Naizmenični signali i osnovna elektronska kola

Naizmeniˇcni signali i osnovna

elektronska kola

Zoran Priji´c, Aneta Priji´c

Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet Katedra za mikroelektroniku

Sadržaj

2.4 Vršna, efektivna i srednja vrednost . . . 8

2.4.1 Sinusni signal . . . 10

2.4.2 Drugi oblici naizmeniˇcnih signala . . . 12

3 Osnovna elektronska kola 17 3.1 Otpornik u AC kolu . . . 17

3.2 Kondenzator u AC kolu . . . 18

3.2.1 Prelazni režim kondenzatora . . . 21

3.3 RC kolo . . . 23

3.3.1 RC kolo sa paralelnim otpornikom . . . 25

3.4 Kalem u AC kolu . . . 27

3.4.1 Prelazni režim kalema . . . 29

3.5 RL kolo . . . 30

3.5.1 RL kolo sa paralelnim otpornikom . . . 32

3.6 RLC kolo . . . 33

3.7 Rezonansa . . . 37

Dodatak A Brojevi u tehniˇckoj literaturi 43 A.1 Formati brojeva . . . 43

A.2 Upotreba kalkulatora . . . 45

Dodatak B Osnovne operacije sa kompleksnim brojevima 49 B.1 Definicije . . . 49 B.2 Sabiranje . . . 50 B.3 Oduzimanje . . . 50 B.4 Množenje . . . 51 B.5 Deljenje . . . 51 i

ii SADRŽAJ Dodatak C Izraˇcunavanje efektivne i srednje vrednosti 53 C.1 Signal oblika testere . . . 53 C.2 Signal oblika trougla . . . 54 C.3 Signal oblika pravougaonika . . . 55 Dodatak D Izraˇcunavanje napona u prelaznom režimu kondenzatora 57 Dodatak E Odre ¯divanje napona na kondenzatoru u RC kolu 59 Dodatak F Izraˇcunavanje struje u prelaznom režimu kalema 61

Glava 1

Uvod

Ovaj tekst namenjen je pre svega studentima Elektronskog fakulteta kao pomo´cni materijal u savladavanju gradiva iz predmeta ELEKTRONSKE

KOMPONENTE, na prvoj godini studija. U materijalu je dat kratak pregled

osnovnih pojmova koji se odnose na naizmeniˇcne signale, ukljuˇcuju´ci i opis naizmeniˇcnih signala koji se najˇceš´ce sre´cu u praksi. Pored toga, data je i kratka analiza nekih osnovnih elektronskih kola kod kojih se naizmeniˇcni signali koriste kao pobuda. Za analizu kola upotrebljena je varijanta pro-grama SPICE, ˇcija se besplatna verzija pod nazivom LTspiceIV može pre-uzeti sa Web lokacije http://www.linear.com. Studenti se ohrabruju da nauˇce simulaciju kola jer autori smatraju da ´ce im to znanje biti od koristi i u radu na višim godinama studija.

Autori naglašavaju da ovaj materijal ne može da zameni znanja koja studenti treba da steknu iz predmeta ELEKTROTEHNIKA, kako bi uspešno

savladali gradivo iz predmeta ELEKTRONSKE KOMPONENTE. Kvalitetan

izvor informacija za detaljnije prouˇcavanje ovde opisanih pojava može se na´ci npr. nahttp://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/, kao i na više drugih Web lokacija.

Upozorenje: Materijal prezentiran u ovom tekstu koncipiran je tako da, ilu-struju´ci pojedine fiziˇcke pojave i tehniˇcke principe, služi

isklju-ˇcivou obrazovne svrhe. Zbog toga su u mnogim sluˇcajevima

koriš´cene odre ¯dene aproksimacije. ˇCitaoci moraju biti svesni ˇcinjenice da se praktiˇcna realizacija pojedinih kola u ve´cini slu-ˇcajeva razlikuje od ovde predstavljene.

U sluˇcaju da se ne poštuju propisane mere bezbednosti, rad sa naizmeniˇcnim signalima može biti opasan po život !

Glava 2

Naizmeniˇcni signali

2.1

Definicije

Pod naizmeniˇcnim signalom ´ce se u ovom tekstu podrazumevati signal ˇcija se amplituda naizmeniˇcno menja u vremenu, u odnosu na referentnu („nultu“) vrednost, kao što je ilustrovano na Sl. 2.1. Nulta vrednost ne

Vreme 0 A B fazni pomeraj perioda amplituda

Slika 2.1: Opšti oblik sinusnog naizmeniˇcnog signala i definicija faznog po-meraja.

mora nužno podrazumevati nulu, jer u elektronici nije neuobiˇcajeno da se naizmeniˇcni signal superponira nekom jednosmernom signalu. Naizme-niˇcni signali se u struˇcnoj literaturi uobiˇcajeno oznaˇcavaju skra´cenicom AC (Alternate Current), za razliku od jednosmernih koji se oznaˇcavaju skra-´cenicom DC (Direct Current). Jednosmerni signali predstavljaju skalarne veliˇcine, dok naizmeniˇcni, s obzirom na promene u vremenu, predstavljaju

4 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI vektorske veliˇcine.

Vreme za koje se izvrši jedna naizmeniˇcna promena amplitude odre ¯duje periodusignala T (cycle). Broj perioda u jedinici vremena definiše uˇcesta-nostili frekvenciju f (frequency) naizmeniˇcnog signala. Ako se za jedinicu vremena uzme sekunda, uˇcestanost se dobija u Hercima [Hz], tako da broj Hz predstavlja broj perioda u jednoj sekundi. Evidentno je da su uˇcestanost i perioda obrnuto proporcionalni, tj. da je f =1/T.

Za potpuni opis naizmeniˇcnog signala je, pored uˇcestanosti, potrebno poznavanje i pozicije tog signala na vremenskoj osi u odnosu na neki refe-rentni signal, kao što je to ilustrovano na Sl. 2.1. Ako je posmatrani signal

A, a referentni signal B, razlika pozicija ta dva signala na vremenskoj osi

naziva se fazni pomeraj (phase shift). Pošto na vremenskoj osi može po-stojati n signala, to znaˇci da se fazni pomeraj može definisati i izme ¯du bilo koja dva signala, pri ˇcemu jedino treba voditi raˇcuna o tome koji se signal od ta dva proglašava referentnim. Iz ovoga se može izvesti zakljuˇcak da je fazni pomeraj relativna veliˇcina ˇcija se vrednost meri izme ¯du dva signala. Ipak, u praksi je pogodno izabrati odre ¯deni signal ˇcija ´ce se pozicija na vre-menskoj osi proglasiti apsolutnom (tj. „nultom“) i u odnosu na koju ´ce se odre ¯divati fazni pomeraj svih ostalih signala.

2.2

Polarna reprezentacija

Amplituda, uˇcestanost i fazni pomeraj dovoljni su za potpunu vek-torsku reprezentaciju naizmeniˇcnog signala. Intenzitet vektora, odnosno njegova dužina, predstavlja´ce amplitudu1 _{signala. Ako se smatra da su}

signali prostoperiodiˇcnog oblika, logiˇcno je usvojiti polarni koordinatni si-stem tako da jedna perioda odgovara celom krugu, odnosno uglu 360◦

(= 2π rad). U tom sluˇcaju se fazni pomeraj može izraziti preko ugla 0 _≤

ϕ_≤ 360◦. Pod pretpostavkom da referentni signal B i posmatrani signal A

imaju iste ampltude V0, njihova vektorska reprezentacija bi izgledala kao

na Sl. 2.2. Još jednom treba naglasiti da se ugao ϕ odre ¯duje u odnosu na

V0

V0

A

B ϕ

Slika 2.2: Polarna reprezentacija naizmeniˇcnih signala.

2.2. POLARNA REPREZENTACIJA 5 referentni signal, kod koga se smatra da je ϕ= 0, tako da se signal B može opisati izrazom V0∠0, a signal A, na osnovu Sl. 2.2, izrazom:

V=V0∠ϕ. (2.1)

gde je V vektor, što je ujedno i opšti oblik polarne (vektorske) reprezentacije naizmeniˇcnog signala.

Kada se signal A po vremenskoj osi u potpunosti poklapa sa signalom

B, tj. kada je fazni pomeraj izme ¯du njih jednak nuli, kaže se da su signali

"‘u fazi"’. Kada je fazni pomeraj izme ¯du dva signala jednak 180◦_{kaže se da}

su signali u protivfazi. U ostalim sluˇcajevima signal ili kasni ili prednjaˇci u odnosu na referentni signal, kao što je to ilustrovano na Sl. 2.3.

0 A B C D 90˚ -90˚ A B C D Vreme

Slika 2.3: Ilustracija faznih pomeraja: signal A kasni u odnosu na signal B; signal C prednjaˇci u odnosu na signal B; signal D i signal B su u protivfazi. Koriš´cenjem polarne reprezentacije mogu´ce su i algebarske operacije nad skupom signala, po pravilima koja važe za vektore. Pored toga, po-larna reprezentacija omogu´cava definiciju ugaone brzine ω (angular velo-city) kao:

ω =2π f . (2.2)

Ovakva definicija ugaone brzine podrazumeva uˇcestanost

prostoperiodiˇc-Ugaona brzina ω se u doma´coj struˇcnoj litera-turi ˇcesto naziva kružna uˇcestanost.

nog signala, odnosno signala ˇcija perioda odgovara uglu 2π rad.

Vektori prikazani u obliku (2.1) se nazivaju fazori (phasor). Algebarske operacije nad fazorima mogu se sprovoditi samo nad signalima koji imaju istu uˇcestanost f .

6 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI

2.3

Algebarska reprezentacija

Naizmeniˇcni signal je mogu´ce opisati i pomo´cu kompleksnog broja u algebarskom (ortogonalnom) obliku:

V= a+jb, (2.3)

pri ˇcemu se veza izme ¯du polarne i algebarske reprezentacije ostvaruje po pravilima preslikavanja polarne koordinatne ravni u kompleksnu ravan, U anglosaksonskoj

teh-niˇckoj literaturi algebar-ska reprezentacija se na-ziva pravougaona (

rec-tangular).

što je ilustrovano na Sl. 2.4. Na osnovu Sl. 2.4 zakljuˇcuje se da je veza

iz-Slika 2.4: Polarna i algebarska reprezentacija naizmeniˇcnog signala (kva-dranti su oznaˇceni rimskim brojevima).

me ¯du (2.1) i (2.3) odre ¯dena relacijama:

V0=

p

a2+b2 (2.4)

ϕ=arctanb

a . (2.5)

Primer 2.3.1 Signal V=2+j5 prikazati u polarnom obliku.

V0 = p22+52

ϕ = arctan 5 2 V = 5, 385∠68, 198◦

Primer 2.3.2 Signal V=8∠32◦prikazati u kompleksnom obliku.

2.3. ALGEBARSKA REPREZENTACIJA 7

b = 8 sin 32◦

V = 6, 78+j4, 24

Treba obratiti pažnju na znake koje imaju vrednosti a i b u kompleksnoj ravni, jer oni odre ¯duju kom kvadrantu u polarnoj ravni pripada ugao ϕ.

U anglosaksonskoj teh-niˇckoj literaturi funkcija arctan(x) se oznaˇcava sa tan−1_{(x), što nije isto} kao 1/ tan(x)! arctanb a =                      arctanb a, za a>0 i b>0 (I kvadrant); 90◦_{, za a=0 i b}>0; arctanb a +180◦, za a<0 i b≥0 (II kvadrant); 270◦_{, za a=0 i b}<0; arctanb a +180◦, za a<0 i b<0 (III kvadrant); arctanb a +360◦, za a>0 i b<0 (IV kvadrant); (2.6)

Definicija (2.6) prilago ¯dena je tako da se na osnovu nje dobijaju vrednosti 0◦ _{≤ ϕ≤ 360}◦_{. Pri tome, prema ovde usvojenoj konvenciji, vrednost ugla}

ϕraste suprotno smeru kretanja kazaljke na satu2.

Primer 2.3.3 Signal V= −1+j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =

q

(−1)2+12 _{≃1, 41}

arctan+1

−1 = −45◦

U ovom sluˇcaju je a<0 i b>0, što odgovara drugom kvadrantu na Sl. 2.4. To

znaˇci da je ugao ϕ u stvari−45◦₊₁₈₀◦ ₌₁₃₅◦_.

V=1, 41∠135◦

Primer 2.3.4 Signal V_{= −}1₋j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =

q

(−1)2_{+ (−}1)2 _≃1, 41 arctan−1

−1 = +45◦

2_{U upotrebi mogu biti i drugaˇcije definicije, u zavisnosti od usvojene konvencije. Me ¯}

8 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI

U ovom sluˇcaju je a <0 i b <0, što odgovara tre´cem kvadrantu na Sl. 2.4. To

znaˇci da je ugao ϕ u stvari+45◦₊₁₈₀◦ ₌₂₂₅◦_.

V=1, 41∠225◦

Primer 2.3.5 Signal V=1₋j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =

q

12_{+ (−1)}2 _{≃1, 41}

arctan−1

+1 = −45◦

U ovom sluˇcaju je a > 0 i b < 0, što odgovara ˇcetvrtom kvadrantu na Sl. 2.4.

To znaˇci da je ugao ϕ u stvari₋45◦+360◦ =315◦.

V=1, 41∠315◦

U sluˇcaju algebarske reprezentacije, operacije nad skupom signala izvr-šavaju se po pravilima koja važe za kompleksne brojeve (videti Dodatak B). Algebarska i polarna reprezentacija se mogu povezati i preko Ojlerove (Eu-ler) formule:

V=V0exp(jϕ) =V0cos ϕ +jV0sin ϕ , (2.7)

koja je pogodnija za operacije množenja i deljenja.

2.4

Vršna, efektivna i srednja vrednost

Amplituda definisana na Sl. 2.1 naziva se i vršna (peak ili crest) vred-nost, oznaˇcava se sa V0ili VPi može se koristiti za kvantitativno opisivanje naizmeniˇcnih signala. U praksi se koristi i vrednost izme ¯du suprotnih vr-hova signala VPP(peak-to-peak ), kao na Sl. 2.5.

Ako se posmatra kolo prikazano na Sl. 2.6(a) zakljuˇcuje se da je snaga

P koja se disipira na otporniku R jednaka V2/R, pri ˇcemu je V vrednost

jednosmernog (DC) napona. Postavlja se pitanje kakav naizmeniˇcni signal treba upotrebiti da bi se na otporniku disipirala ista snaga kao u sluˇcaju kada je na njega prikljuˇcen DC signal vrednosti V. Drugim reˇcima, treba prona´ci vrednost naizmeniˇcnog signala VRMS sa Sl. 2.6(b) koja predstavlja „ekvivalent“ DC vrednosti V. U tu svrhu potrebno je poznavanje oblika signala.

2.4. VRŠNA, EFEKTIVNA I SREDNJA VREDNOST 9 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 0,707 VPP 0 π 2π A B V0 VRMS

Slika 2.5: Definicija vršne i efektivne vrednosti sinusnog naizmeniˇcnog sig-nala: A je osnovni signal, B je kriva snage.

R

V V_RMS R

(a) (b)

10 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI 2.4.1 Sinusni signal

Neka signal A sa Sl. 2.5 predstavlja napon koji se dovodi na otpornik u obliku:

v(t) =V0sin(ωt+ϕ), (2.8) pri ˇcemu se može, pošto je to jedini signal u kolu, uzeti da je ϕ = 0. Tre-nutna snaga koja se disipira na otporniku u svakom vremenskom trenutku

t tokom jedne periode T je v2(t)/R, što dogovara krivoj B na Sl. 2.5. Da bi se pronašao DC „ekvivalent“ snage, logiˇcno je potražiti njenu srednju vrednost tokom jedne periode, što se svodi na pronalaženje srednje vred-nosti napona v2_{(t). S obzirom da je, na osnovu Sl. 2.5, T= 2π/ω, to je:}

Definicija (2.9) koristi teoremu o srednjoj vrednosti integrala, a sam integral rešava se uvo ¯denjem smene

ωt= xi upotrebom tri-gonometrijske relacije 1−cos 2x=2 sin2x. 1 Tv 2_(t) = V 2 0 T Z T 0 sin 2_(ωt)dt= V02 2π Z 2π 0 sin 2_(x)dx= V02 2 =VRMS2 . (2.9) Izjednaˇcavanjem uslova snage kola sa Sl. 2.6(a) i (b) dobija se:

V2 R ≡ V_RMS2 R = 1 R V₀2 2 , (2.10) što daje: VRMS = √V0 2 =0, 707V0. (2.11)

Ovo znaˇci da ´ce naizmeniˇcni napon amplitude V0=1 V proizvesti istu

disi-paciju snage na otporniku R kao njegov jednosmerni ekvivalent vrednosti

V = 0, 707 V (videti Sl. 2.5). Vrednost VRMS naziva se efektivna vrednost naizmeniˇcnog signala. Skra´cenica RMS u indeksu potiˇce od engleskog iz-razaRoot Mean Square, koji opisuje metodu kojom je efektivna vrednost izraˇcunata. U literaturi se ova vrednost oznaˇcava i sa V_{e f f} i u opštem slu-ˇcaju se može izraziti relacijom:

VRMS≡Ve f f = s 1 T Z T 0 v 2_{(t)dt. (2.12)}

Posebno je važno re´ci da efektivna vrednost VRMS nije isto što i srednja vrednost VAVG(average), koja se dobija jednostavnim usrednjavanjem3:

VAVG = 1 T Z T 0 |v(t)| dt= V0 T Z T 0 |sin(ωt)| dt=0, 637V0 . (2.13)

Realni oblik sinusnog signala se može snimiti pomo´cu instrumenta koji se naziva osciloskop, kao što je to prikazano na Sl. 2.7.

Podeok (division) pred-stavlja stranicu jednog kvadrata na mreži pri-kazanoj na ekranu osci-loskopa.

Treba imati u vidu da analogni AC voltmetri (tzv. instrumenti sa kret-nim kalemom) mere srednju vrednost signala, ali su kalibrisani tako da pri-kazuju efektivnu vrednost. Kalibracija instrumenata je taˇcna samo kada je

3_{Rešenje (2.13) je} 1 2π R2π 0 |sin x|dx=2π2 Rπ 0 sin x dx= π2 =0, 637

2.4. VRŠNA, EFEKTIVNA I SREDNJA VREDNOST 11

Slika 2.7: Realni sinusni signal, snimljen na osciloskopu. Na X osi je vreme, sa razmerom od 500 ns po podeoku; na Y osi je napon sa razmerom od 1 V po podeoku.

signal koji se meri sinusni. Digitalni voltmetri postoje u više varijanti. Neki, kao i analogni, mere srednju vrednost signala, a na osnovu kalibracione skale prikazuju efektivnu vrednost, u kom sluˇcaju važi i prethodna konsta-tacija o taˇcnosti merenja. Drugi, tzv. pravi RMS voltmetri (true RMS ), mere vrednost amplitude signala u nizu vremenskih intervala koji su znatno ma-nji od periode signala i zatim izraˇcunavaju i prikazuju efektivnu vrednost na osnovu prethodno opisanog algoritma. Postoje i AC voltmetri kod kojih se princip merenja zasniva na fizici pojave, odnosno na merenju disipacije snage na otporniku poznate otpornosti. U svakom sluˇcaju, pre upotrebe instrumenta potrebno je obratiti pažnju za kakvu vrstu signala je kalibri-san, kao i na princip merenja na kome je zasnovan, što proizvo ¯daˇci obiˇcno navode u tehniˇckim specifikacijama. Praktiˇcni saveti u vezi sa metodologi-jom merenja i korekcimetodologi-jom grešaka mogu se najˇceš´ce na´ci na Web lokacijama proizvo ¯daˇca instrumenata.

Sinusni signal je svakako jedan od najzastupljenijih u praksi, pre svega zbog ˇcinjenice da je i samo mrežno napajanje (line voltage) takvog oblika. Efektivna vrednost mrežnog napajanja u Evropi se kre´ce u granicama 220_÷ 240 V, a uˇcestanost je 50 Hz. To znaˇci da je amplituda takvog signala 311_÷ 339 V. U SAD i nekim drugim zemljama efektivna vrednost mrežnog napa-janja je 110_÷120 V, a uˇcestanost je 60 Hz, pa je amplituda takvog signala 156_÷170 V. Sinusni signal je tako ¯de zastupljen i u mnogim aplikacijama, pre svega analogne elektronike. Me ¯dutim, pored sinusnog, postoji još ne-koliko oblika naizmeniˇcnih signala koji se ˇcesto sre´cu u praksi, a koji ´ce biti razmotreni u daljem tekstu.

12 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI 2.4.2 Drugi oblici naizmeniˇcnih signala

Na Sl. 2.8 je prikazan naizmeniˇcni signal oblika testere (sawtooth ). Efektivna

Slika 2.8: Realni naizmeniˇcni signal oblika testere.

i srednja vrednost ovog signala su V0/√3 i V0/2, respektivno, a postupak

njihovog izraˇcunavanja opisan je u Dodatku C.

Iako se, na osnovu formalne definicije date u 2.1, ne može smatrati pot-punim naizmeniˇcnim signalom, zbog veoma ˇceste pojave u praksi, ovde ´ce biti razmotren i signal oblika rampe (ramp) koji je prikazan na Sl. 2.9. Za

Slika 2.9: Realni signal oblika rampe.

2.4. VRŠNA, EFEKTIVNA I SREDNJA VREDNOST 13 od nule. Efektivna i srednja vrednost signala su iste kao i u sluˇcaju naizme-niˇcnog signala oblika testere (videti Dodatak C).

Drugi naizmeniˇcni signal koji se ˇcesto sre´ce u primeni je signal oblika trougla, prikazan na Sl. 2.10. Efektivna i srednja vrednost naizmeniˇcnog

Slika 2.10: Realni signal oblika trougla.

signala oblika trougla su V0/√3 i V0/2, respektivno, a postupak njihovog

odre ¯divanja dat je u Dodatku C.

Geometrijska reprezentacija naizmeniˇcnog signala oblika pravougao-nika (square wave), koji je od velikog znaˇcaja za primenu u digitalnoj elek-tronici, prikazana je na Sl. 2.11. Treba primetiti da u ovom sluˇcaju

ampli-0 v t T VDC t0 V0 V0

Slika 2.11: Naizmeniˇcni signal oblika pravougaonika.

tuda signala naizmeniˇcno menja vrednost u odnosu na konstantni jedno-smerni napon VDC, kao što je to napomenuto u 2.1. Napon VDCse naziva i napon pomeraja (offset voltage). Pored toga, promena vrednosti

ampli-14 GLAVA 2. NAIZMENI ˇCNI SIGNALI tude nije ravnomerno raspore ¯dena tokom jedne periode. Vreme t0 naziva

se vreme trajanja impulsa (pulse time). Odnos vremena t0 i periode T

na-ziva se faktor iskoriš´cenja periode D (duty cycle) i izražava se u procen-tima:

D= t0

T ×100 (%) (2.14)

U specijalnom sluˇcaju, kada je VDC=0 i t0= T/2, srednja vrednost signala je jednaka efektivnoj, tj. VRMS =VAVG= V0(videti Dodatak C).

U digitalnoj elektronici se ˇcesto sre´ce i signal koji predstavlja povorku impulsa i ˇcija je geometrijska reprezentacija prikazana na Sl. 2.12. Na osnovu

0 v t T t0 V0

Slika 2.12: Povorka impulsa. definicije (2.12) efektivna vrednost ovog signala je:

VRMS= s 1 T Z t₀ 0 V 2 0 dt=V0 r t0 T , (2.15)

dok je, na osnovu (2.13) srednja vrednost signala:

VAVG = 1 T Z t₀ 0 V0dt=V0 t0 T . (2.16)

S obzirom da je uvek ispunjen uslov t0/T ≤1, to je i VAVG≤VRMS. Realna povorka impulsa prikazana je na Sl. 2.13.

Treba ista´ci da su svi izrazi u ovom potpoglavlju izvedeni za sluˇcaj da je optere´cenje u kolu otpornik, uz pretpostavku uslova prilago ¯denja snage (2.10). Inaˇce, ovi signali se dobijaju posebnim ure ¯dajima koji se nazivaju signal generatorima ili generatorima funkcija.

2.4. VRŠNA, EFEKTIVNA I SREDNJA VREDNOST 15

Slika 2.13: Realna povorka impulsa uˇcestanosti f = 10 kHz, sa faktorom iskoriš´cenja periode D=25%.

Glava 3

Osnovna elektronska kola

3.1

Otpornik u AC kolu

Na Sl. 3.1 prikazano je AC kolo sa otpornikom kao optere´cenjem. Na ulazu kola je sinusni signal vin amplitude V0 = 1V i uˇcestanosti 1 kHz, a

otpornik ima vrednost R=1 kΩ.

Primedba: Elektriˇcne šeme i grafikoni dati u ovom tekstu generisani su iz programa za simulaciju kola SPICE u kome, iz tehniˇckih razloga, nije mogu´ce indeksno oznaˇcavanje veliˇcina. Zato ´ce u ovom tek-stu biti usvojena konvencija xk ≡ x_k i xk ≡ xˆk, koja povezuje oznake u tekstu sa oznakama na šemama i grafikonima.

v_R

1KHz

v_in 1k

R

Slika 3.1: Otpornik u AC kolu.

Napon na otporniku vR, struja kroz otpornik iRi snaga na otporniku pRse menjaju sa promenom ulaznog napona vin na naˇcin prikazan na Sl. 3.2. Na osnovu Omovog zakona za AC kola može se napisati:

IR=

VR

Z , (3.1)

pri ˇcemu je Z vektorska veliˇcina koja se naziva impedansa kola. U ovom sluˇcaju se impedansa kola, na osnovu kompleksne reprezentacije (2.3) i

18 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000m Vreme (s) v_ R ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 i_R (A) -1,000m -0,750m -0,500m -0,250m 0,000m 0,250m 0,500m 0,750m 1,000m p_R (W) 0,000m 0,100m 0,200m 0,300m 0,400m 0,500m 0,600m 0,700m 0,800m 0,900m 1,000m _{v_R} i_R p_R

Slika 3.2: Napon, struja i snaga na otporniku u AC kolu. Sl. 2.4, može napisati kao:

Z= R+j0=R, (3.2)

jer su struja iRi napon vRu fazi, što je uoˇcljivo sa Sl. 3.2.

Snaga koja se disipira na otporniku definisana je kao pR = vRiR =

v2_R/R. Sa Sl. 3.2 se uoˇcava da je snaga, za razliku od napona i struje, uvek pozitivna. To znaˇci da otpornik uvek disipira snagu (u obliku toplotne energije), bez obzira na polaritet struje koja prolazi kroz njega. Jedan od važnih parametara prilikom izbora otpornika za praktiˇcnu primenu je, po-red vpo-rednosti, upravo i maksimalna snaga za koju je otpornik ppo-redvi ¯den. .

3.2

Kondenzator u AC kolu

Na Sl. 3.3 prikazano je AC kolo sa kondenzatorom kao optere´cenjem. Treba imati u vidu da se kondenzator u praksi nikada ne pojavljuje bez redne otpornosti Rso kojoj ´ce biti više reˇci u 3.2.1 i 3.3, a na ovom mestu ´ce njen uticaj biti zanemaren zbog jednostavnosti razmatranja.

Primedba: U programu SPICE dvopolne komponente imaju svoj „+“ i „-“ kraj, tj. pinove oznaˇcene brojevima 1 i 2, respektivno. Da bi

si-3.2. KONDENZATOR U AC KOLU 19 v_C 1KHz v_in 100uF C Rs

Slika 3.3: Kondenzator u AC kolu.

mulirani signali odgovarali realnosti, potrebna je i pravilna ori-jentacija komponente u elektriˇcnoj šemi. To znaˇci da pin 1 kod kondenzatora treba da bude orijentisan ka „pozitivnom“ kraju signala. Prilikom postavljanja simbola kondenzatora na elek-triˇcnu šemu ˇcesto se dešava da se pinovi na ¯du u obrnutom po-ložaju, pa se dobijaju neoˇcekivani rezultati. Zbog toga treba pro-veriti položaj pinova ukljuˇcivanjem opcije za prikaz brojeva pi-nova. Sliˇcno važi i za kalem, a korisno je ste´ci naviku da se to ˇcini i kod otpornika. Pored toga, umesto oznake µ se u pro-gramu SPICE koristi slovo „u“, pa je µF≡uF.

Dovo ¯denje naizmeniˇcnog napona na kondenzator izaziva na njegovim oblo-gama naizmeniˇcno nagomilavanje i odvo ¯denje naelektrisanja. Proces na-gomilavanja naelektrisanja na oblogama naziva se punjenje (charging), a obrnuti proces pražnjenje (discharging) kondenzatora, o ˇcemu ´ce detaljnije biti reˇci u 3.2.1. Kada na jednu oblogu kondenzatora do ¯de jedna koliˇcina naelektrisanja, ekvivalentna koliˇcina napusti drugu oblogu, stvaraju´ci na taj naˇcin privid protoka struje kroz kondenzator. Kao posledica nagomi-lavanja naelektrisanja u vremenu nastaje porast napona na oblogama kon-denzatora vC, što rezultira smanjenjem struje iCi obratno. Struja u kolu je, dakle, srazmerna promeni napona u vremenu, pa se može napisati:

iC =CdvC

dt . (3.3)

Može se re´ci da se kondenzator suprotstavlja promenama napona na sop-stvenim oblogama koje mu name´ce izvor vin. Izraz (3.3) ukazuje da ´ce struja u kolu biti najve´ca kada je promena napona u vremenu najve´ca, a da ´ce biti jednaka nuli kada je ta promena jednaka nuli, što je ilustrovano na Sl. 3.4.

20 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000m Vreme (s) v_ C ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 i_C (A) -750,0m -500,0m -250,0m 0,000m 250,0m 500,0m 750,0m p_C (W) -400,0m -300,0m -200,0m -100,00m 0,000m 100,00m 200,0m 300,0m 400,0m _{v_C} i_C p_C

Slika 3.4: Napon, struja i snaga na kondenzatoru u AC kolu.

S obzirom da je za proces punjenja kondenzatora potrebno odre ¯deno vreme, tj. da se napon na njemu ne može promeniti trenutno1_{, to se na}

osnovu Sl. 3.4 može re´ci da napon vC kasni za strujom iC. Fazni pomeraj izme ¯du struje i napona je ₋90◦ _{(videti Sl. 2.3). Promena snage sa Sl. 3.4}

je tako ¯de naizmeniˇcna, što govori da kondenzator kontinualno ne disipira snagu u vremenu kao otpornik, ve´c vrši naizmeniˇcnu apsorpciju i

osloba-¯

danje energije.

Opisani proces reakcije kondenzatora na promene napona u vremenu se može kvantifikovati veliˇcinom koja se naziva reaktansa kondenzatora:

XC=

1

ωC =

1

2π f C [Ω], (3.4)

pa se impedansa kola, na osnovu (2.3) i Sl. 2.4, može napisati kao: Z=ZR+ZC =0−jXC = −j

1

ωC , (3.5)

pri ˇcemu₋joznaˇcava da izme ¯du struje i napona postoji fazni pomeraj od

−90◦_.

1_{Da bi došlo do promene napona, potrebno je pokretanje naelektrisanja ka oblogama,}

3.2. KONDENZATOR U AC KOLU 21 Treba primetiti da je reaktansa inverzno proporcionalna uˇcestanosti, što govori da ´ce se kondenzator manje suprotstavljati ˇceš´cim promenama na-pona na njemu. Ovo znaˇci da se kondenzator na veoma niskim uˇcestano-stima u kolu ponaša kao prekid (tj. struja kroz njega se može zanemariti), a na veoma visokim uˇcestanostima kao kratak spoj. Frekventna karakteri-stika, odnosno zavisnost reaktanse od uˇcestanosti je sastavni deo tehniˇcke specifikacije koju daju proizvo ¯daˇci kondenzatora i na nju treba obratiti pa-žnju prilikom projektovanja kola.

3.2.1 Prelazni režim kondenzatora

Radi detaljnijeg sagledavanja procesa punjenja i pražnjenja kondenza-tora, bi´ce razmotreno kolo sa Sl. 3.5. U kolu se kao pobuda nalazi izvor

v_in

100uF C 0,1k

Rs _{v_C}

Slika 3.5: RC kolo sa povorkom impulsa kao pobudom.

vin koji daje povorku impulsa sa Sl. 2.12, pri ˇcemu je perioda signala T = 200 ms, vreme trajanja impulsa t0 = T/2, a amplituda V0 = 1 V. Pojava

otpornika Rsu kolu posledica je ˇcinjenice da se u realnom sluˇcaju svi izvori karakterišu unutrašnjom otpornoš´cu, a kondenzatori ekvivalentnom red-nom otpornoš´cu2_{. Pored toga, u realnim kolima se procesi punjenja i}

pra-žnjenja kondenzatora uvek odvijaju preko neke aktivne ili pasivne kom-ponente, tj. preko njene unutrašnje otpornosti. S obzirom da su sve te ot-pornosti redne, to se njihov zbir može predstaviti jednim ekvivalentnim otpornikom3_.

2_{Ekvivalentna redna otpornost kondenzatora skara´ceno se naziva ESR (equivalent series}

resistance). Pored redne, u ekvivalentnoj šemi kondenzatora postoji i paralelna otpornost. Linije veza tako ¯de imaju svoju otpornost

3_{Vrednost R}

sna Sl. 3.5 ne odražava nužno realnu vrednost ekvivalentnih rednih

otpor-nosti, ve´c je, kao i još neke vrednosti u ovom tekstu, odabrana tako da omogu´ci kvalitetniju ilustraciju opisanog efekta i lakše „priruˇcno“ izraˇcunavanje.

22 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA Struja kroz kolo, napon na kondenzatoru i ulazni napon tokom jedne periode, prikazani su na Sl. 3.6. Vremenska zavisnost promene napona na

0,000m 50,00m 100,0m 150,0m 200,0m Vreme (s) v_ C ( V ) 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 v_ in ( V ) 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 i_Rs (A) -12,00m -10,00m -8,000m -6,000m -4,000m -2,000m 0,000m 2,000m 4,000m 6,000m 8,000m 10,000m 12,00m _{v_C} v_in i_Rs

Slika 3.6: Ulazni napon, napon na kondenzatoru i struja u kolu sa Sl. 3.5 tokom jedne periode.

kondenzatoru je: vC(t) =vin(t) −iRs(t)Rs=V0  1₋exp  −_Rt sC  . (3.6)

Razmatranje iz koga proizilazi (3.6) izloženo je u Dodatku D.

Iz (3.6) se zakljuˇcuje da ´ce promena napona na kondenzatoru zavisiti od vrednosti amplitude V0i proizvoda RsCkoji se naziva vremenska kon-stanta τ (time constant) ili RC konkon-stanta kola. U ovom sluˇcaju je τ =RsC= 10 ms, pa je u t = T/2 = 100 ms, kada amplituda impulsa pada na nulu, prema (3.6), vC(T/2) =1 ·(1−e−10) ≃1V, jer je 1≫e−10. Bez obzira na ˇci-njenicu da, formalno gledano, iz (3.6) proizilazi da je vC =V0kada t→∞, može se re´ci da je u praksi vC ≃V0ve´c za t= 4RsC, kao što se i prime´cuje sa Sl. 3.6. U tom sluˇcaju se može smatrati da je i iRs ≃0.

Kada je t>T/2 impuls se prekida, odnosno amplituda postaje V₀ =0V. Tada poˇcinje proces pražnjenja kondenzatora, tj. kondenzator poˇcinje da „vra´ca“ energiju izvoru i struja u kolu menja smer. Kao što se vidi sa Sl. 3.6,

3.3. RC KOLO 23 proces pražnjenja se vremenski odvija analogno procesu punjenja:

vC(t) =V0exp  −_Rt sC  . (3.7)

Kada kroz kolo prestane da teˇce struja, kondenzator se ispraznio i nastaje ravnotežna situacija kakva je bila i pre poˇcetka dejstva impulsa.

Treba primetiti da se kondenzator ne mora napuniti do vrednosti am-plitude signala i isprazniti do nule, što zavisi od odnosa t0/RsC. Pored toga, iz praktiˇcnih razloga treba razmotriti situaciju kada se na ulaz kola umesto povorke impulsa dovodi sinusni signal.

3.3

RC kolo

Na Sl. 3.7 prikazano je RC kolo sa sinusnim signalom amplitude V0 =

1 V i uˇcestanosti f = 50 Hz kao pobudom. Impedansa ovog kola je zbir

v_in

100uF C 10

R _{v_C}

Slika 3.7: RC kolo sa sinusnom pobudom. otpornosti i reaktanse:

Z= R−jXC. (3.8)

Izraˇcunavanjem vrednosti (3.8) dobija se Z=10₋j31, 831 Ω ili, u polarnoj

reprezentaciji (videti Sl. 2.4), Z=33, 365 Ω∠−72, 56◦_{. Ako se ulazni napon}

vinproglasi za referentni signal, struja u kolu je, na osnovu (3.1):

IR= Vin

Z =

1 V∠0◦

33, 365 Ω∠−72, 56◦ ≃30 mA∠72, 56◦ . (3.9)

To znaˇci da ´ce struja u kolu prednjaˇciti za 72, 56◦_{u odnosu na ulazni napon,}

što je uoˇcljivo sa Sl. 3.8.

Na osnovu kola sa Sl. 3.7 i (3.3) može se napisati:

vin = vR+vC =RiR+vC =RCdvC

24 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m v_ in , v_ C ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 i_R (A) -30,00m -20,00m -10,000m 0,000m 10,00m 20,00m 30,00m _{v_in} v_C i_R Vreme (s)

Slika 3.8: Ulazni napon, napon na kondenzatoru i struja u RC kolu. pri ˇcemu je iR ≡iC struja kroz kolo. Pošto je ulazni napon sinusnog oblika, izraz (3.10) postaje:

RCdvC

dt +vC =V0sin(ωt). (3.11)

Rešavanjem diferencijalne jednaˇcine (3.11), uz poˇcetni uslov da je za t =0 napon vc =0, dobija se napon na kondenzatoru4:

vC = _{1+ (}V0 ωRC)2  sin(ωt) +ωRC  exp₍₋ t RC) −cos(ωt)  . (3.12) Na osnovu (3.3) i (3.12) dobija se i struja kroz kolo:

iR = ωCV0 1+ (ωRC)2  cos(ωt) −exp₍₋ t RC) +ωRCsin(ωt)  . (3.13) Napon vCi struja iRprikazani su na Sl. 3.8. Treba obratiti pažnju na to da u kolu postoji prelazni režim, tj. da struja iRne dostiže odmah vrednost koju bi imala ako bi se kolo razmatralo u stacionarnom stanju (steady-state) koje podrazumeva da napon vindeluje dovoljno dugo. Postojanje prelaznog re-žima posledica je ˇcinjenice da je kondenzator na poˇcetku delovanja napona

3.3. RC KOLO 25

vin prazan, pa je celokupan pad napona u kolu jednak padu napona na otporniku. U prvoj poluperiodi, sa porastom napona vinraste i koliˇcina na-elektrisanja na oblogama kondenzatora, usled ˇcega na njemu dolazi do po-jave napona vCkoji teži da smanji struju iR. Kada napon na kondenzatoru

vC dostiže maksimum, struja iR je jednaka nuli, a napon vin je ve´c poˇceo da opada. Nakon toga, kondenzator poˇcinje da se prazni, a struja u kolu menja smer. Važno je uoˇciti da u trenutku kada je vin =0 na kondenzatoru još uvek postoji napon vC >0. Upravo zahvaljuju´ci ovom „zaostalom“ na-ponu struja iR dostiže tokom negativne poluperiode ve´cu amplitudu nego što ju je imala tokom pozitivne poluperiode. Veliˇcina slede´ce amplitude iR zavisi´ce od veliˇcine napona vC koji je „zaostao“ prilikom prelaska napona

vin iz negativne u pozitivnu poluperiodu, sve dok se u kolu ne uspostavi stacionarno stanje, kao što je ilustrovano na Sl. 3.8. Za datu uˇcestanost napona vin, vreme trajanja prelaznog režima5, a samim tim i talasni oblici napona vCi struje iR, zavise od RC konstante. Sa smanjenjem vrednosti R, talasni oblici se približavaju oblicima sa Sl. 3.4, a sa pove´canjem vrednosti

Ronima sa Sl. 3.2.

3.3.1 RC kolo sa paralelnim otpornikom

Na Sl. 3.9 prikazano je RC kolo, kod koga se paralelno kondenzatoru nalazi otpornik. Na ulaz kola se dovodi sinusni napon vinamplitude V0=

1 V i uˇcestanosti f =50 Hz. Neka je ovaj napon i referentni u kolu.

v_in 100uF C 10 R v_C 10 Rs

Slika 3.9: RC kolo sa paralelnim otpornikom. Ukupna impedansa kola je:

Z=ZRs+ZR kZC =ZRs + 1 1 ZR + 1 ZC , (3.14)

5_{U literaturi se ˇcesto kolo sa Sl. 3.7 razmatra iskljuˇcivo u stacionarnom stanju, sa}

za-nemarivanjem prelaznog režima. Matematiˇcki, prelazni režim je opisan eksponencijalnim ˇclanom u (3.12) i (3.13).

26 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA pri ˇcemu je:

ZR = R+j0

ZRs = Rs+j0 (3.15)

ZC = 0−j 1

ωC .

Zamenom numeriˇckih vrednosti (3.15) u (3.14) dobija se: Z=19, 10₋j2, 86=19, 31 Ω∠−8, 52◦ . na osnovu ˇcega je struja kroz otpornik Rs:

IRs =

Vin

Z =517, 8 mA∠8, 52

◦ _{. (3.16)}

To znaˇci da struja kroz otpornik Rsprednjaˇci u odnosu na ulazni napon za

ϕ=8, 52◦_{. Ova struja, koja predstavlja zbir struja koje teku kroz grane kola}

u kojima se nalaze otpornik R i kondenzator C, prikazana je na Sl. 3.10. Struje kroz grane kola se mogu izraˇcunati na osnovu:

0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m

Vreme (s)

i_Rs, i_R, i_C (A

) -75,00m -50,00m -25,00m 0,000m 25,00m 50,00m 75,00m v_ in ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 _{i_Rs} i_R i_C v_in

Slika 3.10: Ulazni napon i struje u RC kolu sa paralelnim otpornikom.

VR=

ZRkZC

3.4. KALEM U AC KOLU 27 Treba napomenuti da kolo sa Sl. 3.9, bez izvora vin, u stvari predstavlja ekvivalentno kolo kondenzatora, pri ˇcemu je otpornik Rs ekvivalentna se-rijska otpornost izvoda, a otpornik R ekvivalentna paralelna otpornost tela, dok je C idealna kapacitivnost.

3.4

Kalem u AC kolu

Na Sl. 3.11 prikazano je AC kolo sa kalemom kao optere´cenjem. Kao i u sluˇcaju kondenzatora u AC kolu (videti 3.2 i na ovom mestu ´ce, radi jednostavnosti razmatranja, redna otpornost Rsbiti zanemarena.

Primedba: U programu za simulaciju kola SPICE, kalem se ne može di-rektno prikljuˇciti na izvor jer ugra ¯deni numeriˇcki model dovodi do greške. Zbog toga se kalemu na red prikljuˇcuje otpornik male otpornosti, koja može biti i simboliˇcne vrednosti, npr. 1 mΩ ili manja, kao što je to u ovom primeru.

v_L

1KHz

v_in 1mH

L Rs

Slika 3.11: Kalem u AC kolu.

Dovo ¯denje naizmeniˇcnog napona na kalem (inductor) izaziva naizme-niˇcnu promenu struje kroz njega. Na krajevima kalema se indukuje napon

vL, koji je direktno proporcionalan promeni te struje u vremenu:

vL =LdiL

dt . (3.18)

Može se re´ci da se kalem indukcijom napona suprotstavlja promeni struje kroz njega koje mu „name´ce“ izvor vin. Izraz (3.18) ukazuje da ´ce napon na kalemu biti najve´ci kada je promena struje u vremenu najve´ca, a da ´ce biti jednak nuli kada je ta promena jednaka nuli, što je ilustrovano na Sl. 3.12.

S obzirom da je za protok struje kroz kalem potrebna promena napona na njegovim krajevima6_{, na osnovu Sl. 3.12 se može re´ci da napon na}

ka-lemu vLprednjaˇci u odnosu na struju iL za 90◦. Promena snage sa Sl. 3.12

6_{Ovo je suprotno ponašanju kondenzatora, kod koga je za promenu napona na njegovim}

28 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000m Vreme (s) v _L (V) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 i_L (A) -50,00m 0,000m 50,00m 100,0m 150,0m 200,0m 250,0m 300,0m 350,0m p_L (W) -250,0m -200,0m -150,0m -100,00m -50,00m 0,000m 50,00m 100,0m 150,0m 200,0m 250,0m _{v_L} i_L p_L

Slika 3.12: Napon, struja i snaga na kalemu u AC kolu.

je tako ¯de naizmeniˇcna, što govori da kalem kontinualno ne disipira snagu u vremenu kao otpornik, ve´c vrši naizmeniˇcnu apsorpciju i osloba ¯danje energije.

Opisani proces reakcije kalema na promene struje u vremenu se može kvantifikovati veliˇcinom koja se naziva reaktansa kalema:

XL =ωL=2π f L [Ω], (3.19)

pa se impedansa kola, na osnovu (2.3) i Sl. 2.4, može napisati kao:

Z=ZR+ZL=0+jXL = jωL, (3.20) pri ˇcemu j oznaˇcava da izme ¯du struje i napona postoji fazni pomeraj od 90◦_.

Treba primetiti da je reaktansa direktno proporcionalna uˇcestanosti, što govori da ´ce se kalem više suprotstavljati ˇceš´cim promenama struje kroz njega. Ovo znaˇci da se kalem na veoma niskim uˇcestanostima u kolu po-naša kao kratak spoj (tj. napon na njemu se može zanemariti), a na veoma visokim uˇcestanostima kao prekid. Frekventna karakteristika, odnosno za-visnost reaktanse od uˇcestanosti je sastavni deo tehniˇcke specifikacije koju daju proizvo ¯daˇci kalema i na nju treba obratiti pažnju prilikom projektova-nja kola.

3.4. KALEM U AC KOLU 29 3.4.1 Prelazni režim kalema

Proces uspostavljanja struje kroz kalem nije trenutan, ve´c je, sliˇcno kao i za punjenje kondenzatora, za to potrebno izvesno vreme. Ovde ´ce biti raz-motren sluˇcaj kada se na ulaz kola sa Sl. 3.13 dovodi povorka impulsa vin sa Sl. 2.12, pri ˇcemu je perioda signala T = 200 µs, vreme trajanja impulsa

t0= T/2 i amplituda V0 =1 V. v_in 0,1k Rs _{v_L} 1mH L

Slika 3.13: RL kolo sa povorkom impulsa kao pobudom.

Ulazni napon, napon na kalemu i struja u kolu tokom jedne periode prikazani su na Sl. 3.14. Promena struje u vremenu je:

iRs = V0 Rs  1₋exp  −R_Lst  , (3.21)

Razmatranje iz koga proizilazi (3.21) izloženo je u Dodatku F. Odnos τ =

L/Rs predstavlja vremensku konstantu kola. U ovom sluˇcaju je L/Rs = 10 µs, pa je u t = T/2 = 100 µs, kada amplituda impulsa pada na nulu

iRs(T/2) = V0(1−e−

10_)/R

s ≃ V0/R = 10 mA. Formalno gledano, na

osnovu (3.21) se zakljuˇcuje da struja dostiže vrednost V0/Rs kada t → ∞. Me ¯dutim, u praksi se može smatrati da je ova vrednost dostignuta ve´c za

t = 4L/Rs, što se i prime´cuje sa Sl. 3.14, nakon ˇcega napon na kalemu pada na nulu (tj. kalem poˇcinje da se ponaša kao kratak spoj), a struja kroz kolo postaje konstantna i jednaka vrednosti V0/R. Po prestanku delovanja

impulsa kalem apsorbovanu energiju „vra´ca“ u kolo, pa je struja:

iRs = V0 Rsexp  −R_Lst  . (3.22)

Uoˇcava se da je vremenska konstanta kola L/Rs od presudnog znaˇcaja za karakterizaciju prelaznog režima. Pored toga, za primenu u praksi intere-santno je i razmatranje ponašanja RL kola sa sinusnom pobudom.

30 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA

0,000u 50,00u 100,0u 150,0u 200,0u Vreme (s) i_Rs (A) 0,000m 1,000m 2,000m 3,000m 4,000m 5,000m 6,000m 7,000m 8,000m 9,000m 10,00m v _L (V) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 v_ in ( V ) 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 _{i_Rs} v_L v_in

Slika 3.14: Ulazni napon, napon na kalemu i struja u kolu sa Sl. 3.13 tokom jedne periode.

3.5

RL kolo

Na Sl. 3.15 prikazano je RL kolo sa sinusnom signalom amplitude V0=

1 V i uˇcestanosti f = 50 Hz kao pobudom. Impedansa ovog kola je zbir otpornosti i reaktanse:

Z= R+jXL . (3.23)

Izraˇcunavanjem vrednosti (3.23) dobija se Z= 1+j0, 314 Ω ili, u polarnoj

reprezentaciji (videti Sl. 2.4), Z=1, 048 Ω∠17, 43◦. Ako se ulazni napon vin proglasi za referentni signal, struja u kolu je, na osnovu (3.1):

IR = Vin Z = 1 V∠0◦ 1, 048 Ω∠17, 43◦ ≃0, 954 A∠−17, 43 ◦ _{. (3.24)}

To znaˇci da ´ce struja u kolu kasniti za 17, 43◦ _{u odnosu na ulazni napon, što}

je uoˇcljivo sa Sl. 3.16.

Na osnovu kola sa Sl. 3.15 i (3.18) može se napisati:

vin =vR+vL= RiR+LdiR

dt , (3.25)

3.5. RL KOLO 31 v_L v_in 1mH L 1 R

Slika 3.15: RL kolo sa sinusnom pobudom. izraz (3.25) postaje:

LdiR

dt +RiR =V0sin(ωt). (3.26)

Rešavanjem diferencijalne jednaˇcine (3.26), uz poˇcetni uslov da je za t = 0 struja iR =0, dobija se struja kroz kolo7:

iR = V0 R(1+ (ωL R )2)  sin(ωt) +ωL R  exp₍₋R Lt) −cos(ωt)  . (3.27) Na osnovu (3.18) i (3.27) dobija se i napon na kalemu:

vL= ωL R V0 1+ (ωL R )2  cos(ωt_{) −}exp₍₋R Lt) + ωL R sin(ωt)  . (3.28) Napon vL i struja iR prikazani su na Sl. 3.16. Treba obratiti pažnju na to da u kolu postoji prelazni režim, tj. da napon vLne dostiže odmah vred-nost koju bi imao ako bi se kolo razmatralo u stacionarnom stranju, koje podrazumeva da napon vin deluje dovoljno dugo. U prvoj poluperiodi, sa porastom napona vin raste i struja kroz kalem koja indukuje kontraelek-tromotornu silu, koja teži da smanji napon vL. Kada struja kroz kalem iR dostiže maksimum, napon vL je jednak nuli, a napon vin je ve´c poˇceo da opada. Nakon toga, kalem poˇcinje da se „prazni“ i napon na njegovim kra-jevima postaje negativan. Važno je uoˇciti da u trenutku kada je vin = 0 kroz kalem još uvek teˇce struja iR > 0. Upravo zahvaljuju´ci ovoj „zaosta-loj“ struji napon vLdostiže tokom negativne poluperiode ve´cu amplitudu nego što je bila tokom pozitivne poluperiode. Veliˇcina slede´ce amplitude

vL zavisi´ce od struje iR koji je „zaostala“ prilikom prelaska napona vin iz negativne u pozitivnu poluperiodu, sve dok se u kolu ne uspostavi staci-onarno stanje, kao što je ilustrovano na Sl. 3.8. Za datu uˇcestanost napona

vin, vreme trajanja prelaznog režima8, a samim tim i talasni oblici napona

7_{Tehnika rešavanja (3.26) ekvivalentna je onoj opisanoj u Dodatku E.}

32 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m Vreme (s) v_ in ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 i_R (A) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 v _L (V) -300,0m -200,0m -100,0m 0,000m 100,0m 200,0m 300,0m _{v_in} i_R v_L

Slika 3.16: Ulazni napon, napon na kalemu i struja u RL kolu.

vL i struje iR, zavise od L/R konstante. Sa smanjenjem vrednosti R, tala-sni oblici se približavaju oblicima sa Sl. 3.12, a sa pove´canjem vrednosti R onima sa Sl. 3.2.

3.5.1 RL kolo sa paralelnim otpornikom

Na Sl. 3.17 prikazano je RL kolo, kod koga se paralelno kalemu nalazi otpornik. Na ulaz kola se dovodi sinusni napon vin amplitude V0 = 1 V i

uˇcestanosti f =50 Hz. Neka je ovaj napon i referentni u kolu. Ukupna impedansa kola je:

Z=ZRs +ZR kZL= ZRs + 1 1 ZR + 1 ZL , (3.29)

pri ˇcemu je:

ZR = R+j0

ZRs = Rs+j0 (3.30)

ZL = 0+jωL .

Zamenom numeriˇckih vrednosti (3.30) u (3.29) dobija se: Z=1, 09+j0, 286=1, 127 Ω∠14, 70◦ ,

3.6. RLC KOLO 33 v_L v_in 1mH L 1 Rs 1 R

Slika 3.17: RL kolo sa paralelnim otpornikom. na osnovu ˇcega je struja kroz otpornik Rs:

IRs =

Vin

Z =0, 89 A∠−14, 70

◦ _{. (3.31)}

To znaˇci da struja kroz otpornik Rs kasni u odnosu na ulazni napon za

ϕ = 14, 70◦_{. Ova struja, koja predstavlja zbir struja koje teku kroz grane}

kola u kojima se nalaze otpornik R i kalem L, prikazana je na Sl. 3.18. Struje kroz grane kola se mogu izraˇcunati pomo´cu (3.17).

Treba primetiti da ekvivalentno kolo kalema, pored redne otpornosti, može sadržati i parazitnu kapacitivnost koja je paralelno vezana sa ideal-nom induktivnoš´cu.

3.6

RLC kolo

Na Sl. 3.19 prikazano je RLC kolo sa signalom amplitude V0 = 1 V i

uˇcestanosti f =50 Hz kao pobudom. Impedansa ovog kola je:

Z= ZR+ZC+ZL, (3.32)

pri ˇcemu je:

ZR = R+j0

ZC = 0−j 1

ωC (3.33)

ZL = 0+jωL . Struja kroz kolo je:

I = Vin

Z =0, 329 A∠70, 78

◦ _{, (3.34)}

što znaˇci da prednjaˇci u odnosu na ulazni napon za ugao ϕ = 70, 78◦_{, kao}

34 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m Vreme (s) i_Rs, i _ R, i _ L (A) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 v_ in ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 _{i_Rs} i_R i_L v_in

Slika 3.18: Ulazni napon i struje u RL kolu sa paralelnim otpornikom.

v_C v_in 1mH L 1 R 1000uF C

3.6. RLC KOLO 35 0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m Vreme (s) v_ in , v_ C, v_ L ( V ) -1,250 -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 1,250 i (A) -400,0m -300,0m -200,0m -100,00m 0,000m 100,00m 200,0m 300,0m 400,0m _{v_in} v_C v_L i

36 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA Sa Sl. 3.20 se uoˇcava da je amplituda napona na kondenzatoru ve´ca od amplitude ulaznog napona. Na osnovu (3.32) je Z= 3, 04 Ω∠−70, 78◦_,

dok je ZC =3, 18 Ω∠−90◦. Naime, kada je u RLC kolu ukupna impedansa manja bilo od impedanse kalema bilo od impedanse kondenzatora, tada je i struja kroz kolo ve´ca nego što bi to bila u kolu u kojem se ovi elementi po-javljuju pojedinaˇcno. Efekat naponskog premašenja je posledica suprotnih reaktansi kalema i kondenzatora i može se izbe´ci pove´canjem otpornosti R, što predstavlja tehniku ograniˇcavanja struje kroz kolo. Na primer, u kolu sa Sl. 3.19 je ve´c za R=2 Ω amplituda napona na kondenzatoru VC0 ≈0, 9 V.

Na Sl. 3.21 prikazano je RLC kolo u paralelnoj konfiguraciji. Otpornici

RsL i RsC predstavljaju redne otpornosti kalema i kondenzatora, respek-tivno. Na ulaz kola se dovodi sinusni signal amplitude V0 = 1 V i

uˇcesta-nosti f =50 Hz. Impedansa ovog kola je:

v_in 5mH L 5 R 470uF C 0,5 R_sL 0,5 R_sC

Slika 3.21: RLC kolo u paralelnoj konfiguraciji.

Z= 1 Z(R) + 1 Z(L) + 1 Z(C) !−1 , (3.35)

pri ˇcemu su Z(R), Z(L) i Z(C) impedanse kroz R, L i C granu kola,

respek-tivno. Ukupna struja kroz kolo je: I = Vin

Z =0, 585 A∠−47, 49

◦ _(3.36)

i prikazana je na Sl. 3.22, zajedno sa strujama kroz grane kola u stacionar-nom stanju. Struja kasni za ulaznim napostacionar-nom9_{za ugao ϕ= 47, 49}◦_{. Treba}

primetiti da je kod ovakvih kola lakše izraˇcunati struje kroz grane kola, pa ih sabrati, nego raˇcunati ukupnu struju koriš´cenjem (3.35), tj. ukupne impedanse.

9_{Ulazni napon je u fazi sa naponom na otporniku R, pa mu je signal ekvivalentan signalu}

3.7. REZONANSA 37 40,00m 50,00m 60,00m 70,00m 80,00m 90,00m 100,0m Vreme (s) i (A) -750,0m -500,0m -250,0m 0,000m 250,0m 500,0m 750,0m _{i_C} i_L i_R i

Slika 3.22: Struje u RLC kolu sa Sl. 3.21

Prilikom izraˇcunavanja parametara složenijih kola treba koristiti prin-cip „podele“ kola na manje (redne i/ili paralelne) celine, ˇcije je impedanse lakše izraˇcunati po prethodno opisanim pravilima. Za kola ve´ceg stepena složenosti, a posebno za ona u kojima se pojavljuju i aktivne komponente (diode, tranzistori, itd.) u današnjoj praksi se uglavnom koriste simulatori.

3.7

Rezonansa

Na osnovu razmatranja datih u 3.2 i 3.4 jasno je da se kondenzator i kalem ponašaju suprotno prilikom dejstva naizmeniˇcnog napona. Kon-denzator akumulira energiju izvora pomo´cu razdvajanja naelektrisanja, što prouzrokuje pojavu elektriˇcnog polja, odnosno napona na njegovim kraje-vima. Kalem akumulira energiju izvora pomo´cu magnetne indukcije, što rezultuje pojavom struje kroz njega. Neka su ove dve komponente vezane paralelno, kao u kolu sa Sl. 3.23.

Ako se kolo trenutno pobudi jednosmernim naponom amplitude V = 1 V, kondenzator ´ce se napuniti.

Primedba: U programu SPICE se trenutna pobuda ovog tipa može simuli-rati stavljanjem napona od 1 V kao poˇcetnog napona u modelu

38 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 2,7mH L 0,15 R_sL 0,05 R_sC v 220nF 1V C

Slika 3.23: „Idealno“ rezonantno kolo. kondenzatora.

Po prestanku pobude kondenzator ´ce poˇceti da se prazni, što ´ce izazvati porast struje kroz kalem i kontraelektromotornu silu koja teži da se suprot-stavi porastu te struje. Kada se kondenzator isprazni, usled razlike napona na krajevima kalema, pojavljuje se struja u suprotnom smeru koja ponovo puni kondenzator, stvaraju´ci na njegovim oblogama napon koji je po znaku suprotan od poˇcetnog. Kada se kalem „isprazni“, kondenzator se napu-nio i opisani proces se cikliˇcno nastavlja u vremenu. Teorijski gledano, na ovaj naˇcin bi energija ostala zarobljena u kolu, prebacuju´ci se sa kalema na kondenzator, beskonaˇcno dugo. Me ¯dutim, u praksi uvek postoje gubici na rednim otpornostima obe komponente, kao i na otpornosti veza izme ¯du komponenata, tako da se amplituda napona smanjuje u vremenu, kao što je ilustrovano na Sl. 3.24. Transfer energije izme ¯du komponenata rezultira uˇcestanoš´cu promene napona fr, a vrednost te uˇcestanosti zavisi od vred-nosti reaktansi kalema i kondenzatora. U praksi, ako se kolo sa Sl. 3.23 pobu ¯duje naizmeniˇcnim signalom uˇcestanosti fr, u njemu ´ce se uspostaviti stanje rezonanse. Uˇcestanost pri kojoj se ova pojava dešava naziva se rezo-nantna uˇcestanost i dobija se iz uslova da su reaktanse u granama kola jed-nake. Ako se zanemare redne otpornosti, iz uslova ωL=1/ωC rezonantna uˇcestanost je:

fr=

1

2π√LC . (3.37)

Efekat rezonanse se može uoˇciti analizom kola sa Sl. 3.25, kod koga su redne otpornosti predstavljene simboliˇcnim vrednostima. Kolo se

pobu-¯

duje ulaznim signalom sinusnog oblika, amplitude V0 =1 V i linearno

pro-menljive uˇcestanosti. Struja kroz otpornik Rv u zavisnosti od uˇcestanosti prikazana je na Sl. 3.26. Uoˇcljivo je da pri uˇcestanosti fr = 6, 53 kHz struja kroz otpornik Rvpada na nulu, što znaˇci da se pri rezonantnoj uˇcestanosti

3.7. REZONANSA 39 0,000m 0,250m 0,500m 0,750m 1,000m 1,250m 1,500m 1,750m 2,000m Vreme (s) v ( V ) -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000 _v

Slika 3.24: Napon u „idealnom“ rezonantnom kolu.

2,7mH L v_in 1p R_sL 1p R_sC 1p R_v 220nF C

40 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA 5,000k 5,500k 6,000k 6,500k 7,000k 7,500k 8,000k Učestanost (Hz) i_Rv (A) 0,000m 0,500m 1,000m 1,500m 2,000m 2,500m 3,000m 3,500m 4,000m 4,500m 5,000m _{i_Rv}

Slika 3.26: Zavisnost struje od uˇcestanosti izvora vinza kolo sa Sl. 3.25. kolo ponaša kao otvoreno10_.

U sluˇcaju kada su kalem i kondenzator vezani na red, kao što je to na Sl. 3.27, tako ¯de se može uoˇciti pojava rezonanse, pri ˇcemu je rezonantna uˇcestanost odre ¯dena izrazom (3.37). Zavisnost struje od uˇcestanosti u

ova-2,7mH L v_in 1p R_s 220nF C

Slika 3.27: Redno rezonantno kolo.

kvom kolu prikazana je na Sl. 3.28. Može se primetiti da se redna veza izme ¯du kalema i kondenzatora u okolini rezonantne uˇcestanosti ponaša kao kratak spoj i da kroz kolo teˇce jako velika struja. To znaˇci da kod ova-kvih kola treba biti izuzetno oprezan, jer se na kondenzatoru mogu pojaviti naponi znatno ve´cih amplituda od amplitude pobudnog signala.

10_{S obzirom da je rezonantna uˇcestanost dobijena izjednaˇcavanjem reaktansi, to je}

3.7. REZONANSA 41 5,000k 5,500k 6,000k 6,500k 7,000k 7,500k 8,000k Učestanost (Hz) i_Rv (A) 0,000 2,500 5,000 7,500 10,00 12,50 15,00 17,50 20,00 22,50 25,00 _{i_Rv}

Dodatak A

Brojevi u tehniˇckoj literaturi

A.1

Formati brojeva

Formati brojeva koji se koriste u tehniˇckoj literaturi su:

Pod pojmom „tehniˇcka literatura“ se u ovom tekstu podrazumeva pre svega literatura iz oblasti elektronike. • sa fiksnim decimalnim zarezom (fixed point)

• sa pokretnim decimalnim zarezom (floating point) • nauˇcni (scientific)

• inženjerski (engineering)

Format brojeva sa fiksnim decimalnim zarezom podrazumeva da se decimalni zarez kod svakog broja pojavljuje uvek na istom mestu. Drugim

U anglosaksonskoj teh-niˇckoj literaturi se ume-sto decimalnog zareza koristi decimalna taˇcka. reˇcima, broj decimalnih mesta je uvek konstantan.

Primer A.1.1 Brojevi prikazani u formatu sa fiksnim decimalnim zarezom:

0,25 11956,34 1215,00 4,84

Format brojeva sa pokretnim decimalnim zarezom podrazumeva pro-menljivi broj decimalnih mesta.

Primer A.1.2 Brojevi prikazani u formatu sa pokretnim decimalnim zarezom:

0,25 11956,348 1215 4,843333

Nauˇcni format brojeva podrazumeva koriš´cenje stepena broja 10, pri ˇcemu se decimalni zarez pojavljuje odmah nakon prvog broja koji je ve´ci ili

44

jednak jedinici, a manji od desetice. Broj mesta iza decimalnog zareza može biti fiksan ili promenljiv. Raˇcunari i kalkulatori prikazuju stepen broja deset koriš´cenjem slova „E“, tako da je 10n _≡En.

Primer A.1.3 Brojevi prikazani u nauˇcnom formatu:

2, 5 · 10−1 _{1,1956134· 10}4 _{1,215· 10}3 _{4,84· 10}0

2,5E-1 1,1956348E4 1,215E3 4,843333E0

Inženjerski format brojeva podrazumeva da je stepen broja 10 uvek jed-nak celobrojnom umnošku broja 3 (103n_{), pri ˇcemu mantisa broja mora biti}

ve´ca ili jednaka od jedan, a manja od hiljadu. Broj mesta iza decimalnog zareza može biti fiksan ili promenljiv.

Primer A.1.4 Brojevi prikazani u inženjerskom formatu:

250 · 10−3 _{11,95634· 10}3 _{1,215· 10}3 _{4840· 10}−3

250E-3 11,956348E3 1,215E3 4843,333E-3

Odre ¯deni brojevi u inženjerskoj notaciji imaju prefikse u SI sistemu je-dinica, kao što je prikazano u Tab. A.1.

Prefiks Simbol Broj

ato (atto) a 10−18 femto (femto) f 10−15 piko (pico) p 10−12 nano (nano) n 10−9 mikro (micro) µ 10−6 mili (milli) m 10−3 kilo (kilo) k 103 mega (mega) M 106 giga (giga) G 109 tera (tera) T 1012 peta (peta) P 1015 eksa (exa) E 1018

Tabela A.1: Prefiksi u SI sistemu

Prefiksi se u elektronici ˇcesto koriste za procenu reda veliˇcine vrednosti neke komponente ili parametra kola. Na primer, kaže se da je „kapacitiv-nost reda veliˇcine mikrofarada“ ili da je „ulazna otpor„kapacitiv-nost reda veliˇcine megaoma“.

45 Broj cifara iza decimalnog zareza definiše taˇcnost sa kojom je broj

izra-ˇcunat. Broj cifara iza decimalnog zareza sa kojim je izraˇcunati broj prikazan

odre ¯duje preciznost prikaza. Prilikom prikazivanja brojeva uobiˇcajeno se vrši zaokruživanje na odre ¯denom decimalnom mestu, koje predstavlja broj znaˇcajnih cifara (na primer: 3, 67804327 _≃ 3, 68 – zaokruživanje na dve znaˇcajne cifre).

A.2

Upotreba kalkulatora

Raˇcunari i kalkulatori sa tehniˇckim funkcijama mogu prikazati brojeve u bilo kom od prethodno opisanih formata. Kod raˇcunara, svaki program-ski jezik poseduje specifiˇcne naredbe za formatiranje prikaza brojeva. Ta-ko ¯de, standardni kalkulatori na raˇcunaru poseduju režim tehniˇckih funk-cija (tipiˇcno:View→Scientific), dok se format prikaza brojeva bira odre ¯de-nim tasterom (tipiˇcno tasterom F-E). Ruˇcni kalkulatori sa tehniˇckim funk-cijama (Sl. A.1) poseduju režime prikaza za razliˇcite formate brojeva.

Slika A.1: Tipiˇcan kalkulator sa tehniˇckim funkcijama.

Primer A.2.1 Kalkulator sa Sl. A.1 se uvodi u režim prikaza brojeva u formatu sa fiksnim decimalnim zarezom i ˇcetiri decimalna mesta pritiskom tastera po sle-de´cem redosledu:

MODE_→MODE_→MODE_→1_→4

46

Za prikaz brojeva u nauˇcnom formatu sa pet decimalnih mesta, koji ´ce biti koriš´cen u narednim primerima, koristi se slede´ca sekvenca tastera:

MODE_→MODE_→MODE_→2_→6

Prikaz na displeju ´ce biti: .

Stepen broja 10 se na kalkulatoru unosi pomo´cu tastera EXP. Primer A.2.2 Izraˇcunavanje sa stepenom broja 10:

1, 15 · 103_{×4, 78 · 10}−12

1.15_→EXP_→3_{→ × →}4.78_→EXP_{→ (−) →}12_{→ =}

Važno je napomenuti da taster EXP na kalkulatoru ne predstavlja funkciju

exkoja se u tehniˇckoj literaturi ˇcesto oznaˇcava sa exp(x). Primer A.2.3 Izraˇcunavanje sa funkcijom ex ≡exp(x): e2· e−3 ≡exp(2)· exp(−3)

SHIFT→ln→2→ × →SHIFT→ln→ (−) →3→ =

Bilo koji stepen nekog broja se na kalkulatoru izraˇcunava upotrebom tastera xy_{, dok se koren izraˇcunava upotrebom tastera SHIFT i x}y.

Primer A.2.4 Izraˇcunavanje stepena i korena:

63 ₌₂₁₆

6→xy →3→ = 3−4_{=0, 01234567}

3→xy → (−) →4→ =

Pritiskom na taster ENG rezultat ´ce na displeju biti prikazan u inženjerskom formatu:

4

√ 16=2

4→SHIFT→xy→16→ =

Prirodni logaritam nekog broja se na kalkulatoru izraˇcunava upotre-bom tastera ln, a dekadni logaritam upotreupotre-bom tastera log.

47

Primer A.2.5 Izraˇcunavanje prirodnog logaritma:

ln 4, 13=1, 418277

ln_→4.13_{→ =} .

Izraˇcunavanje dekadnog logaritma:

log 4, 13=0, 615950 log→4.13→ =

Kod kalkulatora na raˇcunarima je sekvenca primene funkcijskih tastera obratna u odnosu na ruˇcne kalkulatore (tj. najpre treba uneti broj, pa onda pritisnuti taster odgovaraju´ce funkcije, npr. 4.13→ln) Ovo je mogu´ce posti´ci i na ruˇcnim

kalkulato-rima tako što se prvo unese broj za kojim sledi znak jednakosti, a zatim pritisne taster odgovaraju´ce funkcije, npr. 4.13→=→ln.

Prilikom izraˇcunavanja vrednosti trigonometrijskih funkcija (sinus, ko-sinus, tangens) posebnu pažnju treba obratiti na:

• režim rada kalkulatora, tj. da li je kalkulator podešen za rad u stepe-nima (degrees) ili radijastepe-nima (radians);

360◦_=2πrad.

• definiciju inverznih trigonometrijskih funkcija.

Primer A.2.6 Kalkulator sa Sl. A.1 se uvodi u režim rada u stepenima pritiskom tastera po slede´cem redosledu:

MODE_→MODE_→1

Za režim rada u radijanima, redosled je:

MODE→MODE→2

Kod kalkulatora se vrednosti inverznih trigonometrijskih funkcija (ar-cus funkcija) izraˇcunavaju na slede´ci naˇcin:

Primer A.2.7 Izraˇcunavanje funkcijearctan u stepenima:

arctan 5=78, 690067◦

SHIFT_→tan_→5_{→ =}

Treba primetiti da notacija upotrebljena na tasterima kalkulatora (npr. tan−1) ne predstavlja reciproˇcnu vrednost trigonometrijske funkcije (1/ tan). Reciproˇcne vrednosti trigonometrijskih funkcija se izraˇcunavaju na slede´ci naˇcin:

48

Primer A.2.8 Izraˇcunavanje funkcijecot (kotangens) u stepenima:

cot 5_≡1/ tan 5=11, 430052◦

tan_→ 5→=→x−1 →=

Kalkulatori poseduju još dosta tehniˇckih funkcija, a za njihovu kon-kretnu upotrebu treba pogledati primere u korisniˇckom uputstvu svakog pojedinog tipa kalkulatora.

Dodatak B

Osnovne operacije sa

kompleksnim brojevima

B.1

Definicije

Kompleksni broj Zsastoji se od realnog dela X i imaginarnog dela Y koji su povezani algebarskom relacijom:

Z=X+jY , (B.1)

pri ˇcemu je j, po definciji:

j= √₋1 , (B.2)

tako da je:

j2 = −1 . (B.3)

Pored toga, važi i da je:

1

j = −j. (B.4)

Konjugovani kompleksni brojse dobija promenom znaka ispred ima-ginarnog dela kompleksnog broja:

Z=X−jY . (B.5)

Kompleksni broj se može prikazati u polarnoj formi u obliku:

Z_{= |}Z_|∠θ, (B.6)

gde je _|Z| moduo kompleksnog broja, a θ argument kompleksnog broja, odnosno ugao koji može biti u stepenima ili radijanima. Relacije kojima su

50

povezane forme kompleksnog broja su: |Z| =pX2+Y2 θ =arctan Y X X= Z0cos θ Y= Z0sin θ . (B.7)

B.2

Sabiranje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se sabiraju tako što im se posebno saberu

realni, a posebno imaginarni delovi:

Z1+Z2= (±X1±X2) +j(±Y1±Y2). (B.8)

Primer B.2.1 Sabrati kompleksne brojeve Z1 =3+j7 i Z2=11+j2.

Z1+Z2= (3+11) +j(7+2) =14+j9 .

Dobijeni zbir se u polarnoj formi može predstaviti kao:

Z1+Z2=p142+92∠arctan

 ₉ 14



=16, 64∠32, 73◦ .

Primer B.2.2 Sabrati kompleksne brojeve Z1 =2−j5 i Z2= −9+j2.

Z1+Z2 = (2−9) +j(−5+2) = −7−j3 .

B.3

Oduzimanje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se oduzimaju tako što im se posebno

odu-zmu realni, a posebno imaginarni delovi:

Z1−Z2= [±X1− (±X2)] +j[±Y1− (±Y2)]. (B.9)

Primer B.3.1 Oduzeti kompleksne brojeve Z1 =4+j2 i Z2 =1+j3.

51

Primer B.3.2 Oduzeti kompleksne brojeve Z1 =2−j4 i Z2 = −6−j8.

Z1−Z2 = [2− (−6)] +j[−4− (−8)] =8+j4 .

B.4

Množenje

Kompleksni brojevi Z1i Z2se množe tako što im se moduli pomnože, a

uglovi saberu:

Z1· Z2 = |Z1||Z2|∠θ1+θ2 . (B.10)

Primer B.4.1 Pomnožiti kompleksne brojeve Z1 =1+j4 i Z2=3+j2.

Z1· Z2 =p12+42∠arctan 4 1  ·p32+22∠arctan 2 3  =√17∠75, 96◦·√13∠33, 69◦ =√17 · 13∠(75, 96◦+33, 69◦₎ =14, 87∠109, 65◦ =14, 87 cos 109, 65◦_{+j14, 87 sin 109, 65}◦ ≃ −5+j14

Kompleksni brojevi se mogu množiti i u algebarskoj formi.

B.5

Deljenje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se množe tako što im se moduli podele, a

uglovi oduzmu:

Z1

Z2

= |Z1|

|Z2|∠θ1−θ2 . (B.11)

Primer B.5.1 Podeliti kompleksne brojeve Z1=3+j5 i Z2 =6−j2.

Z1 Z2 = √ 32₊₅2_∠arctan 5 3
√ 62₊₂2_∠arctan −2 6