3 ō Jogo Concurso Online de Matemática PUC-Campinas

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¯ Jogo Concurso Online de Matem ´atica PUC-Campinas

Gabarito - Primeira Fase

1. Alternativa (c) Soluc¸˜ao:

Para resolvermos este problema, vamos considerar os seguintes fatos:

par+par = par (I) par+´ımpar = ´ımpar (II)

´ımpar+´ımpar = par (III)

Se Cláudia tivesse somado os três preços de forma correta, então ela teria encontrado o valor 155 + 86 + 79 = 320, mas Cláudia somou os preços dos brinquedos de forma equivocada e obteve como resposta o número par248. Ela errou a conta e precisamos descobrir qual foi o erro que ela cometeu.

Vamos analisar cada alternativa independentemente.

A alternativa (a) não é poss´ıvel pois se ela tivesse somado um dos preços duas vezes, então para ter o resultado par248, necessariamente ela teria que somar um par duas vezes. Porque se fosse somado um ´ımpar duas vezes veja o que ocorreria:

2×´ımpar

| {z } par

+par+´ımpar = par+par

| {z } par

+´ımpar

= par+´ımpar

= ´ımpar 6=do par 248 Desta forma, se o n´umero par86fosse somado duas vezes, ter´ıamos:

155 + 2×86 + 79 = 406⇒155 + 2×86 + 796= 248

Vamos analisar agora a alternativa (b). De fato, a alternativa(b)também não é poss´ıvel, pois se ela esqueceu de incluir um dos três preços, então necessariamente teria que ter esquecido de somar o número par86. Pois se tivesse esquecido um ´ımpar, veja o que aconteceria:

´ımpar+par = ´ımpar 6= do par 248

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Desta forma, se o86fosse esquecido, ter´ıamos:

155 + 79 = 234 6= 248

A alternativa(d)não é poss´ıvel, pois se ela tivesse subtra´ıdo um dos três preços, ao invés de somá-lo, então necessariamente teria que ser o par86, pois:

´ımpar+´ımpar

| {z } par

−par = par−par

= par

Então se ela tivesse subtra´ıdo o número par86, ao invés de somá-lo, ter´ıamos que:

155 + 79−86 = 148 6= 248

A alternativa (e) também não seria poss´ıvel, pois se ela tivesse somado um dos três preços três vezes, observe o que ocorreria com respeito à cada possibilidade:

3×155 + 86 + 79 = 630 (diferente de 248) 155 + 3×86 + 79 = 498 (diferente de 248) 155 + 86 + 3×79 = 478 (diferente de 248)

Portanto, a alternativa poss´ıvel é a alternativa(c). Com efeito, ela eliminou o último d´ıgito de um dos três preços.

Basta testarmos as três possibilidades: Se ela eliminou o último d´ıgito do ´ımpar155então a soma fica:

15 + 86 + 79 = 180 (diferente do 248) Se ela eliminou o ´ultimo d´ıgito do par86ent˜ao a soma fica:

155 + 8 + 79 = 242 (diferente do 248) Se ela eliminou o ´ultimo d´ıgito do ´ımpar79ent˜ao a soma fica:

155 + 86 + 7 = 248

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2. Alternativa (e) Soluc¸˜ao

Primeiramente, vejamos como calcular o valor a ser pago, com um desconto de 20%, referente a um produto de valorx.

valor pago com desconto = x−20%de x

= x− 20 100x

= x−0.2x

= (1−0.2)x

= 0.8·x Ent˜ao, com respeito ao nosso problema, n´os temos que:

desconto de20%no cubo m´agico = 0.8·155 = 124 desconto de20%na torre de Hanoi = 0.8·86 = 68.8

total a pagar = 124 + 68.8⇒valor total= 192.8<200 (Odilon pode comprar) Analisando a segunda situac¸˜ao:

desconto de20%no cubo m´agico = 0.8·155 = 124 desconto de20%no cac¸a palavras = 0.8·79 = 63.2

total a pagar = 124 + 63.2⇒valor total= 187.2<200 (Odilon pode comprar) Analisando a terceira situac¸˜ao:

desconto de20%no cubo m´agico = 0.8·155 = 124 desconto de20%na torre de Hanoi = 0.8·86 = 68.8

desconto de20%no cac¸a palavras = 0.8·79 = 63.2

total a pagar = 124 + 68.8 + 63.2⇒valor total= 256>200

⇒ Odilon n˜ao pode comprar

(4)

3. Alternativa (d) Soluc¸˜ao:

Com respeito à relação de ordem das letras, para que a conta esteja bem definida, nós devemos ter que:

⇒c > d e c > e

⇒c > b e c > a

⇒d > b Em relação às contas, nós temos que:

c−d = e (I) c−d = a (II) d−b = b (III)

Segue de (III) que:

d−b = b

d = 2b (IV)

Logo, segue da Equação (IV)e do conjunto de valores poss´ıveis para as letras, que b não pode ser igual a3. Senão ter´ıamosd= 2b; d= 2·3 = 6e6∈/{1,2,3,4,5}.

Desta forma, devemos analisar dois casos. Seb = 1, então d = 2·1 (pela Equação IV)

= 2

Subtraindo as Equações (I) e(II), nós obtemos a seguinte equação:

Page 4

(5)

−d+b = e−a

−2 + 1 = e−a⇒1 = a−e (V) Segue da Equac¸˜ao (I) que:

c−d = e c−2 = e

⇒ c=e+ 2 (V I) Segue da Equac¸˜ao (II) que:

c−b = a

c−1 = a⇒c−a = 1 (V II)

Comoc > d, sec = 5, então segue da Equação(V I)quee = 3e segue da Equação (V II) quea= 4. Veja que esta possibilidade está em concordância com a Equação (V):

1 = a

|{z}

4

− e

|{z}

3

1 = 1 (ok!)

Desta forma, os valores corretos parab,aees˜ao: 1,4e3, respectivamente.

4. Alternativa(c) Soluc¸˜ao:

5. Alternativa(d)

Como a união das regiões A e B formam um paralelogramo, então segue da figura acima que:

a+b =c+d (I)

(6)

Veja que as regi˜oesAeBcompartilham a mesma fronteira de comprimentoL. Desta forma, temos que:

Per´ımetro_A = a+b

| {z }

c+d

+L

= c+d+L (por (I))

= Per´ımetro_B 6. Resposta= 7 balas

Soluc¸˜ao:

Sejam:

y = número de crianças no grupo A x = número de crianças no grupo B Dado:

y= 4

3x (I)

Como o número de crianças deve ser um número inteiro, devemos ter quex é um múltiplo de3 na Equação (I). Como queremos o número m´ınimo de crianças, teremos quex = 3.

Mas sex= 3, então segue da Equação (I) quey = 4

3 ·3⇒y= 4. Logo o total de crianc¸as seria igual a:

total=x+y= 3 + 4 = 7 crianc¸as

Como cada criança receberá uma bala, isto implica que o menor número de balas que podemos considerar é7.

7. Resposta= 3 Soluc¸˜ao:

y= 1

3x³ − 1 14x Temos que: Sey= 0, ent˜ao 1

3x³− 1

14x= 0.

⇒x 1

3x²− 1 14

!

= 0

Isto implica quex= 0, ou, Page 6

(7)

1

3x²− 1

14 = 0 x²

3 = 1 14

⇒x² = 3 14

⇒x = ² r 3

14

≈ 0.46m ⇒x≈46cm

Isto significa que o pontoAest´a a uma distˆancia inferior a50cent´ımetros do pontoB. 8. Alternativa (c)

Soluc¸˜ao

Considere a figura abaixo.

Como a diagonal do quadrado ´e dada por:

diagonal=l√ 2 Ent˜ao,

diagonal = l√ 2 2r = l√

2 r = l√

2

2 (I) Com respeito ao c´ırculo, de fato temos que a sua ´area ´e dada por:

A_c=π·r² (II)

(8)

Substituindo (I) em(II), temos que:

A_c = π l√ 2 2

!2

= π·l²·2 4

= π·l²

2 (III) Sabemos que a ´area do quadrado ´e dada por:

A_Q=l² (IV) Como a ´area azul ´e dada por:

Aazul=A_c−A_Q Subtraindo as equações(III)e(IV), nós temos que:

Aazul = A_c−A_Q

= πl²2−l²

= πl² 2 −2l²

2

= l²

2(π−2) Ent˜ao,

Aazul A_Q =

l²(π−2) 2 l²

= l²(π−2) 2 · 1

l²

= π 2 −1

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9. Alternativa(e) Soluc¸˜ao:

Considere o desenho abaixo.

Vamos analisar o triˆangulo de referˆencia formado a partir dos raios das engrenagens, de acordo com a figura acima.

Aplicando a lei dos senos ao triˆangulo, n´os temos que:

50

sen(41^◦) = 58 sen(γ)

⇒50·sen(γ) = 58·sen(41^◦)

⇒sen(γ) = 58·sen(41^◦) 50

sen(γ) = = 0.76102⇒γ =arcsen(0.76102)⇒γ = 49.5^◦

(10)

Voltando ao triângulo de referência, nós temos que:

49.5^◦+ 41^◦+φ = 180^◦ (soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo)

⇒φ = 180^◦−49.5^◦−41^◦

⇒φ = 89.5^◦

10. Alternativa(d)

A partir da figura, nós podemos extrair um triângulo retângulo de referência:

Ent˜ao, sen(60^◦) = L d_c ⇒

√3 2 = L

d_c ⇒d_c·√

3 = 2·L⇒ d_c

L = 2√ 3 3 .

Page 10

(11)

11. Alternativa(b) Soluc¸˜ao

Vamos determinar a medidaya partir do triângulo retângulo de referência.

sen(45^◦)

| {z_√ }

2 2

= 4√ 2 y

⇒

√2

2 = 4√ 2 y

⇒y = 8

Para determinar a medidax, considere o triângulo retângulo de referência abaixo, retirado da figura da cartolina.

(12)

Temos que:

cos(45^◦)

| {z_√ }

2 2

= x

√2

2 = x

4√ 2

⇒x = 4 Ent˜ao, temos que:

l₁ = 2x+y ⇒l₁ = 2·4 + 8⇒l₁ = 16 Com respeito ao ladol2, n´os temos que:

l₂ = 2x+ 2y

= 2·4 + 2·8

= 8 + 16

= 24 Ent˜ao,

Acartolina = l₁·l₂

= 16·24

= 384 cm² 12. Alternativa(e)

Soluc¸˜ao:

Sex= 2^k, para algumkpositivo⇒x= 2·2^k−1 ⇒x ´e par.

13. Resposta= 4

14. Resposta= 10

Page 12

(13)

Como o quadradoABCDtem área igual a20e como a área de um quadrado calcula-se por meio do lado ao quadrado, então:

A_Q

|{z}20

=x²

20 = x²

⇒x = 2√ 5

Dado que o pontoH representa o ponto m´edio do lado do quadrado e considerando que o ladoxmede2√

5, então temos o seguinte triângulo retânguloCDH, de referência:

Segue, do triˆangulo retˆangulo representado na figura acima, que :

tg(α) =

√5 2√

5

= 1

2 ⇒α=arctg 1 2

!

⇒α= 26.56^◦

(14)

Considere o triângulo retângulo de referência formado a partir dos vértices C e G e pelo ânguloα= 26.56^◦.

Temos que:

sen(26.56^◦) = z

√5

⇒z = √

5·sen(26.56) z = 1

Com respeito ao ladoy, n´os temos que:

cos(26.56^◦) = y

√5

⇒y = √

5·cos(26.56^◦)

⇒y = 2 Enao a área deste triângulo é dada por:

A_T = 2·1 2 = 1

De acordo com a figura abaixo, observe que podemos encontrar16triangulos, semelhantes ao triângulo anterior, de modo que os triangulos limitam a área do quadrado vermelho. Desta forma, temos que a área do quadrado vermelho é dada por:

A = A_Q−16A_T A = 20−16·1 A = 4

16. Resposta= 952 Soluc¸˜ao

Sen ´e divis´ıvel por5, ent˜aon deve terminar em0 ou em5. Essencialmente, teremos dois casos para considerar:

Page 14

(15)

caso(i) Se o último d´ıgito for igual à 0. Neste caso como o último d´ıgito está fixo, a seguinte situação:

n´umero de possibilidades = 9·8·7·1 = 504

caso(i) Se o último d´ıgito for igual à 5. Neste caso como o último d´ıgito está fixo, a seguinte situação:

n´umero de possibilidades = 8·8·7·1 = 448

Desta forma, o total de possibilidades de representações para o número n é igual a 504 + 448 = 952.

(16)

Segue da figura abaixo que4x= 16⇒x= 4.

Aplicando oTeorema de Pitágoras no triângulo∆ABC, nós temos que:

10² = 8²+c²

100 = 64 +c² ⇒c² = 100−64⇒c² = 36⇒c= 6 Aplicando razão de semelhança aos triângulos∆AQC e∆P QT, temos que:

6 a = 8

4 ⇒a = 3

Aplicando oTeorema de Pitágorasao triângulo∆P T C, nós temos que:

b² = 4²+ 3² b² = 16 + 9

b = √

25 b = 5 Desta forma, temos que:

a+b+c= 3 + 5 + 6 = 14 18. Alternativa(d)

Soluc¸˜ao

Page 16

(17)

Sex= 5 é uma solução da equação dada, entãox= 5satisfaz a equação dada. Substituindo x= 5na equação, nós temos que:

2·5•7

6 = 4 + 35 24 10•7

6 = 4 + 35 24

Para o cumprimento da equação acima, nós devemos ter que os sinais•edevem represen- tar, respectivamente, as operações−e+.

19. Alternativa(d) Soluc¸˜ao:

Vamos analisar a sequencia de somas parciais das alturas da árvore:S_n=altura da árvore após n anos

(18)

S₁ = 2 S₂ = 2 +

√2 2 S₃ = 2 +

√2 2 +1

2 S4 = 2 +

√2 2 +1

2 +

√2 2³ S₅ = 2 +

√2 2 +1

2 +

√2 2³ + 1

2³ S₆ = 2 +

√2 2 +1

2 +

√2 2³ + 1

2³ +

√2 2⁵ Em particular, com respeito `aS₆, vamos reorganizar a soma:

S₆ = 2 + 1 2¹ + 1

2³

! +

√2 2 +

√2 2³ +

√2 2⁵

!

S₆ =

6 2

X

j=1

4 2^2j−1 +

6 2

X

j=1

√2 2^2j−1 Generalizando parane considerandonpar, temos que:

Sn =

n 2

X

j=1

4 4^j ·2⁻¹ +

n 2

X

j=1

√2 4^j ·2⁻¹

=

n 2

X

j=1

8 4^j +

n 2

X

j=1

2√ 2 4^j

=

n 2

X

j=1

8

4^j +2√ 2 4^j

=

n 2

X

j=1

(8 + 2√ 2) 1

4

!j

S_n = (8 + 2√ 2)

n 2

X

j=1

1 4

!j

Sn = (8 + 2√ 2)·

1

4(1−(¹₄)ⁿ²)

1− ¹₄ (F´ormula da soma de PG)

⇒S₆₀ = (8 + 2√ 2)·

1

4(1−(¹₄)⁶⁰²)

1− ¹₄ = 3.60 m

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(19)

20. Alternativa(d) Soluc¸˜ao:

Esta é uma questão de visualização da função a partir dos dados. Segue abaixo o gráfico da função que satisfaz as propriedades do enunciado.

21. Resposta= 24

Segue, na figura abaixo, o valor do comprimento de cada lado dos outros quadrados.

Desta forma, como o menor quadrado tem lado igual a6, isto implica que o seu per´ımetroP ser´a dado por:

P = 4·6⇒P = 24 22. Alternativa(b)

Soluc¸˜ao:

(20)

Nesta quest˜ao, basta perceber que o volume inicial de l´ıquido dentro do cil´ındro corresponde exatamente ao volume do cilindro e o volume de l´ıquido derramado corresponde ao volume da esfera. Desta forma,

Vcil Vesf

= 2πR³ 4πR³

3

= 3 2 23. Alternativa (a)

Soluc¸˜ao:

Temos que:

a = 2⁷⁰⁰⁰

= (2⁷)¹⁰⁰⁰

= 128¹⁰⁰⁰ Com respeito ao n´umerob, temos que:

b = (5³⁰⁰⁰)

= (5³)¹⁰⁰⁰

= 125¹⁰⁰⁰ Em relação à basec, temos que:

c = 13²⁰⁰⁰

= (13²)¹⁰⁰⁰

= 169¹⁰⁰⁰

Dado quea,becpodem ser escritos como potˆencias ao mesmo expoente, basta compararmos as bases. Desta forma, temos queb < a < c.

24. Alternativa(e) Soluc¸˜ao:

Reescrevendo o sistema na forma fatorada, n´os temos que:

y·(x²−y) = 0 (x²−y)·(x+ 1) = 0

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Analisando a primeira equac¸˜ao:

Devemos tery= 0oux²−y= 0. Segue dex²−y = 0quey=x²e portanto o par(x, x²)

é solução da primeira equação.

Analisando a segunda equac¸˜ao:

Devemos terx² −y = 0ou x+ 1 = 0. Segue dex² −y = 0que o par (x, x²)também satisfaz a segunda equação. Isto significa que(x, x²)são infinitas soluções do sistema dado.

Se x+1=0, isto implica quex=−1. Desta forma, substituindox=−1na primeira equação do sistema, obtemosy·(1−y) = 0e isto implica que y = 0ouy = 1. E portanto, o par (−1,1)seria solução do sistema, o que invalida a afirmaçãoII.

Por último, vamos analisar a afirmaçãoIII. Substituindoy=−8na primeira equação, nós obtemosx =√

−8. Isto significa que a afirmação (III) é verdadeira, poisx =√

−8não é um número real. Assim,I eIII são verdadeiras.

25. Quest˜ao cancelada