UFPE — MA301 — 2012.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA
EXERC´ ICIOS RESOLVIDOS 03 – v. 1.0
Orienta¸c˜ao: Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os pas- sos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. S´o conferir a solu¸c˜ao de um item ap´os tentar resolvˆe-lo seriamente.
Recordemos a seguinte axiom´atica para ´algebras booleanas. Um conjunto A munido de elementos especiais F e V distintos, uma opera¸c˜ao un´aria ¬, e opera¸c˜oes bin´arias ∧ e ∨´e dito uma ´algebra booleana se, e somente se, valem as 10 identidades abaixo, ondex,y ez s˜ao elementos arbitr´arios deA:
1. Associatividadede ∧: (x∧y)∧z =x∧(y∧z);
2. Associatividadede ∨: (x∨y)∨z =x∨(y∨z);
3. Comutatividade de ∧: x∧y=y∧x; 4. Comutatividade de ∨: x∨y=y∨x;
5. Distributividade de ∧com rela¸c˜ao a ∨:
x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z);
6. Distributividade de ∨com rela¸c˜ao a ∧:
x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z) 7. Complemento: x∧ ¬x=F;
8. Complemento: x∨ ¬x=V; 9. Absor¸c˜ao: x∧(x∨y) =x; 10. Absor¸c˜ao: x∨(x∧y) =x.
Dica para toda a lista: Explorar a dualidade, isto ´e, reaproveitar expres- s˜oes v´alidas e demonstra¸c˜oes trocando toda instˆancia de∧por∨e vice-versa, e toda instˆancia de F por V e vice-versa, baseando-se no fato de que todo axioma de ´ındice par acima ´e a dualiza¸c˜ao do axioma de ´ındice ´ımpar anterior.
Quest˜ao 1. Provar que, numa ´algebra booleana, valem as propriedades:
a. Limita¸c˜ao – lei de identidade: x∧V =x; b. Limita¸c˜ao – lei de identidade: x∨F =x;
c. Idempotˆenciade ∧: x∧x=x;
d. Idempotˆencia de∨: x∨x=x;
e. Limita¸c˜ao – aniquilamento: x∧F =F; f. Limita¸c˜ao – aniquilamento: x∨V =V;
Os valores das opera¸c˜oes nos elementos especiais s˜ao os desejados:
g. ¬F =V; ¬V =F;
h. F ∧F =F ∧V =V ∧F =F; V ∧V =V; e i. F ∨F =F; F ∨V =V ∨F =V ∨V =V;
Finalmente:
j. x∧y =x∧(¬x∨y);
k. x∨y=x∨(¬x∧y);
l. Caracteriza¸c˜ao da nega¸c˜ao pelas leis de complemento: ¬x ´e deter- minado pelas leis de complemento. Em outras palavras, ¬x ´e o ´unico elemento de A a satisfazer tais leis: se x∧y=F e x∨y=V, ent˜ao y=¬x;
m. Involu¸c˜aode ¬ (ou dupla nega¸c˜ao): ¬ ¬x=x;
n. Lei de De Morgan: ¬(x∧y) =¬x∨ ¬y;
o. Lei de De Morgan: ¬(x∨y) =¬x∧ ¬y.
Quest˜ao 2. Demonstrar que, na presen¸ca de alguns dos axiomas 1 a 8, o par de axiomas 9 e 10 equivale ao par de identidades ae b.
RESOLU ¸C ˜AO COMENTADA
1.a. Dado um elemento x∈A, x∧V =x∧(x∨ ¬x) =x, onde a primeira igualdade ´e devida ao Axioma 8, e a segunda, ao Axioma 9 tomando-se1 y =¬x. Da arbitrariedade de x, temos a Identidade a;
1.b. Dualizar a argumenta¸c˜ao acima;
1.c. Dadox∈A, x∧x= (x∧x)∨F = (x∧x)∨(x∧ ¬x) =x∧(x∨ ¬x) = x∧V =x, onde: a primeira igualdade ´e devida `a Identidadebreescrita como y∨F =y e aplicada ao elemento y =x∧x; a segunda ´e devida ao Axioma 7; a terceira, `a distributividade de ∧ com rela¸c˜ao a ∨; a quarta, ao Axioma 8; e a quinta, `a Identidade a. Da arbitrariedade de x, temos a Identidade c;
1.d. Dualizar a argumenta¸c˜ao anterior;
1.e. Dado x ∈ A, x∧F = x∧(x∧ ¬x) = (x∧x)∧ ¬x = x∧ ¬x = F, onde: a primeira e ´ultima igualdades s˜ao devidas ao Axioma 7; a segunda,
`a associatividade de ∧; e a terceira, `a Identidade c. Da arbitrariedade dex, temos a Identidade e;
1.f. Dualizar a argumenta¸c˜ao anterior;
1.g. ¬F = ¬F ∨F = F ∨ ¬F =V, onde: a primeira igualdade ´e devida `a Identidade b aplicada ao elemento x=¬F; a segunda, `a comutatividade de
∨; a terceira, ao Axioma 8 aplicado ao elemento x=F. A dualiza¸c˜ao desta demonstra¸c˜ao prova que ¬V =F;
1.h. Aplicando a Identidade a aos elementos x = F e x = V, respectiva- mente, obtemos F ∧V =F eV ∧V =V. Aplicando a Identidade eao inv´es de a, obtemos F ∧F =F =V ∧F;
1.i. Dualizar a argumenta¸c˜ao anterior;
1.j. Dados x, y ∈ A, x∧(¬x∨y) = (x∧ ¬x)∨(x∧y) = F ∨(x∧y) = (x∧y)∨F =x∧y, onde: a primeira igualdade ´e devida `a distributividade de
∧ com rela¸c˜ao a∨; a segunda, ao Axioma 7; a terceira, `a comutatividade de
1¬x´e o resultado de uma opera¸c˜ao emA e, portanto, ´e um elemento deA.
∨; e a quarta, `a Identidade b aplicada ao elemento x∧y. Da arbitrariedade de x ey, temos a Identidade j;
1.k. Dualizar a argumenta¸c˜ao anterior;
1.l. Nesta prova, temos uma certa simetria entrey e¬x. A menos de comu- tatividade, desenvolvemosyat´e a formaF∨(¬x∧y) e, ent˜ao, seguimos passos an´alogos em ordem reversa para obtermos ¬x. Sejam x e y elementos de A tais que x∧y =F (Hip´otese 1) e x∨y=V (Hip´otese 2). Desejamos mostrar que y=¬x. Ora, y=y∧V =y∧(x∨ ¬x) = (y∧x)∨(y∧ ¬x) = (x∧y)∨(¬x∧y) =F∨(¬x∧y) = (x∧ ¬x)∨(¬x∧y) = (¬x∧x)∨(¬x∧y) =
¬x∧(x∨y) =¬x∧V =¬x, onde: a primeira igualdade ´e devida `a Identidade a aplicada ao elemento y; a segunda, ao Axioma 8; a terceira, `a distributi- vidade de ∧ com rela¸c˜ao a ∨; a quarta, `a comutatividade de ∧; a quinta, `a Hip´otese1; a sexta, ao Axioma 7; a s´etima, `a comutatividade de ∨; a oitava,
`a distributividade de∨ com rela¸c˜ao a∧; a nona, `a Hip´otese2; e a d´ecima, `a Identidade a aplicada ao elemento ¬x. Da arbitrariedade de x e y, temos a propriedade l;
1.m. Nesta prova, temos uma simetria entre ¬¬x e x. A menos de co- mutatividade, desenvolvemos ¬¬x at´e a forma (x∧ ¬¬x)∨F e, ent˜ao, se- guimos passos an´alogos em ordem reversa para obtermos x. Dado x ∈ A,
¬¬x=¬¬x∧V =¬¬x∧(x∨ ¬x) = (¬¬x∧x)∨(¬¬x∧ ¬x) =
(x ∧ ¬¬x) ∨ (¬x ∧ ¬¬x) = (x ∧ ¬¬x) ∨ F = (x ∧ ¬¬x) ∨ (x ∧ ¬x) = x∧(¬¬x∨ ¬x) =x∧(¬x∨ ¬¬x) =x∧V =x, onde: a primeira igualdade
´e devida `a Identidade a aplicada ao elemento ¬¬x; a segunda, ao Axioma 8; a terceira e a s´etima, `a distributividade de ∧ com rela¸c˜ao a ∨; a quarta,
`a comutatividade de ∧; a quinta, ao Axioma 7 aplicado ao elemento ¬x; a sexta, ao Axioma 7; a oitava, `a comutatividade de ∨; a nona, ao Axioma 8 aplicado ao elemento ¬x; e a ´ultima, `a Identidade a. Da arbitrariedade de x, temos a Identidade m;
1.n. Dados x, y ∈ A, mostraremos que o elemento b = ¬x∨ ¬y de A ´e o resultado da opera¸c˜ao ¬ aplicada ao elemento a =x∧y de A. Para tanto, utilizaremos a Propriedade l: se a∧b=F ea∨b =V, ent˜ao b=¬a. Ora:
a∧b = (x∧y)∧(¬x∨ ¬y) = [(x∧y)∧ ¬x]∨[(x∧y)∧ ¬y] =
[y∧(x∧¬x)]∨[x∧(y∧¬y)] = [y∧F]∨[x∧F] =F∨F =F, onde: a segunda igualdade ´e devida `a distributividade de ∧ com rela¸c˜ao a ∨; a terceira, ao
uso judicioso2 da comutatividade e da associatividade de ∧ em cada fator de ∨; a quarta, ao Axioma 7 aplicado aplicado, separadamente, a x e y; a quinta, `a Identidade e aplicada aplicado, separadamente, a y e x; e a sexta,
`a Propriedade i. J´a a∨b = (x∧y)∨(¬x∨ ¬y) = (¬x∨ ¬y)∨(x∧y) = [(¬x∨ ¬y)∨x]∧ [(¬x ∨ ¬y)∨y] = [¬y∨(x ∨ ¬x)]∧[¬x∨ (y ∨ ¬y)] = [¬y∨V]∧[¬x∨V] = V ∧V = V, onde: a segunda igualdade ´e devida `a comutatividade de ∨; a terceira, `a distributividade de ∨ com rela¸c˜ao a ∧; a quarta, ao uso judicioso3 da comutatividade e da associatividade de ∨ em cada fator de ∧; a quinta, ao Axioma 8 aplicado, separadamente, a x e y;
a sexta, `a Identidade f aplicada aplicado, separadamente, a ¬y e ¬x; e a s´etima, `a Propriedade h. Logo, b=¬a, isto ´e,¬a =b, isto ´e,
¬(x∧y) = ¬x∨ ¬y. Da arbitrariedade de xe y, temos a Identidade n;
1.o. Um caminho ´e a dualiza¸c˜ao do argumento anterior. Outro caminho combina as duas ´ultimas identidades: Sejam x e y elementos de A. De n, sabemos que, para todos os elementos w e z de A, ¬(w∧z) = ¬w∨ ¬z.
Aplicando isto aos elementos w =¬x e z =¬y, obtemos que
¬(¬x∧¬y) =¬¬x∨¬¬y=x∨y, onde a ´ultima igualdade ´e devida `a aplica¸c˜ao da dupla nega¸c˜ao a xey. Logo, x∨y=¬(¬x∧ ¬y). Aplicando a nega¸c˜ao a ambos os membros da igualdade, obtemos ¬(x∨y) =¬¬(¬x∧¬y) =¬x∧¬y. Da arbitrariedade de xe y, temos a Identidade o. Q.E.D.
2. Seja A um conjunto munido de F, V, ¬, ∧ e ∨ satisfazendo os axiomas 1–8. Na Quest˜ao 1, obtivemos 9 ⊢ a (e, dualmente, 10 ⊢ b). Al´em disto, ao provarmosc–f, usamos, diretamente, alguns dos axiomas 1–8 e as identidades ae bcom estas duas j´a demonstradas mas, se elas fossem axiomas, ter´ıamos chegado a c–fsem usarmos 9 ou 10. Em suma: {1−8,a,b} ⊢ {c−f}. Da´ı:
{a,b} ⊢ 9: dados x, y ∈A, x∧(x∨y) = (x∨F)∧(x∨y) = x∨(F ∧y) = x∨(y∧F) =x∨F =x, onde: a primeira e a ´ultima igualdades s˜ao devidas `a Identidade b; a segunda, `a distributividade de∨ com rela¸c˜ao a∧; a terceira,
`a comutatividade de ∧; e a quarta, devido `a Identidade e (consequˆencia de 1–8, a e b) aplicada ay. Da arbitrariedade dex e y, obtemos 9;
{a,b} ⊢ 10: dualizar a argumenta¸c˜ao anterior. Assim:
{1−10} ⊢ {a,b} e {1−8,a,b} ⊢ {9,10}∴{1−8} ⊢ {(9 e 10)⇐⇒(a eb)}.
2Ex.: (x∧y)∧ ¬x= (y∧x)∧ ¬x=y∧(x∧ ¬x); e (x∧y)∧ ¬y=x∧(y∧ ¬y).
3Ex.: (¬x∨ ¬y)∨x= (¬y∨ ¬x)∨x=¬y∨(¬x∨x) =¬y∨(x∨ ¬x); e (¬x∨ ¬y)∨y=¬x∨(¬y∨y) =¬x∨(y∨ ¬y).
