Exercícios de Teoria da Computação Computabilidade

(1)

Licenciatura em Engenharia Inform´atica e de Computadores - LEIC Licenciatura em Engenharia de Redes de Computadores -LERC

Exerc´ıcios de Teoria da Computa¸

c˜

ao

Computabilidade

Seçcão de Lógica e Computa¸cão Departamento de Matemática

Instituto Superior T´ecnico 2007/2008

(2)

1 Programa¸

c˜

ao Mathematica

1. Defina em Mathematica as seguintes fun¸c˜oes/predicados

(a) somaNat que recebe um natural n e devolve a soma de todos os naturais at´e n

(b) somaLista que recebe uma lista de naturais e devolve a soma dos seus elementos

(c) prodLista que recebe uma lista de naturais e devolve o produto dos seus elementos

(d) retiraNeg que recebe uma lista de inteiros w e devolve a lista resul-tante de retirar de w todos os n´umeros negativos

(e) escolhePares que recebe uma lista de inteiros w e devolve a lista dos elementos pares de w

(f) conta que recebe uma lista de inteiros w e um inteiro k e devolve o n´umero de vezes que k ocorre em w

(g) contemPrimoQ que recebe uma lista de naturais w e devolve True se e só se w contém pelo menos um número primo

(h) apaga que recebe uma lista w e um n´umero inteiro k e devolve a lista que resulta de se apagar de w todas as ocorrˆencias de k

(i) permutacao que recebe duas listas w1 e w2 e devolve True se w2 for uma permuta¸c˜ao de w1 e False caso contr´ario

(j) intercala que recebe duas listas w1 e w2 e devolve a lista resultante de intercalar os elementos de w1 e w2

(k) repete que recebe uma lista w e devolve uma lista em que o primeiro elemento de w aparece uma vez, o segundo elemento duas vezes e assim por diante

(l) primalg que recebe um inteiro k e devolve o primeiro algarismo de k

(m) prodcart que recebe duas listas

w = {a1, a2, ..., am} e v = {b1, b2, ..., bn}

e devolve a lista {{a1, b1}, ..., {a1, bn}, ..., {am, b1}, ..., {am, bn}}

(n) prodMatriz que recebe uma matriz de inteiros e devolve o produto de todos os seus elementos

(o) mediacpares que recebe uma matriz de inteiros e devolve a m´edia dos elementos das colunas pares

(p) contaPrimosePares que recebe uma matriz de naturais e devolve um par {x, y} em que x é o número de posi¸cões da matriz que têm um elemento primo e y é o número de posi¸cões da matriz que têm um elemento par

(3)

(q) conta que recebe uma matriz de naturais e devolve um par {x, y} em que x é o número de colunas da matriz que não contêm primos e y é o maior número primo que ocorre na matriz (y deve ser 0 caso não existam primos)

(r) mediascolunas que recebe uma matriz de inteiros e devolve uma lista com tantos elementos quantos as colunas da matriz em que cada posi¸cão k contém a média dos elementos da coluna k

(s) contaparescolunas que recebe uma matriz de inteiros e devolve uma lista com tantos elementos quantos as linhas da matriz em que cada posi¸cão k contém o número de elementos pares que existem na coluna k

(t) listasprimos que recebe uma lista de listas de naturais e devolve uma lista com todas as listas que tenham pelo menos um n´umero primo

(u) triangularSuperiorQ que recebe uma matriz quadrada de números inteiros e determina se a matriz é triangular superior (isto é, todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos)

(v) triangularInferiorQ que recebe uma matriz quadrada de números inteiros e determina se a matriz é triangular superior (isto é, todos os elementos acima da diagonal principal são nulos)

(w) diagonalQ que recebe uma matriz quadrada de n´umeros inteiros e determina se ´e uma matriz diagonal

(x) sufixoQ que recebe como argumento uma lista w de listas de números inteiros e determina se cada lista em w é sufixo de todas as listas anteriores (recorde que se diz que w1 é prefixo de w2 se existe w3 tal que Join[w1,w3]==w2)

(y) decrescenteQ que recebe como argumento uma lista w de listas de n´umeros inteiros e determina se cada lista est´a ordenada por ordem decrescente

(z) prodmatrizes que recebe duas matrizes de inteiros e devolve o re-spectivo produto, caso exista.

2. Assuma a seguinte representa¸c˜ao de afd’s em Mathematica: {lista1,lista2,lista3,e,lista4} em que

− lista1, lista2 e lista4 s˜ao listas de strings representando, re-spectivamente, o conjunto dos estados, o alfabeto e o conjunto dos estados finais

− e ´e uma string que representa o estado inicial

− lista3 é uma lista de listas de strings do tipo {e1,s,e2}; cada uma destas listas representa uma transi¸cão (e1 é o estado de partida, e2 é o estado de chegada e s é o s´ımbolo do alfabeto).

(4)

Defina em Mathematica as seguintes fun¸cões/predicados: (a) delta que dado um afd calcula a sua fun¸cão transi¸cão

(b) deltatotalQ que dado um afd devolve True se a sua fun¸cão de transi¸cão é total e False caso contrário (pode usar a fun¸cão delta e a fun¸cão prodcart do exerc´ıcio 1m)

(c) deltatotalQ usando agora apenas a fun¸c˜ao delta

(d) deltastar que dado um afd calcula a sua fun¸cão transi¸cão estendida (pode usar a fun¸cão delta)

(e) aceitaQ que dado um afd e uma palavra sobre o alfabeto (string) devolve True se a palavra é aceite pelo afd e False caso contrário (f) prodQ que dado um afd e um estado devolve True se o estado é

produtivo e False caso contr´ario

(g) acessQ que dado um afd e um estado devolve True se o estado ´e acess´ıvel e False caso contr´ario

(h) utQ que dado um afd e um estado devolve True se o estado é útil e False caso contrário

(i) cjeprods, cjeacess, cjeuts e cjeinuts que dado um afd e um es-tado devolvem, respectivamente, o conjunto dos eses-tados produtivos, acess´ıveis, ´uteis e in´uteis

(j) afdcomplementar que dado um afd constrói o afd complementar (k) afdproduto que dados dois afd’s constrói o respectivo afd produto. 3. Assuma a seguinte representa¸cão de afnd’s em Mathematica:

{lista1,lista2,lista3,e,lista4}

em que os diferentes elementos são semelhantes aos da representa¸cão de afd’s acima referida, mas neste caso lista3 é uma lista de listas de strings do tipo {e1,s,cje} em que e1 é um estado, s é um s´ımbolo do alfabeto ou e cje é uma lista de estados.

Defina em Mathematica as seguintes fun¸cões/predicados: (a) delta que dado um afnd calcula a sua fun¸cão transi¸cão

(b) fechoeps que dado um afnd e um estado calcula o fecho- do estado (c) deltastarnd que dado um afnd (sem movimentos-) calcula a sua

fun¸cão de transi¸cão estendida (pode usar a fun¸cão delta)

(d) deltastarnde que dado um afnd calcula a sua fun¸cão de transi¸cão estendida (pode usar as fun¸cões delta e fechoeps)

(e) aceitaQ que dado um afnd e uma palavra sobre o alfabeto (string) devolve True se a palavra é aceite pelo afd e False caso contrário (f) afndToafd que dado um afnd (sem movimentos-) constrói um afd

(5)

(g) afdsoma que dados dois afnd A1 e A2 constr´oi um afnd A tal que

LA= LA1 ∪ LA2

(h) afdconc que dados dois afnd A1 e A2 constr´oi um afnd A tal que

LA= LA1LA2

(i) afdfechoKleene que dados um afnd A1 constr´oi um afnd A tal

que LA= (LA1)

∗_.

4. Assuma a representa¸cão de afnds em Mathematica apresentada anterior-mente e a seguinte representa¸cão de gramáticas regulares em Mathemat-ica:

{lista1,lista2,lista3,s} em que

− lista1 e lista2 s˜ao listas de strings representando, respectiva-mente, o conjunto dos s´ımbolos auxiliares e o alfabeto

− s ´e uma string que representa o s´ımbolo inicial

− lista3 é uma lista de listas de strings do tipo {le,ld}; cada uma destas listas representa uma produ¸cão (le é lado esquerdo e ld é o lado direito).

Defina em Mathematica a fun¸c˜ao afndTogr que dado um afnd _{A constr´}_oi

uma gram´atica regular G tal que LA= LG.

5. Defina em Mathematica as fun¸cões seguintes usando apenas atribui¸cões do tipo x=y, x=0, x=x+1, composi¸cão sequencial (;), composi¸cões alternativas do tipo If[x==y,prog] e composi¸cões iterativas do tipo While[x==y,prog] em que x e y são nomes, e prog volta a ser constru´ıdo apenas com ex-pressões do tipo indicado:

(a) menorQ, que dados dois inteiros não negativos x e y devolve True se x é menor que y e False caso contrário.

(b) menorigualQ, que dados dois inteiros não negativos x e y devolve True se x é menor ou igual que y e False caso contrário.

(c) parQ, que dado um inteiro não negativo x devolve True se x é par e False caso contrário.

(d) imparQ, que dado um inteiro não negativo x devolve True se x é impar e False caso contrário.

(e) soma, que dados dois inteiros n˜ao negativos x e y devolve a sua soma. (f) diferenca, que dados dois inteiros n˜ao negativos x e y devolve x − y

se x ≥ y e 0 caso contr´ario.

(g) produto, que dados dois inteiros n˜ao negativos x e y devolve o seu produto.

(h) quociente, que dados dois inteiros n˜ao negativos x e y devolve o quociente da divis˜ao inteira de x por y.

(6)

(i) potencia, que dados dois inteiros não negativos x e y devolve xy, usando também atribui¸cões do tipo x=y+z.

(j) raiz, que dados dois inteiros não negativos x e y devolve a raiz de ´ındice y inteira de x, usando também atribui¸cõesdo tipo x=y+z e

condi¸c˜oes do tipo x<y.

(k) expoentefact, que dados dois inteiros positivos x e y devolve o expoente do y-ésimo primo na factoriza¸cão prima de x se x e y, usando também atribui¸cões do tipo x=y*z, condi¸cões do tipo x<y e as fun¸cões Mod e PrimeQ.

(l) log, que dados dois inteiros positivos x e y devolve o logaritmo inteiro de x na base y se y é maior que 1 e 0 caso contrário, usando também atribui¸cões do tipo x=y*z e condi¸cões do tipo x<y.

(m) multiploQ, que dados dois inteiros não negativos x e y devolve True se x é múltiplo de y e False caso contrário, usando também atribui¸cões do tipo x=y+z.

(n) divisorQ, que dados dois inteiros positivos x e y devolve True se x ´e divisor de y e False caso contr´ario:

i. usando tamb´em atribui¸c˜oes do tipo x=y-z

ii. usando também atribui¸cões do tipo x=y+z e condi¸cões do tipo x<y

iii. usando também atribui¸cões do tipo x=y*z e condi¸cões do tipo x<y

(o) qperfeitoQ, que dado um natural devolve True se é quadrado per-feito e False caso contrário; neste caso pode usar a fun¸cão Mod. (p) primoQ, que dado um inteiro positivo devolve True se é primo e

False caso contr´ario; neste caso pode usar a fun¸c˜ao Mod.

(q) primentresiQ, que dados dois inteiros positivos devolve True se são primos entre si e False caso contrário, usando também atribui¸cões do tipo x=y+z e condi¸cões do tipo x<y.

(r) mdc, que dados dois inteiros positivos devolve o seu máximo divisor comum, usando também atribui¸cões x=y-z e condi¸cões x<y.

(s) mmc, que dados dois inteiros positivos devolve o seu menor múltiplo comum, usando também atribui¸cões x=y*z e condi¸cões x<y.

6. Mostre que são computáveis as seguintes fun¸cões (recorde que I é o con-junto das expressões Mathematica irredut´ıveis)

(a) g : I2→ I tal que se x e y são inteiros positivos g(x, y) é o expoente do x-ésimo primo na decomposi¸cão de y em números primos e, caso contrário, é a string “argumentos inválidos”

(b) f : I → I tal que se x é um inteiro positivo então f (x) é uma lista (sem repeti¸cões) de listas {p, e}, com p primo e e 6= 0 o expoente de p na decomposi¸cão de x em números primos, e caso contrário é a string “argumento inválido”

(7)

(c) f : I → I tal que se m é uma lista inteiros então f (m) é o número de primos que ocorre nessa lista e, caso contrário, é a string “argumento inválido”

(d) f : I → I tal que se m é uma lista então f (m) é a lista que resulta de eliminar os elementos repetidos de m e, caso contrário, é a string “argumento inválido”

(e) f : I → I tal que se m é uma matriz de inteiros então f (m) é o produto de todos os seus elementos e, caso contrário, é a string “argumento inválido”

(f) f : I → I tal que se m é uma matriz de inteiros então f (m) é número de zeros que ocorrem em m e, caso contrário, é a string “argumento inválido”

(g) f : I → I tal que se m é uma matriz então f (m) é número de strings que ocorrem em m e, caso contrário, é a string “argumento inválido” (h) g : I2→ I tal que se x e y são listas

x = {a1, a2, ..., am} e y = {b1, b2, ..., bn}

g(x, y) ´e a lista {{a1, b1}, ..., {a1, bn}, ..., {am, b1}, ..., {am, bn}} e, caso

contrário, é a string “argumentos inválidos”

(i) g : I2 _{→ I tal que se x ´}_{e uma lista de listas de inteiros e k ´}_{e um}

inteiro então g(x, k) é a lista que contém todas as listas em x nas quais ocorre k e, caso contrário, é a string “argumentos inválidos” (j) f : I → I tal que se x é um afd (representado com no exerc´ıcio 2)

então f (x) é a lista dos estados produtivos de x e, caso contrário, é a string “argumento inválido”.

7. Mostre que são computáveis as seguintes fun¸cões (recorde que I é o con-junto das expressões Mathematica irredut´ıveis)

(a) c : I2 → I tal que c(x, y) = 1 se x e y são inteiros não negativos e x é múltiplo de y e c(x, y) = 0 nos outros casos

(b) c : I2 → I tal que c(x, y) = 1 se x e y s˜ao inteiros positivos e x ´e divisor de y e c(x, y) = 0 nos outros casos

(c) c : I3 → I tal que c(x, y, z) = 1 se x, y e z são inteiros positivos e z é o maior divisor comum a x e a y e c(x, y, z) = 0 nos outros casos (d) c : I3 → I tal que c(x, y, z) = 1 se x, y e z são inteiros positivos e z

é o menor múltiplo comum a x e a y e c(x, y, z) = 0 nos outros casos. (e) c : I → I tal que c(x) = 1 se x é uma lista de inteiros pares e

c(x) = 0 nos outros casos

(f) c : I → I tal que c(s) = 1 se s ´e uma string e c(s) = 0 nos outros casos

(g) c : I → I tal que c(s) = 1 se s ´e uma string de letras c(s) = 0 nos outros casos

(8)

(h) c : I → I tal que c(x) = 1 se x ´e um natural e ´e capicua e c(x) = 0 nos outros casos

(i) c : I → I tal que c(m) = 1 se m ´e uma matriz diagonal de inteiros e c(m) = 0 nos outros casos

(j) c : I → I tal que c(m) = 1 se m ´e uma matriz identidade e c(m) = 0 nos outros casos

(k) c : I → I tal que c(m) = 1 se m ´e uma matriz triangular superior de inteiros e c(m) = 0 nos outros casos

(l) c : I2 → I tal que c(s, I) = 1 se I é um alfabeto (lista em que cada elemento é uma letra ou um d´ıgito) e s é uma palavra sobre I e c(x, y) = 0 nos outros casos

(m) c : I2 → I tal que c(x, y) = 1 se x e y s˜ao listas e todos os elementos de x ocorrem em y e c(x, y) = 0 nos outros casos.

(n) c : I2 _{→ I tal que c(x, y) = 1 se x e y s˜}_{ao listas e x ´}_{e uma permuta¸}_c˜_ao

y e c(x, y) = 0 nos outros casos.

2 Decidibilidade e semidecidibilidade

1. Mostre que s˜ao decid´ıveis os conjuntos seguintes: (a) o conjunto N atP ar ⊆ I dos naturais pares (b) o conjunto N atImp ⊆ I dos naturais ´ımpares (c) o conjunto N atP rim ⊆ I dos naturais primos

(d) o conjunto N atQP ⊆ I dos naturais que s˜ao quadrados perfeitos (e) o conjunto M ult ⊆ I2 em que

M ult = {(x, y) ∈ I2: x e y são naturais e x é múltiplo de y} (f) o conjunto Div ⊆ I2 _{em que}

Div = {(x, y) ∈ I2: x e y s˜ao naturais e x ´e divisor de y} (g) o conjunto M DC ⊆ I3 em que

M DC = {(x, y, z) ∈ I3_{: x, y e z s˜}_{ao naturais}

e z ´e o maior divisor comum a x e a y} (h) o conjunto M M C ⊆ I3 em que

M M C = {(x, y, z) ∈ I3 : x, y e z s˜ao naturais

e z ´e o menor m´ultiplo comum a x e a y} (i) o conjunto CP rim ⊆ I2 em que

CP rim = {(x, y) ∈ I2 : x e y são naturais e x, y são coprimos} (recorde-se que x e y são coprimos, ou primos entre si, se o maior divisor comum a x e y é 1)

(j) o conjunto ListCP ar ⊆ I das listas de inteiros de comprimento par (k) o conjunto StringI ⊆ I2 em que

(9)

(l) o conjunto SubList ⊆ I2 em que SubList = {(x, y) ∈ I2 : x e y s˜ao listas

e todos os elementos de x ocorrem em y} (m) o conjunto M Q ⊆ I das matrizes quadradas de inteiros

(n) o conjunto M T S ⊆ I das matrizes triangulares superiores de inteiros (o) o conjunto M T I ⊆ I das matrizes triangulares inferiores de inteiros (p) o conjunto M D ⊆ I das matrizes diagonais de inteiros

(q) o conjunto Cap ⊆ I em que Cap = {x ∈ I : x é natural x é capicua} (r) o conjunto I das expressões Mathematica irredut´ıveis.

2. Assuma a representa¸cão de afd’s em Mathematica referida no exerc´ıcio 2 da seçcão 1.

(a) Mostre que ´e decid´ıvel o conjunto Af d ⊆ I das listas que constituem uma representa¸c˜ao de um afd

(b) Seja D ∈ I um afd. Mostre que s˜ao decid´ıveis os seguintes conjuntos: i. o conjunto L(D) ⊆ I em que

L(D) = {x ∈ I : x é uma String e x é aceite por D} ii. o conjunto EstP rd(D) ⊆ I dos estados produtivos de D iii. o conjunto EstAc(D) ⊆ I dos estados acess´ıveis de D iv. o conjunto EstInt(D) ⊆ I dos estados inúteis de D

v. o conjunto EstDst(D) ⊆ I2 dos pares de estados distingu´ıveis de D

vi. o conjunto Eqv(D) ⊆ I dos afd’s equivalentes a D

(c) o conjunto {(w, D) ∈ I2 : w é uma String, D é um afd e w é aceite por D} 3. Mostre que todo o conjunto finito é decid´ıvel.

4. Mostre que a classe dos conjuntos decid´ıveis (dum mesmo tipo) ´e fechada para as seguintes opera¸c˜oes:

(a) interseçcão (b) reunião

(c) complementa¸c˜ao.

5. Mostre que a classe dos conjuntos decid´ıveis é fechada para a opera¸cão binária de produto cartesiano.

6. Mostre que todos os conjuntos referidos no exerc´ıcio 1 são semidecid´ıveis. 7. Mostre que todos os conjuntos referidos no exerc´ıcio 1 são co-semidecid´ıveis. 8. Mostre que todo o conjunto decid´ıvel é semidecid´ıvel.

(10)

10. Mostre que um conjunto A ⊆ In é decid´ıvel se e só se é semidecid´ıvel e é co-semidecid´ıvel.

11. Mostre que se A ⊆ I2 _´_{e decid´ıvel ent˜}_{ao o conjunto}

{x ∈ I : existe y ∈ I tal que (x, y) ∈ A} ´e semidecid´ıvel.

12. Considere o conjunto {E ∈ I : avalia(E[0])↓}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

13. Considere o conjunto {E ∈ I : φE(0)↓}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

14. Considere o conjunto {E ∈ I : avalia(E[0])↑}. Mostre que este conjunto ´e co-semidecid´ıvel.

15. Seja E ∈ I. Mostre que ´e semidecid´ıvel o conjunto {F ∈ I : avalia(F[E])↓}. 16. Seja E ∈ I. Mostre que ´e co-semidecid´ıvel o conjunto

{F ∈ I : avalia(F[E])↑}.

17. Considere o conjunto {E ∈ I : avalia(E[E])↓}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

18. Considere o conjunto {E ∈ I : existe F ∈ I tal que avalia(E[F])↓}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

19. Considere o conjunto {E ∈ I : existe F ∈ I tal que avalia(E[F])↑}. Mostre que este conjunto ´e co-semidecid´ıvel.

20. Considere o conjunto {(E, F) ∈ I2 : avalia(E[F])↓}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

21. Considere o conjunto {(E, F) ∈ I2 _{: φE(F)↓}. Mostre que este conjunto ´e} semidecid´ıvel.

22. Considere o conjunto {(E, F) ∈ I2 _{: φE(F)↑}. Mostre que este conjunto ´e} co-semidecid´ıvel.

23. Considere o conjunto {E ∈ I : existe F ∈ I tal que avalia(E[F])=0}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

24. Considere o conjunto {E ∈ I : existe F ∈ I tal que φE(F) = 0}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

25. Seja F ∈ I. Mostre que ´e semidecid´ıvel o conjunto {E ∈ I : existe X ∈ I tal que avalia(E[X])=F}.

26. Considere o conjunto {(E1, E2, E3) ∈ I3 : avalia(E1[E2])=E3}. Mostre que este conjunto ´e semidecid´ıvel.

27. Mostre que o conjunto A ⊆ In é semidecid´ıvel se e só se o seu comple-mentar é cosemidecid´ıvel.

(11)

28. Mostre que o conjunto A ⊆ I é semidecid´ıvel se e só se é vazio ou admite uma enumera¸cão (aplica¸cão sobrejectiva de IN para A) computável. 29. Mostre que um conjunto A ⊆ In _´_{e semidecid´ıvel se e s´}_{o se ´}_{e dom´ınio de}

alguma fun¸c˜ao comput´avel.

30. Mostre que um conjunto A ⊆ I é semidecid´ıvel se e só se é contradom´ınio de alguma fun¸cão computável.

31. Mostre que um conjunto X ⊆ I ´e semidecid´ıvel se e s´o se existe um conjunto R ⊆ I2 decid´ıvel tal que X = {x ∈ I : existe y ⊆ I tal que (x, y) ∈ R}.

32. Mostre que todo o conjunto A ⊆ In semidecid´ıvel infinito tem um sub-conjunto infinito decid´ıvel.

33. Mostre que a classe dos conjuntos semidecid´ıveis (dum mesmo tipo) ´e fechada para as seguintes opera¸c˜oes:

(a) interseçcão (b) reunião.

34. Mostre que a classe dos conjuntos semidecid´ıveis é fechada para a opera¸cão binária de produto cartesiano.

35. Seja C ⊆ In_{. Mostre que C e I}n_{\C s˜}_{ao ambos decid´ıveis se e s´}_{o se forem}

ambos semidecid´ıveis.

36. Seja D ⊆ In um conjunto decid´ıvel e C ⊆ D. Mostre que C e D\C s˜ao ambos decid´ıveis se e s´o se forem ambos semidecid´ıveis.

37. Prove que os seguintes predicados sobre os naturais s˜ao decid´ıveis relati-vamente aos naturais:

(a) P (x) = “x ´e par” (b) P (x) = “x ´e ´ımpar”

(c) P (x) = “x é quadrado perfeito” (d) P (x) = “x é número primo” (e) P (x, y) = “x é menor que y” (f) P (x, y) = “x é múltiplo de y” (g) P (x, y) = “x é divisor de y”

(h) P (x, y) = “x e y s˜ao primos entre si”

(i) P (x, y, z) = “z é o maior divisor comum a x e a y” (j) P (x, y, z) = “z é o menor múltiplo comum a x e a y”.

38. Prove que os seguintes predicados sobre matrizes de inteiros s˜ao decid´ıveis relativamente `as matrizes de inteiros:

(12)

(a) P (m) = “m ´e uma matriz quadrada”

(b) P (m) = “m ´e uma matriz triangular superior” (c) P (m) = “m ´e uma matriz diagonal”

(d) P (m) = “m ´e uma matriz identidade” (e) P (m1, m2) = “ a matriz m2 ´e inversa de m1”

(f) P (m1, m2) = “ a matriz m2 ´e a transposta de m1”.

39. Prove que os seguintes predicados sobre I s˜ao decid´ıveis: (a) P (E) = “E ´e um inteiro”

(b) P (E) = “E ´e uma lista”

(c) P (F, X) = “X ´e um ponto fixo de F”.

40. Sejam P1 e P2predicados sobre C ⊆ I com a mesma aridade e decid´ıveis.

Mostre que

(a) P1∧ P2 ´e um predicado decid´ıvel.

(b) P1∨ P2 ´e um predicado decid´ıvel.

(c) ¬ P1 ´e um predicado decid´ıvel.

3 Indecidibilidade

1. Mostre que existe um conjunto semidecid´ıvel que n˜ao ´e decid´ıvel.

2. Considere o conjunto das expressões Mathematica irredut´ıveis E tal que avalia(E[0])↓. Mostre que este conjunto não é decid´ıvel.

3. Seja E uma expressão Mathematica irredut´ıvel. Considere o conjunto das expressões Mathematica irredut´ıveis F tais que avalia(F[E])↓. Mostre que este conjunto não é decid´ıvel.

4. Considere o conjunto das expressões Mathematica irredut´ıveis E para as quais existe uma expressão Mathematica irredut´ıvel F tal que avalia(E[F])↓. Mostre que este conjunto não é decid´ıvel.

5. Considere o conjunto dos pares de expressões Mathematica irredut´ıveis (E1,E2) tais que avalia(E1[E2])↓. Mostre que este conjunto não é de-cid´ıvel.

6. Considere o conjunto das expressões Mathematica irredut´ıveis E para as quais existe uma expressão Mathematica irredut´ıvel F tal que avalia(E[F])=0. Mostre que este conjunto não é decid´ıvel.

7. Considere o conjunto dos triplos de expressões Mathematica irredut´ıveis (F,X,E) tais que avalia(F[X])=E. Mostre que este conjunto não é decid´ıvel. 8. Use o teorema de Rice para mostrar que não são decid´ıveis os seguintes

(13)

(a) {F ∈ I : φ1_F(0) ↓} (b) {E ∈ I : φ1_E(E) ↓}

(c) {F ∈ I : φ1_F(E) ↓} em que E ∈ I

(d) {F ∈ I : existe X ∈ I tal que φ1_F(X) ↓} (e) {(F, E) ∈ I2: φ1_F(E) ↓}

(f) {F ∈ I : existe X ∈ I tal que φ1_F(X) = 0}

(g) {F ∈ I : existe X ∈ I tal que φ1_F(X) = E} em que E ∈ I (h) {(F, E) ∈ I2 _{: existe X ∈ I tal que φ}1

F(X) = E} (i) {F ∈ I : φ1_F= φ1_E} em que E ∈ I

(j) {(F, E) ∈ I2 : φ1_F= φ1_E}

9. Mostre que não é semidecid´ıvel o complementar do conjunto das ex-pressões Mathematica irredut´ıveis E tais que avalia(E[0])↓.

10. Mostre que não é semidecid´ıvel o complementar do conjunto dos pares de expressões Mathematica irredut´ıveis (E1,E2) tais que avalia(E1[E2])↓. 11. Mostre que não é semidecid´ıvel o complementar do conjunto das

ex-press˜oes Mathematica irredut´ıveis E para as quais existe uma express˜ao Mathematica irredut´ıvel X tal que avalia(E[X])=0.

12. Prove que os seguintes predicados sobre expressões Mathematica irre-dut´ıveis são semidecid´ıveis mas não são decid´ıveis.

(a) P (F) = “avalia(F[0])↓”

(b) P (E1, E2) = “avalia(E1[E2])↓”

(c) P (E) = “existe uma express˜ao Mathematica irredut´ıvel X tal que avalia(E[X])=0”.