Micro2Pos NA1 JGLR JogosI

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Microeconomia 2 – P´

os-Gradua¸c˜

ao – 2/2019

Notas de Aula 1 – Teoria dos Jogos (Parte l)

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Interdependˆ

encia Estrat´

egica

A teoria dos jogos permite modelar comportamentos estratégicos de agentes econômicos (jo-gadores) que se envolvem em uma determinada situa¸cão (jogo). É o instrumento adequado quando existe interdependência estratégica entre os agentes do modelo analisado.

No modelo de consumo usual, o consumidor decide entre poss´ıveis cestas de bens, dados os pre¸cos e a sua renda. No modelo da firma competitiva, a firma maximiza o seu lucro, dada a sua tecnologia de produ¸cão e dados os pre¸cos dos insumos e dos bens que vende. No modelo de equil´ıbrio geral competitivo, tanto os consumidores quanto as firmas são tomadores de pre¸cos: tomam os pre¸cos como dados e não há interdependência estratégica entre suas decisões. Porém, existem situa¸cões onde o resultado das a¸cões de um agente dependem também das a¸cões de outro ou outros agentes. Nesses casos, assumimos que o payoff (utilidade) do agente depende não só da sua a¸cão, mas também da a¸cão de outros agentes. Modelos de oligopólio são um exemplo, em que o lucro de determinada firma depende do comportamento de suas rivais. Em um jogo, cada jogador deve levar em conta a estratégia dos outros jogadores antes de escolher o melhor para si. Isso gera uma circularidade, caracter´ıstica fundamental da teoria dos jogos.

O objetivo da teoria dos jogos é determinar o resultado de um jogo. Cada método de análise dá origem a um conceito de solu¸cão particular, chamado equil´ıbrio.

A maioria dos conceitos tem sua origem no conceito de equil´ıbrio de Nash e são, usualmente, equil´ıbrios de Nash que satisfazem certas propriedades. Por isso, são chamados refinamen-tos. Cada refinamento tenta solucionar alguma deficiência do conceito de equil´ıbrio de Nash particular a alguma situa¸cão ou modelo.

1.2 No¸

c˜

oes Preliminares

Defini¸cão (informal): Jogo. Um jogo refere-se a qualquer situa¸cão envolvendo dois ou mais agentes, chamados jogadores, onde exista interdependência estratégica.

Para descrevermos um jogo é necessário conhecermos três objetos: • Os jogadores,

• A regra do jogo,

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São feitas duas hipóteses básicas sobre os jogadores (Myerson, 1997):

1. Os jogadores são racionais. As a¸cões de um jogador são consistentes com o objetivo desejado: maximizar o seu payoff ou a sua utilidade.

2. Os jogadores são inteligentes. Os jogadores sabem tudo o que sabemos sobre o jogo e conseguem fazer as mesmas inferências que realizamos sobre a situa¸cão em que se encontram.

A segunda hipótese não é tão inócua quanto parece. Na teoria de equil´ıbrio geral os in-div´ıduos são racionais, mas não é necessário que sejam inteligentes no sentido acima: os agentes econômicos não precisam conhecer toda a estrutura de teoria de equil´ıbrio geral ao tomarem suas decisões.

As duas formas mais usuais de representarmos um jogo s˜ao:

FORMA NORMAL: Representa¸cão em forma matricial, também conhecida como forma estratégica. Adequada para situa¸cões onde os jogadores se “movem” (decidem suas a¸cões) simultaneamente. Mais usada em modelos estáticos.

FORMA EXTENSIVA: Representa¸cão em forma de árvore. Adequada para situa¸cões onde exista uma ordem cronológica dos eventos do jogo. Mais usada em modelos dinâmicos.

Existe uma correspondˆencia entre essas duas formas, que veremos mais a frente.

Vamos estudar jogos não-cooperativos: analisamos cada agente separadamente e não como um grupo. Essa defini¸cão não implica que um jogador não possa cooperar com o outro; ela é apenas de cunho metodológico, onde cada agente é visto como uma entidade separada, autônoma, e não há grupos de agentes (coalizões) se comportando como um único agente.

1.3 Conhecimento Comum

Uma hipótese crucial em teoria dos jogos é a de conhecimento comum (“common knowledge”). Essa hipótese assume que a racionalidade dos jogadores e a estrutura do jogo é de conhecimento comum para todo jogador.

Se considerarmos dois jogadores, um determinado fato ´e de conhecimento comum dos jogadores se o jogador 1 conhece o fato, se o jogador 1 sabe que o jogador 2 conhece o fato, se o jogador 1 sabe que o jogador 2 sabe que o jogador 1 conhece o fato, se o jogador 1 sabe que o jogador 2 sabe que o jogador 1 sabe que o jogador 2 conhece o fato, e assim vai ad infinitum, com o mesmo racioc´ınio valendo para o jogador 2.

Essa hipótese é fundamental para a validade de certos procedimentos, tais como os procedi-mentos de elimina¸cão de estratégias dominadas. Mais ainda, ela é fundamental para o conceito de equil´ıbrio de Nash (existem artigos que relaxam a hipótese de conhecimento comum, sob certas condi¸cões).

Myerson (1997) argumenta que a hip´otese de jogadores inteligentes implica supor que a estru-tura do jogo ´e de conhecimento comum desses jogadores.

A formaliza¸cão matemática dessa hipótese é complicada. Aqui, vamos apenas assumir a sua validade. As formaliza¸cões mais conhecidas são feitas por Aumann (1976) e Aumann and Brandenburger (1995).

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A questão de que se a hipótese de conhecimento comum pode ser relaxada para a obten¸cão de um equil´ıbrio de Nash é de dif´ıcil trato. Aumann and Brandenburger (1995) mostraram que a hipótese de conhecimento comum da racionalidade pode ser substitu´ıda por outras condi¸cões. Polak (1999) aprofunda a análise de Aumann and Brandenburger (1995). Essa discussão é com-plicada e foge do escopo do curso. Vamos apenas ver um exemplo para entender a importância dessa hipótese.

Myerson (1997) cita uma fábula que ilustra bem as implica¸cões da hipótese. Em uma vila, existem 100 casais. Toda noite, os homens se juntam e cada um elogia a sua mulher, caso ela seja fiel, ou se lamenta caso ela tenha sido infiel. Se a mulher foi infiel, ela imediatamente conta a todos os homens da vila, exceto ao seu marido. Essas tradi¸cões são de conhecimento comum de todos os habitantes da vila.

Suponha que todas as esposas foram infi´eis. Logo, cada homem sabia da infidelidade de todas as esposas, exceto da sua, elogiada toda noite. Logo, todas as esposas eram elogiadas e nenhum homem se lamentava. Numa certa noite, um visitante revelou a todos que uma esposa havia sido infiel. Qual foi o resultado dessa revela¸c˜ao?

O resultado foi que todos os homens continuaram a elogiar as esposas por 99 noites. Na noite de número 100, todos se lamentaram. Tente entender porque a hipótese de conhecimento comum leva a esse resultado. Para isso, é necessário compreender o que a informa¸cão do visitante adicionou ao conhecimento dos homens da vila.

O racioc´ınio fica mais fácil de compreender se considerarmos primeiro o caso em que apenas uma esposa traiu o marido. A informa¸cão nova que o visitante revelou foi informar a todos da vila que havia uma esposa infiel. Pelos costumes da vila, 99 homens sabiam que havia uma esposa infiel e apenas um homem, exatamente aquele cuja esposa havia sido infiel, não tinha conhecimento de nenhuma infidelidade na vila. Logo, ele imediatamente tomaria ciência de que a sua esposa é que fora infiel e se lamentaria na primeira noite depois da revela¸cão do visitante, já que os costumes da vila são de conhecimento comum de todos os seus habitantes. Caso houvesse duas esposas infiéis, então 98 homens da vila saberiam que havia duas esposas infiéis e 2 homens teriam conhecimento de apenas um caso de infidelidade, já que não saberiam que a sua respectiva esposa havia sido infiel. Nesse caso, na primeira noite ninguém se lamen-taria o que, dado os costumes da vila, significa que existe mais de uma esposa infiel. Logo, na segunda noite, após observarem que nenhum homem havia se lamentado na noite anterior, os 2 homens que têm conhecimento de apenas uma esposa infiel e por conhecerem os costumes da vila, se dariam conta de que foram tra´ıdos e se lamentariam. O racioc´ınio estende-se de modo análogo para o caso de 100 esposas infiéis: no centésimo dia, todos os maridos se dariam conta de que foram tra´ıdos e se lamentariam.

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2 Jogos na Forma Estrat´

egica

2.1 Defini¸

c˜

oes e Exemplos de Jogos

Defini¸cão 7.1: Jogo na Forma Estratégica (ou Forma Normal). Um jogo na forma estratégica é uma cole¸cão G = (Si, ui)I_i=1, onde I é o número de jogadores, Si é o conjunto de

estrat´egias dispon´ıveis ao jogador i, para todo i ∈ I, e ui :

QI

j=1Sj → R ´e a fun¸c˜ao de payoff

(a utilidade) do jogador i, que depende das estratégias de todos os jogadores. Dizemos que um jogo na forma normal é finito se o número I de jogadores é finito e se o conjunto das estratégias Si é finito para todo jogador i, i = 1, . . . , I.

Na forma normal não nos preocupamos com cada a¸cão do jogador, mas apenas com cada estratégia do jogador, o conjunto de todas as a¸cões que podem ser tomadas no decorrer de uma partida do jogo, incluindo a¸cões para qualquer situa¸cão de jogo. Como veremos à frente, em certos casos, a estratégia do jogador pode condensar uma quantidade enorme de informa¸cão, descrevendo um número muito grande de a¸cões a serem tomadas ao longo do jogo.

Observe que a interdependência estratégica entre os agentes do modelo analisado aparece ex-plicitamente na hipótese de que o payoff de cada jogador depende das estratégias de todos os outros jogadores: ui : S1 × · · · × Si × · · · × SI → R, ou seja, ui depende não apenas da

estratégia si ∈ Si escolhida por i, mas também das estratégias de todos os outros jogadores,

ui(s1, . . . , si, . . . , sI).

2.2 Exemplos

Exemplo 1: “Matching Pennies” ou “Batedor vs Rebatedor”. Neste jogo com duas pessoas, cada jogador escolhe o lado de uma moeda, sem que o outro jogador tome conhecimento de sua escolha. Os dois jogadores revelam simultaneamente o lado escolhido. Se os lados escolhidos forem iguais, o jogador 1 paga R$ 1,00 ao jogador 2. Se forem distintos, o jogador 2 paga R$ 1,00 ao jogador 1. A matriz abaixo descreve este jogo.

1↓ / 2 → Cara Coroa Cara −1, 1 1, −1 Coroa 1, −1 −1, 1

Nota¸cão: Vamos usar a seguinte conven¸cão para todos os jogos representados na forma ma-tricial: o primeiro elemento em cada célula da matriz é o payoff do jogador 1 (“jogador-linha”) e o segundo elemento da célula é o payoff do jogador 2 (“jogador-coluna”).

No jogo “Cara ou Coroa”, fica claro que cada jogador deve agir de modo imprevis´ıvel. Logo, quando os jogadores decidem estrategicamente, pode ocorrer que a melhor forma de agir seja escolher de modo aleatório ou de modo que o seu rival não saiba exatamente o que ele escolherá. Para esse jogo, temos que:

Jogadores: I = {1, 2};

Estrat´egias: S1 = S2 = {Cara, Coroa};

Payoffs: u1(Cara,Coroa) = u1(Coroa,Cara) = 1;

u1(Cara,Cara) = u1(Coroa,Coroa) = −1;

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Observe que esse é um jogo de soma zero: o ganho de um jogador é igual à perda do outro jogador. Esse tipo de jogo foi extensivamente estudado por von Neumann and Morgenstern (2007), no livro “Theory of Games and Economic Behavior ”, publicado originalmente em 1947 e um dos marcos da teoria dos jogos.

Exemplo 2: Dilema dos Prisioneiros. Luiz Alberto e Laélio foram presos e estão sendo interrogados separadamente, acusados de um crime. Se ambos confessarem o crime, eles rece-berão uma pena de 3 anos na cadeia. Se ambos não confessarem o crime, a pena será de apenas dois anos, por falta de evidência. Porém, o promotor pode fazer uma acordo com um deles, dando uma pena de apenas um ano na prisão para quem confessar e, para quem não confessar, de cinco anos na prisão, por não ter colaborado com a justi¸ca. A matriz abaixo descreve este jogo.

L.A.↓ / Laélio → Confessar Não Confessar Confessar −3, −3 −1, −5 Não Confessar −5, −1 −2, −2

Exemplo 3: Problema de Coordena¸cão. Suponha que duas pessoas estão viajando sepa-radamente para o Rio de Janeiro e combinaram de se encontrar para almo¸car no dia seguinte. Porém esqueceram de marcar o restaurante e não estão conseguindo se comunicar. Eles costu-mam almo¸car sempre em dois restaurantes, um no centro da cidade e outro na Barra da Tijuca. O almo¸co no restaurante da barra é mais agradável do que o almo¸co no restaurante do centro. Porém, eles se desencontrarem é a pior situa¸cão poss´ıvel. A matriz abaixo descreve este jogo.

1↓ / 2 → Barra Centro Barra 3, 3 0, 0 Centro 0, 0 1, 1

Exemplo 4: Batalha dos Sexos. Nelson e Renata querem fazer um programa domingo à tarde. Concordaram com duas op¸cões: ir ao jogo do Corintians (F) ou fazer compras (C). Os dois preferem estar juntos a fazerem os passeios separados, mas Nelson prefere ir ao jogo e Renata prefere ir às compras. A matriz abaixo descreve este jogo.

Nelson↓ / Renata → F C

F 2, 1 0, 0

C 0, 0 1, 2

A batalha dos sexos modela também um problema de coordena¸cão, mas que envolve uma disputa de poder. Veremos mais à frente que esse jogo tem dois equil´ıbrios (em estratégias puras), em que ambos os jogadores devem coordenar suas estratégias para alcan¸car um dos equil´ıbrios. Porém, o equil´ıbrio que o jogador 1, Nelson, prefere, (F, F ), é diferente do equil´ıbrio que o jogador 2, Renata, prefere, (C, C), (e ambos preferem estar em uma situa¸cão de equil´ıbrio do que estar em uma situa¸cão de desequil´ıbrio, (F, C) ou (C, F )). Neste caso, podemos ter uma disputa de poder entre os jogadores, onde cada um tenta implementar o seu equil´ıbrio preferido.

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2.3 Dominˆ

ancia Estrita

Considere um jogo com I jogadores. Vamos representar em negrito um conjunto de estrat´egias de todos os jogadores: s = (s1, . . . , sI). Vamos usar a nota¸c˜ao s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sI)

para representar um conjunto de estrat´egias de todos os jogadores, exceto o jogador i.

Defini¸cão 7.2: Estratégia Estritamente Dominante. A estratégia ˆsi ∈ Si é estritamente

dominante para o jogador i no jogo G se para toda estrat´egia si ∈ Si, si 6= ˆsi, do jogador i

valer que:

ui(ˆsi, s−i) > ui(si, s−i), para todo s−i ∈ S−i,

onde S−i= S1× · · · × Si−1× Si+1× · · · × SI.

Logo, uma estratégia si é estritamente dominante para o jogador i se ela for a única estratégia

que maximiza o payoff desse jogador, quaisquer que sejam as estratégias escolhidas pelos outros jogadores. Claramente, se o jogador i possuir uma estratégia estritamente dominante, então ela constitui a escolha óbvia para i jogar.

Para o jogo do dilema dos prisioneiros, Confessar é uma estratégia estritamente dominante para os dois prisioneiros. Ela é a melhor estratégia para cada prisioneiro, independentemente do que o outro prisioneiro escolha. Nesse caso, podemos dizer que (C, C) é um equil´ıbrio em estratégias estritamamente dominantes.

Observe que o equil´ıbrio (C, C) é Pareto dominado pelo conjunto de estratégias (N C, N C). Temos, então, um caso onde o comportamento individual maximizador dos agentes envolvidos resulta em um equil´ıbrio Pareto ineficiente. Logo, na presen¸ca de interdependência estratégica, a intera¸cão de jogadores cujo objetivo é maximizar o seu próprio bem-estar pode levar a si-tua¸cões ineficientes.

Estratégias estritamente dominantes não são comuns. Existem várias situa¸cões, como o pro-blema de coordena¸cão acima (Exemplo 3), onde é fácil verificar que não existem estratégias dominantes para nenhum dos jogadores.

Apesar de estratégias estritamente dominantes serem raras, podemos usar um conceito similar, chamado estratégia estritamente dominada, para eliminarmos estratégias que nunca devem ser escolhidas pelo jogador.

Defini¸cão 7.3: Estratégia Estritamente Dominada. A estratégia ¯si é estritamente

domi-nada para o jogador i no jogo G se existir uma outra estrat´egia ˆsi ∈ Si, ˆsi 6= ¯si, desse jogador

tal que:

ui(ˆsi, s−i) > ui(¯si, s−i), para todo s−i ∈ S−i

Neste caso, dizemos que a estrat´egia ˆsi domina estritamente a estrat´egia ¯si.

Portanto, uma estratégia estritamente dominante é uma estratégia que domina estritamente todas as outras estratégias do jogador. Podemos dizer também que todas as outras estratégias desse jogador são estritamente dominadas pela sua estratégia estritamente dominante.

Exemplo 5: Estrat´egia Estritamente Dominada. Considere o seguinte jogo:

1↓ / 2 → E D

C (7, 4) (5, 3) M (8, 5) (2, 4) B (5, 3) (3, 4)

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Para o jogador 1, a estratégia B é estritamente dominada pela estratégia C. Essa é a única estratégia estritamente dominada no jogo acima. Se eliminarmos essa estratégia do jogo, usando o argumento de que o jogador 1 nunca a escolherá, já que C traz um payoff sempre maior, qualquer que seja a jogada de 2, obtemos um novo jogo, dado por:

1↓ / 2 → E D

C (7, 4) (5, 3) M (8, 5) (2, 4)

Para esse novo “jogo reduzido”, a estrat´egia E domina estritamente D, para o jogador 2. Eliminando essa estrat´egia, obtemos um novo jogo, dado por:

1↓ / 2 → E C (7, 4) M (8, 5)

Finalmente, para esse novo “jogo reduzido”, a estratégia M domina estritamente C, para o jogador 1. Logo, ancontramos (M, E) (isto é, o jogador 1 escolhe M , o jogador 2 escolhe E) como solu¸cão do jogo usando esse procedimento de elimina¸cão de estratégias estritamente dominadas (PEEED).

A ideia do procedimento é, portanto, simples. Ele usa implicitamente a hipótese de conhe-cimento comum da racionalidade e da estrutura do jogo para todos os jogadores. A sua formaliza¸cão pode ser feita do seguinte modo:

Procedimento de Elimina¸c˜ao de Estrat´egias Estritamente Dominadas (PEEED): Considere o jogo G = (Si, ui)Ii=1. Seja Si0 = Si, para cada jogador i. Para n ≥ 1, seja Sin o

conjunto das estratégias do jogador i resultante da n-ésima etapa de elimina¸cão, ou seja, si ∈ Sin

se si ∈ Sin−1 n˜ao ´e estritamente dominada em S n−1

i no jogo dado por G

n−1_{= (S}n−1

i , ui)Ii=1.

Defini¸cão 7.4: Estratégia Iterativamente Estritamente Não-Dominada. A estratégia si do jogador i é iterativamente estritamente não dominada em S (ou sobrevive ao PEEED)

se si ∈ Sin, para todo n ≥ 1.

O problema com o PEEED é que ele nem sempre leva a alguma solu¸cão. Por exemplo, na batalha dos sexos, não existe nenhuma estratégia estritamente dominada, portanto não conse-guimos eliminar nenhuma estratégia do jogo e fazer qualquer predi¸cão mais acurada sobre qual deve ser o seu resultado (ou, pelo menos, o que não pode ser resultado).

2.4 Dominˆ

ancia Fraca

Podemos enfraquecer as defini¸cões de dominância estrita, relaxando a exigência de que o payoff seja sempre estritamente maior nas defini¸cões acima.

Defini¸cão: Estratégia Fracamente Dominante. A estratégia ˆsi ∈ Si é fracamente

domi-nante para o jogador i no jogo G se para toda estrat´egia si ∈ Si, si 6= ˆsi, valer que:

ui(ˆsi, s−i) ≥ ui(si, s−i), para todo s−i ∈ S−i,

com desigualdade estrita para pelo menos um s−i.

Evidentemente, toda estratégia fortemente dominante é fracamente dominante, mas a volta não vale (ver Exemplo 6 abaixo).

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Exemplo 6. Considere o seguinte jogo:

1↓ / 2 → E D

C (1, 1) (0, 0) B (0, 0) (0, 0)

A estratégia C é fracamente dominante para o jogador 1 e a estratégia E é fracamente do-minante para o jogador 2. Desse modo, (C, E) é um equil´ıbrio em estratégias fracamente dominantes. Observe que nenhuma dessas duas estratégias é estritamente dominante.

Defini¸cão 7.5: Estratégia Fracamente Dominada. A estratégia ¯sié fracamente dominada

para o jogador i no jogo G se existir uma outra estrat´egia ˆsi ∈ Si do jogador i tal que:

ui(ˆsi, s−i) ≥ ui(¯si, s−i), para todo s−i ∈ S−i,

com desigualdade estrita para pelo menos um s−i. Dizemos que ˆsi domina fracamente ¯si.

Exemplo 7. Considere o seguinte jogo:

1↓ / 2 → E D

C (9, 6) (7, 6) M (9, 1) (3, 2) B (5, 4) (7, 3)

O jogador 1 possui duas estratégias fracamente dominadas: M é fracamente dominada por C e B é fracamente dominada por C (ou seja, C é fracamente dominante para o jogador 1). O jogador 2 não possui nenhuma estratégia dominada, seja no sentido estrito seja no sentido fraco. Vamos primeiro definir formalmente o processo de elimina¸cão de estratégias fracamente dominadas (PEEFD):

Procedimento de Elimina¸c˜ao de Estrat´egias Fracamente Dominadas (PEEFD): Con-sidere o jogo G = (Si, ui)Ii=1. Seja Wi0 = Si, para cada jogador i. Para n ≥ 1, seja Win o

conjunto das estratégias do jogador i resultante da n-ésima etapa de elimina¸cão de estratégias fracamente dominadas, ou seja, si ∈ Win se si ∈ Win−1 não é fracamente dominada em W

n−1 i

no jogo dado por Gn−1_{= (W}n−1

i , ui)Ii=1.

Defini¸cão 7.6: Estratégia Iterativamente Fracamente Não-Dominada. A estratégia si do jogador i é iterativamente fracamente não-dominada em S (ou sobrevive ao PEEFD ) se

si ∈ Win, para todo n ≥ 1.

Vamos aplicar o PEEFD ao jogo acima, procedendo de trˆes modos distintos:

1. Se eliminarmos primeiro M para o jogador 1, a estrat´egia D do jogador 2 se torna fracamente dominada para o jogo resultante. Eliminando D, podemos eliminar B no jogo resultante, obtendo (C, E) (payoff (9,6)) como solu¸c˜ao.

2. Se eliminarmos primeiro B para o jogador 1, a estrat´egia E do jogador 2 se torna fra-camente dominada para o jogo resultante. Eliminando E, podemos eliminar M no jogo resultante, obtendo (C, D) (payoff (7,6)) como solu¸c˜ao.

3. Se eliminarmos simultaneamente M e B, ent˜ao obtemos o subjogo com 1 escolhendo C e 2 sendo indiferente entre E e D, e nenhuma dessas duas estrat´egias podem ser eliminadas para o jogador 2, usando o PEEFD.

O exemplo acima mostra que a ordem de elimina¸cão das estratégias fracamente dominadas pode afetar a solu¸cão obtida. Esta é uma caracter´ıstica ruim deste procedimento, pois a solu¸cão obtida pode mudar conforme a ordem de elimina¸cão das estratégias. Este problema não ocorre quando eliminamos estratégias estritamente dominadas.

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2.5 Estrat´

egias Racionaliz´

aveis

O PEEED e o PEEFD utilizam o conceito de conhecimento comum da racionalidade dos jogadores e da estrutura do jogo. Porém, esses procedimentos não esgotam toda a for¸ca dessa hipotése: ela permite obter o conceito de estratégia racionalizável (Bernheim, 1984; Pearce, 1984), mais restritivo do que o conceito de estratégias que sobrevivem ao PEEED.

Defini¸cão: Melhor Resposta. Considere o jogo G = (Si, ui)Ii=1. A estratégia ˆsi é a melhor

resposta do jogador i `a estrat´egia s−i dos seus rivais se:

ui(ˆsi, s−i) ≥ ui(si, s−i), para todo si ∈ Si.

Portanto, a estratégia ˆsi é a melhor resposta do jogador i para a estratégia s−i se ela for uma

escolha ótima de i quando ele acredita que seus rivais escolherão as estratégias descritas no vetor s−i. Um jogador não deve escolher uma estratégia que nunca é uma melhor resposta,

pois não há conjectura poss´ıvel sobre o comportamento dos seus rivais que o jogador i possa fazer que justifique a escolha de uma estratégia que nunca é melhor resposta. Observe que estratégias estritamente dominadas nunca são a melhor resposta.

Podemos montar um procedimento de elimina¸cão de estratégias que nunca são melhor res-posta, de modo similar ao PEEED. Mais uma vez, estamos supondo a validade da hipótese de conhecimento comum da racionalidade dos jogadores e da estrutura do jogo.

Defini¸cão: Estratégias Racionalizáveis. As estratégias em Si do jogador i que sobrevivem

ao procedimento de elimina¸cão de estratégias que nunca são a melhor resposta são chamadas racionalizáveis.

Uma estratégia racionalizável pode sempre ser “justificada”, ou seja, o jogador pode justificar a escolha dessa estratégia com uma conjectura razoável sobre o comportamento dos outros jogadores (nenhum rival escolherá uma estratégia não racionalizável).

Proposi¸cão. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

• A ordem de remo¸cão das estratégias que nunca são a melhor resposta não altera o resul-tado obtido.

• Cada jogador tem pelo menos uma estratégia racionalizável, podendo ter mais de uma. • O conjunto de estratégias racionalizáveis está contido no conjunto de estratégias que

sobrevivem ao PEEED.

• Para jogos com dois jogadores, o conjunto de estratégias racionalizáveis é igual ao con-junto de estratégias que sobrevivem ao PEEED.

Porém, o conceito de estratégia racionalizável também nem sempre fornece uma solu¸cão. Por exemplo, para a batalha dos sexos, todas as estratégias são racionalizáveis, logo o conceito não diz nada sobre o que devemos esperar como resultado desta intera¸cão estratégica.

Queremos tornar as predi¸cões sobre o resultado de um jogo mais precisas do que o que pode ser obtido usando os conceitos vistos acima. A seguir veremos o conceito de equil´ıbrio de Nash (EN), que, satisfeitas certas condi¸cões, sempre aponta pelo menos uma solu¸cão para o jogo. Esse é o mais importante conceito em teoria dos jogos.

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3 Equil´ıbrio de Nash

3.1 Equil´ıbrio de Nash em Estrat´

egias Puras

O máximo que podemos obter usando a hipótese de conhecimento comum é o conceito de estratégias racionalizáveis. Porém esse conceito nem sempre traz predi¸cões sobre o resultado de um jogo. Por exemplo, para a Batalha dos Sexos, todas as estratégias de todos os jogadores são racionalizáveis. Logo, esse conceito não traz nenhuma informa¸cão a respeito da resolu¸cão que devemos esperar para esse jogo. Queremos tornar as predi¸cões sobre o resultado de um jogo mais precisas do que o que pode ser obtido usando apenas estratégias racionalizáveis. Para obtermos qualquer outro conceito mais forte, temos que adicionar alguma hipótese nova, além da de conhecimento comum.

Defini¸cão 7.7: Equil´ıbrio de Nash em Estratégias Puras (Nash, 1951). Um conjunto de estratégias ˆs = (ˆs1, ˆs2, . . . , ˆsI) é um equil´ıbrio de Nash (EN) (em estratégias puras) para o

jogo G = (Si, ui)Ii=1 se, para todo jogador i, i = 1, 2, . . . , I, valer que:

ui(ˆsi, ˆs−i) ≥ ui(si, ˆs−i) , ∀ si ∈ Si.

Primeiro note que um equil´ıbrio de Nash ˆs determina uma estratégia para cada jogador. Em um equil´ıbrio de Nash (EN), a estratégia de cada jogador é a melhor resposta para as estratégias que são de fato escolhidas pelos outros jogadores. Portanto, um EN requer que cada jogador esteja certo sobre sua conjectura a respeito das estratégias escolhidas pelos seus rivais. Dizemos que os jogadores possuem expectativas mutualmente corretas.

Proposi¸cão 1: Todas as estratégias que fazem parte de um equil´ıbrio de Nash são racio-nalizáveis. Mais ainda, todo equil´ıbrio formado por estratégias estritamente ou fracamente dominantes, ou obtido pela elimina¸cão de estratégias estritamente ou fracamente dominadas, ´

e um equil´ıbrio de Nash.

O conceito de EN traz uma predi¸cão mais precisa a respeito do resultado de um jogo do que o conceito de racionabilidade. No problema de coordena¸cão abaixo, todas as estratégias são racionalizáveis, mas apenas (s1 = L, s2 = U ) e (s1 = D, s2 = R) são EN em estratégias puras.

1↓ / 2 → L R U 3, 3 0, 0 D 0, 0 1, 1

O jogo “Cara ou Coroa”, representado na matriz abaixo, não possui EN em estratégias puras. Logo, de modo geral, não podemos garantir a existência de EN em estratégias puras.

1↓ / 2 → Cara Coroa Cara −1, 1 1, −1 Coroa 1, −1 −1, 1

Intuitivamente, qualquer solu¸cão desse jogo envolve ambos os jogadores escolhendo suas es-tratégias de modo imprevis´ıvel. Para formalizar essa ideia, vamos introduzir o conceito de estratégias mistas.

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3.2 Equil´ıbrio de Nash em Estrat´

egias Mistas

Defini¸cão 7.8: Estratégias Mistas. Seja Si o conjunto de estratégias puras do jogador i.

Uma estratégia mista do jogador i é uma distribui¸cão de probabilidade sobre Si, ou seja, uma

fun¸c˜ao mi : Si → [0, 1], que associa uma probabilidade a cada estrat´egia pura do jogador i.

Logo, para um jogo finito, temos que:

mi(si) ≥ 0 , ∀ si e

X

si∈Si

mi(si) = 1 .

O simplex de Si, representado por Mi = ∆(Si) = mi : Si → [0, 1] |P_s_i∈Simi(si) = 1 , ´e o

conjunto das estratégias mistas do jogador i. Esse conjunto também inclui as estratégias puras do jogador (chamadas estratégias mistas degeneradas).

Se os jogadores randomizam suas estratégias, então o resultado do jogo deixará de ser de-termin´ıstico. Neste caso, calculamos o payoff dos jogadores usando utilidade esperada: seja m = (m1, . . . , mI) uma cole¸cão de estratégias mistas para todos os jogadores. A utilidade

esperada do jogador i para a cole¸cão de estratégias mistas m é: ui(m) =

X

s∈S

[m1(s1)m2(s2) . . . mI(sI)] ui(s1, . . . , si, . . . , sI)

Observa¸cão: estamos assumindo que as randomiza¸cões de cada jogador são independentes. A no¸cão de equil´ıbrio correlacionado (Aumann, 1974) trata do caso onde essas randomiza¸cões não são independentes. Essa dependência pode ser interpretada, por exemplo, como sinais públicos que fazem com que as estratégias tenham um grau de correla¸cão.

Podemos estender imediatamente os conceitos de: estratégias dominantes, estratégias domi-nadas, procedimentos de elimina¸cão e estratégias racionalizáveis, ao permitir que os jogadores possam escolher estratégias mistas, e não apenas estratégias puras. A Defini¸cão 7.9 faz esta extensão para o conceito de equil´ıbrio de Nash.

Defini¸cão 7.9: Equil´ıbrio de Nash em Estratégias Mistas. O conjunto de estratégias mistas ˆm = ( ˆm1, . . . , ˆmI) é um equil´ıbrio de Nash para o jogo G = (Si, ui)Ii=1 se, para cada

jogador i = 1, 2, . . . , I, valer que:

ui( ˆmi, ˆm−i) ≥ ui(mi, ˆm−i) , ∀ mi ∈ Mi.

A defini¸cão acima permite que os jogadores randomizem entre as estratégias puras. Observe que no equil´ıbrio, cada jogador conhece o modo em que os outros jogadores estão randomizando (as estratégias mistas escolhidas por seus rivais). Além disso, como estratégias puras são estratégias mistas, a Defini¸cão 7.9 estende a Defini¸cão 7.7.

Observe que, para cada conjunto de estratégias dos jogadores candidato a equil´ıbrio, devemos verificar se para cada jogador, a sua estratégia é de fato a melhor resposta para as estratégias dos outros jogadores que fazem parte do conjunto de estratégias candidato a equil´ıbrio. Con-siderando estratégias mistas, existe um número infinito de estratégias, o que torna este proce-dimento inviável. Como fazemos então para encontrar os equil´ıbrios de Nash em estratégias mistas de um jogo? O Teorema 7.1 abaixo fornece um algoritmo para isso. Antes vamos definir o conceito de suporte de uma estratégia mista.

(12)

Defini¸cão (Suporte). O suporte da estratégia mista mi ∈ Mi, denotado por supp(mi), é o

conjunto de estrat´egias puras de i que s˜ao jogadas com probabilidade positiva por mi. Logo

supp(mi) ⊂ Si e:

supp(mi) = {si ∈ Si | mi(si) > 0} .

Podemos definir o suporte do conjunto de estrat´egias mistas m = (m1, m2, . . . , mI) como:

supp(m) = I Y i=1 supp(mi) = I Y i=1 {si ∈ Si | mi(si) > 0}

Teorema 7.1: Equivalência de Defini¸cões. As seguintes afirmativas são equivalentes: 1. ˆm = ( ˆm1, . . . , ˆmI) ∈ M é um equil´ıbrio de Nash (segundo a Defini¸cão 7.9);

2. Para todo jogador i, ui( ˆm) = ui(si, ˆm−i), para todo si ∈ supp( ˆmi); e ui( ˆm) ≥ ui(si, ˆm−i),

para todo si ∈ supp( ˆ/ mi);

3. Para todo jogador i, ui( ˆm) ≥ ui(si, ˆm−i), para todo si ∈ Si.

O Teorema 7.1 diz que em um EN em estratégias mistas, duas estratégias puras de um joga-dor que podem ser escolhidas (que estão no suporte da estratégia mista considerada, ou seja, que possuem probabilidade positiva) devem necessariamente gerar o mesmo payoff para esse jogador, que será igual ao payoff obtido no equil´ıbrio.

Esse resultado é consequência de utilizarmos a utilidade esperada, linear nas probabilidades, para calcularmos o payoff de um conjunto de estratégias mistas. Caso existissem duas es-tratégias puras que o jogador escolhesse com probabilidade positiva e tal que uma delas gerasse um payoff maior do que o da outra, dadas as estratégias de equil´ıbrio dos outros jogadores, o jogador não deveria atribuir probabilidade positiva à estratégia que lhe dá o payoff mais baixo, pois isso reduziria o seu payoff de equil´ıbrio.

Ou seja, dadas as estrat´egias escolhidas em equil´ıbrio pelos outros jogadores, esse jogador ´

e indiferente entre qualquer estratégia pura que ele de fato possa vir a escolher (que tem probabilidade positiva), e estas estratégias puras lhe dão um payoff igual ou maior do que qualquer outra estratégia que ele não escolhe. Lembre-se que o que de fato determina as probabilidades de cada jogador é ( ˆm1, . . . , ˆmI) ser um equil´ıbrio.

Existe uma outra forma de interpretar a randomiza¸cão de estratégias, para o caso de dois jogadores, que pode ser mais adequada para certas situa¸cões. Nessa interpreta¸cão, a estratégia mista de um determinado jogador é a distribui¸cão de probabilidade que o outro jogador atribui para as escolhas de seus rivais. Por exemplo, no jogo “Cara ou Coroa”, a estratégia mista do jogador 1 pode ser interpretada tanto como o modo que o jogador 1 randomiza entre cara e coroa ou como o modo que o jogador 2 imagina que o jogador 1 estará randomizando entre as suas estratégias.

Vamos agora usar o Teorema 7.1 para calcular o EN para o jogo “Cara ou Coroa”. Suponha que o jogador 1 decida proceder do seguinte modo: com probabilidade α ele escolhe Ca e com probabilidade 1 − α ele escolhe Co. Similarmente, o jogador 2 decide proceder do seguinte modo: com probabilidade β ele escolhe Ca e com probabilidade 1 − β ele escolhe Co. Vamos representar na matriz abaixo essa situa¸c˜ao.

1↓ / 2 → Cara (β) Coroa (1 − β) Cara (α) −1, 1 1, −1 Coroa (1 − α) 1, −1 −1, 1

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Pelo Teorema 7.1, essas randomiza¸c˜oes constituem um EN se:

u1(m1, m2) = u1(Ca, m2) = u1(Co, m2) e u2(m1, m2) = u2(m1, Ca) = u2(m1, Co) ,

onde m1 e m2 representam as estrat´egias mistas dos jogadores 1 e 2, respectivamente. Portanto:

u1(Ca, m2) = u1(Co, m2) ⇒ −1 × β + 1 × (1 − β) = 1 × β + −1 × (1 − β) ⇒ β = 0,5

u2(m1, Ca) = u2(m1, Co) ⇒ 1 × α − 1 × (1 − α) = −1 × α + 1 × (1 − α) ⇒ α = 0,5

Logo, m1 = (1/2Ca;1/2Co) e m2 = (1/2Ca;1/2Co) constituem um EN em estrat´egias mistas

(mais ainda, este ´e o ´unico EN deste jogo). Observe que:

u1(Ca, m2) = u1(Co, m2) = u1(m1, m2) = 0

u2(m1, Ca) = u2(m1, Co) = u2(m1, m2) = 0,

como esperado pelo Teorema 7.1.

Para jogos maiores, com mais jogadores e/ou mais estrat´egias, o seguinte algoritmo descreve como devemos proceder para determinar todos os EN de um jogo na forma normal.

Algoritmo para Encontrar EN em Estrat´egias Mistas. Fixe ˆS = ˆS1 × · · · × ˆSI ⊂ S =

S1× · · · × SI, com ˆSi 6= ∅ para todo i. Se existir algum equil´ıbrio de Nash m com suporte em

ˆ

S, ent˜ao existem n´umeros Ui, para todo jogador i, tais que:

(i) P s−i∈S−i Q j6=i mj(sj) !

ui(ˆsi, s−i) = Ui, para todo jogador i, para todo ˆsi ∈ ˆSi;

(ii) ui(si, m−i) ≤ Ui, para todo jogador i, para todo si ∈ ˆ/Si;

(iii) mi(ˆsi) > 0, para todo ˆsi ∈ ˆSi, P ˆ si∈ ˆSi

mi(ˆsi) = 1, e mi(si) = 0, para todo si ∈ ˆ/ Si.

Repita o procedimento para todas as combina¸c˜oes poss´ıveis ˆS.

A ideia do algoritmo é fixar um conjunto de estratégias puras dos jogadores para o qual se verifica a existência de algum equil´ıbrio em estratégias mistas. Usando o Teorema 7.1, vemos que o algoritmo acima garante que:

(i) A utilidade de um jogador i qualquer, ao jogar uma estratégia pura que faz parte da randomiza¸cão (jogada com probabilidade positiva) deve ser sempre igual, quando os seus rivais estão jogando as estratégias de equil´ıbrio;

(ii) Nenhuma estratégia (para qualquer jogador) que não é usada na randomiza¸cão dá uma utilidade maior do que a de equil´ıbrio;

(iii) As probabilidades de randomiza¸c˜ao s˜ao de fato probabilidades.

Vamos encontrar todos os equil´ıbrios do jogo abaixo para aplicarmos o algoritmo acima. Exemplo 8. Considere o seguinte jogo com dois jogadores. O jogador 1 possui duas estratégias puras, U e D. O jogador 2 possui três estratégias puras, L, M e R:

1↓ / 2 → L M R

U 1, 1 0, 0 5, 5 D 0, 0 2, 2 0, 0

(14)

Esse jogo possui dois EN em estrat´egias puras, (U, R) e (D, M ). Vamos procurar todos os EN poss´ıveis em estrat´egias mistas. Temos que considerar quatro casos:

1. O jogador 2 randomiza entre L, M e R com probabilidades β, γ e 1 − β − γ, o jogador 1 randomiza entre U e D com probabilidades α e 1 − α. Nesse caso, devemos ter que:

(i) u1(U, m2) = u1(D, m2) e (ii) u2(m1, L) = u2(m1, M ) = u2(m1, R).

Ou seja,

(i) 1 × β + 5 × (1 − β − γ) = 2 × γ (ii) 1 × α = 2 × (1 − α) = 5 × α

No item (ii), não existe solu¸cão para α que satisfa¸ca as igualdades desse item. Portanto, não existe EN com a randomiza¸cão sugerida acima.

2. O jogador 2 randomiza entre L e M com probabilidades β e 1 − β, o jogador 1 randomiza entre U e D com probabilidades α e 1 − α. Nesse caso, devemos ter que:

(i) u1(U, m2) = u1(D, m2) e (ii) u2(m1, L) = u2(m1, M ).

Ou seja,

(i) 1 × β = 2 × (1 − β) ⇒ β = 2/3 (ii) 1 × α = 2 × (1 − α) ⇒ α = 2/3

Então (m1; m2) = (2/3U,1/3D;2/3L,1/3M ) é um candidato a EN. Porém, s2 = R é tal que

u2(m1, R) = 10/3 > u2(m1, m2) = 2/3, portanto a randomiza¸cão acima não é um EN.

3. O jogador 2 randomiza entre L e R com probabilidades β e 1 − β, o jogador 1 randomiza entre U e D com probabilidades α e 1 − α. Nesse caso, devemos ter que:

(i) u1(U, m2) = u1(D, m2) e (ii) u2(m1, L) = u2(m1, R).

Ou seja,

(i) 1 × β + 5 × (1 − β) = 0 ⇒ β = 1,25 (ii) 1 × α = 5 × α ⇒ α = 0

O item (iii) do algoritmo não é satisfeito (o valor de β encontrado não caracteriza uma probabilidade). Portanto, não existe EN com a randomiza¸cão sugerida nesse caso. 4. O jogador 2 randomiza entre M e R com probabilidades β e 1 − β, o jogador 1 randomiza

entre U e D com probabilidades α e 1 − α. Nesse caso, devemos ter que: (i) u1(U, m2) = u1(D, m2) e (ii) u2(m1, M ) = u2(m1, R).

Ou seja,

(i) 5 × (1 − β) = 2 × β ⇒ β = 5/7 (ii) 2 × (1 − α) = 5 × α ⇒ α = 2/7

Então (m1; m2) = (2/7U,5/7D;5/7M,2/7R) é um candidato a EN. Como s2 = L é tal que

u2(m1, L) = 5/7 < u2(m1, m2) = 10/7, a randomiza¸c˜ao acima ´e de fato um EN.

O jogo acima possui ao todo três EN, dois em estratégias puras e um em estratégias mistas não-degeneradas. Claramente, esse algoritmo é impraticável de ser calculado “no bra¸co” para jogos com muitas estratégias. Porém, ele pode ser implementado computacionalmente nesses casos.

(15)

3.3 Teorema de Nash

Teorema 7.2: Existência de Equil´ıbrio de Nash. Todo jogo finito na forma estratégica possui (pelo menos) um equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas.

O seguinte resultado mais geral ´e v´alido:

Teorema de Existˆencia de Equil´ıbrio de Nash (TEEN). Considere o jogo G = (Mi, ui)Ii=1,

onde:

1. Mi ⊂ Rn ´e n˜ao-vazio, compacto e convexo para todo i; e

2. ui : M → R ´e cont´ınua em M e quase-cˆoncava em Mi.

Ent˜ao sempre existe (pelo menos) um equil´ıbrio de Nash para esse jogo.

Corolário (Teorema 7.2). Todo jogo finito na forma estratégica possui pelo menos um equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas.

Para confirmar a validade do corolário, basta notar que o simplex de um conjunto finito n˜ ao-vazio é compacto e convexo. Logo, o Teorema 7.2 pode ser visto como um corolário de Teorema TEEN.

Para se provar o Teorema TEEN, vamos definir a correspondˆencia bi : M−i → Mi de melhor

resposta para o jogador i:

bi(m−i) = { ˆmi ∈ Mi | ui( ˆmi, m−i) ≥ ui(mi, m−i), ∀mi ∈ Mi}.

A defini¸c˜ao acima diz que bi(m−i) seleciona, dada a escolha m−i de todos os outros jogadores

que não i, a melhor resposta do jogador i à escolha m−i. Observe primeiro que bié de fato uma

correspondência e não uma fun¸cão, pois para uma determinada escolha m−i dos seus rivais, o

jogador i pode ter mais de uma estrat´egia que ´e a melhor resposta a m−i.

Podemos provar que a correspondência de melhor resposta de cada jogador satisfaz: (i) bi(m−i) é não vazia para todo m−i ∈ M−i;

(ii) bi(m−i) ´e de valores convexos e de valores compactos para todo m−i ∈ M−i;

(iii) bi : M−i → Mi ´e hemi-cont´ınua superior (hcs).

A propriedade de continuidade superior garante, junto com a propriedade de hemi-continuidade inferior, uma regularidade para correspondências análoga à propriedade de conti-nuidade para fun¸cões. Se bi satisfaz as propriedades acima, podemos definir a correspondência

b = (b1, . . . , bI) como a correspondˆencia de melhor resposta de todos os jogadores e ent˜ao

aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani, enunciado abaixo.

Teorema do Ponto Fixo de Kakutani. Suponha que M ⊂ Rn _´_{e um conjunto n˜}_ao-vazio,

compacto e convexo. Seja b : M → M uma correspondência hemi-cont´ınua superior com valores convexos. Então b tem ponto fixo (isto é, existe mP F _{∈ M tal que m}P F _{∈ b(m}P F_)).

Observe que se existe um ponto fixo para b, isto é, um conjunto de estratégias m∗ = (m∗₁, . . . , m∗_I) tal que (m∗₁, . . . , m∗_I) ∈ (b1(m∗−1), . . . , bI(m∗−I)), então vale que m∗i ∈ bi(m∗−i) para todo jogador

i, o que significa que m∗_i é a melhor resposta do jogador i à escolha m∗_−i de seus rivais, ou seja, m∗ = (m∗₁, . . . , m∗_I) é um equil´ıbrio de Nash.

(16)

4 Alguns Resultados

Vimos acima exemplos de equil´ıbrios com estratégias puramente mistas. O exemplo abaixo mostra que pode existir um EN onde apenas um dos jogadores de fato randomize. Para que isso ocorra, é necessário que os payoffs obtidos com as estratégias puras que fazem parte da randomiza¸cão desse jogador sejam todos iguais, já que o outro jogador não randomiza e escolhe uma estratégia pura. Além disso, cada estratégia pura do jogador que de fato é randomizada forma um EN em estratégias puras junto com a estratégia pura escolhida pelo outro jogador. O exemplo a seguir ilustra esse ponto.

Exemplo 9: Considere o seguinte jogo com dois jogadores: 1↓ / 2 → L R

U 1, 1 0, 0 D 1, 0 0, 0

Esse jogo possui três EN em estratégias puras, (U, L), (D, L) e (D, R). Não existe equil´ıbrio em estratégias estritamente mistas para os dois jogadores. Porém, (αU, (1 − α)D; L) é um EN para todo α ∈ [0, 1], em que o jogador 1 randomiza entre as estratégias U e D, escolhendo qualquer probabilidade. Isso ocorre porque como U e D provêem o mesmo payoff para o jogador 1 quando 2 escolhe L, então qualquer randomiza¸cão entre essas duas estratégias será parte de um EN junto com a estratégia L de 2.

Um caso mais extremo e sem interesse seria o de um jogo em que os payoffs de cada jogador são todos iguais. Nessa situa¸cão, “tudo” será EN, já que qualquer escolha de cada jogador gerará sempre o mesmo payoff. Evidentemente, isso não configuraria um jogo no sentido informal do termo. A matriz abaixo ilustra esse caso.

1↓ / 2 → L R U 1, 2 1, 2 D 1, 2 1, 2

Proposi¸cão. Os seguintes resultados são válidos:

1. Se existir equil´ıbrio em estratégias estritamente dominantes, ele será único e será o único EN do jogo. O mesmo vale para equil´ıbrios obtidos com o PEEED: se existir, será único e o único EN do jogo.

2. Se existir equil´ıbrio em estratégias fracamente dominantes, então ele será um EN. Neste caso, pode ocorrer que exista outro EN, formado por estratégias fracamente dominadas. O exemplo abaixo mostra esse caso.

3. Vimos em um exemplo acima que o PEEFD pode levar a diferentes resultados, depen-dendo da ordem de elimina¸cão das estratégias. Mesmo assim, qualquer equil´ıbrio obtido com o PEEFD será um EN.

Exemplo 10: Considere o seguinte jogo com dois jogadores: 1↓ / 2 → L R

U 1, 1 0, 0 D 0, 0 0, 0

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Esse jogo possui dois EN, dados por (U, L) e (D, R). Não existe equil´ıbrio em estratégias estritamente mistas. O EN (U, L) é também equil´ıbrio em estratégias fracamente dominantes (e pode ser obtido usando o PEEFD). O EN (L, D) é um equil´ıbrio formado por estratégias fracamente dominadas e, portanto, não pode ser encontrado usando o PEEFD.

O Exemplo 10 mostra que pode existir um equil´ıbrio formado por estratégias fracamente do-minadas. Um equil´ıbrio desse tipo é algo estranho, pois envolve cada jogador escolher uma estratégia para a qual existe outra op¸cão que dará sempre um payoff maior ou igual, inde-pendentemente do que os outros jogadores fa¸cam. Então é dif´ıcil justificar que um equil´ıbrio em estratégias fracamente dominadas seja o resultado da intera¸cão estratégica dos jogadores. Existe um conceito de refinamento do EN para jogos na forma normal, chamado refinamento da mão-trêmula (Selten, 1975; Myerson, 1978) que exclui a possibilidade desse tipo de equil´ıbrio ocorrer, no sentido de que o EN formado por estratégias fracamente dominadas não satisfaz o refinamento da mão-trêmula (pode se dizer também que esse EN não é perfeito da m˜ ao-trêmula).

Refinamentos do conceito de EN são direcionados para eliminar EN que por algum motivo não são considerados razoáveis. Nesse caso, existirá algum ou alguns EN que satisfazem o refinamento e algum ou alguns que não o satisfazem.

O refinamento da mão-trêmula considera a possibilidade de que os jogadores possam cometer erros no momento da escolha da sua estratégia a ser jogada. O EN então será chamado perfeito da mão-trêmula caso satisfa¸ca a condi¸cão imposta pelo refinamento. No exemplo acima, apenas o EN (U, L) é perfeito da mão-trêmula. O EN (D, R) não é perfeito da mão-trêmula. Mas-Colell et al. apresentam a formaliza¸cão desse conceito, elaborado por Selten (1975) e Myerson (1978).

Referˆ

encias

Aumann, R. J. (1974). Subjectivity and correlation in randomized strategies. Journal of Mathematical Economics, 1 , 67-96.

Aumann, R. J. (1976). Agreeing to disagree. The Annals of Statistics, 4:6 , 1236-1239.

Aumann, R. J., & Brandenburger, A. (1995). Epistemic conditions for nash equilibrium. Econometrica, 63:5 , 1161-1180.

Bernheim, B. D. (1984). Rationalizable strategic behavior. Econometrica, 52 , 1007-1028. Myerson, R. B. (1997). Game theory: Analysis of conflict. Harvard University Press. Nash, J. F. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics, 54:2 , 289-295.

Pearce, D. G. (1984). Rationalizable strategic behavior and the problem of perfection. Econo-metrica, 52 , 1029-1050.

Polak, B. (1999). Epistemic conditions for nash equilibrium, and common knowledge of rationality. Econometrica, 67:3 , 673-676.

von Neumann, J., & Morgenstern, O. (2007). Theory of games and economic behavior (1944: 1st ed.). Princeton University Press.