Prova-Modelo de Exame Nacional MACS

1. Na cidade MACSLÂNDIA realizaram-se eleições para escolher uma equipa de 8 representantes para o Departa-mento do Ambiente. A formação da equipa será baseada na votação, que cada partido obteve, nas últimas elei-ções autárquicas. No quadro seguinte, estão apresentados os dados referentes a essas eleielei-ções.

1.1. Calcule a percentagem de abstenção. Apresente o resultado arredondado às unidades.

1.2. Qual será a distribuição dos representantes dos partidos se aplicarmos o método de Saint-Laguë? (Apre-sente os quocientes arredondados às décimas).

A conversão de votos em representantes, utilizando o método de representação proporcional de Saint- -Laguë, segue as seguintes etapas:

• O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1, 3, 5, 7, etc. (sucessão de nú-meros ímpares).

• Os quocientes são alinhados por ordem decrescente de grandeza.

• Escolhem-se os n maiores quocientes e distribuem-se pelos n representantes a eleger.

1.3. A presidência da equipa será atribuída à lista com a maioria de representantes. A qual dos partidos corres-ponde a presidência?

1.4. Supondo que, antes da distribuição dos representantes, os partidos C e D estabelecem uma coligação, será que a presidência vai ser exercida pela mesma lista?

Escreva um pequeno texto onde refere os seguintes aspetos:

– simulação da distribuição, aplicando o método referido, dos representantes considerando a coligação, admitindo que os votos da coligação resultam da soma dos votos dos partidos C e D;

– referência à eventual alteração da presidência;

– conclusão da vantagem, ou não, para os partidos C e D, da existência da coligação.

1.5. Antes das eleições autárquicas um jornal da cidade publicou uma notícia com base numa sondagem, onde se podia ler:

“… o partido A terá 30% das preferências e o partido D 39%, para um nível de confiança de 95%, com uma margem de erro de 3%.”

Utilizando os dados referidos, interprete entre que valores se situa a previsão da percentagem de votos de cada partido, de acordo com o nível de confiança e a margem de erro referidas. Comparando as previsões da sondagem com os resultados finais será legítimo concluir que a sondagem foi mal feita? Justifique.

Prova-Modelo de Exame Nacional – MACS

N.

o

₁

2. Todos os anos, no verão, a cidade MACSLÂNDIA recebe turistas de vários países. Na figura, apresenta-se o mapa onde aparecem os pontos de interesse/zonas históricas da cidade assinalados por letras, de acordo com a legenda.

2.1. Um grupo de turistas resolveu começar a visita pelo museu (M) e terminar na igreja (I). Indique um percurso, de M a I, de modo a visitar todos os pontos de interesse assinalados, passando por cada um deles uma única vez.

2.2. A Câmara Municipal dispõe de um autocarro turístico e pretende que este percorra todas as ruas da zona turística representada, passando uma só vez em cada uma delas. Estabeleça um percurso para que o auto-carro cumpra este objetivo.

2.3. A convite da Câmara Municipal, os alunos da escola do 1.o ciclo de uma freguesia vizinha vão fazer uma ex-cursão à zona histórica da cidade. Pretende-se que o local de partida e chegada da visita seja no largo da igreja e que se passe em cada rua o menor número de vezes possível. O responsável da Câmara concluiu, ao analisar o mapa, que não é possível estabelecer um circuito para o autocarro, de modo que passe uma única vez em cada rua. Justifique esta afirmação e apresente um circuito no ponto de partida referido (I) em que se repita o menor número possível de ruas.

2.4. A Câmara Municipal decidiu estabelecer uma iluminação noturna comum a todos os pontos de interesse. Pretende-se otimizar os custos nas ligações entre os diferentes locais.

Kruskal criou um algoritmo que permite estabelecer a árvore geradora mínima que cumpre o objetivo pre-tendido. Utilize as distâncias registadas no mapa e o algoritmo que se segue para resolver o problema. Algoritmo de Kruskal ou do Avarento

• Seleciona-se a aresta com menor peso do grafo (se houver mais do que uma escolher ao acaso).

• Escolhe-se outra aresta de menor peso de entre as arestas que ainda não foram escolhidas (que não tem de ser adjacente à primeira), desde que não se forme um circuito.

• Repete-se este processo até se obter todos os vértices que estão na árvore. • As arestas escolhidas formam a árvore abrangente mínima.

Museu Igreja Grutas Castelo Pelourinho Termas romanas Jardim botânico T J I P M C G 5,2 km 3,8 km 2 km 1 km 2 km 2,3 km 1,6 km 1,5 km 3,6 km 4 km 1,8 km 5 km M I G C P T J 209 Provas-Modelo de Exame Nacional – MACS

preços de moradias e o imposto associado a essa transação, o IMT (Imposto Municipal de Transmissão). Na tabela seguinte estão registados os valores dos imóveis que, pelas suas características, são do interesse do Sr. Antunes:

Determine o valor do IMT para cada moradia, aplicando os valores da tabela I na regra seguinte: IMT = C ¥ T − P.A.

em que:

IMT – valor do Imposto Municipal de Transmissão C – Valor do capital

T – Taxa a aplicar P.A. – Parcela a abater

4. O acesso ao museu da cidade é feito de acordo com a faixa etária a que pertence o visitante. • Crianças com idade inferior a 12 anos: entrada gratuita

• Jovens dos 12 até aos 26 anos: 50% de desconto • Adultos dos 27 aos 64 anos: bilhete inteiro

• Adultos com idade igual ou superior a 65 anos: entrada gratuita

4.1. Num determinado dia, o museu da cidade teve 200 visitantes, distribuídos de acordo com o seguinte grá-fico circular. 20% 45% 25% 10% < 12 [12, 26] [27, 64] > 64 Visitantes do museu Moradia Preço A 210 000 B 274 800 C 162 000

Valor sobre que incide o IMT (euros) Taxa marginal a aplicar Parcela a abater Até 87 500 De mais de 87 500 até 119 700 De mais de 119 700 até 163 200 De mais de 163 200 até 272 000 De mais de 272 000 até 543 900 Superior a 543 900 0% 2% 5% 7% 8% 0 € 1750 € 5341 € 8605 € 11 324 € Taxa única de 6% Tabela I

211 Provas-Modelo de Exame Nacional – MACS

4.1.1 Escolhendo um visitante ao acaso, determine a probabilidade de ter tido entrada gratuita no museu.

4.1.2 Escolhendo dois visitantes ao acaso, construa a distribuição de probabilidades da variável aleatória X que representa o número de visitantes que não pagou a entrada.

4.2. Verificou-se, num dia de abril, que os 160 visitantes do museu se distribuíram segundo a faixa etária, como mostra o seguinte histograma de frequências absolutas acumuladas:

4.2.1 Determine a média e o desvio-padrão associados a esta amostra e estime com um nível de confiança de 99% o valor médio de idades do visitante do museu.

4.2.2 O valor médio das idades dos visitantes é 28 e o desvio-padrão é 15.

Se num determinado dia visitarem o museu 100 pessoas, qual é a probabilidade da média de idades dos visitantes nesse dia ser superior a 30? Apresente o resultado sob a forma de percentagem arre-dondado às unidades.

Distribuição das cotações:

Idades Número de visitantes 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 12 24 36 48 60 72 16 72 112 128 152 160 Questão Cotação 5 1.1. 25 1.2. 5 1.3. 15 1.4. 20 1.5. 10 2.1. 10 2.2. 15 2.3. 15 2.4. 10 3. 15 4.1.1 25 4.1.2 15 4.2.1 15 4.2.2 200 Total ProEx_MACS11_205_216_3.qxp_Layout 4 14/10/19 16:47 Página 211

Proposta de Resolução da Prova-Modelo de

Exame Nacional – MACS – N .

₁

1.

1.1. Total de votos = 2870 + 631 + 1644 + 2650 + 116 + 218 + + 131 = 8260

Percentagem de abstenção = ¥ 100 ≈ 39%

1.2. Considerando as votações dos partidos nas listas L2, L3, L4, L5 e L6, na calculadora, determinam-se os quocien-tes:

Selecionando os oito maiores quocientes, obtém-se a distribuição seguinte:

Partido A – 3 representantes Partido B – 1 representante Partido C – 2 representantes Partido D – 2 representantes

1.3. A presidência será atribuída ao partido A, pois é o partido com a maioria de representantes.

1.4. Considerando como X a lista que representa a coligação dos partidos C e D, obtém-se a tabela seguinte:

Ao aplicar o método de Saint-Laguë e considerando agora a coligação dos partidos C e D verifica-se que a distribuição dos representantes vai originar a alteração da presidência, passando do partido A para a coligação. Assim, os partidos C e D têm vantagem em concorrer em coligação.

13 488 – 8260 13 488

1.5. Com um nível de confiança de 95%, a sondagem prevê que a percentagem de votos obtida pelo partido A se situe entre os 27% e os 33% e a do partido D se situe entre os 36% e os 42%.

De acordo com os resultados, a percentagem de votos é: Partido A: ¥ 100 ≈ 35%

Partido D: ¥ 100 ≈ 32%

Observa-se que os resultados finais não se enquadram nos intervalos obtidos pela sondagem e que o partido vencedor não corresponde ao indicado por esta. Apesar desta situação, como a qualquer sondagem está asso-ciada um nível de confiança e uma margem de erro, não é legítimo concluir que esteja mal feita.

2.

2.1. Um percurso possível é, por exemplo: M – J – T – G – C – P – I

2.2. Para estabelecer um percurso em que o autocarro per-corra todas as ruas da zona turística, passando uma só vez em cada uma delas, basta construir um caminho de Euler. Para tal selecionam-se como locais de partida e de chegada os dois vértices de grau ímpar (C e T). Então, C – G – T – I – P – C – M – P – I – J – M – J – T é um ca-minho possível.

2.3. Como há vértices de grau ímpar não é possível construir um circuito de modo que o autocarro passe uma única vez em cada rua. É necessário proceder à eulerização do grafo, acrescentando arestas paralelas. No mínimo é ne-cessário acrescentar duas arestas, indicadas a vermelho na figura seguinte:

Um circuito possível com partida e chegada na igreja é:

I T J a₃ M a₄ J I a₂ P M C a₈ G a₆ T a₅ G a₇ C P a₁ I 2870 8260 2650 8260 T G C P M I J a8 a6 a5 a1 a7 a2 a3 a4

Propostas de Resolução

Propostas de Resolução 219

2.4. Utilizando o algoritmo de Kruskal, ficam selecionadas as arestas a verde na figura, formando estas a árvore abran-gente mínima.

3. Os valores de IMT são os apresentados na tabela seguinte:

4.

4.1.1 Escolhendo ao acaso um visitante, a probabilidade de este ter tido entrada gratuita é 0,3 ou 30%.

4.1.2 A tabela de distribuição de probabilidades para a variá-vel aleatória X é:

P(X = 0) = 0,7 ¥ 0,7 = 0,49

P(X = 1) = 0,3 ¥ 0,7 + 0,7 ¥ 0,3 = 0,42 P(X = 2) = 0,3 ¥ 0,3 = 0,09

4.2. Considerando os valores da tabela seguinte:

Utilizando a calculadora vem: –x = 30 e Sx = 16,59

Para um nível de confiança de 99%, o intervalo de con-fiança para o valor médio de idades do visitante do museu é:

]

[

Moradia Marca da classe x_i

16 [12, 24[ 18 56 [24, 36[ 30 40 [36, 48[ 42 16 [48, 60[ 54 24 [60, 72[ 66 Total 8 160 Frequência absoluta f_i T G C P M I J 5,2 3,8 2 1,8 4 1,5 5 2,3 1,6 2 3,6 1 A Moradia 210 000 ¥ 0,07 – 8605 = 6095 B 274 800 ¥ 0,08 – 11 324 = 10 660 C 162 000 ¥ 0,05 – 5341 = 2759 IMT (euros) 0 X = xi 0,49 1 0,42 2 0,09 P (X = xi)

4.2.2 Considerando m = 28 e s = 15 e aplicando o Teorema do Limite Central, a distribuição das médias amostrais é normal com média 28 e desvio-padrão . A probabilidade pretendida é:

P(X > 30) = 0,5 – P(28 < X < 30).

Utilizando a calculadora, obtém-se:

A probabilidade pedida é 9%.

15 √∫1∫0∫0 ProEx_MACS11_217_222_4.qxp_Layout 4 14/10/19 16:48 Página 219