aula 5_3Quad_2019

DINÂMICA ORBITAL

Profª. Drª. Cláudia Celeste Celestino Claudia.celeste@ufabc.edu.br

MANOBRA ORBITAL

1 – Motivação

Quando um veículo é lançado órbita ideal requerida.

Correção desta dificuldade utilizar manobra orbital (também chamada transferência orbital).

Alguns exemplos de imprevistos para que o veículo não atinja sua órbita ideal - erros de lançamento e objetos não previstos na trajetória - Aplicação de manobra para fazer a correção de órbita .

Também sofre perturbações constantemente que podem retirá-lo de sua órbita ideal - manobra corretiva - para corrigir a órbita do veículo e deve ocorrer de tempo em tempo para que a missão não seja prejudicada.

2 – Breve histórico

Em 1687, Newton publicou em seu livro Principia o primeiro método conhecido para determinar a órbita de um corpo a partir de três observações.

Em 1705, Halley, usando o método de Newton, determinou a órbita do hoje conhecido cometa Halley, provando que o mesmo estava correto e poderia ser aplicado a qualquer corpo.

Para Bate et al. (1971) foi Newton quem introduziu o conceito de satélites artificiais orbitando a Terra.

No entanto essa afirmação é contestável já que o lançamento de um satélite artificial e a capacidade de realizar manobras só foram possíveis centenas de anos após sua publicação.

Mostrando que talvez Newton estivesse pensando nas diferentes trajetórias orbitais que um corpo poderia ter. Essa variedade de órbitas é a base das manobras orbitais já que as manobras são realizadas para que um corpo, em uma órbita determinada, possa ocupar uma nova órbita a partir de algumas mudanças em seus elementos orbitais.

Em 1912 Walter Hohmann começou seus estudos sobre exploração espacial e em 1915 ele havia calculado o que seria inerente para uma exploração da Terra para um planeta próximo à Terra. Hohmann provando que para que haja um menor gasto de combustível a espaçonave precisaria atingir uma órbita circular estável ao redor da Terra ou de outro planeta e, a partir de uma elipse tangencial a ambas as órbitas, essa espaçonave poderia adquirir uma nova órbita circular coplanar à de origem em um campo gravitacional newtoniano.

No entanto, Hohmann só publicou seus resultados, conhecido como Transferência de Hohmann, dez anos após descobri-los no livro “The Attainability of Celestial Bodies” (O Alcance dos Corpos Celestes).

Segundo Hohmann, ele demorou todo esse tempo para publicá-los porque não acreditou que a velocidade estimada de 2 km/seg poderia ser possível (McLaughlin, 2000).

O primeiro lançamento bem-sucedido de um satélite artificial, o Sputnik I, foi em 4 de outubro de 1957 e foi feito pela União Soviética.

O primeiro lançamento bem-sucedido dos Estados Unidos foi o Explorer I, em 1 de fevereiro de 1958.

Em 1959 a URSS realizou a primeira transferência orbital registrada utilizando satélites e esta foi feita pelo satélite Luna I.

3 – Manobra Impulsiva

- Mudança na magnitude e direção do vetor velocidade

instantaneamente. Cada manobra impulsiva resulta em mudança no incremento de velocidade do veículo espacial. A magnitude do incremento de velocidade está relacionado com o incremento de massa do propelente consumido é dada pela expressão,

( ₀)

1

e

m

m

−

=



m

Impulso específico do propelente, Aceleração da gravidade.

SP

I

0

Assuma que seja preciso fazer uma correção na altitude do perigeu ou na altitude do apogeu. Estas correções podem ser feitas introduzindo pequenas variações na velocidade do satélite, em pontos apropriados da órbita. Assim, lembrando da equação da energia,











 −

=

a

r

v



2

1

dv

v

a

da



2

=

A derivada total desta equação, considerando que r é constante,

Uma pequena variação dv em velocidade causa uma variação no semieixo maior da órbita. Como o eixo maior da órbita é dado por 2a, o comprimento da órbita varia do dobro desta quantidade, 2da.

Ao introduzir uma variação na velocidade no perigeu, isto causa, de fato, uma mudança na altitude do apogeu. Do mesmo modo, uma variação introduzida na velocidade no apogeu causa uma mudança na altitude do perigeu. Então, os resultados para variações nas altitudes de apogeu e perigeu,

Este tipo de variação, feita nas altitudes do perigeu ou do apogeu é uma variação dentro-de-plano orbital do satélite. Estas variações mudam o tamanho ou a forma da órbita do satélite. Para mudar a orientação do plano orbital no espaço, precisa-se de uma componente de impulso perpendicular ao plano orbital. Este tipo de manobra é chamado de variação fora-do-plano.

Transferência entre Órbitas Concêntricas, Coplanares e Circulares (Hohmann)

Manobra de dois impulsos

Manobra mais econômica em relação ao consumo de combustível considerando a transferência entre duas órbitas circulares, concêntricas e coplanares.

Define-se uma elipse de transferência tangente as órbitas circulares inicial e final.

Os dois impulsos são aplicados na mesma direção do movimento do veículo espacial.

Os valores dos impulsos são dados por:

em que: R₁ = Raio da órbita 1 e R₂ = Raio da órbita 2 O incremento total em velocidade é dado por:

O tempo total gasto durante a transferência é dado por:

( )









Lembrando que o período orbital considerando o problema de dois corpos é dado por:







é o produto da constante universal e a massa terrestre. é magnitude do vetor raio.

Observa-se que, usando o princípio de Hohmann, pode-se fazer uma transferência entre duas órbitas elípticas. De fato, uma transferência coplanar geral, entre órbitas circulares, simplesmente requer que a órbita de transferência intercepte ou pelo menos tangencie as duas órbitas circulares. A transferência de Hohmann segue este último princípio e é um caso particular da transferência geral.

Nos casos gerais, a transferência é possível somente quando: o raio menor (do perigeu), r_p, da órbita elíptica de transferência seja igual ou menor do que o raio da órbita circular menor; e o raio maior (do apogeu), r_a, da órbita de transferência seja maior do que o raio da órbita circular maior.

Matematicamente,

As condições dadas nas Equações acima podem ser satisfeitas somente por um conjunto de valores de “a” e “e” da órbita de transferência.

Para um dado par de órbitas circulares, entre as quais é requerida a transferência, pode-se achar facilmente os valores de “a” e “e” da órbita de transferência e, então, a variação na velocidade (Δv) pode ser calculada.

Sabe-se que momento angular h_t da órbita de transferência é dada por:

Então, pode-se proceder exatamente como no caso da transferência de Hohmann para obter a velocidade, v₁, no ponto 1 na órbita de transferência e a velocidade, v_c1, no mesmo ponto, na órbita circular menor.

O ângulo entre v₁e v_c1 é denominado de φ e é dado por:

Considerando o triângulo vetorial formado por essas velocidades e usando a lei dos cossenos, a expressão para Δv₁ pode ser escrita como:

Um caso geral de v requerido em dois pontos ( 1 ) e ( 2 ) da órbita., no caso de transferência entre duas órbitas circulares

O módulo do vetor momento angular é h₁ = r₁v₁ sen(90º + ₁), onde 90º + ₁ é o ângulo entre . Mas como sen(90º + ₁) = cos  . Portanto, obtemos, h₁ = r₁v₁cos ₁ 1 v e 1 r  

Aplicação:

Um satélite de telecomunicações é primeiramente lançado, em geral, em uma órbita circular de estacionamento de 200 km de altitude e finalmente é colocada em uma órbita circular geoestacionária de 36.000 km de altitude através de uma órbita elíptica de transferência. Dado o raio terrestre médio igual à 6.378 km, calcular o Δv total requerido:

a. usando o princípio de transferência de Hohmann;

b. usando uma órbita elíptica de transferência com altitude de perigeu igual a 150 km e a altitude de apogeu igual a 40.000 km.

Análise – incremento de velocidade entre uma órbita elíptica e uma órbita circular

Considerando a manobra no perigeu para uma órbita circular

)

1

(

)

1

(

e

e

a

v

−

+

=



Órbita circular:

)

1

(

1

e

a

v

−

=



( )

v

v

v

=

−



Comparando as duas velocidades:

( )

e

r

r



1

+





O incremento de velocidade tem que ser aplicado na direção oposta ao movimento do satélite.

circular

)

1

(

1

e

a

v

+

=



( )



v

=

v

−

v

( )

e

r

r



1

−





O incremento de velocidade tem que ser aplicado na mesma direção ao movimento do satélite.

)

1

(

)

1

(

e

e

a

v

+

−

=



Qual manobra ???????????

Aquela que necessita da menor massa do propulsor

Assim, deve analisar onde a manobra deveria ser feita no apogeu ou perigeu da órbita.

Manobra Tri - Impulsiva

Hoelker e Silber demostraram que a manobra de transferência baseada em Hohmann entre duas órbitas circulares e coplanares só é viável se a razão entre raio final e o raio inicial for menor que 11,94.

Para razões com valores maiores, o método ou transferência Bi-Elíptca Tri-Impulsiva menor ΔV. Hoelker, R.F. e Silber, R., 1959, "The bi-elliptic transfer between circular co-planar orbits", Alabama, Army Ballistic Missile Agency, Redstone Arsenal, EUA.

A manobra consiste,

ΔV₀ na direção do movimento inserir o veículo em uma órbita com raio de apogeu (r₁) maior que o perigeu (r₀).

ΔV₁ na direção do movimento aumenta a altura do perigeu de r₀ para r_f.

ΔV_f na direção contrária ao movimento quando a nave encontra-se no periageu (r_f) para inseri-lo na órbita desejada de raio r_f.

Aplicação

Qual o incremento de velocidade total para uma transferência de Hohmann bi – elíptica de uma órbita circular geocêntrica de 7.000 km de raio para uma de 105.000 km de raio. O apogeu da primeira elipse é de 150.000 km. Compare os resultados considerando uma transferência de Hohmann simples. Analise também em relação ao período.

Resposta: Hohmann: ∆𝑣_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}= 4,0463𝑘𝑚

𝑠 ; 𝑡𝑚𝑎𝑛𝑜𝑏𝑟𝑎 = 18h 19m 2,17s

Bi-elíptica: ∆𝑣_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}= 4,0422𝑘𝑚

A manobra tri impulsiva pode ser mais econômica porque a nave é lançada a uma distância tal que sofrerá menor interferência do raio de influência do planeta, representando um menor gasto de combustível.

Quanto maior o valor de r₁ menor o incremento de velocidade necessário para realizar a manobra (Marec, J.P., 1979, "Optimal Space Trajectories", Elsevier, New York, NY, EUA. ).

O valor mínimo ocorrerá quando o r₁ tender ao infinito, que representa uma transferência bi- parabólica.

A Transferência Bi-Parabólica

Uma vez que se sabe que, quanto maior o valor de r₁ (distância do veículo ao foco, no momento do segundo impulso) mais eficiente é a transferência, é lógico se pensar no limite de r₁ tendendo ao infinito. É justamente isso o que caracteriza a transferência bi-parabólica, que segue os seguintes passos:

i) Na órbita inicial (O₀) aplica-se um impulso, na direção do movimento e com magnitude (ΔV₀) tal que faça com que o veículo entre em uma órbita parabólica O₁;

O ΔV₀ é a diferença entre a velocidade do veículo naquele instante ( provavelmente o veículo deveria estar em uma órbita circular ou no pericentro) e a velocidade de escape para aquele " r" .

ii) Quando o veículo atinge o infinito (teoricamente, é claro) aplica-se um segundo impulso, infinitesimal, que faz com que o veículo passe da órbita O₁para outra órbita parabólica O₂. Esse impulso não consome combustível, devido ao fato de r₁ ser infinito;

É um processo teórico, mas numericamente, na prática, você escolhe um r grande (levando em conta um tempo factível e um consumo de combustível que você poderia dispor, um valor muito pequeno que você poderia desconsiderar). Faz-se por tentativas.

iii) Quando o veículo passa pelo periapsis da órbita parabólica O₂ aplica-se o terceiro impulso, na direção oposta ao movimento e com magnitude (ΔV_f) tal que faça com que o veículo entre na órbita circular O_f. É óbvio que essa transferência não pode ser realizada na prática, pois o tempo necessário seria infinito, devido ao passo ii.

Se a órbita é parabólica, ela tem um vértice (periapsis) cuja distância ao foco é conhecida. Logo tem uma velocidade nesse ponto. O ΔV_f é a diferença entre a velocidade no periapsis e a velocidade circular naquele ponto.

órbita de escape – órbita parabólica

A velocidade de escape para uma órbita parabólica é dada por:

c

e

v

r

v

=

2



=

2

Esta velocidade é a velocidade mínima para que ocorra o escape.

Aplicação: Qual o incremento de velocidade necessário para a Terra escapar do Sol?

Considerando órbita elíptica Manobra no apogeu ou no perigeu? Não é uma questão rápida de se responder.

O incremento de velocidade para escapar no perigeu:

( )



e



e

a

v

=

₋

−

+



2

1

)

1

(



( )



e



e

a

v

−

−

+

=



2

1

)

1

(



Transferência entre órbitas elípticas, coplanares e não coaxiais mesma dimensão • Ra 1 2  _Va 1 Va₂

O incremento total em velocidade é dado por:

O tempo de duração da transferência será:

em que  é o ângulo percorrido entre os dois impulsos.

2 2V sen V =  2 1 2 3 ) ( ) (   R_a t =

Transferência entre orbitas circulares não coplanares de mesmo raio V V V  V = 2 2Vsen 

47

Transferência entre orbitas circulares não coplanares e de raio de dimensão diferente

• Como? - Combinando a queima para mudança de plano

orbital com uma queima para transferência de Hohmann. O diagrama do problema, tem-se que V_combinado é o vetor soma das mudanças de plano simples, V_simples, com a transferência de aumento da órbita, em que V_aumento é uma das duas queimas da transferência de Hohmann.

48 Manobra de mudança de plano combinada

combinado incremento

simples

V

V

V



+













Estas três queimas formam um triângulo com V_combinado como 3o _lado.

Isto significa que é sempre mais barato (em termos de V) realizar uma manobra combinada que realizar uma mudança de plano simples seguida de uma transferência de Hohmann.

Para calcular o V necessário para a mudança de plano combinada, usamos a lei dos cossenos:

É mais barato realizar esta manobra a velocidades mais baixas (V/E mais distante da Terra).

(

) ( )

2

cos

( )



combinado

V

V

V

V

V

=



+



−







51 Exercício de aplicação: Dados: R_órbita1 = 6.570 Km; R_órbita2 = 42.160 Km; i_órbita1 = 28.5o _{; i} órbita2 = 0o

Manobra Assistida por Gravidade / Manobra de Swing-By

Importância - número de missões que voaram ou estão programadas para voar usando essa técnica.

Exemplo:

- o uso do planeta Júpiter para fazer uma forte alteração na inclinação do plano orbital de uma nave espacial, de modo que ela seja transferida para uma órbita que tenha um plano orbital perpendicular a eclíptica (missão

Ulysses)

Exercício de aplicação: Faça uma pesquisa sobre a missão Voyager

Muitas missões requerem o encontro de um veículo espacial com outro.

Exemplos:

- O programa GEMINIS realizou estas manobras como um prelúdio nas missões APOLLO.

- O ônibus espacial que necessita dos Rendezvous com a Estação Espacial Internacional para transferir equipamentos e pessoal.

53

É uma transferência de Hohmann de dois impulsos em que sai e volta no mesmo ponto.

Manobra de fase - Rendezvous Co-orbital

A: Posição interceptador B: Posição Alvo

Aplicação: Dois veículos, 1 e 2, estão em uma mesma órbita 1

em posição A e B, respectivamente (veja figura). No ponto A o veículo 1 executa uma manobra de fase para órbita 2 de modo que após um período de revolução ele encontre o veículo 2 na posição de encontro como sendo o ponto A.

Determine o incremento de velocidade total para esta manobra.

Esta aproximação é uma maneira de quebrar a trajetória interplanetária em pedaços, regiões, que podem ser modeladas com o problema de dois corpos, ou seja, tratando de cada região separadamente.

- Embora totalmente baseado no problema de dois corpos, o método não oferece uma solução analítica fechada.

- Deve ser resolvido numericamente para obtenção de

uma solução ótima.

- O impulso necessário para a realização destas transferências pode ser dado utilizando a Manobra de Hohmann.

Para o caso de manobrar um veículo espacial da Terra para um planeta alvo qualquer tem-se que pode ser feito separadamente em três regiões, de forma que:

Região 1 – Transferência da Terra para o planeta alvo. Nesta região, a atração gravitacional do Sol domina.

• Região 2 – A partida da Terra. Força gravitacional

dominante: Terra.

• Região 3 – A chegada ao alvo. Força gravitacional

dominante: Alvo.

Observação: A Terra (ou planeta origem) e o alvo de destino devem ter a relação angular correta no escape e na chegada.

Para o caso de uma transferência Terra – Lua consiste em:

1 - obter uma elipse geocêntrica de transferência que une uma órbita de estacionamento terrestre a esfera de influência da Lua. Enquanto viaja através do espaço sobre a elipse geocêntrica de transferência, considera-se que apenas o campo gravitacional da Terra atua sobre o veiculo.

2 - A partir do instante no qual a elipse tangencia a esfera de influência lunar, naturalmente, considera-se que o campo gravitacional da Lua passe a influenciar o movimento do veiculo exclusivamente.

Esta aproximação foi utilizada em praticamente todas as transferências entre a Terra e a Lua realizadas durante os anos de 1959 e 1977.

Uma interessante característica da aproximação

Patched-conics, é que se algo der errado antes da passagem pela

esfera de influência da Lua, uma pequena correção pode manter a nave na elipse geocêntrica e trazê-la de volta a Terra.

Graças a essa característica, os Astronautas da Apollo 13 puderam retornar a Terra depois de um problema durante o inicio da transferência.

64 Assim, para o caso:

➢ Terra - Lua - V/E

• 3 Corpos - abordagem preliminar baseada em P2C, ou seja, missão pode ser dividida em 2 partes:

✓ 1ª fase: Terra – V/E (Esfera de influência da Terra) ✓ 2ª fase: Lua – V/E (Esfera de influência da Lua)

65

➢ Terra – Marte - V/E

• 4 Corpos - Sol-Terra-Marte-V/E

• Baseada em P2C, ou seja, missão pode ser dividida em 3 partes:

✓ 1ª fase: Terra – V/E (Esfera de influência da Terra) ✓ 2ª fase: Sol – V/E (voo interplanetário)

66

O raio da esfera de influência da Terra é de 9,25 x 105

que equivale aproximadamente 145 raios terrestres e a Lua aproximadamente 60 raios da Terra, logo está dentro da esfera de influência terrestre.