GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA SIMULADO EDUCON ENEM 2012

GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA – SIMULADO EDUCON

ENEM 2012

Questão 46. D

Divide o círculo em 6 partes iguais

Custo = C/6.

Questão 47. D

R + 2R = 1m

5R = 100 cm

R = 20 cm

= 3.(200).100 = 60000cm

3

M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg

Questão 48 C

Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD2 = 9 + 16



AD = 5

AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD



5.AB = 3.4



AB = 2,4 m

Questão 49 A 0,333... =

3

9

; 2 -1 =

1

2

;













1 2

16

16

4

=

=

9

9

3

; 0,5 2 =

1

4

; A expressão fica: 1 1

1 4

1

2

.

1

1

2 3

3

3

4

4

1

1

1

4

2

4

 





_













_























1

3

Questão 50 A A metade de 410 é:

 

10 2 10 20 19

2

4

2

2

2



2



2



. Questão 51. C x = 3200000 = 32 . 105 y = 0,00002 = 2 . 10-5 x . y = 32 . 105 . 2 . 10-5 = 64 . 100 = 64 Questão 52 E

Questão 53. D

84 km/h...5 h/d...12 dias

105 km/h...3 h/d...X

velocidade e dias são inversamente proporcionais horas por dia e dias são inversamente proporcionais

12/X = 105/84 * 3/5 105 : 5 = 21: 7 = 3 84 : 3 = 28 : 7 = 4 12/X = 3/4 12/X = 3/4 12 * 4 = 48 X = 48/3 -> 16 Questão 54 B x + 2 + y + x = x+2 + x+3 + x+ 4



y = x + 7 a+ x+3 + b = x + b + x + 4



a = 2x + 4 –x -3



a = x+1 x+2 + a + 16 = x+2 + x+ 3 + x+ 4



a = 3x + 9 –x – 18



a = 2x – 9 Logo: 2x -9 = x+ 1



x = 10. O valor de y é: y = x + 7 = 10 + 7



y = 17. Questão 55 C 1,05 . 1,04 . 1,1 = 1,2012 -> 20,12% Questão 56 D y = a . (x – 0) . (x – 6) p/x = 3 -> y = 9 9 = a . 3 . (-3) ∴ a = -1 y = -1 . (x2 – 6x) y = -x2 _{+ 6x ∴ a = -1 ; b = 6 ; c = 0} Questão 57 D V(0) = 720 V(12) = 0 -> V(0) = a . 62 + b = 720 V(12) = a . 122 + b = 0* *144ª = -720 a = -5 -> V(t) = -5t2 + 720 V(10) = -5 . 102 + 720 = 220

Questão 58 B x x x y 3x + y = 180 -> y = 180 – 3x * A = x . y A = x . (180 – 3x) A = 180x – 3x2 x = −180 2(−3) = 30 * y = 180 – 3 . 30 ∴ y = 90 Questão 59 A mx2 – 4x – 2 = 0 m < 0 ∆ ≤ 0 m < 0 (-4)2 – 4 . m(-2) ≤ 0 * * 16 + 8m ≤ 0 8m ≤ -16 m ≤ -2 Questão 60 E f ( f(2) ) f(2) = -3 f(-3) = 1 Logo: = f(-3) = 1 Questão 61 B 30º 01’ 59” 0º 2’ 20” 30º 3’ 79” 30 . 60 . 60 + 3. 60 + 19 = 108.199” -> 30º 4’ 19” segundos perímetro 30 . 60 . 60 2𝜋 . 6375 108199 x 360 . 60 . 60 . x = 2𝜋 . 6375 . 108199 -> x ≈ 3342 Questão 62 A 5x = 140 -> x = 28 3x + y = 180 -> y = 96

Questão 63 E

Homens Mulheres total

maiores 0,60x 0,25x 0,85x menores 0,12x 0,03x 0,15x total 0,72x 0,28x X Logo: 0,03𝑥 0,15𝑥 = 0,20 = 20% Questão 64 B

80% das mulheres não jogam xadrez; logo, 20% das mulheres jogam xadrez; se 20% dos homens jogam xadrez, então 20% de todo o grupo jogam xadrez.

Como foi dito que 14 pessoas jogam xadrez, então: 20% → 14

100% → x portanto x = 70

Questão 65 D

Com os dados do problema podemos construir a figura abaixo, onde D é o ponto procurado e h a altura do prédio:

Consideramos o ∆ DBC; pelo teorema do ângulo externo: 60º = 30º + ∝ portanto ∝ = 30º e o ∆ DBC é isósceles, logo 𝐷𝐵 + 𝐵𝐶 .

O ∆ BAC é retângulo; então: cos 60º = 𝐴𝐵 𝐵𝐶

∴

1 2

=

𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∴ 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2 X 90 = 180 Então 𝐷𝐵 = 180 e 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 + 𝐴𝐵 = 180 + 90 = 270 Questão 66 B

Construamos a figura onde:

A B

0,7x x

Pelos dados do problema e pela figura, sendo BY > XÁ, o ciclista demora mais tempo para ir de A para B do que para ir de B para A.

Tempo para ir de A para B:

𝑡

𝐴𝐵 Tempo de ir de B para A:

𝑡

_𝐵𝐴

Então

𝑡

𝐴𝐵

= 𝑡

𝐵𝐴

+

48(min) ou

𝑡

𝐴𝐵

=

𝑡

𝐵𝐴

+

4₅(h) (I) Com as velocidades dadas podemos fazer:

𝑡

𝐴𝐵

=

0,7𝑥₃₀

+

𝑋𝑌₂₅

+

₁₅𝑥

e 𝑡

𝐵𝐴

=

₃₀𝑥

+

𝑋𝑌₂₅

+

0,7𝑥₁₅

Substituindo esses valores na equação (I)

0,7𝑥 30

+

𝑋𝑌 25

+

𝑥 15

=

𝑥 30

+

𝑋𝑌 25

+

0,7𝑥 15

+

4 5 ∴ 0,7x + 2x = x + 1,4x + 24 ∴ 0,3x = 24 ∴ x = 80 Então: Ax = 56 km, YB = 80 e XY = 156 – (56 + 80) = 20 Questão 67 C

Chamando de E a expressão a ser simplificada:

E = 2 3 + 2 12 – 2 75 ; fatorando 12 e 75 em fatores primos temos: E = 2 3 + 2 22_{𝑋 3 – 2 3 𝑋 5}2 _{ou E = 2 3 + 4 3 – 10 3 = - 4 3}

Questão 68 C

A expressão a2 + b2 + 2ab – 4c2 pode ser reescrita como uma diferença de quadrados ou seja: a2 + b2 + 2ab – 4c2

= (a + b)2 – 4c2 _{= (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐) (a + b – 2c) = 35}

5 7

Questão 69 E

O Bufê oferece 7 opções das quais 3 (alface, cebola e tomate) sempre devem constar das saladas. Como a salada deve conter 5 componentes, restam 2, que serão escolhidos entre os 4 componentes restantes: agrião, pepino, beterraba e cenoura.

Trata-se de um problema de combinação:

𝐶

_4,2

=

_2!2!4!

=

4 𝑋 3 𝑋 2_{2 𝑋 2} = 6 ∴ há 6 opções de saladas.

Questão 70 B

Se à vista o produto custa R$ 700,00 e esse valor contém um desconto de 30% sobre o preço de tabela, então o preço de tabela é: 700,00

1−0,3 = 1.000,00

Como na compra com cartão há um acréscimo de 10% sobre o preço de tabela, então esse valor será: 1.000,00 X 1,1 = 1.100,00

Questão 71 A

Consideremos que a cartolina quadrada tem lado medindo 2ª ; pelo enunciado podemos construir a figura:

MD é a linha de dobra onde M é o ponto médio de 𝐵𝐶 Após a dobra o ponto C ocupará a posição C’ Polígono P resultante: BMDA

Chamemos de 𝑆𝑝 = área do polígono P

𝑆𝑄 = área do quadrado ABCD

𝑆𝑇 = área do triangulo MC’D

Então 𝑆𝑝 = 𝑆𝑄 – 𝑆𝑇 = 4ª2 – a2 = 3ª2

Chamemos agora de 𝑆𝐵 a área branca visível da cartolina após a dobra; pela figura temos:

𝑆𝐵 = 𝑆𝑝 – 𝑆𝑇 = 3ª2 – a2 = 2ª2 Logo 𝑆_𝑆𝐵 𝑇 = 2ª 2 = 2 ≅ 66,66% - melhor aproximação: 67% 3ª2 3 Questão 72 E

Seja x o número de moedas de 50 centavos existentes no cofre; logo, teremos nesse cofre (60 – x) moedas de 10 centavos.

A quantia T existente no cofre será: T= 0,5x + (60 – x). 0,1 , em reais Foi dado que 24,00 < T < 26,00 Então

24 < 0,5x = (60 – x). 0,1 < 26 ou 24 < 0,5x + 6 – 0,1x < 26 ou 18 < 0,4x < 20 ∴ 45 < x < 50 Logo, x poderá valer: 46, 47, 48 ou 49.

Há, portanto, 4 soluções.

Questão 73. B

Idade de Rafael , R = 20 Idade de Patrícia, P = 18

Seja R2 a idade de Rafael daqui a X anos, R2 = R + X = 20 + X Seja P2 a idade de Patrícia daqui a X anos, P2 = P + X = 18 + X

Em quantos anos X que P2 = 0,92*R2, ou seja, em quantos anos X em que (18+X) = 0,92*(20+X)

18 + X = 0,92*20 + 0,92 *X 18 + X = 18,4 + 0,92*X

X – 0,92*X = 18,4 – 18 0,08*X = 0,4

Questão 74 B

A soma das raízes é: x’ + x” =

-p

4

O produto das raízes é: x’.x”=

1

4

A soma dos inversos das raízes é:

' ''

1

.





  

"

  

  

' ' "

-p

1

x

₄

5

5

5 p = 5

1

x

x

x x

4

x

Questão 75 D b + 60o = 120o



b = 60o x + b +60o = 180o



x + 120o = 180o



x = 60o f = m + 100 ou m = f – 100 f= r/2 ou r = 2f 2000m + 200f+25r = 700 000 Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000 2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000 2250f = 900 000



f = 400 Como m = f – 100



m = R$ 300,00 Questão 76 C f = m + 100 ou m = f – 100 f= r/2 ou r = 2f 2000m + 200f+25r = 700 000 Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000 2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000 2250f = 900 000



f = 400 Como m = f – 100



m = R$ 300,00

Questão 77 D

Usa semelhança de triângulos. x/10 = 1,8/0,5 0,5x = 18 x = 36m Questão 78 D Questão 79 D AC = 2a



2a = 100



a = 50 m BD = 2b



2b = 60 m



b – 30 m a2 = b2 + c2



502 = 302 + c2



c2 = 1 600



c = 40 m A distância entre os focos vale: 2c = 2. 40 = 80 m.

Questão 80 B

Para o jogo final ficam dois participantes. Para um determinado participante ganhar um dos prêmios é 50%.

Questão 81 E

Duas faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas

Seis faces retangulares: 6,4 = 24 arestas.

Para que a mesma aresta não seja contada duplamente temos: A =

12 + 24

=

36

= 18 arestas

2

2

.

Questão 82 C

M(t) = 32 x 0,835t

sendo t em dias, para t=1 (um dia) temos: M(1)= 32 x 0,835 x 1

M(1)= 26.72g

ao final de um dia a massa dessa substância será 26,72g. Então a massa desintegrada é: massa desintegrada = massa inicial - massa final

Questão 83 B

Consideramos o sistema de juros compostos.

M = C.(1 + i) para cada mês 1590 = 1 500(1 + i)



1590 = 1500 + 1500i



1500i = 90



i =

90

0,06

1500



. 1590.1,06 = 1 685,40 1685,40.1,06 =1 786,52 1,786,52.1,06 = 1 893, 51 1 893,51.1,06 = 2 007, 24 2 007,34 .1,06 = 2 127,78 Questão 84 A tg  = 0,05



1

=

5

y

100



y = 20 m Teorema de Pitágoras: x2 = 12 + 202



x2 = 401



x =

401

= 20,02 m. Questão 85 C h =

x 3

2

2

81

100





1 2

S

k

S



k =

9

10

H - h

9

=

H

10



10H -10h = 9H



10h = H



h =

H

1 L 3

=

.

10

10

2

=

3

L

20

Questão 86 C

PG (x, 1200, y, 2500)



y2 = 1200.2500



y = 1000

₃

A razão dessa PG é: q =

1000 3

=

5 3

1200

6

.

Portanto no ano de 1800 a população mundial era aproximadamente:

X =

1200

=

7200 1440 1440 3

=

=

= 480 3



830 mi

3

5 3

5 3

3

6

Questão 87 A Questão 88 A PA (1500; 2 200, 2 900; ...) No vigésimo dia: a20 = a1 + 19.700 = 1500 + 13 300 = 14 800 m = 14,8 km.

A soma dos 20 dias é dada por:

S20 =



1 20







a + a

.20

= 1500 + 14800 .10 = 163 000 m

2

A média diária é:

X =

163 000

= 8150 m ou 8,15 km

20

Questão 89 B

A esfera em I não cabe totalmente na caixa porque seu diâmetro é maior que a altura da caixa, o mesmo ocorrendo com o cubo, que possui aresta maior que a altura da caixa. O cilindro em II cabe inteiramente na caixa, basta colocá-lo deitado e paralelo ao lado 4 dm da caixa.

Questão 90 D

Considere X o número de faces do dado de cima que está em contato com o dado de baixo. Se somarmos as noves faces visíveis com este X temos 32 + X. Como cada par da face tem soma 7, a soma dessas 10 faces tem soma 35, pois temos cinco pares de soma 7 cada. Assim, X + 32 = 35, ou seja, X = 3. A face superior do dado tem um número Y tal que X + Y = 7. Portanto Y = 4.