Resumo
Resumo — — O centro de massa de um corpo é determinado pela O centro de massa de um corpo é determinado pela
distribuição de massa em um corpo ou um sistema de corpos. Para distribuição de massa em um corpo ou um sistema de corpos. Para objetos simétricos, o centro de massa está localizado no meio do objetos simétricos, o centro de massa está localizado no meio do objeto. Quando não há forças externas agindo sobre o sistema, a objeto. Quando não há forças externas agindo sobre o sistema, a velocidade do centro de massa é constante.
velocidade do centro de massa é constante.
Index Terms
Index Terms — — Centro de massa, Sistema isoladoCentro de massa, Sistema isolado
I.
I. II NTRODUÇÃO NTRODUÇÃO ENTRO
ENTRO de massa é um conceito bastante importante nade massa é um conceito bastante importante na
Física e Engenharias pois está associado ao conceito de Física e Engenharias pois está associado ao conceito de estabilidade e permite a análise do
estabilidade e permite a análise do sistema em termos do centrosistema em termos do centro de massa do sistema além de outras vantagens. Na navegação é de massa do sistema além de outras vantagens. Na navegação é um dos ingredientes para verificar a
um dos ingredientes para verificar a estabilidade da embarcaçãoestabilidade da embarcação ou comportamento de manobra da embarcação. O centro de ou comportamento de manobra da embarcação. O centro de massa é determinado em função da distribuição de massa no massa é determinado em função da distribuição de massa no corpo ou em um sistema de
corpo ou em um sistema de corpos distribuídos espacialmencorpos distribuídos espacialmente.te. Considere um corpo suspenso por uma corda como mostra a Considere um corpo suspenso por uma corda como mostra a Fig. 1.
Fig. 1. O centro de massa está localizado na reta vertical O centro de massa está localizado na reta vertical tracejada. Suspendendo o corpo em outra posição o centro de tracejada. Suspendendo o corpo em outra posição o centro de massa continua localizado na reta tracejada. Desta forma, a massa continua localizado na reta tracejada. Desta forma, a intersecção destas duas retas determina a posição do centro de intersecção destas duas retas determina a posição do centro de massa do objeto.
massa do objeto.
Fig. 1. O centro de massa está localizado na reta vertical [1]. Fig. 1. O centro de massa está localizado na reta vertical [1].
II.
II. CCENTRO DE MASSAENTRO DE MASSA
Quando um bastão é lançado no
Quando um bastão é lançado no espaço, em geral, os pontosespaço, em geral, os pontos situados no bastão giram em torno de um eixo assinalado pelo situados no bastão giram em torno de um eixo assinalado pelo ponto preto, como mostra a
ponto preto, como mostra a Fig. 2. Fig. 2. Todos os pontos do bastão Todos os pontos do bastão giram em torno deste eixo. Se o interesse no estudo é apenas giram em torno deste eixo. Se o interesse no estudo é apenas verificar o movimento de translação do
verificar o movimento de translação do bastão, basta considerarbastão, basta considerar que toda a massa do bastão está sobre o ponto preto, que toda a massa do bastão está sobre o ponto preto, considerando ele como um objeto pontual. Este ponto é considerando ele como um objeto pontual. Este ponto é
08/14/2015. 08/14/2015.
conhecido como centro de massa. conhecido como centro de massa.
Considere um sistema de referência qualquer. Se a posição Considere um sistema de referência qualquer. Se a posição de cada partícula
de cada partícula ii é denotada por é denotada por r r , a ii , a massa total do sistemamassa total do sistema formado pela N partículas é
formado pela N partículas é
1 1 N N ii ii M M mm
(1)(1)A posição do centro de massa de um objeto é definida como A posição do centro de massa de um objeto é definida como sendo sendo 1 1 N N i i ii ii MR MR mm r r
(2)(2)Fig. 2. Quando um bastão é
Fig. 2. Quando um bastão é lançado, as partes do bastão giram emlançado, as partes do bastão giram em torno de um eixo.
torno de um eixo.
O resultado pode ser generalizado para cada eixo do sistema O resultado pode ser generalizado para cada eixo do sistema de referência. Desta forma
de referência. Desta forma
1 1 1 1 1 1 N N i i ii ii cm cm N N i i ii N N i i ii ii ii cm cm cm cm m m xx x x M M m m yy y y M M z z z z M M m m
(3) (3)Na forma vetori Na forma vetorial,al,
ccm m ccm m ccm m ccmm
R
R
x x x x y
y y y z
z zz (4)(4) Observe que a velocidade do centro de massa éObserve que a velocidade do centro de massa é
A. E. A. Amorim is with the Naval Shipbuilding, College of A. E. A. Amorim is with the Naval Shipbuilding, College of Technology of Jahu, SP 17209200 BR, (e-mail: . re
Technology of Jahu, SP 17209200 BR, (e-mail: . re
Centro de massa
Centro de massa
A. E. A. Amorim,
A. E. A. Amorim,
Member, IEEE Member, IEEEC
C
1 1 N i i N i i i c i m cm M v y M v m w M w
(6)Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas é nula, então a velocidade do centro de massa é constante. Neste caso, temos um sistema isolado.
Fig. 3. Colisão de duas esferas. A linha tracejada mostra o movimento do centro de massa em cada frame que está representado
por x [2].
A Fig. 3 mostra frames de uma colisão de duas esferas. Assinalado por x, está a posição do centro de massa. Como não há forças externas na direção do movimento das esferas, o centro de massa se move com velocidade constante, o que se percebe pela linearidade da linha tracejada.
Da mesma forma, quando um foguete é lançado e explode no ar, os destroços se movimentam de tal forma que o centro de massa dos destroços mantém a mesma trajetória inicial, como pode ser visto na Fig. 4.
Fig. 4. Movimento do foguete e dos destroços. A trajetória do centro de massa não se altera [3].
III. OBJETOS LINEARES EM UMA DIMENSÃO
Quando os objetos são extensos na dimensão do comprimento, ou seja, as demais dimensões são pequenas comparadas com o comprimento, podemos definir a densidade linear do fio de comprimento como sendo dm
d
, na qual d é o elemento de comprimento do fio. Assim, , , CM CM CM dmx xd x L L yd y L zd z L
(7)de forma que a integral deve ser feita sobre o fio. Se o fio é constante e está situado sobre o eixo x (origem numa das extremidades) então 0 2 L CM xdx L x L
(8)Portanto o centro de massa em um fio uniforme está situado na sua metade.
Quando houver vários fios, de comprimentos e massa diferentes formando figuras geométricas diferentes, há um método bem simples:
Estabeleça um sistema de referência, em qualquer
lugar. Em geral escolha aquele que facilite o cálculo;
Calcule as coordenadas do centro de massa de cada
fio;
Considere que cada fio é uma partícula de massa
. Calcule o centro de massa.
IV. OBJETOS CURVOS EM UMA DIMENSÃO
Considere o fio formando o arco de uma curva, delimitado pelo ângulo , como mostra a Fig. 5.
Fig. 5. Arco de curva.
De fato, como a curva está sobre o arco de circunferência de raio r , então
cos .
x r
(9)Uma pequena variação do arco, implica em uma variação de ângulo d e de comprimento do arco d . Portanto
d
rd . Assim 2 cos sin 0 CM CM r d r x rd y
(10) V. PLACA RETANGULARConsidere um retângulo de lados a e b. Portanto
0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 a b cm a b cm a x xdxdy xdx d y ab ab b
y ydxdy dx ydy
ab ab
(11)Portanto o centro de massa de um retângulo está situado no meio da sua placa. Uma placa pode ser decomposta em placas menores com figuras geométricas conhecidas. Desta forma o cálculo do centro de massa segue o padrão das partículas: a área faz o papel da massa.
Isto é válido quando a distribuição da massa na placa é uniforme. Esta regra pode ser estendida a todos os objetos simétricos, como pode ser visto na Fig. 6.
Fig. 6. Centro de massa para alguns objetos simétricos [3].
O centro de massa pode não estar localizado necessariamente sobre o corpo.
Fig. 7. O centro de massa pode estar localizado fora do objeto [3].
VI. TRIÂNGULO
Considere um triângulo retângulo, como mostrado na Fig. 8. O triângulo pode ser dividido em pequenas tiras de comprimento dx e altura y. A área do triângulo é
2 ab
S
(12)Para o cálculo do centro de massa as expressões ficam
2 cm cm Sx xdS xydx Sy ydS y dx
(13)Fig. 8. Cálculo do centro de massa do triângulo retângulo. Por semelhança de triângulos,
x y
a
b (14)Portanto isolando y e substituindo nas equações,
2 0 2 2 0 a cm a cm b Sx x dx a b Sy x dx a
Portanto, 2 3 2 3 cm cm x a y b
(15)1 2 n
S
S Sonde ( , ) x yi i é o centro de gravidade de cada triângulo. VIII. CENTRO DE MASSA DO TRAPÉZIO
Considere um trapézio ABCD, na qual o lado AB é uma das bases. Trace o segmento de reta BD de forma que ficam dois triângulos ABD e DCB . Sobre cada um deles é determinado o centro de massa, pela intersecção das medianas. Sejam G e1 G2 os centros de massa destes triângulos. Ache em cada base o ponto médio e trace um segmento de reta unindo estes pontos médios. Logo a intersecção deste segmento de reta com o segmento de reta G G1 2 localiza o centro de massa do trapézio.
IX. CENTRO DE MASSA DO SETOR CIRCULAR
Considere o segmento circular simétrico em relação ao eixo x, de forma que o ângulo que é compreendido é 2 .
Faça a divisão da área em áreas infinitesimais. A área de cada retângulo é dS rdrd
(17) Portanto CM CM xrdrd x S yrdrd y S
(18) Porém cos sin x r y r
(19) de forma que 2 0 cos 2 sin 3 0 R CM CM d r dr x R S y
(20) pois 2 0 R S d rdr R
(21)X. CENTRO DE MASSA DA ÁREA DO SEGMENTO PARABOLOIDE
Considere um paraboloide delimitado pelo eixo x, cuja
2 x y h
(23) então 0 2 0 3 4 1 3 2 10 CM CM xydx x S y dx h y S
(24)XI. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste texto foi estudado o conceito de centro de massa e calculado o centro de massa para alguns objetos regulares. Para objetos simétricos, o centro de massa situa-se no meio do objeto. Se as forças externas que agem sobre o sistema têm resultante nula, o centro de massa se move com velocidade constante.
BIBLIOGRAFIA
[1] A. L. Kimball, A COLLEGE TEXT-BOOK OF PHYSICS , 2nd ed. New York, USA: HENRY HOLT
AND COMPANY, 1917.
[2] B. Crowell,Simple nature, 2006th ed. Fullerton,
California, USA: Benjamim Crowell, 2006.
[3] H. D. Young, College physics, 9th. ed. San Francisco,
C Centro de massa, 1 M Massa total, 1 S Sistema isolado, 2 V Velocidade do centro de massa, 1
