Consideremos a equação (42) da aula 11 para um líquido incompressível

Estática dos Fluidos (continuação)

Aplicações

Consideremos a equação (42) da aula 11 para um líquido incompressível

gh

z

p

z

p

(

₂

)

=

(

₁

)

+

ρ

_{, (1)} onde z2 está a uma profundidade maior que z1 e a densidade ρ do

líquido é tomada como constante. Como ρ e g são constantes, esta

Aula 12 Imagine agora que o valor da pressão na superfície do líquido do desenho acima seja aumentado por um valor ∆p, por exemplo, pela ação de um pistão acoplado de maneira justa à boca do recipiente. A equação (1) nos diz então que o novo valor da pressão no ponto 1 é

(

p

p

)

gh

(

p

gh

)

p

p

p

p

_1novo

=

₀

+

∆

+

ρ

₁

=

₀

+

ρ

₁

+

∆

=

_1velho

+

∆

_{, (2)}

ou seja, quando a pressão na superfície do líquido aumenta por um valor ∆p a pressão em qualquer ponto no interior do líquido também aumenta por ∆p.

A equação (1) também pode ser usada para calcular o aumento da pressão no ponto 2 provocado pelo aumento de ∆p na pressão no ponto 1:

(

p

p

)

gh

(

p

gh

)

p

p

p

p

=

+

∆

+

=

+

+

∆

=

+

∆

velho novo 1 2 1 2 2 2

ρ

ρ

. (3)

Quando um ponto do líquido sofre uma variação de pressão ∆p, todos os pontos do líquido sofrem a mesma variação de pressão. Este fenômeno foi observado experimentalmente por Pascal em 1653 e é chamado de princípio de Pascal. O princípio de Pascal pode ser enunciado como: Se produzirmos uma variação de pressão

Uma aplicação importante do princípio de Pascal é o elevador hidráulico, mostrado na figura abaixo.

As duas aberturas do dispositivo estão equipadas com pistões que podem se mover verticalmente e o seu interior está cheio com um fluido, por exemplo, um óleo. Aplica-se uma força F1 sobre o pistão

da abertura pequena, que tem área A1. A pressão gerada neste ponto

é P = F1/A1. Essa pressão é transmitida integralmente a todos os

pontos no interior do fluido, chegando ao pistão da abertura grande que tem área A2. A pressão sobre este pistão é igual à pressão sobre

Aula 12

⇒

=

2 2 1 1

A

F

A

F

1 1 2 2

F

A

A

F

=

_{. (4)}

Como A1 < A2, a força exercida sobre o pistão grande é maior do que

a força aplicada sobre o pistão pequeno. O elevador hidráulico é um equipamento que multiplica o valor de uma força, assim como a alavanca. O fator de multiplicação, no caso do elevador hidráulico, é a razão entre as áreas A2/A1.

Outra consequência do princípio de Pascal é o chamado princípio

dos vasos comunicantes. Seja um recipiente como o da figura

abaixo, formado por tubos com várias formas que se comunicam entre si. As extremidades superiores dos tubos estão abertas e em contato com o ar a pressão atmosférica p0.

g

p

p

h

ρ

0

−

=

_{, (5)}

onde p é a pressão no fundo do recipiente. Considerando que todos os pontos no fundo do recipiente estão à mesma pressão, a equação acima implica que a altura do líquido é a mesma em todos os tubos. A equação (1) também implica que a pressão tem o mesmo valor para todos os pontos do recipiente que estão à mesma altura z,

gh

p

p

_z

=

−

ρ

. (6)

O princípio de Pascal encontra muitas aplicações em instrumentação física e engenharia mecânica. Dois importantes instrumentos usados para medir pressão baseados neste princípio são o barômetro de mercúrio e o manômetro.

Aula 12 Ele consiste de um tubo longo de vidro fechado em uma extremidade e contendo mercúrio. A extremidade aberta do tubo é tampada com o dedo e ele é invertido dentro de um recipiente que contém mercúrio. Quando o dedo é retirado, mercúrio escoa do tubo para o recipiente até que o peso da coluna de mercúrio dentro do tubo seja equilibrado pela pressão atmosférica p0. A coluna de

mercúrio baixa até uma altura h, deixando um bom vácuo na parte superior do tubo (p ≅ 0). A aplicação da equação (1) ao problema nos dá

gh

p

p

₀

−

=

ρ

_,

onde ρ é a densidade do mercúrio. Fazendo p = 0 temos.

gh

p

₀

=

ρ

_{. (7)}

Portanto, o barômetro de mercúrio mede a pressão atmosférica diretamente a partir da altura da coluna de mercúrio.

O tipo de manômetro mais simples é o chamado manômetro de tubo

aberto. Ele está ilustrado na figura abaixo. O tubo em forma de U

contém um líquido de densidade conhecida ρ (por exemplo, água ou

mercúrio). Uma das extremidades do tubo está aberta para a atmosfera (pressão p0) e a outra está em contato com um recipiente

A pressão na base do tubo é a mesma em todos os seus pontos. Portanto, a equação (1) nos dá

⇒

+

=

+

_{2 1} 0

gy

p

gy

p

ρ

ρ

(

y

y

)

gh

g

p

p

−

=

ρ

−

=

ρ

⇒

_{0 2 1 . (8)}

O manômetro não mede a pressão p diretamente, mas sim a diferença entre p e a pressão atmosférica. Essa diferença é chamada de pressão manométrica:

p − p0 = pressão manométrica.

Aula 12

Empuxo

Outro fenômeno que ocorre em fluidos e é bem conhecido de vocês é o empuxo. O princípio de Arquimedes, descoberto pelo matemático e físico grego Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), estabelece que quando um corpo está parcial ou totalmente imerso em um fluido, o fluido exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo (veja a figura a seguir).

O que determina se um corpo flutua ou afunda num fluido é a relação entre a sua densidade e a do fluido.

Para provar o princípio de Arquimedes, vamos usar a forma integral da condição de equilíbrio hidrostático (equação 29) da aula passada. Consideremos um corpo de volume V e área superficial S com

qualquer forma e densidade ρc. Vamos supor, para simplificar, que:

1. _{O corpo é incompressível, isto é, a sua forma e o seu volume} não são alterados quando ele está imerso em um fluido. Isto é válido para a maioria dos corpos sólidos, como a coroa de ouro da história da descoberta do princípio de Arquimedes1, mas não para corpos feitos de borracha ou certos plásticos, por exemplo.

2. _{O corpo não absorve parte do fluido no qual está imerso.} Portanto, não consideraremos uma situação como, por exemplo, a de um pedaço de pão flutuando num prato de sopa. Essas simplificações não precisam ser feitas para que se possa demonstrar o princípio de Arquimedes, mas o tratamento físico ficaria mais complicado e esse não é o nosso objetivo aqui.

Vamos supor que o corpo é colocado em um fluido de densidade ρf e

que atinge o equilíbrio quando está totalmente submerso no fluido. A condição de equilíbrio hidrostático é então

Aula 12

0

total

=

∫

−

∫

=

S V

S

pd

dV

f

F

r

r

r

, (9) onde f r

é a densidade da força gravitacional sobre o corpo e p é a pressão exercida pelo fluido sobre a superfície do corpo. Podemos escrever a equação acima como

0

total

=

P

+

E

=

F

_c

r

r

r

, (10) onde Pc r

é a força da gravidade atuando sobre o corpo, isto é, seu

peso

∫

=

V c c

g

dV

P

r

r

ρ

_{, (11)} e E r

é a força feita pelo fluido sobre o corpo, isto é, o empuxo

∫

−

=

S

S

pd

E

r

r

. (12) Note que se Pc r > E r o corpo afunda e se Pc r < E r o corpo sobe.

Em particular, se todo o espaço ocupado pelo corpo fosse substituído por fluido idêntico ao fluido onde ele está imerso, o sistema continuaria em equilíbrio (veja a figura abaixo).

Neste caso, a condição de equilíbrio (equação 9) nos dá

0

total

=

∫

−

∫

=

S V f

g

dV

pd

S

F

r

r

r

ρ

_{, (13)}

onde a integral de volume é o peso do fluido que ocupa o mesmo volume do corpo

∫

=

V f f

g

dV

P

r

r

ρ

_{, (14)}

e a integral de superfície é igual à da equação (9). Então,

f V f S

P

E

dV

g

S

pd

r

r

r

r

−

=

⇒

−

=

−

∫

∫

ρ

_{. (15)}

O empuxo aponta para cima e seu valor é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Este é o princípio de Arquimedes.

Aula 12

(

)

0

total

=

∫

−

∫

=

∫

−

=

V f c V f V c

g

dV

g

dV

g

dV

F

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

_{. (16)}

Para que o corpo fique em equilíbrio totalmente imerso no fluido é necessário que a sua densidade ρc seja igual à densidade do fluido ρf.

Supondo que o campo gravitacional é constante, o que é uma aproximação muito boa para as vizinhanças da superfície da terra, a condição de equilíbrio acima torna-se

(

−

)

=

0

=













−

∫

∫

c f V f V c

dV

dV

g

M

M

g

r

ρ

ρ

r

_{, (17)}

ou seja, o corpo só consegue ficar em equilíbrio totalmente imerso no fluido se a sua massa for igual à massa do fluido deslocado por ele.

Para provar o princípio de Arquimedes não é preciso supor que o corpo está totalmente submerso no fluido como fizemos acima. Podemos supor que ele está flutuando apenas com parte do seu volume submersa no fluido e que a outra parte está em contato com outro fluido, como o ar, por exemplo (veja a figura abaixo).

Nesse caso, a condição de equilíbrio (equação 9) continua igual, só que agora a integral que dá a força superficial tem dois termos,

Aula 12 onde S1 é a área superficial do corpo em contato com o ar, S2 é a área

superficial do corpo em contato com o fluido, pa é a pressão do ar e

p_f é a pressão do fluido.

Assim como antes, a integral pela superfície do corpo imersa no fluido é o empuxo do fluido,

∫

−

=

2 S f

d

S

p

E

r

r

, (19) de maneira que a equação (18) implica que

∫

∫

∫

+

=

−

+

−

=

1 1 S a c S a V

S

d

p

P

S

d

p

dV

f

E

r

r

r

r

r

. (20) Quando um corpo flutua em equilíbrio parcialmente submerso em um fluido, o empuxo feito pelo fluido é igual ao peso do corpo mais o “peso extra” resultante da pressão que o ar faz sobre a parte do corpo que está fora do fluido.

O mesmo raciocínio feito anteriormente, em que se imagina que o volume do corpo dentro do fluido é substituído por fluido, pode ser repetido agora para mostrar que, no equilíbrio,

0

2 2

=

−

∫

∫

S f V f

g

dV

p

d

S

r

r

ρ

_{, (19)}

onde V2 é o volume do corpo encerrado por S2, isto é, o volume do

corpo dentro do fluido. Esta equação corresponde novamente ao princípio de Arquimedes: o empuxo feito pelo fluido é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Aula 12

Tensão superficial

Outro fenômeno típico de fluidos é a tensão superficial. Embora a interface entre dois materiais possa ser considerada, macroscopicamente, como uma superfície matemática bidimensional, ela é feita por moléculas com propriedades físicas. O número de moléculas numa camada, por mais fina que ela seja, é muito grande. Por causa disso, as propriedades físicas dessas moléculas geram propriedades físicas detectáveis macroscopicamente, como energia e força superficial. Daí a necessidade de considerar efeitos devidos às moléculas da superfície de um fluido mesmo quando se adota um tratamento macroscópico contínuo como estamos fazendo.

O tratamento adequado dos fenômenos de superfície requer o uso de modelos microscópicos para a matéria e este não é o nosso propósito neste curso. O que vamos fazer aqui, procurando entender a origem da tensão superficial, é usar um modelo tri-dimensional bastante elementar de um fluido em que as moléculas estão colocadas nos vértices de uma rede cúbica de lado L (veja a figura a seguir).

Cada molécula no interior do fluido possui seis ligações com suas moléculas vizinhas (a figura mostra um exemplo em vermelho), mas as moléculas da superfície possuem apenas cinco ligações (a figura mostra um exemplo em laranja).

Vamos supor que a energia de ligação total de uma molécula no interior do fluido, devido às suas seis ligações, é –ε. Para saber por

Aula 12 Este valor pode ser escrito como –ε + ε/6, ou seja, a falta de uma

ligação em uma molécula da superfície é equivalente à adição de uma energia positiva igual a ε/6 à energia de ligação total de uma

molécula no interior. Em outras palavras, para cada molécula da superfície deve-se acrescentar uma quantia ε/6 à energia total da

superfície em relação à energia de uma camada interna de moléculas.

Como a densidade de moléculas na superfície bi-dimensional do nosso modelo simples é n = 4/L2, a superfície possui uma densidade de energia extra em relação à densidade de energia de uma camada interna dada por

2

6

4

L

ε

α

=

_{, (18)}

que é chamada de densidade de energia superficial. A unidade de α

é J/m2 ou N/m, isto é, unidade de força por comprimento.

Para se aumentar a área da superfície por uma quantidade infinitesimal dA é necessário realizar um trabalho igual à quantidade de energia contida nessa área extra,

dA

Como este trabalho é positivo, a superfície opõe uma resistência à sua extensão. É como se a superfície tivesse uma tensão interna. Esta é a tensão superficial.

Formalmente, a tensão superficial γ é definida como a força por

unidade de comprimento que atua ortogonalmente sobre qualquer linha imaginária da superfície. Dada uma linha imaginária de comprimento L da superfície de um fluido (veja a figura abaixo), a existência da tensão superficial γ faz com que as moléculas dessa

linha estejam submetidas a uma força total dada por

L

F

=

γ

_{. (20)}

Imagine que uma força F atuando ortogonalmente sobre uma linha de comprimento L da superfície estica a superfície por uma quantia

dS uniforme por todo o comprimento L. O resultado disso é que a

Aula 12

Segundo a equação (19), o trabalho necessário para provocar esse aumento de área é

LdS

dA

dW

=

α

=

α

. (20) Também podemos expressar o trabalho acima como o produto da força F pelo deslocamento da linha,

LdS

FdS

dW

=

=

γ

_{. (21)}

Igualando as duas expressões,

α

γ

=

_{. (22)}

A tensão superficial é idêntica à densidade de energia superficial. Isso também se reflete no fato de que as unidades das duas são iguais a N/m.

O fato de que a densidade de energia superficial α é positiva implica

É por isso que gotículas de orvalho e bolhas de sabão são aproximadamente esféricas.

A pressão no interior de uma gota de água ou de uma bolha de sabão é maior que a pressão fora, caso contrário ela murcharia e desapareceria. Podemos calcular a diferença entre a pressão no interior de uma gota e a pressão exterior da seguinte maneira:

Imaginemos um corte passando pelo centro da gota (veja a figura abaixo).

A fronteira circular da uma das metades da gota tem comprimento 2πr, onde r é o raio da gota. Portanto, a força total devida à tensão

Aula 12

.

2

π

r

γ

F

=

₍₂₃₎

Por outro lado, existe uma força exercida de dentro para fora da gota devida à diferença entre a pressão no interior e a pressão no exterior. Em cada ponto da superfície da gota, a força devida a essa diferença de pressão é perpendicular à superfície e dirigida para fora (veja a figura anterior). Quando essas forças são somadas vetorialmente, as componentes verticais se cancelam e só resta a soma das componentes horizontais, que aponta para a direita na figura anterior.

O valor dessa força é igual ao produto da diferença de pressão pela área da seção reta da esfera, πr2:

,

2

P

r

PA

F

=

∆

=

π

∆

₍₂₄₎

onde ∆P é a pressão dentro da gota menos a pressão fora dela. Como a gota está em equilíbrio, a força devida à diferença de pressão deve ser igual à força devida à tensão superficial. Então:

⇒

=

∆

π

γ

π

r

2

P

2

r

.

2

r

P

=

γ

∆

⇒

₍₂₅₎

Notem que o resultado acima vale tanto para uma gota de água no ar (uma gotícula de chuva, por exemplo) como para uma bolha de ar na água (uma bolha de ar em uma garrafa de água com gás, por exemplo).

No caso de uma bolha de sabão a situação é um pouco mais complicada, pois existem duas interfaces: (i) entre o ar no interior da bolha e a superfície interna feita de água misturada a sabão; e (ii) entre a superfície externa, também feita de água e sabão, e o ar externo à bolha.

Como essas duas interfaces são esféricas, de mesmo raio e entre os mesmos materiais (ar e água ensaboada), podemos considerar que cada uma gera uma diferença de pressão igual a (25), de maneira que a diferença de pressão total entre o interior da bolha de sabão e o exterior é

.

4

r

P

=

γ

∆

₍₂₆₎

O valor experimental de γ para a interface entre o ar e a água é de

Aula 12

(

)

₂₈₈

_Pa

m

10

5

,

0

N/m

072

,

0

2

3

=

×

×

=

∆

P

_{− .}

Este é um excesso de pressão muito pequeno em comparação com a pressão atmosférica (~ 105 Pa).

Quando um líquido está contido em um recipiente, as moléculas da sua superfície próximas à parede do recipiente são atraídas para a parede. Esta força atrativa é chamada de adesão. Ao mesmo tempo, essas moléculas também estão sujeitas à força atrativa de coesão exercida pelas demais moléculas do líquido, que as puxam na direção oposta (para o interior do líquido).

O ângulo de contato θ na figura acima é o ângulo entre a parede e a

tangente à interface entre o ar e o líquido no ponto de contato da interface com a parede. Por convenção, ele é medido a partir do interior do líquido.

Note que se θ < 90o (ângulo agudo) teremos um caso em que a

adesão é maior que a coesão, como o da figura (a) acima, e a superfície do líquido se curva para cima; já se θ > 90o (ângulo

obtuso) teremos um caso em que a coesão é maior que a adesão, como o da figura (b) acima, e a superfície do líquido se curva para baixo.

O ângulo de contato θ é uma constante que depende das

propriedades dos três materiais envolvidos: o fluido no interior do recipiente (indicado por líquido na figura), o fluido onde o recipiente e o líquido estão (indicado por ar na figura) e o material do qual é feito o recipiente.

Aula 12 Se a adesão for maior que a coesão, um líquido em um tubo estreito mergulhado em um recipiente com o mesmo líquido irá se levantar até uma altura h em relação ao nível do líquido no recipiente (veja a figura (a) abaixo). Caso contrário, o liquido irá se abaixar (veja a figura (b) abaixo).

A altura h pode ser calculada da seguinte maneira. O peso P da coluna de líquido de altura h é:

,

2

g

h

r

P

=

π

ρ

₍₂₇₎

onde r é o raio do tubo cilíndrico e ρ é a densidade do líquido. A

força devida à tensão superficial que atua ao longo da periferia do líquido (circulo de comprimento L = 2πr) é:

.

2

π

r

γ

F

=

₍₂₈₎

Essa força forma um ângulo com a parede igual a θ. No equilíbrio, a

.

cos

2

cos

2

g

h

r

r

P

F

θ

=

⇒

π

γ

θ

=

π

ρ

Isolando h nesta expressão:

.

cos

2

g

r

h

ρ

θ

γ

=

₍₂₉₎

Quando θ < 90o (adesão maior que coesão), a equação acima dá uma

altura h positiva. Este é o caso mostrado na figura (a) acima. Quando

θ > 90o (coesão maior que adesão), a equação acima dá uma altura h