Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1 A GEOMETRIA FRACTAL NA SALA DE AULA – UMA EXPERIÊNCIA
Adriana Belmonte Bergmann UNIVATES
nicolini@certelnet.com.br
Cristiane Antonia Hauschild Nicolini Universidade de Santa Cruz do Sul - UNISC UNIVATES
adauberg@certelnet.com.br
Resumo: Este artigo apresenta uma experiência desenvolvida em escolas municipais do
Vale do Taquari – RS, com alunos do ensino fundamental, na tentativa de refletir sobre “qual a forma dos objetos da natureza?”; para tanto, foi necessário estudar Fractais. Justifica-se a escolha deste tema para incluir uma das descobertas da Ciência que até o momento é pouco explorada no ensino fundamental, a Geometria Fractal, e também para revisar conceitos relacionados ou aplicados à Geometria, tais como semelhança, perímetro, área, volume, seqüências, entre outros, além de incluir atividades lúdicas. O trabalho, além de contribuir para a motivação dos alunos, possibilitou a resolução de problemas complexos, e também focou a prática da busca de padrões e regularidades formulando generalizações em situações diversas, em especial em contextos numéricos e geométricos.
Palavras-chave: Geometria fractal; Metodologia; Ensino de matemática. INTRODUÇÃO
Diante das perspectivas de um mundo em constante mudança, a escola precisa preparar o aluno para “aprender a aprender e saber pensar” (Demo, 2000, p. 9). Para tanto, é preciso transformar o aluno em um ser questionador e interlocutor, capaz de buscar, de pesquisar o que lhe é necessário, capaz de intervir e modificar a sua realidade, ou seja, transformar-se em um “sujeito capaz de aprender, inventar e criar “em” e “durante” o seu caminho” (MORIN, CIURANA e MOTTA, 2003, p. 18).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 25),
é papel da escola desenvolver uma educação que não dissocie escola e sociedade, conhecimento e trabalho e que coloque o aluno ante desafios que lhe permitam desenvolver atitudes de responsabilidade, compromisso, crítica, satisfação e reconhecimento de seus direitos e deveres.
Para desenvolver no aluno essas atitudes é preciso criar um ambiente de aprendizagem que as propicie, e para isso, é necessário utilizar diferentes metodologias,
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fazendo com que o aluno realmente construa conhecimentos, ao invés de receber informações prontas. Além de diferentes metodologias é necessário repensar os conteúdos trabalhados, pois a escola precisa acompanhar os avanços tecnológicos e introduzir na sua proposta pedagógica as novas descobertas das Ciências.
O advento posterior de uma multiplicidade de sistemas matemáticos – teorias matemáticas – evidenciou, por outro lado, que não há uma via única ligando a Matemática e o mundo físico. Os sistemas axiomáticos euclidiano e hiperbólico na Geometria, equivalentes sob o ponto de vista da consistência lógica, são dois possíveis modelos da realidade física. Além disso, essa multiplicidade amplia-se, nos tempos presentes, com o tratamento cada vez mais importante dos fenômenos que envolvem o acaso – a Estatística e a Probabilidade – e daqueles relacionados com as noções matemáticas de caos e de conjuntos fractais.
(PCN, 1998, p. 25)
Assim, se entende que a aula de Matemática deve favorecer um ambiente de transformação do aluno em um sujeito de seu aprendizado, pois, segundo Morin (2004), a educação deverá estimular a inteligência geral através da curiosidade, instigando a capacidade de interrogar e de problematizar para realizar a ligação dos conhecimentos.
A Matemática possui aplicabilidade em todas as áreas do conhecimento e isto precisa ser evidenciado pelo professor. A beleza e o senso estético das formas que nascem da Matemática precisam ser apresentados aos educandos. Os alunos devem ser motivados pela curiosidade por novas descobertas e pelos desafios de novas propostas.
Levando-se em consideração que a Geometria Fractal “é uma área ainda em efervescente desenvolvimento, mais voltada ao crescimento do que ao aprofundamento e na qual novas descobertas e criações são anunciadas com novos enfoques e novas aplicações” (EBERSON, 2004, p. 15), pretende-se refletir, através deste trabalho, sobre a inclusão de atividades de exploração da Geometria Fractal, na disciplina de Matemática, como uma alternativa capaz de auxiliar o aluno a “aprender a aprender e saber pensar”, bem como despertar o seu interesse para que a sua aprendizagem seja significativa fazendo com que participe ativamente das aulas, pois “o papel do professor é o de provocar avanços no aluno que não aconteceriam de forma espontânea” (SANTOS, 2003, p. 145).
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É importante salientar a aplicabilidade do estudo dos fractais na Biologia (dinâmica de crescimento de populações), na Informática (técnicas de compressão de imagens e criação de imagens virtuais), na Economia (previsões de bolsas de valores), na Astronomia (previsão de trajetórias de estrelas e planetas) e na Meteorologia (previsão do tempo). Também já existem aplicações de fractais na Música e na Medicina (descrição de batimentos cardíacos e estrutura dos pulmões) (SANTOS, 2005).
A quantidade de conceitos que podem ser trabalhados explorando-se as estruturas fractais é extensa, sendo que essa quantidade aumenta à medida que aumenta o nível de conhecimento matemático dos alunos, indo desde a familiarização inicial com a Geometria até a exploração de Números Complexos.
É importante salientar que a Geometria Fractal está
intimamente ligada a uma ciência chamada CAOS. As estruturas fragmentadas, extremamente belas e complexas dessa geometria, fornecem uma certa ordem ao Caos, razão de ser, às vezes considerada como a sua linguagem, que busca padrões dentro de um sistema por vezes aparentemente aleatório. Ambas, Geometria Fractal e Caos, se desenvolveram principalmente pelo rápido aprimoramento das técnicas computacionais; a primeira teve e tem como poderoso propulsor o seu inegável apelo estético, daí sua entrada no domínio das artes.
(BARBOSA, 2002, p. 9)
Portanto, reitera-se a importância de incluir esta nova área da Matemática no currículo escolar desde o ensino fundamental, de forma que os alunos observem e manipulem objetos bastante complexos, onde existe certa ordem e onde padrões ou regras relativamente simples produzem formas bastante complicadas. Entende-se que o ensino da Geometria dos Fractais poderá gerar a colaboração de diversos professores em um trabalho interdisciplinar que permita a compreensão de diversos fenômenos e formas naturais. Assim, seria possível por meio do trabalho interdisciplinar, ao fazer a conexão entre a Matemática e as outras disciplinas, romper a visão fragmentada e estanque das ciências que é imposta ao educando devido à estrutura formal de conteúdos da escola.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 4 AS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
A seguir, relata-se a seqüência utilizada, envolvendo a construção e exploração de fractais exatos, com alunos de 7ª e 8ª séries do ensino fundamental de escolas municipais do Vale do Taquari – RS.
Inicialmente foi proposta aos alunos uma atividade que auxilia a percepção das limitações da Geometria Euclidiana. Tal atividade foi iniciada, incentivando os alunos a observarem objetos na sala de aula, no pátio da escola e de outras áreas livres, e associá-los às formas geométricas euclidianas conhecidas. Estes dados foram organizados numa tabela, a partir da qual fez-se uma exploração aprofundada, questionando os alunos se todas as formas da natureza podem ser associadas ou construídas com base nas figuras geométricas euclidianas.
Nesta atividade percebeu-se a dificuldade de identificar e associar as formas da natureza, uma vez que não representam exatamente uma forma geométrica já conhecida, partindo-se então para o questionamento, qual a forma dos objetos da natureza? A partir deste questionamento foi possível refletir sobre a afirmação de Mandelbrot (1977), que é o iniciador dos estudos sobre fractais:
Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, e uma casca de árvore é lisa, tampouco um feixe de luz viaja em linha reta. (...) Eu afirmo que muitos padrões da Natureza são tão irregulares e fragmentados, que, se comparados com a geometria tradicional, exibem, não somente um grau mais alto, mas um nível de complexidade completamente diferente.
(MANDELBROT apud EBERSON, 2004, p. 15)
A seguir, foram exploradas diversas imagens fractais apresentadas no retro projetor. Após esta exploração os alunos conheceram um pouco da Geometria Fractal e suas propriedades.
A motivação para o estudo de fractais vem a partir da necessidade de compreender as formas da natureza, porém nas atividades exploradas construímos fractais exatos, pois os aleatórios exigem, de certa forma, o uso da tecnologia, que não estava disponível.
A primeira construção foi a da árvore fractal. Neste fractal, trabalhou-se com o conceito de ângulo, a sua construção, bem como com o conceito de segmento de reta,
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além de revisar a potenciação, usada no cálculo do número de segmentos. A atividade também serviu para trabalhar a álgebra como generalizadora da aritmética, na tentativa de calcular o número de segmentos para a n-ésima iteração.
Essa generalização foi uma atividade inicialmente difícil para os alunos, pois a facilidade que eles apresentavam era de ver, por exemplo, que a quantidade de segmentos da próxima iteração era o dobro da atual, porém quando generalizamos, buscamos uma relação válida para qualquer iteração. Para chegar nessa generalização, em algumas turmas foi preciso expressar cada uma das quantidades de segmentos em forma de potência, até conseguir uma alternativa que servisse para todas.
Depois da primeira atividade foram exploradas, como atividades
complementares, partindo de uma forma unidimensional, o Conjunto de Cantor e a Curva de Koch.
Partindo de uma forma bidimensional, passou-se a construção de uma estrutura fractal um pouco mais complexa: o “Triângulo de Sierpinski” – Inventado por Waclaw Sierpinski, matemático polonês, em 1915.
Para a construção do “Triângulo de Sierpinski” são necessários conhecimentos sobre construção de triângulo eqüilátero, região triangular, ponto médio e segmento; além de trabalhar com a idéia de semelhança de triângulos. Após a construção deste fractal, os alunos foram convidados a explorarem o mesmo a partir dos seguintes questionamentos:
Quantas regiões triangulares você tira em cada etapa?
Existe uma regra / fórmula que possa ser utilizada para calcular o total de regiões triangulares e / ou o número de regiões triangulares retiradas?
Quantas regiões triangulares restam em cada etapa? O que elas representam? Resposta dos alunos: A nova área da figura.
Existe uma regra / fórmula que calcula quantas regiões triangulares restam em cada iteração?
Para responder as questões anteriores, os alunos organizaram os dados numa tabela e retomaram as operações com frações, a potenciação, bem como tiveram que observar padrões nas seqüências para encontrar uma fórmula que representasse a situação. Salienta-se que esta oportunidade de generalizar, buscar regularidades e padrões, é fundamental para o posterior trabalho com a Álgebra.
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Como já foi comentado, as atividades contribuíram para relembrar conteúdos que já haviam sido estudados, tais como, potenciação, frações, construção de triângulos, construção de ângulos, bem como para introduzir a álgebra através da concepção generalizadora da aritmética, além de motivar os alunos a participarem das aulas, pois estavam estudando algo novo, diferente e que de certa forma os faziam refletir sobre as formas que encontravam no dia-a-dia.
O mais difícil de tudo isso foi a escrita das regularidades na linguagem algébrica, o que se confirmou na fala dos alunos “para descobrir as regras/fórmulas foi preciso muito raciocínio e muita reflexão”.
Para aliar o estudo da geometria fractal às dobraduras, foi explorada a construção de alguns cartões fractais. O primeiro cartão construído foi o Cartão
Fractal “Degraus centrais”(Adaptado de SIMMT, E. DAVIS, B. 1998).
Os alunos foram desafiados a analisarem o número de degraus de cada iteração, bem como o número total de degraus, preenchendo uma tabela e analisando os resultados obtidos, além de estudar a relação que existe entre este cartão e a Torre de Hanói.
Também foi construído e explorado o Cartão de Sierpinksi.
Para dar continuidade ao estudo construímos o “Triângulo de Sierpinski” partindo de uma forma tridimensional, o tetraedro. Assim, aliamos o estudo de fractais à geometria Espacial.
Explorou-se com os alunos a construção do tetraedro fazendo a análise do que acontece com o seu volume em cada iteração.
Para encerrar a unidade didática, se construiu a Esponja de Menger. Na construção da esponja foi feita apenas uma iteração, pela grande quantidade de cubos que são necessários já na primeira iteração (20). Além da exploração da construção do cubo, analisou-se sua área (tende ao infinito) e seu volume (tende a zero).
Após o desenvolvimento das atividades, os alunos foram estimulados a criarem regras e construírem desenhos e cartões fractais. Os trabalhos elaborados pelos alunos foram muito interessantes.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pode-se afirmar, a partir do trabalho relatado, que os alunos passaram a participar e a se interessar pelas aulas de Matemática. Como afirma Ferreira, (2003, p. 154), “assim como se pode conduzir o cavalo para junto à água, mas não se pode obrigá-lo a beber, também não se pode obrigar o indivíduo a aprender”, mas se pode motivá-lo para tal, e essas atividades fizeram com que os alunos se motivassem e se interessassem pela Matemática, pois envolviam reflexões do cotidiano.
Eles afirmaram que gostaram de estudar a Geometria Fractal porque nunca tinham pensado nem pesquisado sobre o assunto, também gostaram de desenhar, de trabalhar com dobraduras e de fazer várias descobertas associadas a fractais exatos. Afirmaram que nunca tinham pensado que os objetos da natureza são extremamente irregulares, diferentes daqueles que normalmente se estuda na escola.
Apesar de complicadas, as construções dos cartões fractais também foram momentos de descontração, porém, exigiram criatividade, calma e paciência. Os alunos afirmaram que nunca tinham visto algo tão legal na Matemática como os cartões, mas ao mesmo tempo disseram que foi difícil criar um cartão fractal.
Acredita-se que incentivar os alunos a criarem cartões fractais, ou mesmo apenas desenhar fractais, significa trabalhar com a criatividade do aluno. São atividades deste tipo que poderiam ser incluídas na escola, com o intuito de despertar a curiosidade e a criatividade do aluno.
Também é importante salientar que as atividades foram realizadas em grupo para que os alunos interagissem, pois segundo “Vygotsky, a aprendizagem vai depender do desenvolvimento prévio, não somente da criança, mas também do colega com quem ela está interagindo” (SANTOS, 2003, p. 139).
Com este trabalho conclui-se que a Geometria Fractal é uma alternativa para o professor de Matemática conquistar a participação e o interesse dos alunos. Também é uma alternativa para atualizar os conteúdos escolares, utilizando descobertas das ciências mais atuais.
Com este trabalho também se pretende incentivar os professores a explorarem a Geometria Fractal juntamente com a Geometria Euclidiana, para que os alunos passem a observar e relacionar as diferentes formas, incluindo as da natureza. As atividades que
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fazem parte desta proposta podem ser uma alternativa para outros professores iniciarem o estudo da Geometria Fractal com seus alunos, bem como servir de sugestão e incentivo para que criem outras, pois existem inúmeras outras atividades que podem ser desenvolvidas pelos professores.
Assim, pretendeu-se, a partir desta proposta, mostrar ao aluno que nem todas as formas são construídas a partir de cones, esferas ou paralelepípedos, e sim, que existem diferentes estruturas, algumas bem complexas, que fazem parte do nosso mundo, e que as formas da natureza podem ser compreendidas através do estudo da Geometria Fractal.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula. Belo Horizonte, Autêntica, 2002.
DEMO, P. Pesquisa e Construção de Conhecimento: metodologia científica no caminho de Habermas. 4. ed. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 2000.
EBERSON, R.R. Um estudo sobre a construção de fractais em ambientes computacionais e suas relações com transformações geométricas no plano. 2004. 177f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) PUC. São Paulo. Disponível em http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/linha_3_acad.html
FERREIRA, B.W. A aprendizagem na perspectiva humanista: Carl R. Rogers. In: LA ROSA, J. Psicologia e Educação: o significado do aprender. 7.ed. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2003.
MORIN, E. A cabeça bem feita: repensar a reforma, reformar o pensamento. Trad. Eloá Jacobina. 9.ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 2004
MORIN, E. CIURANA, E. R. MOTTA, R. D. Educar na era planetária: o pensamento complexo como método de aprendizagem no erro e na incerteza humana. Trad. Sandra Trabucco Valenzuela. São Paulo, Cortez, Brasília, DF: UNESCO, 2003.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
SANTOS, B.S. Vygotsky e a teoria histórico-cultural. In: LA ROSA, J. Psicologia e Educação: o significado do aprender. 7.ed. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2003.
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SANTOS, C. Fractais no ensino não universitário. In:___________Fractais e Sistemas de funções Iteradas. Disponível em: <http://victoriamx.com/fractales/Menuword.htm>. Acessado em 10/01/2005.
SIMMT, E. DAVIS, B. Fractal Cards: A Space for Exploration in Geometry and Discrete Mathematics. The Mathematics Teacher. Vol.91, n. 2, p. 102-108, fev. 1998.
