FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 11 – 1º
P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s
Lis ta 1 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo II
Resumão do Conteúdo:
Conceitos:A Derivada de uma função y = f(x) é uma outra função real que possui as seguintes interpretações:
a) Física: É a relação instantânea entre a taxa de variação da imagem e do domínio da função f(x), ou o
impacto proporcional que um “pequena” variação no domínio (variável x) terá na imagem (variável y). Geralmente a notação é dy/dx. Criada por Isaac Newton.
b) Geométrica: É a inclinação da reta que tangencia a função f(x), em torno de cada ponto estudado,
chamada de reta tangente. Geralmente a notação pode ser f ‘(x) ou y’. Criada por Leibnitz.
Equação da Reta Tangente:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f ‘(x). Dado um ponto P = (x0, y0) pertencente ao gráfico de f(x),
ou seja, y0 = f(x0), a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x = x0 será dada por:
(y – y0) = f ‘(x0)·(x – x0)
Crescimento da Função:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f ‘(x). Logo, para o ponto x = x0 temos que f ‘(x0) pode ser tanto a
taxa de variação instantânea de f(x) em x0, quanto coeficiente angular da reta tangente à f(x) em x0.
Se f ‘(x0) > 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação positiva e, graficamente, sabemos
que a função f(x) está crescendo quando passa por x0.
Se f ‘(x0) < 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação negativa e, graficamente, sabemos
que a função f(x) está decrescendo quando passa por x0.
Propriedades de Derivada ou Derivação:
i) Se f x c, então f x ; (Derivada da Constante é Zero)
ii) Se f x xn, entãof x n · x ;
iii) Se f x , fazemos f x x , e então f x n · x ;
iv) Se f x √x, fazemos f x x , e entãof x · x ;
v) f x g x f x g x ; (Regra da Soma ou Adição)
vi) f x · g x f x · g x f x · g x ; (Regra do Produto ou Multiplicação)
vii) · · ; (Regra da Divisão ou Quociente)
viii) fog x f g x f g x · g x ; (Regra da Cadeia ou Composição)
1. Calcule as seguintes derivadas abaixo usando as propriedades (não fazer por definição):
a) f x x x
b) f x √ x
c) f x x x
2. Calcule a taxa de variação instantânea das funções a seguir, nos pontos indicados e diga se neste ponto a função é crescente (taxa positiva) ou decrescente (taxa negativa), sem ter que desenhar o gráfico da fun-ção:
a) y x x , em x ;
b) y x , em x , x e x ; (O que podemos inferir dos resultados?)
c) y , em x ;
d) y x x , em x e x ;
e) y x x c, onde c pode ser qualquer constante real em x ; (Por que o valor de c não influência na derivada? Interprete geometricamente.)
f) y √ x, em x ; (Poderia ser calculada em x = 5? Por que?)
3. Determine a inclinação da reta tangente à parábola y = 3x2,no ponto P = (1, 3). Em seguida, esboce os
gráficos da parábola e de sua reta tangente. Agora, determine as leis de formação e esboce os gráficos
das parábolas formadas pela translação desta parábola na direção dos vetores v1 = (2, 2) e v2 = (-1, -3).
Por fim, encontre as novas coordenadas do ponto P transladado e calcule novamente a inclinação da reta tangente à parábola nelas. O que obtivemos?
4. Em que ponto da parábola y = x2 – 7x + 3, a reta tangente a ela é paralela à reta y = -5x + 3?
5. Para que valor de c, a parábola y = cx2 é tangente a curva y = √x em x = 2?
6. Determine a equação da reta que tangencia as funções dadas, nos pontos indicados:
a) f x x x, em x
b) f x √ x, em x
c) f x x x x , em x
d) f x , em x
e) f x x · √x x · √x, em x
f) f x √x x, em x
7. Encontre a função derivada usando as regras da soma, produto, quociente ou cadeia, podendo consultar
a tabela de derivação para isto:
a) f x x x
b) f x x x x x
c) f x x · √x
d) f x sen x cos x e
e) f x sen x · cos x
f) f x sen x
g) f x e · cos x
h) f x cotg x
i) f x e · ln x x
j) f x
k) f x
l) f x √ x
m) f x √x x
n) f x sen x
o) f x sen x x cos e
p) f x e
q) f x sen ln x
r) f x ln x
