Lars Lindner 26 de noviembre de 2018

(1)

Ejercicios Control Avanzado

Lars Lindner

(2)

1. Ecuaci´on de Estado

1) Del siguiente circuito eléctrico determina las ecuaciones de estado, si la en-trada esu=ue(t)y la salida esy =iL(t). Elija las variables de estado ade-cuadas, use las leyes de Kirchhoff y anote cual posibilidad de solución has utilizado. Verifica tu modelo con simulación en MATLAB-Simulin, usando

R= 2Ω,L= 200mHyC = 500mF.

2) Del siguiente circuito eléctrico determina las ecuaciones de estado, si la en-trada esu=ue(t)y la salida esy=i₂(t). Elija las variables de estado ade-cuadas, use las leyes de Kirchhoff y anote cual posibilidad de solución has utilizado. Verifica tu modelo con simulación en MATLAB-Simulink, usando

(3)

2. Matriz de Transici´on

1) Calcula la matriz de transici´onΦ(t)del siguiente sistema lineal.

˙

x(t) =

2 0 6 4

x(t) +

2 0

u(t)

y(t) = 1 3

x(t)

(1)

2) ¿La siguiente matrizM(t)es una matriz de transici´onΦ(t)para un sistema linealx˙ =A·xconx(0) =x₀?

M(t) =

(2e−2t₋_e−4t₎ ₍_e−2t₎ (−4e−2t

+ 4e−4t

) (−e−2t

+ 2e−4t )

(2)

3) Hay un sistema linealx˙ =A·x. Para el valor inicialx(1)₀ =

1 1

resulta la

soluci´onx(1)(t) =

e−t

α(1−e−t_{) + 1}

, mientras para el valor inicialx(2)₀ =

2

−1

resulta la soluci´onx(2)(t) =

2e−t 2α(1−e−t

)−1

.

(4)

3. Matriz de la Respuesta al Impulso

1) Dado el siguiente sistema lineal con entrada escal´on unitaria u(t) = 1y valores inicialesx₀=

1 1 : ˙

x(t) =

−2 −4 1 3

x(t) +

2 0

u(t)

y(t) = 1 2

x(t)

(3)

a) Determina la matriz de transici´onΦ(t).

b) Determina la matriz de la respuesta al impulsoG(t). c) Determina el vector de estadox(t).

d) Determina la saliday(t).

e) Usando el vector de estadox(t), comprueba la saliday(t).

2) Dado el siguiente sistema lineal con entrada escal´on unitaria u(t) = 1y

valores inicialesx₀=   1 1 1  : ˙

x(t) =  

1 0 0

−1 2 0 0 0 2  x(t) +

  1 1 4  u(t)

y(t) =

1 2 3

x(t)

(4)

a) Determina la matriz de transici´onΦ(t).

b) Determina la matriz de la respuesta al impulsoG(t). c) Determina el vector de estadox(t).

d) Determina la saliday(t).

(5)

4. Matriz de Transferencia

1) Dado el siguiente sistema lineal en representaci´on de estado:

˙

x(t) =  

−1 0 1 1 −2 0 0 0 −3

 x(t) +

  0 0 1  u(t)

y(t) =

1 1 0

x(t)

(5)

a) Determina la matriz de transferenciaG(s)usando la formula est´andar. Verifica el resultado usando el comandoss2tf()en MATLAB.

b) Determina la matriz de transferenciaG(s)usando la matriz de Rosen-brockP(s). Verifica el resultado calculando la determinante de P(s) en MATLAB.

c) Determina la matriz de la respuesta al impulsoG(t)usando la matriz de transici´onΦ(t)y verifica el resultado con a) y b).

2) Dado el siguiente sistema lineal de dos veh´ıculos acoplados:

m1, m2 Masa Veh´ıculos b₁, b₂ Coeficientes de fricci´on

c Constante de resorte

v₁, v₂ Velocidades

s₁, s₂ Desplazamientos

a Distancia

F1, F2 Fuerzas externas

(6)

llantas con el suelo debe depender lineal de la velocidad de los veh´ıcu-los (fricci´on viscosa).

b) Determina las ecuaciones de estado, si la entrada esu(t) =

F₁ F2

y la

saliday(t) =

s₂ a

. Elige variables de estado adecuadas.

(7)

5. Formas Normales

1) Dada la siguiente ecuaci´on diferencial (ED) de un sistema lineal con valores

inicialesx₀=

0 0

:

¨

y+ ˙y−2y= 5u(t) (6)

a) Determina la representaci´on de estado en forma can´onica controlable (FCC).

b) A través de esta representación determina la función de transferencia

G(s)y comp´arala con la ecuaci´on caracter´ıstica de la ED.

c) UsandoG(s)calcula la respuesta al impulso unitarioy(t) =g(t). Ex-plica, si la respuesta es estable o inestable y porque?

2) Dada la siguiente ecuaci´on diferencial de un sistema lineal con valores

ini-cialesx₀ =

0 0

:

¨

y+ ˙y−2y= 5u(t) + ˙u (7)

a) Determina la representación de estado en forma canónica controlable (FCC) y a través de esta representación la función de transferencia

G(s).

b) Determina la representación de estado en forma canónica observable (FCO) y a través de esta representación la función de transferencia

G(s).

c) UsandoG(s)calcula la respuesta al escal´on unitarioy(t) =h(t)y los valores inicialesy(0)yy˙(0).

d) Explica, porque ahora el valor inicialy˙(0)ya no es cero.

3) Transforma el siguiente sistema lineal a la forma can´onica controlable usan-do la funci´on de transferenciaG(s):

˙

x(t) =

1 2 3 4

x(t) +

1 2

u(t)

y(t) = 3 4

x(t)

(8)

6. Formas Diagonales

1) Dada la siguiente funci´on de transferencia de un sistema lineal:

G(s) = 6

s3_{+ 8}_s2_{+ 19}_s_{+ 12} (9)

a) Determina la representaci´on de estado en forma diagonal.

b) A través de esta representación confirma la función de transferencia

G(s).

c) UsandoG(s)calcula la respuesta al impulso unitarioy(t) =g(t). Ex-plica, si la respuesta es estable o inestable y porque?

2) Dado el siguiente sistema lineal en representaci´on de estado:

˙

x(t) =  

0 2 0 1 2 0

−1 0 1  x(t) +

  0 1 1  u(t)

y(t) =

1 0 1

x(t)

(10)

a) Determina la funci´on de transferenciaG(s).

b) Usando fracciones parciales determina la representaci´on de estado en forma diagonal.

c) Simula la respuesta al escal´on de las dos representaciones de estado usando el bloque “State-Space” en MATLAB-Simulink.

3) Dada la siguiente funci´on de transferencia de un sistema lineal:

G(s) = 6s

4_{+ 19}_s3_{+ 30}_s2_{+ 100}_s_{+ 96}

s5₊_s4₋₄_s3_{+ 12}_s2_{+ 48}_s_{+ 32} (11)

a) Usando el comando roots()en MATLAB determina los polos de

G(s).

b) DescompongaG(s)en fracciones parciales y calcula las inc´ognitas. c) Determina la representaci´on de estado en forma diagonal.

(9)

7. Transformaci´on de Ecuaciones de Estados

1) Dado la siguiente ecuaci´on diferencial:

¨

y+ 6 ˙y+ 8y=u(t) (12)

a) Determina la representaci´on de estado en forma FCC.

b) Determina la transformaci´on de coordenadas, que transforma el vector

de estadoxal vector de estado transformadox∗ ₌

y+ ˙y y+ 2 ˙y

.

c) Determina la representaci´on de estado con el vector de estado transfor-madox∗_.

2) Dado la siguiente matriz de sistema:

A=

 

−3 4 4 1 −3 −1

−1 2 0 

 (13)

a) Determina la matriz de transformaci´onV, cual transforma la matrizA

a una forma diagonal.

b) Comprueba, queV si transforma la matrizAa una forma diagonal.

3) Dado la siguiente matriz de sistema:

A=  

0 1 0

−1 −2 1

−2 0 0 

 (14)

a) Demuestra, que la matriz tiene los siguientes valores propios:s1 =j, s2 =−jys3=−2.

b) Determina la matriz de transformaci´onV, cual transforma la matrizA

a una forma diagonal y calcula la inversaV−1_.

(10)

8. Controlabilidad y Observabilidad

1) El siguiente sistema lineal en representaci´on de estado es completamente controlable y observable?

˙

x(t) =  

−1 −2 −2 0 −1 1 1 0 −1

 x(t) +

  2 0 1  u(t)

y(t) =

1 1 0

x(t)

(15)

2) El siguiente sistema lineal en representaci´on de estado es completamente controlable y observable?

˙

x(t) =  

2 0 0 0 2 0 0 3 1  x(t) +

  0 1 1 0 0 1  u(t)

y(t) =

1 0 0 0 1 0

x(t)

(16)

3) Con excepci´on de la soluci´on trivial de c1 = c2 = c3 = 0, encuentra un

ejemplo de un conjunto de c1, c2, c3, que haga no observable el siguiente

sistema lineal:

˙

x(t) =  

0 1 0 0 0 1

−6 −11 −6  x(t) +

  0 0 1  u(t)

y(t) =

c1 c2 c3x(t)

(11)

4) Dado el siguiente sistema lineal, que representa la conexi´on en serie de un elemento inestable con un elemento estable, conb1, b2, c1, c2 ∈R:

a) Determina las ecuaciones de estado y la ecuaci´on de salida.

b) Determina la representaci´on de estado.

c) Determina condiciones deb1yb2, que hagan no controlable el sistema.

d) Determina condiciones dec1yc2, que hagan no observable el sistema.

5) Dada la siguiente ecuaci´on diferencial (ED) de un sistema lineal con todos valores iniciales ceros:

...

y + 3¨y+ 3 ˙y+y(t) = 3u(t) + 4 ˙u+ ¨u (18)

a) Usando Transformaci´on de Laplace determina la funci´on de transfe-renciaG(s)y separala en fracciones parciales.

b) Determina la representaci´on de estado del sistema lineal original en forma FCC.

c) Determina los valores propios del sistema y comparalos con los polos deG(s).

(12)

9. Sintonizaci´on de Controladores

1) Considere el siguiente sistema lineal de segundo orden con todos valores iniciales ceros:

Determina los coeficientes k1 y k2 de la retroalimentaci´on de tal manera,

que el sistema tiene una amortiguaciónDentre 0.3 y 0.4. Confirma la amor-tiguación usando simulación.

2) Dado el siguiente sistema lineal:

˙

x(t) =

0 1

−2 −3

x(t) +

0 2

u(t)

y(t) = 1 0

x(t)

(19)

Los polos del sistema en bucle cerrado se colocan ens1 =−3ys2=−5.

a) Comprueba la controlabilidad del sistema.

b) Calcula la matrizψ(si)con los polos del sistema en bucle cerrado y la matriz de retroalimentaci´onF.

c) Determina el prefiltroV para el sistema en bucle cerrado.

d) Calcula las matricesA, ByC correspondientes para el sistema en bu-cle cerrado y calcula la funci´on de transferenciaG(s)entonces. e) Compara la simulaci´on del sistema en bucle cerrado usando el espacio

(13)

3) Considere el siguiente sistema lineal en bucle abierto:

˙

x(t) =  

0 1 0 0 0 1 1 2 2  x(t) +

  0 0 1  u(t)

y(t) =

1 0 0

x(t)

(20)

Los polos del sistema en bucle cerrado se colocan ens₁ =−1, s₂ = −2y

s3 =−3.

a) Comprueba la controlabilidad del sistema.

b) Calcula la matrizψ(si)con los polos del sistema en bucle cerrado. c) Calcula la determinante deψ(si)y determina la inversaψ−1₍_s_i).

Cal-cula la matriz de retroalimentaci´onF.

d) Calcula el prefiltroV para el sistema en bucle cerrado.

e) Determina las matricesA, B yC correspondientes para el sistema en bucle cerrado y determina la funci´on de transferenciaG(s)entonces. f) Compara la simulaci´on del sistema en bucle cerrado usando el espacio

(14)

10. Reconstrucci´on del Estado

˙

x(t) =

−2 1 0 −1

x(t) +

0 1

u(t)

y(t) = 1 0

x(t)

(21)

a) Comprueba la observabilidad del sistema.

b) Calcula el vector de amplificaci´onf_O, que coloca los polos del obser-vador ens₁=s₂ =−3.

c) Comprueba el vector de amplificaci´onf_Ocon la ecuaci´on caracter´ısti-ca del observador.

˙

x(t) =

3 0

−5 10

x(t) +

6 0

u(t)

y(t) = 1 2

x(t)

(22)

a) Comprueba estabilidad, controlabilidad y observabilidad del sistema.

b) Dise˜na la retroalimentaci´on del vector de estado as´ı, que se ubican los polos en bucle cerrado ens1 =−5ys2 =−6.

c) Calcula los polos del observador, si se usa fT_O =

−18 30 como vector de amplificaci´on.

d) Simula la respuesta al escal´on del sistema completo con observador y retroalimentaci´on del vector de estado, usando los valores iniciales

x₀ = 0 0

yxˆ₀= 1 1

.

˙

x(t) =  

−3 1 0 0 −3 0 0 0 2  x(t) +

  0 0 0 1 1 0  u(t)

y(t) =

0 0 1 1 0 0

x(t)

(15)

b) Calcula la matrizΩ(si)con los polos del observador. ¿Cuantas posibles combinaciones resultan para la matrizM?

c) Elige una combinaci´on apropiada y calcula la matriz de amplificaci´on

FO.

d) Simula el sistema con el observador, usando los valores inicialesx₀ =

0 0 0

yxˆ₀ =

1 1 1 .

4) Dado el sistema lineal del inciso anterior. Los polos del observador ahora se colocan ens1=s2 =s3 =−1.

b) Calcula tres vectores de columna independientes, usando los polos del observador. ¿Cuantas posibles combinaciones resultan para la matriz

M?

c) Elige una combinaci´on apropiada y calcula la matriz de amplificaci´on

FO.

d) Simula el sistema con el observador, usando los valores inicialesx₀ =

0 0 0

yxˆ₀ =

(16)

11. Plano de Fase

1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (ED) de primer orden con valores inicialesx10yx20yk∈R:

˙

x1 =kx1

˙

x2= 2x2

(24)

a) Determina los valores propios del sistema, usando la matriz del sistema

A. Explica el resultado.

b) Elimina el tiempotusando x˙2

˙

x₁ y resuelve la ED resultante.

c) Determina los valores inicialesx10yx20as´ı, que la constante de

inte-graci´onCsalga cero.

d) Parak= 1elabora un croquis de la trayectoriax2=f(x1)en el plano

de fase. Explica el resultado.

2) Considere el siguiente sistema din´amico aut´onomo no-lineal de primer orden con valor inicialy(0):

˙

y−2 cos(y) sen(y) = 0 (25)

a) Elabora un croquis del retrato de fase (phase portrait) del sistema din´ami-co para0≤x1≤π. Usa variables de estado.

b) Calcula la solución del sistemay(t) de manera anal´ıtica y sin uso de tablas, usando separación de variables. Calcula el valor de la constante de integración paray(0) = π₄.

c) Determina el rango de esta soluci´ony(t)parat≥0y agrega la trayec-toria correspondiente en el retrato de fase del inciso a).

(17)

3) Dado el oscilador deVan der Pol, que describe la siguiente ED no-lineal con los coeficientes realesa, b∈_R:

¨

y−(a−by2) ˙y+y= 0 (26)

a) Determina la matriz del sistemaAparaa = b = 1. Usa variables de estado.

b) Elimina el tiempo t usando x˙2

˙

x₁ y trata de resolver la ED resultante. Explica, porque no se puede resolver sin uso de la soluci´ony(t). c) Usando un modelo en Simulink y diferentes valores iniciales, grafica

la trayectoria del oscilador en el plano de fase.

d) Encuentra valores iniciales tales, que resulta una oscilaci´on continua (limit cycle) en el plano de fase.

4) Considere un sistema libre de segundo orden con amortiguaci´on, que descri-be la siguiente ED lineal, con valores inicialesy(0) = 1yy˙(0) =−1

10:

¨

y+ay˙+by= 0 (27)

a) Determina la matriz del sistemaA. Usa variables de estado.

b) Calcula la soluci´ony(t)del movimiento libre paraa= 1₅ yb= 101₁₀₀. c) Explica cualitativo el comportamiento de la trayectoriax₂ =f(x₁)en

el plano de fase.

d) Calcula valores dex1yx2parat= 0,π₂, π,3₂π,2πy elabora un croquis

de la trayectoriax₂ =f(x₁)en el plano de fase.

(18)

12. Puntos de Equilibrio

˙

x(t) =

1 2 3 4

x(t) +

1 1

u(t)

y(t) = 1 0

x(t)

(28)

a) Determina la estabilidad del sistema con los valores propios.

b) Determina los puntos de equilibrio del sistema.

c) Comprueba la estabilidad de los puntos de equilibrio con simulaci´on del sistema en Simulink.

2) Considere el siguiente sistema lineal:

˙

x(t) =  

−1 0 1 1 −2 0 0 0 −3

 x(t) +

  0 0 1  u(t)

y(t) =

1 1 0

x(t)

(29)

a) Determina la estabilidad del sistema con los valores propios.

b) Determina los puntos de equilibrio del sistema.

c) Comprueba la estabilidad de los puntos de equilibrio con simulaci´on del sistema en Simulink.

3) Dado el siguiente sistema no-lineal con valor inicialy(0) =y0y con variable

de entradau(t) =uEuna constante:

˙

y+y2−y(t) =u(t) (30)

a) Usando variables de estado, determina la funci´onx2 =f(x1, u).

Ela-bora un croquis en el plano de fase y marca la direcci´on de esta trayec-toria.

(19)

c) ParauE = 0calcula la soluci´on y(t) del sistema. Usa el valor inicial para determinar la constante de integraci´on. Determina el valor final

y(t→ ∞).

(20)

13. Primer M´etodo de Lyapunov

1) Dado el siguiente sistema aut´onomo no-lineal:

˙

x1 =

−6x1

1 +x2 1

+ 2x2

˙

x₂ = −2(x1+x2) (1 +x2₁)2

(31)

a) Determina los puntos de equilibrio del sistema.

b) Calcula la matriz jacobianaA para los puntos de equilibrio. Con los valores propios de esta matriz determina la estabilidad en el entorno de los puntos de equilibrio.

c) Genera un modelo del sistema no-lineal en Simulink y comprueba la estabilidad de los puntos de equilibrio usando diferentes valores inicia-les.

2) Considere el siguiente sistema aut´onomo no-lineal conT1, T2>0y la curva

de saturaci´on:

F(x1) =

    

−1 parax1≤ −1 x1 para −1< x1<1

1 parax₁≥1.

(32)

a) Determina las ecuaciones de la representaci´on de estado.

(21)

c) Usando la matriz jacobianaApara el punto de equilibrioxE = 0 de-termina la estabilidad de ese punto.

3) Considere el siguiente sistema aut´onomo no-lineal:

˙

x1 =

x2₁(x2−x1) +x52

(x2₁+x2₂)(1 + (x2₁+x2₂)2₎

˙

x2 =

x2₂(x2−2x1)

(x2₁+x2₂)(1 + (x2₁+x2₂)2₎

(33)

a) Confirma el punto de equilibrioxE = 0.