xwacs-b*-- a. -? CCMN- TRATAMENTO APROXIMADO DOS EFEITOS DO PRINCIPIO DE PAÜLI EM COLISÕES ELÁSTICAS Helío Schecnter ORIENTADOR: LUIZ FELIPE CANTO

x w a c s - B * - - a.

?

C C M N

-I N S T -I T U T O DE FÍS-ICA

TRATAMENTO APROXIMADO DOS EFEITOS DO

PRINCIPIO DE PAÜLI EM COLISÕES ELÁSTICAS

Helío Schecnter

ORIENTADOR:

PRINCIPIO DE PAULI EM COLISÕES ELÁSTICAS

Hélio Schechter

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO DE FlSICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR

ADrovada por:

Prof.

LUIZ FELIPE CVNTC

Prof- C*~A* IrjAAtio *U CXu* CARLOS MÁRCIO DO AMARAL Prof. ^ . . .. . ,-ij

JOAQUIM LOBES NETO

cv

Pro

TAKESHI KODAMA

«.:•'. ^ < - . wy ' DIOGENES GALETTI Rio de Janeiro, RJ - BRASIL

SCHECHTER, Helio

Tratamento Ai*roxin.ido do Prinrit.io do Pauli on Colinõos E-lásticas. Rio de Janeiro, UFRJ, Instituto de Física, 1984.

IX, 124 f.

Tese: Doutor em Ciências (Física)

1. Física Nuclear 2. Espalhanento Elástico 3. a - l t0 4. Métodos .Microscópicos

I. Universidade Federal do Rio de Janeiro - Instituto de Física II. Título

AGRADECIMENTOS

Desejo deixar aqui consignados r.eus aoradecimontos a todos os que de alguna forma deran sua contribuição S execu -ção deste trabalho, não nodendo deixar do registrar meu reco-nhecimento especial:

Ao Prof. Luiz Felipe Canto, por sua orientação, pres tada com a dedicação e comDetência que narcant suas atividades como pesquisador.

A Prof*. Ana Maria Breitschaft pela colaboração e a contribuição con diversos resultados e programas.

Ao datilografo Wander de Oliveira Siqueira e ao de -senhista Mauro de Souza Paula oela exelencia com que executa-ram suas tarefas.

A Curt Roloff pela assessoria nos trabalhos de cornou tação no Deoartamento.

A Equipe do Núcleo de Comnutação Eletrc ica da UFRJ pela ajuda na superação de inúmeras dificuldades.

À FINEP nelo auxílio financeiro ao nrojeto e ao CNPq pela bolsa concedida em parte do trabalho.

ÍNDICE

INTRODUÇÃO 1 CAPITULO I - TEORIAS MICROSCÓPICAS PARA TRATAMENTO DE

COLI-SÕES ELÁSTICAS 5 1.1 - Introdução 5 1 . 2 - 0 Principio Variacional de Ritz. 6

1 . 3 - 0 RGM, O GCM e o OCM 7

1 . 4 - 0 RGM 8 1.4.1 - Expansão en Ondas Parciais... 14

1.4.2 - Estados Proibidos do RGM 15

1.4.3 - ADlicação do RGM 20

1 . 5 - 0 GCM 21 1.5.1 - Expansão cm Ondas Parciais... 25

1.5.2 - Equivalência con o RGM - Fórmulas de

Conexão 26 1.5.3 - Aplicação do GCM 28

1.6 - Uso Conjunto do RGM e GCM - Métodos Híbridos 29

1 . 7 - 0 OCM 36 1.7.1 - As Bases do OCM - A Equação de Salto. .37

1.7.2 - Aplicação do OCM 46 CAPITULO II - DESCRIÇÃO DAS COLISÕES POR POTENCIAIS EFETIVOS.

48 2.1 - Potenciais Efetivos nara a Equação do RGM.48 2.2 - Potenciais Efetivos nara a Equação de Salto

2.2.1 - Método ADroximado para Determinação de

Potenciais Efetivos 55 2.2.1.1 Apl iraç.io tio M«*torio Aproxima

-do 58 CAPITULO III - ESTUDO DO SISTEMA t+:'0 - RESULTADOS E

DISCUS-SÃO 66 3.1 - A Interação Nucleon-Nucleon 66

3 . 2 - 0 Cálculo Microscópico Exato 68 3.2.1 - Os Kernels do GCM - Projeção em

Momen-to Angular 68 3.2.2 - Defasaqens e Funções de Onda Exatas.71

3.2.2.1 - Auto-Valores do Kernel Hamilto niano - Estados Ligados e

Res-sonâncias 75 3.3 - Potenciais Efetivos Derivados de Funções

de Onda Exatas 76 3.3.1 - Potenciais nas Energias de

Ressonânci-as e Estados Ligados 80 3.4 - Potenciais Efetivos Aproximados 86 3.5 - Resolução da Equação de Sai to 89

3.5.1 - Solução para os Potenciais Construídos

a partir de Métodos Exatos 91 3.5.2 - Solução nara os Potenciais Anroximados

100

CAPITULO IV - CONCLUSÕES 112

APÊNDICE B 118 REFERÊNCIAS 121

RESUMO

Métcdos r.ioroscônicos exatos cono o PGM (Método do Grupo Ressonar.te) e o CCM (Método da Coordenada Geradora) e aproximados, como o OCM (Modelo da Condição de Ortogonalida -de) são utilizados para se estudar os efeitos do Princíoio de Pauli no espalhamento elástico •£ - I 60 . Empreqando intera

ções nucleonnucleon V2 e BI, potenciais efetivos núcleonú -cleo são obtidos a partir de funções de onda "exatas" do RGM e também utilizando ura método aproximado desenvolvido anteri-ormente (Fr77) . A partir desses notenciais defasaqens sao ca^L culadas pela equação de Saito do OCM para as ondas oarciais

1 = 0 , 1, ... 11, na faixa de eneraias de 0 a 30 MeV. Os re -sultados obtidos cor. os potenciais "cxatcs" e aoroximados são analisados e confrontados e aperfeiçoamentos do método oproxi^ do são discutidos.

ABSTRACT

Exact microscopic methods like tae RGM (Resonating Group Method) and the GCM (Generator Coordinate Method) and approximate r.ethods like the OCM (Orthogonality Condition Model) are used to study the effects of Pauli Principle in

c< - " o elastic scattering. Usir.c V2 and Bl nucleon-nucleon interactions, nucleus-nucleus effective ootentials are obtained from RGM "exact" wave functions and also from an aooroximate method develcrod previouly (Fr77). Usir these potentials in the OCM Saito Equation phase-shifts are calculated for partial waves t. - 0, 1, ... 11, in the energy range 0 < t C 30 MeV. The results obtained with "exact" and approximate potentials are analised and compared. Improvements on the approximate method are discussed.

O estudo da interação de dois núcleos constitue um tópico de çrande interesse na Física Nuclear e vem merecendo atenção crescente nos últimos anos, tanto no aspecto tec rico quanto no experimental.

Esse estudo pode se desenvolver de acordo com dois pontos de vista. O primeiro ê o tratamento fenômenológico do problema no espírito do Modelo Ótico (Ho63): é admitida "a pzl ori" a existência de um potencial local complexo que represen ta a interação entre os núcleos. Esse potencial é exoresso em termos de alguns parâmetros e estes são determinados de molde a reproduzir valores experimentais das seções de choque. Nes se sentido, nenhuma hipótese sobro a estrutura nuclear é ne -cessaria. Por outro lado, os potenciais assim determinados são bastante ambíguos e D O U C O podem informar sobre as proprieda -des nucleares.

0 outro ponto de vista consiste em adotar um modelo para os núcleos que, de alguma forma, leva em conta algumas de suas» propriedades, tais como sua constituição, densidades,eta £ feita a hipótese de que as propriedades consideradas tem um papel dominante na interação núcleo-núcleo e a partir do mode Io essa interação é calculada. Nessa linha se encontram os mo delos de "folding", simoles (Br74 , Ng75, Br76) e duplo(Sa79a/

Sa79b, G;.80, G;80a, St80) e os potenciais de Droximidade(B£77, Br78, Sc79) , que recentemente fora.i estudados intensamente.Os modelos de "folding" necessitam de hipóteses de partida para den

sidadps nucleares e para a interação nucleon-nucleon enquanto o le proximidade requer o conhecimento prévio das caracterís-ticas da superfície nuclear.

Nos casos considerados acima e em muitos outros que aqui deixamos de mencionar (Br76),a influência de Princíniode Pauli na interação núcleo-núcleo é totalmente desconsideraria .Es_ te procedimento talvez seja justificável no espalharaento elâs_ tico entre lons pesados, cm que a absorção forte domina a di-nâmica de colisão quando os núcleos estão próximos.A seção de choque é então oouco sensível a correções de curto alcance no potencial núcleo-núcleo resultantes do Princípio de Pauli.Entre tanto, em outras situações o T/rir.cínio de Pauli pode desempe-nhar um papel muito importante.

Métodos q\i~ incorporai, esse ?rir.c!nio de forra cora -pleta em colisões nucleares são, o Método do Grupo Ressonante

(RGM) e o Método da Coordenada Geradora (GCM). Eles são, exa-tamente por isso, de difícil aplicação, já que a antissir.etri. zação completa coloca grandes dificuldades no cálculo dos kernels quando um número muito qrande de nucleons é envolvida

As complicações numéricas encontradas no RGM e no GCM levaram a modelos que tratam o Princíoi.-> de Paulidc manei^ ra aproximada. A primeira tentativa neste sentido foi o Mode-lo da Condição de Ortogonalidade (OCM), desenvolvido por Saito em 1968 (Sa68, Sa69). Esse modelo node ser obtido a partir do RGM se nesse se ignorar o ooerador de antissimetrização que a parece na determinação de seus "kernels", mantendo apenas as partes locais, que não envolvem trocas entre nucleons de frag mentos diferentes, 0 Princípio de Pauli é, então, reincorpora

do parcialmente, impondo-se que a função àa onda do Modelo se ja ortogonal as funções de onda proibidas do RGM, que violam aquele Principio. 0 OCM foi bastante bem sucedido em algumas aplicações a colisões entre núcleos muito leves mas mostrou-se deficiente em outras situações envolvendo núcleos um pouco mais pesados ou interações nucleon-nucleon muito reoulsivas . Essas limitações levaram a tentativas de aperfeiçoamento do OCM (Fr77), que procuravam incluir os efeitos residuais do Principio de Pauli em um potencial local, independente de e -nergia ou momento angular, destinado a substituir a parte local do kernel de potencial RGM na equação de Saito. Tais po -tenciais aproximados podiam ser determinados sem muito cálcu-lo numérico, mantendo a simplicidade do OCM. Os resultados ob-tidos em Fr77 mostraram grandes orcgressos em relação ao OCM convencional mas são ainda insatisfatórios em colisões de nú-cleos não muito leves, como '60 - l s0 .

No presente trabalho procuramos estudar a viabilida-de viabilida-de uma aproximação local, inviabilida-decenviabilida-dente viabilida-de l e £, , para o

potencial efetivo na equação de Saito. Para isso concentramos nossa atenção na colisão c < - , 60 . O sistema ^+Xi0 represen

ta uma situação intermediária entre a colisão ©£ - o{ e a colisão , $0 - " o , onde o método de (Fr77) apresentou proble-mas. Inicialmente mostramos como obter a partir da função de onda do RGM um Dotencial local efetivo V, ç , que torna o

OCM equivalente ao RGM. Em sequida analisamos a dependência de V. ç no estado quântico emnregado na sua determinação, orocu rando um único Dotencial efetivo que reproduz com boa

aoroxi-mação todas as ondas parciais relevantes para energias até 30 MeV. Os resultados desta análise são então confrontados com os do método aproximado de Friedrich e Canto. Podemos, desta forma, avaliar a eficiência do potencial aproximado no estudo da colisão c*í - 1 &0 , com diferentes interações nucleon-nucleon,

e discutir possíveis aprimoramentos do critério usado em (Fr77) para determinação do potencial efetivo.

Os métodos microscõoicos envolvidos neste trabalho , o RGM, e GCM e o OCM são analisados no canítulo I.

O capitulo II descreve a obtenção de potenciais efe-tivos que procuram representar a interação entre dois núcleos.

No capítulo III os resultados de nosso estudo do e£ palhamento elástico c* - , $0 são aoresentados e discutidos.

As conclusões do presente trabalho são apresentadas no capítulo IV.

TEORIAS MICROSCÓPICAS PARA TRATAMENTO DE COLISÕES ELÁSTICAS

1.1- Introdução

O comportamento de ura sistema de A nucieons que in-teragem através de forças a dois corpos é descrito, em princI^ pio, pela solução ^(P-* , /£A "t) da equação de Schroedinger

- ^ A A A

s

^ r r t U«, •-.£'*,*) (í.D

onde /ui, representa as coordenadas de espaço, spin e iscspin do i-ésímo nucleon.

Um amplo conhecimento do núcleo atômico, através da equação (1.1) esbarra, contudo, em dois obstáculos: primeiro, não conhecemos a forma exata de \;,.' e, segundo, a equação só

é solúvel para sistemas com alguns poucos r.ucleons. E neces-sário, por isso, trabalharmos com métodos onde a equação de Schroedinger ê obedecida de naneira aproximada e a energia po tencial de interação nucleon-nucloon \i j escolhida fenomeno-logicanente, levando em conta a produção de saturação nuclear, a reprodução '.j dados do espalhamcnto nucleon-nucleon, etc...

Muitos desses métodos aproximados não utilizam a e -quação de Schroedinçor diretar.ento ran sin um principio va

riacional que lhe ê equivalente. As bases de un tal princípio são discutidas a seguir.

1.2-0 Princípio Variacional de Ritz • i •— i — ii

Um sistema descrito por una auto-função • do Hanilto niano $? obedece â equação de Schroedinoer independente do

tempo

*M\V>- E W?

d.2)

a partir da qual se obtém a relação

<4> !#•!*>* E < > | * > . (1.3)

Definamos o funcional

c L V J -

/

' (i.4)

Vamos mostrar que a equação variacional

cVEM'-O

.

ê equivalente â orjr.-sr,.^: (1.2). Usando (1.5) e (1.4), temos

e, usando (1.3):

c 7 < f

(i.6)

<c~4'!#-F|^<Y|#-tUy'>--t (i.7)

como a variação J V é arbitrária, a expressão (1.7) deve ser válida para um? variação tltTS'/*, e obtemos:

- t \ r ^ l JJ-E|f><• c <i'\Kc~e}^'7--o.

.

As expressões (1.7) e (1.8) dão como resultado

<ct[Hi-ElV?=C (i.9)

e, já que c"^ é arbitrário, obténs o resultado expresso na e quação (1.2). As equações varlacionais (1.5) ou (1.6) são,por

tanto equivalentes à equação de Schroedinçer (1.2).

1.3- 0 GCM, o RGM e o OCM

A equação variacional (1.6) pode ser utilizada para a construção de métodos aproximados de tratar o problema nu -clear. Isso é feito restringindo *f e J"Y a um sub-espaço do es paço de Hilbert, a condição variacional (1.5) fornecendo en -tão a melhor aproximação para 7 dentro do sub-espaço adotado. A qualidade da aproximação vai ser tanto melhor quanto mais a

propriada for a escolha do sub-espaço para o problema em quês tão. Na prática, uma função de onda base (trial wave functiorí paranetrizada ê o ponto de partida para a obtenção da função de onda do problema, os parâmetros sendo determinados pela e-quação (1.6).

Os métodos utilizados no presente trabalho, emprega-dos em vários campos da física n.clear, serão apresentaemprega-dos com base em sua aplicação ao espalhamento elástico de dois nú cleos. Eles são, o Método do Grupo Ressonante (RGM), o Método da Coordenada Geradora (GCM) e o Método da Condição de Ortogo nalidade (OCM). Os dois primeiros são métodos microscópicos

que tratam os efeitos de antissimetrização de modo exato e , por isso, são ordinariamente referidos como métodos "exatos". Sua aplicabilidade, por esse motivo, se restringe a colisões de núcleos muito leves ou duplamente mágicos com A^= 40. O OCM é um método aproximado construido a partir do RGM, mas substituindo o tratamento exato da antissimetrização por con-dições que levam em conta apenas Darcialnente esses efeitos.

O RGM, o GCM e o OCM serão desenvolvidos em detalhe nas seções seguintes.

1.4- O RGM

Em muitos problemas da física nuclear é conveniente explicitar a existência de subestruturas nucleares. Uma das circunstâncias onde essas subestruturas podem se manifestar é nas propriedade, de um núcleo composto de "caroços" fechados.

No estudo de um núcleo coro o ^::o,por exemplo, muitas de su-as propriedades poderiam ser obtidsu-as através de um modelo que levasse em conta a sua composição como o<-f-160 • O espalharaen-to nuclear 5 outro exemplo óbvio onde ocorre a interação de duas sub-estruturas, que são os fragmentos que participam da reação.

Ê importante notar, contudo, que tais sub-estruturas, quando interagem, não podem ter existência autônoma, devido à

identidade dos nucleons e â conseqüente antissimetrização da função de onda total do sistema. Elas podem, no entanto, ser o ponto de partida para se escrever a função de onda base do problema. Assim, se temos dois fragmentos, de números de mas-sas A e A , o RGM, idealizado por Wheeler (Wr.37) em 1937 ,

1 2

propõe, em sua versão mais simples, a função de onda base

Y

w

(/L

V

..

f

AA)» tf- ££<")£ t ^ y

< M M < W I

(1.10)

onde (ft ( ri ) e §t ( ft) são funções de onda internas, anti£> simetrizadas, dos fragmentos, as coordenadas simbolizadas por

$>Y(OU ¥>L ) referindo-se ao movimento de cada nucleon do fragmento 1 (2) em relação a seu centro de massa. g(r) é a função de onda do movimento relativo, r medindo a distância entre os centros de massa dos fragmentos. Q>„„ (RTM) descreve o movimento do centro de massa do sistema de A nucleons

zaçao

/ * z í-iY

P

,i.i„

engloba as (A1+A2) !/(Ai .'A2!) maneiras de ser permutar os nu-cleons entre os fragmentos e é necessário para que o Princípio de Pauli seja obedecido.

para (*)

variações na função g(A) , mantendo as funções internas

c do centro de massa fixas. Ao se empregar a equação (1.9), o Hamiltoniano do sistema,

%

'

-

L (-hfoK

+ í <i

lM >A.j)

(1

.

12a)

pode ser escrito numa forma adequada ao produto em (1.10):

% ' %*

%z ' rz

V^f £ < / 4

TCH

(1.12b)

" i£f ú

sendo %>\C WL Hamilton!anos i n t e r n o s dos fragmentos 1 c 2 , com as coordenadas de cada nucleon se r e f e r i n d o ao c e n t r o de

massa de seu fragmento.Tc„ c a e n e r g i a c i n é t i c a do c e n t r o de

massa do sistema e as p a r c e l a s r e s t a n t e s correspondem ao movi^ mento r e l a t i v o e n t r e os dois fragmentos,sendo/c= m AiAz/ÍAi+Aí) a massa reduzida do sistema , onde m é a massa de um

(*)

'g(jr) c deixada inteiramrjnt.c livrc,ou,dc outra formn,g(r) tem um númpro

nucleon.

Ê conveniente antesde usarmos a equação (1.9) colo -car y na forma

*%«.»•.**)• ^ 2 g í ; ) / Í4><

í^)4"(f.)«r(5-*4,-(1.13)

nesta expressão, e daqui para diante, o movimento do centro de massa do sistema é ignorado. A substituição de (1.13) em

(1.9) resulta em

A

1 Í M ' '"(?'-£) h ° (1.14)

sendo E é a energia total do sistema; (1.14) implica em

J K ( X , *') 5 (

í

) ^ '

(1.15)

que é a forma integral da equação do RGM, com o kernel total do RCM, K(>', '£, )/ dado por

K(

')= <|'. ^*(*-AW-t)ll\M*rl*'-A)> (i.i6)

ondo o símbolo <( ) indica integração nas coordenadas internas ^ e Ç, e na coordenada relativa r.

E útil, aqui, definir o kernel de superposição

A(x,*"h <<t, (jucrU-Ajlyil h$

cTU

-A.)y

.

)

cujas auto-funções desempenham importante papel no estudo dos

estados proibidos do RGM, como veremos adiante.

Vamos agora reescrever a equação (1.16) usando

ft

= 1 +

Ifi.

- 1):

Se olharmos a expressão (1.12b) veremos que (1.13 )

pode ser simplificada, pois sua primeira parcela não possue o

operador^ que mistura as coordenadas, e as parcelas de

atuam separadamente sobre cada função do produto. Assim, se

explicitarmos o Hamiltoniano do movimento relativo

JWAÍL :

-

£7T V * -f- H

«fí\

(1.19)

e introduzirmos a energia total do movimento relativo

t'-

&-<M

JÍJ^>-<<|>z|^l^> (1.20)

-i^Vx fV

y-£]^(

)

j5(

x')

(

')^y^

.2i)

onde S(x,x ) c a parte não local, ou de troca, do kernel KO^x ) , correspondente ã segunda parcela da equação (1.18) e

Vüf dado por

V

• ^ ( x - x

) - <{[4 tyifl-Z'^ll. tfjl 4>i fart*-*)} d . 2 2 )

é o potencial direto do RGM e corresponde ao potencial

resul-tante de um "folding" duplo envolvendo os dois fragmentos (Sa79a); VD êum potencial local quando a interação y^i; depen de localmente da separação entre os nucleons i e j.

0 kernel S(x,x ), explicitamente dependente da ener-gia, governa as trocas entre nucleons de fragmentos diferentes impostas pela antissimetrização. Quando os fragmentos se en -contram bem separados, a composição dos mesmos deixa de ser relevante c eles podem ser tratados como partículas simples ? a antissimetrização entre os 2 fragmentos perde o sentido e o kernel S(x.x') se anula.

Isso, não c, porém, inteiramente válido no caso de fragmentos idênticos. Nesse caso, a própria troca entre as partículas (equivalente ã permutação total entre os nucleons dos dois fragmentos) deve ser levada em conta na antissimetri zação. Essa parcela de S (xlxi ) produz mais um termo direto ,

passa a s e r e s c r i t a como

L"i^vj

+

v»c

;

)-£l[gy+o";,

2

j(-*)] +

coro

(1.24)

0 operador P T troca todos os nucleons de um fragmento pelos nucleons do outro; ^4,z é igual a 1 no caso de núcleos idên-ticos e zero em caso contrário.

1.4.1- Expansão em Ondas Parciais

0 Teorema da Adição pode ser usado para expandir os kernels do RGM em somas de produtos de harmônicos esféricos. Assim, se J = x»x^ /(x»x' ) ,

r

—, )LL

\£fl2*»)fc(*,*'j V ^

ISI

S

)

(1.25)

com idêntica exoansão para S(x. x ) e A(x,x'). A fórmula (1.23)

(1.25), juntamente com

permite,substituindo-se (1.25) e (1.26) em (1.21), que se che gue a uma equação para o RGM projetada em momento angular,

+ j„ -S* (*,*') %*(*') J-^'* o

onde se usou V_ (x) = V_ (x), válida para uma interação nu -cleon-nucleon central (Fr74a).

1.4.2- Estados Proibidos do RGM

0 kernel de superposição A(x;x' ) , definido por

(1.17), é Hermitiano, e tem suas auto-funções (Pu e seus auto valores IL* dados por

Ounndo as nu to-funções internas tfj e ík de (1.17) são orbitais de oscilador harmônico de mesma freqüência UJ

(com largura b = V^í/wu' , m = massa do nucleon), mostra -se (Ho73) que as auto-funçôes tfN são estados de oscilador harmônico de número quântico total N, com a mesma fre

-quência u/e de largura

(1.29)

/3*itf&r.

O espectro de auto-valores está limitado, geralmente, ã faixa entre 0 e 1, podendo, no entanto, em alguns sistemas, ter valores fora dessa faixa (Fr81). Especialmente importan -tes são as auto-funções CPu com auto-valores MU = 0. Temos nesse caso.

jA(*,x')(f2(r

)«<V.0

e o uso de (1.17) na equação acima conduz a

31)

onde foram usadas as propriedades do operador de antissimetri^ ração

A

f :

A'

<

•

•

lV :\ .

(1.32)

Uma decorrência da equação (1.31) c que as funções de onda do RGM geradas por

são identicamente nulas. Podemos mostrar isso multiplicando (1.31) por írN(x) e integrando em x, no que obtemos

<y/H>>--C ou

\^y=0

As auto-funções LfUix) são soluções da equação do RGM, pois o uso do resultado (1.34) na equação (1.15) leva a:

í

k (x,*«)

Lfi

(*»)

AW -

Jd.fi

<Lf. d\ <}, (f^Uf*)*

(1.35)

A existência de funções que satisfazem â equação (1.15), mas que acarretam a anulação da função de onda do RGM devido â antissimetrização, conduz ao íato de que os auto-es-tados tf N com M>H = 0 são soluções do RGM que violam o Principio de Pauli e são, por isso, chamadas de estadcí proibi -dos, redudantes, supérfluos ou nulos. Eles surgem da própria maneira de se compor a função de onda do RGM a partir do produto de funções expresso em (1.10). É possível mostrar-se que a função de onda de partícula independente do osc^

lador harmônico admite a mesma forma de separação que (1.10), isto c,

e,nesse caso, <fcM' ii»il€^l tein' tot*as, a forma de funções de

onda de oscilador harmônico. Se considerarmos, como é usual no RGM, as funções internas e do centro de massa sem excita çao, a função de onda do movimento relativo ^l ( A ) deve pos -suir o número de fonons necessário a que a função y JL«*. obedeça ao Princípio de Pauli; funções de onda relativas que não satisfazem a essa condição produzem pela antissimetriza -ção, funções de o n d a i ^ nulas. Pelo mesmo caminho que se che-gou â equação (1.35) conclue-se agora que as funções ^(r) que violam o Principio de Pauli são soluções da equação do RGM

(1.15). Elas são, na verdade, as próprias auto-funções ^fN(x) do kernel A(x.x ) com auto-valores nulos.

Convém frisar, finalmente, que a separação (1.36) só é possível quando <p, e (j^ expressam funções de onda de osci-lador harmônico de mesma freqüência, o que implica em dizer que estados proibidos só surgem como solução de (1.15) se

is-so for igualmente imposto aos fatores (j>, e q2 do produto

(1.10). Esse procedimento será sempre o adotado no presente trabalho.

As expansões

tf«(x);-^lLqv

U)Y;(iU) (1.37)

° A CfV)* ^ IL C (J2,')*,(«,»•)Y,„(JL)

(1

.38)

permitem a que se cheque a uma equação de auto-valores para o

(1.38) em (1.28) chega-se a

As auto-funções LPN4. (X) são, agora, funções radiais de osci-lador harmônico com N = 2n + l, sendo n o número de nodos fo-ra de origem. A quantidade de estados proibidos fo-radiais é da-da para cada-da valor de l, pelo número de valores inteiros de n tais que 2n + l < N«, sendo N0 o número de estados proibidos não projetados.

A existência de estados proibidos dá ensejo ao apare cimento de redundâncias nas soluções da equação do RGH, jã que se essa equação é satisfeita por g(x), ela será igualmente sa tisfeita por qualquer combinação do tipo

J W-- <)(?)«- T c . tf£ U)

(i.40)

sendo os C^ coeficientes arbitrários. Para eliminar tais arobi^ guidades podemos definir uma função de onda RGM livre de re -dundâncias g(x), dada por

I j > M l g > ; A ' - f - I l i / S x ^ l , (1.4D

onde o projetor A remove as componentes de | g> do sub-espa ço varrido pelas funções Jt/'N/.

1.4.3 - Aplicação do RGM

A aplicação do RGM a um problema concreto requer, em primeiro lugar, o cálculo dos kernels e, em segundo, a resolu çio da equação do RGM (1.21) (ou (1.27)). A resolução desta e quação pode ser feita numericamente (Ro56) ou de outra forme, no espaço de momento, quando as transformadas de Fourier dos kernels GCM são conhecidas (Gi71, Lu74).

Ê no cálculo dos kernels, contudo, que residem as ma iores dificuldades. O sistema de coordenadas em que se apoia o método dificulta a operação de antissimetrizaçao, pelo fato de as coordenadas de um nucleon de cada fragmento não aparece rem explicitamente na função de onda. Os kernels tornam-se , então extremamente difíceis de calcular diretamente para sis-temas com muitos nucleons. Métodos indiretos, que serão deta-lhados adiante permitem, contudo, que já se possa tratar sis-temas até o ""Ca + ,,0Ca(Ba80).

Dessa forma é natural que o método encontre maior a-plicabilidade no estudo sistemático de núcleos leves

(Le82,Ka82,Fu82,Fu83). De particular importância foi seu em -prego no sitema ot + cí (Ta65 Ok66); o RGM conseguiu reprodu -zir as fases no espalhanento <&i-<Á e, através de uma cuidado sa análise das funções de onda, pôde-se chegar a uma compre-ensão microscópica da aparente repulsão entre os fragmentos pa ra distâncias curtas, fato que obrigava a se introduzir cen -tros repulsivos nos potenciais fenomenológicos. A existência de nodos praticamente independentes da energia nas funções de onda, resultante da eliminação dos estados proibidos através de (1.41) deu ensejo, por sua vez a que Saito (Sa69) propuses

se um modelo aproximado, baseado na imposição de ortogonali-dade da função de onda a esses estados. Esse modelo, o OCM, será descrito em detalhe adiante.

1.5- O GCM

0 Método do Grupo Ressonante, que acabamos de anali_ sar, coloca explicitamente a existência de aglomerados, e a distância entre eles é a variável dinâmica natural para a construção de uma função que será submetida a um processo va riacional. Tal função é facilmente adaptável âs condições de contorno do problema pois, para grandes distâncias, o Hamil-toniano do RGM é o de duas cargas pontuais interagindo através de forças puramente Coulombianas e a função de onda ra -dial se reduz a uma ccr±>inação de funções de Coulomb (Ab65). 0 funcionamento desse esquema repousa, contudo, na existên

-cia de um sistema de coordenadas que, como vimos, leva a uma grande dificuldade no cálculo dos kernels. O método apresen-tado nesta seção, pela maneira como constrói sua função de onda base, segue um caminho onde essa dificuldade é contorna da.

0 Método da Coordenada Geradora (GCM) propõe, para a descrição do espalhamento entre dois núcleos uma função de onda base

construida a partir da "função geradora"

(1.43)

onde N(<) é uma constante de normalização arbitrária ú ç o operador de antissimetrização definido por (1.11) e ty* e <$<* são funções de onda de partícula independente (determinantes de Slater) de cada fragmento, com os respectivos centros de potencial localizados nas posições A2/(Ai+A2) e - A J / Í A J + A J ) .

A função base T deve ser submetida à equação va -riacional (1.5) em relação a variações da "função peso" fí*)* A "coordenada geradora" <?L , assim chamada por gerar a função de onda a partir de (1.42), é tratada como um parâmetro e, co mo tal, não pode ser escrita em função das coordenadas 711 dos nucleons.

Se os determinantes de Slater {j>^ e Q* de (1.43) fo rem construidos com orbitais de oscilador harmônico de mesma freqüência, a função geradora ò. pode ser escrita na forma fa torada

onde

?(%.<£•)--

(ôVpJUfJ--^-]

Usando agora o mesmo procedimento empregado na ob tenção de (1.15), chegamos a uma equação para o GCM:

tt(i,t')Uí')d.V-0

,1.46)

onde

é o kernel do GCM, sendo $$ e E, como em (1.16), o Hamilto -niano e a energia total do sistema. O símbolo ( ) indica inte gração em todas as coordenadas dos nucleons.

Ê no emprego da equação (1.47) que aparece a vanta -gem do método. A função geradora (1.43) pode ser escrita na

forma de um único determinante de Slater de A1+A2 nucleons e isso permite que sejam aplicadas técnicas do modelo em cama -das (DrGG) que tornam os kernels do GCM muito mais acessíveis ao cálculo dos que os do RGM, por reduzir o problema a se en-contrar elementos de matriz de operadores a um e dois corpos

entre estados descritos por determinantes de Slater.

Em contraposição, a aplicação de condições de contor no â equação do GCM (1.46) se torna difícil por não se conhe-cer o comportamento assintótico de X (.<£) . B necessário que se obtenha yL^J assintoticamente a partir da função de onda do movimento relativo g(r). Isso é feito, como verer»os adiante, pela inversão de uma relação integral entre ambas e é de solu ção relativamente simples quando se ignora a força Goulonbiana entre os fragmentos (Ta72), mas é de difícil trato na presen-ça dessa forpresen-ça (Fr74, Be75).

C GCM, aqui definido pelo seu emprego direto a nosso problema de espalhamento é, na verdade, um método de aplica

-ção bem mais ampla. Introduzido por Hill e Wheeler em 1953 (Hi53) e desenvolvido por Griffin e Wheeler em 1957 (Gr57) , o método se aplica ao caso geral de nucleons sujeitos a um po tencial médio Uo<(r), onde crf simboliza um conjunto de parâme-tros que procuram representar, na média, efeitos coletivos no núcleo, e tem seu comportamento descrito pela função de onda base cL(ri, rz,...,r„), a partir da qual será construída a função de onda GCM na forma (1.42). A escolha dos parâmetros o< que funcionarão como coordenadas geradoras, depende da

aná-lise da situação física do problema em questão, devendo ser ressaltado que esses parâmetros não se identificam com coorde nadas coletivas, que podem ser expressas em termos das coorde-nadas n - Isso representa outra vantagem do GCM, se comparado a métodos onde há a necessidade de se expressar coordenadas co letivas em termos das coordenadas de cada nucleon (V166).

A equação do CCM (1.46), assim como a do RGM (1.15), tem a forma de uma equação de auto-valores numa base não orto gonal. A não ortogonalidade da base (Pjri, ra,...^) está ex-pressa pelos valores não nulos de

j U V ) - < 4 > J i'> o**,/ (148)

mesmo para grandes separações entre os fragmentos (Fr81). Re-solver a equação do GCM é, pois, equivalente a reRe-solver um problema de diagonalização numa base não ortogonal de funções

Cfa» ' <3u e definem um sub-espaço %t, do espaço de Hilbert ^6

O valor do GCM como método aproximado para descrever um dado estado de % está condicionado a esse estado ter componentes pequenas fora do sub-espaço # 4 e isso depende, naturalmente, da escolha das coordenadas geradoras <* para aquele problema.

1.5.1- Expansão em Or.das Parciais

Assim como no parágrafo 1.4.1, é <nveniente aqui fa zermos as expansões em ondas parciais.

f ^ - f L f,

U)Y,,c(A),

(1.49)

o valor de • 7(r,oí- ) ê obtido comparando a expansão (1.51) a-cima com

C*'- - W Z Y*~ (J2jj u H

í l ( A Í ) , (i.52)

Í M

onde i?.(p) são as funções de Bessel esféricas modificas (Ab6 5); obtemos

?JL(A.^\ = (p27r) H ^TT/vct ^/|, [-JlTpJ-J U f ^ r j . (1.53)

As expansões (1.49) e (1.50) fornecem, por sua vez, usando (1.46), a relação

\

KLU^) \JLU\

JU-0

que é a forma da equação do GCM projetada em momento angular.

1.5.2 - Equivalência com RGM - Formulas de Conexão

Se adotarmos para o RGM o procedimento descrito após a equação (1.36), esse método c equivalente ao GCM. Podemos ver isso substituido wt do (1.44) em (1.42),

e comparando com a equação (1.10) para a função de onda do RGM. Se admitirmos a função de onda relativa g(r) construída

a partir de

as funções de onda do GCM e RGM se tornam idênticas.

A relação (1.56) estabelece uma formula de conexão entre funções do RGM e GCM, que se torna muito importante quando se procura desenvolver métodos microscópicos híbridos, como veremos adiante. Igualmente importante ê a relação entre os kernels dos dois métodos, que pode ser facilmente obtida das equações (1.16) e (1.47):

K (*,*')«/r(í,í)

KU

')rí«;Í')

s*«*v n.n>

As equações equivalentes, projetadas em momento angular, se escrevem:

C

U

U )

'-

J G (^,*/ £*

U) °L*

d.58)

l<> U / )

-'

J Hr U * )

Ki

C*

*')

G(%,V)

M<

(1.59)

e são resultado do emprego das equações (1.25), (1.26),(1.49), (1.50) e (1.51). Convém notar que as funções de difícil obten çao nos dois métodos* a função peso i- («0 do GCM e o kernel

Kofx.x* ) do RGM, aparecen justamente no integrando das equa -çoes (1.58) e (1.59), tornando complicada sua obtenção a par-tir das funções correspondentes g,(r) e K ,(**,«* ) .

1.5.3- Aplicação do GCM

0 GCM encontra aplicação em uma vasta gama de proble mas. Na Física Nuclear ele foi empregado na restauração de si^ metrias (Pe57, Pe62, Wo75), cm problemas de estrutura (Dr68 , Ja64, Ta72, Wo70) e em problemas de reações nucleares (Mi73 , Wo75). Sua utilização no problema do espalhamento foi viabiH zada por Horiuchi (Ho70) com o estudo do sistema c£ + ot . Es-se autor considera, como i usual, a existência de uma região interna, onde a pequena distância permite a interação nuclear entre os fragmentos, c uma região externa ou assintotica. Pa-ra a região interna o GCM é aplicado a uma malha de N pontos e uma fórmula aproximada é estabelecida para calcular a fun -ção de Green G = 1/(E-%). A conexão da função de onda

inter-na com a função de onda assintotica é feita com o emprego da fórmula de conexão de Tobocman e Nagarajan (To65) que requer somente G como informação sobre a região interna.

A aplicação do método de Horiuchi resultou num bom acordo das fases obtidas com as experimentais mas apenas para um determinado valor do raio da região interna. A desejável invariância dos resultados em relação ã esse raio foi conse guida por Bayc c Hcenen (Ba74) quando substituíram ns fõrmu -Ias de Tobcman e Nagarajan por expressões oriundas de teorias de matriz -R totalmente antissimetrizadas (To 67).

Ao lado desses métodos, que não fazem uso de uma con dição de contorno de espalhamento para resolver a equação de Hill-Whcelcr, existem outros onde essa condição é imposta à

solução dessa equação. Esses métodos envolvem conexão com o RGM e são apresentados no parágrafo seguinte.

1.6- Uso do Conjunto do RGM e CCM-Métodos Híbridos

As dificuldades apontadas para a utilização plena do RGM e GCM, ou seja, o cálculo dos kernels no RGM e a con-dição assintótica no GCM, aliadas ã existência de relações de conexão entre eles, fazem com que cálculos com esse métodos procurem aproveitar os aspectos favoráveis de cada um.

Assim, kernels do RGM podem ser calculados a partir dos kernels do GCM pela inversão da relação (1.57). Esse é um problema difícil e foi atacado de diversas formas. Giraud e colaboradores (Gi73) usaram a representação de momento para o RGM e GCM, na qual a relação integral (1.57) se transforma num simples produto. A obtenção dos kernels do GCM nesse espaço re quer, entretanto, uma dupla transformação de Fourier, o que não é tarefa simples quando não se conhecem expressões analí-ticas para esses kernels.

Friedrich (Fr74a) investiga a estrutura analítica do kernel do RGM resultante da transformação (1.57) e conelue ser impraticável a inversão dessa relação para sistemas que conte nham núcleos mais pesados do que uma partícula alfa. Propõe O autor como alternativa um procedimento numérico para a equa -ção projetada (1.59) onde as variáveis o<, oi', x, x são dis-cretizadas, assumindo somente os valores estabelecidos por uma mnlhn do pontos crjuiclír?tnnter;. Isso transforma n resolução

30 -dessa equação na resolução de um sistema de equações lineares» Friedrich aplicou seu método a sistemas até "°Ca + '"ca, mas ficou logo patente que para sistemas contendo componentes mais pesadas do que uma partícula oc a necessidade de extrema preci^ são nos kernels do RGM devido às suas flutuações de curto al-cance comprometiam a confiabilidade no método. Salienta o au-tor que esse tipo de dificuldade surge em qualquer tentati-va de obter kernels do RGM a partir de kernels do GCH, não sendo especifica do método em questão. Assim ocorre, por e -xemplc, no trabalho de Kamimura e Matsuse (Ka74), que expandi-ram os kernels RGM em produtos de funções de oscilador harmô-nico e determinaram os coeficientes da expansão pelos kernels do GCM. A dificuldade, nesse caso, assume a forma de um núme-ro muito grande de parcelas na expansão para sistemas mais pe sados.

A obtenção de kernels do RGM a partir dos kernels do GCM é facilitada, contudo, quando se conhecem expressões

ana-líticas para esse último, e o sistema I 60 + " o teve seus kernels do RGM calculados dessa forma por Tohsaki e colabora-dores (To75).

Outra linha de trabalho consiste em se tentar resol-ver a equação do GCM (1.54) usando como condição de contorno para f?(ot) a função obtida da parte assintótlca de g<> ir)

pe-la Inversão d.i repe-lação (J.S8). T.il Unha foi seguida por de Takacsy (Ta72); para tanto tie dividiu a integral da

Jo

K< U / ) £tk'! «*/ f

JRT I0 6 V W

^ ) ^'^

onde o raio Ro marca a separação entre a região interna e a região asuintólica. A primeira integral c agora dlscrctizada por uma malha de N pontos c/., j = 1 , 2, ... N, com ^ C N = Ra

Z

l<* f^aíj)

LUj)

f J

. ^ ( . ^ o . O f U ' ) ^ ' ^

(1.61)

onde fica entendido que a integral deve ser resolvida para as formas assintõticas de K, e f«. Desprezando a interação Cou

-lombiana, f. é , assintoticamente, facimente obtida de g. por inversão da relação (1.58):

$JL U) -- ji í U)

+- Bi

"Y[<

(&*) (1.62)

onde j . e n. são funções de Bessel esféricas e B. é ligado ã defasagem O i por B«= tg ( SJL - -j A K ) .

As N equações que se obtém escrevendo (1.61) para os pontos i = 1,...N, acrescidas da equação (1.62) escrita na fronteira c< = Ro, formam um sistema com o qual as N + 1 in -cógnitas f«(<*j) e B. são calculadas.

De Takacsy aplicou seu método com sucesso 5 determi-nação de defasagens do espalhamento dineutron-dineutron, mas a não inclusão de forças Coulombianas impede sua aplicação a

sistemas mais realistas, h inclusão dessas forças no método foi conseguida por Friodrich c colaboradores (Fr74) para o sistema o< + o^ mas a complexidade desse tratamento não o re-comenda para sistemas nais pesados.

A dificuldade em impor a condição assintõtica â fun-ção peso do GCM levou Canto e Brink (Ca76, Ca77) a seguirem ou tro caminho usando o método de de Takacsy. Como no decorrer deste trabalho a técnica de Canto e Brink foi utilizada larga mente na determinação de defasagens e funções de onda "exa

-tas", essa técnica será apresentada em detalhes. Para tanto , convém notar inicialmente que a equação (1.61) pode ser obti^ da de (1.54) escrevendo-se para a função peso

ÇJL[J>)*Y.

CÍ <T(*-*j)t

flCoc) (1.63)

è

onde os coeficientes Cj são os valores a determinar da fun -ção fpícKj). Esses autores estendem os N pontos da malha, en-tretanto^ um raio R : y Ro criando uma região entre Ro e Ri on de as funções interna o assintõtica se ajustarão uma ã outra. f^(o< ) é uma função que se anula para c/<.Ro e eqüivale a f ,(c<') para valores assintóticos. 0 uso de (1.63) em (1.58 ) resulta cm

com

f(*)^ír

x

u«)pu)<ij.

A forma assintõtica

í<*

_U

*

)

* j Hi

(*,j)

[ T* +Vc£*)-£}r* (*,*') -**,

(1.66)

sendo Vc (x) a parte direta do potencial Coulombiano e

(1.67)

permite que se obtenha, como aplicação de (1.63) em (1.60):

fj ,

ÍL Cl K> Uy:) f JflX G M t-

1

* +^W- J *

* r*. Cx

|0

*') fr fot') ^' ^* - Í> d.68)

onde I j (x,c< ) tem como expressão assintõtica

ft ("*,*)£ (pffj^lir^^^xf» í - Í ^ ^ J ú f * ^ ) . (1.69)

A expressão (1.65) permite, agora, reduzir (1.68) a

e a dependência explicita em f^c*.') foi eliminada, desapare-cendo os problemas da aplicação da condição de contorno.

Para x > Ro, escolhendo uma constante de normaliza -çáo adecm^a,podemos escrever

2 « W *

$T(*)

í*

(**)+*£

G-JLÍk*),

(1.71)

onde Fy(kx) e Gf(kx) são as funções de Coulomb usuais e

CLx - \<\ OJL (1.72)

sendo o), a defasagem nuclear. Como as funções I t(x,o^t) se constituem de picos estreitos em torno dos o<t' ,a função g« (x)

cai rapidamente a zero para x?Ri e deve-se esperar que g£ (x), nessa região obedeça ã equação (1.71). Na região interior à Ri, no entanto, g° (x) é arbitrária, já que qualquer mudança era

seus valores pode ser absorvida pelos coeficientes C^ de gi(x). Canto e Brink (Ca77) usaram essa liberdade para defi

-nir

<*;(*)* v

U) yTU) (1.73)

*[(*M t U - ( 0 - " T F " * " ! c.-Bt"J/Af«•»?«) R

**íP<

sendo uma função contínua e com derivadas contínuas em Ro e Ri. O crescimento suave de \ (x) entre Ro e Ri garante que g; (x) possa acompanhar as variações de g° (x), condição ne -cessaria a que a soma de ambas se aproxime da função de onda assintotica g^ (x) naquele intervalo. O raio Ri, com essa mesma finalidade, não deve ser escolhido muito próximo de Ro.

As expressões (1.71), (1.73) e (1.74) serão agora u-sadas para escrever a equação (1.70) nos diversos pontos da malha <À = ^i . Definindo (1.75)

Z^)=-^]rU

-)[H

(>

ÍR

Í4x)l-2U

íx)FWWl^

Z CÍ K^U,^) \-Y(ji)a* --

f. \

2

..

J

. 7 7 ,

i*

- F. ( fcR) 4-rw Ge (-kl*) t (1.78)

ponto x = R, escolhido tal que Ro-^R^Ri. Esse sistema

deter-1 2 N

mina o valor das incognitas Co, O ...Cj., a?, com as quais, a través das equações (1.64) e (1.72), a função de onda e a de-fasagem para aquela onda parcial ficam estabelecidas.

1.7- 0 OCM

As seções anterioresrelataram um grande número de procedimentos para se atacar microscopicamente o problema da interação entre dois núcleos, baseados no RGM e GCM, bem como as dificuldades e limitações inerentes a cada um deles. Embo-ra se manisfestem em formas diversas, essas dificuldades tem, no entanto, uma raiz comum: o tratamento da antissimetrização de forma completa ou, em outras palavras, a obediência estri-ta ao Principio de Pauli é um sério obstáculo â resolução de problemas envolvendo um grande número de nucleons. Esse fato conduz naturalmente ã idéia da criação de um método aproxima-do com uma faixa de aplicação mais ampla, mas onde os efeitos do Principio de Pauli são incluidos apenas parcialmente.

Um método baseado cm tal idéia foi proposto por S. Saito em 1968 (Sa68, Sa69) e aplicado com sucesso ã colisão ot-<A . Essa colisão ó bem descrita (En 64) por potenciais fenômenolóyJcou Independente» d.i enrryin "í.ir. dependentes do momento angular e que tem como característica uma forte repul são a curtas distâncias (^2fm) e uma atração a distâncias ma iores, ambas diminuido de intensidade para valores crescentes do momento angular.

Por conter relativamente poucos nucleons, o sistema << • o< é acessível ao cálculo pelo RGM (Sp59) e as proprieda des do potencial fenômenológico puderam ser associadas(Sh62 , Ta65, Ok66) ãs características das funções de onda do RGM ra esse sistema e, em particular, ã existência de 2 nodos pa-ra a onda S e i node papa-ra a onda D ppa-raticamente independentes da energia e localizados na região de repulsão forte. 0 com -portamento oscilatõrio da função de onda que dá lugar a esses

nodos foi atribuído (Ta68) à ortogonalidade aos estados redun dantes [^equação (1.41)j imposta ã solução da equação do RGM. Impor essa ortogonalidade corresponde, no entanto, ã introdu-zir uma não-localidade no potencial e isso forneceu a Saito a base de seu método: reter como aspecto não-local da equação do RGM apenas a condição de ortogonalidade aos estados proibidos. 0 "Modelo da Condição de Ortogonalidade" (OCM), como é

conhe-cido, é uma aproximação que torna mais tratável o problema da interação entre núcleos ao evitar trabalhar com a antissime -trização completa do RGM. No próximo parágrafo trataremos do formalismo ligado ao Modelo e o valor do OCM como método apro ximado será examinado no capítulo seguinte.

1.7.1- As Bases do OCM - A Equação de Saito

Partindo do iormaiismo de Feshbach para Reações Nu -cleares (Fe62) Saito pode expressar as idéias de seu modelo a través de uma equação a que chegou para a função de onda do movimento relativo. Buck e colaboradores (Bu77) chegaram a es_

sa mesma equação através de aproximações introduzidas no RGM e esse será o procedimento descrito a seguir. Para tanto, o ponto de partida é a equação do RGM (1.15) .

J<4>- ^^íí">t)l(^-E)/ilÍ^c;-(x

./L)7qfxV**'*^-(1.79)

definindo

ttUy)--ti^cí*-?)\%l\\

t

LcU>-riy a.80,

i

H

^.ib

í

~'

]

<'

c

'

= E

/

A Í

- ' - '

)

3

í

' '

M

~ '

{1

-

81>

H 1<3>--£A ! j ) (1.82)

onde a definição dos operadores H e A. fica clara comparando as equações (1.81) c (1.82). P, útil escrever a equação (1.82) a-penas para o movimento relativo dos fragmentos

r

39 -senão c. dado por (1.20} e H r ei o operador correspondente ao

kernel

(1.84)

sendo £i e âz. a energia interna total de cada fragmento. Para a introdução da idéia básica de Saito ê neces -sário que se estabeleça preliminarmente uma aproximação para o operador A da equação (1.83):

A * A

com A dado pela equação (1.41). A validade da aproximação (1.85) é melhor examinada se olharmos a forma matricial dos operadores A e A na base ( (/*'* j [ver equação (1.28f], Nessa base ambas as matrizes são diagonais e têm os elementos da di^ agonal dados por:

"VV-A -» O, 0, • •• Cf M«*i, > U » 2 , .-• (1.86)

A - ' Cf C, •• O, \ I \ / ••- (1.87)

onde n é o número de estados proibidos e Kn +, , etc... são os

auto-valores não nulos de A. Para núcleos leves esses auto-va lores atingem rapidamente a unidade, sendo a convergência mais

lenta para núcleos mais pesados Tver figura (l.lfj. A valida-de do movalida-delo ficaria, então,restrita aos primeiros. Buck e co laboradores (Bu77), fornecem, como veremos adiante, uma rein-terpretação do OCM, onde a aproximação (1.85) se torna desne-cessária.

A idéia central do modelo é agora estabelecida,pri -itteiro, eliminando-se o antissimetrizador /l da equação (1.84), o que, juntamente com (1.65), reduz a equação (1.83) a

( T f Vo) | j > -

í

A |j> (1.88)

com

if*. V ~ (1.89)

e VD dado por (1.22); e, segundo, introduzindo na equação

(1.88) a ortogonalidade aos estados proibidos através da subs tituição do Hamiltoniano T + V_ pelo, igualmente Hermitiano , operador A ( T + V _ ) A , ficando (1.88) com a forma

A (TWp)A

A\$)

.90)

Usando agora a equação (1.41) c omitindo o >v para a função de

onda l i v r e de redundâncias j g > , ficamos com

1.0

H

1

0.5

N

. 8

_{2 0 3 0}

N

Fig.1.lb - Auto valores u para o sistema a - l 60 . N

40

I ' ' • ' I ' ' r • I ' ' ' ' i ' ' ' ' I ' ' ' ' I ' ' ' ' l ' ' ' ' I • ' ' • l ' ' ' ' l

V*« .

90

Fig. 1.1c - Auto valores U^ para o sis ti-ma , 60 - l 60

(Fr 81) 1 ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' 1 ' I ' I ' I 0

« ° »

* ° *

A equação (1.91) 6 a equação de Saito. Sua solução j g > é ortogonal aos estados redundantes e contêm, por isso, parte dos efeitos de antissimetrizaçao eliminados na equação

(1.88). Ela carrega,contudo, as restrições impostas pela apro ximação (1.85). Uma interpretação do OCM que elimina esse pro blema foi apresentada por Buck e colaboradores (Bu77). Ela can

siste em adotar, como ponto de partida, a equação

A ^ C T f V o i A

" / } ) ^ e A l p (i.92)

onde A c um operador que satisfaz a

•M

"

-CA'") A "

- A

e cuja expansão em auto-estados { <-^»/' de A se escreve

A"

4

- 1 1 if.> .£ <it*h i -2.1</•• > U•£)<f I•

cr- &*

(1.94)

Vemos, por essa última equação que, da mesma forma que A i

i /

A elimina os estados proibidos c faz com que o operador Her

mítiano A (T + VD) A contribua no equação (1.92) com uma

parte local e uma não local.

Criemos agora uma operador B, que tenha os mesmos au to-valores não nulos de A e valores positivos quaisquer no lu

gar dos auto-valores nulos de A. E evidente"~ ver (1.86) e (1.87)] que podemos escrever

A "- A B

-- BA

. ,

A'^AB'^B'^A^

(1

.,

6)

e como B foi construido não singular a equação (1.92) pode ser multiplicada por B /2, no que resulta

A Í T + V J !>>-- e | x >

onde

í % >

A"' l j > . (1.98)

A equação (1.97) é idêntica ã equação (1.91) exceto pelo fato de ser uma equação para a função ( X>y , ao invés da função \ gj como essa ultima. Como, em vista dos estados proibidos serem estados ligados, A / 2 é assintoticamente i -gual a 1, essa diferença não se faz sentir quando o interesse é a determinação de defasagens cm um problema de espalhamente»

A equação (1.97) podo, portanto, ser encarada como representa tiva das idéias do Modelo e sem a restrição a núcleos leves imposta a priori através da aproximação (1.85).

A relação de ortogonalidade entre funções | g^> cor respondentes a energias diferentes £ e £• ,

< ^ I A I ^ '

>

O'(E-c')

(1.99)

envolve o operador A e pode ser facilmente obtida da defini -ção desse operador, equa-ção (1.17) e das propriedades d e A , £

quações (1.32). Como conseqüência a função j *)6y obedece â

relação de ortogonalidade "natural"

< X

I

%t'7<*<<r(e-£')

(i.ioo)

que se segue diretamente de sua definição, equação (1.98) e da Hermiticidade do operador A .

Uma equação de Saito projetada em momento angular

A i Í T u f V o j / X ^ £ lYi) (i.ioi)

tem sua obtenção a partir da equação do RGM nrojetada (1.27) ba seada nas mesmas considerações anteriores. Aqui, T^ é defini-do por (1.67) e

A * H - L | i f i * > < ^ > í , (i.io2)

sondo U'WÍ / os estados proibidos projetados,dados por

(1.37), I X*) está ligada â função de onda projetada do

í Xx > - A

r | ^ >

.

com A ^2 obtido de (1.93) e (1.38).

A análise do OCM ao longo do presente trabalho será, quando não houver menção explícita em contrário, baseada na in terpretaçao do Modelo expressa pela equações (1.97) e (1.101).

1.7.2- Aplicação do OCM

0 modelo da Condição de Ortogonalidade foi aplicado, no trabalho que deu origem a esse método (Sa69), ã colisão

c/ - c< , sendo capaz do determinar funções de onda e defasa -gens com precisão muito próxima a do RGM. 0 Modelo foi poste-riormente, com maior ou menor sucesso, aplicado a outros sis-temas tais como d + <* (Ni80), c< + 3He(Sa77), c< + 12C (Su76 ,

Su78, Su8l), ©< + 160(Ma73, An75), * 60 + 160 (An75, To80).Res postas mais detalhadas do Modelo foram obtidas com o acopla -mento de vários canais, como o estudo do 19F pelo acoplamento

dos sistemas c< + Í5N e t + 1 60 (Sa79), o estudo do 20Ne pelo

acoplamento dos sistemas ©C + : 60 e *2C + 8Be (Fu79, Fu79a) e

o estudo do 2"Mg pelo acoplamento dos sistemas 12C + l2C ,

<X + 20Ne e 8Be + '60 (Su82). Sistemas de mais de dois frag

-mentos como o o< + <Á + <_X foram examinados por Horiuchi (Ho74, Ho75), e Kato e Bando (Ka79) estudaram o sistema

rj.. + .V. + 1 60 .

do na equação de Saito (1.103) se empregam potenciais diferen tes de V_. A análise dessa possibilidade e suas aplicações constituem tema do capítulo seguinte.

DESCRIÇÃO DAS COLISÕES POR POTENCIAIS EFETIVOS

O Capítulo anterior aborda o tratamento microscópico de colisões elásticas através de dois métodos que levam em conta os efeitos do Princípio de Pauli de forma completa, o RGM e o GCM, e de um modelo que incorpora apenas parcialmen-te esses «feitos, o OCM.

O presente capítulo estuda a partir desses métodos , a possibilidade de construção de potenciais efetivos que des-crevam aquelas colisões. Atenção particular será dada ao cál-culo de potenciais efetivos para aplicação a equação de Sai-to, tema central do presente trabalho.

2.1- Potenciais Efetivos para a Equação do RGM

A equação do RGM (1.27) pode ser encarada como uma equação do Schroedinger

onde o potencial local Vef(x), dependente de 9. e de £- é dado pela expressão

A noção de um potencial efetivo construido de tal forma, seria,em princípio, inútil, jã que é necessário que a própria função de onda g(x) seja conhecida. Essa noção pode, no entanto, ser proveitosa, se um estudo sistemático desses po tenciais revelar regularidades que permitam estender sua atua ção a situações onde é impraticável a determinação da função de onda.

Um trabalho nessa linha é, por exemplo, o de D. R. Thompson (Th 69) e colaboradores. Esses autores determinaram potenciais efetivos para os sitemas o^ + oC e o C + l ^ e a aná lise desses dois casos deu ensejo a que fosse proposta uma forma para o potencial efetivo entre sistemas mais pesados, no caso o sistema I S0 + I 60 .

Os potenciais efetivos obtidos pela equação (2.2) pa ra o sistema c< - °( aparecem na figura (2.1a), para as ondas parciais ?. = 0 e 2. Esses potenciais são de pouca utilidade u ma vez que apresentam polos contidos entre 0 e 2 fm. Esses po los são oriundos de nós de g? (x), 2 nós para í = 0 e 1 nó

pa-ra í = 2, resultantes da ortogonalidade dessas funções em re-lação aos estados redundantes. Para evitar lidar com potenci-ais dessa natureza,Thompson e colaboradores propuseram que os potenciais fossem aproximados por "hard cores" nessa região dos polos. Esses potenciais são vistos na fiqura (2.1b). Cabe destacar que cies se assemelham a potenciais fenomenolõgicos

(A166, Da65) extraidos de dados experimentais.

0 potencial efetivo (2.2) substitue diretamente o po tcncial da equação de Fchrocdinqcr e tem, portanto, uma in

-•i i i i i i i

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