DNIT
RACIOCÍNIO LÓGICO
5ª parte: Probabilidade
Prof. Weber Campos
PROBABILIDADE
1. CONCEITOS INICIAIS
Ocorre que a Teoria da Probabilidade faz uso de uma nomenclatura própria, de modo que há três conceitos fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer: Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Evento.
# Experimento Aleatório: é o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as mesmas condições, podem apresentar resultados diferentes.
Exemplos de experimento aleatório: lançar um dado e observar o resultado;
lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas;
selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe. # Espaço Amostral: é nada mais, senão o “conjunto dos resultados possíveis” de um Experimento Aleatório.
Designaremos o Espaço Amostral por “S”. Consideremos os exemplos abaixo, e determinemos os respectivos espaços amostrais:
a) lançar um dado, e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) lançar duas moedas e observar as faces de cima.
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) } c) lançar duas moedas e observar o número de caras.
S = {0, 1, 2}
d) Verificar, uma a uma, o número de peças defeituosas em um lote de 15 peças.
S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15}
O terceiro conceito essencial ao estudo da Probabilidade é o conceito de Evento.
# EVENTO: um evento será um subconjunto do Espaço Amostral. Designaremos um evento por uma letra maiúscula.
Diremos que ocorreu um evento A, quando o resultado do Experimento Aleatório for pertencente ao subconjunto A.
Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo:
Experimento Aleatório: lançar um dado e observar a face para cima. Espaço Amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
Evento A: obter um resultado par no lançamento do dado. A = { 2, 4, 6 } n(A)=3
Evento B: obter um múltiplo de 2 no lançamento do dado. B = { 2, 4, 6 } n(B)=3
Evento C: obter um resultado maior ou igual a 7 no lançamento do dado. C = { } (ou seja: vazio!) n(C)=0
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento impossível”! Evento D: obter um resultado menor do que 7 no lançamento do dado.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espaço amostral) n(D)=6
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento certo”!
2. FÓRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
Fórmula da Probabilidade: a probabilidade de ocorrência de um evento “X”, dado determinado experimento aleatório, e considerando que cada elemento do espaço amostral deste experimento tem a mesma probabilidade, será calculada por:
Prob(X) = n(X) = número de resultados favoráveis ao evento X n(S) número de resultados possíveis
Onde: n(S) é o número de elementos do espaço amostral do experimento; e n(X) é o número de elementos do evento X.
Como dissemos, a fórmula acima é aplicável quando os elementos do espaço amostral tiverem a mesma probabilidade. Por exemplo, num lançamento de uma moeda “honesta” (não viciada), com faces cara e coroa, essas duas faces têm a mesma chance de serem sorteadas, daí terão a mesma probabilidade. No entanto, se tivermos uma moeda viciada, a chance de sorteio de uma das faces é maior que a da outra, daí as probabilidades das faces serão diferentes.
Portanto, podemos usar a fórmula da probabilidade supracitada para o primeiro caso (o da moeda honesta), mas, para o segundo caso (o da moeda viciada), não é possível.
3. TEOREMAS DA PROBABILIDADE Destacamos os seguintes teoremas:
1. O menor valor que a probabilidade de um evento pode ter é 0 (indicando que o evento é impossível) e o maior valor é 1 (indicando que o evento certamente irá ocorrer). Então, em geral:
0 P(X) 1
2. A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1. No caso do lançamento de um dado, teremos, então, que:
3. A probabilidade de ocorrência de um evento X somada com a probabilidade de não ocorrência desse mesmo evento é igual a 1.
Prob(X ocorrer) + Prob(X não ocorrer) = 1
Dizemos que os eventos “X ocorrer” e “X não ocorrer” são eventos
complementares. Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é
igual a 1.
Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem ser representados como:
São também exemplos de eventos complementares: P(ganhar o jogo) + P(não ganhar o jogo) = 1 P(réu inocente) + P(réu culpado) = 1 P(cara) + P(coroa) = 1
P(par no dado) + P(ímpar no dado) = 1
P(a nota é no mínimo 2) + P(a nota é menor do que 2) = 1 P(a nota é no máximo 9) + P(nota igual a 10) = 1
P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1
Esta relação será utilizada muitas vezes nas soluções de questões de probabilidade. Através dela, podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir da probabilidade do evento complementar. Por exemplo, se uma questão pede a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara no lançamento de três moedas viciadas. É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, calcular P(nenhuma cara), pois só temos uma situação favorável, a qual é: (coroa, coroa, coroa). Achada esta probabilidade, é só lançar na nossa relação para encontrar a probabilidade da ocorrência do evento desejado na questão. Resolveremos exemplos deste tipo mais adiante.
4. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos, A e B, são independentes quando a ocorrência, ou não-ocorrência, de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Por exemplo, ao efetuarmos dois lançamentos sucessivos de uma moeda, os eventos “cara no primeiro lançamento” e “coroa no segundo lançamento” são eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento da moeda não afeta a probabilidade de ocorrência do resultado coroa no segundo lançamento.
Porém, ao retirarmos duas cartas sem reposição de um baralho, os eventos “às na primeira retirada” e “valete na segunda retirada” são eventos dependentes, porque
A
ao retirarmos a primeira carta, dada a ocorrência, ou não, do “ás”, o total de cartas do baralho sofrerá uma redução, alterando desta forma a probabilidade da segunda carta.
E se retirarmos duas cartas com reposição, esses eventos serão independentes? Quando repomos a carta retirada, o número de cartas de cada tipo (às, valete, dama,...) não se altera e nem, é claro, o total de cartas. Desta forma, a probabilidade da segunda carta retirada não dependerá da primeira carta, por conseguinte, os eventos são independentes!
Quando dois eventos, A e B, são independentes a probabilidade do evento B
ocorrer dado que A ocorreu, simbolizada por P(B|A), será sempre igual a P(B), porque,
por definição, não existe relação entre a ocorrência de tais eventos. Logo, temos a igualdade:
Prob(B|A) = Prob(B)
Naturalmente, também teremos: Prob(A|B) = Prob(A)
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer simultaneamente. Quer dizer que se um evento ocorreu, o outro certamente não ocorreu.
Por exemplo, em apenas dois lançamentos de uma moeda, os resultados possíveis são:
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }
Os eventos “ocorrer duas caras” e “ocorrer duas coroas” são mutuamente exclusivos, pois eles não podem ocorrer simultaneamente. Se um deles ocorre, o outro não ocorre. Mas os eventos “ocorrer exatamente 1 cara” e “ocorrer exatamente 1 coroa” não são mutuamente exclusivos, pois se o resultado do primeiro lançamento for cara e o resultado do segundo lançamento for coroa, já teremos uma situação em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo.
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se eles não podem ocorrer simultaneamente (ou em termos de conjunto: A B = ), então teremos:
P(A|B) = 0; P(B|A) = 0; Prob(A e B) = 0.
Dois eventos mutuamente exclusivos são representados graficamente por dois círculos sem interseção.
Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado, e os seguintes eventos:
Evento A: “resultado no dado menor do que 3” Evento B: “resultado no dado maior do que 4”
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C? Solução:
O conjunto dos resultados do evento A é: {1, 2}. O conjunto dos resultados do evento B é: {5, 6}. O conjunto dos resultados do evento C é: {2, 3, 4, 5}.
Observe que A e B não têm elementos em comum (A B = ). Logo os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
No entanto, temos elementos em comum entre A e C, e entre B e C. Logo “A e C” e “B e C” não são mutuamente exclusivos.
A representação por diagramas de conjuntos para esses três eventos é:
Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos: 1) Evento A: “Em uma retirada, resultar um ás”
Evento B: “Em uma retirada, resultar um valete”
2) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninas” Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninos” 3) Evento A: “time do Inter ganhar”
Evento B: “time do Inter perder”
4) Evento A: “Em dois lançamentos, obter duas caras” Evento B: “Em dois lançamentos, obter duas coroas” 5) Evento A: “o atleta brasileiro ganhar medalha de ouro”
Evento B: “o atleta brasileiro não ganhar medalha de ouro” 6) Evento A: “o número sorteado é ímpar”
Evento B: “o número sorteado é par”
7) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer pelo menos 1 menina” Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer nenhuma menina”
Existe, frequentemente, alguma confusão com respeito à distinção entre eventos mutuamente exclusivos, eventos independentes e eventos complementares.
Se dois eventos são complementares, então certamente eles são mutuamente exclusivos; mas a recíproca nem sempre é verdadeira. (Para dois eventos serem
B
A
C
complementares, um evento deve ser a negação do outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os três últimos (5, 6 e 7) são eventos complementares.
Por que os eventos do terceiro exemplo da lista acima não são complementares? Para serem complementares, a negação do evento A deveria ser o evento B; mas não é, pois a negação do “Inter ganhar” é o “Inter perder ou empatar”.
E os eventos do segundo exemplo, por que não são complementares? A negação de “nascer 2 meninas” não é “nascer dois meninos”, e sim “nascer no máximo 1 menina” que inclui os resultados: (menina, menino); (menino, menina); (menino, menino).
Dois eventos complementares ou dois eventos mutuamente exclusivos apresentam a mesma característica de que não ocorrem simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um evento implica na não-ocorrência do outro; enquanto eventos independentes são aqueles em que a probabilidade de ocorrência de um, não é afetada pela ocorrência do outro. Portanto, os eventos complementares e os eventos mutuamente exclusivos são altamente dependentes!
6. PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do “e”)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B é igual a:
Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A)
Onde Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já tenha ocorrido.
Se A e B forem eventos independentes (a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro), então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Assim, a regra do “e” fica simplificada para:
Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B)
E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos (eventos que não podem ocorrer simultaneamente, ou em termos de conjunto: AB=). Assim, no nascimento de uma criança, o evento “nascer menina” e o evento “nascer menino” são mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Desta forma, a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será igual a zero. Na notação simbólica, teremos:
Prob(A e B) = 0.
7. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (Regra do “ou”) Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A e B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: Prob(A e B). Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do “ou” fica simplificada para:
Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A)xProb(B)
E também sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência desses dois eventos, ao mesmo tempo, será igual a zero. Assim, para eventos mutuamente exclusivos, a regra do “ou” fica simplificada para:
Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) 8. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Probabilidade condicional será a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”.
Fórmula de Probabilidade condicional:
) ( ) ( ) ( ) ( Y P Y e X P Y X P Y dado X P
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
01. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?
a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56%
02. (Fiscal Trabalho 1998 ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200 c) 150/200 e) 190/200 b) 130/200 d) 160/200
03. (Analista de Controle Interno SEFAZ-RJ 2011 FGV) Um indivíduo lança simultaneamente três dados de 6 lados. A probabilidade de que a soma desses três dados seja 6 é (A) 4,16%. (B) 6,23%. (C) 3,25%. (D) 5,41%. (E) 4,63%.
04. (AFC/STN 2008 ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
05. (MPOG 2006 ESAF) Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então a) a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2
b) E1 e E2 são mutuamente exclusivos.
c) a probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade de E2 d) a probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade de E1
06. Se P(A)=1/2; P(B)=1/5; P(B|A)=2/9; e A e B são eventos dependentes, calcule: a) P(A ou B)
07. Se P(A)=1/2; P(B)=1/4; e A e B são eventos independentes, calcule: a) P(A ou B)
08. Se P(A)=2/3; P(B)=1/4; e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule: a) P(A ou B)
09. Se P(A)=1/3; e A e B são eventos complementares, calcule: a) P(A ou B)
10. (TFC-CGU 2008 ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04 d) 0,45 b) 0,40 e) 0,95 c) 0,50
11. (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 30% d) 37%
b) 32% e) 40% c) 35%
12. (TFC SFC 2001 ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30%
13. (MPOG 2008 ESAF) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:
a) 1/10 b) 8/5 c) 11/120 d) 11/720 e) 41/360
14. (AFC-CGU 2008 ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:
a) 0,10 d) 0,20 b) 0,12 e) 0,24 c) 0,15
15. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares?
a) 10/512. b) 3/512. c) 4/128. d) 3/64. e) 1/64.
16. (Analista do Banco Central 1998) De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números sejam inferiores a 4 é:
a) 3/10 d) 1/3 b) 1/15 e) 19/86 c) 2/7
17. (ATRFB 2009 ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da
probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha?
a) 0,001. b) 0,0001. c) 0,000125. d) 0,005. e) 0,008.
18. (Agente Tributário Estadual do estado do MS 2006 FGV) João e Pedro, começando por João, lançam alternadamente uma moeda não-tendenciosa até que um deles obtenha um resultado "cara". Qual é a probabilidade de serem feitos, no máximo, três lançamentos?
(A) 1/8 (B) 1/2 (C) 3/4 (D) 7/8 (E) 15/16
19. (ATRFB 2009 ESAF) Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo?
a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90
20. (MPU/2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:
a) 0,624 d) 0,568 b) 0,064 e) 0,784 c) 0,216
21. (MDIC 2012 Esaf) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são empresas exportadoras. Retirando-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população de empresas, qual a probabilidade de que as 5 primeiras empresas escolhidas sejam empresas exportadoras e as 5 últimas não sejam exportadoras? a) (0,24)5 b) 10!/(5!5!) (0,4)5 (0,6)5 c) (20!/15!) (30!/25!) / (50!/40!) d) 10!/(5!5!) (20!/15!) (30!/25!) / (50!/40!) e) 0,5
22. (AFC/CGU 2012) Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da comissão ser formada exatamente por duas mulheres e dois homens?
a) C4,2 (1/3)2(2/3)2
b) C4,2 (20x19x10x9)/(30x29x28x27) c) C4,4 (20x19x10x9)/(30x29x28x27) d) C4,0 (1/3)2(2/3)2
e) C4,4 (2/9)2
23. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro?
a) 0,15 b) 0,20 c) 0,5 d) 0,25 e) 0,7 Probabilidade Condicional
24. (AFC-CGU 2008 ESAF) Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem a doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B?
a) 1/3. d) 0,6. b) 0,4. e) 2/3. c) 0,5.
25. (AFC/STN 2008 ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
a) 0 d) 10/50 b) 10/19 e) 19/31 c) 19/50
26. (Auditor do Tesouro Municipal de Natal 2008 ESAF) Uma urna contém: 1 bola amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas. Dado que na primeira extração foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é:
a) maior que retirar uma bola branca ou azul. b) maior que retirar uma bola preta.
c) menor que retirar uma bola branca. d) menor que retirar uma bola azul.
e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul.
27. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 %
b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 %
28. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retirasse, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é:
a) 1/3 d) 2/10 b) 2/9 e) 3/10 c) 1/9
29. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? a) 1.
b) 2/3. c) 1/2. d) 1/3. e) 1/4.
GABARITO 01 B 16 B 02 D 17 E 03 E 18 D 04 D 19 D 05 E 20 E 06 21 C 07 22 B 08 23 D 09 24 E 10 D 25 B 11 B 26 E 12 C 27 E 13 C 28 C 14 D 29 D 15 A
