ÁREA E PERÍMETRO DOS TRIÂNGULOS

(1)

– ÁREA E PERÍMETRO DOS TRIÂNGULOS –

1- O polígono AVEQP da figura representa um terreno e não está desenhado em escala. O triângulo EVA é retângulo em V e o quadrilátero EAPQ é um retângulo. As medidas de EV e VA são, respectivamente, iguais a 48 m e 20 m.

Se a medida do lado AP é igual a 75 m, então a área do terreno em m² é igual a:

a) 4 380.

b) 4 575.

c) 5 050.

d) 5 275.

e) 6 125.

Resolução da questão:

Para descobrirmos a área da figura basta somar a área do triângulo EVA + a área do retângulo EAPQ.

Para isso, precisamos saber quanto vale o lado EA. Se observarmos, o segmento EA é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem 48 e 20. Logo:

EA² = 48² + 20² EA² = 2304 + 400 EA² = 2704 EA = √2704 EA = 52

Sendo assim, a área do retângulo = base . altura = 52 . 75 = 3900

Área do triângulo = Base . Altura 2 Área do triângulo = ^{48 . 20}

2 = 48 . 10 = 480

Área da figura = área do retângulo + área do triangulo = 3900 + 480 = 4380 m²

Gabarito: A

(2)

2- Uma praça ABCD é composta por uma região quadrada Q e uma região com a forma de um triângulo retângulo T, conforme mostra a figura.

A área total dessa praça é de

a) 8 400 m².

b) 6 000 m².

c) 4 800 m².

d) 4 600 m².

e) 3 600 m².

Resolução da questão:

O lado do quadrado é o menor cateto do triângulo retângulo, que tem sua hipotenusa = 100 e seu outro cateto = 80.

Sabendo disso, vamos descobrir quanto vale o maior cateto e consequentemente descobrir quanto vale o lado do quadrado.

80² + cat² = 100² 6400 + cat² = 10000 Cat² = 10000 – 6400 Cat² = 3600

Cat = √3600 Cat = 60

Menor cateto = lado do quadrado = base do triângulo

Área do triângulo = ^{60 . 80}

2 = 2400

Área do quadrado = 60² = 3600

Área praça = Área do triângulo + Área do quadrado = 2400 + 3600 = 6000 m²

Gabarito: B

(3)

3- Todas as manhãs, uma pessoa faz caminhada em uma pista que tem o formato de triângulo retângulo, cujos trechos associados aos catetos desse triângulo medem 500 m e 1 200 m. Cada volta completa nessa pista

corresponde a uma caminhada de

a) 3,0 km.

b) 3,5 km.

c) 4,0 km.

d) 4,5 km.

e) 5,0 km.

Para saber o percurso que essa pessoa percorre precisamos saber o perímetro desse triângulo.

Como a questão diz que seus catetos medem 500 m e 1200 m, o trecho que precisamos descobrir é a hipotenusa.

Hipotenusa² = 500² + 1200² Hipotenusa² = 25000 + 1440000 Hipotenusa² = 1690000

Hipotenusa = √1690000 Hipotenusa = 1300m

Agora que sabemos que os lados desse triangulo medem 500m, 1200 m e 1300 m, basta somá-los para encontrar o seu perímetro:

Perímetro da pista = 500 + 1200 + 1300 = 3000

3000m = 3km

Cada volta completa nessa pista corresponde a uma caminhada de 3 km.

Gabarito: A

(4)

4- Sabendo que a altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa mede 4,8 cm e sabendo que a medida da hipotenusa é 10 cm, então a medida da área desse triângulo é, em cm², igual a:

a) 24 b) 48 c) 36 d) 60

De acordo com o texto, temos o triângulo abaixo:

Base = 10 cm Altura = 4,8 cm

Queremos saber a área do triângulo : 𝐵𝑎𝑠𝑒 . 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

Área do triângulo = ^{10 . 4,8}

2

Área do triângulo = ⁴⁸

2

Área do triângulo = 24

A área desse triângulo é de 24 cm².

Gabarito: A

(5)

5- Um homem pegou um trabalho de cortar a grama de uma praça que tem a forma de um triângulo retângulo onde os catetos medem 6 m e 8 m. Cada metro quadrado cortado ele junta 1,5 kg de grama, dessa forma, quantos quilos de grama esse homem vai juntar cortando a grama de toda a praça?

a) 45 kg.

b) 36 kg.

c) 72 kg.

d) Nenhuma das alternativas.

Trata-se de um triângulo retângulo de base 6 (cateto menor) e altura 8 (cateto maior).

Sabemos que a área do triângulo = 𝐵𝑎𝑠𝑒 . 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

Área do triângulo = ^{6 . 8}

2 = 24m²

A cada m² ele junta 1,5 kg de grama, ao cortar 24 m² quantos kg de grama ele terá juntado. Vamos montar a regrinha de 3:

1 - 1,5 24 - x

x = 1,5 . 24 x = 36

Esse homem vai juntar 36 kg cortando a grama de toda a praça.

Gabarito: B

(6)

6- Considere as informações abaixo para a questão a seguir.

Uma pessoa deslocou-se da localidade A para a localidade C, que distam 13 quilômetros em linha reta, em um barco que, na média, navegou 39

quilômetros em cada uma hora. Na volta ela saiu da localidade C para a B, distantes 5 quilômetros, em uma lancha, que, na média, percorreu 60

quilômetros por hora e, da localidade B foi para a localidade A pela estrada, de carro, percorrendo, medianamente, 48 quilômetros em cada hora, conforme o esboço abaixo:

Na situação descrita e esboçada, as localidades A, B e C podem ser consideradas como vértices de um triângulo retângulo. Em relação ao

perímetro e à área desse triângulo, desprezadas as respectivas unidades de medida, pode-se afirmar que o número que expressa a área é igual ao número que expressa

a) o perímetro.

b) a metade do perímetro.

c) o dobro do perímetro.

d) o triplo do perímetro.

Todo o deslocamento dessa pessoa formou um triângulo de lados = 13, 12 e 5, cuja base = 5 e altura = 12

Sendo assim, seu perímetro = 13 + 12 + 5 = 30km

Sua área = ^{5 . 12}

2 = ⁶⁰

2 = 30km²

Visto isso, temos que a área é igual ao perímetro (desprezando as respectivas unidades de medida)

Gabarito: A

(7)

7- Ao realizar caminhadas, um atleta quer que sua trajetória forme triângulos equiláteros. Ele inicia no ponto A e percorre três etapas de 15 metros e completa o primeiro triângulo equilátero (ver Figura 1). O atleta continua, na mesma direção e sentido, outros 15 metros e dessa maneira, ele considera que já percorreu o primeiro lado do segundo triângulo equilátero, agora com medida do lado igual a 30 metros (15 + 15, ver na Figura 2). Observe que parte do primeiro lado do segundo triângulo é o mesmo que o terceiro lado do primeiro triângulo. Ele faz mais duas etapas de 30 metros e completa o segundo triângulo equilátero (ver Figura 3).

Para realizar essa caminhada, até agora, o atleta já caminhou 120 metros.

Cada vez que completa um novo triângulo equilátero ele continua caminhando mais 15 metros, na mesma direção e sentido, e esse lado fica sendo o primeiro lado do novo triângulo equilátero.

O atleta continua caminhando dessa maneira até completar, exatamente, o sexto triângulo equilátero. A distância total caminhada pelo atleta foi de

a) 720 metros.

b) 750 metros.

c) 780 metros.

d) 800 metros.

e) 830 metros.

(8)

Se analisarmos a questão, vamos ver que a cada novo triângulo são acrescentados 45 metros (15 metros para cada lado).

Sendo assim:

1º triângulo → 45 metros 2º triângulo → 90 metros 3º triângulo → 135 metros 4º triângulo → 180 metros 5º triângulo → 225 metros 6º triângulo → 270 metros

Somando as distâncias percorridas: 45 + 90 + 135 + 180 + 225 + 270 = 945 m

Entretanto, a gente deve descontar as distâncias correspondentes aos lados que já teriam sido percorridos em triângulos anteriores. Pois, para cada novo triângulo de lado x, a distância de x−15 metros já terá sido percorrida no

triângulo anterior. Desse modo, do segundo ao sexto triângulo, descontaremos:

2º triângulo → 15 metros 3º triângulo → 30 metros 4º triângulo → 45 metros 5º triângulo → 60 metros 6º triângulo → 75 metros

Somando os lados que já haviam sido percorridos: 15 + 30 + 45 + 60 + 75 = 225

Sendo assim, o total de Km percorrido foi de 945 – 225 = 720 km Gabarito: A

(9)

8- Uma gleba destinada a reflorestamento tem a forma de um triângulo retângulo ABC, conforme mostra a figura.

Se a área dessa gleba é 0,96 km², então a medida do lado AC, indicada por x na figura, é igual a

a) 2,2 km.

b) 2,1 km.

c) 2 km.

d) 1,9 km.

e) 1,8 km.

A figura representa um triângulo retângulo, cuja altura é um dos catetos. Como já sabemos que sua base = 1,6 km e sua área = 0,96 km², podemos descobrir sua altura.

1,6 . 𝐻

2 = 0,96 1,6H = 1,92 H = 1,92/1,6 H = 1,2

Agora que já sabemos que os catetos valem 1,6 e 1,2, vamos encontrar o x (hipotenusa):

x² = 1,6² + 1,2² x² = 2,56 + 1,44 x² = 4

x = √4 x = 2

Portanto, a medida AC = 2km

Gabarito: C

(10)

9- A imagem ao lado apresenta informações sobre um terreno que está à venda em um anúncio. A faixa de servidão constitui uma estratégia, prevista em lei, para que empresas possam passar cabos, tubulações e outros condutos subterrâneos de serviços de utilidade pública, como a coleta de esgoto, por terrenos de propriedade privada. A lei também prevê o

recebimento, pelo proprietário do terreno, de indenização devido à desvalorização da área.

Sabendo EC mede 13 m, qual é a medida da área do terreno, indicada pelo triângulo BCD?

a) 168 m².

b) 280 m².

c) 364 m².

d) 448 m².

e) 560 m².

Se EC = 13 m, DC = 13 – 3 = 10 BD = AE = 56

Portanto, o terreno tem base = 10 e altura = 56

Visto isso, temos que a área do terreno = ^{10 . 56}

2

Área do terreno = ⁵⁶⁰

2 = 280

A medida da área do terreno, indicada pelo triângulo BCD é 280m²

Gabarito: B

(11)

10- Deseja-se pintar a área dos quatro triângulos retângulos da figura a seguir:

Considerando que as figuras são idênticas, a área total a ser pintada é igual a

a) 216 m².

b) 224 m².

c) 248 m².

d) 260 m².

e) 282 m².

Como os quatro triângulos são iguais, basta descobrimos a área de um deles e multiplicar por 4.

Temos que sua hipotenusa = 15 e um de seus catetos = 9, precisamos descobrir o valor do outro cateto que corresponde à altura do triângulo.

9² + cat² = 15² 81 + cat² = 225 Cat² = 225 – 81 Cat² = 144 Cat = √144 Cat = 12

Então, temos um triângulo de base = 9 e altura = 12.

Sendo assim, sua área = ^{9 . 12}

2 = 54m²

A área total a ser pintada é igual a 54 . 4 = 216 m²

Gabarito: A

(12)