1
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Prof. Me. Ayrton Barboni
1. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 2
1.1. Sequências convergentes e sequências divergentes 3
1.2. Teorema 1 – Sequência associada a uma função real de variável real 3
1.3. Teorema 2 – Confronto 4 1.4. Sequências monótonas 4 1.5. Sequências limitadas 5 1.6. Teorema 3 5 1.7. Teorema 4 5 2. SÉRIES INFINITAS 6
2.1. Séries convergentes e divergentes 6
2.2. Teorema 1 7
2.3. Teorema 2 7
2.4. Teorema 3 – Operações com séries 8
2.5. Séries de termos positivos 9
2.5.1. Teste de Comparação 9
2.5.2. Teste da Razão (D’Alembert) 11
2.5.3. Teste da Raiz n-ésima (Cauchy) 12
2.5.4. Teste da Integral Imprópria 13
2.6. Séries Alternadas 14
2.6.1. Teste de convergência de séries alternadas (Leibniz) 14
3. SÉRIES DE POTÊNCIAS 16
4. SÉRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN 18
4.1.Série de Taylor 18
4.2. Série de MacLaurin 19
2
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Prof. Me. Ayrton Barboni 1. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Chamaremos de sequência ou sucessão em a toda função f de * em .
*
f
A função f é conhecida a partir de suas imagens f (i), i = 1,2,3,...n, ..., visto que o domínio é sempre *. Notação: ( ( )) * n f n ou ( ) *: ( ) n n n a a =f n ou a a a1, 2, 3, ... ,an, ... Exemplo.01: 1) * 1 n n n + , * 1 ( n) : ( ) n n n a f n n a + = = ou 2 3 4 1 1, 2, 3, ... , , ... n n +
Obs: O gráfico da função é formado apenas pelos pontos (1,2), (2,3/2), ... 1 2 3 . . . n . . . . f (1) = a 1 f (2) = a 2 f (3) = a 3 . . . f (n) = a n . . . 1 2 3 n n + 1 N* IR 1 2 (1,2) (2, 3/2) (3, 4/3) (n, (n+1)/n)
3 2) * 1 1 1 1 1 : 1, , , , ..., , ... 2 3 4 n n n 3) 3, 3, 3, 3, .... 4) 2, 1, 2, 1, 2, 1, ... 5) 1, 2, 3, 4, ... , n, .... =
( )
n n * 6) * 1 ( 1) 2 ( n) : ( ) n n n a a = f n = + − ou 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... 7) (cos( )) * n n ou −1, 1, 1, 1,− −1, ... 8) Fibonacci * 1 2 1 2 1 ( n)n : n n n a a a a a a − − = = = + ou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 9) Fatorial * 1 1 1 ( ) . : n n n n a a a n a − = = ou 1, 2, 6, 24, 120, ... , n!
, ... 1.1. Sequências convergentes e sequências divergentesUma sequência ( n) *
n
a que tem lim
n→+an = L finito é chamada de convergente.
Uma sequência não-convergente é chamada de divergente, isto é, L é infinito ou não existe.
Exemplos:
a)
*
1 1 1 1 1
, , , ..., , ... tem limite L=0 (finito), logo, convergente
1 n : 2 3 4 1
n n
+ +
b) ( ) *: 1, 2, 3, 4, ... , , ... tem limiteL infinito, logo, divergente.
n
n n
c) (( 1) )n *: 1, 1, 1, 1, ... , ( 1) , ...n n
− − − − a sequência tende aos valores (–1) e
1, conforme n é ímpar ou par e, por isto, L não existe e a sequência divergente. EXERCÍCIOS 1.1:
Dizer se as sequências do Exemplo.01 são convergentes (C) ou divergentes (D) e apresentar o valor do limite das sequências convergentes.
Resp: 1) C, L = 1 2) C, L = 0 3) C, L = 3 4) D 5) D 6)D 7)D 8)D 9)D
1.2. Teorema 1 – Sequência associada a uma função real de variável real
Seja ( n) *
n
a uma sequência e f :[1,+ →[ , y= f x( ), uma função onde se tem ( )f n =an , n *.
'' Se lim ( ) L,
x→ + f x = então limn→ +f n( )=n→ +lim an=L.''
Assim, lim n L,
4 EXERCÍCIOS 1.2:
Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes a) * 1 2 1 n n n + + b) 2 * 1 n n n + c) 2 * 1 n n n + d) * 3 1 n n n + e) * 1/ sen( ) 1/ n n n f) 2 * ln n n n
Resp: a)C, L = 1/2 b)D c)C, L = 0 d)C, L = e3
e)C, L = 1 f)C, L = 0
1.3. Teorema 2 – Confronto Sejam as sequências ( n) * n a
,
(bn)n * e ( n) * n c sendo anbn cn, *.
n '' Se lim n lim n L n→+a =n→+c =, então
nlim→ +bn =L '' EXERCÍCIOS 1.3:Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes
a) 2 * cos( ) n n n b) ( ) * {1} , 0 n n a a − c) * {1} (n ) n n −
Resp: a)C, L = 0 b) C , Obs: Estudar a1 e, depois, 0 a 1
c) C, Veja: Temos que n n , logo, 1 0 tal que 1 (I)
n n n b n b = + Temos que 0 0 1 1 1 ( 1) 2 2 2 (1 )
( )
1 .n( )
1 .n 1n ...( )
1 .n k k ... n n n n n n n n n k n n n= +b = b + − b + − − b + + − b + e, daí, (1 ) ( 1) 2 2 n n n n n n= +b − b , isto é, 2 1 bn.
n− Logo, 0 2 . 1 n b n −
Temos que 0 lim lim 2 0
1 n n n→+b → + n = − e, daí, lim n 0 n→ +b = . Portanto,
segue de (I) que lim n lim (1 n) 1 0 1
n→ + n=n→ + +b = + = . 1.4. Sequências monótonas Uma sequência ( n) * n a é crescente se * 1, , n n n a a + e decrescente se * 1, . n n n a a +
Uma sequência é chamada de monótona se for crescente ou decrescente. Nota: • Se a sequência alternar seus valores, então não é monótona.
• Pode-se utilizar derivadas para verificar a monotonicidade das sequências associadas a uma função de variável real.
5 EXERCÍCIOS 1.4:
Verifique se as sequências são monótonas
a) * 1 n n n + b) * 1 1 n n + c) * ( 1) n n n −
Resp: a) monótona crescente b) monótona decrescente c) não monótona 1.5. Sequências limitadas
Uma sequência ( n) *
n
a é limitada se existem r e s reais tais que *
, .
n s n
ra
EXERCÍCIOS 1.5:
Verifique quais são as sequências do Exemplo.01 são limitadas (L) ou não limitadas (NL).
Resp: 1)L, 1an2 2) L, 0an1 3)L, 2an4 4) L, 1an 2 5)NL 6) L, 0an1 7) L, − 1 an1 8)NL 9)NL 1.6. Teorema 3
Uma sequência monótona limitada é convergente
Ex: Ver no Exemplo.01 – Monótonas limitadas 1), 2) e 3) Monótonas não limitadas 5), 8) e 9) Não monótonas 4), 6) e 7)
1.7. Teorema 4
Toda sequência convergente é limitada.
EXERCÍCIOS 1.6:
Verifique quais são as sequências convergentes (C), divergentes (D), limitadas (L) ou não-limitadas (NL) a) , ,a a a,... ,a b) 1, 2, 3, ..., , ...n c)( n)n *: n 2 n a a = d) 2 * 1 2 3 ... n n n + + + + e) * 2 3 5 n n − f)((1, 001) ) * n n
6 2. SÉRIES INFINITAS
Seja ( )an n *: ,a a a1 2, 3,...,an,...uma sequência de reais.
A somatória a1+a2+a3+...+an+... é chamada de Série infinita.
Notação: 1 2 3 1 ... ... n n n a a a a a + = = + + + + +
Como obter a soma da série acima indicada?
Consideremos a sequência ( n) *: 1, 2, 3, ..., n,...
n
S S S S S , sendo S1=a1 ,
2 1 2
S =a +a , S3=a1+a2+a3 , ... , Sn=a1+a2+a3+...+an e, assim, sucessivamente, que é chamada de sequência de somas parciais da série dada. Teremos, se existir, que lim n
n
S = →+S será a soma da série.
2.1. Séries convergentes e divergentes
A série 1 n n a + =
é convergente se lim n(
finito)
n→+S
=
S
. Neste caso, diz-se quea soma da série é
S .
A série 1 n n a + =
é divergente se lim nn→+S não é finito ou não existe. Neste caso, a série não tem soma.
Exemplo.1: a) 1 1 ( 1) n n n + = +
é convergente e tem soma S = 1Temos que 1 A B (A+B) A
( 1) 1 ( 1) n n n n n n n n a = = + = + + + + . Comparando as razões: A =1 e B = –1. Assim, 1 1 . 1 n n n a = − + Vê-se que 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 2 2 3 3 4 1 ... n n n n S a a a a − + − + − + + − + = + + + + = .
Simplificando, temos que 1 1
1 n S n = − + . Daí, 1 (1 1 lim n lim
)
1
n n n S S →+ →+ − + ==
=
7 b) 1 1 2n n + =
é convergente (série geométrica) e tem soma S = 1. Sabemos, do ensino médio, que a somaS
dos termos de uma PG1 2 ... n ...
a a a
S
= + + + + , onde an 0,
n *, e razão 0 < q < 1 é dada por 1 1 a q S − = Assim, 1 1 2 1 1 1 1 1/ 2 ... (PG, ) 1 2n 2 4 8 1 (1/ 2) n qS
+ = = = + + + = = = −
(finito) c) 1 1 2 3 ... .... n n n + = = + + + + +
não tem soma finita. Logo, é divergente.Sabemos, do ensino médio, que a soma
S
n , dos n primeiros termos, de uma PA1 2 3
: ,
c c c
, , ... ,
c
n...
, de razão r é dada por
1 2 ( n). . n S =
c
+c
n Assim, 2 1 1 2 3 ... ( ). 2 2 n n n n n nS
= + + + + = + = + . Daí, 2 2 lim n lim.
n n n n S →+ →+ +=
= +
2.2. Teorema 1 –''
Se a série 1 n n a + =
é convergente, então lim n0
n→+a
=
''
A recíproca do teorema não é verdade, pois existem séries cujo termo geral
a
ntende a zero, mas não é convergente. Exemplo.2: A série 1 1 1 1 1 1 ... .... 2 3 n n n + = = + + + + +
tem seu termo geral tendendo a zero, masnão é convergente. Esta série é chamada de Harmônica. Desafio: Mostre que a série Harmônica é divergente.
2.3. Teorema 2 – Seja a série
1 . n n a + =
''
Se lim n0
n→+a , então 1 n n a + =
é divergente''
Exemplo.3: a) 1 2 n n n + = +
, temos 2 1 lim0.
n n n →+ + = A série é divergente. b) 1 2 1 n n n + = +
, temos 2 2 1 lim0.
n n→+ n e + = A série é divergente.8 EXERCÍCIOS 2.1:
Verifique se a série é convergente (C) ou divergente (D)
a) 1 2 1 3 2 n n n + = + +
b) 2 1 ln ln( 1).ln n n n n n + = + +
c) 1 sen(1/ ) 1/ n n n + =
d) 1 1 1 1 2 n n n + = − + +
e) 1 ( 1)n n + = −
f) 1 1 n n n n + = +
g) 1 2.4.6.8...(2 ) ! n n n + =
h) 1 2 1 1 1 ... n ... , . n n a q a q a aq aq aq − + = − = + + + + +
Resp: a)D b)C, S=1/ln2 c)D d)C, S=1/2 e)D f)D g)D h) Se –1 < q < 1 , então 1 a S q =
− (finito) e a série é convergente.
Se q −1 ou q 1, então
S
não é finito ou não existe e a série é divergente. 2.4. Teorema 3 – Operações com sériesa) Se 1 n n a + =
é convergente e tem somaS
, então1 . n n c a + =
é convergente e tem somac.S
. b) Se 1 n n a + =
e 1 n n b + =
são convergentes e tem somasS
eR
, então1 ( n n) n a b + = +
éconvergente e tem soma (S +
R).
Nota: Se apenas uma das séries for divergente, então 1 ( n n) n a b + = +
será divergente.Se ambas forem divergentes, então
1 ( n n) n a b + = +
poderá ser convergente oudivergente. Exemplificando: a) an bn 1 n = = 1 1 2 ( n n) n n a b n + + = = + =
(harmônica) divergente. b) an 1 n = e bn 1 n − = 1 1 ( n n) 0, ( 0) n n a b S + + = = + = =
convergente.9 EXERCÍCIOS 2.2:
Verifique se a série é convergente (C) ou divergente (D)
a) 1 2 3 3n 2n n + = +
b) 1 1 1 2n n n + = −
c) 1 2n+1 ( 1) n n n + = +
Resp: a) C, S = 4 b) D c) D2.5. Séries de termos positivos:
1 , 0 n n n a a + =
Queremos saber se a série
1 , 0 n n n a a + =
é convergente ou divergente. 2.5.1. Teste de ComparaçãoTomemos uma série conhecida
1 , 0 n n n b b + =
para a comparação. i) Se 1 n n b + =
é convergente e an
bn, n *,n então k , 1 n n a + =
é convergente ii) Se 1 n n b + =
é divergente e anbn, n *,n então k , 1 n n a + =
é divergente Exemplo.4: a) 1 1 ! n n + =
. Temos que 1 ! n a n=
e procuramos 1 n n b + =
conveniente para a comparação.Sabemos que n! 2n−1
,
n
1.
Daí, 1 11 .! 2n n − Considerando 1 1 1 1 2 n n n n b − + + = = =
(série G, q = 1/2 , convergente) e o fato quen n
a
b , n 1, segue de (i) que a série1 1 ! n n + =
é convergente. b) 1 1 n n n + =
. Temos que an 1n n=
e procuramos 1 n n b + =
conveniente para a comparação.Se n *
,
n
2, então teremos quen
n=
n n n
. . ...
n
2.2.2...2
=
2
n.Daí, 1 1 , 2.
2
n n n
10 Considerando 1 1 1 2 n n n n b + + = = =
(série G, q = 1/2 , convergente) e o fato quen n
a b , n 2, segue de (i) que a série
1 1 n n n + =
é convergente. c) 3 1 1 n n + =
. Temos que 3 1 n a n=
e procuramos 1 n n b + =
conveniente para a comparação. É fato que 3 1 1 , n 1. n n Considerando 1 1 1 n n n b n + + = = =
(série harmônica, divergente) e o fato quen n
a b , n 1, segue de (ii) que a série 3
1 1 n n + =
é divergente. d) 1 1 p n n + =
(chamada de série hiper-harmônica ou série-p, p ) é convergente sep > 1 e divergente se p . 1 Prova: 1º) Se p = 1, então 1 1 1 1 p n n n n + + = = =
(harmônica) divergente. 2º) Se p < 1, então 1 1 2 3 1 1 1 1 1 ... ... p p p p p n nn
+ = = + + + + +
é divergente, pois secomparada, termo a termo, com a série harmônica veremos que 1p 1, n *,
n n e ,
por (ii), segue que a série é divergente.
3º) Se p > 1, então 1 1 2 3 4 7 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ... ) ... p p p p p p n n + = = + + + + + +
< 2 2 4 4 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 2 4 1+( p+ p) +( p + p + p + p) + =... 1 + p + p + =... = 1 1 2 1 3 1 1 2 (2 (2 2 1 1 1 1 1 ... ) ) p p p p n n − − − − + = + + + + =
(série G, 1 2 1 1) p q= − convergente.11 EXERCÍCIOS 2.3:
Verifique pelo teste de comparação a convergência (C) ou não (D) das séries:
a) 1 1 1 3n n + = +
b) 1 ! ( 2)! n n n + = +
c) 1 2 ( 1)n n n + = +
d) 3 1 1 cos( ) 1 n n n + = + +
e) 3 2 1 ln( ) n n + =
f) 1 sen( / ) 2n n n + =
Resp: a) C b) C c) C d) C e) D f ) C2.5.2. Teste de Razão ( D’Alembert)
Queremos saber se 1 , 0 n n n a a + =
, é convergente ou divergente, semcompa-rações com outras séries. Investigaremos a convergência ou não na própria série dada. Sejam 1 2 3 1 1
...
n n...
n n a aa
a a a + + = =+
+ + + + +
e lim n 1 n n a L a + →+ = i) Se L , então 1 1 n n a + =
é convergente. ii) Se L , então 1 1 n n a + =
é divergente.iii) Se L = , então o teste não é conclusivo. 1 Exemplo.5: a) 1 1 n n n + =
. Temos que an 1n n=
e 1 1( 1) ( 1) n n a n +=
+ + ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1lim lim lim lim
( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n a n L a n + + →+ →+ →+ →+ + + + + = = = = = + 1 . 1 1 . 1.0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1
lim lim lim lim
n n n n n n n e n n n n − − − →+ →+ → + →+ + + = = + + = =
Logo, por (i) a série é convergente.
b) 1 1 n n n + = +
. Temos que an n 1 n +=
e 1 ( 1) 1 2 ( 1) 1 n n n a n n +=
+ ++ = ++12 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1
lim n lim lim lim 1
n n n n n n n n n a n n n L a n n n + →+ →+ →+ →+ + + + + + = = = = = + . Logo,
por (iii) , nada se conclui. Utilizando o teorema 2, vê-se que a série é divergente. EXERCÍCIOS 2.4:
Verifique pelo teste da razão a convergência (C) ou não (D) das séries:
a) 1 1 ! n n + =
b) 2 1 3 1 n n n + = +
c) 1 2 ( 1)n n n + = +
d) 1 ! n n n n + =
e) 1 1 n n + =
Resp: a) C b) D c) C d) C e) Não conclui
2.5.3. Teste de Raiz n-ésima ( Cauchy)
Investigaremos a convergência ou não da série
1 , 0 n n n a a + =
, utilizando seus próprios termos. Sejam 1 2 3 1...
n...
n n a aa
a a + = =+
+ + + +
e lim n n n a L → + = i) Se L , então 1 1 n n a + =
é convergente. ii) Se L , então 1 1 n n a + =
é divergente.iii) Se L = , então o teste não é conclusivo. 1
Lembrar: a) lim 1, 0, n n a a → + = b) nlim 1 n n → + = c) r r lim 1 n n n
e
→ + + = Exemplo.6: a) 1 1 n n n + =
. Temos que an 1n n=
e nlim n an nlim n 1n n L = →+ = →+ = lim 1 lim 1 0 ( 1). n n n→+ n n→+ n13 b) 1 2 1 n n n n + = +
. Temos que n 2 1 n n a n + =
e lim n n n a L →+ = =lim 2 1 lim 2 1 lim 2 2 ( 1).
n n n n n n n n n n n →+ →+ →+ + +
= = = = Logo, por (ii) a
série é divergente. EXERCÍCIOS 2.5:
Verifique pelo teste da raiz a convergência (C) ou não (D) das séries:
a) 1 . n n n e− + =
b) 1 2 1 n n n n + = +
c) 1 2n n n n + =
d) 1 (ln ) 3 n n n n + =
e) 1 1 . ln n n n n n + = +
f) 1 , 0 n a a n + =
Resp: a) C b) C c) C d) D e) Não conclui f) Não conclui2.5.4. Teste da Integral Imprópria
Consideremos
f
uma função de valores positivos, decrescente e contínua para toda variável x maior ou igual a 1.A série infinita 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... n f n f f f f n + = = + + + + +
é :i) Convergente se a integral imprópria
1 f x dx( ) +
for convergente (finita).ii) Divergente se a integral imprópria
1 f x dx( ) +
for divergente (infinita ou não existe). Exemplo.7: Verifique se 2 ln( 1) 1 n n n + = + +
é convergente ou divergente. Temos ln( 1).1
( )
n nn
f
+ +=
Seja
: [2, [ , ( ) ln( 1) 1 f x x f x + → = + + A funçãof
é :de valores positivos, pois sendo x , tem-se 2 x + e ln(x + 1) > 1. 1 3
decrescente, pois 2 1 ln( 1) '( ) 0 ( 1) x f x x − + = + . Vê-se que 2 (x +1)
e, também,
0
1 ln(− x+ , uma vez que ln(1) 0 x +1) .114 Observamos que: A A 2 2 ln( 1) ln( 1) lim 1 1 x x d x d x x x + →+ + + = + +
. Sendo t =ln(x+ , temos 1) 1 1 d t d x x =+ e, daí, p
/
x = 2 tem-se t =ln 3. Substituindo acima, segue que B 2 2 2 2 B B B A 2 ln3 2 ln3 A Alim lim lim 1 ln ( 1) lim 1 ln (A 1) ln (3)
2 2 t d t t x →+ →+ →+ →+ = = + = + − = +
Portanto, a integral imprópria é divergente, pois o limite obtido é infinito.
Conclusão: A série 2 ln( 1) 1 n n n + = + +
é divergente.Nota: Se a integral imprópria fosse convergente, a série seria convergente.
EXERCÍCIOS 2.6:
Verifique pelo teste da integral a convergência (C) ou não (D) das séries:
a) 1 . n n n e− + =
b) 2 1 . n n n e + − =
c) 1 1 n n + =
d) 1 3 n n n + = +
e) 2 1 .2 n n n + − =
f) 3 1 1 n n + =
Resp: a) C b) C c) D d) D e) C f) D 2.6. Séries AlternadasEstudaremos as séries da forma:
1 2 3 1 1 1 ( )n n ... ( )n n ... , n 0. n a a a a a a + = − = − + − + + − +
1 2 3 1 1 1 1 1 ( ) n ... ( ) n ... , n 0. n n n a a a a a a + + + = − = − + − + − +
2.6.1. Teste de convergência de série alternada (Leibniz)
Seja 1 2 3 1 ... ... n n n u u u u u + = = + + + + +
uma série.Se i) os termos da série são alternadamente positivos e negativos, ii) un+1 un , n *, e iii) lim n 0, n→+u = então 1 n n u + =
é convergente.15 Exemplo 8: Verifique se 1 1 1 ( )n n n + + = −
é convergente ou divergente. Temos: 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 6 n n n + + = − = − + − + − +
i) vê-se que os termos da série são alternadamente positivos e negativos,
ii) 1 * ( 1) 1 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) , , e 1 1 n n n n u u n n n n n + + + + − − = = = = + +
iii) 1 1 ( ) 1 0.lim
lim
n n n n n + →+ →+ − = = Então, a série 1 1 1 ( )n n n + + = −
é convergente. EXERCÍCIOS 2.7:Verifique pelo teste da série alternada a convergência (C) ou não (D) das séries:
a) 1 ( 1) 2
.
n n n n + = −
b) 2 1 1 ( 1) . 3 1 n n n n + + = − +
c) 1 ( 1) 3 1 n n n n + = − −
d) 1 e ( 1) n n n n + = −
Resp: a) C b) C c) C d) D (ver teorema 2 de série)
Obs: e n +n 1 en.e nen.(n+ 1) en+1nen.(n+1) 1 1 n n n n e + e + .
2.6.1. Convergência absoluta e condicional
Seja 1 2 3 1 ... ... n n n u u u u u + = = + + + + +
uma série alternada.Diz-se que: 1 n n u + =
é absolutamente convergente se 1 n n u + =
for convergente 1 n n u + =
é condicionalmente convergente se : a) 1 n n u + =
for divergente e b) 1 n n u + =
for convergente (Leibniz) EXERCÍCIOS 2.8:16 a) 1 ( 1) 2
.
n n n n + = −
b) 1 1 1 ( 1)n . n n + + = −
c) 1 1 ! ( 1)n n n n n + + = −
d) 2 1 3 ( 1) 4 n n n + + = − −
Resp: a) AC b) CC c) AC d) CC 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Consideraremos 0 1 2 2 0 ( )n ( ) ( ) ... ( )n ... n n n c x ac
c x a c x a c x a + = −=
+ − + − + + − +
, onde x ,a e c coeficientes reais dependentes de n n , como séries de potências. Nota: Atribuindo-se valores a x, teremos séries numéricas.
Queremos identificar os valores de x que tornam as séries convergentes ou divergentes. Se x = a, 0 0 0 ( )n 0 0 ... 0 ... n n c x a
c
c
S + = −=
+ + + + + = =
(finito) a série é convergente. Exemplo.9:1) Quais valores de x tornam
1 1 1 ( ) .2n n n n x n + + = −
convergente? Temos que a = 0. Teste da razão: 1 1 . 2 ( 1) 2lim
nlim
n n n a n x x a n + →+ = →+ + =A série é absolutamente convergente se 1 1
2 x , isto é, − 2 x 2. A série é divergente se 1 1 2 x , isto é, x −2 ou x 2. Se x =2, temos: 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 ... .2n 2 3 4 n n n n n n n + + + + = = − = − = − + − +
cond/conv. Se x = −2, temos: . 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 2) 1 ... .2n 2 3 4 n n n n n n n + + + + = = − − = − = − + + + +
série divergente. Conclusão:–2 2
xdivergente abs. convergente divergente divergente cond.conv
17 Temos que a = 0 é o centro do intervalo de convergência e R = 2 é o raio de convergência.
2) Quais valores de x tornam
0 ! n n x n + =
convergente? Temos que a = 0. Teste da razão: 1 1 0 ( 1) , . 1lim
nlim
n n n a x x a n + →+ = →+ + = Logo, a série é absolutamente convergente para todo x real
Intervalo de convergência: I = e Raio de convergência R = + . 3) Quais valores de x tornam
0 ! n n n x + =
convergente? Temos que a = 0.Teste da razão:
lim
n 1lim
( 1) ( 1) , *.n n n n a x x a + →+ = →+ + = +
Logo, a série é divergente para todo x real, x 0 .
Intervalo de convergência: I = {0} e Raio de convergência R = 0 . Observação:
O raio de convergência pode ser obtido por
1 R = lim n n n c c →+ + . EXERCÍCIOS 2.9:
1) Utilize R para obter o intervalo de convergência das séries:
a) 2 0 2 n n x n + = +
b) 1 .( 2)n n n x + = −
c) 1 1 ( 5)n n x n + = −
Resp: a) [ –1, 1 ] b) ]1, 3[ c) [ 4, 6 [ 2) Defina uma função a partir da série:a) 0 n n x + =
b) 01
( )
n n n x + =−
c) 2 0 n n x + =
Resp. a) f :] 1, 1 [− → , 1 ( ) 1 f x x = − b) f :] 1, 1 [− → , 1 ( ) 1 f x x = + c) f :] 1, 1 [− → , 2 1 ( ) 1 f x x = −Note, pelas respostas, que houve restrição de domínio das funções ao serem definidas pelas séries.
18 4. SÉRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN
Dada uma função f : A→ , A , y= f x( ), queremos escrevê-la como uma série de potências, com possível restrição de domínio.
Uma condição necessária (mas não suficiente) para que f tenha representação em série de potências num intervalo I é que possua derivada de todas as ordens em a . I 4.1. Série de Taylor 0 ( ) n( )n n f x c x a + = =
− , sendo ( ) ( ) ! n n f a c n = e I =]a−R, a+R [ .Assim, a série de Taylor em torno de a é dada por:
( ) 2 3 ' ( ) '' ( ) ''' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... 1! 2! 3! ! n n f a f a f a f a f x f a x a x a x a x a n = + − + − + − + + − + Exemplo.10:
Encontre a série de Taylor para f : → , f x( )=sen( )x , em 2 a= . Devemos ter: ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' sen( ) ... ... 1! 2! ! n n f f f x f x x x n = + − + − + + − + onde f x( )=sen( )x 2 sen 2 1 f = = f x'( )=cos ( )x 2 2 ' cos 0 f = = f ''( )x = −sen( )x 2 2 '' sen 1 f = − = − f '''( )x = −cos ( )x 2 2 ''' cos 0 f = − = ( )4 ( ) sen( ) f x = x ( )4 2 sen 2 1 f = =
. .
. .
Substituindo os valores na sentença acima, temo
1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 sen( ) 1 ... 1! 2! 3! 4! 5! 6! x = + x− +− x− + x− + x− + x− +− x− + 0 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 1 1 ( 1) sen( ) 1 ... ... , 2! 4! ( )! n ( )! n n n n x n n x x x x = + − − − − = + − + − + + − + =
com R = + e I= .19 4.2. Série de MacLaurin 0 ( ) n( )n n f x c x + = =
, sendo ( ) 0 ( ) ! n n f c n = e I= −] R, R [ . Assim, ( ) 2 3 0 0 0 0 0 ' ( ) '' ( ) ''' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... 1! 2! 3! ! n n f f f f f x f x x x x n = + + + + + + Exemplo.11:Encontre a série de MacLaurin para f : → , f x( )= (em ex a = ) 0 ( ) 1 2 '(0) ''(0) (0) (0) ( 0) ( 0) ... ( 0) ... 1! 2! ! n x f f f n e f x x x n = + − + − + + − + onde f x( )= ex f(0) = e0 = 1 f x'( )= ex f '(0) = e0 = 1 f ''( )x = ex f ''(0) = e0 = 1 f '''( )x = ex f '''(0) = e0 = 1 ( )4 ( ) x f x = e f ( )4(0) = e0 = 1
. .
. .
Substituindo os valores na sentença acima, temos1 2 3 4 1 1 1 1 1 ... 1!( ) 2!( ) 3!( ) 4!( ) x e = + x + x + x + x + 1 4 0 2 3 1 1 1 1 1 1 ... 1! 2! 3! 4! n ! x n e x x x x x n + = = + + + + + =
EXERCÍCIOS 2.10:1) Encontre a série de Taylor para f : *→ , f x( ) 1
x
= em a = 1. 2) Encontre a série de MacLaurin para f : → , f x( )=sen( )x . 3) Encontre a série de MacLaurin para f : → , f x( )=ln(x+1). Pede-se, ainda, o intervalo de convergência das funções restritas as séries acima.
Resp. 1) f : ] 0, 2[ , f x( ) 1 1 (x 1) (x 1)2 ... x → = = − − + − + = 0 ( 1) (n 1)n n x + = − −
