CDG Controle Digital Parte 1 Sistemas discretos

(1)

Parte 1 – Sistemas discretos

Prof. Dr. Paulo Dainez Prof. Dr. Paulo Dainez

e-mail: dainez@ifsp.edu.br paulo_s_dainez@hotmail.com

CV:

http://lattes.cnpq.br/3890657801844423

https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Dainez

(2)

Calendário

Ago: 01 08 15 22 29 Set: 05 12 19 26

Out: 03 10 17 24 31 Nov: 07 14 21 28

Dez: 05 12

- Prova 1 (P1): 26/Set - Prova 2 (P2): 28/Nov - Trabalho (T)

- IFA: 12/Dez Dez: 05 12

- MF=0,3.P1+0,3.P2+0,4.T

Feriados: (3

^ª

Feira)

• 22/08 – Recesso (exercícios)

• MF ≥ 6 → Aprovado

• 6 > MF ≥ 4 → Exame

• MF < 4 → Reprovado

• Frequência deve ser maior ou

igual a 75%

(3)

Ementa Resumida

• Analise de sinais e sistemas de tempo discreto

• Transformada Z

• Projeto de controladores digitais

• Pré-requisitos:

– Transformada de Laplace e Fourier

– Sistemas de Controle I e II

(4)

Bibliografia

• Benjamin C. Kuo. Digital Control System

• Richard C. Dorf e Robert H. Bishop. Sistemas

de Controle Modernos.

(5)

Sistema de Controle Analógico

Controle Planta

G

_C

(s) G

_P

(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

G

_S

(s)

s(t)

Contínuo Contínuo

(6)

Sistema de Controle Digital

Controle Planta

G

_C

(z) G

_P

(s)

r[k] e[k] u[k] y(t)

D/A u(t)

G

_S

(s)

s(t)

Discreto Contínuo

s[k] A/D

(7)

Implementação

• PI Analógico

Os ganhos são determinados pelos valores do

resistores e capacitores: R

₁

, R

₂

, R

₃

, R

₄

e C

₁

(8)

Implementação

• PI Digital

Ganhos são determinados por variáveis no programa: k0 e k1

INICIALIZAÇÃO

Define u0, u1, e0, e1, y, r, k0,k1 Configura TIMER ou PWM

Configura TIMER ou PWM u1=0; e1=0; k0=0,5; k1=1,5 Loop; %loop infinito

INTERRUPÇÃO TIMER ou PWM y=input(AD1) %entrada 1 r=input(AD2) %entrada 2 u0=u1 %atualiza variavel e0=e1 %atualiza variavel e1=r-y %Calcula erro u1=u0+k1*e1+k0*e0 %PI

(9)

Vantagens e desvantagens

Facilidade de Projeto Desempenho

Flexibilidade

Analógico +

+ - -

Digital + -

+ Flexibilidade + +

Sensibilidade ao ruído,

temperatura, componentes Complexidade da lei de

controle

Incorporar funções

(calibração, proteção, ...)

- - - - - -

+

+ +

(10)

Projeto de controladores SISO

• Analógicos:

– Projeto clássico (Controle I e II)

• Digital:

– Projeto em tempo contínuo – Projeto em tempo contínuo – Projeto em tempo discreto

– Projeto em tempo contínuo/discreto

(11)

Projeto de controle analógico

Etapas:

• Modelar a planta

• Definir especificações do controle

• Definir tipo do controlador

• Projeto dos ganhos do controlador

• Projeto do circuito para implementar o

controle

(12)

Projeto de controle analógico

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(s) G

_P

(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

s(t)

Contínuo Contínuo

(13)

Projeto de controle analógico

• Modelar a planta:

R_a – Resistência L_a – Indutância

e_a – Força contra-eletro- motriz

motriz

i_a – Corrente do motor v_a – Tensão de entrada J – Momento de inercia b – amortecimento ω – Velocidade angular T_e – Torque eletromagné-

tico

T_l - Torque de carga

(14)

Projeto de controle analógico

• Definir especificações do controle:

– Erro nulo em regime permanente

– Máximo sobre sinal de 20% para entrada degrau – Tempo de acomodação de 125% que o de MA – Tempo de acomodação de 125% que o de MA

• Definir tipo do controlador:

– PI

(15)

Projeto de controle analógico

• Projeto dos ganhos do controlador

x

Plano s

x x

Lugar das raízes Determinar k_p e k_i

(16)

Projeto de controle analógico

• Projetar o circuito:

r(t)

y(t)

e(t)

Somador

e(t) u(t)

PI

y(t)

(17)

tempo Contínuo (redesign)

Etapas:

• Modelar a planta + D/A

• Definir especificações do controle

• Definir tipo do controlador analógico

• Projeto dos ganhos do controlador analógico

• Discretização do controlador

• Definição do hardware e software

(18)

tempo Contínuo (redesign)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(s) G

_P

(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

s(t)

Contínuo Contínuo

D/A

(19)

tempo Contínuo (redesign)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

Controle Planta

G_q(s)=H(s)G_P(s)

G

_S

(s)

G

_C

(s) G

_P

(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

s(t)

Contínuo Contínuo

D/A

(20)

tempo Contínuo (redesign)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(s) G

_q

(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

s(t)

Contínuo Contínuo

(21)

tempo Contínuo (redesign)

• Modelar a planta + D/A

• Definir especificações do controle:

• Definir tipo do controlador: PI

(22)

tempo Contínuo (redesign)

• Projeto dos ganhos do controlador

Plano s

x

x x x

Determinar k_p e k_i

Lugar das raízes

(23)

tempo Contínuo (redesign)

• Discretização do controlador

(24)

tempo Contínuo (redesign)

• Definição do hardware e software

INICIALIZAÇÃO

Define u0, u1, e0, e1, y, r, k0,k1 Hardware

• Microcontrolador ou DSP

• Interrupção deve ser executada em

um tempo menor que T Define u0, u1, e0, e1, y, r, k0,k1 Configura TIMER ou PWM

u1=0; e1=0; k0=β₀; k1=β₁ Loop; %loop infinito

INTERRUPÇÃO TIMER ou PWM y=input(AD1) %entrada 1 r=input(AD2) %entrada 2 u0=u1 %atualiza variável e0=e1 %atualiza variável e1=r-y %Calcula erro u1=u0+k1*e1+k0*e0 %PI um tempo menor que T_S

• Os conversores A/D e D/A devem ser muito mais rápidos que T_S

• Resolução das variáveis (8, 16, 32 bits) ainda podem ser inteiro, ponto fixo ou ponto flutuante

• Quantidade de memória RAM para dados e Flash para programa

• Circuitos auxiliares: alimentação, cristal ou ressonador, reset, filtros, ...

(25)

tempo Contínuo (redesign)

Resumo:

Facilidade do Projeto

x Não considera adequadamente a dinâmica dos conversores D/A e A/D

dos conversores D/A e A/D

x Resposta imprecisa em alta frequência

(26)

tempo discreto (discrete-time)

Etapas:

• Modelar e discretizar a planta

• Definir especificações do controle

• Definir tipo do controlador

• Projeto dos ganhos do controlador digital

• Definição do hardware e software

(27)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

tempo discreto (discrete-time)

Controle Planta

r(k) e(k) u(k) u(t) y(t)

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(28)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

tempo discreto (discrete-time)

Controle Planta

G_q(z)

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

G_S(z)

(29)

Exemplo: Controle de velocidade – motor DC

tempo discreto (discrete-time)

Controle Planta

r(k) e(k) u(k) y(k)

G

_S

(z)

G

_C

(z) G

_q

(z)

r(k) e(k) u(k) y(k)

Discreto Discreto

s(k)

(30)

tempo discreto (discrete-time)

• Modelar e discretizar a planta

• Definir especificações do controle:

• Definir tipo do controlador: PI

(31)

tempo discreto (discrete-time)

• Projeto dos ganhos do controlador

Plano Z 1

x x x

Determinar β₁ ^eβ₀

Lugar das raízes 1

(32)

tempo discreto (discrete-time)

• Definição do hardware e software

INICIALIZAÇÃO

Define u0, u1, e0, e1, y, r, k0,k1 Hardware

• Microcontrolador ou DSP

• Interrupção deve ser executada em

um tempo menor que T Define u0, u1, e0, e1, y, r, k0,k1 Configura TIMER ou PWM

u1=0; e1=0; k0=β₀; k1=β₁ Loop; %loop infinito

INTERRUPÇÃO TIMER ou PWM y=input(AD1) %entrada 1 r=input(AD2) %entrada 2 u0=u1 %atualiza variável e0=e1 %atualiza variável e1=r-y %Calcula erro u1=u0+k1*e1+k0*e0 %PI um tempo menor que T_S

• Os conversores A/D e D/A devem ser muito mais rápidos que T_S

• Resolução das variáveis (8, 16, 32 bits) ainda podem ser inteiro, ponto fixo ou ponto flutuante

• Quantidade de memória RAM para dados e Flash para programa

• Circuitos auxiliares: alimentação, cristal ou ressonador, reset, filtros, ...

(33)

tempo discreto (discrete-time)

Resumo:

Considera a dinâmica dos conversores D/A e A/D x Não considera a dinâmica da planta entre as

amostras amostras

x Podem existir oscilações entre as amostras

Método mais usado no projeto de controle Digital

(34)

tempo contínuo/discreto

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(35)

tempo contínuo/discreto

Resumo:

Considera a dinâmica dos conversores D/A e A/D Considera a dinâmica da planta entre as amostras (intersample)

(intersample)

x Complexidade do projeto

Usado somente se a taxa de amostragem é muito

baixa

(36)

Introdução a Sinais amostrados

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sinal contínuo senoidal 1 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(37)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(38)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz Fs = 50 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(39)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz Fs = 50 Hz Fs = 25 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(40)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz Fs = 50 Hz Fs = 25 Hz Fs = 10 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(41)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz Fs = 50 Hz Fs = 25 Hz Fs = 10 Hz Fs = 4 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(42)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 100 Hz Fs = 50 Hz Fs = 25 Hz Fs = 10 Hz Fs = 4 Hz Fs = 2 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(43)

Introdução a Sinais amostrados

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(44)

Introdução a Sinais amostrados

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(45)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 4 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(46)

Introdução a Sinais amostrados

Fs = 4 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F = 4.05 Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(47)

Introdução a Sinais amostrados

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sinal Contínuo Sinal Amostrado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Simulação no MatLab

(48)

Sinais Amostrados

• Conversor D/A

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(49)

Sinais Amostrados (A/D)

• Representação gráfica:

A/D

f(t) f*(t) δ(t)

1

δ_T(t) 1

X

f(t) f*(t)

δ_T(t)

T_S

f(t) f*(t)

T_S 2T_S 3T_S ...

... -T_S

(50)

Sinais Amostrados (A/D)

• Representação no tempo:

Sinal original Harmônico ou ruído de

(51)

Sinais Amostrados (A/D)

• Representação na frequência:

k=0 → Sinal original

k≠0 → Harmônico ou ruído de amostragem

(52)

Sinais Amostrados (A/D)

|∆_T(jω)|

1

ω_S 2ω_S 3ω_S -ω_S

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F(jω)|

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

|F*(jω)|

(53)

Sinais Amostrados (A/D)

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

|F*(jω)|

(54)

Sinais Amostrados (A/D)

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

|F*(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

|F*(jω)|

(55)

Sinais Amostrados (A/D)

|∆_T(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F(jω)|

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

1

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

|F*(jω)|

(56)

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F*(jω)|

Sinais Amostrados (A/D)

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

|F*(jω)|

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

(57)

1

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ωS

2

5ωS

2 -ωS

2 -3ωS

2 -5ωS

2

|F*(jω)|

Sinais Amostrados (A/D)

-2ω_S

-3ω_S ^ω^S

2

3ω_S 2

5ω_S 2 -ω_S

2 -3ω_S

2 -5ω_S

2

|F*(jω)|

-2ω_S

-3ω_S ^-5^ω^S ^-3^ω^S ^-^ω^S ^ω^S ³^ω^S ⁵^ω^S

(58)

Teorema da Nyquist

• Teorema da Nyquist (Amostragem):

X(j ω )=0 ∨ ^| ω | ≥ ω _b

• Ou seja, X(j ω ) é limitada em banda (frequência)

• Então é possível reconstruir o sinal original x(t) a partir do sinal x(k.T _S )

Frequência de Nyquist →

(59)

Sinais Amostrados (A/D)

Frequência de amostragem:

x F _s > 20.F _b → Super dimensionamento do controlador

x F < 4.F → Interação com o ruído de x F _s < 4.F _b → Interação com o ruído de

amostragem

F _s ≈ 10.F _b → Boa relação custo/benefício

(60)

Sinais digitais

• Quantização: 8, 16, 32 ou 64 bits (2 ^b )

• 4 bits → 2 ⁴ = 16 níveis (0 a 15) ou (-8 a 7)

• 8 bits → 2 ⁸ = 256 níveis (0 a 255) ou (-128 a 127)

(-128 a 127)

• 16 bits → 2 ¹⁶ = 65536 níveis (0 a 65535) ou (-32768 a 32767)

• Sinal de 15V com 4 bits → resolução:

15V/15 = 1 V/bit

(61)

Sinais digitais

• Conversor de 4 bits sem sinal:

15 = F_H Código Digital

15V Sinal analógico 1V

1 bit

0

(62)

Exercício

• Lista 1 a) e b):

f(t) = 10sen(10t) → fs = 50Hz

f(t) = −2cos(45t) → fs = 50Hz

Frequência de Nyquist ? e harmonicos de Frequência de Nyquist ? e harmonicos de amostragem

• Lista 2 a) e b) (A/D – 8b bits):

R2=10kΩ, Vm=0V a 100V, E=5V

R2=5kΩ, Vm=0V a 400V, E=3.3V

R1 = ? e resolução de V _m

(63)

Reconstrução de sinais

• Conversor A/D

Controle Planta

Modulação por Amplitude (zoh)

Modulação por largura de Pulso (PWM)

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(64)

Reconstrução de sinais (D/A)

• Representação gráfica:

D/A

f*(t) f₀(t)

h_zoh(t) 1

T_S X

f*(t) f₁*(t)

δ_T(t)

*

h_zoh(t) f₀(t)

T_S

f*(t) f₁*(t)

h_zoh(t)

f₀(t)

(65)

f*(t)

Reconstrução de sinais (D/A)

• Representação gráfica no tempo:

h_zoh(t) f₀(t)

T_S 2T_S3T_S

... 0 4T_S5T_S 6T_S ...

T_S 2T_S3T_S

... 0 4T_S5T_S 6T_S ...

f₀(t)

T_S 2T_S3T_S

... 0 4T_S5T_S 6T_S...

(66)

Reconstrução de sinais (D/A)

• Representação na frequência:

(67)

Reconstrução de sinais (D/A)

(68)

Reconstrução de sinais (D/A)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0.5 1

ω/ω_S F₁^*(jω)

H_zoh(jω)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0.5 1

ω/ω_S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0.5 1

ω/ω F₀(jω)

(69)

Reconstrução de sinais (D/A)

• Diagrama de Bode do H _zoh :

0.4 0.6 0.8 1

|H_zoh(jω)|

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2

ω/ω_S

-300 -200 -100 0

ω ω

∠H_zoh(jω)

(70)

f*(t)

Reconstrução de sinais (D/A)

• Modulação por largura de pulso (PWM)

f₀(t)

T_S 2T_S 3T_S

... 0 4T_S 5T_S 6T_S...

f₀(t)

T_S 2T_S 3T_S

... 0 4T_S 5T_S 6T_S...

(71)

• Modulação por largura de pulso (PWM)

1 0.75 0.5 0.25

T_S

... 0 2T_S ...

Reconstrução de sinais (D/A)

1

ZOH

1 0.75 0.5 0.25

T_S

... 0 2T_S ...

1 0.75 0.5 0.25

T_S

... 0 2T_S ...

PWM centrado

PWM início

d → duty cycle

T_ON T_ON

d= 0.25 d= 0.25

d = 0.75

(72)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ZOH

PWM Centrado PWM Inicial

Reconstrução de sinais (D/A)

• Diagrama de Bode do H _zoh :

|H_zoh(jω)|

d = 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2

-300 -200 -100 0

ZOH

ω/ω_S

ω ω

∠H_zoh(jω)

(73)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ZOH

d = 0.75

Reconstrução de sinais (D/A)

• Diagrama de Bode do H _zoh :

|H_zoh(jω)|

-300 -200 -100 0

ZOH

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2

ω/ω_S

ω ω

∠H_zoh(jω)

(74)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ZOH

d = 0.5

Reconstrução de sinais (D/A)

• Diagrama de Bode do H _zoh :

|H_zoh(jω)|

-300 -200 -100 0

ZOH

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2

ω/ω_S

ω ω

∠H_zoh(jω)

(75)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ZOH

Reconstrução de sinais (D/A)

• Diagrama de Bode do H _zoh :

|H_zoh(jω)|

d = 1 d = 0.75 d = 0.5 d = 0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2

ω/ω_S

ω ω

∠H_zoh(jω)

-300 -200 -100 0

ZOH

(76)

Modulação de amplitude X PWM

• Sistemas de processamento de sinais (Som) usam modulação de amplitude

• Sistemas de potência geralmente usam PWM (cargas indutivas)

(cargas indutivas)

– Fontes de tensão (Conversores de tensão AC/DC) – Inversores de frequência (acionamento de

motores)

(77)

Sistema Amostrado

• Processamento digital de sinais

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(78)

Sistema Amostrado

Contínuo Discreto

• Equações diferenciais → Equações a diferenças

• Transformada S → Transformada Z

E[z] U[z]

X(s) Y(s) G(z)

G(s)

e[k] u[k]

x(t) y(t) G(k) G(t)

(79)

Sistema Amostrado

x(t) y(t)

G(t)

• Solução no domínio de Tempo:

(80)

Sistema Amostrado

X(s) Y(s)

G(s)

x(t) y(t)

G(t)

• Solução no domínio da frequencia:

(81)

Sistema Amostrado

• Aproximação discreta das derivadas

contínuas: Euler de 1 ^ª e 2 ^ª ordem

(82)

Sistema Amostrado

• Solução no domínio de Tempo discreto:

e[k] u[k]

G(k)

(83)

Sistema Amostrado

• Solução Z:

e[k] u[k]

G(k) E[z] U[z]

G(z)

(84)

Sistema Amostrado

• Exemplo:

X(s) Y(s)

G(s)

x(t) y(t)

G(t)

(85)

0.8 1

Impulse Response

Sistema Amostrado

• Exemplo:

15 20

Magnitude (dB)

Bode Diagram

G(s) x(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Time (sec)

Amplitude

0 5 10

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-60 -30 0

Phase (deg)

Frequency (rad/sec)

(86)

Sistema Amostrado

• Exemplo:

1.5 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

(87)

Sistema Amostrado

• Exemplo:

(88)

Sistema Amostrado

• Exemplo:

(89)

Sistema Amostrado

• Exemplo:

F

_s

T

_s

α

₁

α

₀

β

₁

β

₀

100 0,01 100,5 100 105 100

25 0,04 25,5 25 30 25

10 0,1 10,5 10 15 10

3,1 0,32 3,6 3,1 8,1 3,1

(90)

• Exemplo:

Para k=0 →

y[-1]=0; x[-1]=0 e x[0]=sen[0]=0 → y[0] = 0 Para k=1 →

y[0]=0; x[0]=0 e x[1]=sen[ ω T

_S

]=x

₁

→ y[1] = x

₁

. β

₁

/ α

₁

Para k=2 →

y[1]= x

₁

. β

₁

/ α

₁

; x[1]= x

₁

e x[2]=sen[ ω 2T

_S

]=x

₂

→ y[2] = [(x

₁

. α

₀

. β

₁

/ α

₁

)+ x

₂

. β

₁

]/ α

₁

(91)

1.2 1.3 1.4 1.5

Sistema Amostrado

• Exemplo: Fs = 100Hz

1 1.5 2

8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

(92)

Sistema Amostrado

• Exemplo: Fs = 25Hz

1.2 1.3 1.4 1.5

1 1.5 2

8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

(93)

1.2 1.3 1.4 1.5

1 1.5 2

Sistema Amostrado

• Exemplo: Fs = 10Hz

8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

(94)

1.2 1.4 1.6

Sistema Amostrado

• Exemplo: Fs = 3,1Hz

1 1.5 2 2.5

8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10

0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

(95)

Projeto de controle digital

• Considerações Praticas

Controle Planta

G

_S

(s)

G

_C

(z) G

_P

(s)

r(k) e(k) u(k) y(t)

s(t)

Discreto Contínuo

D/A

A/D

u(t)

s(k)

(96)