UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 21
Assunto: Derivadas parciais de ordem superior e máximos e mínimos
Palavras-chaves: derivada,derivada parcial, ordem de derivação, ordem superior, máximos e mínimos
Derivadas parciais de ordem superior
Seja f uma função de n variáveis reais a valores reais. As derivadas parciais de f são também chamadas de derivadas parciais de primeira ordem de f. Assim, como f, essas derivadas parciais são funções de n variá-veis reais a valores em R e, então, podemos calcular as derivadas parciais dessas funções, essas derivadas são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de f. Podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parcias de segunda ordem de f para obtermos as derivadas parciais de terceira ordem de f e assim prosseguimos.
É claro que há casos em que alguma derivada parcial de alguma ordem pode não existir. Mas existem aquelas funções para as quais todas as derivadas parciais de todas as ordens existem.
As derivadas parciais de uma função que tenha, por exemplo, de duas variáreis (z = f(x, y)) são denotadas e calculadas como segue.
Derivadas parciais de 1◦ ordem:
∂f ∂x ∂f ∂y Derivadas de 2◦ ordem: ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x , ∂ 2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x , ∂ 2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y , ∂ 2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y
Derivadas parciais de 3◦ ordem:
∂3f ∂x3 = ∂ ∂x ∂2f ∂x2 , ∂ 3f ∂y∂x2 = ∂ ∂y ∂2f ∂x2 , ∂ 3f ∂x∂y∂x = ∂ ∂x ∂2f ∂y∂x , ∂ 3f ∂y2∂x = ∂ ∂y ∂2f ∂y∂x
∂3f ∂x2∂y = ∂ ∂x ∂2f ∂x∂y , ∂ 3f ∂y∂x∂y = ∂ ∂y ∂2f ∂x∂y , ∂ 3f ∂x∂y2 = ∂ ∂x ∂2f ∂y2 , ∂ 3f ∂y3 = ∂ ∂y ∂2f ∂y2
Dessa forma, prosseguimos. Há outras notações para as derivadas parciais de ordem superior. A seguir temos um exemplo. • ∂f ∂x = fx, ∂f ∂y = fy • ∂ 2f ∂x2 = fxx, ∂2f ∂y∂x = fxy • ∂ 3f ∂x3 = fxxx, ∂3f ∂x∂y∂x = fxyx, ∂3f ∂x2∂y = fyxx
Nesta notação temos que
fxy= (fx)y, fxyx= (fxy)x, fyxx= (fyx)x
As derivadas parciais ∂2f ∂y∂x e
∂2f
∂x∂y são chamadas de derivadas parciais mistas. Exemplo 1 Calcule as derivadas parciais de até terceira ordem da função
f (x, y) = x5y3+ x3y4+ 2x + y + 1 Resolução:
Derivadas parciais de 1◦ ordem:
∂f ∂x(x, y) = 5x 4y3+ 3x2y4+ 2 ∂f ∂y(x, y) = 3x 5y2+ 4x3y3+ 1
Derivadas parciais de 2◦ ordem:
∂2f ∂x2(x, y) = 20x 3y3+ 6xy4 ∂2f ∂y∂x(x, y) = 15x 4y2+ 12x2y3 ∂2f ∂x∂y(x, y) = 15x 4y2+ 12x2y3 ∂2f ∂y2(x, y) = 6x 5 y + 12x3y2
Observamos que ∂2f ∂y∂x =
∂2f ∂x∂y. Derivadas parciais de 3◦ ordem:
∂3f ∂x3(x, y) = 60x 2y3+ 6y4 ∂3f ∂y∂x2(x, y) = 60x 3y2+ 24xy3 ∂3f ∂x∂y∂x(x, y) = 60x 3 y2+ 24xy3 ∂3f ∂y2∂x(x, y) = 30x 4y + 36x2y2 ∂3f ∂x2∂y(x, y) = 60x 3y2+ 24xy3 ∂3f ∂y∂x∂y(x, y) = 30x 4y + 36x2y2 ∂3f ∂x∂y2(x, y) = 30x 4y + 36x2y2 ∂3f ∂y3(x, y) = 6x 5+ 24x3y
Há outros casos de igualdades entre essas derivadas parciais de 3◦ ordem.
Exemplo 2 Seja f (x, y) = x3y x2+ y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Calcule ∂2f ∂y∂x(0, 0) e ∂2f ∂x∂y(0, 0) Resolução: Primeiramente calculemos ∂f
∂x(x, y). Consideremos primeiro o caso em que (x, y) 6= (0, 0). Assim, teremos
∂f ∂x(x, y) = ∂ ∂x x3y x2+ y2 = 3x 2y(x2+ y2) − x3y.2x (x2+ y2)2 = 3x 4y + 3x2y3− 2x4y (x2+ y2)2 = x 4y + 3x2y3 (x2+ y2)2 No ponto (0, 0) temos ∂f ∂x(0, 0) = limx→0 f (x, 0) − f (0, 0) x − 0 = limx→0 0 x = 0
Portanto, ∂f ∂x(x, y) = x4y + 3x2y3 (x2+ y2)2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Logo, ∂2f
∂y∂x(0, 0) = y→0lim ∂f ∂x(0, y) − ∂f ∂x(0, 0) y − 0 = lim y→0 0 y4 − 0 y = limy→0 0 y = 0 Calculemos agora ∂f ∂y(x, y), para (x, y) 6= (0, 0). ∂f ∂y(x, y) = ∂ ∂y x3y x2+ y2 =x 3(x2+ y2) − x3y.2y (x2+ y2)2 = x 5+ x3y2− 2x3y2 (x2+ y2)2 = x5− x3y (x2+ y2)2 Para (0,0) temos ∂f
∂y(0, 0) = limy→0
f (0, y) − f (0, 0) y − 0 = limy→0 0 y2 − 0 y = 0 Assim, ∂f ∂y(x, y) = x5− x3y (x2+ y2)2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Logo, ∂2f ∂x∂y(0, 0) = x→0lim ∂f ∂y(x, 0) − ∂f ∂y(0, 0) x − 0 = lim y→0 x5 x4 − 0 y = limy→0 x x = 1 Portanto ∂2f ∂y∂x(0, 0) = 0 e ∂2f ∂x∂y(0, 0) = 1 Logo ∂2f ∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f ∂x∂y(0, 0)
Podemos nos perguntar então que condição uma função deve satisfazer para que tenhamos
∂2f
∂y∂x(x, y) = ∂2f
∂x∂y(x, y) Para responder a essa pergunta precisamos do seguinte conceito.
Uma função z = f(x, y), de nida em um conjunto aberto A, é de classe Cn em A se existem todas as
derivadas parciais de ordem n em A e se tais derivadas parciais são contínuas.
Teorema 1 (Teorema de Schwarz) Seja z = f(x, y) uma função de nida em um conjunto aberto A. Se f(x, y) for de classe C2 em A, então.
∂2f
∂y∂x(x, y) = ∂2f
∂x∂y(x, y) para todo (x, y) em A.
Esse teorema é também conhecido por teorema de clairaut ou por teorema de clairaut - Schwarz.
Se as derivadas parciais de primeira ordem de f são também funções de classe C2em um aberto A, podemos
aplicar o teorema de Schwarz a elas para obtermos igualdades entre as derivadas parciais de terceira ordem. Por exemplo, ∂3f ∂y∂x2 = ∂3f ∂x∂y∂x pois ∂3f ∂y∂x2 = ∂ ∂y∂x ∂f ∂x = ∂ ∂x∂y ∂f ∂x = ∂ 3f ∂x∂y∂x Exemplo 3 Seja z = (x + y)ex
y. Mostre que x ∂ 2z ∂x∂y + y ∂2z ∂y2 = 0 Resolução: Temos que
∂z ∂y = 1.e x y + (x + y)e x y −x y2 = 1 − (x + y)x y2e x y = y 2− x2− xy y2 exy = (y 2− x2− xy)exy y2 Logo ∂2z ∂y2 =
[(2y − x)exy + (y2− x2− xy)e x y]y2− (y2− x2− xy)e x y2y y4 = (2y
3− xy2)exy − x(y2− x2− xy)exy − 2y(y2− x2− xy)exy
y4 = 2y 3 −xy2 −xy2+ x3+ x2y −2y3+ 2x2y +2xy 2 y4 e x y = x 3+ 3x2y y4 e x y
Temos também que
∂2z ∂x∂y = 1 y2 (−2x − y)exy + (y2− x2− xy)e x y1 y = 1 y2 −2x − y +y 2− x2− xy y exy = 1 y2 −2xy −y 2 +y 2− x2− xy y exy = −3xy − x 2 y3 e x y Assim, teremos x ∂ 2z ∂x∂y + y ∂2z ∂y2 = x −3xy − x2 y3 e x y + yx 3+ 3x2y y4 e x y = −3x 2y + x3 y3 e x y +x 3+ 3x2y y3 e x y = 0
Máximos e mínimos
Sejam f(x, y) uma função a valores reais, A um subconjunto do domínio de f(x, y), e (x0, y0) ∈ A. Dizemos
f (x, y) ≤ f (x0, y0) (∀(x, y) ∈ A)
Neste caso f(x0, y0)é chamado de valor máximo de f em A.
Diremos que (x0, y0) ∈ Df é um ponto de máximo global(ou absoluto) de f se
f (x, y) ≤ f (x0, y0) (∀(x, y) ∈ Df)
Neste caso f(x0, y0), é dito o valor máximo de f.
O ponto (x0, y0) ∈ Df é chamado de ponto máximo local de f(x, y), se existir uma bola aberta B tal que
f (x, y) ≤ f (x0, y0) (∀(x, y) ∈ B ∩ Df)
Se A é um subconjunto de Df e (x0, y0) ∈ A, diremos que (x0, y0)é um ponto de mínimo de f(x, y), em
A se
f (x, y) ≤ f (x, y) (∀(x0, y0) ∈ A)
Neste caso dizemos que f(x0, y0)é o valor mínimo de f(x, y) em A.
Um ponto (x0, y0) ∈ Df é dito ponto de mínimo global (ou absoluto) de f(x, y) se
f (x, y) ≤ f (x0, y0) (∀(x, y) ∈ Df)
Neste caso, diremos que f(x0, y0)é o valor de mínimo de f(x, y).
Um ponto (x0, y0)é chamado de ponto mínimo local de f(x, y), se existir uma bola aberta B tal que
f (x0, y0) ≤ f (x, y) (∀(x, y) ∈ B ∩ Df)
Os pontos de máximo e os de mínimo de f(x, y) são chamados de extremantes de f. Exemplo 4 1. O ponto (0, 0) é ponto de máximo global de 1
x2+ y2+ 1. O valor máximo de f(x, y) é 1.
Essa função não tem ponto de mínimo global
2. O ponto (0, 0) é ponto de mínimo global de f(x, y) = x2+ y2 e o valor de mínimo de f(x, y) é 0.
3. O ponto (1, 1) é ponto de máximo de f(x, y) = x2+ y2 em A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1}.
O valor máximo de f(x, y) em A é 2. O ponto (0, 0) é o ponto de mínimo de f(x, y) em A e o valor mínimo de f(x, y) em A é 0
4. Todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1 são ponto de máximo de f(x, y) = x2+ y2
