. Determine o valor de

1. (Valor: 0,7) Sabe-se que ^log

2

y  ^log

2

³  ^log

2

⁶  ^{3 . log}

2

⁴ . Determine o valor de y.

Solução. Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos:

 

 

32 9 64 18 64

log 18 log

) 4 (

6 log 3 log

) /

( 4 log 6 3 log log

4 log . 3 6 log 3 log log

2 2

2 3 2

3 2 2

2

2 2

2 2









 

















y y

quociente y

potência ção

multiplica y

y

2. (Valor: 0,7) Suponha que uma substância radioativa se desintegre de modo que, partindo de uma quantidade inicial Q

0

, a quantidade existente Q (em gramas) após t anos seja dada por

e

t

Q t

Q ( ) 

₀

.

^0,05

.

a) Dados ^{e  2 , 7} e Q

0

= 270g, determine a quantidade existente dessa substância daqui a 20 anos.

Solução. Calculando Q(20), temos:

e g e Q Q

eQ

Q 100

27 2700 7,2 270 .270 270

270 )20(

.

)20( ₁

0

)20(

05,0

0      

 





 ^ _

b) Dado ln 2 = 0,70, calcule o tempo t necessário para que a quantidade inicial da substância se reduza à metade.

Solução. Calculando “t” para que Q(t) = Q

0

/2, temos:

1

COLÉGIO PEDRO II © UESC III NOTA:

TERCEIRA CERTIFICAÇÃO / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II © 2

^a

SÉRIE © 2

^o

TURNO COORDENADORA: Maria Helena Baccar

PROFESSOR (A): ...

NOME: GABARITO N

^o

:__________ TURMA:_______

) 05, (14

0 7,0 7,0 05, 0 7,0 0 2ln 2 1ln

ln 1 2 log 1

2 log 1 05, 0

2 log 1 05, 2 0 . 1

2 2 )(

. )(

)(

05, 0 )(

05, 0 0 0 0

)(

05, 0 0

anos t

t t

t e

e Q Q tQ Q

e Q tQ

e e

e t

t t













 



 





























 

 













3. (Valor: 0,7) Em um triângulo, as medidas da base, da altura e da área formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 8. Determine a área desse triângulo, sabendo que as dimensões estão em centímetros.

Solução. Os termos da PG são (x, 8x, 64x) representando respectivamente base, altura e área. Pela fórmula da área, temos:

2 2

1024 )

16 ( 64 16 64

0

0 ) 16 ( 8 0 128 2 8

) 8 )(

64 ( 2

cm x

x Área

el incompatív x

x x x

x x x x

altura Área base







 

 





 















 



4. (Valor: 0,7) Resolva a equação ^{... 4} 8

³ 4

²

1  2 x  x  x  

, sabendo que os termos do membro esquerdo da equação formam uma progressão geométrica .

Solução. O 1º membro forma uma PG infinita de razão

2 1 2 x x

q   . Aplicando a fórmula da PG infinita e resolvendo a equação, temos:

2

2 3 4 2 6 8 4 2 4

2 2 ... 2 8

³ 4

² 1 2

4 8 ...

³ 4

² 1 2

2 2 2 2

1 1 2

1 1 2

1

... 1 8

³ 4

² 1 2

1 1

1

 

 







 



 



 



 



















 

 



 



 

















 







 

x x x

x x

x x

x x x

x x q x

a q x

a

q x a x S x

5. (Valor: 0,7) Resolva, em lR, a equação exponencial 5

^x1

 5

^x

 5

^x1

 105 .

Solução. Desmembrando as potências e usando a fatoração por evidência, temos:

2 5

5 25 5

21 . 5 105 5 5 105

5 21 5 105

25 5 5 1 105 5 5 1 5 1

105 5 . 5 5 5 . 5

105 5

5 5

2 1 1

1 1











 

 



 



 



 



 

 



 



  



 



 



  



















x

x

x

x x

x x

x x x

x x x

3