Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física Trabalho de Conclusão de Curso O COMPUTADOR QUÂNTICO DE OSCILADOR HARMÔNICO

Pró-Reitoria de Graduação

Curso de Física

Trabalho de Conclusão de Curso

O COMPUTADOR QUÂNTICO

DE OSCILADOR HARMÔNICO

Autor: Vagner Vieira Lins

Orientador: Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães

Brasília - DF

2010

O COMPUTADOR QUÂNTICO DE OSCILADOR HARMÔNICO

(Quantum computer of harmonic oscillator)

Vagner Vieira Lins

, Dr. Paulo Henrique A. Guimarães

1 _{Curso de Física - Universidade Católica de Brasília}

2 _{Departamento de Física – Universidade Católica de Brasília - Orientador}

A computação quântica é um tema de fronteira entre a computação e a física. Neste trabalho é feita uma revisão da literatura sobre o assunto. Num segundo momento é apresentado o oscilador harmônico como modelo de construção de um computador quântico. Nesse contexto, serão abordados os casos clássicos e quânticos no sentido de construir uma teoria sobre estes sistemas. Para este último caso, serão analisados os efeitos dos fenômenos de superposição e do emaranhamento. Posteriormente é analisada a viabilidade de construção do computador baseado no modelo de osciladores harmônicos.

Palavras chaves: computação quântica, osciladores harmônicos quânticos,

implementação de computadores quânticos, emaranhamento.

Quantum computing is a subject of the boundary between computing and physics. In this work, a review of the literature on the subject. In a second step the harmonic oscillator is presented as a model for building a quantum computer. In this context, the cases will be dealt with classical and quantum in order to build a theory about these systems. For the latter case, we will analyze the effects of the phenomena of superposition and entanglement. It is then examined the feasibility of constructing the computer model based on harmonic oscillators.

Keywords: quantum computing, quantum harmonic oscillators, the implementation of

quantum computers, entanglement.

1. Introdução

A computação clássica está baseada num conjunto de operações matemáticas sobre um conjunto formado por somente dois elementos. Nesse sistema binário, a unidade fundamental da informação é o bit que pode assumir o estado 0 (zero) ou 1(um) (NIELSEN, 2005). Utilizando-se essa maneira de manipular informações, o computador tem se mostrado bastante eficiente para muitas aplicações. O acesso a banco de dados, a realização de cálculos matemáticos e a edição de imagens são alguns exemplos de tarefas em que o computador é a melhor máquina para executá-las. No entanto, existem problemas complexos que a computação clássica não consegue solucionar

com eficiência, apesar da grande evolução tecnológica tanto em nível de arquitetura física quanto de programação. Além disso, a arquitetura dos computadores que conhecemos atingirá seu limite, ou seja, quando chegarmos ao limite do átomo não será fisicamente possível fabricar nada menor (ALEGRETTI, 2004).

Podemos enumerar algumas restrições impostas à computação clássica como a fatoração de números inteiros grandes em números primos, que é a base da criptografia, a otimização da busca em bancos de dados, a Inteligência artificial e a determinação da conformação geométrica ideal de uma macromolécula a partir dos seus componentes. Tais tarefas necessitam de um processamento paralelo maciço que seria inviável num computador clássico ou, ao menos, demoraria muito tempo (HASS, 2006).

O objetivo deste trabalho é expor as condições necessárias para a realização de computação quântica bem como lançar mão de um modelo físico, o Oscilador Harmônico quântico como uma possível escolha para implementação do computador quântico. Deste último aspecto, pretende-se analisar, em nível introdutório, o emaranhamento, uma propriedade importante no estudo da computação quântica.

2. Conceitos fundamentais

Historicamente, a computação quântica surgiu de especulações de Feynman e Benioff a respeito das pontecialidades de uma máquina baseada em princípios quânticos (HASS, 2006). Desta forma, um computador quântico é um dispositivo que executa cálculos utilizando propriedades da mecânica quântica.

Antes de falar sobre o computador quântico apresentaremos alguns conceitos fundamentais, necessários para o entendimento da computação quântica.

2.1. Bits Quânticos

Em computação quântica, utilizam-se estados quânticos ao invés de estados clássicos.

O bit clássico é substituído pelo bit quântico, o q-bit. Os valores 0 e 1 de um bit clássico são substituídos pelos vetores e | . A notação | é a notação de estados quânticos conhecida por notação de Dirac.

A diferença entre um bit e um q-bit é que este último pode estar em estados diferentes de e | , ou seja, é possível que sejam formados combinações lineares de estados. Sendo assim, um q-bit pode existir em um estado contínuo entre e | conforme mostrado na Equação 1. Essa propriedade é chamada de superposição:

| | | (1)

Os parâmetros e são números complexos. De outra forma, podemos dizer que um q-bit é um vetor num espaço vetorial complexo com duas dimensões.

Apesar dessa configuração estranha, os q-bits são reais. Sistemas físicos podem ser utilizados para torná-los reais. Num átomo, por exemplo, o elétron pode estar no estado fundamental ou no estado excitado. Podemos atribuir | ao estado fundamental e | ao estado excitado (NIELSEN, 2005), conforme mostrado na figura abaixo.

Figura 1: Dois níveis eletrônicos em um átomo representando um q-bit.

Se irradiarmos o átomo com luz podemos levar o átomo do estado | ao estado | . Também podemos levar o elétron a um estado intermediário entre | e | , o estado | cuja probabilidade quando medido é de 50% para 0 e 50% para 1. De acordo com a Equação 2, | | | |

|

Podemos reescrever a superposição de estados da seguinte forma: | _{( | | ) (3)}

em que , e são números reais. O termo não é geometricamente observável, logo podemos escrever a Equação 3 da seguinte forma:

| ( | _{| ) (4)}

O argumento e argumento presentes na Equação 4 definem um ponto sobre a superfície de uma esfera de raio unitário chamada de esfera de Block ilustrada na Figura 2.

Figura 2: Representação de um q-bit na esfera de Block. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.

Embora útil essa representação é limitada. Para muitos q-bits não existe uma representação simples na esfera do Block.

2.2. Circuitos Quânticos

Um computador clássico é constituído de circuitos elétricos contendo fios e portas lógicas. Um computador quântico é constituído a partir de um circuito quântico onde se encontram portas lógicas quânticas que manipulam a informação quântica e fios que transportam a informação (NIELSEN, 2005).

A grande vantagem da computação quântica é realizar uma operação sobre todas as 2n combinações de n q-bits (VALADARES, 2004). Por exemplo, um computador clássico com três bits de memória pode apenas armazenar oito estados lógicos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Um computador quântico pode atualmente armazenar 16 valores analógicos em pares para

formar 8 números complexos. A primeira coluna da Tabela 1 apresenta todos os estados possíveis para três bits. Num computador clássico, somente um destes estados pode ser assumido de cada vez. Um computador quântico pode, através da superposição de estados, assumir os oito estados simultaneamente. A segunda coluna mostra a "amplitude" para cada um destes estados. Os oito números complexos representam uma imagem dos conteúdos do computador quântico num determinado instante. Durante a computação estes oitos estados irão interagir e se modificarem. A terceira coluna mostra a probabilidade para cada estado. Não é possível realizar uma medida direta sobre os números complexos. Quando o algoritmo é terminado somente uma linha de 3-bits é mostrada. Isso porque uma medida sobre a superposição pode levar o sistema para um estado desconhecido, sem a coerência que tinha anteriormente.

A Figura 3 mostra um esquema de operação em um registrador de 3 q-bits.

Tabela 1: Devido a superposição um computador quântico pode assumir 8 estados

simultaneamente para um conjunto de 3 q-bits.

Estado Amplitude Probabilidade

* (a+ib) (a²+b²) 000 0.37 + i 0.04 0.14 001 0.11 + i 0.18 0.04 010 0.09 + i 0.31 0.10 011 0.30 + i 0.30 0.18 100 0.35 + i 0.43 0.31 101 0.40 + i 0.01 0.16 110 0.09 + i 0.12 0.02 111 0.15 + i 0.16 0.05

Fonte: Enciclopédia livre – Wikipédia

3. Condições para a realização da computação quântica

Para construir um computador quântico, devemos além da representação matemática, ter uma representação física dos q-bits que mantenha as suas propriedades quânticas, preparar os q-bits num conjunto bem definido de estados iniciais, selecionar um sistema em que os q-bits possam evoluir e finalmente realizar a medição do estado final de saída do sistema.

3.1. Representação da informação quântica.

A computação quântica se realiza através das transformações de estados quânticos. Uma partícula com spin 1/2, por exemplo, pode ser usada para representar um q-bit ( - . Isso preenche um requisito para se realizar computação, ou seja, o conjunto de estados é finito.

Um problema relevante é que os sistemas geralmente não estão isolados. Na computação quântica um grande problema é a decoerência, ou seja, a distorção do estado quântico em virtude da interação com ambiente (ALVES, 2003). A seleção da representação deve ser tal que a decoerência seja a mínima possível. No caso do spin, ele representaria um bit quântico quase ideal pois está confinado ao espaço de Hilbert gerado pelos estados | | . O spin da partícula não pode estar fora desse espaço.

Um sistema que seja vulnerável e permita com facilidade a destruição da superposição dos estados não é uma boa escolha para a representação da informação quântica (NIELSEN, 2005). Os estados de energia num átomo, por exemplo, não constitui uma boa escolha.

3.2. A realização de transformações unitárias

Sistemas quânticos fechados evoluem unitariamente de acordo com seus operadores observáveis de energia (NIELSEN, 2005). Esse operador é chamado de Hamiltoniano. É imediato então pensar que para realizar computação quântica é necessário controlar o Hamiltoniano para selecionar uma transformação unitária de uma família universal de transformações

unitárias. As transformações unitárias são realizadas por portas lógicas quânticas.

A principal diferença entre uma porta lógica quântica e uma porta lógica clássica é que nesta última as operações não são reversíveis.

Figura 4: Representação da operação de portas lógicas quânticas.

Abaixo temos algumas portas lógicas quânticas importantes:

Toffoli - Transforma um registrador quântico em um registrador clássico. Tal operação permite reproduzir algoritmos clássicos em um computador quântico.

Controlled NOT - Esta operação aplica NOT no segundo q-bit caso o primeiro seja 1 ou mantém o segundo q-bit, caso o primeiro seja 0. Isso torna o bit dependente do outro, que é a definição de entrelaçamento.

3.3. Preparação dos estados iniciais de alta fidelidade e baixa entropia

Uma vez escolhida a representação física de um q-bit é preciso preparar o estado inicial de tal forma que uma transformação unitária sobre este estado leve o sistema para o estado desejado. Além disso, o estado inicial precisa ser de baixa entropia, no caso ideal igual a zero. Íons, por exemplo, podem ser preparados em bons estados de entrada, fisicamente resfriando-os ao estado fundamental, porém tal tarefa constitui um desafio. Um outro problema, agora no campo da computação, é colocar todos os q-bits no mesmo estado. Isso porque, a diferença de energia entre estes estados, numa molécula, por exemplo, é muito pequena quando comparada com a energia KBT (KB = constante de boltzmann, T= Temperatura. (NIELSEN, 2005).

3.4. Medida do resultado da saída

O q-bit precisa ser lido no final, e esta tarefa é extremamente complicada, porque a menor instabilidade provocada ao sistema pode alterar o resultado final. Além disso, devemos considerar a impossibilidade de ler o estado real do q-bit, pois o estado é probabilístico. O que se obtém é um valor aleatório, que segue as regras probabilísticas de seu estado real. Considerando este último aspecto, as medidas representam um processo de decoerência.

4. Implementação de computadores Quânticos

O mecanismo necessário para a construção de um computador quântico deve ser capaz de manipular q-bits. Esse mecanismo deve levar em consideração os seguintes aspectos:

 Os q-bits precisam ser armazenados por um período de tempo suficiente para que possam ser realizadas as rotinas computacionais.

 Os q-bits precisam estar isolados ao máximo do ambiente para minimizar a decoerência.

 A leitura dos q-bits precisa ser eficiente e confiável.

 É necessário manipular q-bits separadamente. Para tanto é necessário a construção de portas lógicas quânticas de alta precisão.

A seguir apresentamos uma abordagem de computador quântico a partir do oscilador harmônico quântico.

4.1. O computador quântico de oscilador Harmônico

Antes de investigarmos se o oscilador harmônico quântico é uma boa escolha para a implementação do computador quântico, vamos analisar alguns casos clássicos com a finalidade de construir uma teoria consistente sobre este sistema físico.

4.1.1. Oscilador harmônico simples

Para este caso, consideramos um sistema disposto horizontalmente composto por uma massa presa a uma mola e esta última presa a parede.

Figura 5: Modelo de oscilador harmônico simples com um grau de liberdade.

Inicialmente a mola não está alongada nem comprimida, ou seja, x0 =

0. Desprezando as forças de resistência como o atrito, temos que a única força que age é a força elástica:

(5)

onde é a força resultante, k é a constante elástica da mola e x é a posição

da massa.

Igualando a Equação 5 a uma consequência da segunda lei de Newton e fazendo , temos que:

(6)

A solução para a Equação diferencial acima é do tipo:

₍₇₎

Derivando duas vezes a Equação 7, temos que:

₍₈₎

Substituindo a solução e sua segunda derivada na Equação 6, obtemos

_{( )}

√ √

√

Do desenvolvimento acima, obtemos as seguintes soluções:

√ (10)

√ (11)

A soma das duas Equações 10 e 11 também é uma solução. Fazendo uma combinação linear:

√ √ (12)

Utilizando a relação de Euller (Equação 13), e fazendo as substituições abaixo (Equações 14, 15 e 16), obtemos a solução da Equação 6 que modela o oscilador harmônico simples. Na equação 13, u é uma constante.

_{[ ] (13)} √ √ ( ) (14) (15) ( ) ( ) (√ ) ( ) (√ ) (16) ( ) √ (17)

A Equação 17 nos dá a posição da massa em função do tempo, o parâmetro é a constante de fase relacionada a posição inicial da massa.

4.1.2. Osciladores harmônicos acoplados

O sistema é constituído de duas massas iguais, representadas por m acopladas por três molas, duas de constantes k , e uma mola de constante

elástica kc, arranjadas conforme esquematizado na Figura 6. A oscilação tem a

característica de ser em uma dimensão e na direção horizontal, com um grau de liberdade. Assumiremos as duas massas iguais para facilitar cálculos.

Figura 6: Modelo de oscilador harmônico acoplado com dois graus de liberdade.

Analisando as forças que agem sobre a massa da esquerda, temos que:

Figura 7 - Forças que agem sobre a massa da esquerda.

Analisando as forças que agem sobre a massa da direita, temos que:

Figura 8 - Forças que agem sobre a massa da direita.

Aplicando a segunda Lei de Newton a cada massa considerando o somatório das forças elásticas, temos que:

Para a massa da esquerda

(18) Para a massa da direita

As Equações 18 e 19 estão acopladas formando um sistema linear com duas equações diferenciais.

Somando e subtraindo as Equações 18 e 19 temos um sistema de equações equivalente (NUSSENZVEIG, 2003) e dividindo as duas equações resultantes por m, temos que:

( ) ( ) (20) ( ) ( ) (21)

As Equações 20 e 21 nos fornecem as duas freqüências do movimento harmônico simples conforme mostrado nas Equações 22 e 23:

(22)

(23) As soluções das Equações 20 e 21 são respectivamente,

( ) (24)

( ) (25)

As amplitudes Aa e Ab que aparecem nas Equações 24 e 25 e as

constantes de fase a e b são determinadas pelas condições iniciais: posição

inicial e velocidade inicial de cada partícula.

Resolvendo as Equações 24 e 25 para x1 e x2 obtemos as seguintes

equações:

(26)

(27) As Equações 26 e 27 revelam que o movimento de dois osciladores acoplados pode ser considerado como uma superposição de dois modos normais de oscilação de freqüências angulares iguais as presentes nas Equações 22 e 23.

No tempo t = 0, as posições inicias das duas massas são, respectivamente, x01 e x02 e as velocidades iniciais são iguais a zero.

As equações 26 e 27 são transformadas nas equações 28 e 29 após algumas operações algébricas e trigonométricas.

(28)

(29) O primeiro modo normal de oscilação pode ser obtido quando as duas massas movem-se em fase, ou seja, x01 = x02. Nessa situação a mola

central não sofre nenhuma deformação. Sendo assim, esta mola não exerce força sobre as massas e estas últimas movem-se como se não estivessem acopladas. As Equações 30 e 31 representam matematicamente essa situação.

(30)

(31)

O segundo modo normal de oscilação é obtido quando as duas massas movem-se em oposição de fase, ou seja, x01 = - x02. Nessa situação o

movimento de cada massa é matematicamente representado pelas Equações 32 e 33.

(32)

(33)

4.1.3. Oscilador harmônico quântico

A análise do oscilador harmônico quântico está diretamente ligada a determinação das soluções da equação de Schrödinger para uma partícula de massa m e coordenada x movendo numa região onde a energia potencial tem a forma de um oscilador harmônico, conforme ilustrado na Figura 9.

No caso quântico, a constante k define quão bruscamente a energia potencial varia da posição de equilíbrio a medida que se afasta deste ponto.

Para o oscilador harmônico, a equação de Schrödinger pode ser escrita independente do tempo como mostra a Equação 34.

( ) ( ) (34)

( ) ( )

No caso clássico, o módulo da posição não deve ser maior que a amplitude. No entanto, a mecânica quântica permite a penetração em regiões proibidas classicamente. Nessa situação a probabilidade da penetração diminui a medida que a penetração aumenta.

Quando os valores do módulo de x são elevados, o valor da grandeza - torna-se positivo, portanto a função de onda ( ) e sua segunda derivada devem ter o mesmo sinal. A segunda Derivada de ( ) fornece a taxa de inclinação de ( ). Considerando um ponto tal que x > A para o qual - > 0, quando ( ) é positiva, a sua segunda derivada também deve ser positiva e a curva possui concavidade para cima.

Entre as curvas que tendem ao infinito por valores positivos e as que tendem ao infinito por valores negativos existe a possibilidade de que a curva tenda assintoticamente ao eixo Ox, conforme ilustrado na Figura 10. Nesse caso, ( ), ( ) e ( ) tendem simultaneamente a zero quando x tende ao infinito. Essa possibilidade satisfaz a condição de contorno ( ) 0 quando x  ∞.

Antes de apresentarmos a solução geral da Equação 34, mostraremos as funções de onda para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. A função de onda do estado fundamental ( ) é uma função gaussiana centrada na origem (TIPLER, 1933).

( ) ₍₃₅₎

As constantes e a são positivas. Podemos verificar se a Equação 35 é uma solução para a equação 34 que modela o oscilador harmônico.

Calculado a primeira e a segunda derivada da Equação 35, temos que:

( )

( )

= - _{- ) (36)}

Substituindo a Equação 36 na Equação 34, temos que:

(37) Dividindo ambos os lados da Equação 37 por - , obtemos a Equação 38.

(38)

Rearranjando a Equação 38 na forma polinomial, temos que:

( ) ( ) (39) Partindo do seguinte teorema " Se um polinômio é igual a zero sobre um intervalo contínuo de x, então cada coeficiente do polinômio é nulo". Aplicando este teorema na Equação 39, temos que:

( ) (40)

( ) (41)

(43)

Resolvendo a Equação 41 para , obtemos:

(44)

Substituindo a Equação 43 na equação 44, obtemos a energia do estado fundamental independente do valor de .

(45)

O primeiro estado excitado tem um nó exatamente no centro do poço de potencial, da mesma forma que uma partícula numa caixa. A função de onda desse estado é

( ) ₍₄₆₎

Procedendo de forma análoga ao realizado para o estado fundamental

( )

( )

= - _{- ) (47)}

Substituindo a Equação 47 na Equação 34, temos que:

(48) Dividindo ambos os lados da Equação 48 por - , obtemos a Equação 49.

(49)

Rearranjando a Equação 49 na forma polinomial, temos que:

( ) ( ) ( ) (50) Partindo novamente do teorema enunciado anteriormente aplicando-o na Equação 50, temos que:

( ) (52) Resolvendo a Equação 51 para a, obtemos:

(53)

Resolvendo a Equação 52 para , obtemos:

(54)

Substituindo a Equação 53 na equação 54, obtemos a energia do primeiro estado excitado.

(55)

De modo geral, a solução da Equação de Schrödinger para o oscilador harmônico é dado pela expressão abaixo:

( )

A Figura 11 mostra o gráfico das funções de onda para o estado fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Observe que cada estado de energia tem um nó adicional na função de onda.

Figura 11: Funções de onda para o estado fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.

A partir dos resultados apresentados acima podemos generalizar a energia do n-ésimo estado excitado de um oscilador harmônico quântico, matematicamente descrita pela Equação 56.

( ) (56)

onde n = 1, 2, 3,...

A Figura 12 mostra que os níveis de energia são uniformemente espaçados por uma quantidade igual a , ou seja, as energias são quantizadas o que corrobora com a característica de sistemas mecânicos-quânticos.

Figura 12: Energias do estado fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Fonte: Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA, Gene, 2009, p. 38.

4.1.4. Oscilador Harmônico quântico acoplado

A equação de Schrödinger para um sistema com dois ou mais elétrons não pode ser resolvida exatamente e neste caso são utilizados métodos de aproximação. Essa situação é semelhante a vista para oscilador acoplado clássico. No entanto, surgem complicações decorrentes da própria identidade dos elétrons, que é um efeito puramente quântico e não tem contrapartida na mecânica clássica. Isso acontece devido ao fato de ser impossível distinguir um elétron do outro. Classicamente partículas idênticas podem ser identificadas pelas suas posições, que em princípio pode ser determinado com precisão ilimitada. Isto é impossível na mecânica quântica por causa do principio de incerteza. (TIPLER, 2009). A figura 13 ilustra essa situação.

Figura 13: Se o elétron fosse uma partícula os caminhos a e b representam as duas possibilidades de caminhos. No entanto, em virtude das propriedades de onda do elétron, os caminhos são espalhados. Nessa situação é impossível analisar os elétrons depois que eles se separam. Fonte: Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA, Gene, 2009, p. 47.

Para este caso, vamos considerar duas partículas idênticas colocadas num poço quadrado infinito e unidimensional. Essas partículas não tem interação eletrostática. A Equação 57 descreve a equação de Schrödinger independente do tempo para as duas partículas com massas iguais a m.

( ) ( ) ( ) (57) Resolvendo a equação de Schrödinger dentro do poço onde U = 0 temos que:

(58)

Os índices a e b da Equação 58 representam os números quânticos das partículas 1 e 2 e são as respectivas funções de onda. Por exemplo, se a = 1 e b = 2, a função de onda resultante é mostrada pela Equação 59.

(

) ( ) (59)

A densidade de probabilidade de encontrar a partícula 1 numa região x = x1 e x = x1 + dx é a mesma probabilidade de encontrar a partícula 2 numa

região x = x2 e x2 = x2 + dx2 já que as partículas são idênticas e não podem ser

( ) ( ) (60) A Equação 60 é satisfeita se ( ) = ( ) ou ( ) = - ( ), ou seja, se as funções forem simétricas ou anti-simétricas.

Procedendo de forma análoga ao caso clássico podemos encontrar funções de onda simétricas e anti-simétricas que são soluções da equação de Schrödinger, através da adição ou subtração das funções e , conforme as Equações 61 e 62. ( ) [( ( ] (61) ( ) [( - ( ] (62)

As funções obtidas e são respectivamente as funções simétricas e anti-simétricas.

Para o primeiro estado excitado podemos reescrever as Equações 61 e 62 da seguinte forma;

( ( ) ( ) ( ) ( )) (64)

( ( ) ( ) ( ) ( )) (65) A solução da equação de Schrödigner para o caso acoplado mostra as funções simétricas e anti-simétricas depende simultaneamente das posições das duas partículas, isto é, o resultado é uma superposição das posições das duas partículas.

5. Análise do oscilador harmônico como modelo de construção do computador quântico.

Apesar do nível de abordagem não considerar todo o formalismo da mecânica quântica, o estudo dos osciladores harmônicos, sobretudo os acoplados, revelou duas propriedades quânticas fundamentais para a computação quântica: a superposição e o entrelaçamento. Para a primeira propriedade, percebida também para o caso do oscilador harmônico clássico

acoplado, notamos através das Equações 26 e 27 que as funções de onda para as duas massas formam uma superposição de dois modos normais de oscilação. A Figura 14 ilustra esse tipo de situação para um caso geral similar ao representado matematicamente pelas duas equações citadas anteriormente

Figura 14: Duas ondas estacionárias representadas pelas cores azul e vermelho. A onda na cor negra representa o resultado da superposição dessas duas ondas. Fonte: Física - Enciclopédia livre - Wikipédia.

Ainda analisando o caso clássico de oscilador harmônico acoplado notamos que, se ocorrer, por exemplo, uma mudança de freqüência no modo de oscilação de uma das massas, essa mudança afetará diretamente a posição da outra massa. Essa situação em que dois ou mais objetos estejam de alguma forma ligados de tal forma que um objeto não possa ser corretamente descrito sem que uma propriedade do outro seja considerada constitui o conceito de entrelaçamento.

Para o caso quântico acoplado temos uma configuração semelhante onde a solução da equação Schrödigner depende das posições das duas partículas mesmo as soluções não sendo simétricas ou anti-simetricas como pode ser visto através da Equação 59. Embora as partículas não estejam espacialmente ligadas por molas, como acontece no caso clássico, a descrição do estado de uma partícula depende diretamente do estado da outra. Essa conjuntura implica também no conceito de entrelaçamento. Essa importante propriedade tem sido utilizada para experiências como o teletransporte quântico.

O estudo do oscilador harmônico quântico simples mostra que este sistema pode ser utilizado para representar os q-bits, pois podemos ter uma superposição linear do primeiro estado excitado com o estado fundamental guardando a característica do q-bit ser um sistema de dois níveis. Através dessa primeira constatação podemos dizer também que seria possível realizar transformações unitárias de um q-bit, ou seja, construir portas lógicas que

manipulam um q-bit. Um exemplo de operação deste tipo seria um processo que conseguisse levar o estado | para o estado | e vice-versa.

Embora tenhamos uma representação do q-bit através dos níveis de energia do oscilador harmônico temos um problema se tentarmos diferenciar esses q-bits. Como os níveis de energia são igualmente espaçados por uma quantidade , um q-bit representado pelo estado fundamental e pelo primeiro estado excitado seria idêntico a um q-bit representado pelo terceiro e quarto estado excitado. Para contornamos essa situação, poderíamos acoplar outro sistema que controle a diferenciação de q-bits. Submeter o sistema a um potencial externo poderia ser uma escolha. No entanto, esse acoplamento leva a decoerência e conseqüentemente a destruição da superposição. Neste ponto, podemos ressaltar uma condição para a realização da computação quântica. Os estados de entrada não seriam bons em virtude de a preparação ser vulnerável a decoerência.

O acoplamento estudado no caso das duas partículas num poço de potencial quadrado infinito pode ser utilizado para a criação de portas lógicas quânticas que manipulam mais de um q-bit, ou realizam transformações unitárias sobre mais de um q-bit. Um exemplo de portas desse tipo é porta Não – Controlada que usa diretamente o conceito de entrelaçamento.

6. Conclusão

Este trabalho apresenta os conceitos básicos em computação quântica mediante uma pesquisa bibliográfica. Através do estudo de sistemas de osciladores harmônicos procurou-se um modelo físico que viabilize a construção do computador quântico. Os casos quânticos revelaram-se como uma estrutura aceitável ao menos para representação da informação quântica e para implementação de portas lógicas quânticas. No entanto, a escolha destes sistemas torna a condição de preparação dos estados iniciais dificultosa.

Os resultados obtidos nos casos acoplados elucidaram os conceitos de superposição e entrelaçamento, embora o texto não use todo o formalismo da mecânica quântica.

Sem Dúvida, a escolha do sistema físico para construção do computador quântico é uma das grandes questões a ser resolvida. Este fato motiva a busca por outros sistemas que obedeçam as condições necessárias para a realização da computação quântica.

Agradecimentos

A realização deste trabalho foi concretizada graças a cooperação de muitas pessoas. Em especial à aqueles que acreditaram no meu potencial. Ao meu orientador, Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães, pela disponibilidade e constante auxílio. À minha família pelo apoio e incentivo. À minha namorada Sônia que mesmo distante desempenhou papel similar ao realizado pela minha família.

7. Bibliografia

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VALADARES, Arthur Rodrigo S; BACHMANN, Denis E; JÚNIOR, Roberto B. computação Quântica. São Paulo, 2005.

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TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed, Rio de Janeiro, RJ: LTC, 31-38, v. 3, 2009.

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