HTTP://WWW.IME.USP.BR/MAT/349 SLIDES APRESENTADOS EM AULA
GL ´AUCIO TERRA
DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA IME - USP
1. AULA1 SLIDE1.1. Programa Resumido do Curso
• C´alculo Proposicional
• C´alculo de Predicados de Primeira Ordem
• Noc¸˜oes sobre Teorias Formalizadas SLIDE1.2. Bibliografia Sugerida
• B. Castrucci, Introduc¸˜ao `a L´ogica Matem´atica, Nobel, 1975.
• E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand, 1964.
• J. Zimbarg, Introduc¸˜ao `a L´ogica Matem´atica, Impa, 1973.
SLIDE1.3. Objetivos
• Familiarizac¸˜ao com o emprego de linguagens formais;
• Introduc¸˜ao ao C´alculo de Predicados de 1a. Ordem como base l´ogica para o tratamento de teorias axiom´aticas.
SLIDE1.4. O que ´e a L´ogica?
A L´ogica ´e a ciˆencia das leis necess´arias do entendimento e da raz˜ao.
(I. Kant)
SLIDE1.5. A L´ogica Matem´atica: ´e a parte da L´ogica que trata do estudo de argumentos
v´alidos no discurso matem´atico.
SLIDE1.6. Silogismos
PREMISSA: Todos os coelhos gostam de cenouras.
PREMISSA: S ´ocrates ´e um coelho.
CONCLUSAO˜ : S ´ocrates gosta de cenouras.
PREMISSA: Todos os homens s˜ao mortais.
PREMISSA: Alguns animais s˜ao mortais.
1
CONCLUSAO˜ : Todos os homens s˜ao animais.
SLIDE1.7. Brev´ıssima Introduc¸˜ao Hist´orica
ANTIGUIDADE¨ GREGA:
Arist´oteles(384-322 a.C.):: silogismos; prim´ordios do c´alculo de predicados.
Escola dos est´oicos e dos meg ´arios:: Euclides de Megara, Zen ˜ao, Crisipo.
L ´OGICAMODERNA:
Leibnitz (sec. XVII): precursor da l´ogica moderna.
S´eculos XIX e XX:: Boole, De Morgan, Peirce, Frege, Church, Russel, Whitehead, Hilbert, G¨odel, Tarski.
SLIDE1.8. L´ogica Objeto versus L´ogica do Observador
L ´OGICA OULINGUAGEMOBJETO: ´e a linguagem formal ou o sistema l´ogico formal que constitui o objeto de estudo.
L ´OGICA OULINGUAGEM DO OBSERVADOR: ´e a l´ogica, num sentido intuitivo ou infor- mal, que se usa para estudar ou descrever a l´ogica objeto.
SLIDE1.9. Sintaxe versus Semˆantica
SINTAXE: ´e o significante ling¨u´ıstico.
SEMANTICAˆ : ´e o significado denotado pela sintaxe.
2. AULA2
SLIDE 2.1. C´alculo Proposicional ´E a parte do C´alculo de Predicados de Primeira Or- dem na qual se estuda a validade de argumentos do ponto de vista das conex ˜oes entre as sentenc¸as do discurso, sem levar em conta a estrutura interna de cada sentenc¸a.
SLIDE2.2. Proposic¸˜oes
• Uma proposic¸˜ao ou sentenc¸a ´e uma afirmac¸˜ao pass´ıvel de assumir valor l´ogico verdadeiro ou falso;
• Toda proposic¸˜ao ´e verdadeira ou falsa (princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo);
• Uma proposic¸˜ao n˜ao pode ser verdadeira E falsa (princ´ıpio da n˜ao-contradic¸˜ao).
SLIDE2.3. Exemplos de Proposic¸˜oes
• 2>1;
• 5 = 1;
• O c´eu ´e azul.
SLIDE2.4. F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO2.1. Os conectivos proposicionais s˜ao negac¸˜ao (¬), conjunc¸˜ao (∧), disjunc¸˜ao (∨), implicac¸˜ao (→) e bi-implicac¸˜ao (↔).
DEFINIC¸ ˜AO2.2. Uma linguagem proposicional L ´e um conjunto{p, q, r, . . .}, cujos ele- mentos chamam-se ´atomos proposicionais ou f´ormulas atˆomicas.
SLIDE2.5. F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO 2.3. O conjunto das f´ormulas de L ´e definido indutivamente, atrav´es das seguintes regras:
• sep´e uma f´ormula atˆomica deL, ent˜aop´e uma f´ormula;
• seA´e uma f´ormula, ent˜ao¬A´e uma f´ormula;
• seAeBs˜ao f´ormulas, ent˜aoA∧B,A∨B,A→BeA↔Bs˜ao f´ormulas.
SLIDE2.6. Valorac¸˜ao
DEFINIC¸ ˜AO2.4. Os valores l´ogicos s˜aoV (verdadeiro) eF(falso).
DEFINIC¸ ˜AO 2.5. SejaL uma linguagem proposicional. Uma atribuic¸˜ao deL ´e uma aplicac¸˜ao:
M :{f´ormulas atˆomicas deL} → {V, F} SLIDE2.7. Valorac¸˜ao
LEMA2.1. SejamLuma linguagem proposicional eMuma atribuic¸˜ao deL. Ent˜ao existe uma ´unica aplicac¸˜ao
vM :{A|Af´ormula deL} → {V, F},
chamada valorac¸˜ao deLinduzida porM, satisfazendo as seguintes propriedades:
•
vM(¬A) =
(V, sevM(A) =F F, sevM(A) =V SLIDE2.8. Valorac¸˜ao
•
vM(A∧B) =
(V, sevM(A) =V evM(B) =V F, caso contr´ario
•
vM(A∨B) =
(V, sevM(A) =V ouvM(B) =V F, caso contr´ario
• vM(A→B) =vM(¬A∨B)
• vM(A↔B) =vM (A→B)∧(B→A) SLIDE2.9. F´ormulas Tautol´ogicas e Contra-V´alidas
DEFINIC¸ ˜AO2.6. SejaLuma linguagem proposicional. Diz-se que uma f´ormulaAdeL´e tautol´ogica ou logicamente v ´alida se, para toda atribuic¸˜aoMdeL, tem-sevM(A) =V. Diz-se queA´e contra-v ´alida se¬Afor tautol´ogica, i.e. se para toda atribuic¸˜aoM deL, tem-sevM(A) =F.
SLIDE2.10. Satisfabilidade, Conseq ¨uˆencia L´ogica
DEFINIC¸ ˜AO2.7. SejamLuma linguagem proposicionalMumaL-atribuic¸˜ao. Diz-se que M satisfaz umaL-f´ormulaAsevM(A) =V.
DEFINIC¸ ˜AO2.8. SejamLuma linguagem proposicionalS um conjunto deL-f´ormulas.
Diz-se queS´e satisfat´ıvel se existir uma atribuic¸˜aoM que satisfac¸a todas as f´ormulas de L.
SLIDE2.11. Satisfabilidade, Conseq ¨uˆencia L´ogica
DEFINIC¸ ˜AO2.9. SejamSum conjunto de f´ormulas de uma linguagem proposicionalL, e B umaL-f´ormula. Diz-se queB ´e umaconseq ¨uˆencia l´ogica deSse toda atribuic¸˜aoM que satisfazStamb´em satisfizerB, i.e. sevM(B) =V sempre quevM(A) =V para toda A∈S. NOTAC¸ ˜AO: S|=B.
3. AULA3 SLIDE3.1. Func¸˜oes Verdade
DEFINIC¸ ˜AO 3.1. Uma func¸˜ao verdade denargumentos ´e uma func¸˜aof : {0,1}n → {0,1}.
DEFINIC¸ ˜AO 3.2. SejaLuma linguagem proposicional eAuma f´ormula deL, na qual figuram os ´atomosp1, . . . , pn(nesta ordem). A func¸˜ao verdade de A ´e a func¸˜ao verdade obtida a partir da tabela verdade deA(p1, . . . , pn).
SLIDE3.2. F´ormulas Tautol´ogicas e Contra-V´alidas (bis)
DEFINIC¸ ˜AO3.3. Uma func¸˜ao verdade diz-se tautol´ogica se sua imagem for{1}, e contra- v ´alida se sua imagem for{0}.
PROPOSIC¸ ˜AO3.1. SejamLuma linguagem proposicional eAumaL-f´ormula; ent˜aoA´e tautol´ogica se, e somente se, sua func¸˜ao verdade o for.
SLIDE3.3. Tautologias
PROPOSIC¸ ˜AO3.2. SejamLuma linguagem proposicional eA,B f´ormulas deL. SeAe A→Bs˜ao tautol´ogicas, ent˜aoB ´e tautol´ogica.
PROPOSIC¸ ˜AO 3.3 (PRINC´IPIO DA SUBSTITUIC¸ ˜AO). Sejam L uma linguagem proposi- cional e A(p1, . . . , pn) uma L-f´ormula na qual figuram os ´atomos p1, . . . , pn. Sejam A1, . . . , AnL-f´ormulas, eBaL-f´ormula obtida a partir deApor substituic¸˜ao dos ´atomos piporAi,16i6n. SeA´e tautol´ogica, ent˜aoB´e tautol´ogica.
SLIDE3.4. Implicac¸˜ao e Equivalˆencia L´ogica
DEFINIC¸ ˜AO3.4. SejamLuma linguagem proposicional,AeB L-f´ormulas. Diz-se que Aimplica logicamente (ou formalmente)B(NOTAC¸ ˜AO: A ⇒B) seA → B for tau- tol´ogica.
DEFINIC¸ ˜AO3.5. SejamLuma linguagem proposicional,AeB L-f´ormulas. Diz-se que A´e logicamente (ou formalmente) equivalente aB(NOTAC¸ ˜AO:A⇔B) seA↔Bfor tautol´ogica. Ou seja, seA⇒BeB⇒A.
SLIDE3.5. Implicac¸˜ao e Equivalˆencia L´ogica
PROPOSIC¸ ˜AO3.4. SejamLuma linguagem proposicional eFLo conjunto das f´ormulas deL. Ent˜ao⇔´e uma relac¸˜ao de equivalˆencia emFL(i.e. uma relac¸˜ao bin´aria reflexiva, sim´etrica e transitiva).
PROPOSIC¸ ˜AO3.5 (PRINC´IPIO DASUBSTITUIC¸ ˜AO(BIS)). SejaLuma linguagem proposi- cional. Se a L-f´ormula B1 ´e obtida a partir de A1 por substituic¸˜ao de uma ou mais ocorrˆencias daL-f´ormulaAporB, ent˜ao(A↔B)→(A1↔B1)´e uma tautologia. Em particular, seA⇔B, ent˜aoA1⇔B1.
SLIDE3.6. Exerc´ıcios
(1) p¯¯⇔p (2) p·q⇔p¯+ ¯q (3) p+q⇔p¯·q¯ (4) p→q⇔p¯+q (5) p→q⇔q¯→p¯
(6) p→(q→r)⇔q→(p→r) SLIDE3.7. Exerc´ıcios
(1) p+ ¯p´e tautol´ogica (2) p·p¯´e contra-v´alida (3) p⇒p+q
(4) p·q⇒p
(5) p·q→r⇔p→(q→r) (6) p→q⇒(q→r)→(p→s) (7) p→(r·r)¯ ⇒p¯
(8) (p→q)·(r→s)⇒p·r→q·s 4. AULA4 SLIDE4.1. Convenc¸˜oes para Evitar Parˆenteses
(1) Se na f´ormula figuram conectivos bin´arios de um ´unico tipo, omitem-se os parˆenteses por associac¸˜ao `a esquerda.
(2) Ordenam-se os conectivos, em ordem decrescente de prioridade, como segue:↔ ,→,∨,∧,¬
SLIDE4.2. Propriedades da Conjunc¸˜ao
(1) p·q⇔q·p
(2) p·(q·r)⇔(p·q)·r (3) p·p⇔p
(4) p·V ⇔p (5) p·F⇔F
SLIDE4.3. Propriedades da Disjunc¸˜ao
(1) p+q⇔q+p
(2) p+ (q+r)⇔(p+q) +r (3) p+p⇔p
(4) p+V ⇔V (5) p+F ⇔p
SLIDE4.4. Propriedades Distributivas
(1) p·(q+r)⇔p·q+q·r (2) p+ (q·r)⇔(p+q)·(q+r) SLIDE4.5. Absorc¸˜ao
(1) p·(p+r)⇔p (2) p+ (p·r)⇔p
SLIDE4.6. Negac¸˜ao e Regras de De Morgan
(1) p¯¯⇔p (2) p·q⇔p¯+ ¯q (3) p+q⇔p¯·q¯
SLIDE4.7. Reduc¸˜ao do N´umero de Conectivos Note que:
(1) p∧q⇔ ¬(¬p∨ ¬q) (2) p→q⇔ ¬p∨q
(3) p↔q⇔ ¬(¬p∨ ¬q)∨ ¬(p∨q)
Conclus˜ao: Pelo princ´ıpio da substituic¸˜ao, toda f´ormula proposicional ´e logicamente a uma f´ormula na qual figuram os conectivos¬e∨, apenas.
SLIDE4.8. Reduc¸˜ao do N´umero de Conectivos Note que:
(1) p∨q⇔ ¬(¬p∧ ¬q) (2) p→q⇔ ¬(p∧ ¬q)
(3) p↔q⇔ ¬(p∧ ¬q)∧ ¬(q∧ ¬p)
Conclus˜ao: Pelo princ´ıpio da substituic¸˜ao, toda f´ormula proposicional ´e logicamente a uma f´ormula na qual figuram os conectivos¬e∧, apenas.
SLIDE4.9. Reduc¸˜ao do N´umero de Conectivos Note que:
(1) p∨q⇔ ¬p→q (2) p∧q⇔ ¬(p→ ¬q)
(3) p↔q⇔ ¬[(p→q)→ ¬(q→p)]
Conclus˜ao: Pelo princ´ıpio da substituic¸˜ao, toda f´ormula proposicional ´e logicamente a uma f´ormula na qual figuram os conectivos¬e→, apenas.
SLIDE4.10. Formas Normais Conjuntiva e Disjuntiva
DEFINIC¸ ˜AO4.1. Diz-se que uma f´ormula ´e normal conjuntiva se for uma conjunc¸˜ao de disjunc¸˜oes de ´atomos ou negac¸˜oes de ´atomos.
DEFINIC¸ ˜AO4.2. Diz-se que uma f´ormula ´e normal disjuntiva se for uma disjunc¸˜ao de conjunc¸˜oes de ´atomos ou negac¸˜oes de ´atomos.
SLIDE4.11. Exerc´ıcios
Encontre uma forma normal disjuntiva equivalente a:
(1) (p→q)↔(¬q→ ¬p) (2) ¬(¬p∧q)→ ¬s∧q SLIDE4.12. Exerc´ıcios
Encontre uma forma normal conjuntiva equivalente a:
(1) (p→q)↔(¬p→q) (2) ¬(¬p∧q)→ ¬r∨q SLIDE4.13. O Problema de Post
Como determinar uma f´ormula proposicional que tenha uma func¸˜ao verdade dada?
5. AULA5 SLIDE5.1. Teorias Formais
Uma teoria formalF consiste de:
(1) Um conjunto enumer´avel de s´ımbolos, chamados s´ımbolos deF; uma seq ¨uˆencia finita de tais s´ımbolos chama-se uma express˜ao deF.
(2) Um subconjunto do conjunto das express˜oes deF, chamado f´ormulas deF. SLIDE5.2. Teorias Formais
(3) Um conjunto de f´ormulas deF, chamadas axiomas deF.
(4) Um conjunto finito de relac¸˜oesR1, . . . , Rnno conjunto das f´ormulas deF, chamadas regras de inferˆencia.
SLIDE5.3. Demonstrac¸˜oes e Teoremas
Seja F uma teoria formal. Uma demonstrac¸˜ao ou prova em F ´e uma seq ¨uˆencia A1, . . . , An de f´ormulas de F tais que, para 1 6 i 6 n, Ai ´e um axioma de F ou ´e conseq ¨uˆencia das f´ormulas anteriores por meio de uma das regras de inferˆencia deF.
Um teorema deF ´e uma f´ormulaAtal que existe uma demonstrac¸˜ao emF (chamada demonstrac¸˜ao deA) cujo ´ultimo termo ´eA.
SLIDE5.4. Teorias Axiomatiz´aveis/N˜ao-Axiomatiz´aveis, Decid´ıveis/N˜ao-Decid´ıveis
• Uma teoria formalF diz-se axiomatiz´avel se existir um “procedimento efetivo”
para testar se uma dada f´ormula ´e um axioma deF.
• Uma teoria formalFdiz-se decid´ıvel se existir um “procedimento efetivo” para testar se uma dada f´ormula ´e um teorema deF.
SLIDE 5.5. Demonstrac¸˜oes e Teoremas Diz-se que uma f´ormulaA deF pode ser de- duzida ou que ´e uma conseq ¨uˆencia de um conjuntoM de f´ormulas deF se existir uma seq ¨uˆenciaA1, . . . , An de f´ormulas deF tal queAn = Ae, para1 6 i 6 n, uma das seguintes condic¸˜oes ´e verificada:
(1) Ai ´e um axioma deF; (2) Aipertence aM;
(3) Ai ´e conseq ¨uˆencia das f´ormulas anteriores da seq ¨uˆencia por meio de uma das regras de inferˆencia deF.
SLIDE5.6. Demonstrac¸˜oes e Teoremas
• Uma tal seq ¨uˆencia chama-se demonstrac¸˜ao ou prova deAa partir deM.
• As f´ormulas deM chamam-se hip´oteses ou premissas da prova.
• NOTAC¸ ˜AO:M ⊢A.
SLIDE5.7. Propriedades da Noc¸˜ao de Conseq¨uˆencia
(1) SeΓ⊂∆eΓ⊢A, ent˜ao∆⊢A.
(2) Γ⊢Ase, e somente se, existe um∆⊂Γfinito tal que∆⊢A.
(3) Se∆⊢Ae, para cada f´ormulaBde∆,Γ⊢B, ent˜aoΓ⊢A.
SLIDE5.8. Uma Teoria Axiom´atica FormalLpara o C´alculo Proposicional
(1) Os s´ımbolos deLs˜ao:¬,→,(,), e um conjunto enumer´avel de letrasa1, a2, a3, . . ., chamadas letras proposicionais.
(2) As f´ormulas deLs˜ao definidas indutivamente por:
(a) as letras proposicionais s˜ao f´ormulas;
(b) seA´e uma f´ormula, ent˜ao¬A´e uma f´ormula;
(c) seAeBs˜ao f´ormulas, ent˜aoA→B ´e uma f´ormula.
SLIDE5.9. Uma Teoria Axiom´atica FormalLpara o C´alculo Proposicional (1) Os axiomas deLs˜ao (ondeA,B,Cs˜ao f´ormulas deL):
(I) A→(B→A);
(II) [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)]
(III) (¬B→A)→[(¬B→ ¬A)→B]
(2) A ´unica regra de inferˆencia deL´e a regra modus ponens (MP):
A, A→B B
SLIDE5.10. Uma Teoria Axiom´atica FormalLpara o C´alculo Proposicional (1) Os axiomas deLs˜ao (ondeA,B,Cs˜ao f´ormulas deL):
(I) A→(B→A);
(II) [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)]
(III) (¬B→ ¬A)→[(¬B →A)→B]
(2) A ´unica regra de inferˆencia deL´e a regra modus ponens (MP):
A, A→B B SLIDE5.11. Definic¸˜oes de Novos Conectivos
(1) A∨B .
=¬A→B.
(2) A∧B .
=¬(A→ ¬B).
(3) A↔B .
= (A→B)∧(B →A).
SLIDE5.12. Um Teorema deL
TEOREMA5.1. ⊢A→A SLIDE5.13. Um Teorema deL
Demonstrac¸˜ao. A1: [A→((A→A)→A)]→[(A →(A→A))→(A→A)], pelo axioma (II)
A2: A→((A→A)→A), pelo axioma (I)
A3: (A→(A→A))→(A→A), por (MP) deA1eA2
A4: A→(A→A), pelo axioma (I) A5: A→Apor (MP) deA3eA4.
SLIDE5.14. Exerc´ıcios
(1) ⊢(¬A→A)→A (2) A→B, B→C⊢A→C (3) A→(B →C)⊢B→(A→C) (4) ⊢(¬B → ¬A)→(A→B)
6. AULA6 SLIDE6.1. Extens˜ao do Conceito de Demonstrac¸˜ao
SejaF uma teoria formal. Diz-se que uma f´ormula A deF pode ser deduzida ou que ´e uma conseq ¨uˆencia de um conjuntoM de f´ormulas deF se existir uma seq ¨uˆencia A1, . . . , An de f´ormulas deF tal queAn = Ae, para1 6 i 6 n, uma das seguintes condic¸˜oes ´e verificada:
(1) Ai ´e um axioma deF, ouAipertence aM, ouAi´e um teorema deFj´a demon- strado;
(2) Ai ´e conseq ¨uˆencia das f´ormulas anteriores da seq ¨uˆencia por meio de uma das regras de inferˆencia deF.
SLIDE6.2. Teorema da Deduc¸˜ao
TEOREMA 6.1. Sejam L a teoria formal do c´alculo proposicional,M um conjunto de f´ormulas eA, Bf´ormulas deL. SeM, A⊢B, ent˜aoM ⊢A→B.
SLIDE6.3. Exerc´ıcios
(1) (SILOGISMO HIPOTETICO´ )A→B, B→C⊢A→C (2) A→(B →C)⊢B→(A→C)
(3) ⊢ ¬¬A→A (4) ⊢A→ ¬¬A (5) ⊢ ¬A→(A→B)
(6) (CONTRAPOSIC¸ ˜AO)⊢(¬B→ ¬A)→(A→B) (7) (CONTRAPOSIC¸ ˜AO)⊢(A→B)→(¬B→ ¬A) SLIDE6.4. Exerc´ıcios
(1) (SILOGISMO DISJUNTIVO)A∨B,¬A⊢B
(2) (DILEMA CONSTRUTIVO)A→B, C→D⊢A∨C→B∨D (3) (EXPORTAC¸ ˜AO)A∨B→C⊢A→(B →C)
(4) (EXPORTAC¸ ˜AO)A→(B→C)⊢A∧B →C SLIDE6.5. Exerc´ıcios
(1) P →Q1∨Q2∨ · · · ∨Qn,¬Q1, . . . ,¬Qn−1⊢P →Qn
(2) P1→Q, . . . , Pn →Q⊢P1∧ · · · ∧Pn→Q
7. AULA7
SLIDE7.1. Teorema da Completude no C´alculo Proposicional
TEOREMA7.1. SejamLa teoria formal do C´alculo Proposicional (vide aulas anteriores) eL¯a linguagem proposicional cujos ´atomos s˜ao as letras proposicionais deL. Ent˜ao todo teorema deL´e uma tautologia deL.¯
TEOREMA7.2. (da Completude)
Toda tautologia deL¯ ´e um teorema deL.
SLIDE7.2. Teorema da Completude no C´alculo Proposicional
COROLARIO´ 7.1. SejaCuma express˜ao na qual figuram os conectivos¬,→,∧,∨,↔, a qual ´e uma abreviac¸˜ao de uma f´ormulaBdeL. Ent˜aoC ´e uma tautologia se, e somente se,B´e um teorema deL.
COROLARIO´ 7.2. L´e consistente, i.e. n ˜ao existe f´ormulaBtal queBe¬Bs˜ao teoremas deL.
9. AULA9 SLIDE9.1. Quantificadores
EXEMPLO(INFERENCIAS QUE Nˆ AO˜ “PERTENCEM”AOC ´ALCULOPROPOSICIONAL):
(1) Todo amigo de Marta ´e amigo de Joana. Pedro n˜ao ´e amigo de Joana. Logo, Pedro n˜ao ´e amigo de Marta.
(2) Todos humanos s˜ao racionais. Alguns animais s˜ao humanos. Logo, alguns animais s˜ao racionais.
(3) O sucessor de todo inteiro par ´e ´ımpar. 2 ´e par. Logo, o sucessor de 2 ´e ´ımpar.
SLIDE9.2. Quantificadores
EXEMPLO(INFERENCIAS QUE Nˆ AO˜ “PERTENCEM”AOC ´ALCULOPROPOSICIONAL):
1.: Todo amigo de Marta ´e amigo de Joana. Pedro n˜ao ´e amigo de Joana. Logo, Pedro n˜ao ´e amigo de Marta.
∀x
A(x, m)→A(x, j)
, ¬A(p, j)
¬A(p, m)
SLIDE9.3. Quantificadores
EXEMPLO(INFERENCIAS QUE Nˆ AO˜ “PERTENCEM”AOC ´ALCULOPROPOSICIONAL):
2.: Todos humanos s˜ao racionais. Alguns animais s˜ao humanos. Logo, alguns ani- mais s˜ao racionais.
∀x
H(x)→R(x)
, (∃x)(A(x)∧H(x)) (∃x)(A(x)∧R(x))
SLIDE9.4. Quantificadores
EXEMPLO(INFERENCIAS QUE Nˆ AO˜ “PERTENCEM”AOC ´ALCULOPROPOSICIONAL):
3.: O sucessor de todo inteiro par ´e ´ımpar. 2 ´e par. Logo, o sucessor de 2 ´e ´ımpar.
∀x
Z(x)∧P(x)→I(s(x))
, I(b)∧P(b)) I(s(b))
SLIDE9.5. Linguagens de 1a. Ordem
Uma linguagem de 1a. ordemLconsiste dos seguintes s´ımbolos:
(1) Conectivos proposicionais→,¬e o quantificador universal∀.
(2) S´ımbolos de Pontuac¸˜ao:(),
(3) Um conjunto enumer´avel de s´ımbolos,{xn|n∈N}, chamados vari´aveis.
SLIDE9.6. Linguagens de 1a. Ordem
(4) Um conjunto enumer´avel, possivelmente vazio, de s´ımbolos funcionais de L:
{fkn|n, k∈N}
(5) Um conjunto enumer´avel, possivelmente vazio, de constantes individuais deL:
{an|n∈N}
(6) Um conjunto enumer´avel, n˜ao-vazio, de s´ımbolos predicativos de L: {Pkn | n, k∈N}
SLIDE9.7. Linguagens de 1a. Ordem com Igualdade
Uma linguagem de primeira ordem diz-se uma linguagem de 1a. ordem com igual- dade se admitir o s´ımbolo predicativo bin´ario=.
SLIDE9.8. Exemplos de Linguagens de 1a. Ordem com Igualdade
LG: (LINGUAGEM DATEORIA DOSGRUPOS): um s´ımbolo funcional bin´ario (“·”) e uma constante individual (“e”).
LK: (LINGUAGEM DATEORIA DOS CORPOS): dois s´ımbolos funcionais bin´arios (“+”, “·”) e duas constantes individuais (“0”, “1”).
LKO: (LINGUAGEM DATEORIA DOSCORPOSORDENADOS): ´e obtida adicionando- se aLKo s´ımbolo predicativo bin´ario “<”.
SLIDE9.9. Exemplos de Linguagens de 1a. Ordem com Igualdade
LC: (LINGUAGEM DATEORIA DOSCONJUNTOS): um s´ımbolo predicativo bin´ario (“∈”).
LN: (LINGUAGEM DAARITMETICA DE´ 1A. ORDEM): ´e obtida adicionando-se a LKOo s´ımbolo funcional un´ario “S” (sucessor).
SLIDE9.10. Termos
Os termos de uma linguagem de 1a. ordemLs˜ao definidos indutivamente por:
T1: vari´aveis e constantes individuais deLs˜ao termos;
T2: sefkn´e um s´ımbolo funcional deLet1, . . . , tns˜ao termos deL, ent˜aofkn(t1, . . . , tn)
´e um termo deL.
SLIDE 9.11. F´ormulas As f´ormulas de uma linguagem de 1a. ordemL s˜ao definidas indutivamente por:
F1: se Pkn ´e um s´ımbolo predicativo de L e t1, . . . , tn s˜ao termos de L, ent˜ao Pkn(t1, . . . , tn)´e uma f´ormula deL(FORMULA AT´ OMICAˆ )
F2: seAeB s˜ao f´ormulas ex´e uma vari´avel de L, as seguintes express˜oes s˜ao f´ormulas deL:¬A,A → B, ∀x
A SLIDE9.12. Abreviac¸˜oes
(1) A ∧ B,A ∨ BeA ↔ Bs˜ao definidas como anteriormente;
(2) (∃x)B
´e uma abreviac¸˜ao para¬ (∀x)(¬B) .
SLIDE9.13. Convenc¸˜oes para Eliminar Parˆentesis Ser˜ao usadas as mesmas convenc¸˜oes
anteriores;∀e∃tˆem precedˆencia intermedi´aria entre¬,∧,∨e→,↔.
10. AULA10
SLIDE10.1. Interpretac¸˜oes de uma Linguagem de 1a. Ordem
SejaLuma linguagem de 1a. ordem. Uma interpretac¸˜aoMdeLconsiste de:
(1) Um conjunto n ˜ao-vazioD, chamado dom´ınio ou universo da interpretac¸˜ao.
(2) Para cada s´ımbolo predicativoAni deL, uma relac¸˜aon-´aria(Ani)M emD.
SLIDE10.2. Interpretac¸˜oes de uma Linguagem de 1a. Ordem
(3) Para cada s´ımbolo funcionalfin deL, uma operac¸˜ao n-´aria(fin)M emD, i.e.
uma aplicac¸˜ao(fin)M :Dn→D.
(4) Para cada constante individualaideL, um elemento(ai)M deD.
SLIDE10.3. Exemplos de Interpretac¸˜oes
(1) Em LN, tomamos a interpretac¸˜ao N com dom´ınioNe: (+)N, (·)N, (<)N a soma, multiplicac¸˜ao e relac¸˜ao de ordem usuais deN;0N .
= 0∈N,1N .
= 1∈N eSN :N→Ndada porn7→n+ 1.
(2) EmLG, a interpretac¸˜ao com dom´ınioNe(·)N dada por(a, b)7→sup{a, b}.
SLIDE10.4. Comprimento de uma F´ormula
DEFINIC¸ ˜AO 10.1. O comprimento de uma f´ormulaA deL, cp (A), define-se indutiva- mente por:
(1) seA´e atˆomica,cp (A) .
= 1;
(2) seA´e da formaB→C,cp (A) .
= cp (B) + cp (C);
(3) seA´e da forma¬Bou(∀x)B,cp (A) .
= cp (B) + 1.
SLIDE10.5. Vari´aveis Livres e Ligadas
DEFINIC¸ ˜AO10.2. Uma ocorrˆencia de uma vari´avelxnuma f´ormulaAdiz-se ligada se (i) for a ocorrˆencia dexem “(∀x)” ou (ii) ocorrer no escopo de “(∀x)”. Caso n ˜ao seja ligada, a ocorrˆencia diz-se livre.
Exemplo 10.1. (1) A21(x1, x2)→(∀x1)A11(x1) (2) (∀x1) A21(x1, x2)→(∀x1)A11(x1) SLIDE10.6. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO 10.3. SejaL uma linguagem de 1a. ordem eM uma interpretac¸˜ao de L.
Uma avaliac¸˜ao de vari´aveis ´e uma aplicac¸˜ao do conjunto das vari´aveis deLno conjunto universo deM. NOTAC¸ ˜AO: as avaliac¸˜oes ser˜ao denotadas por−→a,−→
b, etc.
SLIDE10.7. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO 10.4. Sejamt um termo e −→a uma avaliac¸˜ao de vari´aveis deL. Define-se t(−→a)(leia-se: “valor detem−→a”) indutivamente por:
(1) set´e a vari´avelxn,t(−→a) .
=−→a(xn);
(2) set´e a constante individualc,t(−→a) .
=cM; (3) set´e da formaf(t1, . . . , tn),t(−→a) .
=fM t1(−→a), . . . , tn(−→a) . SLIDE10.8. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO 10.5 (satisfatibilidade). Sejam L uma linguagem de 1a. ordem, M uma interpretac¸˜ao deL, −→a uma avaliac¸˜ao de vari´aveis e A uma f´ormula deL. Define-se por induc¸˜ao no comprimento de A que a avaliac¸˜ao−→a satisfaz A em M (NOTAC¸ ˜AO: M |=A[−→a]) por:
SLIDE10.9. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
(1) seA´e atˆomica, da formaR(t1, . . . , tn),M |=A[−→a]seRM t1(−→a), . . . , tn(−→a) . (2) seA´e da forma¬B,M |=A[−→a]se n ˜ao se tem queM |=B[−→a];
(3) seA´e da formaB→C,M |=A[−→a]seM |=¬B[−→a]ouM |=C[−→a];
(4) seA´e da forma(∀x)B,M |=A[−→a]se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→ a′ que coincide com−→a exceto (possivelmente) na vari´avelx, tem-seM |=B[−→
a′].
SLIDE10.10. Exerc´ıcios
(1) Mostre que, se duas avaliac¸˜oes−→a e−→
b coincidem no conjunto das vari´aveis de um termot, ent˜aot(−→a) =t(−→
b).
(2) SejamAuma f´ormula deL,M uma interpretac¸˜ao,−→a e−→
b duas avaliac¸˜oes que coincidem nas vari´aveis livres deA. Ent˜aoM |=A[−→a]se, e somente se,M |= A[−→
b].
11. AULA11 SLIDE11.1. F´ormulas V´alidas numa Interpretac¸˜ao
DEFINIC¸ ˜AO11.1. SejamM uma interpretac¸˜ao de uma linguagem de 1a. ordemLeA uma f´ormula deL. Diz-se que:
• A´e v ´alida emM(NOTAC¸ ˜AO:M |=A) se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, tem-seM |=A[−→a].
• A ´e contra-v ´alida emM se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, n ˜ao se tem M |=A[−→a].
• M ´e um modelo para um conjunto de L-f´ormulasΓ se toda f´ormula de Γ for v´alida emM.
SLIDE11.2. Propriedades das Noc¸˜oes de Satisfatibilidade e Validade
(1) (a) A´e v´alida emMse, e somente se,¬A´e contra-v´alida emM; (b) A´e contra-v´alida emMse, e somente se,¬A´e v´alida emM. (2) Nenhuma f´ormula ´e v´alida e contra-v´alida emM.
(3) SeM |=AeM |=A→B, ent˜aoM |=B.
(4) A→B´e contra-v´alida emM se, e somente se,M |=AeM |=¬B.
SLIDE11.3. Propriedades (cont.)
(5) SejamM uma interpretac¸˜ao com universoD e−→a uma avaliac¸˜ao de vari´aveis.
Tem-se:
(a) M |=A∧B[−→a]se, e somente se,M |=A[−→a]eM |=B[−→a];
(b) M |=A∨B[−→a]se, e somente se,M |=A[−→a]ouM |=B[−→a];
(c) M |=A ↔ B[−→a]se, e somente se,−→a satisfaz simultaneamenteAeB ou n ˜ao satisfaz ambas emM.
(d) M |= (∃x)A[−→a] se, e somente se, existe −→
a′ que coincide com−→a exceto (possivelmente) emxtal queM |=A[−→
a′].
SLIDE11.4. Propriedades (cont.)
(6) M |=Ase, e somente se,M |= (∀x)A.
(7) Toda quasi-tautologia (i.e. uma f´ormula deLobtida a partir de uma tautologia do c´alculo proposicional por substituic¸˜oes de f´ormulas deLno lugar dos ´atomos)
´e v´alida em qualquer interpretac¸˜ao deL.
12. AULA13 SLIDE12.1. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO12.1. SejamLuma linguagem de 1a. ordem eMuma interpretac¸˜ao deLcom universoD. Denote porA(x1, . . . , xn)uma f´ormula deLcujas vari´aveis livres pertencem ao conjunto{x1, . . . , xn}, e seja(a1, . . . , an)∈Dn. Diz-se queM |=A[a1, . . . , an]se, para alguma avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a tal que −→a(xi) = ai para 1 6 i 6 n, tem-se M |=A[−→a].
SLIDE12.2. F´ormulas V´alidas numa Interpretac¸˜ao
DEFINIC¸ ˜AO12.2. SejamM uma interpretac¸˜ao de uma linguagem de 1a. ordemLeA uma f´ormula deL. Diz-se que:
• A´e v ´alida emM(NOTAC¸ ˜AO:M |=A) se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, tem-seM |=A[−→a].
• A ´e satisfat´ıvel em M se existir uma avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, tal queM |= A[−→a].
• A ´e contra-v ´alida emM se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, n ˜ao se tem M |=A[−→a].
SLIDE12.3. Exerc´ıcios
Estudar a satisfatibilidade das seguintes f´ormulas de LKO na interpretac¸˜ao “stan- dard”:
(1) x >0
(2) x2>0∨x= 0 (3) x2<0
(4) (∀x)x < y (5) (∃x)x < y (6) (∀x)(∃y)x=y (7) (∃y)(∀x)x=y
SLIDE12.4. Relac¸˜oes Definidas por F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO12.3. SejamLuma linguagem de 1a. ordem,Muma interpretac¸˜ao deLcom universoDeA(x)uma f´ormula deLna qual figura uma ´unica vari´avel livre,x. O con- junto verdade ou a relac¸˜ao 1-´aria definida porA(x)na interpretac¸˜aoM ´e o subconjunto deDdado por{a∈D|M |=A[a]}.
SLIDE12.5. Relac¸˜oes Definidas por F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO 12.4. SejamL uma linguagem de 1a. ordem,M uma interpretac¸˜ao deL com universoD eA(x1, . . . , xn)uma f´ormula deLna qual figuram as vari´aveis livres x1, . . . , xn. A relac¸˜aon-´aria definida porA(x1, . . . , xn)na interpretac¸˜aoM ´e o subcon- junto deDndado por{(a1, . . . , an)∈Dn|M |=A[a1, . . . , an]}.
13. AULA14 SLIDE13.1. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO 13.1 (satisfatibilidade). Sejam L uma linguagem de 1a. ordem, M uma interpretac¸˜ao deL, −→a uma avaliac¸˜ao de vari´aveis e A uma f´ormula deL. Define-se por induc¸˜ao no comprimento de A que a avaliac¸˜ao−→a satisfaz A em M (NOTAC¸ ˜AO: M |=A[−→a]) por:
SLIDE13.2. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
(1) seA´e atˆomica, da formaR(t1, . . . , tn),M |=A[−→a]seRM t1(−→a), . . . , tn(−→a) . (2) seA´e da forma¬B,M |=A[−→a]se n ˜ao se tem queM |=B[−→a];
(3) seA´e da formaB→C,M |=A[−→a]seM |=¬B[−→a]ouM |=C[−→a];
(4) seA´e da forma(∀x)B,M |=A[−→a]se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→ a′ que coincide com−→a exceto (possivelmente) na vari´avelx, tem-seM |=B[−→
a′].
SLIDE13.3. Exerc´ıcios
(1) Mostre que, se duas avaliac¸˜oes−→a e−→
b coincidem no conjunto das vari´aveis de um termot, ent˜aot(−→a) =t(−→
b).
(2) SejamAuma f´ormula deL,M uma interpretac¸˜ao,−→a e−→
b duas avaliac¸˜oes que coincidem nas vari´aveis livres deA. Ent˜aoM |=A[−→a]se, e somente se,M |= A[−→
b].
SLIDE13.4. A Definic¸˜ao de Verdade de Tarski
DEFINIC¸ ˜AO13.2. SejamLuma linguagem de 1a. ordem eMuma interpretac¸˜ao deLcom universoD. Denote porA(x1, . . . , xn)uma f´ormula deLcujas vari´aveis livres pertencem ao conjunto{x1, . . . , xn}, e seja(a1, . . . , an)∈Dn. Diz-se queM |=A[a1, . . . , an]se, para alguma avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a tal que −→a(xi) = ai para 1 6 i 6 n, tem-se M |=A[−→a].
SLIDE13.5. F´ormulas V´alidas numa Interpretac¸˜ao
DEFINIC¸ ˜AO13.3. SejamM uma interpretac¸˜ao de uma linguagem de 1a. ordemLeA uma f´ormula deL. Diz-se que:
• A´e v ´alida emM(NOTAC¸ ˜AO:M |=A) se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, tem-seM |=A[−→a].
• A ´e satisfat´ıvel em M se existir uma avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, tal queM |= A[−→a].
• A ´e contra-v ´alida emM se, para toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a, n ˜ao se tem M |=A[−→a].
SLIDE 13.6. Exerc´ıcios Estudar a satisfatibilidade das seguintes f´ormulas deLKO no modelo “standard” dos n ´umeros reais (ondexeys˜ao vari´aveis):
(1) x >0
(2) x2>0∨x= 0 (3) x2<0
(4) (∀x)x < y (5) (∃x)x < y (6) (∀x)(∃y)x=y (7) (∃y)(∀x)x=y
SLIDE13.7. Relac¸˜oes Definidas por F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO13.4. SejamLuma linguagem de 1a. ordem,Muma interpretac¸˜ao deLcom universoDeA(x)uma f´ormula deLna qual figura uma ´unica vari´avel livre,x. O con- junto verdade ou a relac¸˜ao 1-´aria definida porA(x)na interpretac¸˜aoM ´e o subconjunto deDdado por{a∈D|M |=A[a]}.
SLIDE13.8. Relac¸˜oes Definidas por F´ormulas
DEFINIC¸ ˜AO 13.5. SejamL uma linguagem de 1a. ordem,M uma interpretac¸˜ao deL com universoD eA(x1, . . . , xn)uma f´ormula deLna qual figuram as vari´aveis livres x1, . . . , xn. A relac¸˜aon-´aria definida porA(x1, . . . , xn)na interpretac¸˜aoM ´e o subcon- junto deDndado por{(a1, . . . , an)∈Dn|M |=A[a1, . . . , an]}.
SLIDE13.9. F´ormulas V´alidas (cont.)
DEFINIC¸ ˜AO13.6. SejaLuma linguagem de 1a. ordem. Diz-se que:
• Uma interpretac¸˜aoM ´e um modelo para um conjunto deL-f´ormulasΓse toda f´ormula deΓfor v´alida emM.
• Uma f´ormulaAdeL´e logicamente v ´alida seAfor v´alida em toda interpretac¸˜ao deL, e contradit´oria ou contra-v ´alida se¬Afor logicamente v´alida. NOTAC¸ ˜AO:
|=AparaAlogicamente v´alida.
SLIDE13.10. F´ormulas V´alidas (cont.)
• Uma f´ormulaAdeL ´e satisfat´ıvel se existir uma interpretac¸˜aoM deLe uma avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a tais queM |=A[−→a].
• Um conjuntoΓde f´ormulas deLimplica logicamente uma f´ormulaAse, para toda interpretac¸˜aoM e toda avaliac¸˜ao de vari´aveis−→a tais que−→a satisfaz emM toda f´ormula deΓ, tem-seM |=A[−→a].
• Duas f´ormulasA e B de L s˜ao logicamente equivalentes se cada uma delas implica logicamente a outra.
SLIDE13.11. Propriedades das Noc¸˜oes de Satisfatibilidade e Validade SejamLuma linguagem de 1a. ordem eM uma interpretac¸˜ao deL. Tem-se:
(1) (a) A´e v´alida emMse, e somente se,¬A´e contra-v´alida emM; (b) A´e contra-v´alida emMse, e somente se,¬A´e v´alida emM. (2) Nenhuma f´ormula ´e v´alida e contra-v´alida emM.
(3) SeM |=AeM |=A→B, ent˜aoM |=B.
(4) A→B´e contra-v´alida emM se, e somente se,M |=AeM |=¬B.
SLIDE13.12. Propriedades (cont.)
(5) SejamM uma interpretac¸˜ao com universoD e−→a uma avaliac¸˜ao de vari´aveis.
Tem-se:
(a) M |=A∧B[−→a]se, e somente se,M |=A[−→a]eM |=B[−→a];
(b) M |=A∨B[−→a]se, e somente se,M |=A[−→a]ouM |=B[−→a];
(c) M |=A ↔ B[−→a]se, e somente se,−→a satisfaz simultaneamenteAeB ou n ˜ao satisfaz ambas emM.
(d) M |= (∃x)A[−→a] se, e somente se, existe −→
a′ que coincide com−→a exceto (possivelmente) emxtal queM |=A[−→
a′].
SLIDE13.13. Propriedades (cont.)
(6) M |=Ase, e somente se,M |= (∀x)A.
(7) Toda quasi-tautologia (i.e. uma f´ormula deLobtida a partir de uma tautologia do c´alculo proposicional por substituic¸˜oes de f´ormulas deLno lugar dos ´atomos)
´e v´alida em qualquer interpretac¸˜ao deL.
SLIDE13.14. Termo Livre para uma Vari´avel
Notac¸˜ao. SejamLuma linguagem de 1a. ordem ex1, . . . , xn vari´aveis deL. A notac¸˜ao A(x1, . . . , xn)ser´a usada para denotar uma f´ormulaAdeLna qual podem ocorrer livres as vari´aveisx1, . . . , xn. Esta notac¸˜ao ´e ´util para efeito da seguinte:
SLIDE13.15. Termo Livre para uma Vari´avel
DEFINIC¸ ˜AO13.7. SejaLuma linguagem de 1a. ordem,A(x1, . . . , xn)uma f´ormula de L, et1, . . . , tntermos deL. Denotar-se-´a porA(t1, . . . , tn)a f´ormula obtida a partir de A(x1, . . . , xn)por substituic¸˜ao de todas as ocorrˆencias livres dexiporti, para16i6 n.
PERGUNTA: SeB(xi)for uma f´ormula deL, qual a condic¸˜ao a ser colocada sobre um termotdeLpara que a substituic¸˜ao das ocorrˆencias livres dexiemB(xi)portn˜ao gere novas vari´aveis ligadas?
SLIDE13.16. Termo Livre para uma Vari´avel
DEFINIC¸ ˜AO13.8. SejamLuma linguagem de 1a. ordem,tum termo,xiuma vari´avel e A(xi)uma f´ormula deL. Diz-se quet´e livre paraxiemA(xi)se, para toda vari´avely que ocorre emt, nenhuma ocorrˆencia livre dexiemA(xi)pertence ao escopo de(∀y).
SLIDE13.17. Termo Livre para uma Vari´avel Decorre imediatamente da ´ultima definic¸˜ao
que:
• xi´e livre paraxiem qualquer f´ormula;
• set´e um termo no qual n ˜ao ocorrem vari´aveis, ou se nenhuma vari´avel detocorre quantificada emA(xi), ent˜aot´e livre paraxiemA(xi);
• se todas as ocorrˆencias dexiemA(xi)s˜ao ligadas, ent˜ao qualquer termo ´e livre paraxiemA(xi).
SLIDE13.18. Exerc´ıcios EmLKO, sejamt1=x1et2= (x1+ 1)·x2. Decida set1et2 s˜ao livres para cada uma das vari´aveis que figuram nas seguintes f´ormulas:
(1) x1< x2·x3
(2) (∀x1)x1< x2·x3
(3) (∀x1)(∃x2)x1< x2·x3
SLIDE13.19. Mais Propriedades das Noc¸˜oes de Satisfatibilidade e Validade SejamLuma linguagem de 1a. ordem. Tem-se:
(8) SeA´e uma sentenc¸a fechada (i.e. uma f´ormula sem vari´aveis livres), ent˜ao, dada M interpretac¸˜ao deL, ouM |=AouM |=¬A.
(9) SejamB(xi)uma f´ormula etum termo livre paraxi. Ent˜ao|= (∀xi)B(xi) → B(t).
(10) |= (∀xi)(B→C)→ B→(∀xi)C
sexin ˜ao ocorre livre emB. SLIDE13.20. Exerc´ıcios Mostre que, numa linguagem de 1a. ordem:
(1) Aimplica logicamenteBse, e somente se,|=A→B.
(2) A´e logicamente equivalente aBse, e somente se,|=A↔B.
(3) |=B(t)→(∃xi)B(xi)setfor um termo livre paraxi. (4) |= (∀xi)B→(∃xi)B.
(5) |= (∀xi)(∀xj)B↔(∀xj)(∀xi)B. (6) |= (∃xi)(∃xj)B↔(∃xj)(∃xi)B.
(7) |= (∀xi)(B→C)→ (∀xi)B →(∀xi)C . 14. AULA15 SLIDE14.1. Teorias de 1a. Ordem
DEFINIC¸ ˜AO14.1. SejaLuma linguagem de 1a. ordem. Uma teoria de 1a. ordemKna linguagemL´e uma teoria formal, cujos s´ımbolos e f´ormulas s˜ao os mesmos deL, e cujos axiomas e regras de inferˆencia s˜ao especificados conforme abaixo.
• Axiomas L´ogicos. Para quaisquer f´ormulasA,B,CdeL:
(A1): A →(B → A) (A2): A →(B → C)
→ (A → B)→(A → C) SLIDE14.2. Teorias de 1a. Ordem
(A3): (¬A → ¬B)→ (¬A → B)→ A
(A4): (∀xi)B(xi)→ B(t)setfor livre paraxiemB(xi) (A5): (∀xi)(B → C)→ B →(∀xi)C
sexin ˜ao ocorrer livre emB.
SLIDE14.3. Teorias de 1a. Ordem
• Axiomas pr´oprios. S˜ao espec´ıficos de cada teoria.
• Regras de Inferˆencia:
MP: A,A → B B
Gen: A
(∀xi)A
SLIDE14.4. C´alculo de Predicados de 1a. Ordem, Modelos
DEFINIC¸ ˜AO14.2. Uma teoria de 1a. ordem que n ˜ao possui axiomas pr´oprios (i.e. s´o tem os 5 esquemas de axiomas l´ogicos) chama-se um c´alculo de predicados de 1a. ordem.
DEFINIC¸ ˜AO14.3. SejaKuma teoria de 1a. ordem na linguagemL. Um modelo deK´e uma interpretac¸˜ao deKna qual todos os axiomas deKs˜ao v´alidos.
SLIDE14.5. Exemplos de Teorias de 1a. Ordem
• Ordem Parcial.L: um s´ımbolo predicativo bin´ario<. Axiomas pr´oprios:
O1:: (∀x1)¬x1< x1
O2:: (∀x1)(∀x2)(∀x3)(x1< x2∧x2< x3→x1< x3)
Um modelo desta teoria chama-se uma estrutura parcialmente ordenada.
SLIDE14.6. Exemplos de Teorias de 1a. Ordem
• Teoria dos Grupos.L: um s´ımbolo funcional bin´ario+, uma constante individ- ual0, um s´ımbolo predicativo bin´ario=. Axiomas pr´oprios:
G1:: (∀x1)(∀x2)(∀x3)(x1+x2) +x3=x1+ (x2+x3) G2:: (∀x1)0 +x1=x1
G3:: (∀x1)(∃x2)x2+x1= 0
SLIDE14.7. Exemplos de Teorias de 1a. Ordem
=1:: (∀x1)x1=x1
=2:: (∀x1)(∀x2)(x1=x2→x2=x1)
=3:: (∀x1)(∀x2)(∀x3)(x1=x2∧x2=x3→x1=x3)
=4:: (∀x1)(∀x2)(∀x3)(x2=x3→x1+x2=x1+x3∧x2+x1=x3+x1)
Um modelo para esta teoria, na qual a interpretac¸˜ao de “=” ´e a relac¸˜ao de identidade no universo, chama-se um grupo. O grupo diz-se abeliano se tamb´em satisfizer o axioma (G3)(∀x1)(∀x2)x1+x2=x2+x1.
SLIDE14.8. Propriedades das Teorias de 1a. Ordem
PROPOSIC¸ ˜AO14.1. Todo teorema de uma teoria de 1a. ordemK ´e v´alido em qualquer modelo deK.
PROPOSIC¸ ˜AO14.2. SejamKuma teoria de 1a. ordem eAuma quasi-tautologia deK.
Ent˜aoA ´e um teorema deKe pode ser demonstrada usando-se apenas os esquemas de axiomas (A1) a (A3) e (MP).
SLIDE14.9. Propriedades das Teorias de 1a. Ordem
PROPOSIC¸ ˜AO14.3. Todo teorema de um c´alculo de predicados de 1a. ordem ´e logica- mente v´alido.
DEFINIC¸ ˜AO 14.4. Uma teoria de 1a. ordem K diz-se consistente se, para qualquer f´ormulaAdeK, seAe¬An ˜ao s˜ao ambos teoremas deK.
COROLARIO´ 14.1. Todo c´alculo de predicados de 1a. ordem ´e consistente.
SLIDE14.10. Dependˆencia de F´ormulas numa Deduc¸˜ao Formal
DEFINIC¸ ˜AO14.5. SejamK uma teoria de 1a. ordem,Auma f´ormula pertencente a um conjuntoΓde f´ormulas deK, e(A1, . . . , An)uma deduc¸˜ao emKa partir deΓ, com uma justificativa em cada passo da deduc¸˜ao. Diz-se que, nesta deduc¸˜ao,Aidepende deA, se uma das seguintes condic¸˜oes ocorrer:
(1) Ai ´eAe a justificativa ´e “Aipertence aΓ”.
(2) Ai ´e obtida por (MP) ou (Gen) de f´ormulas anteriores da seq ¨uˆencia, com pelo menos uma das quais depende deA.
SLIDE14.11. Exemplo
TomeΓ ={A,(∀x1)A → B}, e a seguinte deduc¸˜ao a partir deΓ:
(A1): A(hip.)
(A2): (∀x1)A(Gen, de A1) (A3): (∀x1)A → B(hip.) (A4): B(MP, de A2 e A3) (A5): (∀x1)B(Gen, de A4)
A1 depende deA, A2 depende deA, A3 depende de(∀x1)A → B, A4 e A5 dependem de ambas.
SLIDE14.12. Teorema da Deduc¸˜ao
PROPOSIC¸ ˜AO14.4. SejamKuma teoria de 1a. ordem,Γum conjunto de f´ormulas,AeB f´ormulas deK. Se, numa deduc¸˜ao mostrando queΓ,A ⊢K B,Bn ˜ao depende deA, ent˜ao Γ⊢KB.
TEOREMA14.1. SejamKuma teoria de 1a. ordem,Γum conjunto de f´ormulas,AeB f´ormulas deK. Se, numa deduc¸˜ao mostrando queΓ,A ⊢K Bn ˜ao se aplica (Gen) a uma f´ormula que depende deAcom vari´avel quantificada livre emA, ent˜aoΓ⊢K A → B.
SLIDE14.13. Teorema da Deduc¸˜ao
COROLARIO´ 14.2. SejamKuma teoria de 1a. ordem,Γum conjunto de f´ormulas,AeB f´ormulas deK. Se, numa deduc¸˜ao mostrando queΓ,A ⊢K Bn ˜ao se aplica (Gen) a uma f´ormula com vari´avel quantificada livre emA, ent˜aoΓ⊢KA → B.
SLIDE14.14. Teorema da Deduc¸˜ao
Observac¸˜ao 14.1. ´E poss´ıvel mostrar que, no teorema da deduc¸˜ao (bem como na proposic¸˜ao que o precede), podemos tomar uma deduc¸˜ao deΓ ⊢K A → B (ou de Γ ⊢K B, na proposic¸˜ao) que satisfaz a seguinte propriedade: ocorre nesta deduc¸˜ao uma aplicac¸˜ao de (Gen) a uma f´ormula que depende de uma f´ormulaCse, e somente se, na deduc¸˜ao original deΓ,A ⊢K Bj´a ocorria uma tal aplicac¸˜ao, com a mesma vari´avel quantificada. Esta observac¸˜ao ´e ´util para aplicac¸˜oes do teorema da deduc¸˜ao em “cascata”.
SLIDE14.15. Exerc´ıcios
SejaKuma teoria de 1a. ordem. Mostre que:
(1) ⊢(∀x1)(∀x2)A →(∀x2)(∀x1)A (2) ⊢(∀x)(A → B)→ (∀x)A →(∀x)B (3) ⊢(∀x)(A → B)→ (∃x)A →(∃x)B (4) ⊢(∀x)(A ∧ B)↔ (∀x)A ∧(∀x)B (5) ⊢(∀x1). . .(∀xn)A → A
(6) ⊢ ¬(∀x)A →(∃x)¬A
15. AULA16
SLIDE15.1. Teoremas e Regras de Inferˆencias Derivadas Adicionais
Particularizac¸˜ao: (∀x)A(x)⊢A(t)setlivre paraxemA(x).
Regra Existencial: A(t, t)⊢(∃x)A(x, t)setlivre paraxemA(x, t).
Eliminac¸˜ao de Negac¸˜ao: ¬¬A ⊢ A Introduc¸˜ao de Negac¸˜ao: A ⊢ ¬¬A
SLIDE15.2. Teoremas e Regras de Inferˆencias Derivadas Adicionais
Eliminac¸˜ao de Conjunc¸˜ao: • A ∧ B ⊢ A
• A ∧ B ⊢ B
• ¬(A ∧ B)⊢ ¬A ∨ ¬B
Introduc¸˜ao de Conjunc¸˜ao: A,B ⊢ A ∧ B Eliminac¸˜ao de Disjunc¸˜ao: • A ∨ B,¬A ⊢ B
• A ∨ B,¬B ⊢ A
• ¬(A ∨ B)⊢ ¬A ∧ ¬B
• A → C,B → C,A ∨ B ⊢ C
SLIDE15.3. Teoremas e Regras de Inferˆencias Derivadas Adicionais
Introduc¸˜ao de Disjunc¸˜ao: • A ⊢ A ∨ B
• B ⊢ A ∨ B
Eliminac¸˜ao de Condicional: • A → B,¬B ⊢ A
• A → ¬B,B ⊢ A
• ¬A → B,¬B ⊢ A
• ¬A → ¬B,B ⊢ A
Contraposic¸˜ao: • A → B ⊢ ¬B → ¬A
• ¬A → ¬B ⊢ B → A
SLIDE15.4. Teoremas e Regras de Inferˆencias Derivadas Adicionais
Eliminac¸˜ao de Bicondicional: • A ↔ B,B ⊢ A
• A ↔ B,A ⊢ B
• A ↔ B,¬B ⊢ ¬A
• A ↔ B,¬A ⊢ ¬B
• A ↔ B ⊢(A → B)∧(B → A)
Introduc¸˜ao de Bicondicional: A → B,B → A ⊢ A ↔ B
Prova por Contradic¸˜ao: SeΓ,¬A ⊢ B ∧ ¬Be na deduc¸˜ao n˜ao se aplica (Gen) com vari´avel quantificada livre emA, ent˜aoΓ⊢ A.
SLIDE15.5. Teoremas da Equivalˆencia e da Substituic¸˜ao
PROPOSIC¸ ˜AO 15.1. Sejam C uma subf´ormula de B, e B′ a f´ormula obtida de B por substituic¸˜ao de uma ou mais ocorrˆencias de C porD. Suponha que todas as vari´aveis livres deCouDque sejam vari´aveis ligadas emBestejam na lista{y1, . . . , yk}. Tem-se:
(1) ⊢ (∀y1). . .(∀yk)(C ↔ D)
→(B ↔ B′)(TEOREMA DA EQUIVALENCIAˆ ) (2) Se⊢ C ↔ D, ent˜ao⊢ B ↔ B′(TEOREMA DA SUBSTITUIC¸ ˜AO)
SLIDE15.6. Exerc´ıcios
Verifique que, numa teoria de 1a. ordem:
(1) ⊢ ¬(∃x)B ↔(∀x)¬B (2) ⊢(∀x)B →(∀x)(B ∨ C)
Assuma quexn ˜ao ocorre livre emB. Ent˜ao:
(1) ⊢ B →(∀x)B (2) ⊢ B →(∃x)B (3) ⊢ B →(∀x)C
↔(∀x)(B → C) (4) ⊢ (∃x)C → B
↔(∀x)(C → B) SLIDE15.7. Exerc´ıcios(cont.)
(1) ⊢(∃x)¬B ↔ ¬(∀x)B (2) ⊢(∃x) B → ¬(C ∨ D)
↔(∃x)(B → ¬C ∧ ¬D) (3) ⊢(∀x)(∃y)(B → C)↔(∀x)(∃y)(¬B ∨ C)
SLIDE15.8. Regra CMotivac¸˜ao: (∃x) B(x)→ C(x)
,(∀x)B(x)⊢(∃x)C(x) A1: (∃x) B(x)→ C(x)
(hip.) A2: (∀x)B(x)(hip.)
A3: B(d)→ C(d)(de A1, “escolhendo umd”) A4: (∀x)B(x)→ B(d)(axioma IV)
A5: B(d)((MP), de A2 e A4) A6: C(d)((MP), de A3 e A5)
A7: C(d)→(∃x)C(x)(regra existencial) A8: (∃x)C(x)((MP), de A6 e A7) SLIDE15.9. Regra C
DEFINIC¸ ˜AO15.1. Uma deduc¸ ˜ao usando a regra C numa teoria de 1a. ordemK, de uma f´ormulaBa partir de um conjunto de f´ormulasΓ(NOTAC¸ ˜AO:Γ⊢CB), ´e uma seq¨uˆencia de f´ormulas(B1, . . . , Bn), comBn=B, tal que as seguintes condic¸˜oes s˜ao satisfeitas:
SLIDE15.10. Regra C
(1) Para cadai∈ {1, . . . , n}, uma das seguintes condic¸˜oes ´e satisfeita:
(a) Ai ´e um axioma deKouAi∈Γ.
(b) Ai ´e obtida por (MP) ou (Gen) a partir de f´ormulas anteriores da seq ¨uˆencia.
(c) existe j < i tal que Aj = (∃x)C(x) e Ai = C(d), onde d ´e uma nova constante individual (regra C).
SLIDE15.11. Regra C
(2) Ao ser aplicada a regra C, a constante individual introduzida passa a fazer parte da linguagem, i.e. estamos estendendo a linguagem deK. Portanto, nas f´ormulas seguintes da seq ¨uˆencia, esta constante pode ser usada nos esquemas de axiomas.
(3) Nenhuma aplicac¸˜ao de (Gen) ´e feita com vari´avel quantificada livre numa f´ormula (∃x)C(x)`a qual tenha sido aplicada a regra C anteriormente.
(4) As constantes individuais novas n ˜ao figuram emB.
SLIDE15.12. Regra C
PROPOSIC¸ ˜AO15.2. SeΓ⊢C B, ent˜aoΓ⊢ B. Al´em disso, ´e poss´ıvel tomar uma deduc¸˜ao deΓ⊢ Bsatisfazendo a seguinte propriedade: se, nesta deduc¸˜ao, ocorrer uma aplicac¸˜ao de (Gen) a uma f´ormula que dependa de uma f´ormulaD, com vari´avel quantificadax, ent˜ao isto j´a acontecia na deduc¸˜ao original deΓ⊢CB.
SLIDE15.13. Exerc´ıcios
Verifique que, numa teoria de 1a. ordem:
(1) ⊢(∀x) B(x)→ C(x)
→ (∃x)B(x)→(∃x)C(x) (2) ⊢(∃x) B(x)→ C(x)
→ (∀x)B(x)→(∃x)C(x) (3) ⊢ ¬(∃y)(∀x) A21(x, y)↔ ¬A21(x, x)
16. AULA17 SLIDE16.1. Teorias com Igualdade
DEFINIC¸ ˜AO16.1. SejaK uma teoria de 1a. ordem que possui um s´ımbolo predicativo bin ´ario “=”. Diz-se queK ´e uma teoria de 1a. ordem com igualdade se as seguintes f´ormulas forem teoremas deK:
A6: (∀x1)x1=x1
A7: x=y→ B(x, x)→ B(x, y)
seylivre paraxemB(x, x)eB(x, y)se obt´em deB(x, x)por substituic¸˜ao de algumas das ocorrˆencias livres dexpory.
SLIDE16.2. Teorias com Igualdade
PROPOSIC¸ ˜AO16.1. Em toda teoria com igualdade, tem-se:
(1) ⊢t=t(para qualquer termot)
(2) ⊢t=s→s=t(para quaisquer termosset)
(3) ⊢t=s→(s=r→t=r)(para quaisquer termosr,set)
