Modelo de fatores dinâmicos aplicado ao mercado brasileiro de ações

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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

ALEXANDRE MAGNAGO CONCEIÇÃO

MODELO DE FATORES DINÂMICOS APLICADO AO

MERCADO BRASILEIRO DE AÇÕES

SÃO PAULO

2017

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ALEXANDRE MAGNAGO CONCEIÇÃO

MODELO DE FATORES DINÂMICOS APLICADO AO

MERCADO BRASILEIRO DE AÇÕES

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas. Orientador:

Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Teran

SÃO PAULO

2017

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Conceição, Alexandre Magnago.

Modelo de fatores dinâmicos aplicado ao mercado brasileiro de ações / Alexandre Magnago Conceição. - 2017.

40 f.

Orientador: Juan Carlos Ruilova Teran

Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo.

1. Modelos econométricos. 2. Mercado de capitais. 3. Ações (Finanças). 4. Mercado financeiro. I. Ruilova Terán, Juan Carlos. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

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ALEXANDRE MAGNAGO CONCEIÇÃO

MODELO DE FATORES DINÂMICOS APLICADO AO

MERCADO BRASILEIRO DE AÇÕES

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas.

Data da Aprovação: / /

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Teran

(Orientador) FGV - EESP

Profa. Dra. Airlane Pereira Alencar)

USP - IME

Prof. Dr. Alessandro Marquis

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Agradecimentos

Agradeço ao Credit-Suisse por me financiar nessa aventura. Aos meus professores, por me guiarem pelo caminho e, em especial, ao meu orientador, por me mostrar uma infinidade de possibilidades.

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RESUMO

O uso de modelos de fatores dinâmicos permite analisar processos estocásticos com grande número de dimensões, sendo exatamente esse o caso do mercado financeiro quando se consideram as séries formadas pelos preços de ações. Ao se utilizar as previsões feitas pelos modelos, é possível criar estratégias de trading cuja performance pode ser aferida. De posse dos preços de fechamento de ativos pertencentes ao IBX100 no período de 2010 até 2016, os parâmetros do modelo foram estimados e estratégias de trading foram propostas. Os indicadores de performance de algumas das estratégias superaram aqueles do índice IBOVESPA no período estudado, oferecendo retorno anualizado de até 27% e máximo drawdawn de 21%, contra um retorno de 1.12% e max drawdawn de 48% do IBOVESPA. Portanto, esses modelos são capazes de capturar a dinâmica dos preços de ações na medida em que suas previsões podem ser utilizadas para criar estratégias de

trading com performance superior à do Índice IBOVESPA.

Palavras-chave: Análise PCA. Estratégias de Trading. Fatores Latentes. Modelo

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ABSTRACT

Using dynamic factor models, one can analyse stocastic processes having multiple dimen-sions, that being the case on financial markets when considering the series formed by the stock prices. By using the model predictions it is possible to create trading strategies and measure their performance. With the closing prices of the stocks belonging to the IBX100 index from 2010 till 2016, the model parameters were estimated and trading strategies were proposed. The performance indicators of some strategies were superior than those of the IBOVESPA index on the given period of time, offering anualized returns of 27% and a 48% maximum drawdawn against 1.12% anualized return and 48% maximum drawdawn on the IBOVESPA. Therefore, those models are capable of capturing the price dynamic in such a way that their predictions can be used to create trading strategies having a performance higher than that of the IBOVESPA index.

Keywords: Econometric model. Latent Factors. Time series. Trading Strategies. PCA

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia long-only com ew (estima-tion window) = 250 . . . 24

Figura 2 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia long-short com ew (esti-mation window) = 250 . . . 25

Figura 7 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia direcional com ew (estima-tion window) = 150 . . . 34

Figura 10 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia mínimo ETL com ew (estimation window) = 150. . . 37

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Média do número de fatores latentes obtido utilizando o critério IPC2 conforme descrito em (BAI; NG, 2002). Para cada série temporal utilizada, determinam-se o número de fatores latentes, e se toma o inteiro mais próximo da média do número de fatores obtidos . . . 21

Tabela 2 – Variância explicada por cada fator na análise por log-retorno . . . 21

Tabela 3 – Número de negócios realizados em relação aos parâmetros do modelo . . . 22

Tabela 4 – Comparação dos indicadores dos portfólios gerados a partir das estratégias de trading geradas entre 2010 e 2016. Os parâmetros ew (estimation window) e fh (forecast horizon) são mostrados, respectivamente nas duas primeiras colunas. Nesse período, o índice IBOVESPA teve um Máximo Drawdawn observado de 48.63% e uma rentabilidade anualizada de 1.12%. Os betas mensurados em relação ao IBOVESPA são zero até a quarta casa decimal. . . 23

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Sumário

1 Introdução. . . 10

2 Revisão Bibliográfica . . . 11

3 Objetivo . . . 13

4 Modelo . . . 14

4.1 Análise de Componentes Principais - PCA . . . 14

4.2 Modelo de Fatores Dinâmicos . . . 14

4.2.1 Determinação do Número de Fatores . . . 15

4.2.2 Dinâmica dos Fatores . . . 16

4.3 O Modelo Escolhido . . . 17

5 Metodologia. . . 18

5.1 Dados . . . 18

5.2 Estimação dos parâmetros do modelo . . . 18

5.3 Estratégias de Trading . . . 18

5.3.1 Estratégia Long-Only . . . 19

5.3.2 Estratégia Long-Short . . . 20

5.3.3 Estratégia Direcional . . . 20

5.3.4 Estratégia Expected Tail Loss Minimization . . . 20

6 Resultados. . . 21

6.1 Número de fatores do modelo . . . 21

6.2 Indicadores de performance dos portfólios gerados a partir das estratégias . 22 7 Conclusões . . . 26

Referências . . . 27

Apêndices

29

APÊNDICE A Gráficos da evolução dos portfólios gerados pelas estratégias de trading . . . 30

A.1 Estratégia Long-Only . . . 30

A.2 Estratégia Long-Short . . . 32

A.3 Estratégia Direcional . . . 34

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1 Introdução

Uma premissa de modelos de fatores dinâmicos (MFD) é que um número pequeno de processos estocásticos não observáveis, chamados de fatores latentes, são capazes de explicar a dinâmica de um grande número de processos observáveis. Esse tipo de modelo tem recebido bastante atenção da literatura especialmente pelo fato de ser cada vez mais comum utilizar grande número de variáveis - o conceito de big data - dado o poder de processamento disponível nos computadores modernos, com trabalhos que exploram processos com 8000 dimensões e 8000 amostras de cada processo.

Diversos trabalhos utilizam MFD com o objetivo de explicar e/ou prever variáveis macroeconômicas, como PIB ou preços, a partir de diversas outras séries. Mais recentemente, a teoria de MFD é aplicada também no mercado financeiro que tipicamente possui um número bastante elevado de séries com amostragens que podem ser anuais, diárias ou até em intervalos de micro ou nano segundos, de maneira que existe um número muito grande de dados disponíveis. Nesse contexto, é possível a aplicação de MFD afim de se reduzir a complexidade da análise dessas séries, efetuando-se previsões que podem ser convertidas em ganho de capital ao se criar estratégias de trading.

Apesar da literatura de MFD requerer a hipótese de estacionariedade das séries, existem trabalhos que mostram que essa hipótese pode ser relaxada. Isso pode ser interes-sante no caso do mercado financeiro já que ao não se perder o nível das séries originais existe a possibilidade de se modelar as tendências em comum. Seria possível verificar, por exemplo, a existência de uma tendência que afeta somente um determinado setor de empresas afim de se realizar previsões.

Esta dissertação está estruturada da seguinte maneira: nos capítulos 2 e 3 se encontram, respectivamente, uma revisão da literatura de MFD, contexto no qual esse trabalho se insere, e seu objetivo; no capítulo 4é mostrado em maiores detalhes os métodos escolhidos para se fazer a estimação dos parâmetros; já no capítulo 5 são propostas quatro estratégias de trading de maneira a se aplicar as previsões feitas; os resultados encontrados são mostrados no capítulo 6e as conclusões finais estão no capítulo 7.

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2 Revisão Bibliográfica

Modelos de fatores dinâmicos, conforme citado em (STOCK; WATSON, 2016),

partem da premissa que uma série temporal multi-dimensional pode ser explicada através da existência de fatores latentes não observados, de maneira que o número de fatores é relativamente menor que o de séries, o que permite uma redução de complexidade.

Na década de 1970 esses modelos foram propostos por (GEWEKE, 1977) e ( SAR-GENT; SIMS et al., 1977), como forma de explicar dados em painel. É mostrado em (SARGENT; SIMS et al., 1977) que importantes regularidades estatísticas existem quando se consideram um grande número de séries temporais, e conclui-se que apenas dois fatores dinâmicos são capazes de explicar variáveis como PIB, desemprego, preços, dentre outras. Em (GIANNONE; REICHLIN; SALA,2004) é mostrado que boa parte da dinâmica de médio e longo prazo das séries de inflação, produção, dentre outras, podem ser extraídas de outras variáveis como PIB e desemprego utilizando MFD com apenas dois fatores. Nessa linha, (STOCK; WATSON, 2006) também utilizam diversas variáveis para realizar a previsão da série de produção industrial americana comparando as previsões feitas por MFD com outros métodos, por exemplo VAR e OLS, mostrando que MFD oferecem as melhores previsões.

Fora do contexto de variáveis macro-econômicas, (FOCARDI; FABOZZI; MITOV,

2016) utiliza MFD com séries de preço e de retorno de ativos negociados no mercado de ações americano, mais especificamente para ativos do S&P 500. São apresentadas estratégias de trading baseadas na construção de portfólios long-only - no qual se compram ações para posterior venda e longshort assumemse posições compradas e vendidas -todas baseadas na previsão dos retornos feitas por MFD. Os pesos dos ativos nos portfólios são determinados através de duas funções de otimização, uma visando a redução de perdas de cauda, ou expected tail loss e outra maximizando o sharp ratio. (FOCARDI; FABOZZI; MITOV, 2016) conclui que a modelagem por série de preços oferece resultado melhor do que a modelagem feita por série de retornos, apesar das duas oferecem ganhos de capital. O maior retorno obtido foi da ordem de 27% ao ano no período de estudo, de 1989 até 2011.

O trabalho de (AASTVEIT; BJØRNLAND; THORSRUD, 2015) utiliza MFD,

mais especificamente a representação por factor-augmented vector autoregressive (FAVAR), para mostrar que a influência da demanda por petróleo de países emergentes é mais influente no preço da commodity do que a de países desenvolvidos. Em sua modelagem, todas as séries são transformadas de maneira a se induzir a estacionariedade, como por exemplo, tomando-se a primeira diferença dos logaritmos. Trabalhando também com

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Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 13

séries estacionárias, (ANGELINI; BANBURA; RÜNSTLER, 2008) utiliza MFD para

explicar e prever o PIB na zona do Euro, e (FORNI; GAMBETTI,2010) utiliza 112 séries macroeconômicas para estudar os efeitos de choques na política monetária americana, concluindo que o modelo de fatores produzem resultados melhores que o s-VAR (structural

VAR).

Em outros trabalhos a hipótese de estacionariedade das séries é relaxada. Em (STOCK; WATSON, 1988) é proposto uma representação por tendências comuns quando os processo estocásticos são co-integrados, dessa forma não seria necessária a diferenciação para obtenção de séries estacionárias sendo proposto também um teste para a determinação

do número de tendências comuns. (PEÑA; PONCELA, 2006) apresenta um modelo de

fatores dinâmicos que comporta fatores não estacionários, e sugere uma estatística de teste

chi-square que é capaz de determinar o número total de fatores (estacionários ou não). É

definida uma matriz generalizada de covariância normalizada cuja base do espaço vetorial é utilizada para determinação da série dos fatores. Em (BAI; NG, 2002) são apresentados diversos critérios de informação para a escolha do número de fatores.

Uma peça chave em MFD é a Principal Components Analisys (PCA), que é uma das técnicas utilizadas para estimar a série dos fatores latentes, o que é mostrado em (STOCK; WATSON, 2016) e (STOCK; WATSON, 2006). Entretanto, existem outras maneiras de se obter os fatores latentes, descritas nos trabalhos de (BAI; NG, 2002) e (PEÑA; PONCELA, 2006), nos quais são utilizadas diferentes normalizações do espaço gerado pela matriz de covariância das séries de log-preço e log-retorno. A PCA também é empregada para encontrar séries cointegradas em amostras com grandes dimensões, o que é aplicado na criação de estratégias de trading categorizadas como arbitragem estatística. Essas estratégias possuem custo inicial zero e chance de ganho cuja esperança converge para um valor maior do que zero em um horizonte de tempo suficientemente grande, conforme definido em (JARROW et al., 2012).

No mercado de ações brasileiro (SOTO, 2016) utiliza PCA para encontrar as tendências comuns, ou o vetor de cointegração, como descrito em (ZHANG et al.,2014) e, através de uma modelagem VECM, cria estratégias de trading capazes de explorar o fato que as tendências em comum são estacionárias. Já (PUCCIARELLI, 2014) busca por pares de ações - de uma mesma empresa ou ETF ( Exchange Trade Funds) cointegrados e utiliza um

modelo de Ornstein-Uhlenbeck nos moldes de (TRIANTAFYLLOPOULOS; MONTANA,

2011), fazendo uso de parâmetros dependentes do tempo, enquanto (CALDEIRA; MOURA,

2013) busca por pares utilizando os testes de cointegração de Engle and Grangers e

Johansen.

Enquanto a análise das séries cointegradas de duas ou mais ações é comumente explorada no mercado de ações brasileiro, não há registro na literatura da aplicação de MFD nesse contexto, sendo exatamente essa a contribuição deste trabalho.

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3 Objetivo

Esse trabalho tem por objetivo aplicar a técnica de Modelo de Fatores Dinâmicos no mercado de ações brasileiro, realizando a modelagem com as séries de log-preço (não estacionárias) e log-retorno (estacionárias). Em seguida, as previsões das séries temporais serão utilizadas na criação de estratégias de trading e simuladas com dados out-of-sample afim de verificar sua viabilidade.

Foram propostas quatro estratégias de trading com base nos log-retornos previstos pelo MFD. Elas utilizaram uma janela móvel para estimação dos parâmetros do modelo

-ew (estimation window). As estratégias foram simuladas com diferentes valores de -ew, de

maneira a se comparar sua performance, e o mesmo foi feito com a escolha do número de passos a frente em que se faz a previsão - fh (forecast horizon).

Utilizaram-se as séries históricas dos preços de fechamento de um conjunto de 81 ativos do índice IBX100. Os resultados foram analisados para se comparar: diferentes estratégias; parâmetros de estimação e previsão; e tipo de análise, se por log-preço ou log-retorno.

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4 Modelo

Os modelos de fatores dinâmicos fornecem uma maneira de se explicar processos estocásticos multidimensionais. Dessa maneira, um processo estocástico com N dimensões e T observações será representado por uma matriz X, (N ×T ) em que cada linha representa a evolução no tempo de uma dimensão do processo. A realização do processo no instante t é referenciada por Xt, um vetor (N × 1).

A seguir é descrita a análise de componentes principais, necessária para aplicação do MFD, assim como a teoria do MFD.

4.1 Análise de Componentes Principais - PCA

A PCA, do inglês Principal Component Analisys, consiste em determinar uma base normalizada do espaço vetorial gerado pela matriz de variância XX0 de forma que os auto-vetores sejam ordenados de maneira decrescente em relação aos seus respectivos auto-valores. Assim, ao se projetar X no primeiro auto-vetor a série resultante é capaz de explicar a maior variância entre todas as projeções nos outros auto-vetores. Ao se escolher o segundo auto-vetor, gera-se a série com a segunda maior variância e assim por diante. Em (BAI; NG et al., 2008) são mostradas diversas aplicações da PCA quando se consideram processos estocásticos multidimensionais com um grande número de observações, dentre elas a obtenção de tendências comuns, que seriam uma releitura dos dados de maneira a identificar padrões gerais. Nas sessões subsequentes utiliza-se a análise PCA como um estimador consistente da série dos fatores latentes em um MFD, conforme mostrado por (CONNOR; KORAJCZYK, 1986), de forma que a série de um fator latente é dada por

viX, onde Vi é um dos auto-vetores obtidos através da PCA.

4.2 Modelo de Fatores Dinâmicos

Modelos de fatores dinâmicos tem a premissa de que um processo estocástico com N dimensões é regido por q fatores latentes não observados (com q << N ), que possuem uma dinâmica própria, além disso, esses fatores podem ser estimados através das séries observadas. Como o número de fatores latentes é idealmente muito menor do que a dimensão do processo estocástico original, a complexidade na análise é reduzida, o que faz com que essa técnica seja bastante útil quando a dimensão do processo original é grande.

Conforme mostrado em (STOCK; WATSON,2016), o modelo pode ser representado por duas maneiras equivalentes: fatores dinâmicos ou fatores estáticos. As equações abaixo

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Capítulo 4. Modelo 16

descrevem a representação com fatores dinâmicos,

Xt= λ(L)ft+ et (4.1)

ft= Ψ(L)ft−1+ ηt (4.2)

em que ft é a série dos q fatores, portanto uma matriz 1×q, sendo λ(L) e Ψ(L) matrizes

polinomiais de lags N ×q e q×q respectivamente, conforme definido em (STOCK; WATSON,

2016). A equação 4.1 descreve a maneira pela qual os fatores se relacionam com as séries temporais. Já a forma dita estática é uma maneira diferente de se reescrever as equações4.1

e4.2, na qual os coeficientes da matriz de lags, com lag máximo p, ficam explícitos de acordo com Λ = (λ0, λ1, ..., λp) e os fatores são representados pela matriz Ft = (f

0 t, f 0 t−1, ..., f 0 t−p)0, de forma que, Xt = ΛFt+ et (4.3) Ft= ΦFt−1+ Gηt (4.4)

onde G = [Iq 0q×(r−q)]. A forma estática é a mais recomendada para a utilização da análise

de componentes principais. É assumido que as séries et e ηt não são correlacionadas em

qualquer lag, ou seja, E[etη 0

t−s] = 0 para todo s e que E[ete 0

t−s] = 0 para todo s. Para

o caso de séries não estacionárias, o que está exposto em (PEÑA; PONCELA, 2006), mostra que o modelo descrito pelas equações 4.3e4.4 podem ser utilizadas. Isso permite a construção de modelos analisando as séries de log-retornos, que é fracamente estacionária, e log-preços.

4.2.1 Determinação do Número de Fatores

O uso de PCA fornece um estimador consistente para ft, mas não fornece o número

de fatores a serem utilizados, um problema cuja solução é abordada na literatura. No método denominado por Scree Plot - um gráfico com os auto-vetores normalizados e ordenados de maneira decrescente pelos respectivos auto-valores, descrito em (CATTELL,

1966). Nesse caso, a escolha do número de fatores se baseia no total da variância a ser explicada pela adição de um novo auto-vetor ao conjunto de auto-vetores já selecionados, e critérios de informação podem ser utilizados para julgar a necessidade de adição de um novo auto-vetor. Apesar desse método ser o mais simples, a literatura citada só o utiliza no caso de séries estacionárias. Já (ONATSKI, 2010) separa os auto-valores da matriz de covariância em dois grupos, idiossincráticos e sistemáticos, e propõe um método para determinar o número de elementos do último grupo, que é igual ao número de fatores, sem necessitar que as séries sejam estacionárias.

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O método que foi escolhido para a determinação do número de fatores é aquele proposto por (BAI; NG, 2002), que funciona tanto para séries estacionárias quanto não-estacionárias. São propostos alguns critérios de informação, e optou-se pela escolha do critério ICP2, pois, de acordo com os resultados mostrados no artigo, ele é adequado bem para a ordem de grandeza de N e T utilizada nesse trabalho, o que está descrito em

5.2. O critério ICP2 (do inglês information criteria panel) é calculado a partir da função

V (k, Fk_{), cujo valor é obtido pelo seguinte problema de minimização dos quadrados dos}

erros residuais sujeita à normalização Λk0_Λk_{/N = I}

k, mais especificamente, V (k, Fk) = min Λ 1 N T N X i=1 T X t=1 (Xit− λk 0 i F k t) 2 _(4.5)

onde k é o número de fatores. Para um determinado k existem múltiplas soluções para esse problema mas é mostrado que, independente da normalização escolhida, o valor de

V (k, Fk_{) permanece o mesmo. Com esse valor calculado o critério ICP2 é determinado}

por, ICP 2(k) = log (V (k, Fk)) + k(N + T N T ) log (C 2 N T) (4.6) com C2

N T = log (min(N, T )). O número de fatores escolhidos pelo critério ICP2 é um k

tal que a função V (k, Fk_{) tem o menor valor.}

4.2.2 Dinâmica dos Fatores

Após a escolha do número de fatores, é possível estimar a série dos fatores latentes

através da PCA, conforme mostrado em (CONNOR; KORAJCZYK,1986),

multiplicando-se os auto-vetores pela série inicial. A dinâmica dos fatores, descrita na equação 4.4, é um processo VAR(p), cujo o número de lags p pode ser estimado utilizando os critérios de informação de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC) de acordo com as seguintes fórmulas:

AIC = 2k − 2 log ˆL (4.7)

e

BIC = k log N − 2 log ˆL (4.8)

onde ˆL é a função de máxima verossimilhança escolhida. No caso estudado aqui o valor do

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4.3 O Modelo Escolhido

A série dos fatores é estimada através de uma análise PCA de acordo com a equação

4.9,

Ft= V Xt (4.9)

em que V é uma matriz (j × N ) cujas linhas são os auto-vetores associados aos maiores auto-valores da matriz de covariância de X. O número de linhas j é o número de fatores estimado pelo critério ICP2.

De posse do VAR(P) que estabelece a dinâmica dos fatores, é necessário se deter-minar como os fatores se relacionam às séries temporais originais, o que está exposto de maneira geral na equação 4.3. Foi escolhido se descrever essa relação como uma regressão

linear, da mesma maneira que (FOCARDI; FABOZZI; MITOV,2016).

As equações 4.10 e 4.11 descrevem o modelo utilizado nesse estudo, em que os fatores se desenvolvem de acordo com um VAR(1). As matrizes B e C são determinadas pelo método dos mínimos quadrados.

Xt = BFt+ et (4.10)

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19

5 Metodologia

5.1 Dados

O estudo foi conduzido com o mercado de ações brasileiro, particularmente com ações que pertenciam à composição de outubro de 2016 do índice IBX100, que contém os 100 ativos de maior representatividade e negociabilidade, conforme critério definido pela B3. A escolha por ativos com maior liquidez visa redução do custo de bid-ask spread. Utilizou-se a série histórica dos preços de fechamento do período de Janeiro de 2010 até Outubro de 2016. Os preços foram ajustados de forma a remover os efeitos de eventos corporativos como dividendos, distribuição de capital, splits e inplits. Dos 100 ativos pertencentes ao IBX100, foram removidos todos os ativos que tiveram restrições de negociação, ou seja, ficaram suspensos por uma ou mais sessões de negociação (pregão). Com esse filtro, um total de 81 ativos foram efetivamente utilizados.

5.2 Estimação dos parâmetros do modelo

As análises são feitas utilizando as séries de log-preço e log-retorno. Em ambos os casos se utiliza uma janela móvel de ew (estimation window) pregões passados para se estimar os parâmetros do MFD e é feita uma previsão para fh (forecast horizon) pregões a frente. Os valores escolhidos para esses parâmetros são todos os 9 pares {(ew × fh)|ew ∈ (150, 200, 250) ∧ fh ∈ (2, 5, 10))}. Essa escolha visa descobrir quais parâmetros oferecem

melhor resultado.

A escolha do número de fatores foi feita ao se analisar os dois primeiros anos da série utilizando uma janela móvel de ew e se tomando a média do número de fatores obtidos através do critério IPC2. Essa escolha foi mantida durante toda a análise.

5.3 Estratégias de Trading

Foram analisadas 4 estratégias de trading denominadas de Long-Only, Long-Short,

Direcional, e Expected Tail Loss Minimization. A primeira visa apenas a compra de ações

para posterior venda, de maneira a não se incorrer em custo de aluguel. Na segunda, se propõe comprar uma cesta de ativos e vender uma outra cesta de ativos de maneira que o financeiro da compra e venda seja igual - uma carteira auto-financiável. A terceira investe em uma cesta cuja previsão oferece maior retorno e a quarta maximiza uma função que penaliza o valor esperado de perda na cauda. Supõe-se que a negociação será feita no leilão de fechamento que, além de ter tipicamente maior liquidez, é o período cujo preço

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Capítulo 5. Metodologia 20

foi utilizado nas análises. Não foram incluídos os custos de transações, nem custos com aluguel, quando aplicáveis.

As estratégias de trading são feitas de maneira que em um instante ti utilizam

todos os dados da série histórica de ti− ew até ti− 1 para estimar os parâmetros do modelo.

A série histórica pode ser de log-preço ou log-retorno, aqui denominada indistintamente por Xt. Após a estimação dos parâmetros, é feita uma previsão de Xti+fh, que é utilizada

para a tomada de decisão das estratégias. No caso da estratégia Long-Only por exemplo, são escolhidos os ativos cuja previsão oferece o maior retorno. Isso implica que em cada ciclo uma nova estimativa dos parâmetros é feita, originando uma nova previsão que pode ser diferente da anterior, ou seja, os ativos selecionados na carteira podem mudar em cada ciclo.

Independentemente do tipo de análise feita, por log-preço ou log-retorno, todas as estratégias utilizam o retorno previsto pelo modelo de fatores dinâmicos a fim de tomar decisões. No caso da análise por log-preço a previsão do log-retorno é feita ao se considerar a previsão do preço em t + fh, dada por Xt+fh, de maneira que o log-retorno previsto em

t + fh é dado por: log(Xt+fh/Xt). No caso da análise do log-retorno, a previsão é feita

somando-se todos os retornos de t + 1 até t + fh de maneira que, sendo Rt o retorno em t

e Rt+i o retorno previsto em t + i, o retorno previsto em t + fh é dado porPfhi=1Rt+i.

As simulações das estratégias e a estimação dos parâmetros dos modelos foi feita com o uso do Matlab e seu pacote Parallel Computing Toolbox. Foram utilizadas 3 janelas de estimação, 3 janelas de forecast, dois modelos, e 4 estratégias, ou seja, um total de 72 simulações para 1470 pregões e 81 ativos. Nesse volume de dados, todas as simulações levaram em torno de 8 horas para rodar utilizando um computador pessoal com 8GB de memória RAM e processador Intel(R) i7-4510U @ 2GHZ com 4 núcleos. Dessa forma, foi escolhido de maneira arbitrária que 10 ativos seriam negociados por ciclo, dada a limitação no tempo no tempo de simulação, mas é possível estudar como a variação do número de ativos escolhidos afeta o resultado das estratégias.

5.3.1 Estratégia Long-Only

No instante t escolhem-se J ativos com os maiores retornos previstos e se assume uma posição comprada com financeiro de $1/J em cada ativo, totalizando um financeiro de $1. No instante t + fh as posições assumidas são fechadas, vendendo-se os ativos, e o retorno do período é aferido. Uma nova posição comprada é montada da mesma maneira em t + fh para o próximo ciclo. Foi utilizado o valor J = 10 para as simulações de maneira a se negociar 10 ativos por ciclo nessa estratégia.

(22)

Capítulo 5. Metodologia 21

5.3.2 Estratégia Long-Short

No instante t escolhem-se J ativos com os maiores retornos previstos e se assume uma posição comprada com financeiro de $1/J em cada ativo, totalizando um financeiro de $1, concomitantemente os J ativos com o retorno mais baixo previsto são vendidos totalizando um financeiro de -$1, ou seja, uma estratégia auto-financiável, pois o total financeiro do período é zero. No instante t + fh as posições assumidas são fechadas, vendendo-se os ativos que foram comprados e comprando-se os ativos que foram vendidos, e o retorno do período é aferido. Uma nova posição é montada da mesma maneira em

t + fh para o próximo ciclo. Foi escolhido J = 5 para as simulações de maneira que são

negociados também 10 ativos no total por ciclo.

5.3.3 Estratégia Direcional

No instante t escolhem-se J ativos com os maiores retornos previstos em módulo e se assume uma posição comprada ou vendida, dependendo se o retorno é positivo ou negativo, com financeiro de $1/J em cada ativo. No instante t + fh as posições assumidas são fechadas, vendendo-se os ativos que foram comprados e comprando-se os ativos que foram vendidos, e o retorno do período é aferido. Uma nova posição comprada é montada da mesma maneira em t + fh para o próximo ciclo. Foi escolhido J = 10 para as simulações.

5.3.4 Estratégia Expected Tail Loss Minimization

Nessa estratégia é utilizada uma função de perda esperada de cauda (ETL). Calculam-se os pesos a serem dados a J ações que serão compradas e outras J ações que serão vendidas, de maneira que esse peso maximize uma função de utilidade que visa

reduzir ao máximo as perdas nas caudas conforme descrito em (FOCARDI; FABOZZI;

MITOV, 2016). Mais especificamente, sendo Pt+fh o retorno do portfólio previsto para

t + fh, procura-se por um vetor de pesos w (N ×1), onde N é o total de ativos da amostra,

que maximize o valor esperado da função E[Pt+fh] + λE[Pt+fh|Pt+fh < qα(Pt+fh)], onde

E[Pt+fh] = Rt+fhw. São impostas as seguintes restrições ao vetor de pesos w: o financeiro

da compra deve ser igual ao financeiro da venda - Pi=N

i=1 wi = 0; apenas J ativos serão

comprados e J serão vendidos, ou seja, existem exatamente J elementos de w que são maiores que zero e J que são menores que zero - #(w|w > 0) = J e #(w|w < 0) = J ; e (w 6= 0 ⇒ |w| ≤ 0.3 ∧ |w| ≥ 0.1). Foi escolhido J = 5, λ = 5 e α = 0.05 para as simulações.

(23)

22

6 Resultados

6.1 Número de fatores do modelo

Para cada ew (estimation window) em cada uma das análises (por log-preço e log-retorno) os parâmetros dos modelos de fatores dinâmicos propostos foram estimados. Como a janela de estimação é móvel, para cada valor de ew os parâmetros dos modelos são estimados mais de uma vez e, para cada estimativa, se determina o número de fatores com base no critério IPC2. Após isso é tomada a média do número de fatores encontrado e se utiliza, como número de fatores, o número inteiro mais próximo da média encontrada. No caso dos modelos utilizando as séries de log-preço o número de fatores encontrados é 3, já para os modelos de log-retorno, o número de fatores encontrados é 1 de acordo com a tabela 1.

Tabela 1 – Média do número de fatores latentes obtido utilizando o critério IPC2 conforme descrito em (BAI; NG,2002). Para cada série temporal utilizada, determinam-se o número de fatores

latentes, e se toma o inteiro mais próximo da média do número de fatores obtidos

Parâmetros do modelo Modelo log-preço Modelo log-retorno

ew (pregões) Número de fatores (média / escolhido) Número de fatores (média / escolhido)

150 2.51 / 3 1 / 1

200 2.62 / 3 1 / 1

250 2.79 / 3 1 / 1

O fato do número de fatores para a série de log-retorno ser baixo provavelmente pode ser explicado pelo fato de que o total da variância explicada pelo primeiro fator após uma análise PCA é maior do que 30%, enquanto a variância do segundo fator, e portanto de todos os demais, cai drasticamente algo em torno de 6%. A tabela 2 mostra o total da variância em média explicada para os três primeiros fatores em relação ao ew.

Tabela 2 – Variância explicada por cada fator na análise por log-retorno

Parâmetro do modelo Média da variância explicada por fator (%)

ew (pregões) 1o _fator ₂o _fator ₃o _fator

150 32.51 6.62 4.44

200 32.32 6.35 4.32

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Capítulo 6. Resultados 23

6.2 Indicadores de performance dos portfólios gerados a partir das

estratégias

Cada estratégia proposta foi simulada utilizando os modelos de preço e log-retorno com base nos dados de mercado entre 2010 e 2016. Os indicadores de performance dos portfólios gerados por elas está descrito na tabela 4. O índice IBOVESPA apresenta retorno anualizado de 1.12% no período com Máximo Drawdawn de 48.63%, já o índice IBX100 ofereceu retorno anualizado de 1.20% com Máximo Drawdawn de 37.80%.

As estratégias que oferecem os melhores retornos anualizados foram as Long-Only e Long-Short. Já a estratégia Min ETL consegue oferecer bom retorno no par (ew, fh) = (250, 10). Em relação ao valor de Máximo Drawdawn, as estratégias Only e

Long-Short apresentaram, no geral, valores menores do que o índice IBOVESPA no período, enquanto as outras estratégias apresentaram valores maiores do que o IBOVESPA quando se consideram os melhores retornos anualizados.

Das estratégias que utilizaram os modelos de log-preço o par (ew, fh) que produziu o melhor retorno anualizado foi (250, 10), com exceção da estratégia direcional, em cujo caso o retorno foi comparável ao par (150, 10). Já os modelos de log-retorno oferecem seus melhores resultados com o par (ew, fh) = (150, 10), com exceção da estratégia direcional, que oferece melhor ganho com o par (250, 2). Contudo, investidores avessos à risco podem preferir a estratégias Long-Only com o par (250, 10), pois apresentou retorno equiparável ao par (150, 10) com menor risco. Não foi possível verificar com clareza qual modelo performou melhor que o outro, contudo isso poderia ser verificado ao se comparar o erro das previsões.

A tabela3 mostra a quantidade de negócios realizadas pelas estratégias em relação aos parâmetros do modelo. Qualitativamente, quanto maior o número de negócios maior será o custo total da estratégia referente a compra e venda de ativos, ou seja, os resultados da tabela 4 possuem um viés em favor das estratégias com menor fh, superestimando seu retorno em relação as estratégias com maior fh. Isso devido ao fato que quanto menor o valor de fh menor é o número de trades.

Tabela 3 – Número de negócios realizados em relação aos parâmetros do modelo Parâmetros do modelo

ew (pregões) fh (pregões) Número de negócios

2 660 150 5 264 10 132 2 635 200 5 254 10 127 2 610 250 5 244 10 122

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Tabela 4 – Comparação dos indicadores dos portfólios gerados a partir das estratégias de trading geradas entre 2010 e 2016. Os parâmetros ew (estimation window) e fh (forecast horizon) são mostrados, respectivamente nas duas primeiras colunas. Nesse período, o índice IBOVESPA teve um Máximo Drawdawn observado de 48.63% e uma rentabilidade anualizada de 1.12%. Os betas mensurados em relação ao IBOVESPA são zero até a quarta casa decimal.

Estratégia Long-Only

ew (pregões) fh (pregões) Retorno anualizado (%) Máximo Drawdawn (%) Retorno anualizado (%) Máximo Drawdawn (%)

2 14.33 32.18 15.45 23.88 150 5 7.38 28.60 15.09 25.29 10 13.59 26.85 16.37 24.28 2 9.71 32.19 7.66 21.19 200 5 4.14 39.32 10.85 21.47 10 6.96 32.26 11.63 18.56 2 18.45 28.68 11.11 21.42 250 5 15.22 22.20 12.93 21.91 10 16.86 22.84 15.63 15.49 Estratégia Long-Short

2 8.33 23.94 17.19 25.18 150 5 7.50 25.15 18.17 27.90 10 14.10 32.05 17.68 26.87 2 6.87 17.28 16.26 28.31 200 5 10.10 22.20 14.68 37.74 10 11.60 25.77 15.36 31.71 2 11.30 22.46 21.29 23.80 250 5 21.11 17.04 18.13 32.26 10 27.45 21.27 20.96 31.28 Estratégia Direcional

2 16.58 35.18 7.92 64.28 150 5 18.09 40.68 3.35 62.34 10 27.57 50.42 7.39 56.93 2 9.84 31.61 8.22 47.96 200 5 0.68 43.81 8.87 52.64 10 8.38 46.86 5.28 49.78 2 14.92 34.24 17.56 42.09 250 5 16.75 29.28 9.79 55.51 10 17.83 38.88 9.59 55.66

Estratégia Mínimo ETL (Expected Tail Loss)

2 8.71 31.63 -0.82 63.76 150 5 3.01 45.55 -2.49 59.75 10 11.35 49.25 -0.33 57.51 2 6.57 30.64 -6.53 62.95 200 5 2.60 44.24 -2.55 63.33 10 10.02 39.95 -4.50 62.63 2 15.70 32.06 2.93 57.68 250 5 18.27 27.27 -0.86 62.50 10 25.36 38.47 1.62 61.50

As figuras 1e2mostram a evolução do logaritmo natural do valor do portfólio das estratégias Long-Only e Long-Short, respectivamente, com o parâmetro ew = 250 para um valor inicial do portfólio de 1. As figuras representando a evolução das demais estratégias e diferentes valores de ew estão no apêndice.

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(a) Forecast Horizon de 2 pregões (b) Forecast Horizon de 5 pregões

(c) Forecast Horizon de 10 pregões

Figura 1 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia long-only com ew (estimation window) = 250

(27)

Figura 2 – Evolução do portfólio gerado pela estratégia long-short com ew (estimation window) = 250

(28)

27

7 Conclusões

De maneira geral, os melhores resultados das estratégias foram obtidos com os parâmetros janela de estimação e forecast na fronteira dos valores utilizados nesse trabalho. Isso implica que podem existir diferentes valores, ainda não explorados, que fornecem melhores previsões para os modelos propostos. Esse objetivo pode ser alcançado ao empregar maior poder computacional, como por exemplo aquele disponível em nuvem, de forma a reduzir o tempo de cada simulação, um desafio encontrado nesse trabalho.

É importante salientar a possibilidade de se tomar caminhos diferentes no uso de MFD como, por exemplo, a escolha de um critério diferente do ICP2 para determinação do número de fatores latentes. Ou ainda outras formas de se estimar a série dos fatores e, por consequência, a matriz de factor loadings, referida por Λ na equação 4.3. Além disso, também são possíveis diferentes formas de aplicação do modelo, com diferentes estratégias de trading no âmbito de arbitragem estatística ao se explorar o fato da série do fator latente do modelo de log-preço ser estacionária. A utilização de MFD em séries intra-diárias também permanece inexplorada.

Portanto, a partir dos preços de fechamento do mercado brasileiro de ações foi possível efetuar previsões em relação ao retorno esperado dos ativos selecionados. A aplicação de MFD com séries estacionarias e não-estacionárias se mostrou eficiente na medida em que foram criadas estratégias de trading cuja rentabilidade superou àquela do índice IBOVESPA no período estudado, oferecendo um menor valor de Max Drawdawn.

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