HBMO

Visando compreender melhor o processo de busca realizada pelo algoritmo HBMO realizou-se uma análise de sensibilidade dos seus parâmetros, tendo como estudos de caso as funções teóricas anteriormente citadas.

O algoritmo HBMO possui alguns parâmetros que ditam o comportamento do mesmo, existindo diversas possibilidades de combinações dos mesmos, cada um com suas peculiaridades no processo de busca. Os parâmetros avaliados na análise de sensibilidade são os seguintes: 1. Tamanho da população inicial; 2. Número de vôos de acasalamento; 3. Número de rainhas; 4. Número de zangões; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão; 6. Número de descendentes por rainha. Os demais parâmetros do algoritmo não foram analisados, tais como: 1. Número de zangões testados a cada passo no vôo de acasalamento, por ter sido utilizado neste trabalho um valor que não fosse limitante para o teste dos zangões; 2. Energia da rainha, por ter sido utilizado um valor suficientemente grande de forma que não fosse fator limitante; 3. Velocidade da rainha, considerada como um valor aleatório entre 0 e 100; e, 4. Tamanho da espermateca, adotado um valor suficientemente grande para comportar a totalidade dos zangões. A Tabela 4.1 apresenta os valores utilizados dos parâmetros quando estes não estavam sendo variados.

TABELA 4.1 – Valores utilizados dos parâmetros do algoritmo HBMO

Parâmetro Valor Tamanho da população inicial 100

Número de Vôos de acasalamento 20 Número de rainhas 20 Número de zangões 1 Fator de aleatoriedade mínima do zangão 0,1

Número de descendentes por rainha 4

Tamanho da população inicial

O primeiro parâmetro analisado foi o tamanho da população inicial, sendo este determinante da condição inicial, ou seja, a quantidade de informação disponível antes do início do processo de busca. Nota-se que quanto maior for a população inicial de soluções, maior será o conhecimento de possíveis regiões em que as soluções ótimas estão localizadas.

Com o objetivo de avaliar qual o impacto causado por este parâmetro no desenvolvimento da busca, foram realizados testes fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1) para diferentes tamanhos de populações iniciais: 50, 100, 250 e 500. As populações de tamanho 500 foram geradas, e a partir destas obtidas as populações menores (n primeiros elementos da população de tamanho = 500, onde n=50, 100 e 250). Isto garante que com o aumento da população obtêm-se um ganho na informação, assegurando que as populações menores não possuam informações melhores do ponto de vista da função objetivo.

Segundo as considerações acima expostas, foram geradas 10 (dez) populações iniciais diferentes e observou-se que para todas as funções, com exceção da Função 3, os mínimos globais foram apropriadamente identificados. No caso da Função 3, algumas soluções correspondiam ao seu mínimo local, fato justificado pela singularidade da função em seu mínimo global, já mencionado anteriormente como de grande dificuldade para os algoritmos.

Quanto à convergência, as populações de tamanho 250 e 500, apresentaram uma convergência mais rápida que os demais. Entretanto, houveram situações onde a convergência para os demais tamanhos de população inicial se mostraram superiores as de 250 e 500.

As Figuras 4.11 a 4.14 mostram a curva de convergência da função objetivo segundo o número de avaliações. Tais figuras representam uma das 10 (dez) tentativas, julgada representativa dos resultados encontrados. A Figura 4.12 mostra um caso onde algumas soluções ficaram presas no mínimo local da Função 3.

FIGURA 4.11 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes populações iniciais.

FIGURA 4.12 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes populações iniciais.

FIGURA 4.13 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes populações iniciais.

FIGURA 4.14 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes populações iniciais.

Número de vôos de acasalamento

Como o número de vôos está relacionado com o número de avaliações, o aumento do primeiro implica no aumento do último, conforme se pode verificar na expressão

) (Nd Nb Nq

Nmf

N = × × + (4.17)

em que Nrepresenta o número de avaliações da função objetivo, Nmf é o número de vôos de acasalamento, Nq é a quantidade de rainhas, Nd a quantidade de zangões para cada rainha e Nb o número de descendentes gerados por cada rainha a cada iteração.

Segundo a equação 4.17 fica clara a impossibilidade de comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Desta forma a análise será feita com base na capacidade de encontrar o ponto ótimo.

Para realizar a análise de sensibilidade do algoritmo com relação à quantidade de vôos de acasalamento, foram escolhidos quatro valores para a quantidade de vôos (10, 20, 50 e 100 vôos) e realizadas 10 tentativas para cada uma delas, partindo de condições iniciais diferentes e mantendo fixos os demais parâmetros (ver Tabela 4.1). Diferente da análise de sensibilidade dos demais parâmetros do algoritmo, o número de vôos não pode ser realizado levando em conta que as quantidades menores de vôos estejam inseridas dentro das maiores.

Em geral, pela observação dos valores ótimos obtidos, obteve-se uma melhoria da capacidade de encontrar o valor ótimo com o aumento da quantidade de vôos, não sendo excluídas aqui ocasiões nas quais o ótimo foi encontrado independente do número de vôos. Em contrapartida, a melhoria da busca em função do aumento do número de vôos ocasiona um aumento considerável do número de avaliações da função objetivo.

As Figuras 4.15 a 4.18 mostram algumas situações ocorridas nos testes realizados. Novamente ocorreram casos nos quais foram identificados mínimos locais. Tais figuras representam uma das 10 (dez) tentativas, julgada representativa dos resultados encontrados.

FIGURA 4.15 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de vôos de acasalamento.

FIGURA 4.16 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de vôos de acasalamento.

FIGURA 4.17 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de vôos de acasalamento.

FIGURA 4.18 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de vôos de acasalamento.

Número de rainhas

Quanto à influência do número de rainhas no desenvolvimento da busca, temos uma situação semelhante àquela apresentada pelo número de vôos. É claro que quanto maior for o número de rainhas, mais detalhada será a busca e consequentemente maiores serão as chances de encontrar o ótimo global. Por outro lado, temos o aumento do número de avaliações da função objetivo, como evidenciado na equação 4.17.

Visando prover certo conhecimento do comportamento da busca com diferentes números de rainhas, realizaram-se testes seguindo a mesma linha de raciocínio exposta nos testes anteriores. Utilizando número de rainhas de 10, 20, 30, 40 e 50 e fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1), geraram-se 10 (dez) populações iniciais diferentes utilizadas na minimização das funções testes.

Novamente, como exposto para a análise de vôos de acasalamento, pela equação 4.17 fica clara a impossibilidade de comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Desta forma a análise somente levará em conta a capacidade de encontrar o ponto ótimo.

Como resultado obteve-se o encontro dos ótimos globais das Funções 2, 4 e 5 nas diversas situações independente do número de rainhas. Já na Função 3 nota-se a melhora na busca do ótimo para as situações com maior número de rainhas, não deixando de existir casos em que um menor número de rainhas atingiu o ótimo global.

As Figuras 4.19 a 4.22 apresentam alguns dos resultados obtidos das simulações citadas anteriormente para cada função. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

FIGURA 4.19 – Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de rainhas.

FIGURA 4.20 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de rainhas.

FIGURA 4.21 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de rainhas.

FIGURA 4.22 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de rainhas.

Número de zangões

Dentre os parâmetros citados, o número de zangões é responsável pelo refino na busca devido à sua crescente dependência da rainha. Desta forma, ele provê convergência ao algoritmo e diversidade na busca, lembrando que não é apenas este parâmetro o único responsável pela diversidade.

Visando um conhecimento da influência da quantidade de zangões por rainha no processo de busca, realizaram-se testes semelhantes aos realizados com relação ao número de rainhas. Utilizaram-se 10 (dez) populações diferentes para 5 (cinco) números diferentes de zangões, sendo estes: 1, 2, 6, 8 e 10 zangões por rainha e mantendo fixos os demais parâmetros (ver Tabela 4.1).

Da equação 4.17 observa-se que o número de zangões influi no número de avaliações da função objetivo. Desta forma, impossibilita-se a comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Portanto, a análise será feita com base apenas na capacidade de encontrar o ponto ótimo.

Os resultados mostraram que o algoritmo conseguiu encontrar o ótimo global das Funções 2, 4 e 5 para as diversas situações expostas. Novamente, o algoritmo encontrou dificuldades em encontrar o ótimo global da Função 3, apresentando situações alternadas na efetividade de localização dos ótimos em função do número de zangões.

As Figuras 4.23 a 4.26 mostram algumas das situações expostas acima. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

FIGURA 4.23 –Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de zangões.

FIGURA 4.24 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de zangões.

FIGURA 4.25 – Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de zangões.

FIGURA 4.26 – Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de zangões.

Fator de aleatoriedade mínima do zangão

Como já mencionado anteriormente, o zangão é responsável pela convergência da busca devido à sua dependência crescente. Tentando manter um valor mínimo de diversidade nas iterações finais, introduziu-se um fator de aleatoriedade na geração dos zangões, não observado na descrição original do algoritmo (Haddad et al., 2006).

Com o intuito de verificar qual valor utilizar, procedeu-se a busca utilizando fatores de aleatoriedade de 1%, 10%, 25% e 50%, para 10 (dez) condições iniciais diferentes. Os demais parâmetros foram mantidos fixos como definido na Tabela 4.1.

Observou-se como resultado uma independência do fator de aleatoriedade, sendo que aqueles com fator 25% e 50% não apresentaram valores tão bons quanto os de 1% e 10%, visto que aqueles dificultavam a convergência da busca.

As Figuras 4.27 a 4.30 apresentam algumas das situações observadas para a minimização das Funções 2, 3, 4 e 5. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

FIGURA 4.27 –Curvas de convergência da Função 2 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

FIGURA 4.28–Curvas de convergência da Função 3 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

FIGURA 4.29–Curvas de convergência da Função 4 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

FIGURA 4.30–Curvas de convergência da Função 5 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

Número de descendentes por rainha

Observa-se do processo de busca do algoritmo que a quantidade de descendentes por rainha é uma dos parâmetros responsáveis pela diversidade. Desta forma, objetivando entender até que ponto esse parâmetro tem influência na localização do mínimo global, realizaram-se testes utilizando os seguintes números de descendentes por rainha: 2, 4, 6, 8 e 10.

Fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1) e partindo de 10 (dez) condições iniciais diferentes, realizaram-se testes de aplicação do algoritmo HBMO na minimização. A análise será feita com base apenas na capacidade de encontrar o ponto ótimo, devido ao fato do número de descendentes por rainha influir no número de avaliações da função objetivo. Desta forma, impossibilitando a comparação direta entre soluções segundo um critério de convergência.

Como resultado observou-se que nas diversas situações o algoritmo, para a minimização das Funções 2, 4 e 5, chegou bastante próximo da solução ótima, não sendo possível determinar qual o número de descendentes fornece melhores resultados. Contudo é

claro que quanto maior o numero de descendentes, mais refinada é a busca, proporcionada pela diversidade das soluções.

Quanto à minimização da Função 3, algumas das situações descritas acima não atingiram o mínimo global, ficando presas em ótimos locais. Observou-se que os melhores resultados, em termos de valor da função objetivo, estavam associados, na maioria das vezes, a valores maiores de números de descendentes, não excluindo, portanto, situações nas quais algumas destas condições alcançaram o ótimo global.

As Figuras 4.31 a 4.34 apresentam algumas das situações observadas para a minimização das Funções 2, 3, 4 e 5. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

FIGURA 4.31 –Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de descendentes por rainha.

FIGURA 4.32 – Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de descendentes por rainha.

FIGURA 4.33 –Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de descendentes por rainha.

FIGURA 4.34 –Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de descendentes por rainha.