Análise de escoamento em torno de uma esfera

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA

ESFERA

Autor(es):

BERNARDO LUIZ ROCHA RIBEIRO

Orientador(es):

JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, Ph.D.

ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador(es):

JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, Ph.D.

Niterói 6 de Julho de 2017

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

R484 Ribeiro, Bernardo Luiz Rocha

Análise do escoamento em torno de uma esfera / Bernardo Luiz Rocha Ribeiro. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.

166 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

Orientador: João Felipe Mitre de Araujo.

1. Mecânica dos fluidos (Engenharia). 2. Turbulência. 3. Fluidodinâmica computacional. I. Título.

Primeiramente gostaria de agradecer à minha família que sempre me apoiou ao longo de toda a graduação, por toda a paciência principalmente nessa reta final de faculdade e pelos exemplos que foram dados e que serviram e servirão para a minha construção pessoal e profissional. Saibam que mesmo em breve estando longe fisicamente iniciando minha jornada mundo afora, estarei sempre pensando em vocês e desejando o melhor para nós e muito sucesso sempre. Vocês foram a peça chave na minha formação. Sem vocês eu jamais estaria perto de conseguir tudo o que conquistei até então. Amo todos vocês.

Agradeço a todos os professores e orientadores que me auxiliaram a conseguir montar uma tese de graduação a qual tenho muito orgulho. Ao Professor João Felipe Mitre pela orientação teórica e computacional acerca do meu caso em estudo, por toda a disponibilidade de horários para diversas reuniões, conselhos que foram de excelente utilidade para eu concluir essa etapa da minha vida e pela orientação durante a iniciação científica que serviu como uma base para essa tese. Aos Professores Roney Thompson e Luiz Eduardo Sampaio pelo suporte não só ao longo dessa tese de projeto final mas por toda a orientação nas iniciações científicas e que foram de grande utilidade para o meu intercâmbio durante o Ciência sem Fronteiras e essenciais para chegar aonde estou.

Um agradecimento especial à Professora Maria Cindra pelo auxílio na minha imersão no início da faculdade e que, apesar de hoje estar na área de mecânica dos fluidos e não na parte da ciência dos materiais, saiba que a minha primeira iniciação científica foi muito importante para o meu desenvolvimento ao longo da faculdade e pelo conhecimento da área acadêmica dentro da engenharia mecânica.

Agradeço aos meus melhores amigos e membros do nosso grupo “Cluster”. Sem esse grupo que foi originado nas primeiras semanas de faculdade seria impossível chegar ao fim da mesma e saibam que os senhores sempre farão parte da minha vida, estando próximo de vocês ou longe, sempre pensarei e lembrarei de vocês. Obrigado ao Daniel Madeira por ter sido um excelente amigo durante toda essa fase da minha vida não só na faculdade mas desde o ensino médio. O Ciência sem Fronteiras não teria sido o mesmo se não estivéssemos em San Diego passando por todas aquelas experiências vividas. E por tudo isso desejo muito sucesso na sua carreira como um engenheiro mecânico seja onde você estiver. Obrigado ao Lucas Bragança por todo apoio teórico e computacional na minha tese. Todo o seu conhecimento sobre OpenFOAM, Python e da teoria em si da turbulência e mecânica dos fluidos foi essencial para conseguir chegar até o fim. Desejo a você muito sucesso aonde você quiser se adentrar, seja no âmbito acadêmico quanto profissional. Obrigado ao Matheus Altomare por todo apoio acerca da mecânica dos fluidos

e desejo muito sucesso a você nessa etapa profissional de engenheiro mecânico que está vivendo atualmente. Obrigado ao Pedro Perroni pelo suporte ao longo de toda a faculdade, por ter ajudado e muito em diversas matérias ao longo da mesma e pela ajuda também nesse projeto final. Desejo muito sucesso no seu mestrado e para um futuro doutorado.

Por fim, gostaria de agradecer a Deus por ter me dado a oportunidade de conhecer todas as pessoas que citei nessa pequena seção do meu projeto final e por ter me concedido a melhor família que uma pessoa poderia ter. Não tenho palavras para agradecer o quão importante foi cada um de todos aqui citados. Todos estarão sempre no meu coração em qualquer lugar onde eu estiver.

A análise da turbulência em escoamentos é de grande importância na mecânica dos fluidos devido às suas mais variadas implicações. O escoamento em torno da esfera é um caso que, apesar da geometria ser simples e muito utilizada, demonstra um alto nível de complexidade em relação às simulações numéricas. O presente projeto tem como objetivo apresentar diversos modelos RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) sendo empregados nesta geometria com o intuito de estudar as suas diferenças e semelhanças comparados a um tipo de simulação mais acurado, como o LES (Large Eddy Simulation). Além disso, emprega-se a metodologia da decomposição tensorial para analisar a captura da turbulência pelo tensor de Reynolds em um modelo baseado na hipótese de Boussinesq. Mostram-se que, os modelos k ≠‘ e suas variações RNG e Realizable geraram resultados onde não gerou descolamento da camada limite na superfície esférica, o que está de acordo com a literatura. Os modelos k ≠ Ê e SST apresentaram esse descolamento, conforme esperado, e em todos os modelos ocorreram semelhanças com os resultados apresentados pelo modelo base de comparação (Smagorinsky SGS), principalmente em se tratando de valores de velocidade e não de pressão. A decomposição tensorial mostra que o modelo baseado na hipótese de Boussinesq não foi suficiente para a captura do tensor de Reynolds no escoamento em torno da esfera. É preciso empregar outros modelos presentes na teoria da decomposição tensorial para atingir o objetivo da plena captura da turbulência neste escoamento.

Palavras-chave: Turbulência. Esfera. Decomposição tensorial. Fluidodinâmica

The turbulence analysis in flows has a major role in fluid mechanics due to the variety of its implications. The flow around a sphere is a case where, although the geometry is simple and much used, it shows a high complexity level in relation with numerical simulations. The present project has an objective to show different RANS (Reynolds Averaged

Navier-Stokes) models being applied in this geometry with the intention to study the differences

and similarities comparing with a more accurate simulation, like the LES (Large Eddy

Simulation). Besides that, the project applies a tensor decomposition theory where the

goal is to analyse the turbulence capture by the Reynolds stress tensor in a model based on the Boussinesq hypothesis. Results show that k ≠ ‘ models and its variations RNG e

Realizable do not present a detachment of the boundary layer on the spherical surface,

which is confirmed by the literature. On the other hand, k ≠ Ê and SST models present this detachment, as also observed by the literature. All models presented similarities with the results generated by the LES model (Smagorinsky SGS), mainly regarding the velocity values and not the pressure ones. The tensor decomposition shows that the model based on the Boussinesq hypothesis is not sufficient to capture the Reynolds stress tensor in a flow around a sphere. It is necessary to apply additional models observed in the tensor decomposition theory in order to achieve the goal that is to capture the turbulence in this flow type.

Figura 1 – Estudo da camada limite em diferentes gradientes de pressão. Fonte: Adaptado de Fox, Pritchard e McDonald (2011) . . . 27 Figura 2 – Visualização do escoamento em torno de uma esfera em um túnel de

vento (a) e visualização da separação da camada limite feito em um tanque de água (b). Fonte: Kosel et al. (2002) . . . 27 Figura 3 – Visualização do efeito da turbulência na esfera em um Reynolds igual a

11.000 - A abscissa x

d é uma distância adimensional e normalizada pelo diâmetro da esfera. Fonte: Jang e Lee (2007) . . . 28 Figura 4 – Esquema de um vórtice de grande escala onde o tamanho ¸ é comparável

com a espessura da camada limite (”). Fonte: Wilcox (2006) . . . 31 Figura 5 – Ilustração do efeito cascata. Fonte: Adaptado de Pitsch (2014) . . . 32 Figura 6 – Ilustração das escalas de vórtices em um escoamento de alto número de

Reynolds, mostrando diversas escalas de comprimento e os respectivos campos. Fonte: Adaptado de Pope (2000). . . 34 Figura 7 – Esquema da cascata de energia apresentado os conceitos das escalas de

turbulência desde a produção da energia cinética até a sua dissipação. Fonte: Adaptado de Pope (2000) . . . 35 Figura 8 – Distribuição de velocidades perto da parede. Fonte: Versteeg e

Malala-sekra (2007) . . . 42 Figura 9 – Filtros G(r) comuns: Tipo caixa, linha tracejada; Filtro gaussiano, linha

sólida; Filtro espectral, linha ponto-tracejada. Fonte: Pope (2000) . . . 47 Figura 10 – Linhas de cima: Campo de velocidades u(x) e seu correspondente campo

filtrado U(x) (linha em negrito), usando um filtro gaussiano de largura ¥ 0.35. Linhas de baixo: Campo residual uÕ(x) e o campo residual filtrado ÈuÕ(x)Í (linha em negrito). Fonte: Pope (2000) . . . 47 Figura 11 – Esquema de escoamento para analisar o efeito da contração axissimétrica

na turbulência. Fonte: Adaptado de Pope (2000) . . . 49 Figura 12 – Tipos de regimes encontrados para o escoamento turbulento. Fonte:

Adaptado de Achenbach (1972) . . . 59 Figura 13 – Coeficiente de arrasto da esfera em função do número de Reynolds para

diferentes literaturas. Fonte: Achenbach (1972) . . . 60 Figura 14 – Visões (a) e (b) de uma gota de tetracloreto de carbono passando pela

água que está a uma velocidade terminal determinada por Re = 170. Fonte: Magarvey e Bishop (1961) . . . 61

Fonte: Magarvey e Bishop (1961) . . . 62 Figura 16 – Visões (a) e (b) de uma gota de tetracloreto de carbono passando pela

água que está a uma velocidade terminal determinada por 270 < Re < 290. Fonte: Magarvey e Bishop (1961) . . . 63 Figura 17 – Visões (a) e (b) de uma gota de tetracloreto de carbono passando pela

água que está a uma velocidade terminal determinada por Re = 370 -O intervalo entre as fotos (a) e (b) foi de 5 segundos. Fonte: Magarvey e Bishop (1961) . . . 64 Figura 18 – Experimento de uma gota de tetracloreto de carbono passando pela

água que está a uma velocidade terminal determinada por Re = 360 (a); Re = 1.040 (b) . Fonte: Magarvey e Bishop (1961) . . . 65 Figura 19 – Experimento em túnel de vento de um escoamento ao redor de uma

esfera - Re = 23.400 (visão da esfera). Fonte: Taneda (1978) . . . 66 Figura 20 – Experimento em túnel de vento de um escoamento ao redor de uma

esfera - Re = 23.400 (visão geral). Fonte: Taneda (1978) . . . 66 Figura 21 – Experimento em túnel de vento de um escoamento ao redor de uma

esfera - Re = 580.000 (visão da esfera). Fonte: Taneda (1978). . . 67 Figura 22 – Experimento em túnel de vento de um escoamento ao redor de uma

esfera - Re = 580.000 (visão geral). Fonte: Taneda (1978) . . . 67 Figura 23 – Exemplificação da não-ortogonalidade de uma malha. Fonte: ANSYS

(2015) . . . 69 Figura 24 – Linhas para extração de dados em uma seção do cubo. . . 81 Figura 25 – Linhas de velocidade para o modelo k ≠ Ê em diferentes malhas . . . . 84 Figura 26 – Linhas de pressão para o modelo k ≠ Ê em diferentes malhas . . . 85 Figura 27 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo k ≠ Ê em diferentes malhas . . . . 87 Figura 28 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo k ≠ ‘ em uma malha

de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 88 Figura 29 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de

80 mil elementos - OpenFOAM . . . 89 Figura 30 – Campo de velocidade no modelo k≠‘ para uma malha de 80 mil elementos. 89 Figura 31 – Campo de pressão no modelo k ≠ ‘ para uma malha de 80 mil elementos. 90 Figura 32 – Linhas de velocidade para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de 80 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 91

OpenFOAM e CFX. . . 92 Figura 34 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de 80 mil elementos . . . 94 Figura 35 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo k ≠ ‘ em uma malha de 80

mil elementos - OpenFOAM . . . 95 Figura 36 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ ‘ em uma malha de 80

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 95 Figura 37 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ ‘ em uma malha de 80

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 96 Figura 38 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma

malha de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 97 Figura 39 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma

malha de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 97 Figura 40 – Campo de velocidade no modelo RNG k ≠ ‘ para uma malha de 80 mil

elementos. . . 98 Figura 41 – Campo de pressão no modelo RNG k ≠ ‘ para uma malha de 80 mil

elementos. . . 98 Figura 42 – Linhas de velocidade para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 80

mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 99 Figura 43 – Linhas de pressão para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 80

mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 100 Figura 44 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 80 mil elementos . . . 101 Figura 45 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha

de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 102 Figura 46 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de

80 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 102 Figura 47 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de

80 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 103

Figura 49 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 104 Figura 50 – Campo de velocidade no modelo Realizable k ≠ ‘ para uma malha de

80 mil elementos. . . 104 Figura 51 – Campo de pressão no modelo Realizable k ≠ ‘ para uma malha de 80

mil elementos. . . 105 Figura 52 – Linhas de velocidade para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de

80 mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM . . . 106 Figura 53 – Linhas de pressão para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de

80 mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM . . . 107 Figura 54 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de 80 mil elementos . . . 108 Figura 55 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo Realizable k ≠ ‘ em uma

malha de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 109 Figura 56 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha

de 80 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 109 Figura 57 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha

de 80 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 110 Figura 58 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo k ≠ Ê em uma malha

de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 110 Figura 59 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo k ≠ Ê em uma malha de

80 mil elementos - OpenFOAM . . . 111 Figura 60 – Campo de velocidade no modelo k ≠ Ê para uma malha de 80 mil

elementos. . . 111 Figura 61 – Campo de pressão no modelo k ≠ Ê para uma malha de 80 mil elementos.112 Figura 62 – Linhas de velocidade para o modelo k ≠ Ê em uma malha de 80 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 113 Figura 63 – Linhas de pressão para o modelo k≠Ê em uma malha de 80 mil elementos

- Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX. . . 114

elementos . . . 116 Figura 65 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo k ≠ Ê em uma malha de

80 mil elementos - OpenFOAM . . . 117 Figura 66 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ Ê em uma malha de 80

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 117 Figura 67 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ Ê em uma malha de 80

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 118 Figura 68 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo SST em uma malha

de 80 mil elementos - OpenFOAM . . . 118 Figura 69 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo SST em uma malha de

80 mil elementos - OpenFOAM . . . 119 Figura 70 – Campo de velocidade no modelo SST para uma malha de 80 mil elementos.119 Figura 71 – Campo de pressão no modelo SST para uma malha de 80 mil elementos.120 Figura 72 – Linhas de velocidade para o modelo SST em uma malha de 80 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 121 Figura 73 – Linhas de pressão para o modelo SST em uma malha de 80 mil elementos

- Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX. . . 122 Figura 74 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo SST em uma malha de 80 mil elementos . . . 123 Figura 75 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo SST em uma malha de 80

mil elementos - OpenFOAM . . . 124 Figura 76 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo SST em uma malha de 80 mil

elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decom-posição tensorial . . . 124 Figura 77 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo SST em uma malha de 80 mil

elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decom-posição tensorial . . . 125 Figura 78 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo k ≠ ‘ em uma malha

de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 125 Figura 79 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de

Figura 81 – Campo de pressão no modelo k ≠ ‘ para uma malha de 800 mil elementos.126 Figura 82 – Linhas de velocidade para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de 800

mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 128 Figura 83 – Linhas de pressão para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de 800 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 129 Figura 84 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo k ≠ ‘ em uma malha de 800 mil elementos . . . 130 Figura 85 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo k ≠ ‘ em uma malha de

800 mil elementos - OpenFOAM . . . 131 Figura 86 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ ‘ em uma malha de 800

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 132 Figura 87 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ ‘ em uma malha de 800

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 132 Figura 88 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma

malha de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 133 Figura 89 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma

malha de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 133 Figura 90 – Campo de velocidade no modelo RNG k ≠ ‘ para uma malha de 800

mil elementos. . . 134 Figura 91 – Campo de pressão no modelo RNG k ≠ ‘ para uma malha de 800 mil

elementos. . . 134 Figura 92 – Linhas de velocidade para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 800

mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 135 Figura 93 – Linhas de pressão para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 800

mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 136 Figura 94 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de 800 mil elementos . . . 137 Figura 95 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha

decomposição tensorial . . . 138 Figura 97 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo RNG k ≠ ‘ em uma malha de

800 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 139 Figura 98 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo Realizable k ≠ ‘ em

uma malha de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 139 Figura 99 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma

malha de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 140 Figura 100 – Campo de velocidade no modelo Realizable k ≠ ‘ para uma malha de

800 mil elementos. . . 140 Figura 101 – Campo de pressão no modelo Realizable k ≠ ‘ para uma malha de 800

mil elementos. . . 140 Figura 102 – Linhas de velocidade para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha

de 800 mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 142 Figura 103 – Linhas de pressão para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de

800 mil elementos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 143 Figura 104 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha de 800 mil elementos . . . 144 Figura 105 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo Realizable k ≠ ‘ em uma

malha de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 145 Figura 106 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha

de 800 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 145 Figura 107 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo Realizable k ≠ ‘ em uma malha

de 800 mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 146 Figura 108 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo k ≠ Ê em uma malha

de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 146 Figura 109 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo k ≠ Ê em uma malha de

800 mil elementos - OpenFOAM . . . 147 Figura 110 – Campo de velocidade no modelo k ≠ Ê para uma malha de 800 mil

elementos. . . 147 Figura 111 – Campo de pressão no modelo k ≠Ê para uma malha de 800 mil elementos.147

registrado no OpenFOAM e CFX . . . 149 Figura 113 – Linhas de pressão para o modelo k ≠ Ê em uma malha de 800 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 150 Figura 114 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo k ≠ Ê em uma malha de 800 mil elementos . . . 151 Figura 115 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo k ≠ Ê em uma malha de

800 mil elementos - OpenFOAM . . . 152 Figura 116 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ Ê em uma malha de 800

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 153 Figura 117 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo k ≠ Ê em uma malha de 800

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 153 Figura 118 – Análise dos resíduos da velocidade para o modelo SST em uma malha

de 800 mil elementos - OpenFOAM . . . 154 Figura 119 – Análise dos resíduos da pressão para o modelo SST em uma malha de

800 mil elementos - OpenFOAM . . . 154 Figura 120 – Campo de velocidade no modelo SST para uma malha de 800 mil

elementos. . . 155 Figura 121 – Campo de pressão no modelo SST para uma malha de 800 mil elementos.155 Figura 122 – Linhas de velocidade para o modelo SST em uma malha de 800 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 156 Figura 123 – Linhas de pressão para o modelo SST em uma malha de 800 mil

ele-mentos - Comparação entre o resultado do LES com o RANS registrado no OpenFOAM e CFX . . . 157 Figura 124 – Análise da camada limite em 4 ângulos distintos em relação ao eixo

negativo de X (X≠) para o modelo SST em uma malha de 800 mil elementos . . . 158 Figura 125 – Coeficiente de arrasto na esfera pelo modelo SST em uma malha de 800

mil elementos - OpenFOAM . . . 159 Figura 126 – (a) Viscosidade Turbulenta no modelo SST em uma malha de 800

mil elementos; (b) Viscosidade Turbulenta no LES encontrada pela decomposição tensorial . . . 160

decomposição tensorial . . . 160 Figura 128 – Parâmetro de captura do tensor de Reynolds pelo modelo 1 de

Tabela 1 – Camadas da parede e suas principais propriedades. Fonte: Adaptado de

Pope (2000) . . . 43

Tabela 2 – Resumo dos diversos regimes encontrados em função do número de Reynolds. Fonte: Adaptado de Jones e Clarke (2008) . . . 68

Tabela 3 – Propriedades do Fluido . . . 76

Tabela 4 – Dados da malha do LES . . . 77

Tabela 5 – Características de qualidade da Malha do LES . . . 77

Tabela 6 – Condições de contorno para as variáveis turbulentas do modelo k ≠ ‘ e suas variações RNG e Realizable . . . 79

Tabela 7 – Condições de contorno para as variáveis turbulentas dos modelos k ≠ Ê e SST . . . 79 Tabela 8 – Características da Malha de 80 mil elementos para os modelos RANS . 82 Tabela 9 – Características da Malha de 800 mil elementos para os modelos RANS 82

F Forças de corpo fl Densidade do fluido µ Viscosidade dinâmica ‹ Viscosidade cinemática CD Coeficiente de arrasto FD Força de arrasto

k Energia cinética turbulenta

‘ Taxa de dissipação da energia cinética turbulenta Ê Frequência turbulenta

‹t Viscosidade turbulenta

‹t≠LES Viscosidade turbulenta de Smagorinsky

– Fator de proporcionalidade nos modelos presentes das decomposições

tensoriais

¸ Escala de comprimento de um vórtice ¸0 Escala de comprimento das grandes escalas

u0 Escala de velocidade das grandes escalas

·0 Escala de tempo das grandes escalas

u(¸) Velocidade característica do vórtice ·(¸) Escala de tempo de um vórtice

¸EI Escala de comprimento de transição entre anisotropia para isotropia dos vórtices

¸DI Escala de comprimento que divide em sub-regiões o campo de equilíbrio universal dos vórtices

L Escala de comprimento do escoamento

·÷ Escala de tempo de Kolmogorov

” Espessura da camada limite ·w Tensão de cisalhamento na parede

u· Velocidade de fricção

Ÿ Constante de von Karman y+ Coordenada de parede

uÕ(x, t) Campo de flutuação de velocidades

u(x, t) Campo instantâneo de velocidades

U(x, t) Campo médio de velocidades

Co Número de Courant

N (ui) Operador Navier-Stokes

L Gradiente transposto da velocidade média do escoamento

ij Parte anti-simétrica do gradiente de velocidade média do escoamento

G(r, x) Função de filtragem de escalas Cs Coeficiente de Smagorinsky

Largura do filtro aplicado

Sij Parte simétrica do gradiente de velocidade média do escoamento

Aij Parte anisotrópica/deviatórica do tensor de Reynolds

”ij Delta de Kronecker

F Função de Mistura entre os modelos k ≠ ‘ e k ≠ Ê ·ij Tensor de Reynolds

Re Número de Reynolds

Re(¸) Número de Reynolds de um vórtice

Pk Limite de produção da energia cinética turbulenta

— Parâmetro de captura entre o modelo 1 da teoria de decomposições

1 INTRODUÇÃO . . . 24

1.1 Motivação . . . 24

1.2 Uma breve introdução matemática . . . 25 1.2.1 Estudo da camada limite . . . 26

1.3 Objetivos . . . 28 2 O MUNDO DA TURBULÊNCIA . . . 30 2.1 Efeito cascata . . . 31 2.2 As hipóteses de Kolmogorov . . . 32 2.3 Modelagem da turbulência . . . 35 2.3.1 O problema do fechamento . . . 35 2.3.2 A equação da energia cinética turbulenta . . . 37 2.3.3 Lei de Parede . . . 40

2.3.3.1 Subcamada linear ou viscosa . . . 41

2.3.3.2 Camada Lei-Log . . . 42

2.3.3.3 Camada externa . . . 42

2.3.3.4 Camada amortecida . . . 43

2.4 Modelos de turbulência . . . 44 2.4.1 LES (Large Eddy Simulation) . . . 44

2.4.1.1 Introdução ao conceito de filtragem de escalas . . . 46

2.4.1.2 Modelo Smagorinsky SGS . . . 48

2.4.2 RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) . . . 48

2.4.2.1 Modelo k-epsilon padrão . . . 51

2.4.2.2 Modelo RNG k-epsilon . . . 53

2.4.2.3 Modelo Realizable k-epsilon . . . 53

2.4.2.4 Modelo k-omega . . . 54

2.4.2.5 Modelo SST . . . 56

3 O ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA . . . 59

3.1 Dados experimentais . . . 59

3.2 Os diversos possíveis regimes de escoamento . . . 60 3.2.1 Regime axissimétrico permanente: 20 < Re < 210 . . . 60 3.2.2 Regime planar-simétrico permanente: 210 < Re < 270 . . . 61 3.2.3 Regime planar-simétrico transiente: 270 < Re < 400 . . . 62 3.2.4 Regime assimétrico transiente: 400 < Re < 1000 . . . 64 3.2.5 Regime turbulento: Re > 1000 . . . 65

4.2 Acoplamento Pressão-Velocidade . . . 70 4.2.1 Número de Courant. . . 71

4.3 Esquemas numéricos . . . 72

4.4 Fator de relaxação . . . 72

5 DECOMPOSIÇÃO TENSORIAL . . . 74

5.1 Parâmetro de captura entre o modelo 1 e o tensor de Reynolds . . 75

6 METODOLOGIA . . . 76

6.1 Simulação LES . . . 76

6.2 Condições de Contorno . . . 78

6.3 Simulações RANS . . . 79

6.4 Estudo das Malhas . . . 80 6.4.1 Convergência . . . 80

6.5 Outras variáveis macroscópicas . . . 81

6.6 Extração de dados . . . 81

7 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . 82

7.1 Características da Malha de 80 mil elementos . . . 82

7.2 Características da Malha de 800 mil elementos . . . 82

7.3 Convergência das Malhas . . . 83

7.4 Resultados - Malha de 80 mil elementos . . . 88 7.4.1 Modelo k-epsilon padrão . . . 88 7.4.2 Modelo RNG k-epsilon . . . 96 7.4.3 Modelo Realizable k-epsilon . . . 103 7.4.4 Modelo k-omega . . . 110 7.4.5 Modelo SST . . . 118

7.5 Resultados - Malha de 800 mil elementos . . . 125 7.5.1 Modelo k-epsilon padrão . . . 125 7.5.2 Modelo RNG k-epsilon . . . 133 7.5.3 Modelo Realizable k-epsilon . . . 139 7.5.4 Modelo k-omega . . . 146 7.5.5 Modelo SST . . . 154

7.6 Parâmetro de captura - beta . . . 161

8 CONCLUSÕES . . . 163

1 Introdução

1.1 Motivação

O estudo da mecânica dos fluidos está a cada dia mais complexo e exigente conforme a sua adaptação aos problemas atuais na engenharia. A mecânica dos fluidos está presente nas mais diversas situações, desde instalações prediais até extração de óleo e gás nos tecidos subterrâneos. Com o intuito de entender problemas que ocorrem em quaisquer aplicações onde se encontra a mecânica dos fluidos, aumentar a precisão e eficiência em projetos de engenharia por exemplo, estudos vêm sendo feitos acerca das áreas que essa mecânica engloba, como a turbulência em torno de diferentes geometrias corriqueiras e simples. E é exatamente neste pequeno universo que o presente projeto irá se debruçar.

A geometria escolhida para estudo foi a esfera. Essa geometria, apesar de ser bastante simples de se imaginar as mais variadas aplicações na engenharia, como por exemplo dentro de válvulas do tipo esfera em tubulações industriais, a mesma possui um comportamento extremamente complexo nas mais diversas velocidades de escoamento em torno dessa geometria.

Jones e Clarke (2008) realizaram uma análise de um escoamento, no caso, do ar, em torno de uma esfera em diferentes números de Reynolds. Este número, bastante conhecido na área de fluidos, trata-se de uma relação entre as dimensões da geometria, das características do fluido usado como a sua massa específica e viscosidade dinâmica, e da velocidade do próprio escoamento. Com este valor em mãos, pode-se distinguir dois tipos de regime de escoamento, são eles: Laminar e Turbulento. A transição exata do regime laminar para turbulento não é precisa na literatura. Dentro de tubulações por exemplo, o valor de transição é de para um número de Reynolds igual a 2.300, porém pode-se ter valores maiores caso o tubo tenha uma rugosidade baixa em sua superfície interna, o que evita que pequenos distúrbios aconteçam tão cedo (WARHAFT, 1997).

ComoJones e Clarke (2008) e Kosel et al. (2002) observaram, o escoamento em torno de uma esfera começa a ser turbulento e caótico para valores de número de Reynolds menores que 2.300. Para Jones e Clarke(2008), o escoamento passa a ser turbulento acima de 1.000 e para Kosel et al. (2002), este valor de transição é de 800.

Apesar de toda essa teoria parecer bem estabelecida, é importante dissertar sobre o significado da palavra “turbulência”. A turbulência em fluidos trata-se de um fenômeno randômico e caótico. Entretanto Pope (2000) questiona o quão intrigante é o fato da turbulência ser considerado um fenômeno aleatório e ao mesmo tempo ser matematizado pelas equações de Navier-Stokes, que por sua vez possuem uma natureza determinística

em descrever o comportamento dos fluidos. Essas equações serão discutidas na próxima seção.

Pope(2000) responde a essa pergunta apresentando duas observações acerca dos fluidos turbulentos. São elas: A primeira é que em qualquer escoamento turbulento existe, de maneira inevitável, perturbações nas condições iniciais, condições de contorno e nas propriedades do fluido em escoamento. A segunda trata-se de que os campos do escoamento turbulento apresentam uma sensibilidade aguda para com essas perturbações. Essas perturbações nas condições de contorno podem ser vibrações na montagem do experimento e em se tratando do fluido, não-homogeneidades na temperatura e a presença de impurezas podem exemplificar essas perturbações. Com isso, é impossível dois experimentos com um escoamento turbulento possuírem as mesmas condições de regime entre si devido a essas aleatoriedades intrínsecas ao fenômeno.

1.2 Uma breve introdução matemática

Antes de adentrar-se na matemática empregada no projeto, deve-se primeiramente identificar que a velocidade, variável que será recorrente no texto, é um vetor de 3 componentes nas direções X, Y e Z. A Equação (1.1) mostra a nomenclatura da velocidade em relação às suas direções.

ui[i = 1(x); 2(y); 3(z)] æ u1 = u; u2 = v; u3 = w (1.1) A notação com “i” é um artifício usado na notação indicial para facilitar a escrita de equações matemáticas.

Com esta breve explicação da nomenclatura que será utilizada, esta seção dis-sertará sobre as principais equações envolvidas no presente projeto e que conseguem descrever o comportamento do fluido ao redor da esfera em seu regime turbulento. É importante estabelecer que apenas fluidos incompressíveis estão sendo empregados para todo o desenvolvimento matemático presente neste projeto.

As equações de Navier-Stokes foram assim chamadas depois que Claude-Louis Navier and George Gabriel Stokes descreveram o comportamento de fluidos viscosos. Essas equações foram desenvolvidas pela aplicação da segunda lei de Newton em um fluido e é com elas que podem ser encontradas os campos de velocidade e pressão do escoamento. Navier-Stokes satisfazem as condições de conservação de massa, momento e energia. A conservação de massa, por sua vez, está implícita na equação da continuidade presente na Equação (1.2). ˆfl ˆt + ˆ ˆxi (flui) = 0 (1.2)

A conservação de momento compreende termos convectivos, de pressão, viscosos e de forças de corpo. Esses termos se resumem nas equações de Navier-Stokes representadas pela Equação (1.3). flˆui ˆt + fluj ˆui ˆxj ¸ ˚˙ ˝ termos convectivos = ≠_ˆˆp_x i ¸ ˚˙ ˝ termos de pressão + µ ˆ2ui ˆxjˆxj ¸ ˚˙ ˝ termos viscosos + _¸˚˙˝F forças de corpo (1.3) Pode-se simplificar ainda mais a Equação (1.3) considerando que as forças de corpo (forças gravitacionais) são desprezíveis na grande maioria das análises de escoamentos e os dois termos convectivos podem ser unificados e classificados como a “derivada material” do campo de velocidades do escoamento. Este tipo de derivada é descrita então como sendo a taxa de variação em relação ao tempo do campo de velocidades que está sendo transportado por linhas de corrente do fluido. A equação simplificada é apresentada na Equação (1.4). flDui Dt ¸ ˚˙ ˝ termos convectivos = ≠_ˆˆp_x i ¸ ˚˙ ˝ termos de pressão + µ ˆ2ui ˆxjˆxj ¸ ˚˙ ˝ termos viscosos (1.4) A literatura afirma que se existir uma teoria que possa prever um valor exato de um campo de velocidades em um escoamento turbulento, esta teoria é praticamente certa de estar errada devido a esses fatores aleatórios que ocorrem na turbulência (POPE,2000). Entretanto, uma teoria pode focar em determinar a probabilidade de eventos acontecerem e que possam caracterizar com acurácia satisfatória um campo variável como o campo de velocidades de um escoamento. Para análise detalhada acerca da probabilidade estatística e seu desenvolvimento no estudo da mecânica dos fluidos recomenda-se a leitura de Versteeg e Malalasekra (2007),Pope (2000) e Cruz (2016).

1.2.1 Estudo da camada limite

Uma outra importante característica decorrente do escoamento de fluidos é o descolamento da camada limite em regiões de gradiente de pressão adversos (ˆp

ˆx >0). No caso do escoamento em torno da esfera é essencial a apresentação desta mecânica pois esta relata em mais detalhes outras diferenças entre os diversos tipos de simulações que serão realizados. A camada limite nada mais é do que uma região próxima a parede da geometria em estudo onde são sentidos os efeitos viscosos, difusivos e de dissipação da energia mecânica.

A Figura1mostra o desprendimento da camada limite em regiões onde o gradiente de pressão adverso é presente.

Figura 1 – Estudo da camada limite em diferentes gradientes de pressão. Fonte: Adaptado deFox, Pritchard e McDonald (2011)

Quando o fluido escoa sobre uma região onde o gradiente de pressão diretamente em frente ao fluido oferece uma resistência ao seu escoamento, naturalmente a velocidade dentro da camada limite diminui progressivamente. Quanto maior for o caminho percorrido pelo fluido, maior será a resistência enfrentada pelo gradiente. Na mesma Figura 1pode-se observar que a camada limite é crescente e a velocidade, representada pelas linhas de corrente azuladas, chega a um ponto chamado de “ponto de separação” onde a velocidade na direção Y entre o ponto da superfície e o ponto diretamente acima é nulo (ˆu

ˆy = 0). É neste ponto onde a camada limite não consegue permanecer na superfície pois não há forças suficientes provenientes do fluido acima da camada que consigam empurrar a mesma contra a superfície.

Para o caso da esfera, a Figura2 relata o desprendimento da camada limite em um experimento realizado em TU Hamburg-Harburg.

Figura 2 – Visualização do escoamento em torno de uma esfera em um túnel de vento (a) e visualização da separação da camada limite feito em um tanque de água (b). Fonte:Kosel et al. (2002)

o crescimento da literatura acerca dessa física ainda nova na ciência, ela pode servir para outros usos como por exemplo para a extração de energia através do movimento de hidrofólios em rios. Pesquisadores da Universidade de Brown, nos Estados Unidos, estão se empenhando para o crescimento desse estudo. Trata-se da análise do movimento e da melhor posição de ataque de um hidrofólio para que o vórtice gerado pelo desprendimento da camada limite ocorra exatamente no tempo onde há a mudança de direção de movimento. Para maiores detalhes acerca desse estudo recomenda-se a leitura de Franck et al. (2015). Para fins ilustrativos, a Figura3 mostra a visualização do efeito da turbulência na esfera feito em um experimento realizado com número de Reynolds igual a 11.000 e com um esfera de diâmetro d igual a 40mm.

Figura 3 – Visualização do efeito da turbulência na esfera em um Reynolds igual a 11.000 - A abscissa x

d é uma distância adimensional e normalizada pelo diâmetro da esfera. Fonte: Jang e Lee (2007)

1.3 Objetivos

Com isso, o presente projeto tem como objetivo realizar um estudo de caso para um valor de Reynolds onde o regime presente é turbulento. Para isso, foi feito uma simulação LES (Large Eddy Simulation) para ter uma base de comparação de dados para outras simulações RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) poderem ter uma referência e saber assim qual se aproximaria melhor da simulação base. Além dessa base comparativa entre LES e RANS, existirá também uma parte teórica de decomposição tensorial que tem como base o estudo de modelos criados por Thompson, Mompean e Thais(2010). Esse estudo servirá para calibrar as constantes presentes nestes modelos para averiguar se o resultado final obtido é próximo das simulações LES e RANS realizadas. O modelo usado para este projeto será apenas o modelo 1, que é sobre a hipótese proposta por Boussinesq em 1877 para descrever o fenômeno da turbulência (POPE, 2000). Por fim, como o caso tratado é do escoamento em torno de uma esfera, existem algumas importantes características macroscópicas a serem discutidas como é o caso do Coeficiente de Arrasto (CD) da esfera em relação ao fluido que o suporta. Cabe ressaltar também que esses dois

No Capítulo 2serão explicados de maneira abrangente diversos conceitos presentes no mundo da turbulência e que são importantes para a obtenção de uma ideia mais clara e de mais fácil entendimento acerca do que é apresentado como resultados no presente projeto. No Capítulo 3será apresentado uma revisão bibliográfica acerca do escoamento ao redor de uma esfera. No Capítulo 4 será introduzido o mundo da fluidodinâmica computacional. No Capítulo 5 será explicado a teoria da decomposição tensorial. No Capítulo 6serão apresentados os métodos utilizados no projeto para as devidas simulações como as dimensões das malhas utilizadas, as características do escoamento, e os parâmetros dos modelos RANS e LES empregados. No Capítulo 7 serão apresentados os resultados e o Capítulo 8 destina-se à conclusão do projeto.

2 O mundo da turbulência

Para que seja possível entender os propósitos deste presente projeto, é necessário apresentar uma visão geral dos principais conceitos sobre o mundo da turbulência. Primei-ramente, é importante definir o que seria esse fenômeno único decorrente da mecânica dos fluidos.

Em 1937, von Karman usufruiu de palavras de G. I. Taylor que definiu o fenômeno da turbulência da seguinte maneira: “Turbulência é um movimento irregular que geralmente ocorre em fluidos, gases ou líquidos, quando eles passam por superfícies sólidas ou até mesmo em correntes vizinhas do mesmo fluido ou em correntes que se cruzam pelo escoamento” (WILCOX, 2006).

Com o passar do tempo, pesquisadores observaram que o termo “irregular” dado para a turbulência é um termo um tanto quanto impreciso tendo em vista que existem escoamentos laminares (não turbulentos) que podem ser descritos como irregulares. Em 1975, Hinze ofereceu a seguinte revisão para a definição deste fenômeno: “A dinâmica de um escoamento turbulento é uma condição irregular de um escoamento onde diversas quantidades apresentam variações randômicas com as coordenadas de espaço e tempo, de maneira que podem ser notadas diferentes médias estatísticas dessas grandezas” (WILCOX, 2006).

Essa irregularidade inerente ao fenômeno da turbulência se deve a uma das carac-terísticas da turbulência de ser um processo não linear originado pela interação entre os termos de inércia e viscosos das equações de Navier-Stokes. Essa interação é extremamente complexa por ser também totalmente tridimensional, rotacional, dissipativo e transiente (dependente do tempo).

Para completar a definição, Bradshaw adicionou que “a turbulência possui uma grande variedade de escalas”. Escalas de tempo e comprimento de turbulência são represen-tadas por frequências e comprimentos de onda que são estudados pela análise de Fourier sobre o percurso de um escoamento turbulento (WILCOX, 2006).

Wilcox(2006) explica que o principal meio físico que relata sobre o comportamento da turbulência através dessas escalas é a chamada “expansão de vórtices” (vortex stretching). Vórtices de grandes escalas carregam consigo a maior parte da energia do escoamento e é o principal responsável pelo enriquecimento da difusividade e tensões intrínsecas ao fluido. As grandes escalas aumentam consideravelmente a transferência de massa, energia e momento através do escoamento. Em contraste, os vórtices de grande escala acabam por comprimir vórtices menores, transmitindo energia para estes durante esse processo, gerando assim o chamado “efeito cascata”. Esse efeito é justamente o carregamento de

vórtices menores através dos vórtices maiores sendo que a energia é sempre decaída dos maiores para os menores e a mesma é dissipada para a forma de calor através de moléculas de viscosidade nesses vórtices menores. É importante ressaltar que essa dissipação é diretamente controlada pela taxa com que essas escalas recebem energia dos vórtices maiores. Esse processo explica o fato desse fenômeno ser considerado dissipativo.

Nas próximas seções será discutido com mais rigor esse fenômeno do “efeito cascata” e sobre o desenvolvedor dessas escalas de turbulência, Kolmogorov.

2.1 Efeito cascata

O efeito cascata, em detalhes, retrata sobre a entrada da energia cinética turbulenta (k) através das grandes escalas. Essa energia é transferida até escalas menores onde é dissipada por efeitos viscosos. Kolmogorov quantificou essas escalas e também sobre esse processo de dissipação (POPE, 2000).

Primeiramente, um vórtice de grande escala de tamanho ¸ possui uma velocidade característica u(¸) e escala de tempo ·(¸) © ¸

u(¸). A região ocupada por um vórtice de grande escala também pode conter vórtices menores (POPE, 2000). Na Figura4, Wilcox (2006) mostra um exemplo simples de um vórtice de grande escala em um fluido de

escoamento livre com velocidade U e camada limite de espessura ”.

Figura 4 – Esquema de um vórtice de grande escala onde o tamanho ¸ é comparável com a espessura da camada limite (”). Fonte: Wilcox (2006)

Pope(2000) afirma que de acordo com as noções apresentadas por Richardson e Lynch (2007), grandes vórtices são instáveis e que colapsam entre si transferindo assim energia para os vórtices menores. Da mesma maneira, os menores vórtices possuem um processo semelhante de quebra para vórtices ainda menores. Essa cascata de energia prossegue até que o número de Reynolds dos vórtices Re(¸) © u(¸)¸

‹ seja suficientemente pequeno de maneira que estabilize a cinética dos vórtices e a viscosidade molecular é efetiva em dissipar a energia cinética.

Figura 5 – Ilustração do efeito cascata. Fonte: Adaptado de Pitsch(2014)

2.2 As hipóteses de Kolmogorov

Apesar da teoria sobre o processo de transferência de energia que ocorre no fenômeno de turbulência ter sido explicada, ainda resta saber matematicamente qual o tamanho dos vórtices que são responsáveis pela dissipação de energia e também sobre as relações entre ¸, u(¸) e ·(¸). Foi nessa abordagem que Kolmogorov se debruçou e desenvolveu três hipóteses para este estudo (POPE, 2000).

A primeira hipótese trata-se da isotropia de vórtices com escalas pequenas. Em geral, vórtices de grandes escalas são anisotrópicos e são afetados pelas condições de contorno do escoamento. Kolmogorov argumentou que as direções preferenciais das grandes escalas são perdidas pelo processo caótico de redução de escalas causado pela transferência de energia. Com isso ele afirmou que em um escoamento com um número de Reynolds elevado, as pequenas escalas são estatisticamente isotrópicas (POPE, 2000).

Uma escala de comprimento que retrata essa transição de anisotropia para isotropia é o ¸EI sendo ¸EI ¥ 1₆¸0 onde ¸0 é o comprimento para grandes escalas. Portanto, a anisotropia é dita por ¸ > ¸EI e a isotropia, ¸ < ¸EI.

Continuando o raciocínio de Kolmogorov, o mesmo acrescentou que todas as informações sobre a geometria das grandes escalas, determinadas pelo escoamento médio de velocidades e condições de contorno, também são perdidas. Como consequência, a estatística das pequenas escalas ganha um senso universal para o escoamento. Por fim, os dois processos dominantes para as menores escalas podem ser definidos como sendo a taxa de transferência de energia para escalas ainda menores (aqui sendo considerada como

Kolmogorov, enfim, formula a sua segunda hipótese: “Em todo escoamento turbulento com um número de Reynolds elevado o suficiente, a estatística das pequenas escalas (¸ < ¸EI) possui uma forma universal e é unicamente determinado por ‹ e ‘” (POPE, 2000).

O campo de valores de ¸ < ¸EI é referido como o “campo de equilíbrio universal”. Neste campo, as escalas são pequenas o suficiente de modo que elas rapidamente mantém o equilíbrio dinâmico com a taxa ‘ sendo imposta nas grandes escalas (POPE,2000).

Com a apresentação desses conceitos, pode-se definir as escalas de Kolmogorov para o comprimento, velocidade e tempo nas Equações (2.1), (2.2) e (2.3) respectivamente.

÷_© A ‹3 ‘ B1 4 (2.1) u÷ © (‘‹) 1 4 (2.2) ·÷ © 3_‹ ‘ 41 2 (2.3) Considere agora um ponto x0 em um escoamento turbulento no tempo t0. Em

termos das escalas de Kolmogorov em (x0, t0), coordenadas adimensionais podem ser

definidas por y © (x≠x0)

÷ e o campo adimensional de diferenças de velocidades pode ser descrito por v(y) © [U(x,t0)≠U(x0,t0)]

u÷ .

Pope(2000) consta que não é possível criar um parâmetro adimensional para ‘ e ‹. Então, com isso, para manter o senso universal das pequenas escalas dito anteriormente, o campo v(y) não pode depender de ‘ e ‹. Por consequência, quando campos são examinados em escalas muito pequenas (|y| < ¸EI

÷ ) estes são considerados estatisticamente isotrópicos e estatisticamente idênticos quando referenciados pelas escalas de Kolmogorov.

As razões entre as escalas menores para as maiores podem ser resumidas nas Equações (2.4), (2.5) e (2.6). ÷ ¸0 ≥ Re ≠3 4 (2.4) u÷ u0 ≥ Re ≠1 4 (2.5) ·÷ ·0 ≥ Re ≠1 2 (2.6)

A partir das Equações (2.4), (2.5) e (2.6) é claramente constatado que quanto maior o número de Reynolds, menores serão as pequenas escalas (÷, u÷ e ·÷) em comparação com as grandes (¸0, u0 e ·0).

Finalmente, pode-se sintetizar a terceira e última hipótese de Kolmogorov. Ob-servando os conceitos analisados, uma consequência é que existe um campo de escalas de tamanho ¸ que são pequenos em comparação com ¸0 e ao mesmo tempo grandes em

relação à escala de Kolmogorov ÷ (¸0 ∫ ¸ ∫ ÷). Como os vórtices nessa região são grandes

em relação aos vórtices dissipativos, pode-se assumir que o número de Reynolds é alto de maneira que possa ser pouco afetado pela viscosidade do escoamento e estabelecendo assim a terceira hipótese: “Em todo escoamento turbulento de número de Reynolds elevado, a estatística da cinética de escalas ¸ no campo ¸0 ∫ ¸ ∫ ÷ possuem uma forma universal e

unicamente dependente de ‘, independente de ‹” (POPE, 2000).

Com o cunho ilustrativo desse conceito apresentado até aqui, Pope(2000) introduz a escala ¸DI (¸DI = 60÷) de modo que a terceira hipótese possa ser descrita como

¸EI > ¸ > ¸DI. Este ¸DI divide a região do “campo de equilíbrio universal” em duas sub-regiões: sub-região inercial da terceira hipótese (¸EI > ¸ > ¸DI) onde apenas é observado os efeitos dos termos inerciais do escoamento e a sub-região dissipativa (¸ < ¸DI) onde é sentido os efeitos viscosos do fluido e é a responsável por toda a dissipação da energia cinética turbulenta (POPE, 2000). A Figura 6 mostra todos os campos das escalas dos vórtices desde a escala de Kolmogorov ÷ até a escala do escoamento L.

Figura 6 – Ilustração das escalas de vórtices em um escoamento de alto número de Reynolds, mostrando diversas escalas de comprimento e os respectivos campos. Fonte: Adaptado de Pope (2000)

Para concluir esse pensamento acerca da cascata de energia e das escalas de Kolmogorov, Pope (2000) apresenta a Figura 7onde é mostrado qualitativamente toda a ideia por trás do que foi discutido até então.

Figura 7 – Esquema da cascata de energia apresentado os conceitos das escalas de tur-bulência desde a produção da energia cinética até a sua dissipação. Fonte: Adaptado de Pope (2000)

2.3 Modelagem da turbulência

2.3.1 O problema do fechamento

Como a turbulência consiste no estudo de flutuações randômicas, é necessário ter um foco estatístico nessa análise. Foi assim que Osborne Reynolds em 1895 propôs que todas as quantidades analisadas fossem expressas como uma soma da média das variáveis com as suas respectivas flutuações. E foi dessa forma que foi desenvolvido o chamado RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) (POPE, 2000).

O desenvolvimento matemático para a média das equações de Navier-Stokes é mais fácil entendido se partido pela equação que governa a velocidade do escoamento médio de um fluido, apresentada na Equação (2.7) em função da flutuação de velocidade uÕ(x, t).

uÕ(x, t) © u(x, t) ≠ U(x, t) (2.7)

onde uÕ(x, t) é o campo de flutuação, u(x, t) é o campo instantâneo de velocidades, U(x, t)

é o campo médio de velocidades.

Continuando o raciocínio, tem-se a Equação (2.8).

u(x, t) = U(x, t) + uÕ_{(x, t) (2.8)}

Aplicando o divergente em ambos lados, encontram-se as Equações (2.9), (2.10) e (2.11). ˆui ˆxi = ˆ ˆxi (Ui+ uÕi) = 0 (2.9)

ˆ ˆxiUi = 0 (2.10) ˆ ˆxi uÕ i = 0 (2.11)

A Equação (2.9) retrata sobre a equação da continuidade de massa, esta que deve ser sempre ser respeitada em qualquer estudo da mecânica do contínuo. Pela derivada material da velocidade do escoamento e sua média, por conseguinte, tem-se em notação indicial as Equações (2.12) e (2.13). Duj Dt = ˆuj ˆt + ˆ ˆxi (uiuj) (2.12) =_Du j Dt > = ˆUj ˆt + ˆ ˆxi Èu iujÍ (2.13)

O termo ÈuiujÍ pode ser decomposto da maneira encontrada na Equação (2.14). ÈuiujÍ = È(Ui+ uÕi)(Uj + uÕj)Í

= ÈUiUj+ uÕiUj+ uÕjUi+ uÕiuÕjÍ = UiUj+ ÈuÕiuÕjÍ

(2.14)

O último termo ÈuÕ

iuÕjÍ é a fórmula matemática para o chamado tensor de Reynolds. É justamente esse termo que é originado quando é realizado a média temporal das equações de Navier-Stokes. Além disso, o tensor de Reynolds é o que separa os valores instantâneos dos valores médios das variáveis analisadas.

É neste ponto onde reside o problema de fechamento da turbulência pois para computar todas as propriedades do escoamento médio sob um regime turbulento em consideração é preciso ter uma descrição de como computar o tensor de Reynolds destacado agora na Equação (2.15) (POPE,2000).

·ij = ≠ ÈuÕiuÕjÍ (2.15) Cabe observar na Equação (2.15) o sinal negativo na frente do tensor. Esse sinal negativo é a convenção adotada na literatura da turbulência para representar o tensor de Reynolds.

Por inspeção, o tensor de Reynolds é um tensor simétrico, fazendo com que se reduza de 9 variáveis para 6 variáveis independentes até então desconhecidas. Além dessas 6 novas variáveis que surgiram quando foi feito o desenvolvimento do RANS, tem-se ainda

4 variáveis tradicionais que são as 3 componentes da velocidade nas direções X(i), Y (j),

Z(k) e a pressão. Portanto é obtido um total de 10 variáveis para apenas 4 equações

disponíveis: A equação da conservação de massa e as 3 direções das equações médias de Navier-Stokes.

Com isso chega-se no problema do fechamento da turbulência onde é necessário desenvolver equações para encontrar valores para tais variáveis desconhecidas. É neste momento que entra-se na seara dos modelos de turbulência.

Existem diversos modelos desenvolvidos para o estudo da turbulência como os modelos algébricos, modelos de uma equação como o de Spalart-Allmaras, modelos baseados no transporte do tensor de Reynolds e os modelos de duas equações. O foco do presente projeto será em torno dos modelos de duas equações (WILCOX, 2006).

2.3.2 A equação da energia cinética turbulenta

Primeiramente, antes de dissertar sobre os modelos da turbulência, é importante introduzir uma outra variável de extrema importância para a modelagem da turbulência. Essa variável é proveniente da chamada “hipótese de Boussinesq” onde Boussinesq afirmou que o tensor de Reynolds é proporcional a taxas médias de deformação do fluido e esse fator de proporcionalidade é a chamada “viscosidade turbulenta” (‹t) (VERSTEEG; MALALASEKRA, 2007).

Com isso, Prandtl em 1945 definiu a velocidade característica para a turbulência e usou da energia cinética turbulenta (k) como base para essa definição conforme mostra a Equação (2.16).

k = 1

2 ÈuÕiuÕiÍ = 1₂ 1e

uÕ2f+evÕ2f+ewÕ2f2 (2.16)

onde uÕ, vÕ e wÕ são as flutuações de velocidade para as direções X, Y e Z respectivamente.

Descrito a fórmula para o cálculo da energia cinética turbulenta, pode-se definir a Equação (2.17) que dita a viscosidade turbulenta em termos de k e da escala de turbulência

¸ (WILCOX, 2006).

‹t= constante · k

1

2_¸ (2.17)

Uma relação pode ser obtida entre o tensor de Reynolds e a energia cinética turbulenta. Basta aplicar o traço no tensor de Reynolds que chega-se na Equação (2.18).

·ii= ≠ ÈuÕiuÕiÍ = ≠2k (2.18) onde ·ii é a soma dos termos na diagonal do tensor de Reynolds - elementos XX, Y Y e

Wilcox (2006) demonstra o passo a passo de como pode-se obter a equação de transporte do tensor de Reynolds ao longo do escoamento. Usando desse fato, é possível encontrar de maneira semelhante a equação de transporte da energia cinética turbulenta aplicando também o traço na equação de transporte do tensor de Reynolds.

Essa demonstração parte do princípio de tentar encontrar outras equações que possam se juntar às equações tradicionais de conservação de massa e das de Navier-Stokes. A ideia deWilcox(2006) foi multiplicar a equação de Navier-Stokes pelo tensor de Reynolds e aplicar ao final a média temporal desse produto. A linha de raciocínio até a obtenção final da equação de transporte do tensor de Reynolds é encontrada nas Equações (2.19), (2.20) e (2.21). A Equação (2.19) se refere a um “operador Navier-Stokes” para facilitar a

escrita e o entendimento do raciocínio. N (ui) = fl ˆui ˆt + fluk ˆui ˆxk + ˆp ˆxi ≠ µ ˆ2ui ˆxkˆxk = 0 (2.19)

onde N (ui) é o “operador Navier-Stokes” que nada mais é do que a Equação (1.3) em termos de notação indicial.

ÈuÕiN (uj) + uÕjN (ui)Í = 0 (2.20) A Equação (2.20) refere-se a multiplicação dos termos do tensor de Reynolds com N (ui) e a média temporal desse produto.

Como dito anteriormente, toda a álgebra por trás dessa média temporal do produto pela Equação (2.20) está descrito em Wilcox (2006) e com ela chega-se na Equação final (2.21) que é a equação de transporte do tensor de Reynolds.

ˆ·ij ˆt + Uk ˆ·ij ˆxk = ≠·ik ˆUj ˆxk ≠ ·jk ˆUi ˆxk + ‘ij ≠ ij + ˆ ˆxk C ‹ˆ·ij ˆxk + Cijk D (2.21) Onde ij = K p fl A ˆuÕi ˆxj +ˆuÕj ˆxi BL (2.22) ‘ij = 2‹ K ˆuÕ i ˆxk ˆuÕ j ˆxk L (2.23)

flCijk = fl ÈuÕiuÕjuÕkÍ + ÈpuÕiÍ ”jk + ÈpuÕjÍ ”ik (2.24) E a variável p representa uma flutuação do campo escalar da pressão e U representa o valor da velocidade média do escoamento.

Finalmente, aplicando o traço na Equação (2.21) pode-se obter a Equação (2.25) já simplificada. ˆk ˆt + Uj ˆk ˆxj ¸ ˚˙ ˝ termos convectivos = ·ij ˆUi ˆxj ¸ ˚˙ ˝ termo de produção ≠ _¸˚˙˝‘ taxa de dissipação de k + ˆ ˆxj S W W W W U ‹ ˆk ˆxj ¸ ˚˙ ˝ difusão molecular ≠ 1_{2 È}uÕiuÕiuÕjÍ ¸ ˚˙ ˝ transporte turbulento ≠ 1 flÈpu Õ jÍ ¸ ˚˙ ˝ difusão da pressão T X X X X V (2.25)

A Equação (2.25) apresenta diversos termos que, conforme já explicitados na própria equação, é interessante destacar o que significa fisicamente cada termo. Os termos convectivos, assim como apresentados na introdução do projeto, representam a taxa de mudança de k seguindo a partícula de um fluido. O termo de produção representa a taxa com que k é transferida do escoamento médio para a turbulência. A variável ‘ é a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta. A difusão molecular é a difusão da energia turbulenta causada pelo movimento natural das moléculas de fluidos pelo escoamento. “Transporte turbulento” se destina à taxa com que k é transportado ao longo do fluido

pelas flutuações das velocidades. O último termo, enfim, é a difusão de pressão que nada mais é do que uma outra forma de transporte turbulento que correlaciona a pressão com as flutuações de velocidades (WILCOX, 2006).

A Equação (2.25) mostrou a variável ‘ que, destacada na Equação (2.26), apresenta para modelos de turbulência de duas equações bastante importância por ser juntamente com o a energia cinética turbulenta o que conseguem ditar o comportamento turbulento de um escoamento. ‘= ‹ K ˆuÕ i ˆxk ˆuÕ i ˆxk L ≥ 2‹ ÈsÕiksÕikÍ (2.26) Nota-se na Equação (2.25) tem-se duas definições do termo ‘ para a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta. O segundo termo mostra que ‘ é proporcional ao tensor das flutuações das taxas de deformação (sÕ

ik). Essa segunda definição foi feita por Townsend e Hinze e entitularam essa dissipação por “dissipação verdadeira”. Bradshaw e Perot em 1993 observaram que a diferença entre as definições clássica e verdadeira é da ordem de 2%, o que pode ser desprezível portanto (WILCOX,2006).

Para concluir essa subseção, é importante destacar a definição final do tensor de Reynolds pela hipótese de Boussinesq. A fórmula que representa essa hipótese consta na Equação (2.27). O tensor ·ij quando tratado na hipótese de Boussinesq não é o tensor de Reynolds propriamente dito. É apenas a parte deviatórica/anisotrópica desse tensor que

Boussinesq desenvolveu sua hipótese (aqui chamado de Aij). Essa hipótese será discutida também na parte destinada para a teoria da Decomposição Tensorial aplicada neste projeto e também quando for explicada a ideia por trás do modelo RANS.

Aij = 2‹tSij (2.27)

onde Sij diz respeito a parte simétrica do gradiente transposto de velocidade média. As Equações (2.28), (2.29), (2.30) e (2.31) mostram como obter essa parte simétrica do gradiente. Lij = ˆUi ˆxj = S W W W U ˆU ˆx ˆU ˆy ˆU ˆz ˆV ˆx ˆV ˆy ˆV ˆz ˆW ˆx ˆW ˆy ˆW ˆz T X X X V (2.28)

onde L é o gradiente transposto de velocidade média do escoamento.

L = 1₂L + 1₂L +1₂LT ≠1₂LT = 1₂1L + LT2 ¸ ˚˙ ˝ S (parte simétrica) + 1₂1L ≠ LT2 ¸ ˚˙ ˝ (parte anti-simétrica) (2.29) onde a parte S como explicitado na própria equação é a parte simétrica e usada para a definição de tensor de Reynolds pela hipótese de Boussinesq. As partes S e estão com suas fórmulas apresentadas nas Equações (2.30) e (2.31).

S = S W W W U ˆU ˆx 1 2 1 ˆU ˆy + ˆV ˆx 2 ₁ 2 1 ˆU ˆz + ˆW ˆx 2 1 2 1 ˆU ˆy + ˆV ˆx 2 ˆV ˆy 1 2 1 ˆV ˆz + ˆW ˆy 2 1 2 1 ˆU ˆz + ˆW ˆx 2 ₁ 2 1 ˆV ˆz + ˆW ˆy 2 ˆW ˆz T X X X V (2.30) = S W W W U 0 1 2 1 ˆU ˆy ≠ ˆV ˆx 2 ₁ 2 1 ˆU ˆz ≠ ˆW ˆx 2 1 2 1 ˆV ˆx ≠ ˆU ˆy 2 0 1 2 1 ˆV ˆz ≠ ˆW ˆy 2 1 2 1 ˆW ˆx ≠ ˆU ˆz 2 ₁ 2 1 ˆW ˆy ≠ ˆV ˆz 2 0 T X X X V (2.31)

A parte anti-simétrica será importante quando for discutido sobre o modelo RANS Realizable k ≠ ‘ e o modelo k ≠ Ê. Esta parte representa o tensor de vorticidade, que tende a rotacionar um filamento de fluido em vez de deformá-lo (parte destinada a parte simétrica S).

A última parte teórica essencial para obter um completo entendimento antes de entrar na seara dos modelos de turbulência é dissertar sobre a Lei de Parede.

2.3.3 Lei de Parede

Uma importante técnica aplicada atualmente no mundo da turbulência é a da Lei de Parede. Essa lei trata-se de dividir em camadas as regiões próximas e longe da parede