6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo: i)ua(x

(1)

LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 2313)

PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/∼PPLOPES/TMA

Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do G. Folland e do D. Figueiredo. (F. X, ex.Y) indica o exercício Y do capítulo X do livro do Folland e (D. X, ex.Y) indica o exercício Y do capítulo X do livro do Djairo. Nos exercícios abaixo denotaremos a transformada de Fourier porF(f)ou porfˆ.

Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:

i)ua(x) =

1, se |x| ≤a

0, se |x|> a , para uma constante a >0. ii)f(x) =

1−^|x|_a , se |x| ≤a 0, se |x|> a . iii)f(x) =e^−a|x|.

iv)f(x) =

e^−ax, sex >0

0, se |x| ≤a , para uma constantea >0. v)f(x) =e^−ax², para uma constantea >0.

Respostas:

i) ^2sen(aξ)_ξ . ii) 2(1−cos(aξ))

aξ² . iii) _a2^2a+ξ². iv) _a+iξ¹ . v)pπ

ae⁻^ξ

2 4a

Exercício 2. (D. 6, ex.2.3) Encontre uma função f : R→ C tal que fˆ=f, ou seja, tal que f seja igual a sua transformada de Fourier. (Lembre-se dos exemplos dados em sala de aula)

Resposta: Na verdade, o enunciado deveria ter sidofˆ=√

2πf. (Ele foi retirado do Djairo que coloca uma convenção diferente paraF)

Uma função que satisfaz esta relação éf(x) =e⁻^x²².

Exercício 3. (D. 6, ex.2.4) Mostre que se f : R → C é uma função par, ou seja, f(x) = f(−x), então a sua transformada de Fourierfˆé uma função que assume apenas valores reais, ou seja,fˆ(ξ)∈Rpara todoξ∈R.

Resolução: Devemos assumir também que f(x) ∈ R para todo x ∈ R (Faltou esta hipótese no enunciado).

Com a hipótese acima, basta observar que F(f) (ξ) =

ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξf(x)dx+ ˆ 0

−∞

0

e^−ixξf(x)dx+ ˆ ∞

0

e^ixξf(−x)dx= ˆ ∞

0

e^ixξf(x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξ+e^ixξ

f(x)dx= 2 ˆ ∞

0

cos(xξ)f(x)dx∈R.

Exercício 4. (D. 6, ex.2.5) Mostre que se f : R → C é uma função ímpar, ou seja, f(x) = −f(−x), então a sua transformada de Fourier fˆé uma função que assume apenas valores imaginários puros, ou seja, fˆ(ξ) é um imaginário puro para todoξ∈R.

Resolução: Devemos assumir também que f(x) ∈ R para todo x ∈ R (Faltou esta hipótese no enunciado).

Com a hipótese acima, basta observar que F(f) (ξ) =

ˆ ∞

−∞

0

e^−ixξf(x)dx+ ˆ 0

−∞

e^−ixξf(x)dx=

1

(2)

ˆ ∞ 0

0

e^ixξf(−x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξf(x)dx− ˆ ∞

0

e^−ixξ−e^ixξ

f(x)dx=−2i ˆ ∞

0

sen(xξ)f(x)dx.

Como´∞

0 sen(xξ)f(x)dx∈R, concluímos queF(f) (ξ)é um imaginário puro.

Exercício 5. (D. 6, ex.2.6) Sejaf : [0,∞[→Cuma função emL¹(R). Dena i) A transformada cosseno de Fourier

Fc(f) (ξ) = ˆ _∞

0

cos(xξ)f(x)dx.

ii) A transformada seno de Fourier

Fs(f) (ξ) = ˆ ∞

0

sen(xξ)f(x)dx.

Mostre que se estendermosf como um função par, temos Fc(f) =1

2F(f). Mostre que se estendermosf como uma função ímpar, temos

Fs(f) = 1 2iF(f). Resolução:

Sef˜é a extensão par def, então F

f˜ (ξ) =

ˆ ∞

−∞

e^−ixξf˜(x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξf˜(x)dx+ ˆ 0

−∞

0

e^−ixξf˜(x)dx+ ˆ ∞

0

e^ixξf˜(−x)dx= ˆ ∞

0

e^ixξf˜(x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξ+e^ixξf˜(x)dx= 2 ˆ ∞

0

cos(xξ)f(x)dx= 2Fc(f) (ξ). Sef˜é a extensão ímpar def, então

F f˜

(ξ) = ˆ ∞

−∞

0

e^−ixξf˜(x)dx+ ˆ 0

−∞

0

e^ixξf˜(−x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξf˜(x)dx− ˆ ∞

0

e^ixξf˜(x)dx= ˆ ∞

0

e^−ixξ−e^ixξf˜(x)dx=−2i ˆ ∞

0

sen(xξ)f(x)dx=−2iFs(f) (ξ). Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) SejaF a transformada de Fourier. Mostre que:

i)F(f(−x)) (ξ) =F(f) (−ξ). ii)F

f(x)

(ξ) =F(f) (−ξ). iii)F f ^x_a

(ξ) =aF(f) (aξ),a >0. iv)F(f(x−b)) (ξ) =e^−ibξF(f) (ξ),b∈R.

v)F f(x)e^−icx

(ξ) =F(f) (ξ+c),c∈R.

Resolução:

i)

F(f) (−ξ) = ˆ ∞

−∞

e^−ix(−ξ)f(x)dx= ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(−x)dx=F(f(−x)) (ξ). ii)

F f(x)

(ξ) = ˆ ∞

−∞

e^−ix(−ξ)f(x)dx=F(f) (−ξ).

iii) F

fx a

(ξ) =

ˆ ∞

−∞

e⁻ⁱ^x^a^ξf(x)dx= ˆ ∞

−∞

e⁻ⁱ^x^a^ξf ax

a

a1 adx=

ˆ ∞

−∞

e^−iyξf(ay)ady=aF(f) (aξ).

(3)

iv)

F(f(x−b)) (ξ) = ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(x−b)dx= ˆ ∞

−∞

e^−i(y+b)ξf(y)dy=e^−ibξ ˆ ∞

−∞

e^−iyξf(y)dy=e^−ibξF(f) (ξ). v)

F f(x)e^−icx (ξ) =

ˆ ∞

−∞

e^{−ixξ−icx}f(x)dx= ˆ ∞

−∞

e^−ix(ξ+c)f(x)dx=F(f) (ξ+c). Exercício 7. (D. 6, ex.2.8) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

i)e⁻^(x−3)2² ii)e^−(2x+1)²

iii)f tal que f(2) = 1,f(x) = 0, se|x−2| ≥1ef é uma função seccionalmente linear (o gráco def será um triângulo com centro em2)

Respostas:

i)e^−3iξe⁻^ξ

2 2 .

ii) Vemos que ˆ ∞

−∞

e^−ixξe^−(2x+1)²dx= ˆ ∞

−∞

e^−ixξe⁻⁴(^x+¹₂)²dx= ˆ ∞

−∞

e⁻ⁱ(^y−¹2)^ξe^−4y²dy=eⁱ^ξ² ˆ ∞

−∞

e^−iyξe^−4y²dy= rπ

4eⁱ^ξ²⁻^ξ

2 16. iii) Vemos que ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(x)dx= ˆ 2

1

e^−ixξ(x−1)dx+ ˆ 3

2

e^−ixξ(3−x)dx.

Exercício 8. (D. 6, ex.2.9) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

i)e^−a|x|cos(cx). ii)e^−ax²sen(cx). Respostas:

i) ¹₂

2a

a²+(ξ−c)² +_a₂_+(ξ+c)^2a 2

. ii) _2i¹

pπ

ae⁻^(ξ−c)2^4a −pπ

ae⁻^(ξ+c)2^4a . Exercício 9. (D. 3.3, ex.2.10) Mostre que

i)F(f(x)cos(cx)) = ¹₂h

fˆ(ξ−c) + ˆf(ξ+c)i . ii)F(f(x)sen(cx)) = _2i¹ h

fˆ(ξ−c)−fˆ(ξ+c)i . Resolução:

i)

F(f(x)cos(cx)) = ˆ ∞

−∞

e^−ixξcos(cx)f(x)dx= ˆ ∞

−∞

e^−ixξe^icx+e^−icx

2 f(x)dx= 1

2 ˆ _∞

−∞

e^{−ix(ξ−c)}f(x)dx+ ˆ _∞

−∞

e^−ix(ξ+c)f(x)dx

=1 2

hfˆ(ξ−c) + ˆf(ξ+c)i . ii)

F(f(x)sen(cx)) = ˆ ∞

−∞

e^−ixξsen(cx)f(x)dx= ˆ ∞

−∞

e^−ixξe^icx−e^−icx

2i f(x)dx= 1

2i ˆ ∞

−∞

e^{−ix(ξ−c)}f(x)dx− ˆ ∞

−∞

e^−ix(ξ+c)f(x)dx

= 1 2i

hfˆ(ξ−c)−fˆ(ξ+c)i .

Exercício 10. (D. 3.5, ex.3.1) Seja f : R → C uma função linear tal que f e f⁰ pertencem a L¹(R) e tal que lim_x→±∞f(x) = 0. Mostre queF(f⁰) (ξ) =iξF(f) (ξ). (Dica: Integre por partes)

Resolução: Basta observar que F(f⁰) (ξ) =

ˆ ∞

−∞

e^−ixξf⁰(x)dx= e^−ixξf(x)

∞

−∞− ˆ ∞

−∞

d

dx e^−ixξ

f(x)dx=

iξ ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(x)dx=iξF(f) (ξ).

(4)

Exercício 11. (D. 3.5, ex.3.4) Sejaf :R→Cuma função de classeL¹(R)tal que ´∞

−∞f(x)dx= 0. Mostre que F

ˆ x

−∞

f(t)dt

(ξ) = 1

iξF(f) (ξ). Resolução:

F ˆ x

−∞

f(t)dt

(ξ) = ˆ ∞

−∞

e^−ixξ ˆ x

−∞

f(t)dt

dx= ˆ ∞

−∞

e^−ixξ ˆ x

−∞

f(t)dt

dx=

e^−ixξ

−iξ ˆ x

−∞

f(t)dt

∞

−∞

− ˆ ∞

−∞

e^−ixξ

−iξ f(x)dx= 1 iξ

ˆ ∞

−∞

e^−ixξf(x)dx= 1

iξF(f) (ξ). Exercício 12. (D. 3.5, ex.3.7) Mostre que sef ∈L¹(R)for contínua, então

i)F(F(f)) (x) = 2πf(−x). ii)F⁴(f) (x) = (2π)²f(x).

Exercício 13. (D. 3.5, ex.3.16) Ache um exemplo de função f : R →C que seja L¹(R) de classe C^∞, ou seja, innitamente diferenciável, mas queF(f)não seja diferenciável em todos os pontos. (Dica: Pense nos exemplos dados em sala de aula)

Resposta: Um possível exemplo éf(x) =_1+x¹₂, em quefˆ(ξ) =πe^−|ξ|não é diferenciável emξ= 0.

Exercício 14. (F. 7.1, ex.4) Sejaf(x) =e^−x² eg(x) =e^−2x². Calculef∗g. (Dica: Complete quadrados e use que

´∞

−∞e^−x²dx=√ π).

Resolução:

f∗g(x) = ˆ ∞

−∞

f(x−t)g(t)dt= ˆ ∞

−∞

e^−(x−t)²e^−2t²dt= ˆ ∞

−∞

e^−x²^+2xt−t²^−2t²dt= ˆ ∞

−∞

e^−x²^−3t²^+2xtdt= ˆ ∞

−∞

e^−x²⁻³(^t²−²₃xt)dt= ˆ ∞

−∞

e^−x

2−3h

(^t−¹3x)²⁻¹9x²i

dt=e⁻²³^x² ˆ ∞

−∞

e⁻³(t−¹₃x)²dt=

e⁻²³^x²

√3 ˆ ∞

−∞

e⁻(^√^3s)²√

3ds= e⁻²³^x²

√3 ˆ ∞

−∞

e^−w²dw= rπ

3e⁻²³^x². Exercício 15. (F. 7.1, ex.5) Sejaft(x) = ^√¹

4πte⁻^x^4t². Mostre queft∗fs=ft+s. Resolução: Feito em sala de aula.

Exercício 16. (F. 4.2, ex.2) Sejaf :R→Ca função dada por f(x) =

1, se |x| ≤1 0, se |x|>1 . i) Calculef∗f ef∗f∗f.

ii) Sejaf(x) = ¹f ^xeg(x) =x³−x. Calculef∗ge mostre quelim_→0f∗g= 2g diretamente.

Solução:

i)

f∗f(x) =







x+ 2,−2≤x≤0 2−x,0≤x≤2 0,de outra forma

. e

f∗f∗f(x) =











1

2(x+ 3)²,−3≤x≤ −1 3−x²,−1≤x≤1

1

2(3−x)²,1≤x≤3 0,de outra forma ii)f∗g(x) = 2x³+ 8²−2

x.

(5)

Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:

i)Fs e^−kx ii)Fc e^−kx

iii)Fc (1 +x)e^−kx iv)Fs xe^−kx Resolução:

i) _ξ2+k^ξ ²

ii) _ξ2+k^k ²

iii) _(1+ξ²2)² é a solução parak= 1. iv) _(1+ξ^2ξ2)²

Exercício 18. (F. 7.4, ex.1) Resolva a equação do calor _∂u

∂t(t, x) =k^∂_∂x²^u₂ (t, x), x∈R, t >0 u(0, x) =f(x), x∈R

. para

f(x) =

T, |x| ≤a 0, |x|> a . Resolução:

Aplicando a Transformada de Fourier emuna variávelx, temos ∂uˆ

∂t(t, ξ) =−kξ²uˆ(t, ξ), ξ∈R, t >0 ˆ

u(0, ξ) = ˆf(ξ), ξ∈R

. Logo vemos que

ˆ

u(t, ξ) = ˆf(ξ)e^−kξ²^t. Assim

u(t, x) =F⁻¹

fˆ(ξ)e^−kξ²^t

=F⁻¹ fˆ(ξ)

∗ F⁻¹ e^−kξ²^t

=

√1 4πkt

ˆ ∞

−∞

e⁻^(x−y)2^4kt f(y)dy= 1

√4πkt ˆ T

−T

e⁻^(x−y)2^4kt f(y)dy.

Exercício 19. (D. 4.3, ex.5) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:

_∂u

∂t(t, x) =k^∂_∂x²^u₂(t, x) +g(t, x), x∈R, t >0 u(0, x) =f(x), x∈R

. Resolução:

Vamos achar a solução de

_∂u

∂t(t, x) =k^∂_∂x²^u2(t, x) +g(t, x), x∈R, t >0

u(0, x) = 0, x∈R .

∂t(t, ξ) =−kξ²uˆ(t, ξ) + ˆg(t, ξ), ξ∈R, t >0 ˆ

u(0, ξ) = 0, ξ∈R .

Logo vemos que

ˆ u(t, ξ) =

ˆ t 0

e^−kξ²^(t−s)gˆ(s, ξ)ds.

Assim

u(t, x) =F⁻¹ ˆ t

0

e^−kξ²^(t−s)ˆg(s, ξ)ds

= ˆ t

0

F⁻¹

e^−kξ²^(t−s)gˆ(s, ξ) ds= ˆ t

0

F⁻¹

e^−kξ²^(t−s)

∗ F⁻¹(ˆg(s, ξ))ds= ˆ t

0

1 p4πk(t−s)

ˆ ∞

−∞

e⁻

(x−y)2

4k(t−s)g(s, y)dy

ds.

Logo a solução nal (usando princípio da superposição) é u(t, x) =

ˆ t 0

1 p4πk(t−s)

ˆ ∞

−∞

e⁻

(x−y)2

4k(t−s)g(s, y)dy

ds+ 1

√ 4πkt

ˆ ∞

−∞

(6)

_∂u

∂t(t, x) =k^∂_∂x²^u₂(t, x) +bu(t, x), x∈R, t >0 u(0, x) =f(x), x∈R

. Resolução:

∂t(t, ξ) =−kξ²uˆ(t, ξ) +bˆu(t, ξ), ξ∈R, t >0 ˆ

u(0, ξ) = ˆf(ξ), ξ∈R

. Logo vemos que

ˆ

u(t, ξ) = ˆf(ξ)e^−kξ²^+bt. Assim

u(t, x) =F⁻¹

fˆ(ξ)e^−kξ²^te^bt

=e^btF⁻¹ fˆ(ξ)

∗ F⁻¹ e^−kξ²^t

= e^bt

√4πkt ˆ ∞

−∞

_∂²_u

∂t² (t, x) =c²^∂_∂x²^u₂(t, x) +h(t, x), x∈R, t >0 u(0, x) =^∂u_∂t(0, x) = 0, x∈R

. Resolução:

Aplicando a Transformada de Fourier emuna variávelx, temos _∂²_u_ˆ

∂t² (t, ξ) =−c²ξ²uˆ(t, ξ) + ˆh(t, ξ), ξ∈R, t >0 ˆ

u(0, ξ) = ^∂_∂t^u^ˆ(0, ξ) = 0, ξ∈R

. Logo vemos que

ˆ u(t, ξ) =

ˆ t 0

sen(cξ(t−s)) cξ

ˆh(s, ξ)ds.

Assim

u(t, x) =F⁻¹ ˆ t

0

sen(cξ(t−s)) cξ

ˆh(s, ξ)ds.

= ˆ t

0

F⁻¹

sen(cξ(t−s)) cξ

ˆh(s, ξ)

ds= ˆ t

0

F⁻¹

sen(cξ(t−s)) cξ

∗ F⁻¹

ˆh(s, ξ) ds=

ˆ t 0

ˆ ∞

−∞

1

2cχ_c(t−s)(x−y)h(s, y)dy

ds, em queχ_a(x) =

1, se |x| ≤a 0, se |x|> a .