Influencia do campo magnetico sobre uma amostra de cristal liquido nematico torcida

U N I V E R S I D A D E FEDERAL DE S A N T A » C A T A R I N A DE P A R T A M E N T O DE F Í SICA

INFLU Ê N C I A DO CAMPO M A G N É T I C O SOBRE UMA A M O S T R A DE CRISTAL LÍQUIDO NEMÃTICO TORCIDA.

TESE SUBMETIDA -A-UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA C A T A R I N A PARA A O B TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS

FERNANDO CABRAL

F L O R I A N Õ P O L I S

SANTA C A T A R I N A - BRASIL AGOSTO - 1973

/

ESTA TESE FOI JULGADA A D E Q U A D A PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

"MESTRE EM CIÊNCIAS"

E S P E C I A L I D A D E F Í S I C O - Q U Í M I C A E A P R O V A D A E M SUA FORMA FINAL PELO P R O G R A M A BE PÕS- G R A D U A - ÇÃO.

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P^ROF . JOHN DALE - GAULT , Ph. D, INTEGRADOR

A G R A D E C I M E N T O S

A UFSC * '

AO P R O F E S S O R TED, RAY TAYLOR

AO P R O F E S S O R JOHN DALE GAULT

AO P R O F E S S O R JAIME OLTRAMARI

S_U M_Ã_R_I_0

^ P^ G

-CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... ... ... ... 1 1.1 - Propriedades Gerais e Definição de Cristais L í ­

quidos ... ... ... 1 1.2 - Propriedades Óticas dos Cristais Líquidos

Nemã-ticos ... ... 4 1.3 - P r o p r i e d a d e s Elétricas e Magnét i c a s dos Cristais

L í q u i d o s Nemãticos ... ... 5 1.4 - Prop r i e d a d e s Elásticas dos Cristais Líquidos

Ne-mã ticos ... ... ... 6

CAPÍTULO 2 - DETERMINAÇÃO DA ORIENTAÇÃO MO LEC U L A R DE UMA A MO STR A DE CRISTAL LÍQUIDO NEMÃTICO COM T O R ­ ÇÃO UNIFORME SOB A INFLUÊNCIA DE UM CAMPO

EXTERNO ______ ______________________ _ 14 .2.1 - T e oria dos Cristais Líq u i d o s N e m ã ticos com T o r ­

ção Induzida ... ... 14 2.2 - D i s t orção do Padrão de Orient a ç ã o U n iforme D e v i ­

do à Pre s e n ç a de Campos Externos P e r p e n d i c u l a r e s

às Placas ... ... ... 17 2.3 - Calculo do Padrão de Orientação Molecular como

Função do Campo Magnético ... 23

CAP Í T U L O 3 - MÉTODO PARA D E T E R M I N A Ç Ã O DOS PONTOS DAS C U R ­ VAS DE 9 e 0 COMO FUNÇÃO DO CAMPO REDUZI^

DO ... ... ... . . ... . 32

C A P Í T U L O 4 - DI S C U S S Ã O . . . ... ... . 34

vi

F I G U R A S

PÃG.

FIGURA 1 - R e p r e s e n t a ç ã o da Orientação M o l e cular ... 3

FIGURA 2 - D e f o r m a ç õ e s F u n d amentais ... . 10

FIGURA 3 - Orientação M o l e c u l a r da Fase N emãtica entre Placas Paralelas ... . 13

FIGURA 4 - Componentes Cartesianas do Vetor L ... 16

FIGURA 5 - Gráfico do Ângulo 0 ... . ... 29

FIGURA 6 - Gráfico do Ângulo 0 ... ... 31

/

vii

R _ E _S_U_M_0

As mo l é c u l a s de cristais líquidos n e m ã ticos p o d e m - ser orientadas p a r a l e l a m e n t e superfícies de contato e orie n t a ção de duas placas paralelas pode ser tal que o cristal líquido nem á t i c o entre elas sofra uma torção uniforme. 0 p resente t r a b a ­ lho discute a influencia do campo ma g n é t i c o ou elétrico p e r p e n d i ­ cular ãs placas sobre esta estrutura. As equações que d e t e r m i n a m a orientaçao m o l e cular como funçao do campo aplicado são resolvi das para o caso k n = k. 2 2 = ^33 • Até o campo magnético atingir um valor crítico, não ocorre distorção no padrão de orientação. A pós este valor crítico, a torção deixa de ser uniforme. Os r e s u l ­ tados para a o rientaçao foram inesperados, as m o l éculas t e ndem a se orientar p a r a l e l a m e n t e ao campo aplicado a medida que sofrem 11 ma torção. Para altos valores do campo, a orientação m o l e c u l a r é p r a t i c a m e n t e constante em cada m e tade da amostra, mas entre u m la. do e outro do plano de simetria da amostra, as projeções do eixo mo l e c u l a r no plano pe r p e n d i c u l a r ao campo externo formam um ângu lo prõximo de n o v e n t a graus. Apre s e n t a m o s gráficos para os â n g u ­ los 0 e 0 como função do campo reduzido, para torção inicial de n o v e n t a graus, pois este é o caso de maior interesse prático . Os resultados teóricos c o n c ordam q u a l i t a t i v a m e n t e com dados e x p e ­ rimentais obtidos em várias experiências.

vi i i

A B S T R A C T

The molecules of nematic liquid crystals can be o r i ­ ented parallel to their c ontaining surfaces and the o r i e n t a t i o n of the parallel plates can be such that liquid crystal b e t w e e n them has a u n i f o r m twist. The present work discusses the i n f l u ­ ence of a m agnetic or electric field pe r p e n d i c u l a r to the plates on this twisted structure. The equations that d e t e rmine the mole cular o r i e n t a t i o n as a function of the applied field are solved for the case = k-22 = ^33 * Until the magnetic field reaches a critical value, there is no disto r t i o n of the o r ientational pattern. After this critical value, the twist becomes non- u n i ­ form. The results for the molecular, o r i entation were unexp e c t e d as the m o l e c u l e s tend to line up parallel to the applied field as they twist. For high values of the field, the mo l e c u l a r o r i ­ e n tation is p r a c t i c a l l y constant in each half of the sample , but, b e t w e e n one side and the other of the plane of s ymmetry of the sample, the p r o jections of the molecular axis in the plane - p e r p e n d i c u l a r to the external field make an angle close to n i n e ­ ty degrees. We show graphs for the angles 9 and 0 as a f u n c ­ tion of the reduced field for an initial twist of nine ty degrees b e c a u s e this is the case of greater practical interest. The thec> retical results m a t c h q u a l i t a t i v e l y the experimental results o b ­ tained in various experiments.

INTRODUÇÃO

1.1 - P R O P R I E D A D E S GERAIS E D E F I N I Ç Ã O DE CRISTAIS L ÍQUIDOS

O termo cristal líquido e u t i lizado para d e s c rever fases t e r m o d i n a m i c a m e n t e estáveis que o c o r r e m quando certas substancias orgânicas sofrem fusao. Estes estados intermediários entre a fase solida e a fase liquida, t a mbém chamados de estados m e s o m ó r f i c o s , o c o r r e m quando nao foi fornecido suficiente calor para t r a n s f o r ­ mar a s ubstância em um liquido isotropico, significando que a en tropia dos cristais líquidos localiza-se numa faixa i n t e r m e d i á r i a entre a e n tropia dos solidos e a e n tropia dos líquidos.

As substâncias que a p r e s e n t a m a pos s i b i l i d a d e de formar fases m e s o m ó r f i c a s são geralmente constituídas por m o l é c u l a s alon gadas que p o s s u e m uma secção transversal muito menor que o com p r imento e que podem ser caract e r i z a d a s por dois eixos perpendicva lares entre si, sendo um deles, chamado de eixo maior ou eixo m o ­ lecular, paralelo à direção alongada da molécula.

A / temperaturas abaixo do ponto de fusão, os centros de m assa das m o l é culas formam uma rede c ristalina t r i d i m e n s i o n a l , i s^ to é, a quém do ponto de fusao, os cristais líquidos a p r e s e n t a m a e s t r u t u r a de um solido do tipo m o l e c u l a r normal. A m e d i d a que a t e m p e r a t u r a aumenta podem começar a surgir uma, duas ou mais fa­ ses m e s o m o r f i c a s , dependendo do tipo de substância consid e r a d a ( F i gura 1).

Segundo o tipo de ordenaçao molecular, os cristais líqui^ dos são divididos em duas categorias p r i n c i p a i s : a fase e s m éctica e a fase nemática, sendo que a pri m e i r a apresenta várias s u b d i v i ­ sões. As fases esmecticas p o s s u e m uma ordenação maior que a fase n e m a t i c a e sao caracterizadas por uma o rientaçao dos centros de massa das moléculas em camadas equidistantes, constituindo uma re de b i d i mensional. Nestas fases, os eixos mole c u l a r e s t e ndem a man

F I GURA 1 - R E P R E S E N T A Ç Ã O DA O R I E N ­ TAÇÃO M O L E C U L A R .

Utili z a n d o segmentos de reta para r e p r e s e n ­ tar as moléculas, estao e s q u e m a t i z a d a s possíveis fa_ ses de uma substância const i t u í d a por moléculas alon gadas: a fase solida c ristalina (a); fase esméctica ( b ) ; fase nemática. (c) e fase líquida

isotropica-1 isotropica-1

II

I N T V X x - >

\| \ T s / . l X< l

ter-se p a r a l e l a m e n t e alinhados em cada camada. Na fase n e m a t i c a , a coordenação dos centros de m a s s a desaparece, mas a o r d e n a ç a o de longo alcance m a n t é m as m o l é culas alinhadas p a r a l e l a m e n t e . Ate que seja fornecido suficiente calor para transf o r m a r - s e em um lí­ quido isotropico, uma dada substância, pode apresentar varias c o m ­ binações de fases m e s o m õ r f i c a s : 19) uma ou mais fases esmecticas e fase n e m a t i c a 2?) somente uma ou mais fases esmecticas; 39) sõ_ mente fase ne m a t i c a e 49) nenh u m a fase mesomõrfica.

Por c o n s t i t u i r e m uma fase intermediária, os, cristais lí­ quidos a p r e s e n t a m propriedades de sõlidos e pro p r i e d a d e s de líqui^ dos Devido â orientação dos eixos moleculares, as fases m e s o m ó r - ficas p o s s u e m alta a n i sotropia em algumas de suas p r o p r i e d a d e s ,ca ract e r í s t i c a n o r malmente e ncontrada sõ nos cristais sõlidos. A i- n e x i s t e n c i a de uma rede cristalina tridimensional contribui -para que estas substâncias tenham a p r o p r i e d a d e de fluir e tamb é m a p r o p r i e d a d e de não poder p e r s istir uma tensão de cisa l h a m e n t o em uma amostra de cristal líquido; isto é o mesmo que ocorre com os líquidos verdadeiros. Os cristais líquidos nemãticos p o s s u e m alta m o b i l i d a d e molecular; sua v i s c o s i d a d e é próxima â da água, o que permite uma fácil orientação dos eixos m o l eculares quando da apli_ cação de forças externas. No nosso trabalho, trataremos apenas de cristais líquidos nemãticos, portanto, vamos analisar suas p r o ­ priedades com mais detalhes.

1.2 - PRO P R I E D A D E S ÕTlCAS DOS CRISTAIS LÍQUIDOS N E M Ã TICOS

Devido â anisotropia molecular, os cristais líquidos p o s ­ suem pro p r i e d a d e s óticas que se a s s e m e l h á m âs pro p r i e d a d e s oticas d o s s õ l i d o s .

Quando um raio de luz l i n earmente p o l a r i z a d a a t r a v e s s a um líquido isotropico, o material nao afeta o estado de p o l a r i z a ç a o _ da luz; entretanto, se o material for a n i s o t r õ p i c o , o raio lumino^ so se d i vidirá em dois: o raio ordinário e o raio e x traordinário, caracte r i z a d o s por diferentes estados de p o l arização e por d i f e ­ rentes índices de refração. A grandeza que c a racteriza este f e n ô ­ meno, chamado de birrefringincia, é a d i f e r e n ç a entre o índice de refração do raio ordinário e o do raio extraordinário.

tante elevada, geralmente da ordem de oito a dez vezes maior que na m a i o r i a dos sólidos. A l e m disto, os cristais líquidos nemati- cos sao uniaxiais, isto é, existe somente uma direção para a qual nao ocorre b i r r e f r i n g ê n c i a , para a qual os índices de refração o_r dinãrio e e x t r a o r d i n á r i o sao iguais. Esta direção coincide com a direção pref e r e n c i a l de orientaçao. Para todas as fasesk ne m ã t i c a s conhecidas, o índice de refraçao ordinário é maior que o índice de refração extraordinário.

Observando uma amostra de cristal líquido n e mático com - luz polarizada, podemos determinar a birref ringência e outras prcj priedades óticas; isto significa dizer que podemos deter m i n a r a orientação1 mo l e c u l a r a partir de o b servações com luz p o l a r i z a d a . Depen d e n d o da o rientação molecular, uma amostra de cristal l í q u i ­ do nemático pode fazer girar o plano de pola r i z a ç a o da luz l i n e ­ armente polarizada. Este fenômeno ocorre quando a e s t r utura n e m á ­ tica possui uma torção e xpontânea ou induzida. Os n e m ãticos com torção expontânea, também chamados de colestéricos, p o s s u e m ativi dade ótica b astante elevada. Os cristais líquidos c o l e s téricos - possuem, também, a propr i e d a d e de reflexão seletiva da luz. D e n ­ tro de uma certa faixa de comprimento de onda, a luz c i r c u l a r m e n ­ te p o l a r i z a d a no sentido horário é transmitida, enquanto que a luz c i rcularmente p o l a r i z a d a no sentido a n t i - horário é r e f l e t i d a ou vice-versa.

1.3 - PROP R I E D A D E S ELÉTRICAS E M A G N É T I C A S DOS CRISTAIS LÍ Q U I D O S N E M Ã T I C O S .

As m o léculas nemáticas a p r e s e n tam anisotropia nas proprie^ dades elétricas e m a g n é t i c a s , pois existe d i f e rença e n tre as p o l a r izabilidades mole c u l a r e s paralelas e p e r p endiculares ao eixo m o ­ lecular. Devido a esta anisotropia, as substâncias que a p r e s e n t a m fase nemática. podem ter seü padrao de orientação alterado pela a- çao de campos m agnéticos ou elétricos externos. 0 tipo de efeito na ordenção vai depender do valor da a n i s o t r o p i a da s u s c e p t i b i l i ­ dade m a g n é t i c a e da constante d i e l é t r i c a ..Por a n i s o t r o p i a entende mos a d i f e rença entre o valor da grandeza paralelo ao eixó m o l e c u lar e o valor da grandeza pe r p e n d i c u l a r a esta direção. A polari zabilidade m a g nética m o l e c u l a r pode ser descrita por três valores

um corres p o n d e n t e à direção paralela ao eixo maior e os outros dois c orrespondentes a duas direções p e r p e n d i c u l a r e s entre si é p e r p e n d i c u l a r e s ao eixo maior. Devido a simetria de rotaçao e x i s ­ tente em torno do eixo maior, sõ dois valores são in d e p e n d e n t e s . Estas duas grandezas correspondem, m a c r o s c o p i c a m e n t e , às susceptí^ bilidades paralelas e p e r p e n d i c u l a r e s à direção pref e r e n c i a l de rientação. Para m o l éculas nemãticas, o valor das s u s c e p t i b i l i d a - des magnét i c a s é muito pequeno, da ordem de 1 0 “ ^ cgs, s i g n i f i c a n ­ do que os vetores campo m a g n ético e indução m a g nética p o d e m ser considerados p r a t i c a m e n t e paralelos. Logo, ao aplicarmos um campo ma g n é t i c o externo constante, o campo m a g n ético na amostra vai ser uniforme.

Ao considerarmos o c a s o de r esposta ao campo elétrico, podjs mos supor que no centro da m o l é c u l a existe um dipolo pontual cujo momento de dipolo não é paralelo ao eixo maior da molécula. 0 â n ­ gulo entre o momento de dipolo e o eixo m o l e c u l a r vai c a r a c t e r i ­ zar o valor da anisotropia. A analogia com as pro p r i e d a d e s m a g n é ­ ticas não é de todo completa porque o valor da constante dieletri^ ca não é pequeno e p ortanto nao podemos considerar o campo elétri^ co paralelo ao vetor desl o c a m e n t o elétrico. Isto significa que te rémos na amostra um campo eletrico nao uniforme mesmo quando apli^ carmos uma diferença de potencial constante. Ao aplicarmos um cam po elétrico ou m a g n ético em uma amostra de cristal líquido nemãti^ co, as moléculas tenderão a se orientar com a direção de m a i o r _ constante dielé t r i c a ou susceptib i l i d a d e ma g n é t i c a paralelamerite_ ao campo externo, pois é esta a configuração de mínima energia . Ê desta forma que podemos alterar a orientação m o l e c u l a r m e d i a n t e a aplicação de um campo externo.

1.4 - P R O P R IEDADES ELÁSTICAS DOS CRISTAIS L Í QUIDOS NE M Ã T I C O S

Em cada ponto de um cristal líquido nemãtico existe uma direção preferencial de orientaçao das moléculas, c a r a c t e r i z a d a - por um vetor L, unitário, cuja direção varia c o n t i n uamente de uma. região para outra da amostra. Em cada ponto nos tomamos o vetor L como sendo a direção m édia do eixo maior, definindo assim, a dire^ ção preferencial de o rientação das m o l é c u l a s . Portanto, se c o n s i ­ derarmos uma pequena região de cristal líquido nemãtico em r e p o u ­ so , as moléculas estarão p r a t i c a m e n t e paralelas, entretanto , em

7

uma amostra maior, os eixos mole c u l a r e s nao serao p a r a l e l o s , e m to dos os pontos. Com isto queremos dizer que os vetores L são local^ mente paralelos. Devido a esta suposição, devemos esperar que os cristais líquidos nemãticos p o s s u a m estruturas flexíveis, que p o ­ dem ser deformadas com a aplicaçao de forças externas e que d e v e ­ rão v o l t a r a sua posição de equilíbrio assim que as forças exter nas cessarem.

Para definirmos qual a orientação de equilíbrio com ou sem força externa aplicada, devemos determinar qual a estrutura, isto é, qual a funçao do vetor L com a posição, que m i n i m i z a a e- nerg i a livre total (G) da amostra. Qualquer deformação no padrão de orient a ç ã o causa uma alteraçao na energia livre e esta altera- çao pode ser calculada com o auxílio de constantes elásticas como na teoria do estado sólido. Entretanto, as forças re s t a u r a d o r a s - não d e v e m ser consideradas da mesm a . f o r m a que na teoria dos s ó l i ­ dos, 'pois n o s -sólidos m o l eculares existem forças re s t a u r a d o r a s que tend e m a manter as distâncias intermoleculares c onstantes e nos cristais líquidos tais forças nao existem. Nos cristais , líqui dos devemos considerar forças restauradoras que se opõem âs defor maçoes ma c r o s c o p i c a m e n t e . Sao estas forças que farão com que o cristal líquido retorne a sua situação de equilíbrio quando as - forças externas cessarem. Para calcularmos a energia de d e f o r m a ­ ção, podemos supor que a energia e uma função q uadrática das de- formaçoes de módo análogo ã lei de Hooke e supor que o meio seja contínuo. Esta última suposição nos permite escrever a energia li vre como sendo a integral v o l u m é t r i c a sobre toda a amostra de uma de n s i d a d e de energia (g) .

G = í g dV (1.1)

J v .

F r a n k 2 expandiu a densidade dè energia elástica como f u n ­ çao das primeiras derivadas do vetor L em relaçao à posição. S u ­ pôs, também, que as variações da direção preferencial de orienta çao eram contínuas, o que equivale, portanto, a supor que as de- f o r m açoes locais sao pequenas. C om esta suposição, os termos de segunda o r d e m da expansao em série puderam ser n egligenciados. A e x p r essão para a densidade de energia é:

8

onde os índices repetidos indicam somà e onde;

3 Lx _ 3l x _ 9LX 3Ly ÔLy

a i = 9x ’ a 2 = ay » a3 “ az ’ ^ 9* » a 5 = ay » aLy

» a 6 = 3Z (1.3)

k.£ e k£j r e p r e s e n t a m constantes que nós chamamos constantes e l a £ t i c a s .

.

.

•

2

U t i l i z a n d o argumentos de simetria, Frank chegou a uma expressão compacta para a d e n sidade de energia elástica:

2 g e iast = k]_]_(-V.L)? + k2 2(L.^xL)^ + k3 3(LxVxL)^ (1.4) onde k^]_ , k£ 2 e ^ 3 3 r e p r e s e n t a m as contantes elásticas associa das às d e f ormaçoes fundamentais, que sao, r e s p ectivamente, encur- vamento longitudinal ("splay"), torçao ("twist") e e n c u rvaiento - transversal ( " b e n d " ) . As deformaçoes produzidas em um cristal lí­ quido podem ser decompostas nas três deformaçoes f undamentais (Fig.2)

Quando forem aplicados campos externos, devemos ad i c i o n a r os termos c o r r e s pondentes à equaçao 1.4, pois esta só d e s c r e v e a de n sidade dé energia elástica. De posse da expressão para a densi^ dade de energia livre total, podemos deter m i n a r qual será a confi; guração de equilíbrio, isto é f qual será a configuração que irá m i n i m i z a r a energia livre total, Portanto, a integral sobre todo o v o lume da amostra da densidade de energia total deve ser um m í ­ nimo :

J G - é j g d V = é f e l á s t i c a * « c a m p o 5. dV ' 0 ( U 5 > Portanto, a densidade de energia obedece às equações de E u l e r - L a g r a n g e . Destas equações d i f e renciais podemos calcular o vetor L como função da posição para qualquer ponto da a m o s t r a , s e n do conhecidas as condiçoes de contorno que d e p e n d e m da ge o m e t r i a do p r o b l e m a .

Em nosso trabalho, analisamos o efeito do campo m a g n é t i c o e do campo elétrico sobre uma configuraçao nemãtica entre placas paralelas com torção induzida uniforme. Outras geometrias são pos síveis, como, por exemplo, uma estrutura nemãtica sem torção ou uma estrutura n emãtica entre placas não paralelas^.*^. ■

FI GURA 2 - D E F ORMAÇÕES FUNDAMENTAIS

As três deformaçoes fundamentais que p o d e m ocorrer em um cristal líquido são mostradas. As de- formaçoes fundamentais sao: encurvamento transversal ( " b e n d " ) ( a ) ; encurvamento longitudinal ( " s p l a y " ) ( b ) ; e torção ( " t w i s t " ) ( c ) .

11

locar a substância nemãtica entre duas placas paralelas que sofre ram üm tratamento prévio de modo a forçar as molécula.s a se a l i ­ n h a r e m p a ralela e u n i f o r memente nas superfícies de contato. Neste estado inicial, todas as m o l éculas estão paralelas entre si e p a ­ ralelas âs superfícies de contato (Figura 3a). 0 segundo passo consiste em girar uma das placas por um valor angular c o n h e c i d o - (20o ) ; isto irá induzir na amostra uma torçao u n i f orme, pois em cada uma das placas a orientação mo l e c u l a r é diferente. Entre as duas superfícies haverá uma transiçao na orientação (Figura 3b). Ao aplicarmos um campo magnético ou elétrico, as m o l é culas t e n d e ­

rão a orientar sua direção de maior s u s ceptibilidade p a r a l e l a m e n ­ te ao campo externo, o que produz uma m o d ificaçao do padrao com torção uniforme.

0 estudo desta geometria e importante, pois nos darã in- formaçoes sobre o c o mportamento dos cristais líquidos ne m ã t i c o s . A l é m disto, os efeitos e l etro-5ticos possuem muitas a p l i c a ç õ e s - p r á t i c a s .

F I G U R A 3 - ORIENTAÇÃO M O L E C U L A R DA FASE N E M Ã T I C A ENTRE PLA CAS P A R A L E L A S ■

Orientação m o l e c u l a r de uma estrutura ne m á tica planar (a) e a orientaçao mo l e c u l a r de uma a- most r a n e m ã t i c a com torçao induzida (b). A e s t r u t u ­ ra com torçao induzida u niforme pode ser obtida a partir da estrutura planar através de uma rotação feita em uma das placas.

14

Ç_A_P = Í =T =U =L ^0 = i= = 2

D E T E R MINAÇÃO DA ORIEN T A Ç Ã O M O L E C U L A R DE UMA A M O S ­ TRA DE CRISTAL LÍQUIDO N EMÃTICO C OM TORÇÃO U N I F O R ME SOB A I NFLUÊNCIA DE UM CAMPO E X T E R N O .

2.1 - T E ORIA DOS CRISTAIS L Í QUIDOS NEMÃTICOS COM TORÇÃO I N D U Z I ­ DA .

Para encontrarmos a orientaçao de uma estrutura ne m á t i c a com torção uniforme entre duas placas paralelas separadas por uma d i s t â n c i a 2_d, devemos uti l i z a r a expressão para a de n s i d a d e de e- nergia elástica de Frank , equaçao 1.2* com as resp e c t i v a s condi^ ções de contorno, e definirmos um sistema de coordenadas. S e g u i n ­ do o trabalho de Leslie'*, o sistema de coordenadas que

_*r

escolhere mos será um sistema de mao direita tal que as placas p a r a l e l a s eii c o n t r e m - s e p e r p e n d i c u l a r e s ao eixo z, uma colocada em z = 0 e oii tra colocada em z = 2d . T o rna-se também n ecessário d e f i n i r m o s _ as c o mponentes do vetor L . As c o m ponentes cartesianas de L p o d e m ser escritas como:

L x = cos 0 . cos 0 ; Ly = cos 0 . sen 0 ; L z =sen 0 (2.1) onde 0 é o ângulo qué o eixo m o l e cular (L) faz com o plano x-y, e 0 e o ângulo que a projeção do vetor L no plano x-y faz com a direção x (Figura 4). Devido â simetria do problema, os ângulos 0 e 0 são funções apenas da variável z , pois está e a direção p e r p e n d i c u l a r às placas, assim:

0 = 0(?) ; 0 = 0 (e) (2.2)

Substituindo a equação 2.1 na expressão de F rank para a d e n s i d a d e de energia livre elástica, teremos:

2g = k n c o s 20 (j|)2 + k2 2 c o s 4 0 (j|) +

FIGURA 4 - COMP O N E N T E S CARTESIANAS DO V E T O R L .

Os ângulos 0 e 0 que de s c r e v e m as c om­ ponentes cartesianas do vetor. L , isto ê, as g r a n ­ dezas que d e s c revem a orientação molecular, são mojs trados.

17

Esta expressão pode ser simplificada: 2g = f (6) (||)2 + h (6) (||)2 o n d e : (2.4) f (0) = k]_j_ c o s 20 + k3 3 sen^.0 ; h(0) = (k22c o s^0+ k3 3 s e n 2 0) . . cos^0 ' (2.5) C o n s i derando a m i n i m i z a ç ã o da integral v o l u m é t r i c a da e- quação 2.4, podemos escrever as seguintes equações de E u l e r - La - grange para o sistema:

d m - d0 f (0) - 2 f ê h(e) O 2 - 0 d dz h(0) d_0 dz = 0 (

2

.

6

) (2.7) Para resolvermos este sistema de equações acopladas, deve remos c onsiderar as condiçoes de contorno impostas pelas s u p e r f ^ cies de contato. C o n s i d e r a r e m o s as mesmas condições d i s c u t i d a s ’ - por Leslie^, pois estas são as que a p r e s e n t a m maior interesse prá tico.

0 (0) = 0 ; 0 (2d) = 0 (2.8);

0 (0) = - 0 o ; 0 (2 d ) = 0O (2.9) As duas primeiras relações d e s c r e v e m o paral e l i s m o das m £ leculas nas placas e as duas ultimas d e s c r e v e m a rotaçao que as placas s ofreram para induzir a torção na amostra. Uma solução que satisfaz as condiçoes de contorno e as equações 2.6 e 2.7 é:

0 (z) = 0 (2.10)

(2.1 1)

Devemos notar que a solução corresponde e xatamente a uma torção uniforme. A l é m disto, esta solução satisfaz as c o n d içoes - de simetria do problema, pois 0 é igual a zero no centro da a m o s ­ tra .

2.2 - D I S T ORÇÃO D0 PADRÃO DE O RIENTAÇÃO UNIFORME DEVIDO Ã P R E ­ SENÇA DE CAMPOS EXTERNOS P E R P E N D I C U L A R E S ÃS P L A C A S .

18

Ao aplicarmos um campo externo à amostra de cristal líqui^ do nemático, a a n i sotropia da s u s c e p t i b i l i d a d e e da co n s t a n t e di_e létrica farã com que o padrao u niforme sofra uma modificação. P a ­ ra determi n a r m o s esta alteraçao, devemos calcular a d e n s i d a d e de energia total e minimizá-la. Para tanto, calcularemos a contribui^ ção do campo externo na mesma. C o n s i d e r a r e m o s só campos m a g n é t i ­ cos, pois neste caso o tratamento para campos elétricos é análogo. De acordo com o tratamento de Meier et a l 9 , vamos supor que a a- m o stra de cristal liquido e a fonte geradora f o rmam parte de um sistema isolado. Esta suposição nos permite escrever a seguinte e quaçao de conservação:

dG , „ + dG = dG. • (2.12)

elast mag fonte A

Para um gerador com corrente estabilizada, podemos r e l a ­ cionar a energia da fonte com a energia m a g n ética da amostra:

2G = G,. (2.13)

mag fonte v '

Para uma discussão mais d e t a lhada veja-se o livro de Reitz Milford^.

C olocando esta ultima relaçao na equaçao de cons e r v a ç a o teremo s :

dG . - dG = 0 ; 'd (G , t - G ) = 0 (2.14)

elast mag elast mag

Esta relaçao indica que o termo c o r r espondente ao campo externo e “Gm a g n é t i c a . C o m isto, queremos dizer que a d i f e r e n ­ ça entre a energia elástica e a energia ma g n é t i c a é a funçao que deve ser m i n i m i z a d a e nao sua soma. A energia que deve ser minimi zada é:

G d v - / / m a g d T < 2 - l 5 >

A d e n s i d a d e de energia m a g n é t i c a é dada pela expressão:

gmao = 1/2 B . H (2.16)

mag ' '

U tiliz a n d o esta expressão para a d e n s idade de energia maj* nética e a expressão de Frank para a d e n sidade de energia e l á s t i ­ ca, teremos para a energia livre total:

19

É necessário, portanto, calcularmos o produto escalar do campo magnético com a indução magnética. C om os valores de campo que estamos trabalhando, podemos c onsiderar o cristal liquido c o ­ mo um meio linear e podemos escrever:

B = (1 + v) H (2.18)

onde v é a susceptib i l i d a d e magnética, uma grandeza tensorial . A equação 2.18 se aplica para qualquer sistema de c o o r d e n a d a s ,mas devemos ter o cuidado de expressar as grandezas B, H e v em um mesmo sistema de coordenadas.

B. , = , . H't , + H. ,

lab lab lab lab

B . = v . . H . + H .

mol mol mol mol

(2.19)

onde o índice "lab" indica o sistema de coordenadas do laboratõ - rio e o índice "mol" indica um sistema de coordenadas fixo em uma dada mo l é c u l a com o eixo maior da mo l é c u l a paralelo â direção /Z. N e s t e sistema de referência, nos supomos que a s u s c e p t i b i 1 i d ade_ m a g n é t i c a pode ser escrita como:

V2 0 0

\ o l "■ \ 0 v 2 0 I (2.20)

0 0 v^

Devemos notar que somente dois valores são independentes. Isto se deve ã simetria de rotaçao existente em torno do eixo m o ­ lecular. Em nosso trabalho, consideramos apenas campos m a g n é t i c o s co n s t a n t e s p e r p e n d i c u l a r e s às placas, isto é, paralelos a direção z . L o g o :

/ 0 \

H lab = ( 0 <2 -2 1 >

\ H j

Para calcularmos a indução magnética, devemos escrever as e q uações 2.20 e 2.21 n u m mesmo sistema de coordenadas. Por simpli cidade escolhemos o sistema do laboratório, portanto, devemos rea lizar uma rotação tridimensional com o sistema de r eferencia mole cular, isto ê, devemos realizar uma transformação de Euler. A sus c e p t i b i l i d a d e magnética pode ser escrita como:

onde A e A - ^ são, resp e c t i v a m e n t e , as m atrizes de rotaçao tridi^ m e n sional e sua inversa, c a r a c t e r i z a d a s pelos ângulos de Euler .

— 8

Para uma discussão mais completa, v e j a - s e o livro de G o l d s t e i n .

cos 0 sen 0 0

A = [ -sen0.sen0 sen9.cos0 cos 0 cos0.sen0 - c o s 0 . c o s 0 sen 0

•sen0.sen0 cos0.sen0

A = J en 0 sen0.cos0 -cos0.cos0

cos 0 sen 0

U tili z a n d o as expressões acima para as m atrizes de trans- formaçao, o produto escalar B . H tem o seguinte valor:

'o \ 0 h 0 0 \ B . H = A 0 v 2 0 0 v V -■ V , H 2c o s 02 a + V . a“ 1 . ( 0 0 H ) W , 2

2

(2.23) U tilizando a equaçao 2.4, podemos agora escrever a e q u a ­ ção para a densidade de energia total: '

2g = f(0) (ff)2 +h(0) (ff)2- ( v 1- v 2 ) .H2 s e n 20 - v 2H 2 - H 2 (2.24)

0 2 - ~

onde -H^ - vH e uma constante e portanto nao altera a forma das equações de Euler-Lagrange. As equações de E u l e r - L a g r a n g e são:

2 tí.P (0) (dl^" l ê h(e) (ff)2+2(v1- v 2 ) . s e n 0 . c o s 0 H 2 = 0 (2.25)

l i [ h<e) ü j - 0

< 2 -26)

A primeira integral das duas equações é f acilmente e n c o n ­ trada:

f (0) + h(0) ( ^ ) + v H 2 .sen20 = a ; V=V]_-V2 (2.23)

h (0) | | = b (2.28)

onde a e b são constantes dete r m i n a d a s pelas condições de c o n ­ torno. Podemos desacoplar estas equações, isto e , e s c reve-las c o ­ mo funçao de apenas duas variáveis.

Í

21

Podemos substituir o valor de d0/dz, obtido da e q u a ç ã o _ 2.28 ná equaçao 2.27, assim, a primeira equaçao serã apenas fun - ção de 0 e de z . Podemos colocar na equação 2.28 o v alor de dz obtido da equaçao 2.27 e, assim, a segunda equaçao serã funçao a- penas de 0 e de 0 .

.2

J f (6)' d6 - [ a - 0 -f (0) d0 h(0) b2 h(0) - v H 2 .se n 2 0 „2 2 _ - vH .sen 0 1/2 1 / 2 dZ h(6) d0 (2.29) (2.30)

Para r e solvermos estas equações devemos consi d e r a r as con diçoes de contorno impostas pelas superfícies de contato. As p l a ­ cas paralelas, d e t e r m i n a m os val o r e s de 0 e de 0 para os p o ntos - z = 0 , p a r a z = d e p a r a z = 2 d . d_9 dZ 0(0) = 0(2d) = 0 ; 0(d) = 0m ; (d) « 0 0(0) = -0 (2d) = - 0 O ; 0 (d) = 0 (2.31) (2.32) onde 0m é o mãximo valor de 0 e ocorre no centro da amos t r a . Devido a simetria do problema, temos que 0(z) = 0(2d-z) e que 0(z) = -0(2d-z) . Portanto, no que se segue, u t i l i z a r e m o s valo r e s de z menores ou iguais a d . Estamos também considerando que o campo ma g n é t i c o não altera a o rientaçao das moléculas que estão nas placas de contato. A p l i cando as condições de contorno e i n t e ­ grando as equações 2.29 e 2.30, podemos obter 0 e 0 como função - de z . As equações que d e t e r m i n a m o valor das componentes de L C£ mo funçao da posição sao:

1 / 2

d0 Z = 0+00 = f (0) m v H 2 (sen20 ^ s e n 20 )-b ^ h (0) - h ( 0 m ) ) h (6) . h (0m) f (0) 1/2 0o -v H 2 (sen20m - s e n 20) -b :^h (0) - h ( 0^) ) h ( 0 ) . h ( 6 m ) . f (6) bd0 h(0) 1 / 2 v H 2 ( se n 2 0 m - s e n 20~) -t> (h (0) ~h (gm) )

h(

0

) . h(

0

m) J

f (0) __________ __ l2 e )-b ^ h ( 0 ) - h ( 0 m T y d0 v H i (sen2 0m -sen_m / 2 b d 0 h (B ) (2.33) (2.34) (2.35) (2.36)

22

Devemos notar que temos quatro equações e que todas elas d e v e m ser u tilizadas para d eterminar o valor dos ângulos. As duas últimas equações servem para determinar as constantes 9m e b. Le_s lie** obteve estas mesmas equações partindo de conside r a ç o e s de hjl drodi n â m i c a aplicadas para cristais líquidos. 0 nosso p r o c e d i m e n ­ to já parte do caso mais particular, do caso estático. Devemos no tar que estas quatro equações d e t e r m i n a m a orientação m o l e c u l a r se conhecermos as constantes elásticas, a a n isotropia da suscepti. b il i d a d e m a g n é t i c a e o valor do campo magnético; portanto, p o d e ­ mos considerá-las como expressões da orientação m o l e c u l a r em f u n ­ ção do campo aplicado.

A partir das equações que d e s c r e v e m a orient a ç ã o m o l e c u ­ lar, podemos determinar o valor do campo no qual o padrão de o- rientação uniforme começa a alterar-se. Para tanto, usaremos a se guinte transformação de variáveis:

sen 0 sen x =

sen 0m (2.37)

d =

As equações 2.35 e 2.36 transformam-se em:

- , 1 / 2 f (0) 0o -v H 2 + h ( 0 ) . h ( 0 m ) f(0) , h (0)~ h (8 m ) \ s e n ^ 0 m “ sen^0 tt2 , b 2 h ( 0 ) - h ( 0 m ) ~ 7 h ( 0 ) . h ( 0 m ) sen20m -sen^0 1 / 2 dx COS0 bdx (2.38) c o s 0 .h(0) (2.39)

Devemos notar que:

sI H Í Í tI ^ Í = 2 k 2 2 -k 33+ (k 33-k 22) ( sen20 + s en2 0m ) (2.40) Podemos calcular as integrais acima, no limite quando 0m tende a zero, isto ê, quando o valor do ângulo 0 é zero em toda a amostra. Ao valor do campo magnético que obtivermos deste cálculo chamaremos de campo crítico (Hc ) e corresponde ao valor no qual tem

início a modi f i c a ç a o do padrão uniforme. 1 im 05^0 d = k ll -7 1 / 2 vII2 b < k 3 3 - 2 k 2 2)

22

dx (2.41)

23 i: r - 1/2 li» 0 _ n T k ll e ^ o ° „2 b ^ k 3 3 - 2 k 2 2)

o

vH

k

T

l

b dx

k 22

(2.42)

D i v idindo a equaçao 2.41 pela equação 2.42, podemos deter minar o valor de b quando tem início a distorção do padrão u n i ­

forme (bc ) .

, . 0O k 22

lxm b = b = -- ° (2.43)

6 ^ 0 d

Substituindo este valor na equação 2.42, obteremos o s e ­ guinte valor para o campo crítico-*:

H c = _{kll (f)2 - (k33 - 2 k 2 2 ) 0o ] ~ ~ r ~ (2.44)}

Esta equação é muito importante, pois descreve o valor do campo externo no qual tem início a distorção, como função das ca­ r a c t e r í s t i c a s da amostra de cristal líquido. Se conside r a r m o s uma es t r u t u r a planar, isto é, uma e s t r utura na qual 0O é igual a ze ro, teremos o seguinte valor para o campo crítico em c o n c o r d a n - cia com os trabalhos de Aero e Bulygin^ e Saupe^.

v d 2 H 2 = k ix (j£)2 (2.45)

D evemos agora prosseguir, calculando o valor das c o n s t a n ­ tes b e 9m para valores dos campos externos diferentes do campo crítico, pois assim poderemos determ i n a r os valores de 0 e 0 pa ra q u alquer valor do campo m a g n ético aplicado na amostra.

2.3 - CÁLCULO DO PADRÃO DE O RIENTAÇÃO MOLECULAR COMO FUNÇÃO DO CAMPO M A G N É T I C O .

Na secção anterior, encontramos o valor do campo m a g n é t i ­ co no qual começa a existir uma alteraçao no padrão de orient a ç ã o uniforme. Vamos, agora, calcular a variação dos ângulos 0 e 0 com o aumento do campo magnético. Para tanto, devemos resolver as • e- q uações 2.33 e 2.34, que d e s c r e v e m a orientação m o l e c u l a r e as e- quações 2.35 e 2.36, que d e s c r e v e m as condições de contorno. P a ­ ra p odermos resolver o problema, vamos considerar que as c o n s t a n ­ tes e l ã s t i c a p o s s u e m o mesmo valor. Esta aproximação estã b a s e a d a

24

no trabalho experimental de H a l l e r ^ e no: trabalhos teóricoí de Ne_h ring e Saiipe^-*- e Priest-*-2 . A l é m disto, outros p e s q u i s a d o r e s já a u t i l i z a r a m em trabalhos relacionados com a orientaçao m o l e c u l a r _ em cristais líquidos nemãticos.

Cons iderando

k ll = k 2 2 = k 33 = k (2.46) podemos escrever a equação 2.33 como:

.

1 / 2

dx x z = v H 2+ ---- 7~~~-- 2--k c o s z0 .cos 0m COS0 2~ 2 b7' vH .kcos 0+-cos0 dx k -I1/2 v H 2 .k+ - h í c o s ö_m - v H 2 .ksen2 0 dx 1 / 2 _x r co s Dm

2 0

t

_{1 -} v h2 .ks en^O m VvH . k+ b z CO s sen2x

1 / 2

dx (2.47)

Para resolvermos as equações, introduziremos a v a r i á v e l m = m ( H ) : m = vH 2 2 vH .k.sen 0m 2 .k + b 2 /c o s 20 (2.48) m

Devemos notar que 0 ^ m ^ 1 .

Substituindo a equaçao 2.48 na equação 2.47, temos:

dx 0 ]j~1- m .s e n 2x

(2.49)

 integral acima é uma integral elíptica incompleta do - primeiro tipo. Analogamente, a equação 2.34 transforma-se em:

0 + 0o /.._{(vH . k+}ti 2 1/2 x c o s ^ ê m (q (1 - m . s e n 2x)l/2 b d x k .co s 20 <0*0o> ( „ H S . k L n S s J - 1 / 2 x 1 bdx ( 1 - m s e n ^ x ) 1/2* (l-sen20m .sen2x) (2.50)

25

•) '

onde sen^0m = n .

A integral do segundo membro é uma integral e l íptica i n ­ completa do terceiro tipo. As equações 2.49 e 2.50 d e t e r m i n a m os valores de 0 e 0 para qualquer valor de z como função do- campo magnético, mas para determinar estes valores devemos conhecer os valores das constantes b e 0m ou m e 0m como função do campo magnético. As condições de contorno que d e t e r m i n a m os valores das

constantes são:

d m r 1 '2 ( %

k ^vH2 .k s e n 2 0 m ^ (1 - m . s e n 2x ) 1 ^ 2.51

0O ( ' m ' : 1/2 = ( % ____________ dx ______ (2.52) b v H 2 • k . sen20m / ^ ( 1 - m .s en2x) /2 ( l - n .sen2x)

As duas integrais são integrais elípticas completas, r e s ­ pe c t i vamente do primeiro e do terceiro tipo. U tilizando a not a ç ã o para integrais elípticas de M i l n e - T h o m p s o n ^ ^ f teremos para as qua tro equações que d e t e r m i n a m a orientação molecular:

1 / A f . E ( m ,x) (2.53) k m 1 (V H Z . k ^ e n i ^ 1 / 2 . K(m) (2 54) 0 + 0 0 (v H 2 .k.se.2em 1/2 _ ' (2.55) b m 00 (V H 2 .k sen2em >l/2 = (2.56) b

onde F(m.x) e K(m) representam, respectivamente, integrais e- lípticas de primeiro tipo incompleta e completa e, n ( n , m , x ) e ü(n,m) representam, respectivamente, integrais elípticas do t e r ­ ceiro tipo incompleta e completa. Com estas quatro equações podja mos determinar o valor das componentes de L em qualquer ponto da amostra para q u alquer valor do campo magnético» Para c o n h e c e r ­ mos os valores de 0 e 0 , devemos introduzir os valores das cons tantes b, m e 0m nas equações 2.53 e 2.54 . D e v e m o s lembrar- nos que estas três constantes nao são i n d e p e n d e n t e s , pois estão relacionadas pela equação 2.48» Dividindo a equação 2.54 pela

e-26

quaçao 2.56 , temos:

db K(m)

0ok n ( n ,m) (2.57)

Para acharmos os v a l o r e s , d e m e 6m , devemos isolar o va lor do campo magnético das equações 2.55 e 2.48 .

Da equaçao 2.48: (vH2 .k + — — -- ) = v H 2 .k.sen20m cos^Sin mb2 (mvk - vk.sen 0m ) H ,‘ „ c o s z0m H 2 = --- --- ---— ---2~— (2.58) vk (sen 0m —m ) .cos 6u Da equaçao 2.54.: •

2

v H 2 .k .s e n 2 0m _ K 2 ( m ) .k 2 ; h2 = m * ^ ‘-— — m " d 2 v .d 2 .s e n 2 0m (2.59)

Comparando as equações 2.58 e 2.59, podemos r e l a c i o n a r 0m como função somente de m , se u t i lizarmos o valor de b da equa ção 2.57 : b 2m _ m . k . K 2 (m) v .k (s en20m - m ) .c o s 20m v . d 2 . sen2 0m „2, x _ d 2 .tg20m /-K 2 (m) . 0o.-k y ( ' k 2 (sen2em-m) ' d 2 ./

2

r

s

t g 20m . 00 /O m = sen 0™ - — -n--- - (2.60) . II (n ,m)

Esta última relação nos permite calcular o valor de 0m , sendo conhecido o valor de m ou vice-versa. Dado o valor de 0m e sendo calculado o valor de m , podemos utilizar a equaçao 2.58 ou 2.59 para determinar o valor dó campo magnético que c o r r e s p o n ­ de a esta mãxima deformaçao do ângulo 0 .

Devemos ainda conhecer o valor da distância entre as p l a ­ ças e o valor da anisotropia da susceptibilidade magnética. P o r ­ tanto , d everíamos analisar o c o mportamento dos ângulos 0 e 0 para

27

cada caso particular. Podemos, entretanto, trabalhar com o campo m a g n é t i c o reduzido (Hr) e analisar a depe n d ê n c i a dos ângulos 0 e 0 com esta grandeza. 0 campo reduzido é definido como:

H R - -Jj- . <2.61)

U t i l i z a n d o a equação ,2.44 e considerando as const a n t e s e- lãsticas iguais, teremos para o campo critico:

He' * ~ « í > 2 - «o> ( 2 '62) Ap l i c a n d o esta equaçao à definição de campo reduzido e -c o n s iderando o valor do -campo m a g n é t i -c o dado pela expressão 2.59,

’í teremos:

H 2 . - S L = ______ (2.63)

R

H c J s e n 2 0 m

Com esta equação, podemos determinar o valor do campo r e ­ duzido para qualquer valor de 0m , pois podemos deter m i n a r o v a ­ lor de m através da equação 2.60 . Conhecendo os valores de 0m, m e Hr , podemos utilizar as equações 2.53, 2.54. 2.55 e 2.56 na dete r m i n a ç ã o dos valores de 0 e 0 para qualquer valor de z C£ mo função do campo magnético. Dividindo a equação 2.53 pela e q u a ­

ção 2.55, e a equação 2.54 pela 2.56, teremos expressões compac - tas para os ângulos 0 e 0 :

f = FKI(m)) °U sn(K(m)z/d) = (2.64)

onde sn r epresenta o seno elíptico.

0 + 0o _ n(n,m,x) ,o cn

Ho ■ -(n,x) ( 2 -65)

Devemos lembrar que sen x = sen 0/sen 0m . Os valores - das integrais elípticas podem ser determinados através, de tabe- las-*-^ .

Os gráficos dos ângulos 0 e 0m (figura 5) e 0 (figura 6), como funçao do campo reduzido, estao apresentados nas páginas se­ guintes .

Como ilustração, mostramos, a seguir, o cálculo d e t a lhado de u m valor de 0 e de 0 .

F I GURA 5 - GRAFICO DO ÂNGULO 9

Gráfico do ângulo 6 como função do campo m a g nético reduzido (H^ = H / H c ) considerando todas

as constantes elásticas iguais ( k ^ = k ) , para z = 3/2 d ( a ) , e para z = d ( b ) .

FIGURA 6 - GRÁFICO DO ÂNGULO 0

Grãfico do ângulo de torção (0) como ção do campo magnético reduzido (Hr = H / H c ) , derando todas as constantes elásticas iguais para. z = 3/2d (a) , e para z = l,ld (b) .

fun- cons i- (ki i = k )

0

(A

NG

UL

O

DE

TO

RÇ

ÃO

EM

G

RA

US

)

32

C A P Í T U L O 3

mBt o d o p a r a d e t e r m i n a ç ã o d o s p o n t o s d a s c u r v a s DE e E 0 COMO FUNÇÃO DO CAMPO R E D U Z I D O .

O primeiro passo para o cálculo dos valores do campo - reduzido, do valor de 0 e de 0 , para um dado valor de 9m , é a d e t e r m i n a ç ã o do valor de m .

A equaçao 2.60 que d e t e rmina m é : 2 0 o ' Qm

" = S6n *"> ‘ :i^(n,m) . U s aremos a seguinte notaçao:

sen^y = m , sen-20m .= n (3.2)

Estamos supondo uma torçao de 90 graus, isto e,

0O = 0,617 radianos ,

Colocando o valor de 6m na equação 3.1, e retirando os valores da integral elíptica de uma t a b e l a ^ , temos os s e g u i n ­ tes resul t a d o s para m :

y m sen^y

15 0,380 0,066

30 0,394 0,250

45 0,415 0,500

A partir desta tabela, podemos saber que m e n c o ntra- se entre 0,394 é 0,415 . C a l c u l a n d o o valor da integral elí p t i c a por interpolação lagrangeana para y igual a 40°e colocando na equação 3.1 temos:

o 2

y = 40 ; m = 0,410 ; sen y =. 0,41

Portanto, o válor de m que satisfaz a equaçao 3.1 é 0,4! .

Obtido o valor de m , podemos determinar o valor do campo m a g n é t i c o reduzido da equaçao 2.59 :

9 m . K^m)

Hr = r---- õ---v í--- õ-- ( 3 -3 )

[ ( r r / 2 ) 2- 02 ] . s e n 2em

A integral elíptica completa de primeiro tipo pode ser 13

c onhecida através de uma tabela :

h r = 1 >415

0 valor de 0 é d e t erminado pela equação 2.56:

sn(z/d) . K(m) = sen x (3.4)

onde sen x = sen 0 / sen 0m e sn representa o seno elíptico. C a l c u laremos o valor do ângulo 0 para z = 3/2 d. C£ ião o valor de 0 é o mesmo para z = d/2 e para 3/2d , devido

as condições de simetria do problema, trabalharemos com z = d/2.

r i / p ~) 1 / 2

sen x - sn (K(m)/2) = 1/1+ (1-m)

J

(3.5) Colocando o valor de m = 0,41 nesta equaçao, temos para o ângulo 0 :

sen 0 = 0,752 x 0,71 = 0,534 Logo:

0 = 32,39

0 valor do ângulo 0 , para z = 3/2d ê dado pela equa ção :

■ » - (1 - > • 0o <3 -6)

Por interpolação lagrangeana, podemos calcular o valor das integrais elípticas:

n ( 0 , 5 , 4 9 ° , 4 0 ° ) = 1 , 0 2 0 4 n ( 0 , 5 , 4 0 ° ) = 2 , 5 9 0 8

Colocando estes valores na equaçao 3.6, temos: 0 = 27,3°

Portanto, se 0m = 45°,

H 2 = 1,415 0 = 32,3° 0 = 27,3°

DISCUSSÃO

As figuras cinco e seis m o s t r a m a d e p e n d e n c i a dos â n ­ gulos 6 e 0 com o campo ma g n é t i c o reduzido.

No gráfico para o ângulo 0 (Figura 5), m o s t ramos os v a ­ lores de 0 para z = 3/2d (Figura a), e para z = d (Figura b) . A través do grãfico, torna-se evidente que o padrão de o r i e n t a ç a o - homogêneo só começa a sofrer alteração quando o campo m a g n é t i c o - externo (H) iguala-se ao campo m a g n é t i c o crítico (Hc ) .

A inclinação das curvas tende a diminuir e ap r o x i m a -se de zero para valores elevados do campo reduzido. Isto s i g nifica que, a partir de um determinado valor de campo, jã existe um a l i ­ nhamento p r a t i c a m e n t e completo. Para campos da ordem de 3,5 H c o valor de 0m jã atingiu 97% de seu valor final. Para valores do campo abaixo do campo crítico, o valor da componente L z e zero em toda a amostra. Para valores elevados do campo, o valor d esta com ponente também é a p r o x i m a d a m e n t e constante, tendendo a um em t o ­ da a amostra menos nas regiões bem próximas às superfícies de c o n t a ­ to, onde a orientaçao molecular nao é alterada pela p r e s e n ç a do campo magnético externo. Nos pontos próximos da superfícies de ~ contato, ocorre uma transição rãpida, mas contínua do padrão de £ rientação. A m e d i d a que o campo aumenta, esta região se torna c a ­ da vez menor, isto é, as moléculas tend e m a se alinhar perpendicii larmente às superfícies de contato. 0 ângulo 0m tende para 90°e o ângulo 0 tende para 0m em todos os pontos que não estão na vi z i n h a n ç a das placas.

No gráfico do ângulo 0 (Figura 6), temos os valo r e s do ângulo de torção para z = 3/2d e para z = l,ld, na curva b e curva a, respectivamente. Neste g r ã f i c o , também podemos v e r i f i c a r que a modi f i c a ç ã o do padrão com torção uniforme so ocorre quando o campo atinge o valor do campo crítico. Para valores p róximos do campo crítico, as curvas de 0 como função do campo reduzido , são

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c ô ncavas e suas inclinações sao pequenas. Isto significa que a al^ teração do padrao torcido ocorre, ate certo ponto, após a m o d i f i - caçao do ângulo ô ,, isto e, os encurvamentos longitu d i n a i s e trans v e r s a i s ocor r e m primeiro que a torçao. Este fenômeno e mais facijL^ me n t e observado na curva onde z = 3/2d , pois para pontos muito próximos do centro da amostra, z = l,ld por exemplo, a influen - cia da condição de simetria do p r oblema no valor do ângulo 0 é mu ito forte.

Deste grafico podemos deduzir que as m o l é c u l a s tendem a ter no plano x-y a mesma orientaçao que pos s u e m nas placas, isto é, para valores de z menores do que d, o valor do ângulo 0 tende a ■‘■0o > para valores de z maiores do que d, o valor do ângulo 0 tende a 0O , sendo que para ' z = d , o valor de 0 é sempre igual a zero. Isto significa que temos uma região de transição na orien tação m o l e c u l a r para valores de s próximos de d . A d i mensão d e s ­ ta região diminui ao passo que o campo externo aumenta, mas, m e s ­ mo para valores elevadíssimos de campo externo, não chega a o c o r ­ rer uma d e s c o n t i n u i d a d e , pois, ao aumentar o campo, o valor da - projeção do vetor L no plano x-y tende a zero.

No gráfico para o ângulo de torção (Figura 6), o valor do ângulo 0 inicial, quando o campo reduzido é igual a um, não é zero porque o estado inicial corresponde a uma torção u n i f o r m e . Os valores iniciais sao obtidos da equação 2.11 .

A existência do campo crítico ocorre porque e nec e s s ã - rio uma força m a g n é t i c a d i f e rente de zero para vencer a força e- lãstica restauradora. Em ambos os casos, a d i f e r e n ç a entre as cur vas (a) e (b) é devida à existência de uma força elástica r e s t a u ­ radora diferente para cada ponto da amostra. Para uma torção, mu dança do angulo 0 , a força rest a u r a d o r a ê muito grande no centro da amostra e na região próxima às placas. Para im e n c u r v a m e n t o ,mu dança em 6, a força r e s t a u r a d o r a ê muito grande na p r o x i m i d a d e - das placas. A força r e s t a u r a d o r a existe devido à pr e s e n ç a das su­ perfícies de contato e à estrutura do cristal líquido n e m â t i c o . 0 campo m a g n ético e as placas paralelas apresentam efeitos c o m p e t i ­ tivo s .

Os gráficos r e p r e s e n t a m a solução 2.53 e 2.55 com as - condiçoes de contorno expressas pelas equações 2.54 e 2.56, entre

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tanto, a solução dada pelas equações 2.10 e 2.11, c o r r e s p o n d e n t e s ao padrão uniforme, também é uma solução que satisfaz as equações 2.25 e 2.26 e as condições de contorno. Porém, a energia livre

f

c o r r e s p o n d e n t e ao padrão u n i f o r m e m e n t e torcido possui um valor ma ior do que a energia livre correspondente â solução 2.53 e 2.55 pji ra qualquer valor do campo externo maior do que o campo critico , como foi mostrado por Leslie^, utiliz a n d o o pro c e d i m e n t o de Da- f e r m o s ^ .

Os valores do campo crítico sao re l a t i v a m e n t e baixos , mais baixos do que o neces s á r i o para produzir outras d i s t o r ç o e s - em cristais líquidos nemáticòs, porque ã medida que ocorre a mod_i ficação no padrão uniforme, parte da energia elástica é liberada. Um valor típico do campo crítico é 1,36 Kiloersted que ocorre no MBBA, com d i s tância entre as placas de 30 p m ^ .

Em nosso trabalho utiliz a m o s a aproximaçao de que todas as constantes elásticas de Frank são iguais. Um cálculo que consjL dere o valor exato das constantes elásticas fornecerá curvas um pouco diferentes, em alguns detalhes, das apresentadas. A d i f e r e n ça maior deverá ocorrer nas curvas para o angulo 0, pois a defor- maçao do ângulo 9 é uma combinaçao de encurvamento transversal e l ongitudinal, enquanto que a deform a ç ã o do ângulo 0 é uma torçao pura, mas que depende da va r i a ç a o das constantes e k3 3 . A constante k-22 n ^o influencia a m o d ificaçao do angulo 0 e as cons^ tantes k n e k3 3 p o d e m ser permut a d a s sem alterar o padrao m o l e ­ cular quando não ocorre torçao. A curva para a torção d e p e n d e r á a_ té certo ponto da ràzão k n / k 2 2 • Se esta razão for m a i o r que um, a energia n e c e s s á r i a para realizar uma torção será menor do que supomos e a inclinaçao da curva de 0 como função do campo magmétji co reduzido será menor do que a que apresentamos para pontos p r ó ­ ximos ao campo crítico. Se a razão for menor do que u m , a energia para uma torçao será maior do que supomos e a torção co m e ç a r á a o correr s imultaneamente ao encurvamento. Todavia, independentemeii te do valor relativo das constantes, a forma das curvas será a mesma, pois o campo reduzido nao e funçao das constantes e l á s t i ­ cas.

Co m o conhecimento do valor aproximado das c o n s t a n t e s a e b , isto é, b e 0m , será possível integrar n u m e r i c a m e n t e por

iterações sucessivas, as equações 2.33, 2.34, 2.35 e 2.36, para obter um valor mais correto das c o m ponentes do vetor L como fun çao do campo magnético.

Quando o campo externo aplicado for um campo elétrico, o efeito serã idêntico, pois nas equações que d e s c r e v e m a orienta ção molecular so serã n ecessãria a m u d a n ç a do campo m a g n é t i c o p e ­ lo campo elétrico e das suscepti b i l i d a d e s m agnéticas pelas c o n s ­ tantes dielétricas. Portanto, a forma das curvas de 0 e 0 como - função de um campo elétrico reduzido serã idêntica ã forma das - curvas de 0 e 0 como função do campo magnético reduzido. H a v e r ã um campo elétrico critico diferente de zero no qual terã inicio a distorção do padrão uni f o r m e m e n t e torcido e a mudança no padrao de orientação ocorrera r a p i d a m e n t e . 0 v alor das diferenças de poten ciai criticas também é bastante baixo, da o rdem de 2 a 8 volts pa_ ra muitas das substâncias n e m ã t i c a s ^ .

38

Ç _ A _ P _ í _ T _ U _ L _ 0 _ _ _ 5

CONCLUSÃO

Resultados teóricos foram apresentados para o padrão de orientação de uma amostra de cristal líquido nemãtico com torçao induzida sob a ação de um campo magnético ou elétrico externo.

A partir de um valor crítico, o campo magnético produz uma m o d i f i c a ç ã o no padrão de ordenaçao. Este efeito somente o c o r ­ rera quando a anis o t r o p i a da susceptibilidade m a g n é t i c a ou da conjs tante dielét r i c a for positiva. Isto é, o valor paralelo ao eixo m o l e c u l a r devera ser maior do que o' valor per p e n d i c u l a r ao eixo molecular.

C om o aumento do campo externo, as moléculas tend e m a se alinhar p e r p e n d i c u l a r m e n t e as placas, enquanto sofrem uma rota. çao em torno do eixo z . Em cada metade da amostra, a rotação no plano x-y , tem um sentido diferente. Em cada metade, as molé c u - .las tendem a possuir no plano x-y a m esma orientaçao que p o s s u e m nas placas, isto é, para valores de z menores do que d, a m a i o r i a das mo l é c u l a s possui uma orientaçao muito próxima a - 0 O no plano x-y e para valores de z maiores do que d, a m a i o r i a das m o l é c u ­ las possui uma orientaçao muito próxima de 0O no plano x-y . Para z = d o valor do ângulo 0 é zero. Quanto maior for o valor do campo maior vai ser a densidade de moléculas com ângulo 0 próxi^ mo de i 0O i

As medidas feitas com intensidade de luz trans m i t i d a e as e x p e r iências feitas com variação da c a p a citância por outros - pesquis a d o r e s , co n c o r d a m q u a n t i t a t i v a m e n t e com nossos resultados., Para valores do campo externo abaixo do campo crítico, a i n t e n s i ­ dade luminosa transmitida através da amostra de cristal líquido entre polariz a d o r e s cruzados é máxima, pois a variação uni f o r m e - do ângulo 0 faz com que o plano de polarização da luz sofra uma rotação de 90 g r a u s . Para estes valores de c a m p o , a c a p a c i t â n c i a da amos t r a não sofre nenh u m a variaçao, pois o ângulo 0 ê

coris-tante. Para valores muito elevados do campo externo, a i n t e n s i d a ­ de luminosa tende a zero, pois a a n isotropia do índice de refra- ção não vai variar linearmente na amostra. A variação da capaci- tância tendera ao seu valor m ã x i m o , pois para campos elevados , 6 tende a 90 graus.

Devido a pequena inclinaçao da curva do ângulo 0 como funçao do campo magnético reduzido, nas proximidades do campo cr_í tico, as d e terminações de constantes elásticas através da m e d i d a _ do campo critico utilizando luz p o l a r i z a d a incidente norm a l m e n t e , não d e v e m produzir resultados tao bons quanto as medidas do campo crítico u tilizando capa c i t â n c i a para esta geometria, pois a incli^ nação da curva do ângulo 0 como função do campo reduzido é b a s ­ tante elevada para valores do campo externo prõximos do campo cri

R E F E R Ê N C I A S _ B I B L 1 0 GRÁFICAS . .

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