Exercícios sobre trigonometria em triângulos

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Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva – SP

Curso de Licenciatura em Matemática – 3º ano – Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira –– fabricio@fafica.br

Exercícios sobre trigonometria em triângulos

1. Dentre os ternos (a, b, c) de números inteiros listados, com a < b < c, qual(is) dele(s) poderiam ser lados de triângulo(s) retângulo(s)? a) (5, 12, 13) b) (8, 15, 17) c) (7, 24, 25) d) (12, 35, 37) e) (11, 60, 61) f) (20, 21, 29) g) (9, 40, 41)

Observe que todos os ternos satisfazem a Recíproca do Teorema de Pitágoras, portanto, todos poderiam ser lados em triângulos retângulos. Os dois números menores representariam as medidas dos catetos e o maior número, a medida da hipotenusa.

2. Dentre os ângulos agudos dos triângulos retângulos do exercício anterior, qual possui o maior seno?

Em cada um dos triângulos retângulos da questão anterior há dois ângulos agudos. Definindo o sen 𝑖 =cateto oposto 𝑖

hipotenusa , 𝑖 ∈ {1,2}

e calculando os respectivos valores, obtemos os resultados aproximados da Tabela 1. Tabela 1: Senos, cossenos e tangentes

Cateto 1 Cateto 2 Hipotenusa Seno 1 Seno 2

5 12 13 0,385 0,923 8 15 17 0,471 0,882 7 24 25 0,280 0,960 12 35 37 0,324 0,946 11 60 61 0,180 0,984 20 21 29 0,690 0,724 9 40 41 0,220 0,976

Portanto, o maior seno é

60

61≅ 0,984

3. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm?

Observe que os lados do triângulo verificam a recíproca do “Teorema de Pitágoras”, ou seja, 62_{+ 8}2 _{= 10}2

Portanto, esse triângulo é retângulo com hipotenusa 10, com um dos seus ângulos agudos tendo seno igual a 6

10,

cosseno igual a 8

10, tangente igual a 6

8. O outro possui seno igual a 8 10, cosseno igual a 6 10 e tangente igual a 8 6.

4. Um triângulo tem lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm. Outro triângulo tem lados medindo 9 cm, 12 cm e 15 cm. Os ângulos desses triângulos são iguais?

Pela Recíproca do Teorema de Pitágoras, temos que ambos são triângulos retângulos, pois, 32+ 42 = 52 e 92+ 122 = 152

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No primeiro triângulo, um dos ângulos agudos (𝛼₁) tem seno igual a 3 5, cosseno igual a 4 5 e tangente igual a 3 4 e o

outro (𝛽1) possui seno igual a 4

5, cosseno igual a 3

5 e tangente igual a 4

3. Já no segundo, teremos os mesmos valores

de senos, cossenos e tangente para os ângulos 𝛼₂ e 𝛽₂, respectivamente. Portanto, nos dois triângulos teremos ângulos retos, 𝛼1 = 𝛼2 e 𝛽1= 𝛽2.

5. Utilizando os dados aproximados da tabela a seguir, calcule o que se pede. Arco Sen Cos Tg

15º 0,26 0,97 0,27 20º 0,34 0,93 0,37 30º 0,50 0,87 0,58 40º 0,64 0,77 0,84 57º 0,84 0,54 1,54 80º 0,98 0,17 5,67

a) Determine o valor de 𝐴𝐶 = 𝑥 b) Determine o valor de 𝐴𝐵 = 𝑥 c) Determine o valor de 𝐵𝐷 = 𝑥 + 𝑦

Retirando os dados da tabela, obtemos:

sen 57° = 0,84 = 𝑥 100→ 𝑥 = 84 cos 80° = 0,17 = 𝑥 200→ 𝑥 = 34 tan 20° = 0,36 = 𝑥 300→ 𝑥 = 108 tan 40° = 0,84 = 𝑦 300→ 𝑦 = 252 Portanto, 𝐵𝐷 = 108 + 252 = 360

6. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares?

Observe que podemos construir um triângulo retângulo com hipotenusa coincidindo com a escada rolante (um segmento de reta que a represente pelo comprimento), um ângulo da base da escada com o solo medindo 30º e estamos em busca do valor de cateto oposto (a altura “h” entre os andares), portanto, usaremos o seno de 30º.

sen 30° = ℎ 10→ 1 2= ℎ 10→ ℎ = 5 metros

7. Uma pessoa na margem de um rio vê sob o ângulo de 60º uma torre na margem oposta. Quando ela se afasta 30 metros esse ângulo diminui para 30º. Qual é a largura do rio?

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Sejam 𝑥 a largura do rio e ℎ a altura da torre. De início, temos que tan 60° =ℎ

𝑥, ou seja, ℎ = 𝑥√3. Após o

afastamento encontramos que tan 30° = ℎ

30+𝑥, isto é, ℎ = (30+𝑥)√3 3 . Por fim, 𝑥√3 =(30 + 𝑥)√3 3 , donde 𝑥 = 15 metros.

8. (Exame de Acesso – PROFMAT 2014) Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 200 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro: 30º. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou tg 30º = 0,57. Se a altura do teodolito é 1,60 m, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo?

a) 352,48 b) 125,60 c) 118,20 d) 115,60 e) 114,00

Indicando por 𝑥 o cateto oposto ao ângulo de 30º, temos que tan 30° = 𝑥

200. Como ele usou tan 30° = 0,57, segue

que 𝑥

200= 0,57, e daí 𝑥 = 0,57 ∙ 200 = 114. Portanto a altura do morro é dada por 114 + 1,60 = 115,60 m.

9. (Exame de Acesso – PROFMAT 2014) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm. A soma das tangentes dos ângulos agudos é aproximadamente:

a) 1 b) 1,3 c) 2 d) 2,5 e) 2,8

Os catetos são 5 e 12 (pelo Teorema de Pitágoras). As tangentes são 5 12⁄ e 12 5⁄ e sua soma é 169 60⁄ ≅ 2,8

10. “Resolver um triângulo” é determinar as medidas dos seus três lados e dos seus três ângulos internos. “Resolva o triângulo” a seguir.

Pela soma dos ângulos internos de um triângulo temos que 𝛼 = 180° − 70° − 42° = 68°. Pela Lei dos Senos temos:

𝑥 sen 70°= 9 sen 42° → 𝑥 0,94= 9 0,67→ 𝑥 = 12,63 𝑦 sen 68° = 9 sen 42°→ 𝑦 0,93= 9 0,67→ 𝑦 = 12,49

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Pela Lei dos Cossenos temos no primeiro triângulo que:

72 = 32 + 𝑥2 − 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 ∙ cos 60° 49 = 9 + 𝑥2_{− 6 ∙ 𝑥 ∙ 0,5}

𝑥2− 3𝑥 − 40 = 0

𝑥′ _{= 8 ou 𝑥}′′ _{= −5 (não convém)}

Aplicando a Lei dos Senos no segundo triângulo temos: 𝑥 sen 120°= 100 sen 45°→ 𝑥 √3 2 = 100 √2 2 → 𝑥 =100√3 √2 = 100√6 2 = 50√6 ≅ 122,47

12. (PUC – RS 2010) Dois operários suspendem um balde por meio de cordas, conforme mostra o esquema a seguir:

São dados: sen 30° = cos 60° =1

2 e sen 60° = cos 30° = √3

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Sabe-se que o balde, com seu conteúdo, tem peso 50N, e que o ângulo formado entre as partes da corda no ponto de suspensão é 60º. A corda pode ser considerada como ideal (inextensível e de massa desprezível). Quando o balde está suspenso no ar, em equilíbrio, a força exercida por um operário, medida em newtons, vale:

a) 50 b) 25 _c) 50

√3 d) 25√2 e) 0

A força resultante de 50N é a soma dos vetores A e B que cada operário aplica na corda. Como a força que cada um deles aplica é a mesma, devemos então adotar que A = B. Usando a Lei dos Cossenos temos que:

𝐹2 _{= 𝐴}2_{+ 𝐴}2_{+ 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ cos 60° → 50}2 _{= 2𝐴}2_{+ 2 ∙ 𝐴}2_{∙ 0,5 → 50}2 _{= 2𝐴}2_{+ 𝐴}2 _→ → 502 _{= 3𝐴}2 _{→ 𝐴}2 ₌50 2 3 → 𝐴 = 50 √3 13. DESAFIO !

Num fórum da internet encontra-se a seguinte dúvida:

“Oi galera ! Tava estudando aqui lei dos senos e cossenos e fiquei com uma dúvida. Porque na matemática a Lei dos

Cossenos é, 𝑉_𝑟2 = 𝑉₁2+ 𝑉₂2− 2 ∙ 𝑉₁∙ 𝑉₂∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 e na Física ela é adaptada para, 𝑉_𝑟2 = 𝑉₁2+ 𝑉₂2+ 2 ∙ 𝑉₁∙ 𝑉₂∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼. Eu não consegui entender o porque de na Física ser mais e na Matemática

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Quando queremos somar os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ utilizamos a regra do paralelogramo.

Para determinar o módulo de 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ devemos aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo 𝐴𝐶𝐷. Veja, 𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2+ 𝐶𝐷2− 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐷 ∙ cos 𝐴𝐶̂𝐷

Mas perceba que 𝐴𝐶̂𝐷 = 180° − 𝑥. Assim temos:

𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2+ 𝐶𝐷2− 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐷 ∙ cos(180° − 𝑥) Já que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo temos 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵, e assim:

𝐴𝐷2 _{= 𝐴𝐶}2_{+ 𝐴𝐵}2_{− 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐵 ∙ cos(180° − 𝑥)}

Como cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥 ficamos com:

𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2+ 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐵 ∙ cos 𝑥 Perceba que a Lei dos Cossenos é utilizada da mesma forma que na Matemática.