DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA ELETROMAGNÉTICA PLANA
UNIFORME, COM FOCO MATEMÁTICO, CONSIDERANDO AS
EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO.
Marcelo Antonio Pedroso [Iniciação Científica Voluntária] 1, Guilherme Barbosa Leme [Iniciação Científica Voluntária]2, Darney Jabs [Iniciação Científica Voluntária] 3, Rafael Bertolini Frigori [Co-orientador] 4, Vanderlei Galina [Co-orientador] 5, Jocelaine Cargnelutti
[Orientadora] 6 1
Acadêmico de Engenharia Eletrônica.
2
Acadêmico de Engenharia Eletrônica
3
Acadêmico de Engenharia Eletrônica
4
Professor do Curso de Física
5
Professor do Curso de Matemática
6 Professora do Curso de Matemática
Campus Toledo
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Rua Cristo Rei, 19, CEP 85902-490, Toledo - PR - Brasil.
engeletronicmarcelo@gmail.com, guibleme@gmail.com, darneyjabs@hotmail.com, frigori@utfpr.edu.br, vanderleigalina@utfpr.edu.br, jocelainecargne@utfpr.edu.br
Resumo – A finalidade deste artigo é explorar as leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo, que são as bases de todos os fenômenos eletromagnéticos. A partir deste estudo, formular-se-á uma sequência conveniente de propriedades que culminarão na equação da onda eletromagnética plana uniforme. As propriedades abordadas envolvem muitos conceitos físicos e matemáticos. No tocante deste trabalho, poder-se-á notar o constante envolvimento com as equações de Maxwell no vácuo e as equações diferenciais parciais. A equação da onda é uma equação diferencial parcial de segunda ordem com característica hiperbólica. Esta caracterização é fundamental no momento da resolução da equação da onda.
Palavras-chave: Ondas Eletromagnéticas; Equações de Maxwell; Equação Diferencial Parcial.
Abstract – The purpose of this article is to explore the fundamental laws of electricity and magnetism, which are the basis of all electromagnetic phenomena. From this study, it will formulated a sequence of convenient properties that will culminate in the equation of uniform electromagnetic plane wave. The properties discussed involve many physical and mathematical concepts. In this paper, it may be noted the constant involvement with Maxwell's equations in vacuum and partial differential equations. The wave equation is a partial differential equation of second order with hyperbolic characteristic. This characterization is crucial when solving the wave equation.
Keywords: Electromagnetic Waves; Maxwell's equations; Partial Differential Equation.
As leis fundamentais que governam o comportamento de campos elétricos e magnéticos são as equações de Maxwell. Em sua teoria unificada do eletromagnetismo, Maxwell demonstrou que campos elétricos e magnéticos dependentes do tempo satisfazem uma equação da onda [1].
As ondas eletromagnéticas, inicialmente estudadas por Heinrich Hertz, eram um impasse até James Clerk Maxwell unificar todos os conhecimentos relacionados à eletricidade e ao magnetismo em quatro equações. Além disso, também reconheceu a existência da corrente de deslocamento, marco principal para o desenvolvimento das vertentes da engenharia na área eletricista [2].
As quatro equações de Maxwell incluem as leis fundamentais antes descobertas: as leis de Gauss, de Ampère e da indução da Faraday. O trabalho de Maxwell tem muitas faces. Uma delas é colocar as referidas leis na linguagem matemática. Maxwell também reconheceu que a lei de Ampère não vale em situações dinâmicas e deu-lhe uma nova formulação que tem validade irrestrita. Correntes não estacionárias podem levar a campos elétricos que variam no tempo, e Maxwell postulou que estes campos elétricos variáveis induzem campos magnéticos. Isso fez com que Maxwell modificasse a lei de Ampère, transformando-a em uma lei que vale para regimes dinâmicos. Outro ponto importante é que Maxwell estudou cuidadosamente o conjunto de suas quatro leis e percebeu que elas abrangem toda a teoria do eletromagnetismo. Ele demonstrou que a luz é uma onda eletromagnética, uma onda em que os campos elétrico e magnético propagam-se no espaço, oscilando e induzindo-se mutuamente. O estado da arte da teoria do eletromagnetismo permite afirmar que nenhum fenômeno eletromagnético jamais foi descoberto que não obedeça àquele conjunto de leis [3].
Em geral, ondas são um meio de transportar energia ou informação [2]. A equação da onda eletromagnética é muito importante para o estudo de transmissores de rádio, sinais de TV.
METODOLOGIA
A linha que norteia o trabalho é a dedução da equação da onda. Como é sabido para que se possa chegar à dedução da equação onda é necessária uma boa bagagem de cálculo e física mais especificamente cálculo diferencial e integral, equações diferenciais e eletromagnetismo.
Equações diferenciais parciais. Se uma equação contém derivadas parciais de uma ou mais
variáveis, que sejam dependentes de duas ou mais variáveis independentes, esta equação é chamada de equação diferencia parcial (EDP) [4], dentre essas equações se têm as equações de segunda ordem, no qual é o foco deste trabalho, pois, a equação da onda é classificada como EDP de segunda ordem.
Classificação das equações diferenciais parciais. Uma equação diferencial parcial linear de
segunda ordem em duas variáveis independentes tem a forma:
(1) A EDP pode ser classificada em três tipos:
Elípticas:
Parabólicas:
Sabendo que a equação de onda eletromagnética unidimensional que se propaga em é:
(2)
Para classificar esta equação de onda tem-se de encontrar os coeficientes e da equação de onda e ver qual é a sua classificação, sendo que esta classificação serve para que se possa fazer a escolha dos métodos de resolução da EDP, olhando para a equação (1) e (2) se pode ver que e , onde é a velocidade da luz ( ⁄ ), então, resolvendo :
( ) (3)
Pode-se observar que a equação da onda eletromagnética tem característica hiperbólica e por este motivo ela pode ser resolvida usando o método das características e também o método da separação de variáveis, onde as duas funções do método de separação de variáveis, serão escritas em séries de Fourier. Neste trabalho, apenas será deduzido à equação da onda e em um projeto posterior será feita a sua resolução.
Equações de Maxwell. Para o estudo das ondas eletromagnéticas os campos elétrico e
magnético devem ser dinâmicos, ou seja, e [5], são quatro as equações de Maxwell, sendo elas, Lei de indução de Faraday, Lei de Ampère-Maxwell, Lei de Gauss e Lei de Gauss para o magnetismo, neste trabalho serão tomadas as equações de Maxwell no vácuo.
Lei de indução de Faraday. De acordo com os experimentos de Faraday, um campo
magnetostático não produz um fluxo de corrente, mas um campo magnético variável no tempo produz uma tensão induzida (denominada força eletromotriz ou, simplesmente fem) em um circuito fechado, o que causa um fluxo de corrente. Faraday descobriu que a fem induzida, (volts), em qualquer circuito fechado, é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético enlaçado pelo circuito. A partir da Lei de Faraday se pode chegar a uma das quatro equações de Maxwell, a chamada lei de indução de Faraday no vácuo:
(4)
Esta equação mostra que o campo elétrico variável no tempo é não conservativo, devido ao fato de que o rotacional não é nulo. O sinal negativo é devido a Lei de Lenz que destaca o fato de que o sentido de fluxo de corrente no circuito é tal que o campo magnético produzido pela corrente induzida se opõe ao campo magnético original [5].
Lei de Ampère-Maxwell. A lei Ampère diz que:
(5)
Onde é o vetor densidade de corrente.
Porém, a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é identicamente zero, portanto:
(6) Mas a equação de continuidade diz que que é , onde é a densidade volumétrica de carga, dessa forma se pode ver que a divergência do rotacional não é zero, Maxwell percebeu isso e adicionou um termo a equação (5), esse termo ficou conhecido como densidade de corrente de deslocamento e chegou a conclusão que a lei de
Ampère deveria ser reformulada [6].
) (7)
Agora aplicando novamente a divergência do rotacional:
(8)
Então:
(9)
A descoberta da corrente de deslocamento foi uma das maiores contribuições de Maxwell, sem ela a propagação de ondas eletromagnéticas não poderia ter sido prevista [5].
A corrente de deslocamento é expressa por:
(10)
Substituindo a equação (10) em (7) se obtêm:
(11)
Neste trabalho será considerado e , assim a equação (11) fica expressa como:
(12)
Esta é a equação de Maxwell denominada Lei de Ampère-Maxwell no vácuo [6].
Lei de Gauss. A lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer
superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície.
(13)
Esta é mais uma das equações de Maxwell conhecida como Lei de Gauss no vácuo [5].
Lei de Gauss para o magnetismo. A lei de Gauss para o magnetismo no vácuo sugere que
as linhas de campo magnético são sempre contínuas.
(14)
Esta é a quarta e última equação de Maxwell [5]. Assim Maxwell resumiu todas as leis do eletromagnetismo em quatro equações em sua teoria unificada do eletromagnetismo.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para que se consiga chegar à equação de onda eletromagnética consideram-se as equações de Maxwell, no vácuo, numa região onde não há cargas nem correntes:
(15) (16) (17) (18)
Essas são as equações de Maxwell no vácuo: (15) Lei de Ampère-Maxwell, (16) Lei da Indução de Faraday, (17) Lei de Gauss, (18) Lei de Gauss para magnetismo. Neste trabalho serão adotadas soluções tão simples quanto seja possível, que dependam de uma única coordenada, neste caso , e do tempo , sendo assim:
(19)
E a equação da onda eletromagnética unidimensional terá a forma:
(20)
Para um vetor , o divergente e o rotacional desse vetor são: (21) [ ] [ ] [ ] [ ] (22)
Campos elétrico e magnético são campos vetoriais desta forma se pode os representar como:
(23)
(24)
Da mesma forma que aplicado o divergente e o rotacional para o vetor será aplicado para , , , , de modo que as equações de Maxwell ficam:
( ) (25) (26) (27) (28)
As equações (27) e (28) mostram que:
(29)
De forma que e teriam de ser constantes (Campo eletrostático e campo magnetostático), não se tomará soluções estáticas nesse trabalho desse modo será considerado
.
As equações (25) e (26) resultam em dois sistemas independentes:
{ (30) { (31)
De modo que se procure uma solução aonde se chegará à equação de onda eletromagnética aplicam-se as derivadas parciais em z e t, ou seja, , no conjunto de equações (30):
{ (32) { (33) Resultando em: { (34) { (35)
Resolvendo os sistemas (34) e (35) resultará em:
(36)
(37)
O mesmo vale para o conjunto de equações (31) de modo que se terá ( , ) e não ( ). Para que (36) e (37) satisfaçam à equação de onda eletromagnética unidimensional (20) ainda falta encontrar o termo . É sabido que:
√ (38)
Então:
(39)
Substituindo (39) em (36) e (37) se chega às equações de onda unidimensional para os campos magnético e elétrico.
(41) As equações (40) e (41) formam a seguinte onda plana:
Figura 1. 1 – Onda eletromagnética plana. Fonte: Nussenzveig (2004). Este tipo de onda se chama onda plana devido ao fato de que sua frente de onda é plana [6].
CONCLUSÕES
No desenvolvimento deste trabalho, verificou-se a ligação entre campos elétricos e magnéticos. Os campos elétrico e magnético variáveis criam um ao outro para manter a propagação da onda. Além disso, percebeu-se uma situação contraditória por causa da descontinuidade da corrente, no entanto, Maxwell resolveu este problema postulando um termo adicional, chamado de corrente de deslocamento. A descoberta da corrente de deslocamento foi uma das maiores contribuições de Maxwell, sem ela a propagação de ondas eletromagnéticas não poderia ter sido prevista. Com a abordagem dos fatos acima e de outros conceitos físicos e matemáticos chegou-se na expressão para a equação da onda eletromagnética.
Utilizando-se o fato de que equação da onda é uma equação diferencial parcial de segunda ordem com característica hiperbólica, far-se-á em trabalho posterior, a resolução da equação da onda utilizando o método das características e também o método de separação de variáveis, onde as funções são escritas utilizando séries de Fourier.
REFERÊNCIAS
[1] CHAVES, Alaor. Física Básica: Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: LTC, 2012. [2] SADIKU, Matheus N.O. Elementos de Eletromagnetismo, Porto Alegre: Bookman, 3ª
Edição, 2000.
[3] HALLIDAY, David; RESNICK; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, V2, V3 e V4, Rio de Janeiro: LTC, 8ª Edição, 2011.
[4] ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, V1 e V2, São Paulo: Thompson Learning, 3ª Edição, 2001.
[5] SADIKU, Matheus N.O. Elementos de Eletromagnetismo, Porto Alegre: Bookman, 3ª Edição, 2000.
[6] NUSSENZVEIG, Moysés. Curso de física básica 2: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor, São Paulo: Edgard Blücher, 2002.
