Elaborar uma macro, de uma planilha eletrônica, para criar uma tabela de pontos, das funções ft(t), FT

TRABALHO INDIVIDUAL

Data da proposição – 08/09/2010

Data da entrega – 01/10/2010

Elaborar uma macro, de uma planilha eletrônica, para criar uma tabela de pontos, das funções ft(t), FT_a(ω) e FT_n(ω), onde:

ft(t) = gt(t).u(t), gt(t) é informada, para cada aluno, na tabela anexa;

FT_a(ω) é a expressão analítica da transformada de Laplace de ft(t).

FT_n(ω) é o cálculo numérico da transformada de Laplace de ft(t).

CONVOLUÇÃO

Transformada de Fourier

[

]

_∫

∞

( )

∞ −

−

= ℑ

= f t f t e dt

F(ω) ( ) . j.ω.t.

Fazer: ω = ω₀ ⇒

∫

∞

( )

∞ −

−

= f t e dt F(ω₀) . j.ω0.t.

Covolução

∞

∫

( ) ( )

t f t f

( ) ( )

t h t f

( ) (

τ h t τ

)

dτ

(

F

( ) ( )

ω H ω

)

(

H

( ) ( )

ω F ω

)

h

t

s( ) * * ∞ . −1 . −1 .

∞

− − = ℑ = ℑ

= =

=

∫

( ) ( )

∫

∞

Fazer: t = 0 ⇒ s(0) =

∫

₋∞_∞ f

( ) ( )

τ .h −τ dτ

( )

_∫

∞

( )

( )

( )

∫

∞

Fazer: h

( )

t = ej.ω0.t ⇒

∫

∞

( )

∞ −

−

= τ ω τ τ

d e

f

s(0) . j. 0. . ₌

( )

( )

0 .

.

.

._e ω0 _{dt F} ω

t

f j t =

∫

−∞∞

CONVOLUÇÃO

Espectro na freqüência

(ω +α) ₌ ( (ω +α))₊ ( (ω +α))_{= (ω +α)+ (ω +α)}

t sen a j t

a e

a j e

a e

a. j. 0.t .Re j. 0.t . .Im j. 0.t .cos ₀. . . ₀.

q

a ω ω

α =0, =1, ₀ =

( )

jω t

( )

jω t

( )

jω t

( )

( )

( )

t e

( )

e j

( )

e

( )

t j sen

( )

t

f _q j q t j q t j q t _{q q}

. .

. cos Im

. Re

. . . ω ω

ω = ω = ω + ω = +

( ) _∫∞ ( ) ( ) ( ) _∑ ( )

Δ =

⇒ −

= −

n

i t j k

q q

q

q t f ht d p t e f t t

p . q.ki

. . lim

, .

. .

, ω τ ω τ τ ω ω

ω _{=0⇒ =0}

k

t

k

( )

=

∑

−

( )

Δ

n

i t

j

q e f t t

P . q. i

. .

lim ω

ω ( ) _∫ ( ) ( ) ( ) _∑ ( )

= → Δ

i

i t

k q q

q

q f p f

p

0 0

0 ,

, ₀⇒ ₀

k

t

k

( )

∑

( )

= →

Δ Δ

i

i t

q e f t t

P

0

0 . .

lim

ω

Transformada de Laplace ₌

[

]

₌

_∫

∞

( )

−

0

.

. .

) ( )

(s f t f t e dt

F l st

Resposta em freqüência

∫

0

( ) ( )

( )

n

( )

( ) ( )

( )

( )

_n

( )

_q

i

i t

j t

q q

q P H e f t t FT

j

F ω = ω = ω =

∑

ωq i Δ = ω

= − →

Δ

0

. . 0

*

. .

lim .

f = 0 se j < v ou j > w f_j = 0, se j < v ou j > w

k = w

( )

í

( )

_∑

( − )

= −

−

Δ

=

mín w v n

i

i w t

j q

n

e

f

t

FT

q i

,

0

. .

.

.

ω

CONVOLUÇÃO

Aplicação da convolução

Curva de alimentação do traçador

C_entrada RTD para o vaso

0,6 E

t’ C t d t t’ E

C_entrada 8

6 4

curva E

0 3 0,4 0,5

t’ Centrada

0 0

1 0

2 8

t - t’ E

5 0,00

6 0,05

7 0,50

1

0 2 3 4 5t’

4 2

0 0,1₀ t - t’

0,2 0,3

Área = 1

3 4

4 6

5 0

8 0,35

9 0,10

10 0,00

1

0 2 3 4 5

0

6

5 7 8 9 10t t

0

C_saída Calculado

t Csaída

C_saída

6

4

7 0,00 = 0

8 0,40 = 8x0,50

9 4,20 = 8x0,50 + 4x0,05

10 5,10 = 8x0,35 + 4x0,50 + 6x0,05 _saída

t 4

2

0

11 5,20 = 8x0,10 + 4x0,35 + 6x0,50

12 2,50 = 4x0,10 + 6x0,35

13 0,60 = 6x0,10

14 0,00 = 0

Levenspiel, Octave, 1926

-Engenharia das reações químicas, Octave Levenspiel; tradução: Verônica

8

7 9 10 11 12 t

CONVOLUÇÃO

Resposta em freqüência

(ω +α) ₌

(

− (ω +α)

)

₊

(

− (ω +α)

)

₌

(

_{ω +α}

)

₋

(

_{ω +α}

)

−

t sen

a j t

a e

a j e

a e

a. j. 0.t .Re j. 0.t . .Im j. 0.t .cos ₀. . . ₀.

0 2 0,4 0,6 0,8 1

( )

( ) ( ) 0

0 0

. .

0 , 15 , 1 , . . . Im

.

. ω0 +α = ω +α = ω = α =

a t sen a j e

a

j j t

2 2,5 3

t

e t

h( )= 3. −7.

0 2 0,4 0,6 0,8 1

( )

( ) ( ) 0

0 0

. .

0 , 15 ,

1 , . cos . Re

. ω0 +α = ω +α = ω = α =

a t a

e

a j t

( )t f

1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 0,5 1 1,5

1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

*

*

convolução

-1 _{0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5} -1

*

*

convolução

18124 ,

0 . 18124 ,

0 ₌

=

a a

ganho _{( )}

(

( ( ) )

)

d e

f

a_{. .Re} j ti

0

.

. ₀ =

∫

∝ _τ − ω −τ +α _τ

( ) 0

0 0

98 , 64 .

98 ,

64 − + = −

−

= ω t_i α

fase

j.Im 0

( )

15 7

. 3 15

. =

+ =

j a H

a a

. 07664 ,

0 =

t_i = 0s Re

0

0

98 , 64 .

18124 ,

0 ∠−

= a

( )

(

( ( ) )

)

a j

d e

f a

j j ti

. 16423 ,

0 . Im

. .

.

0

. . 0

− =

=

CONVOLUÇÃO

f_j = 0, se j < v ou j > w Espectro na freqüência

( )

mín(w−v,n) k = w

( )

(

_∑

)

=

Δ

=

−

i

i t

j q

n

e

f

t

FT

q w i

,

0

. .

.

.

ω

ω

Então:

( )

q

(

n

( )

q

)

(

n

( )

q

)

n FT j FT

FT ω = real ω − .imaginário ω

( )

(

)

(

_∑

− )

( )

=

Δ = mín w v n

i

i i q q

n t f t

FT

,

0

. . . cos

real ω ω

(

( )

)

( )

( )

∑

−

=

Δ = mín w v n

i

i i q q

n t f t

FT

,

0

. . . sen

imginário ω ω

( )

q

(

n

( )

q

)

(

n

( )

q

)

n

i 0 i 0

( )

(

( )

)

2

(

( )

)

2

imaginário

real

_{n q n q}

q

n

FT

FT

FT

ω

=

ω

+

ω

( )

q

(

(

n

( )

q

)

(

n

( )

q

)

)

n

FT

FT

FT

ω

=

atan

2

real

ω

,

−

imaginário

ω

ENTRADA DE DADOS E RELATÓRIO

Entrada de dados

Todos os parâmetros das funções gt(t) FT (ω) = ₤(ft(t)) e FT (ω) =

Todos os parâmetros das funções gt(t), FT_a(ω) = ₤(ft(t)) e FT_n(ω) =

₤(ft(t)). (a – analítico, n – numérico)

Relatório impresso

Relatório impresso

T d d d lid

Programa fonte;

Todos os dados lidos;

Os 30 primeiros valores das funções |ft(t)| > 0, |FT_a(ω)| > 0, ∠FT_a(ω), |FT (ω)| > 0 e ∠FT (ω) ft(t) = gt(t) u(t);

|FT_n(ω)| > 0 e ∠FT_n(ω). ft(t) = gt(t).u(t);

Os gráficos das funções ft(t), Módulo(FT_a(ω)) = |FT_a(ω)| e

Módulo(FT (ω)) = |FT (ω)| > 0 e Ângulo(FT (ω)) = ∠FT (ω) e

Módulo(FT_n(ω)) |FT_n(ω)| > 0, e, Ângulo(FT_a(ω)) ∠FT_a(ω) e

Ângulo(FT_n(ω)) = ∠FT_n(ω).

Os alunos estão identificados pelos 4º, 5º e 6º dígitos do CPF, semp , g ,

FUNÇÃO gt(t)

Função Função

1. 011 t 1₂ (s>0) 14. 278 (s 0)

4 2

2 >

−

( t)

sen −2.

Função gt(t) FT_a(s)

Aluno Função

gt(t) FT_a(s) Aluno

2. 021

3. 028 t 0,5. π₃ (s>0) ) (

2

s

2

t 23 (s>0)

s 15. 286

16. 322 ) ( 4 2 + s ( ) 0) (s 25 , 2 5 , 1

2+ >

−

s

( t)

sen −1,5.

0) (s 1 1

2 + >

−

( )t sen − 4. 033 5. 036 3 s t 1 0) (s > s π 5 , 2

t 15 ₃π .s2,5 (s>0)

17. 336 18. 336 1 2 + s ( ) 0) (s 25 , 0 5 , 0

2+ >

−

s

( t)

sen −0,5.

0) (s 25 0 5 , 0

2 + >

s

( t)

sen 0,5.

6. 037

7. 064

t . (s 0) 23 s >

t

e−1,5. (s 1,5)

5 1

1 _>−

+

s

t

e−2. (s -2)

2 1 _>

+

s 19. 337

20. 348 25 , 0 + s 0) (s 1 1

2 + >

s

( )t sen 0) (s 25 2 5 , 1

2 ₊ >

s

( )t sen1,5.

8. 135 9. 203 5 , 1 + s t

e−0,5. (s 0,5)

5 0

1 _>−

+

s

t

e− (s 1) 1

1 _>−

+

s 21. 357

22. 381 25 , 2 + s 0) (s 4 2

2 + >

s

( )t sen 2.

0) (s 25 , 0

2 + >

s s

(0,5.t)

cos

10. 228

11. 231

t

e0,5. (s 0,5)

5 , 0 1 _> − s 1) (s 1 1 _> − s 5 , 0 + s t

e1,5.

23. 394 24. 493 25 , 0 + s 0) (s 1

2 + >

s s

( )t

cos 0) (s 25 , 2

2 + >

s s

( )1,5.t

cos

12. 243

t

e2. 1 (s>2)

t e 1 s 1,5) (s 5 , 1 1 _> −

s 25. 505

,

0) (s 4

2 + >

s s

( )2.t

cos

0) (s >

s

(2,5.t)

FUNÇÃO gt(t)

Função Função

27. 561 40. 774

Função gt(t) FT_a(s)

Aluno Função

gt(t) FT_a(s) Aluno

(s 2)

2

2 >

−

( t)

senh −2. ₍ 4. ₎₂ (s 0)

2 >

− s

( t)

sen t. −2.

28. 569 29. 598 41. 776 42. 789 ( ) 4 2− s ( )

(s 1,5)

25 , 2 5 , 1

2− >

−

s

( t)

senh −1,5.

(s 1)

1 1

2 >

−

( )t senh −

(s2+4)2 ( )

( t)

sen t. 2.

( ) (s 0) 25 , 2 . 3 2

2+ >

−

s s

( t)

sen t. −1,5.

( ) (s 0) 1

. 2

2

2+ >

− s

( )t sen t. −

30. 607 31. 636 43. 804 44. 814 ( ) 1 2− s ( )

(s 0,5)

25 , 0 5 , 0

2− >

−

s

( t)

senh −0,5.

(s 0,5)

25 0 5 , 0 2 > s

( t)

senh 0,5.

(s2+1)

( )

( ) (s 0) 25

, 0 2

2+ >

−

s s

( t)

sen t. −0,5.

( ) (s 0) 25

0 2

2+ >

s s

( t)

sen t. 0,5.

32. 680 33. 685 45. 872 46. 900 25 , 0 − s

(s 1)

1 1

2− >

s

( )t senh

(s 1,5)

25 2 5 , 1

2− >

s

( )t senh1,5.

(s +0,25) ( ) (s 0)

1 . 2

2

2+ >

s s

( )t sen t.

( ) (s 0) 25 , 2 . 3 2

2+ >

s s

( )t sen t. 1,5.

34. 688 35. 697 47. 902 48. 933 25 , 2 − s

(s 2)

4 2

2− >

s

( )t senh 2.

(s 0,5)

25 0

2− >

s s

(0,5.t)

cosh

( , )

( ) (s 0) 4

. 4

2

2+ >

s s

( )t sen t. 2.

( ) (s 0) 25 , 0 25 , 0 2 2 2 > + − s s

( t)

t.cos 0,5.

2 36. 706 37. 725 49. 967 50. 983 25 , 0 s

(s 1)

1

2− >

s s

( )t

cosh

(s 1,5)

25 , 2

2− >

s s

( )1,5.t

cosh

( )

( ) (s 0) 1 1 2 2 2 > + − s s

( )t t.cos

( ) (s 0) 25 , 2 25 , 2 2 2 2 > + − s s

( )t t.cos1,5.

2 38. 759 39. 760 51. 988 52. 989 ,

(s 2)

4

2− >

s s

( )2.t

cosh

(s 2,5)

25 , 6

2− >

s s

(2,5.t)

cosh

( )

( ) (s 0) 4 4 2 2 2 > + − s s

( )t t.cos 2.

( ) (s 0) 25 , 6 25 , 6 2 2 2 > + − s s

( t)