Anota¸c˜oes sobre inteiros

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Anota¸c˜oes sobre inteiros

Rodrigo Carlos Silva de Lima

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Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

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Sum ´ario

1 N ´umeros inteiros 3

1.1 Constru¸c˜ao dos inteiros . . . 3

1.1.1 Adi¸c˜ao . . . 4

1.1.2 Multiplica¸c˜ao . . . 5

1.2 Rela¸c˜ao de ordem em Z. . . 6

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4 SUM ´ARIO

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Cap´ıtulo 1

N ´umeros inteiros

Esse texto ainda não se encontra na sua versão final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸cões informais. Sugestões para melhoria do texto, corre¸cões da parte matemática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com.

1.1 Constru ¸c ˜ ao dos inteiros

O objetivo nesse texto é construir os números inteiros por meio dos números naturais e mostrar que ele possui estrutura de anel comutativo com unidade.

m

Defini ¸c ˜ao 1. Definimos o conjunto E como E=N×N, E ´e definido como o produto cartesiano de N com N.

m

Defini ¸c ão 2. Definimos uma rela¸cão em E, da seguinte maneira, dados(a, b) e (c, d) em E, dizemos que eles estão relacionados pela rela¸cão ∼ ssea+d=b+c, isto é

(a, b)∼(c, d)⇔a+d=b+c

que podemos memorizar pela regra, a soma dos extremos ´e igual a soma dos

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6 CAP´ITULO 1. N ´UMEROS INTEIROS

meios, sendo a e d extremos , b e c meios.

$

Corol ´ario 1. Vale (a, a)∼(b, b) pois a+b=a+b.

$

Corol ´ario 2. (a, b)∼(a+c, b+c) pois a+b+c=b+a+c.

b

Propriedade 1. A rela¸cão ∼ é uma rela¸cão de equivalência em E.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

• Vale a propriedade reflexiva (a, b) ∼(a, b) pois a+b=b+a, pois a adi¸c˜ao ´e comutativa em N.

• Vale a propriedade sim´etrica, se (a, b) ∼ (c, d) ent˜ao (c, d) ∼ (a, b) pois da primeira tem-se a+d=b+c que implica d+a=c+b e da´ı (c, d)∼(a, b) .

• Vale a propriedade transitiva, (a, b)∼(c, d) e (c, d)∼(e, f) ent˜ao (a, b)∼(e, f).

Da primeira rela¸c˜ao temos a+d = b+c e da segunda c+f = d+e, temos que mostrar que a+f = b+e. Somando +e na primeira identidade tem-se a + (d+e)

| {z }

c+f

= b+c+e, da´ı a+c +f = b+c+e, pela lei do corte segue a+f=b+e que implica (c, d)∼(e, f) como quer´ıamos demonstrar. Vale então que ∼ é uma rela¸cão de equivalência.

m

Defini ¸c ˜ao 3. Simbolizamos por (a, b) a classe de equivalˆencia de (a, b)

(a, b) ={(x, y)∈E|(x, y)∼(a, b)}. O conjunto quociente de E por ∼ ser´a indicado por Z, assim

Z=E/∼=N×N/∼. Em (a, b) chamaremos a e b de coordenadas de (a, b).

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1.1. CONSTRU ¸C ˜AO DOS INTEIROS 7

1.1.1 Adi ¸c ˜ ao

m

Defini ¸c ão 4 (Adi¸cão). Definimos a adi¸cão em Z por (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

b

Propriedade 2. (Z,+) ´e um grupo abeliano.

• Existe elemento neutro, que ´e denotado por (0,0) = ou 0⁰, pois (a, b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a, b).

• A adi¸c˜ao ´e comutativa

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d) + (a, b).

• A adi¸c˜ao ´e associativa

((a, b) + (c, d)) + ((e, f)) = (a+c, b+d) + ((e, f)) = (a+c+e, b+d+f) (a, b) + ((c, d) + ((e, f))) = (a, b) + (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f).

• Um elemento (a, b) está na classe de (0,0) sse a+0 = b+0, a = b, isto é, as coordenadas devem ser iguais, (a, a) está na classe de (0,0). Existe um elemento inverso para (a, b), tal elemento é (b, a), pois

(a, b) + (b, a) = (a+b, b+a) = (0,0)

a+b=b+a pois a adi¸cão é comutativa. Temos então um grupo comutativo (Z,+)

m

Defini ¸c ˜ao 5. Definimos (b, a) := −(a, b).

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m

Defini ¸c ˜ao 6 (Multiplica¸c˜ao). Definimos o produto de dois elementos de Z por

(a, b).(c, d) = (a.c+b.d, a.d+b.c).

Definindo assim uma opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao.

b

Propriedade 3. A multiplica¸cão é comutativa, possui elemento neutro, é associativa e distributiva.

• A multiplica¸c˜ao ´e comutativa, pois

(a, b)(c, d) = (a.c+b.d, d.a+b.c) (c, d)(a, b) = (c.a+d.b, d.a+c.b).

• Possui elemento neutro (1,0),pois

(a, b)(1,0) = (a.1+b.0, b.1+a.0) = (a, b).

• ´E distributiva

(a, b)((c, d)+(e, f)) = (a, b)(c+e, d+f) = (ac+ae+bd+bf, ad+af+bc+be) (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f) = (ac+b.d, a.d+b.c) + (a.e+b.f, a.f+b.e) =

= (a.c+a.e+b.d+b.f, a.f+a.d+b.c+b.e) s˜ao iguais logo o produto ´e distributivo.

$

Corol ´ario 3. (a, b) (0,0) = (0,0) pois

(a, b) (0,0) = (a.0+b.0, a.0+b.0) = (0,0).

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1.2. RELA ¸C ˜AO DE ORDEM EM Z. 9

$

Corol ´ario 4. Z ´e um anel comutativo com unidade.

1.2 Rela ¸c ˜ ao de ordem em Z .

m

Defini ¸c ão 7 (Estrutura de ordem total). Uma rela¸cão ≤ num conjunto A é dita definir uma estrutura de ordem total, quando valem as seguintes propriedades

• Reflexividade .a≤a.

• Antisim´etrica. a≤b e b≤a implicam a=b.

• Transitiva. Se a≤b e b≤c ent˜ao a≤c.

• Total. Vale a≤b ou b≤a.

m

Defini ¸c ão 8. Uma estrutura de ordem é dita compat´ıvel com a adi¸cão se a≤b implicar a+c≤b+c.

m

Defini ¸c ão 9 (Rela¸cão de ordem em Z). Dizemos que (a, b) é menor ou igual

`a (c, d) sse a+d≤b+c, nesse caso escrevemos (a, b)≤(c, d).

(a, b)≤(c, d)⇔a+d≤b+c.

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b

Propriedade 4. A rela¸c˜ao ≤ define em Z um estrutura de ordem total compat´ıvel com a adi¸c˜ao.

• Vale a reflexividade (a, b)≤(a, b) pois a+b≤a+b vale.

• Se (a, b) ≤ (c, d) e (c, d) ≤ (a, b) ent˜ao (a, b) = (c, d) . A primeira e segunda implicam a+d≤b+c e c+b≤d+a da´ı a+d=b+c e da´ı (a, b) = (c, d).

• Vale a propriedade transitiva(a, b)≤(c, d)e (c, d)≤(e, f) ent˜ao(a, b)≤(e, f).

Da primeira e da segunda tem-se a+d ≤ c+b e c+f ≤ e+d, somando as desigualdades tem-se a+d+c+f≤c+b+e+de por corte tem-se a+f≤b+e que implica (a, b)≤(e, f) .

• Vale (a, b) ≤ (c, d) ou (c, d)≤ (a, b), pois para n ´umeros naturais, por tricoto- mia vale a+d≤c+b ou c+b≤a+d.

• Falta mostrar que a rela¸cão é compat´ıvel com a adi¸cão. Se (a, b)≤(c, d) então (a, b) + (e, f) ≤ (c, d) + (e, f). Da primeira propriedade tem-se a+d ≤ c+b somando e+f em ambos lados segue a+d+e+f≤c+b+e+f que implica (a+e, b+f)≤(c+e, d+f)

$

Corol ário 5. Dizer que (x, y) > (0,0) significa que x > y, então a primeira coordenada é maior que a segunda.

b

Propriedade 5. Se x < y e z >0⁰ ent˜ao x.z < y.z.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam x = (a, b) , y= (c, d), z = (e, f) com x < y e z >0⁰, ent˜ao tem-se

• a+d < c+b de x < y.

• f < e de z >0⁰.

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1.2. RELA ¸C ˜AO DE ORDEM EM Z. 11

• Temos que mostrar que xz < yz, isto é, (ae+bf, af+be) < (ce+df, cf+de) que é equivalente à

ae+bf+cf+de<ce+df+af+be.

Vejamos a demonstra¸c˜ao

1. De a+d < c+b existe g∈N tal que a+d+g=b+c.

2. De f < e existe h∈N tal que f+h=e.

3. multiplicando a primeira com e tem-se ae+de+ge=be+ce.

4. multiplicando a primeira por f temos af+df+gf=bf+cf

5. somando a terceira e quarta segue ae+de+ge+bf+cf=be+ce+af+df+gf 6. multiplicando a segunda por g, fg+hg =ge

7. substituindo a sexta na quinta

ae+de+fg+hg+bf+cf=be+ce+af+df+gf e aplicando a lei do corte segue