviométricas localizadas nos estados do Ceará e

Piauí e a otimização da operação do sistema de reservatórios que compõem o sistema de

ABSTRACT

Experience suggests that any single-objective search, no matter how carefully chosen,

is not able to identify a solution capable of satisfactorily model a phenomenum of interest.

Use of a multiobjective approach can yet be justified by the nature of real world problems,

which in general involve multiobjectives, most of the time conflicting objectives. An

approach very often used in multicriteria optimization is the concept of Pareto dominance,

which allows us to compare different solutions by using different objectives and to explore

different characteristics of the observed data. This dissertation employs evolutionary

algorithms inspired on honey-bee mating for single (Honey-Bee Mating Optimization -

HBMO) e multiobjectives (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization - MOHBMO) in

the minimization of test functions and calibration of watershed models. The singleobjective

version is the one introduced by Haddad et al. (2006), while its multiobjective version is

proposed by the present work. As reference of their performance, the following algorithms

were used: PSO (Particle Swarm Optimization), and its multiobjective version MOPSO

(Multiobjective Particle Swarm), SCEM (Shuffled Complex Evolucion Metropolis) and its

multiobjective version MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolucion Metropolis).

Well known theoretical functions were used to test the proposed algorithms. Real world

applications on hydrologic model calibration employing HYMOD and SMAP models, with

daily time steps, were carried out for 15 streamflow gauge stations located in the states of

Ceará e Piauí. Besides, an optimization study for the operation of the reservoir system that

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 3.1 – Ilustração do conceito de soluções ótimas de Pareto para um problema de

minimização de dois objetivos (F1, F2) em um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ1, θ2):

a. espaço paramétrico; b. espaço de funções. ... 15

FIGURA 3.2 – Fluxograma computacional do algoritmo HBMO e associação ao processo natural. ... 23

FIGURA 3.3 – Fluxograma computacional do algoritmo que representa o processo de troca de informações (vôo de acasalamento) no algoritmo HBMO e sua associação ao processo natural. ... 24

FIGURA 3.4 – Fluxograma computacional do algoritmo MOHBMO e a associação ao processo natural. ... 26

FIGURA 3.5 – Fluxograma computacional do algoritmo PSO e associação ao processo natural. ... 30

FIGURA 3.6 – Fluxograma computacional do algoritmo MOPSO e associação ao processo natural. ... 32

FIGURA 3.7 – Fluxograma computacional do algoritmo SCEM-UA... 35

FIGURA 3.8 - Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo SCEM-UA. ... 37

FIGURA 3.9 – Fluxograma computacional do algoritmo MOSCEM-UA. ... 40

FIGURA 3.10 – Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo MOSCEM-UA... 41

FIGURA 4.1 – Superfície da Função 1. ... 43

FIGURA 4.2 – Superfície da Função 2. ... 43

FIGURA 4.3 – Superfície da Função 3. ... 44

FIGURA 4.4 – Superfície da Função 4. ... 44

FIGURA 4.5 – Superfície da Função 5. ... 45

FIGURA 4.6 – Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 1). ... 46

FIGURA 4.7 – Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 2) ... 47

FIGURA 4.9 – Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização

das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 4) ... 50

FIGURA 4.10 – Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização

das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 5) ... 51

FIGURA 4.11 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes populações iniciais. ... 54

FIGURA 4.12 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes populações iniciais. ... 54

FIGURA 4.13 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes populações iniciais. ... 55

FIGURA 4.14 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes populações iniciais. ... 55

FIGURA 4.15 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de vôos de

acasalamento... 57

FIGURA 4.16 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de vôos de

acasalamento... 57

FIGURA 4.17 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de vôos de

acasalamento... 58

FIGURA 4.18 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de vôos de

acasalamento... 58

FIGURA 4.19 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de rainhas. .... 60

FIGURA 4.20 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de rainhas. .... 60

FIGURA 4.21 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de rainhas. .... 61

FIGURA 4.22 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de rainhas. .... 61

FIGURA 4.23 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de zangões. . 63

FIGURA 4.24 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de zangões. . 63

FIGURA 4.25 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de zangões. . 64

FIGURA 4.26 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de zangões. . 64

FIGURA 4.27 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes fatores de aleatoriedade

mínima do zangão... 65

FIGURA 4.28 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes fatores de aleatoriedade

mínima do zangão... 66

FIGURA 4.29 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes fatores de aleatoriedade

mínima do zangão... 66

FIGURA 4.30 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes fatores de aleatoriedade

mínima do zangão... 67

FIGURA 4.31 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de

FIGURA 4.32 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de

descendentes por rainha... 69

FIGURA 4.33 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de

descendentes por rainha... 69

FIGURA 4.34 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de

descendentes por rainha... 70

FIGURA 4.35 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes velocidades máxima.. 71

FIGURA 4.36 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes velocidades máxima.. 72

FIGURA 4.37 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes velocidades máxima.. 72

FIGURA 4.38 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes velocidades máxima.. 73

FIGURA 4.39 – Frentes obtidas na análise de sensibilidade do parâmetro de velocidade

máxima do algoritmo MOPSO. ... 74

FIGURA 4.40 – Curvas de convergência para a Função 2 (HBMO e PSO), 5 condições

iniciais diferentes... 76

FIGURA 4.41 – Curvas de convergência para a Função 3 (HBMO e PSO), 5 condições

iniciais diferentes... 77

FIGURA 4.42 – Curvas de convergência para a Função 4 (HBMO e PSO), 5 condições

iniciais diferentes... 77

FIGURA 4.43 – Curvas de convergência para a Função 5 (HBMO e PSO), 5 condições

iniciais diferentes... 78

FIGURA 4.44 – Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b.

MOPSO; e, c.MOSCEM) para o problema multiobjetivo 1... 79

FIGURA 4.45 – Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b.

MOPSO; e, c.MOSCEM) para o problema multiobjetivo 2... 81

FIGURA 4.46 – Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b.

MOPSO; e, c.MOSCEM) para o problema multiobjetivo 3... 82

FIGURA 4.47 – Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b.

MOPSO; e, c.MOSCEM) para o problema multiobjetivo 4... 83

FIGURA 4.48 – Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b.

MOPSO; e c.MOSCEM) para o problema multiobjetivo 5... 84

FIGURA 5.1 – Representação do modelo SMAP ... 88

FIGURA 5.2 – Representação da bacia no modelo HYMOD (adaptado de Bos & Vreng,

2006)... 90

FIGURA 5.4 – Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do

posto 34750000 – Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões. ... 97

FIGURA 5.5 – Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do

posto 34750000 – Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões... 98

FIGURA 5.6 – Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do

posto 35210000 – Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões. ... 100

FIGURA 5.7 – Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do

posto 35210000 – Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões... 101

FIGURA 5.8 – Comparação entre calibração utilizando janelas consecutivas de 8 anos e série

composta de 8 anos úmidos, posto 35210000. ... 102

FIGURA 5.9 – Função de distribuição acumulada (cdf) para os parâmetros das soluções

ótimas da análise de janelas do posto 36125000, (a) Sutcliffe das vazões e (b)

Nash-Sutcliffe dos picos de vazão. ... 104

FIGURA 5.10 – Resíduos para as soluções ótimas das 10 janelas mais úmidas de

comprimento 8 anos do posto 34750000... 107

FIGURA 5.11 – Vazões observadas versus vazões simuladas (Função Nash-Sutcliffe) para o

posto 36125000, janela de 8 anos... 108

FIGURA 5.12 – Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas (Função Nash-Sutcliffe

das vazões) para o posto 36125000, janelas de 8 e 12 anos. ... 110

FIGURA 5.13 – Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto

35760000 para o modelo HYMOD. ... 119

FIGURA 5.14 – Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto

34750000 para o modelo HYMOD. ... 119

FIGURA 5.15 – Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto

36520000 para o modelo SMAP. ... 120

FIGURA 5.16 – Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto

34750000 para o modelo SMAP. ... 120

FIGURA 5.17 – Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e

MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo HYMOD para a estação 35650000:

(a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas. ... 125

FIGURA 5.18 – Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e

MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação 36290000: (a)

FIGURA 5.19 – Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e

MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação 35880000: (a)

conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas... 127

FIGURA 5.20 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 34750000 para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 134

FIGURA 5.21 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 36160000 para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 135

FIGURA 5.22 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 35760000 para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 136

FIGURA 5.23 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 36520000 para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 137

FIGURA 5.24 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 36160000 para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 138

FIGURA 5.25 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 36470000 para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 139

FIGURA 5.26 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 35760000 para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 140

FIGURA 5.27 – Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do

posto 36520000 para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração

do período de validação e funções objetivo para a validação... 141

FIGURA 6.1 - Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza – Canal do

Trabalhador (Fonte: COGERH). ... 148

FIGURA 6.2 – Fluxograma do Sistema da RMF (Adaptado de LIMA, 2000)... 148

FIGURA 6.3 – Curvas cota-área-volume dos reservatórios do Sistema da RMF... 149

FIGURA 6.4 – Curvas dos Custos de Bombeamento das Estações Elevatórias em Função do

FIGURA 6.5 – Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com 10000

avaliações das funções objetivo... 158

FIGURA 6.6 – Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com 100000

avaliações das funções objetivo... 158

FIGURA 6.7 – Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração

1937-1996 (MOHBMO) – solução de menor custo. ... 162

FIGURA 6.8 – Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração

1937-1996 (MOPSO) – solução de menor custo... 162

FIGURA 6.9 – Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o

período de calibração 1937-1996 (MOHBMO) – solução de menor custo... 163

FIGURA 6.10 – Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o

período de calibração 1937-1996 (MOPSO) – solução de menor custo. ... 163

FIGURA 6.11 – Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação

1912-1936 (MOHBMO) – solução de menor custo. ... 164

FIGURA 6.12 – Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação

1912-1936 (MOPSO) – solução de menor custo... 164

FIGURA 6.13 – Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o

período de validação 1912-1936 (MOHBMO) – solução de menor custo... 165

FIGURA 6.14 – Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o

LISTA DE TABELAS

TABELA 4.1 – Valores utilizados dos parâmetros do algoritmo HBMO ... 52

TABELA 5.1 - Postos fluviométricos utilizados... 94

TABELA 5.2 - Postos fluviométricos utilizados para análise dos dados... 95

TABELA 5.3 – Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo HYMOD (função f01). ... 115

TABELA 5.4 – Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo SMAP (função f01). ... 116

TABELA 5.5 – Número médio de elementos obtido nas frentes... 123

TABELA 5.6 – Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo HYMOD. ... 132

TABELA 5.7 – Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo SMAP. ... 133

TABELA 6.1 – Características dos reservatórios da RMF. ... 146

TABELA 6.2 – Características dos sifões – Canal do Trabalhador. ... 147

TABELA 6.3 – Características das Estações Elevatórias... 147

TABELA 6.4 – Demandas em m3/s para os reservatórios do Sistema da RMF. ... 147

TABELA 6.5 – Valores médios de evaporação (mm) utilizados para os reservatórios do Sistema da RMF. ... 150

TABELA 6.6 – Regra Atual de Operação... 151

TABELA 6.7 – Curvas de custo das estações elevatórias do Sistema RMF... 152

TABELA 6.8 – Número médio de elementos obtido nas frentes... 156

TABELA 6.9 – Quadro resumo da otimização multiobjetivo e validação da operação do sistema de reservatórios da RMF... 157

TABELA 6.10 – Regra de Operação Otimizada (MOHBMO), Aracoiaba 24,1%. ... 159

TABELA 6.11 – Regra de Operação Otimizada (MOPSO), Aracoiaba 28,2%... 159

TABELA 6.12 – Custo médio mensal no período. ... 160

TABELA 6.13 – Custo total no período... 160

TABELA 6.14 – Freqüência de bombeamento. ... 161

TABELA 6.15 – Volume médio bombeado... 161

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO... 1

1.1. Objetivos ... 3

1.2. Organização dos Capítulos... 3

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 5

2.1. Algoritmos Evolucionários ... 5

2.2. Calibração de Modelos Hidrológicos... 7

2.3. Operação de Sistemas de Reservatórios... 9

3. METODOLOGIA... 13

3.1. Algoritmos Evolucionários ... 13

3.2. Abordagem multiobjetivo utilizando o conceito de dominância de Pareto ... 14

3.2.1. Técnica multivariada de agrupamentos (Clustering)... 15

3.2.2. Técnica de seleção pela aptidão... 16

3.3. Otimização baseada no acasalamento de abelhas (HBMO e MOHBMO)... 17

3.3.1. Descrição do processo natural ... 17

3.3.2. Algoritmo HBMO (Honey-bee Mating Optimization) ... 18

3.3.3. Abordagem multiobjetivo MOHBMO (Multiobjective Honey-bee Mating Optimization) ... 24

3.3.4. Operadores de Cruzamento (Crossover) e Mutação... 27

3.4. Otimização baseada no comportamento social de grupos (PSO e MOPSO) ... 27

3.4.1. Descrição do processo natural ... 27

3.4.2. Algoritmo PSO (Particle Swarm Optimization) ... 28

3.4.3. Algoritmo MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization) ... 30

3.5. Otimização baseada na busca direta (SCEM e MOSCEM) ... 32

3.5.1. Algoritmo SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis)... 33

3.5.2. Algoritmo MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolution Metropolis) ... 38

4. AVALIAÇÃO DOS ALGORITMOS COM FUNÇÕES DE TESTE... 42

4.1. As Funções e seus Mínimos Teóricos ... 42

4.2. Problemas Multiobjetivos ... 45

4.3. Análise de Sensibilidade de Parâmetros dos Algoritmos... 51

4.3.1. HBMO ... 52

4.3.2. Velocidade Máxima do PSO... 70

4.4. Minimização uniobjetivo ... 74

4.5. Minimização multiobjetivo ... 78

4.6. Conclusões ... 84

5. CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS ... 86

5.1. Modelos hidrológicos... 87

5.1.1. SMAP (Soil Moisture Accounting Procedure) diário... 87

5.1.2. HYMOD (Hydrological Model) diário... 90

5.2. Funções Objetivo ... 91

5.3. Estudo de caso... 93

5.3.1. Impacto da disponibilidade dos dados na modelagem hidrológica ... 94

5.3.2. Maximização uniobjetivo... 112

5.3.3. Maximização multiobjetivo ... 121

5.4. Conclusões ... 142

6. OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS ... 144

6.1. Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza ... 145

6.1.1. Descrição do sistema... 145

6.1.2. Dados utilizados... 147

6.1.3. Regra operacional ... 150

6.2. Funções objetivo ... 151

6.3. Modelo de simulação ... 154

6.4. Resultados Obtidos... 155

6.5. Conclusões ... 166

7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 167

1.INTRODUÇÃO

Em engenharia, mais especificamente em recursos hídricos, a necessidade de

representar fenômenos naturais complexos através de modelos é de fundamental importância

para o planejamento e gerenciamento dos recursos hídricos. É através de informações obtidas

desses modelos que buscamos entender o processo natural e tentar avaliar a resposta do

sistema a diferentes cenários, facilitando assim a tomada de decisão.

Dentre as classes de modelos, podemos citar duas que são de grande importância para

o planejamento e gerenciamento dos recursos hídricos, os modelos chuva-vazão e os modelos

de operação de sistema de reservatórios. Esses últimos fazem uso de séries históricas

correspondentes a afluências aos reservatórios, ou de séries simuladas pela primeira classe de

modelos, os modelos hidrológicos, os quais são representações matemáticas bastante

simplificadas do processo de transferência chuva-vazão.

Com relação aos modelos chuva-vazão, para que estes representem de forma

satisfatória tal processo de transferência, faz-se necessário que os parâmetros que regem o

comportamento destes modelos sejam determinados adequadamente. Como muitas vezes

estes parâmetros não podem ser determinados diretamente, seja pela impossibilidade de

mensuração em campo, seja por suas características abstratas, os mesmos devem ser

estimados indiretamente. Isto pode ser realizado através de um processo de calibração a partir

do conhecimento prévio de período comum das variáveis que representam a entrada e a saída

do modelo sob análise.

A calibração pode ser realizada de duas maneiras: manual ou automática. O método

manual consiste na tentativa e erro, no qual os parâmetros são escolhidos baseados na

experiência do hidrólogo e no conhecimento da região em estudo. Após essa escolha, o

mesmo é executado e então é feita uma comparação dos hidrogramas observado e simulado,

de maneira subjetiva, buscando definir qual conjunto de parâmetros gera melhor resultado.

Soluções desta natureza, geralmente são bastante trabalhosas e requerem muito tempo, além

do pleno conhecimento dos modelos, que muitas vezes são extremamente complexos.

O método de calibração automática consiste na utilização de algoritmos que realizam

uma busca da solução ótima baseada em um ou mais objetivos. Muitas pesquisas foram

ótimos baseados em apenas um objetivo, por mais cuidadosas que sejam, não conseguem

determinar uma solução que modele satisfatoriamente o fenômeno em questão. Outro fator

que encoraja a utilização de abordagem multiobjetivo é que frequentemente problemas reais

requerem a utilização de múltiplos objetivos conflitantes. Para tal, pode ser utilizado o

conceito de dominância de Pareto, que possibilita a comparação entre soluções com múltiplos

objetivos.

Seguindo a mesma linha de raciocínio, de busca de soluções ótimas, tais técnicas são

também aplicadas à operação de sistemas de reservatórios para determinação de diretrizes

operacionais ótimas baseadas em um ou múltiplos objetivos.

Dentre os algoritmos de otimização utilizados atualmente, um grupo em particular tem

sido tema de diversas pesquisas, devido sua ampla aplicabilidade em diversas áreas da

ciência, comércio e engenharias, e pela facilidade com que os mesmos são implementados,

são aqueles denominados algoritmos evolucionários. Uma grande vantagem dessa classe de

algoritmos com relação a outras utilizadas deve-se ao fato das mesmas trabalharem com

conjuntos de soluções simultaneamente. Assim, é introduzida uma perspectiva global e uma

maior diversidade na busca, proporcionando assim soluções mais confiáveis. Outras

vantagens podem também ser citadas, como por exemplo: não dependência da concavidade,

convexidade e continuidade da função objetivo.

No contexto de algoritmos de otimização evolucionários, uma linha de pesquisa tem

conquistado bastante espaço nas ultimas décadas, os algoritmos baseados no comportamento

social de grupos, que consistem de técnicas heurísticas de busca e solução de problemas.

Dentre os algoritmos atualmente em uso, podemos citar: o PSO (Particle Swarm Optimization; Kennedy et al., 1995), posteriormente adaptado para contemplar problemas multiobjetivo, passando então a ser conhecido como MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization; Alvarez et al., 2005), e o mais recente HBMO (Honey-Bee Mating Optimization; Haddad et al., 2006), um algoritmo de otimização uniobjetivo, que se baseia no processo reprodutivo de abelhas domésticas.

e coleta de néctar das flores, e vem sendo aplicado na otimização de planejamento de

processos industriais e o GA (Genetic Algorithm) que tem inspiração no processo evolutivo dos seres vivos.

1.1.Objetivos

O presente trabalho tem como objetivo geral avaliar o uso de técnicas heurísticas na

calibração de modelos hidrológicos e na operação de reservatórios, em especial sob a forma

de problemas multiobjetivo. Sob um enfoque mais específico, dentre os objetivos almejados

tem-se:

¾ Propor uma versão multiobjetivo para o algoritmo HBMO, versão esta referida a partir

de agora como MOHBMO (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization);

¾ Testar o algoritmo proposto com funções objetivo adequadas na calibração de modelos

hidrológicos diários (SMAP e HYMOD), assim como modelos de operação de

sistemas de reservatórios;

¾ Comparar a eficiência do algoritmo proposto (MOHBMO) com o também heurístico

MOPSO e com o MOSCEM, assim como o correspondente HBMO com PSO e

SCEM;

¾ Aplicar os algoritmos MOPSO e MOHBMO na operação de reservatórios integrantes

do sistema de abastecimento da região metropolitana de Fortaleza, visando à

minimização dos custos de bombeamento e do volume evaporado do sistema ao longo

de cada ano.

1.2.Organização dos Capítulos

O presente trabalho é composto por 7 (sete) capítulos, sendo este o primeiro. Aqui é

apresentado em breve introdução um relato sobre o contexto no qual este trabalho se inclui

bem como uma justificativa ao tema. A seguir são expostos os objetivos do trabalho.

No próximo capítulo, Capítulo 2, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre

algoritmos evolucionários, calibração de modelos hidrológicos e operação de sistemas de

reservatórios, com ênfase na temática abordada neste trabalho.

O Capítulo 3 apresenta uma breve descrição sobre algoritmos evolucionários e

técnicas de abordagem multiobjetivo aplicadas ao conceito de dominâncias de Pareto, bem

algoritmos de referência (PSO, MOPSO, SCEM, MOSCEM) e do algoritmo de otimização

implementado uniobjetivo HBMO e sua versão multiobjetivo aqui proposta MOHBMO.

O Capítulo 4 apresenta primeiramente os problemas teóricos utilizados para avaliação

comparativa dos algoritmos, tanto na análise uniobjetivo como na análise multiobjetivo. Em

seguida, são apresentadas as análises de sensibilidade realizadas nos algoritmos HBMO, PSO

e MOPSO. Posteriormente, são apresentados os resultados obtidos para os problemas uni e

multiobjetivo, bem como uma discussão dos mesmos. Por fim, são apresentadas as conclusões

referentes ao capítulo.

O Capítulo 5 apresenta uma descrição detalhada dos modelos hidrológicos SMAP e

HYMOD, bem como das funções objetivo utilizadas na calibração. Em seguida, é apresentado

o estudo de caso no qual inclui, além de uma descrição do problema, uma análise da

disponibilidade dos dados e os resultados e discussões dos mesmos, da calibração uni e

multiobjetivo. Por fim, são apresentadas as conclusões referentes ao capítulo.

O Capítulo 6 refere-se à otimização aplicada à operação de sistemas de reservatórios.

Inicialmente, é feita uma descrição do sistema de reservatório da região metropolitana de

Fortaleza, estudo de caso do presente trabalho. Em seguida, são apresentados os resultados e

as discussões. Por fim, são apresentadas as conclusões referentes ao capítulo.

Por último, o Capítulo 7 traz uma conclusão geral e as recomendações das aplicações

2.REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1.Algoritmos Evolucionários

Dentre os algoritmos de otimização utilizados atualmente, um grupo em particular tem

sido tema de diversas pesquisas, devido à sua ampla aplicabilidade em diversas áreas da

ciência, comércio e engenharias, e pela facilidade com que os mesmos são implementados,

são aqueles denominados algoritmos evolucionários. Uma grande vantagem dessa classe de

algoritmos com relação a outras utilizadas deve-se ao fato das mesmas trabalharem com

conjuntos de soluções simultaneamente. Assim, é introduzida uma perspectiva global e uma

maior diversidade na busca, proporcionando assim soluções mais confiáveis. Outras

vantagens podem também ser citadas, como por exemplo: não dependência da concavidade,

convexidade e continuidade da função objetivo.

No contexto de algoritmos de otimização evolucionários, uma linha de pesquisa tem

conquistado bastante espaço nas ultimas décadas, os algoritmos baseados no processo

evolutivo dos seres vivos (Algoritmos Genéticos) e aqueles baseados no comportamento

social de grupos, que consistem de técnicas heurísticas de busca e solução de problemas.

Entre estes algoritmos evolucionários, os algoritmos genéticos têm recebido grande

atenção na literatura para solução de uma ampla variedade de problemas em ciência,

engenharia, indústria e comércio. Os Algoritmos Genéticos (AGs) são uma abordagem de

busca baseada em uma população inspirada no processo evolutivo dos seres vivos, em que os

mais aptos sobrevivem (Goldberg, 1997). Eles têm ganho grande atenção como método de

otimização na solução de problemas em hidrologia e recursos hídricos (Goldberg & Kuo,

1987; Simpson et al., 1994; Savic & Walters, 1997; Wardlaw & Sharif, 1999; Labadie, 2004; Nascimento, 2006).

Distintas abordagens multiobjetivo têm sido empregadas na implementação de

Algoritmos Evolucionários, a saber: ponderação de objetivos, ordenação lexicográfica, uso de

sub-populações (cada uma sendo um otimizador uniobjetivo), conceito de Pareto e

combinação das anteriores. As implementações em algoritmos genéticos têm seguido esta

taxonomia, podendo-se aqui serem citadas as implementações mais importantes:

Pareto (MOGA – Fonseca & Fleming, 1993; NPGA – Horn & Nafpliotis, 1993; Horn et al., 1994; NSGA – Srinivas & Deb, 1994; ; SPEA II – Zitzler & Thiele, 2001; NSGA-II – Deb et al., 2000, 2002; PAES – Knowles & Corne 1999, 2000; Zitzler & Thiele, 1999; PESA – Corne et al., 2000; PESA II – Corne et al., 2001; MOMGA – Van Veldhuizen & Lamont, 2000; MOMGA II – Zydallis et al., 2001).

Uma das abordagens mais utilizadas na prática em otimização multiobjetivo é a

ponderação de objetivos, contudo a mesma não funciona muito bem quando a Frente de

Pareto é Côncava, independentemente dos pesos (Das & Dennis, 1997). Jin et al. (2001) tratou este problema identificando pesos de tal forma que a Frente de Pareto fosse

rotacionada, o que possibilitou a identificação adequada da mesma.

Um outro algoritmo evolucionário, o ACO (Ant Colony Optimization), inspirado no comportamento social de formigas, é um exemplo clássico de otimização baseada no

comportamento social de grupos. Proposto inicialmente por Dorigo (1992), ACOs têm sido

aplicados a uma variedade de problemas clássicos de otimização combinatória (Dorigo et al., 1996; Dorigo & Gambardella, 1997) e em engenharia (Abbaspour et al., 2001; Simpson et al., 2001; Maier et al., 2003).

Outros algoritmos evolucionários atualmente em uso podem ser citados: o PSO

(Particle Swarm Optimization; Kennedy et al., 1995), posteriormente adaptado para contemplar problemas multiobjetivo, passando então a ser conhecido como MOPSO

(Multiobjective Particle Swarm Optimization; Alvarez et al., 2005). Um outro algoritmo bem recente é o HBMO (Honey-Bee Mating Optimization; Haddad et al., 2006), um algoritmo de otimização uniobjetivo, que se baseia no processo reprodutivo de abelhas domésticas. Assim

como o HBMO, outro algoritmo que também tem como inspiração o comportamento social de

abelhas é o BCO (Bee Colony Optimization) (Chong et al., 2006), sendo bastante aplicado na otimização de planejamento de processos industriais.

No contexto de PSOs, e seguindo a mesma taxonomia de implentação multiobjetivo

utilizada para AGs, pode-se citar as seguintes implementações: 1. ponderação de objetivos

2002; Coello et al., 2004; Mostaghim & Teich, 2003ab, 2004; Bartz-Beielstein et al., 2003; Li, 2003; Reyes-Sierra & Coello, 2005; Alvarez-Benitez et al., 2005; Ho et al., 2005; Villalobos-Arias et al., 2005; Salazar-Lechuga & Rowe, 2005; Raquel & Naval, 2005; Zhao & Cao, 2005; Janson & Merkle, 2005); e, 5. Combinação de abordagens anteriores (Mahfouf et al., 2004; Xiao-hua et al., 2005). Existem ainda outras abordagens que fogem ao enquadramento anterior (Li, 2004; Zhang et al., 2003).Uma revisão do estado-da-arte do emprego destas abordagens no contexto do MOPSO é apresentada por Reyes-Sierra & Coello

(2006).

2.2.Calibração de Modelos Hidrológicos

Durante as últimas décadas muitos esforços têm sido colocados no desenvolvimento

de técnicas de otimização que possam fornecer soluções confiáveis para os problemas de

calibração de modelos hidrológicos (Gupta et al., 1998). Uma revisão mais abrangente sobre métodos de calibração automática aplicados à modelagem hidrológica pode ser encontrada em

Gupta & Sorooshian (1994).

Segundo Yapo et al. (1998) quatro diretrizes de pesquisas podem ser identificadas no que engloba o tema calibração de modelos, mais precisamente na estimativa de parâmetros

pelo ajuste das séries de saída dos modelos e as séries históricas, são elas: 1. Desenvolvimento

de técnicas para identificação de erros nos dados; 2. Desenvolvimento de técnicas de

estimativa de parâmetros; 3. Metodologia para determinação dos tipos de dados mais

informativos e a quantidade apropriada; e 4. Identificação das incertezas da calibração e a

translação destas para as incertezas das respostas dos modelos. Apenas os itens 2. e 3. serão

citados a seguir pelo fato de este trabalho abordar apenas estas duas diretrizes.

Quanto ao desenvolvimento de técnicas de estimativa de parâmetros, até meados da

década de 90 tem-se a ocorrência de pesquisas focadas em métodos que se baseavam apenas

em um único objetivo. Embora exista o crescente encorajamento para uma abordagem com

múltiplos objetivos, podemos citar alguns trabalhos mais recentes com enfoque uniobjetivo:

Haddad et al. (2006) e Cooper et al. (2007).

Uma análise comparativa entre o SCE-UA e o MSX (Multistart Simplex) para calibrar o modelo SAC-SMA (Sacramento Soil Moisture Accounting) foi realizada por Sorooshian et al. (1993). Primeiramente, foram realizadas análises utilizando séries sintéticas para representar condições ideais e,posteriormente, realizou-se a calibração para a série histórica

da bacia do Leaf River, Collins/Mississippi. Segundo os autores, o SCE-UA mostrou-se superior nas duas análises realizadas.

Com o avanço das pesquisas nesta área, observou-se que a otimização baseada em

apenas um objetivo não é adequada, por não ser capaz de explorar distintas características

importantes contidas nos dados utilizados nos modelos. Diante deste cenário, pesquisas

começaram a ser realizadas a partir de um enfoque multiobjetivo ou multi-critério. Como

pioneiros desta linha de pesquisa podemos citar Yapo et al. (1998) e Gupta et al. (1998).

Uma versão multiobjetivo para o algoritmo SCE, de autoria de Duan et al. (1992 e 1993), denominado MOCOM (Multiobjective Complex Evolution) foi proposta por Yapo et al. (1998). Tal método propunha a solução de problemas de calibração pelo uso de múltiplos objetivos. Neste trabalho os autores aplicaram o MOCOM à calibração do modelo

SAC-SMA, utilizando a série histórica da bacia do Leaf River, Collins/Mississippi. Segundo os autores, o mesmo se mostrou eficiente e eficaz a tal propósito. Porém, anos depois,

investigações revelaram a ocorrência de adensamentos centrais nas frentes de Pareto e

convergência prematura (Vrugt et al., 2003).

Como solução para os problemas identificados por Vrugt et al. (2003) para o algoritmo MOCOM, este propôs uma versão multiobjetivo com base no SCEM-UA (Shuffled Complex Evolution Metropolis), uma versão modificada do algoritmo SCE pela inclusão do conceito de força do algoritmo Metropolis (Metropolis et al., 1953) de autoria de Vrugt et al. (2003), e denominou-a de MOSCEM (Multiobjective Complex Evolution Metropolis). Os autores realizaram uma análise comparativa entre o MOSCEM e o MOCOM através de três

estudos de casos e concluíram que o MOSCEM mostrou-se superior em todos eles.

A necessidade de uma abordagem multiobjetivo para a calibração de modelos

hidrológicos, bem como uma atenção para o reconhecimento de erros estruturais e

confiabilidade nos modelos, foram recomendados por Gupta et al. (1998).

Pode-se citar também outros autores que recomendam uma calibração multiobjetivo

MOCOM na calibração do modelo IPH-2 (Tucci, 1998) para a bacia do rio Canoas, localizada

no estado de Santa Catarina.

Pode-se citar, também, outros algoritmos que sofreram adaptações, citadas no item 2.1

deste trabalho, para contemplar questões multiobjetivo de calibração de modelos. Aplicações

destes algoritmos à calibração de modelos hidrológicos podem ser citadas:

A utilização do algoritmo MOPSO, proposto por Alvarez et al. (2005) como versão multiobjetivo do PSO, à calibração da bacia do Rio São Francisco foi realizada por

Nascimento et al. (2006). Segundo os autores, o mesmo se mostrou satisfatório na montagem da frente de Pareto para os diversos objetivos.

Diversas metodologias para a manipulação de soluções da frente de Pareto podem ser

encontradas na literatura. Uma técnica de seleção de soluções preferenciais que compõem a

frente de Pareto foi proposta por Khu & Madsen (2005). Tal pesquisa utilizou o algoritmo

multiobjetivo NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) proposto por Deb et al. (2000). Segundo os autores o método pode ser utilizado para filtrar numerosas soluções

pertencentes a uma dada frente e retornar uma pequena quantidade preferível.

Quanto à determinação de quais tipos de dados são mais informativos e que

quantidade é mais apropriada para a utilização na calibração, alguns trabalhos merecem

destaque, tais como: um levantamento sobre qual o comprimento da série histórica faz-se

necessário para calibração realizado por Yapo et al. (1996). Foram utilizados o modelo chuva-vazão NWSRFS-SMA e o algoritmo SCE-UA. Baseados em diversas calibrações realizadas

para diferentes janelas temporais os autores concluíram que uma série de dados com

aproximadamente 8 (oito) anos são requeridos para obtenção de calibrações que

apresentam-se inapresentam-sensíveis ao período calibrado;apresentam-seguindo o contexto de análiapresentam-se de dados para calibração

podemos citar: Gupta & Sorooshian (1985), Sorooshian et al. (1983) e Boughton (2007).

2.3.Operação de Sistemas de Reservatórios

Várias técnicas têm sido desenvolvidas para análise de sistemas de recursos hídricos,

podendo estas serem classificadas em técnicas de otimização ou simulação, estáticas ou

dinâmicas, e determinísticas ou estocásticas (Merwade, 2001).

Nesta seção faremos uma breve revisão das técnicas de otimização, em especial

áreas para aplicação destas (Labadie, 2004). A revisão não pretende ser exaustiva, mas sim

ilustrativa de como estas técnicas podem ser utilizadas na área de recursos hídricos. Estas

técnicas, neste caso, são muito úteis na identificação de políticas operacionais ótimas para um

reservatório e indispensáveis na identificação destas regras quando se tratando de sistema de

reservatórios de usos múltiplos (Loucks et al., 2005).

Na última década, algoritmos evolucionários e heurísticos têm ganhado espaço na área

de recursos hídricos, assim como em outras áreas de engenharia. Contudo, os algoritmos mais

comumente utilizados são aqueles baseados em Algoritmos Genéticos (Goldberg, 1989). Esta

classe de algoritmos, os evolucionários, oferece uma alternativa aos já comumente utilizados

na área de recursos hídricos, a saber: Programação Linear, Não Linear, Programação

Dinâmica e suas variantes.

Adicionalmente, o fácil acoplamento de algoritmos evolucionários e modelos

hidrológicos, sem a necessidade de hipóteses simplificadoras e cálculo de derivadas, pode ser

considerado uma vantagem destes algoritmos sobre alguns dos algoritmos mais comumente

utilizados nas áreas, daqui por diante referido como clássicos. Da mesma forma, em se

tratando da operação de reservatórios, medidas da performance de sistemas hídricos como

resiliência (capacidade de um sistema se recuperar de uma falha) e vulnerabilidade

(severidade das conseqüências da falha) são também facilmente incluídas em algoritmos

evolucionários (Labadie, 2004).

Algoritmos Genéticos têm sido propostos como um método promissor na resolução de

problemas não convexos e não lineares em planejamento de sistemas hídricos (McKinney &

Lin, 1994; Ritzel et al., 1994). Ilich (2001) aplica AG ao problema de operação de reservatório utilizando-se de um esquema iterativo no algoritmo para garantir a convergência.

O autor conclui que o método pode substituir a tradicional Programação Linear, mas a

necessidade de modificar o esquema iterativo introduzido no algoritmo diminui o valor da

contribuição.

Algoritmos Genéticos foram aplicados na identificação de políticas operacionais

ótimas a um problema de quatro reservatórios por Esat & Hall (1994). O objetivo dos autores

era maximizar os benefícios advindos da geração de energia, irrigação e abastecimento

humano com restrições de armazenamentos e liberações para os reservatórios. Este trabalho

assim como, sua melhor performance em relação a técnicas tradicionais, como Programação

Dinâmica em termos de demanda computacional. Da mesma forma, Fhamy et al. (1994) também aplicaram Algoritmos Genéticos a um sistema de reservatórios, comparando sua

performance com Programação Dinâmica, demonstrando o seu valor para otimização de

sistemas mais complexos.

Pode-se citar outra aplicação de AGs, tal como: na determinação da capacidade de

armazenamento de um reservatório de águas pluviais, bem como, regras de operação ótimas

para gerenciamento de escoamento dessas águas no estuário de St. Lucie, Flórida realizada

por Otero et al. (1995). O AG foi acoplado com um modelo hidrológico diário e os resultados das regras de operação analisados utilizando-se análise de freqüência das afluências mensais

médias. Nesta aplicação, Otero et al. (1995), assim como em Oliveira & Loucks (1997), buscaram a otimização dos parâmetros que representavam as estruturas das regras

operacionais dos reservatórios, ao invés da identificação direta das liberações ao longo do

período de otimização como em Sharif & Wardlaw (2000).

Como uma alternativa a abordagens de otimização determinítiscas, Sharif & Wardlaw

(2000) aplicaram AGs à otimização direta das liberações ao longo do período de operação. A

demanda por processamento torna quase que inviável o uso de AGs para definição de regras

operacionais ótimas de reservatórios, a não ser que se faça uso de parametrizações dessas

regras como em Otero et al. (1995) e Oliveira & Loucks (1997). Oliveira & Loucks (1997), por sua vez, ampliam significativamente o trabalho de Esat & Hall (1994) e fazem

considerações sobre o potencial valor de Algoritmos Genéticos na operação de reservatórios

em tempo real utilizando previsão estocástica de afluências. Como contribuição mais recente

nesta linha, pode-se citar: Bravo (2006), que utilizou o algoritmo SCE-UA para a otimização

de regras operacionais tendo por objetivo avaliar os benefícios da previsão de afluências.

Algoritmos Genéticos também têm sido utilizados de forma combinada com outras

técnicas tradicionais, como em Tospornsampan et al. (2005). Os autores combinam AGs com Programação Dinâmica Diferencial Discreta visando otimizar a operação de sistemas de

reservatórios múltiplos. A técnica é aplicada ao sistema “Mae Klong” na Tailândia.

Combinando AGs e Programação Linear, Cai et al. (2001) procuraram soluções para dois problemas não lineares: 1. um modelo de operação de reservatórios não linear com

reservatório; e 2. um modelo de planejamento dinâmico de longo prazo de uma bacia com um

grande número de relações não lineares.

Mais recentemente, outros algoritmos evolucionátios têm sido utilizados na resolução

deste tipo de problema, como é o caso do HBMO. Haddad et al. (2007) aplicou o HBMO na operação otimizada de dois problemas hipotéticos, um formado por um sistema de quatro

reservatórios e outro por um sistema de dez reservatórios. O último problema foi resolvido

anteriormente por Wardlaw & Sharif (1999) empregando AGs com codificação real. Este

problema não é somente complicado pela dimensão do mesmo, mas também devido a várias

restrições de armazenamento dependentes no tempo.

No que concerne à otimização multiobjetivo poucas são as aplicações, destacando-se

além de aplicações com algoritmos genéticos (entre outros, o NSGA), aquelas com algoritmos

3.METODOLOGIA

Esta dissertação tem como foco a aplicação de algoritmos evolucionários, baseados no

acasalamento de abelhas em sua versão uni (HBMO) e multiobjetivo (MOHBMO), na

calibração de modelos hidrológicos e na operação de sistemas de reservatórios. A versão

uniobjetivo é aquela proposta por Haddad et al. (2006), enquanto a multiobjetivo é uma proposição do presente trabalho. Como algoritmos de referência da performance dos mesmos

serão utilizados na versão uniobjetivo o PSO (Particle Swarm Optimization) e o SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis), enquanto que para o problema multiobjetivo o algoritmo proposto será avaliado tendo como referência as versões multiobjetivo dos

anteriores, o MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization) e o MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolution Metropolis). Os algoritmos PSO e MOPSO baseiam-se no comportamento social de indivíduos, enquanto o SCEM e o MOSCEM

baseiam-se na teoria Bayesiana, ou mais especificamente, método Monte Carlo de Cadeia de

Markov (MCMC).

3.1.Algoritmos Evolucionários

Algoritmos evolucionários compreendem aqueles métodos de busca que têm sua

inspiração em processos naturais, tais como: comportamento social de grupos de animais,

reprodução de animais, entre outros. Esses algoritmos baseiam-se na seleção natural como

processo de escolha de soluções com o objetivo de encontrar a solução ótima, apoiados na

teoria que na natureza os mais aptos prevalecem sobre os menos aptos.

Alguns algoritmos evolucionários são muito conhecidos devido a seus bons

desempenhos na busca de soluções ótimas e a sua aplicabilidade em uma ampla variedade de

aplicações. Entre estes, pode-se citar o ACO (Ant Colony Optimization), o GA (Genetic Algorithm) e o BCO (Bee Colony Optimization).

Os algoritmos evolucionários possuem características que os tornam mais eficazes do

que outros algoritmos na busca de ótimos, dentre as quais destacam-se:

¾ A capacidade de trabalhar com uma população de soluções simultaneamente,

introduzindo assim uma perspectiva global e uma maior diversidade de busca. Tal

característica proporciona uma grande capacidade de encontrar ótimos globais em

¾ Com relação às funções objetivo em análise, os algoritmos evolucionários não

requerem que estas sejam côncavas, convexas ou contínuas, como alguns outros

algoritmos que se baseiam no cálculo diferencial ou outro procedimento especifico;

¾ Quanto ao domínio da busca, não se faz necessário um conhecimento prévio, podendo

este ser multidimensional, com ou sem restrições, lineares ou não-lineares;

¾ Do ponto de vista de processamento computacional, este se apresenta propício à

paralelização. Benefício muito atrativo devido ao ganho de tempo demandado para

execução pelo compartilhamento de processos em diferentes computadores.

3.2.Abordagem multiobjetivo utilizando o conceito de dominância de Pareto

Do ponto de vista multiobjetivo, faz-se necessária a introdução de um novo conceito

em substituição à simples comparação uniobjetivo de diferentes soluções, como por exemplo,

o conceito de dominância de Pareto. Esta abordagem multiobjetivo é descrita abaixo e, logo

em seguida, são apresentadas algumas técnicas que procuram tratar problemas decorrentes da

utilização direta dos conceitos de Pareto na determinação de frente ótima para problemas

multiobjetivos.

Consideremos um problema de minimização multiobjetivo expresso pela seguinte

equação: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ) ( ) ( ) ( min 2 1 x f x f x f x f M

M (3.1)

em que f_i(x) é a i-ésima de M funções objetivo e x é uma possível solução que satisfaz o problema.

Pode-se observar da expressão acima que duas soluções distintas (u e v) podem se relacionar da seguinte forma:

¾ Se f_i(u)< f_i(v)|∀i=1,...,M , então u é dita estritamente dominante de v, o que é representado pela expressão upv;

Caso u não seja dominada por v, e v não seja dominada por u, então u e v são ditas soluções não-dominadas. Desta forma, fica claro que problemas multiobjetivo possuem mais

do que uma solução como ótimo, e esse conjunto é denominado de frente ótima de Pareto ou

frente verdadeira de Pareto, a qual é composta por soluções não-dominadas por qualquer

possível solução.

A Figura 3.1, adaptada de Vrugt et al. (2003), ilustra um conjunto de soluções e a frente ótima de Pareto dentro de um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ1, θ2) para um problema de minimização de dois objetivos (F1, F2).

FIGURA 3.1 – Ilustração do conceito de soluções ótimas de Pareto para um problema de minimização de dois objetivos (F1, F2) em um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ1, θ2): a. espaço paramétrico; b. espaço de funções.

A Figura 3.1 apresenta no espaço paramétrico a localização dos mínimos das funções

representados por A e B, a linha que interliga os outros pontos de mínimo que compõem a

frente de Pareto e o ponto γ que representa uma solução da frente ótima. A mesma figura também apresenta os mesmos elementos no espaço de funções objetivo. Deve-se aqui

ressaltar que a curva que liga A e B são perpendiculares às tangentes das isolinhas das

funções.

3.2.1.Técnica multivariada de agrupamentos (Clustering)

A utilização do simples conceito de dominâncias de Pareto em alguns casos pode gerar

destas soluções na frente, o que pode resultar em um aumento do número de soluções na

frente a proporções desnecessárias, reduzindo assim a eficiência do algoritmo.

Como forma de aumentar o desempenho do algoritmo, foi utilizada uma técnica

multivariada conhecida por agrupamentos (Clustering) baseada no grau de semelhança das soluções, o procedimento K-Means. O seu uso proporciona ao algoritmo a possibilidade de selecionar um determinado número de soluções não-dominadas dentre as soluções da frente.

Essa técnica de agrupamento (Seber, 1984; Spath, 1985) trabalha minimizando a soma

dos quadrados das distâncias Euclidianas (critério de semelhança) entre os pontos dentro de

cada grupo (Cluster) e o centróide deste grupo. Isto possibilita assim a seleção de soluções de regiões distribuídas na frente, mantendo assim a diversidade e evitando um adensamento

crescente e desnecessário.

3.2.2.Técnica de seleção pela aptidão

Em complemento ao tradicional conceito de dominâncias de Pareto, anteriormente

descrito, Vrugt et al. (2003) propuseram uma versão melhorada da aptidão proposta por Zitzler & Thiele (1999) para a determinação da frente ótima de Pareto. Esta técnica, a qual se

configura como uma alternativa a anterior (item 3.2.1), é descrita a seguir:

Armazenam-se todas as soluções não-dominadas da população em um conjunto 'P e todas as soluções restantes em um conjunto P;

A cada solução de 'P é associada uma força r_i∈[0,1], a qual representa a razão entre a quantidade de soluções de P que são dominadas pela solução i de P' e o total de soluções da população. Para todas as soluções de P' a aptidão é igual à força associada a ela;

As soluções de P recebem um valor de aptidão que é dado pela soma das forças das soluções de P' que a dominam, somada ao rank obtido pelo tradicional conceito de dominâncias de Pareto, subtraída do valor 1 (para garantir que este possua uma valor maior

que qualquer solução do conjunto 'P ):

1 1 − + =

∑

j r rank f

p

(3.2)

em que j representa a j-ésima solução de P, r_i a força da solução i de 'P que domina j e

Pareto

Através da utilização do conceito acima descrito é possível dar preferência às soluções

que estão nos extremos da frente de Pareto e penalizar aquelas que possuem muitas soluções

na sua vizinhança, preservando assim a diversidade da população. Isto favorece uma

distribuição mais uniforme de soluções na frente, reduzindo as chances de agrupamento e

convergência prematura.

3.3.Otimização baseada no acasalamento de abelhas (HBMO e MOHBMO)

A versão uniobjetivo do algoritmo (HBMO) proposta por Haddad et al (2006) teve como base a idéia apresentada por Abbass (2001a-e), em que o processo de acasalamento de

abelhas domésticas é a fonte de inspiração para o desenvolvimento da técnica de otimização

relatada. Assim, antes de detalhar o desenvolvimento do algoritmo propriamente dito, faz-se

uma descrição do processo natural de acasalamento de abelhas.

Existem outros algoritmos evolucionários baseados em comportamento social de

abelhas, mais especificamente no processo de coleta de néctar, como o BCO (Bee Colony Optimization) empregado por Chong et al (2006).

3.3.1.Descrição do processo natural

Uma colônia de abelhas é composta de uma estrutura física, que é a colméia

propriamente dita, e os indivíduos que nela vivem, quais sejam, a abelha rainha, os zangões e

as operárias.

Cada indivíduo na colméia realiza um trabalho especifico. No caso da rainha, esta

representa o indivíduo mais importante, pois é dela que descendem todos os outros

indivíduos. A rainha é a única abelha que tem o ovário totalmente desenvolvido, sendo assim

capaz de fertilizar os ovos.

Durante o processo de evolução da colméia, a rainha gera novos descendentes que

podem ser tanto uma nova rainha, como zangões ou operárias, determinados pela forma de

geração ou a alimentação a qual é exposta.

As operárias são responsáveis pela manutenção da colméia, pois realizam todo o

trabalho necessário para sua existência, como por exemplo, alimentação dos novos

O processo reprodutivo das abelhas consiste do cruzamento da rainha com os zangões,

que são pouco mais de uma dezena, e são os pais da colméia. Esse processo se dá inicialmente

através de uma dança, onde os zangões seguem a rainha, num processo conhecido como vôo

de acasalamento. É justamente durante esse vôo, que se realiza longe da colméia, que a rainha

seleciona os machos que irão cruzar.

A informação genética dos machos que cruzam com a rainha é armazenada sob a

forma de sêmen dentro de uma bolsa interna ao corpo da rainha, conhecida como

espermateca, sendo posteriormente utilizada para a fertilização dos ovos.

Uma rainha cruza diversas vezes durante sua vida, já o zangão inevitavelmente vem a

morrer após cruzar com a rainha, realizando assim o seu único papel na colônia que é

transmitir informação genética.

Dessa forma, exposta à seleção natural, a colméia evolui de maneira que os seus

indivíduos estejam mais aptos e adaptados ao ambiente.

3.3.2.Algoritmo HBMO (Honey-bee Mating Optimization)

Inicialmente é gerado de modo uniforme um conjunto de soluções aleatórias que

representa a população inicial (colméia). Todas as soluções são então avaliadas quanto à

função objetivo em questão, ficando associado um valor de aptidão igual ao valor da função

objetivo para cada solução.

Por ordenação, e tomando como referência os valores de aptidão das soluções,

seleciona-se a solução que apresenta o melhor valor de aptidão (rainha), ou seja, menor valor

da função objetivo, visto que o algoritmo consiste de um processo de minimização. As demais

soluções são, então, descartadas e inicia-se o processo iterativo do algoritmo. Caso queira-se

trabalhar com maximização deve-se utilizar da relação:

)) ( min( )

(

max f x = −f x (3.3)

No início de uma nova iteração, soluções semi-aleatórias (zangões, D) com certo grau

de dependência da melhor solução (rainha, Q) são geradas. Tal dependência é crescente de

forma linear ou quadrática (equações 3.4 e 3.5, respectivamente), variando entre a total

independência (0%) e a total dependência (100%) na ultima iteração:

[

]

Q

[

]

[

]

) /

(

1 nMF d nMF

Q

D= × − δ + ×δ (3.5)

em que nMF é o número de iterações, i a iteração atual, d uma solução aleatória no espaço de

busca, sendo a melhor solução (rainha) o centro. δ é dado pela seguinte expressão: )

1 ( −

− = nMF i

δ (3.6)

Esta dependência é função do avanço das iterações (maturidade da colméia), ou seja,

da fração relativa da iteração, quanto mais se aproxima da iteração final, maior é a

dependência, proporcionando assim uma convergência na busca.

Duas modificações acima descritas foram realizadas no algoritmo proposto por

Haddad et al. (2006) como forma de melhoramento, são elas: o parâmetro de aleatoriedade

mínima do zangão, complementar à dependência máxima da rainha, como forma de manter a

diversidade, e a não seleção dos primeiros zangões da população inicial, possibilitando assim

zangões tão bons ou melhores que as rainhas do ponto de vista da aptidão.

A dependência da rainha é obtida pelo valor complementar a 1 com base no fator de

aleatoriedade mínimo caso a parcela aleatória de geração do zangão seja inferior ao valor

definido por este.

É então realizado um teste seletivo (vôo de acasalamento), no qual,

probabilisticamente, determina-se se a melhor solução (rainha) irá receber informação

(acasalar) das soluções semi-aleatórias selecionadas ou não, através da função annealing, também conhecida como probabilidade de Boltzman, sugerida por Abbass (2001a):

) ( ) ( ) ,

( Spt

f e D Q prob Δ −

= (3.7)

em que prob(Q,D) representa a probabilidade de recebimento de informação da solução semi-aleatória selecionada (cruzamento entre o zangão D e a rainha Q), Δ(f) é a diferença absoluta das aptidões das soluções (rainha e zangão) e Sp(t) é a temperatura da função annealing (velocidade da rainha) no tempo t.

Da função annealing fica claro que a probabilidade de recebimento de informação (acasalamento) é maior quando a temperatura (velocidade da rainha) é alta, ou seja, no início

dos testes (início do vôo de acasalamento) durante o processo seletivo (vôo de acasalamento),

ou quando a diferença das aptidões das soluções é pequena (aptidão do zangão é tão boa

Para testar se haverá troca de informação (acasalamento) entre as soluções (rainha e

zangão), verifica-se se a probabilidade acima é menor do que um número aleatório distribuído

uniformemente entre 0 e 1. Se for, não há troca (não há acasalamento). Caso o zangão

apresente aptidão melhor que a da rainha, este é automaticamente selecionado para

cruzamento. Tal procedimento de aceitação automática não consta no algoritmo apresentado

por Haddad et al (2006) e é utilizado aqui como forma de melhoramento do mesmo.

Assim, se o resultado é “sucesso” a informação da solução semi-aleatória (informação

genética do zangão) é selecionada e armazenada num repositório de informações

(espermateca da rainha), e a temperatura (velocidade da rainha) decresce segundo as

expressões: ) ( ) ( ) 1

(t t Sp t

Sp + =α × (3.8)

e

[

]

t) ( ) /

( = −

α (3.9)

nas quais Sp(t+1) e Sp(t) são a temperatura (velocidade da rainha) em t+1 e em t, respectivamente, )α(t é um valor entre 0 e 1 obtido através da expressão acima, M é o tamanho do repositório (espermateca da rainha) e m(t) é a quantidade de soluções semi-aleatórias (zangões) selecionados para cruzamento. Se ocorrer “fracasso”, não há troca de

informação (cruzamento).

Para ambas as situações o número de tentativas de possível troca de informação

(energia da rainha) é decrescida, conforme a expressão: γ − = +1) ( ) (t E t

E (3.10)

em que E(t+1) e E(t) são as tentativas nos tempos t+1 e t, respectivamente, e γ é o decaimento das tentativas, aqui considerado unitário, a cada intervalo de tempo.

Conceitualmente, a melhor solução (rainha) está apta a receber informações (acasalar)

enquanto seu numero de tentativas (sua energia) não estiver próxima a zero, ou seu repositório

(sua espermateca) ainda não estiver preenchido. Nota-se a partir da expressão anterior, que o

valor do decaimento γ irá determinar quantos testes (transições no espaço, nos quais a cada

transição existe a possibilidade de encontrar um zangão) a melhor solução (rainha) estará apta

a realizar a cada processo seletivo de soluções semi-aleatórias (vôo de acasalamento). Outros