Correção ESA
2021
Matemática
Modelo 5
Professores Ismael Santos e
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Questões Resolvidas
1. (ESA/2021)Mudando para base 3 o log57, obtemos:
a) log37 log35 b) log73 log53 c) log35 d) log37 e) log53 log73 Comentário: Do enunciado, temos: log57 =log 7 log 5 Mudando para a base 3, temos:
log37
log35
Gabarito: A
2. (ESA/2021)
Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para vir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize somente carro?
a) 8,75% b) 35% c) 23,75% d) 33,75% e) 21,25% Comentário:
Inicialmente, devemos observar que temos 3 conjuntos: os que andam de carro, os que andam de moto e os que andam de ônibus. Observe também que temos interseções entre esses conjuntos, que são as pessoas que andam com mais de 1 meio de transporte. Assim:
𝐴 = 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑜 𝐵 = 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑀𝑜𝑡𝑜
Correção ESA www.estrategiamilitares.com.br 3 10 𝐶 = 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 Ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠 Do enunciado, temos: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 80 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 5 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 14 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 12 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 18 Assim, temos: 𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑚 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜: 28 − 14 − 12 + 5 = 7 𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑚 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑡𝑜: 30 − 14 − 18 + 5 = 3 𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑚 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠: 42 − 12 − 18 + 5 = 17 Queremos a probabilidade da pessoa utilizar somente o carro, portanto:
𝑃 = 7
80= 8,75%
Gabarito: A
3. (ESA/2021)
Se (40, 𝑥, 𝑦, 5, … ) é uma progressão geométrica de razão q e (𝑞, 8 − 𝑎,7
2, … ) é uma progressão
aritmética, determine o valor de a. a) 7 b) 6 c) 8 d) 25 4 e) 23 4 Comentário:
Como se trata de uma progressão geométrica, temos: 𝑥 = 40. 𝑞 𝑦 = 40. 𝑞2 5 = 40. 𝑞3 → 40. 𝑞3 = 5 → 𝑞3 =1 8 → 𝑞 = 1 2 Ao analisar a progressão aritmética, temos:
8 − 𝑎 = 1 2+ 𝑟, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 é 𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴 7 2= 1 2+ 2𝑟 → 2𝑟 = 3 → 𝑟 = 3 2
Correção ESA www.estrategiamilitares.com.br 4 10 Por fim: 8 − 𝑎 = 1 2+ 3 2→ 𝑎 = 8 − 2 → 𝑎 = 6 Gabarito: B 4. (ESA/2021)
Determine a distância real, em quilômetros, entre duas cidades que se encontram a 18mm de distância num mapa cuja escala é 1:5.000.000.
a) 9 b) 90 c) 900 d) 9000 e) 0,9 Comentário:
Como a escala do mapa é 1:5.000.000, temos:
1 𝑚𝑚 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎 = 5.000.000 𝑚𝑚 𝑛𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 Portanto: 18 1 = 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 5.000.000 → 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 = 18𝑥5.000.000 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 = 90.000.000 𝑚𝑚 = 90𝑘𝑚 Gabarito: B 5. (ESA/2021)
A solução da inequação |3𝑥 − 10| ≤ 2𝑥 é dada por: a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 10} b) 𝑆 = ∅ c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≤ 10} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 2} e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 10} Comentário:
Observando a inequação, é importante observar que: 2𝑥 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 0 Assim:
−2𝑥 ≤ 3𝑥 − 10 → 5𝑥 ≥ 10 → 𝑥 ≥ 2 Ou
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𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≤ 10}
Gabarito: C 6. (ESA/2021)
A soma dos possíveis valores de x na equação 4𝑥 = 6 . 2𝑥 − 8, é:
a) 6 b) 7 c) 3 d) 2 e) 0 Comentários
Do enunciado, temos que:
4𝑥 = 6 . 2𝑥− 8 Sendo: 𝑦 = 2𝑥 Então: 𝑦2 = 6𝑦 − 8 ⇒ 𝑦2− 6𝑦 + 8 = 0 Do discriminante: ∆= (−6)2− 4 . 1 . 8 = 36 − 32 = 4 Dessa forma: 𝑦 = 6 ± 2 2 ⇒ 𝑦 = 4 𝑒 𝑦 = 2 Portanto: 2𝑥 = 4 𝑜𝑢 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 1 Por fim: 𝑠𝑜𝑚𝑎 = 2 + 1 = 3 Gabarito: C (ESA/2021)
A área da superfície de uma esfera é 144𝜋 𝑐𝑚2. O volume da esfera é igual a:
a) 216𝜋 𝑐𝑚3
Correção ESA www.estrategiamilitares.com.br 6 10 c) 2304𝜋 𝑐𝑚3 d) 162𝜋 𝑐𝑚3 e) 72𝜋𝑐𝑚3 Comentários
A área de uma esfera é dada por:
𝐴 = 4𝜋𝑅2 = 144𝜋 𝑅2 = 36
𝑅 = 6 O volume da esfera é dado por:
𝑉 =4 3𝜋𝑅 3 𝑉 =4 3𝜋(6) 3 =4 3𝜋 ⋅ 216 = 4 ⋅ 72𝜋 = 288𝜋 𝑐𝑚 3 Gabarito: B (ESA/2021)
A água utilizada em uma residência é captada e bombeada do rio para uma caixa d`água localizada a 60 m de distância da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – caixa d`água – residência é de 60° e residência – bomba – caixa d`água é de 75°, conforme a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são necessários? Use √6 = 2,4
a) 12,5 metros b) 72 metros c) 35,29 metros d) 21,25 metros e) 28 metros Comentários
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Para resolver essa questão, precisamos aplicar a lei dos senos. Mas antes, perceba que o ângulo formado pelas direções caixa d`água – residência – bomba é 45°, devido à soma dos ângulos internos do triângulo. Assim, temos:
Aplicando a lei dos senos:
𝑥 𝑠𝑒𝑛(60°)= 60 𝑠𝑒𝑛(45°) 𝑥 = 60 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(60°) ⋅ 1 𝑠𝑒𝑛(45°) = 60 ⋅ √3 2 ⋅ 1 √2 2 = 60√3 √2 ⇒ 𝑥 = 30√6 = 30 ⋅ 2,4 = 72 𝑚 Gabarito: B (ESA/2021)
O lucro de uma empresa é dado por uma lei 𝐿(𝑥) = −𝑥2+ 8𝑥 − 7, em que 𝑥 é a quantidade
vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em Reais). Qual o valor do lucro máximo, em reais? a) 8.000. b) 10.000. c) 9.000. d) 7.000. e) 6.000. Comentários
Sabendo que o lucro máximo é dado pelo y do vértice da equação do segundo grau dada no enunciado, temos que:
𝐿𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = − ∆ 4𝑎 = − 82− 4 . (−1). (−7) 4 . (−1) = 64 − 28 4 = 36 4 = 9 Com isso, temos que o lucro máximo é:
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Perceba que, no enunciado, a banca se preocupou tão somente em informar que o 𝑥 está em milhares, enquanto o LUCRO (ordenada) está em UNIDADES DE REAIS. Dessa forma, não há alternativa e, portanto, a questão deveria ser anulada
Gabarito: B (que virá no preliminar da ESA) – Sugestão de Anulação (ESA/2021)
Dado o polinômio 𝑝(𝑥) = 4𝑥4+ 3𝑥5− 5𝑥 + 𝑥2+ 2. Analise as informações a seguir:
I. O grau de p(x) é 5.
II. O coeficiente de 𝑥3 é zero.
III. O valor numérico de p(x) para 𝑥 = −1 é 9.
IV. Um polinômio q(x) é igual a p(x) se, e somente se, possui o mesmo grau de p(x) e os
coeficientes são iguais.
É correto afirmar o que se afirmar em: f) II, III e IV apenas
g) I, II, III e IV. h) III e IV apenas. i) I, II e III apenas. j) I e II apenas. Comentários
Escrevendo o polinômio dado com os coeficientes em ordem decrescente com relação ao expoente de x. Dessa forma:
𝑝(𝑥) = 3𝑥5+ 4𝑥4+ 𝑥2− 5𝑥 + 2 Analisando as afirmativas:
I. Verdadeira, pois o maior expoente de x é 5.
II. Verdadeira, pois como o 𝑥3 não aparece na expressão, temos que o seu coeficiente é zero. III. Substituindo 𝑥 = −1 no polinômio dado:
𝑝(−1) = 3 . (−1)5+ 4 . (−1)4+ (−1)2− 5 . (−1) + 2 = −3 + 4 + 1 + 5 + 2 = 9
Logo, a afirmativa está correta.
IV. Falso, pois, além de possuir o mesmo grau e os mesmos coeficientes, os coeficientes devem estar na mesma ordem, ou seja, deverá haver um igualde ordenada entre os coeficientes.
Com isso, a alternativa correta é a letra D.
Gabarito: D (ESA/2021)
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9 10 Um ponto P, de um sistema de coordenadas cartesianas, pertence à reta de equação 𝑦 = 𝑥 − 2. Sabe-se que o ponto P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto 𝑄(16, 0). Dessa maneira, um possível valor para as coordenadas do ponto P é:
a) 𝑃(8, 10) b) 𝑃(10, 8) c) 𝑃(9, 7) d) 𝑃(12, 10) e) 𝑃(7, 9) Comentários
Vamos fazer um esboço da situação:
P é um ponto equidistante do eixo y e do ponto Q. A distância de P até o eixo y é igual a |𝑥| em que 𝑥 é a coordenada de P no plano. A distância de P até Q é dada por:
𝑑𝑃𝑄 = √(𝑥 − 16)2+ (𝑦 − 0)2
Igualando-se as distâncias:
|𝑥| = √(𝑥 − 16)2+ (𝑦 − 0)2
Elevando ao quadrado:
𝑥2 = (𝑥 − 16)2+ 𝑦2
Como P pertence à reta 𝑦 = 𝑥 − 2, podemos substituir 𝑦 na equação acima: 𝑥2 = (𝑥 − 16)2+ (𝑥 − 2)2 𝑥2= 𝑥2− 32𝑥 + 256 + 𝑥2− 4𝑥 + 4 𝑥2− 36𝑥 + 260 = 0 𝑥 =36 ± √1296 − 4 ⋅ 260 2 = 36 ± √256 2 𝑥 = 36 ± 16 2
Correção ESA www.estrategiamilitares.com.br 10 10 𝑥 = 26 𝑜𝑢 𝑥 = 10 Para 𝑥 = 26, temos 𝑦 = 26 − 2 = 24. Para 𝑥 = 10, temos 𝑦 = 10 − 2 = 8.
Analisando as alternativas, encontramos o gabarito na letra B que indica 𝑃(10, 8).
Gabarito: B (ESA/2021)
A função 𝑛(𝑡) = 1000 . 20,2𝑡 indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em
que t é o número de horas decorridas. Em quantas horas, após o início do experimento, haverá 16000 bactérias? a) 20 b) 50 c) 15 d) 30 e) 10 Comentários
Do enunciado, temos que:
𝑛(𝑡) = 1000 . 20,2𝑡
Além disso, queremos saber o valor de t para o qual 𝑛(𝑡) = 16000. Logo: 𝑛(𝑡) = 1000 . 20,2𝑡 = 16000 ⇒ 20,2𝑡 = 16 = 24
⇒ 0,2𝑡 = 4 𝑡 = 20 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
