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de matemática
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Ob ra s de ji tie st ro s ell o ed it or ia l "F ig ur as e qu iv al en te s y e qu ic oi ii im ts ía s" de B ôl ti an sk i V .G . "i Qu é e s e l cálcul o dif er en cia l'. ''" de Boltianslíi V. (r . ín du cc ió n en l a ge om et ri a" de (;()loviíiíi L. l. y Yaglóti i I. M. Su cc sio iíf s rc ( I Ir re nt es " de Markúsheviíih A .l . "F .i us o (i e ia r eg ia e n lá. s •.y construc<:ione s ge om ét ri ca s" ^ <i c Sm og o& zh ev sk i A. S.\
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Tr ad uc id o de i rus o por e l mgenier o K. Medko v Segunda edición J ED IT OR IA L MI R MOSCÚIM PR ES O EN L A UR SS . HA H Cn AH CK OM 5 13 bI KE Pr im er a edició n 197 5 Segunda edición 1981 Traducción a l espanol . Ed it or ia l f-PR EF AC IO Dicté po r primer a ve z la s conferencia s «Area s y logarit-mos» e n e l otofi o 1951 , e n l a Universida d d e Moscú , ant e lo s alumnos d e clase s superiore s d e la s escuela s secundarias
. e a qu n l s e s logaritmo e lo a d a geométric a teori e l Se expon
los último s aparece n com o cierta s áreas . Toda s la s propieda -des d e lo s logaritmo s s e deduce n de i análisi s d e la s propieda -des respectiva s d e la s áreas . Junt o co n est o l a conferenci a proporciona las más simple s nocione s y propiedades de i cálculo integra 1. En el present e follet o l a conferenci a h a sid o u n poc o am
- a bien r sep l lecto e e o qu e necesari s forzosament o e pliada. N
, antes d e empeza r a leerlo, qu é so n logaritmos . Le necesita unicamente tene r conocimiento s primário s sobr e la s funcione s más simple s y su representación gráfica, l a progresió n geo -métrica y l a noció n de i limite . Lo s alumno s d e lo s grado s superiores d e l a secundari a y a conoce n tod o esto . Si e l lecto r dese e obtene r má s informació n sobr e lo s loga
- de logaritmos «Nacimiento obra la e a a referirs ritmos, podrí
» pov I. Abelson_y «Series » d e A . Markushevich . E n e l últim o cTpTTúlo d e l á obfã'«Series » l a "teori a d e logaritmo s s e expon e de un a maner a distint a d e l a utilizad a e n est e folleto . Autor
1. Cuand o tratamo s d e un a «funció n dada» , entendemo s que exist e e l métod o po r cuy o intermédi o par a cad a valo r de X podemos encontra r e l valo r d e y (valor d e l a función) , correspondiente a l valo r indicad o d e x. Con mayor frecuenci
a Por ejemplo r fórmulas. s po n expresada s viene las funcione
, la fórmul a y^x"^ define y como función de x. E n est e cas o e l valor d e y, correspondiente a cualquier númer o d e . v (x =3 , por ejemplo) , s e obtien e elevand o a l cuadrad o est e númer o (í/=9). La fórmula define otr a función . Aq ui, para cada valor d e x, distinto de cero , e l valo r correspondient e d e y se determin a com o magnitu d recíproc a a .v; s i A := 2, entonce s y= y; si x= —^ , entonce s Í/ =— 2. Cuando tratamos d e un a funció n cualquier a (n o import a qué se a s u tipo) , escribimos : j/=/(x) . Es ta anotación signi-fica qu e 1 / es cierta función de x (puede se r qu e y=^-x^ ó y~~ , o cualquie r otr a función) . Est e métod o d e designació n d e la s funciones e s semejant e a l métod o d e expresió n d e número s por médi o d e la s letras . S e pued e hablar , po r ejemplo , d e los número s concreto s 2 , — , K 2, y también se pued e indica r un número a, sobreentendiendo baj o a el númer o 2 , — |/2 u otr o númer o cualquiera . Analogament e a la manera
de s tam s funcione , la s letras r diferente s po s número designar lo
-bién pueden anotarse a la manera diferente. Ademá s d e l a anotación y=-f{x), s e puede n usa r otra s anotaciones , com o po r ejemplo: y=g{x), y=h{x), etc .
Pues, s i e n u n mism o problema , qu e h a d e se r resuelto , participan dos funciones , un a d e ella s s e design a po r y=f{x), la otr a po r y=g(x), etc. La función y=f{x) pued e se r representad a d e un a maner a gráfica. S e toma n par a ell o do s rectas , Ox y Oy, mutuamente perpendiculares, Uamado s ejes de coordenadas (fig. 1) ,
y, e Ox l ej n e n e e marca , s a (escala) de medid unidad la eligiendo
los valore s d e x; sobre la s perpendiculare s a l ej e Ox (en el FI G. 1 FI G. 2 plano xOy) se marca n lo s valore s correspondiente s d e l a fun -ción y=f{x). S e observ a e n est e cas o l a regi a d e lo s signos : los número s positivo s está n representado s po r segmento s que va n a la derecha dei punt o O (origen de coordenadas ) a
lo números Los e Ox). i ej r de a parti a ( o arrib e Ox, i ej largo de
negativos está n representado s po r lo s segmento s qu e v an a l a izquierda o abajo . Recordemo s qu e lo s segmento s dirigidos , marcados e n e l ej e Ox, se llama n abscisas, y lo s segmento s perpendiculares a l ej e Ox, se denomina n ordenadas. Si par a todo s lo s valore s d e x existen los valore s corres -pondientes d e y, entonces, uniend o co n un a líne a lo s extre -mos d e ordenadas , obtendremo s un a curv a plan a qu e ser á la gráfic a d e l a funció n y=f{x); si un a funció n s e expres a po r la ecuació n y=x-, la gráfica es un a parábola , expuest a e n ^ . 2. la fig Elijamos e n l a gráfic a (fig . 1 ) do s punto s cualesquiera , y 4 y fi, y bajemo s la s perpendiculare s AC y BD al ej e Ox. Obtendremos un a figura , ACDB, Uamada trapecio curvilíneo. 9 S; t! n °, P^-^^í^ " a r e l arc o AB es e l segment o d e un a o r lS n ^^'^fn tragecio rectánp..
! e Ox l ej a a , parajel a recta e l o d l segment es e Si AB io_comun.
resultara un .rectângulo. As í pues , e l t a V o rectánguí; FI G. 4 y e l rectângul o representa n e n s í u n cas o particula r de i tra - curvilíneo. pecio La gráfica de l a funció n expuest a e n l a fig . 1 . s e dispon e por arrib a de i ej e Ox. T al disposició n e s posibl e sól o e n e
l s positivos n número n so a funció e l s d s valore e lo n qu caso e
. Si lo s valore s d e l a funció n fuera n negativos , la
gráfica . Convengamo (fig. 3) e Ox i ej o de r debaj a po se dispondrí
s asignar, e n est e caso , a l áre a de i trapeci o curvilíne o e l sign
o . consideraremos negativa la «menos» y
Es posibl e tambié n qu e l a funció n teng a signo s diferente s en distintas seccione s d e variació n d e x. Entonces, un a part e de la gráfica se dispon e po r arrib a de i ej e Ox, y l a otra , po r 2 1707 2
debajo d e éste , com o s e expon e e n l a fig . 4 . A l áre a dei . tra -pecio curvilíne o A'C'D'B', la conviene considera r negativ a y l a de i trapeci o A"C"D"B", positiva. Si elegimo s e n l a grá -fica lo s punto s A Y B áe \a manera indicada en la
figura obtendremos e Ox, l ej y-^BD a s AC s perpendiculare y trazamo
entre esta s e l áre a rayad a (véas é l a fig.'4) . Es ta figura es también un trapecio curvilíneo , limitad a po r el arco AKA'B'LÁ^B B, dos ' ordenada s AC y BD y e l seg -mento CD dei ej e d e abscisas . S u áre a s e calcul a com o sum
a n LA''B"BD. Co KA'B'L y s ACK, s figura e la s d s área de la
esto, la s área s d e la s figura s primer a y tercera son positivas, mientras qu e e l áre a d e l a segund a figur a e s negativa . Es fáci l comprende r qu e e n est e cas o e l áre a d e tod o e
l o positiva r tant puede resulta o ACDB trapecio curvilíne
, como negativa y , a veces, igua l a cero. Po r ejemplo . la grá-fica de l a funció n y~ax{a>^) es un a recta ; e l áre a d e l a figur a ACDB (fig. 5 ) ser á p os it iv a, si OD>OC, y negativ a s i OD<.OC. Por fin , e l áre a ser á nula , si OD=OC. , 2 . Determinemo s e l áre a 5 de u n trapeci o curvilíneo . Co n la nècesida d d e calcula r la s área s no s tropezamo s mu y a me-nudo, a l soluciona r diferente s problema s d e la s Matemá -ticas, Físic a y Mecânica; inclus o exist e un a ram a especia
l a e consider » qu o integral a «Cálcul , Uamad s Matemáticas de la
los médio s d e resolució n d e esto s problemas . Abordand o la tarea planteada , buscaremo s s u resolució n e n do s etapas . Primero determinemos valore s aproximado s de i área , consi -guiendo qu e e l erro r d e l a aproximació n se a ta n pequeii a com o se quiera , E n l a segund a etap a d e l a resolució n pasaremo s d
e . r exacto l valo a a i áre s de s aproximado los valore
En la primera parte d e l a resolució n sustituyamo s e l trapecio curvilíne o ACDB por un a figur a escalonad a d e la forma indicada en la fig. 6 (figura rayada). El área d e la figura escalonad a se ca lc ula de un a maner a simple : ell a e s igual a TãsurriadFTas ârêã s d e lo s rectângulos . Consideremo s esta sum a com o valo r aproximad o de i áre a buscad a S. Sustituyendo S po r e l áre a d e l a figur a escalonada , co -metemos ciert o erro r a que s e compon e d e la s área s d e lo s triângulos curvilíneo s pintado s d e negro . Pa ra e va ly at
-ja lo o y s anch o má l rectângul s e , tomemo dei error magnitud
imaginemos extendid o hast a qu e s u altur a se a igua l a l valo r máximo de l a funció n (l a qu e e s BD en la fig. 6) . Ahor a tras -lademos todo s lo s triângulo s curvilíneo s paralelament e a
l s dentro n metido s quede s ello e todo l qu o ta n mod de u eje Ox
j dei rectângul o mencionado , formand o un a figur a dentada , parecida a l fil o d e un a sierr a (fig . 7) . Dad o qu e est a figur a se ubic a tod a e n e l rectângulo , e l erro r a, qu e e ^ igua l a ja suma d e área s d e lo s diente s d e l a sierr a ') . deb e se r meno r ^ que e l áre a de i rectângulo . S i designamo s l a bas e de i rectân -gulo con 6, obtendremos : \a\<.b-BD. De aqui s e deduc e que ; se pued e hace r e l erro r a tan pequeno com o s e quiera , s i e n l
a e ô a bas e l s qu n estrecho s ta s rectângulo tomamos lo fig. 6
dei rectângul o má s anch o se a magnitu d suficientement e pe -queiia. Po r ejemplo , s i fíD=20 y nuestro dese o e s qu e e l área d e l a figur a escalonad a s e diferenci a d e 5 a un a magni -tud menor a 0,(K)1, ser á suficient e pone r ôf iD =2 0ô menor 1) La función e xp ue st a e n la s figs . 6 y 7 es siempre
creciente gráfica la Si . e decreciente) a uniformement e se ir qu rr cu o (puede
de la función fuera más c om pli ca da (véase, po r eje mp lo , la fig. 4 , en
? bajadas), entonces como subidas to an t ta en rim pe ex n a funció l que la
; rectângulo,) mo mis l e en s r trasladado al se curvilíneos, triângulos los
podrían r es ult ar sobrepuesto s un o a l otr o y gn este cas o la s um a d é sjjs área s podrí a se r ma yo r qu e ej _i re aj l, el rectângulo . Pa ra
poder , convien s complicado o má este cas o a nt mie na zo ra o ar nuestr lic ap
e e lo o d e dentr al qu t modo un e trozos d en figura la a r tod di vi di
s o decreciente) e ( o crecient a sól n se a funció l trozo mismo un de es it lim
que l a magnitu d 0,001 , e s deci r ô<0,00005 ; entonces : |a|<ô-fíD<0,001. No obstante, po r pequen a qu e s e bag a ô , cad a ve z habr á un error a, aunqu e se a mu y pequeiío . Lo último se deb e a l hecho d e qu e e l áre a de i trapeci o curvilíne o n o e s igua l a l área d e l a figur a escalonada . Procediend o ahor a co n l a se
- i problema n de a resolució e l a d última) etap la (y gunda
, pasaremos al limite . Supóngas e qu e s e consider a n i un a y ni y dos figura s escalonadas , sin o un a infinida d d e ellas . El nú-mçro d e rectângulo s s e hac e aumenta r indefinidamente , y Ja base ô dei rectângul o má s anch o s e hac e disminui r indefini
- r a, L erro o e esTe cas En . a cero damentéThãcienBotenderla
que siirg e é n è T resultad o de i cambi o de i áre a de i trapeci o curvilíneo por e l áre a d e un a figur a escalonada , vien e dis -minuyendo y tambié n tiend e indefinidament e a cero. El área buscad a S se obtien e com o limit e d e la s área s deTT -gurãs" escalonadas " ~V 5^ íl l procedimient o expuest o e n e l punt o anterior , l o aplicaremos par a calcula r e l áre a d e u n trapeci o curvilíne o en el cas o mu y importante , e n e l qu e l a funció n u=f(x) es una potencia , cuy o exponent e e s u n númer o enter o n o nega -tivo: tji=x''. Para los exponente s ^= 0, 1 , 2 obtendremos la s funciones: y=xP = \, y=x^=x, y=x^. L as gráficas d e esta
s a paralel a rect : un , son n facilidad n co e construye funciones s
a a Ox, que pas a a l níve l d e l a unida d po r encim a d e Ox (fig. 8)
, " 10). ig (f parábola una ) y (fig. 9 o xOy i ângul z de una bisectri
: s s funcione , obtendremo s altos s má s exponente Si tomamo
y=x^, y^x*, y=x^, cuya s gráfica s está n representada s e n la s 13. 2 y , 1 figs. 11 En el cas o e n qu e k es u n númer o impar , la s gráfica s so n simétricas co n relació n al punt o O (figs. 9 , 11 , 13) . S i k es FI G. 1 0 •par, la s gráfica s so n simétrica s co n relació n a l ej e Oy (figs. 8 , . 10. 12) Si la s gráfica s pasa n po r e l punt o O . Qbsérves e qu
e e la n d a aproximació s l mayor e tanto s k, r e cuanto mavo
s o tiemp l mism y a o O, dei punt vecindad la e Oxen l ej gráficas a
o me- abajo) a a o a arrib e (haci u pendient s s a e s ásper tanto má
dida que la s gráfica s s e aparta n de i punt o O. En las figuras 8—1 3 vemo s trapecio s curvilíneo s rayados . La s área s d e esto s s e calcula n co n facilidad , s i ^ =0 y Ã= l.
En el cas o e n qu e k^O, el áre a ACDB es igua l a CD- AC={b—a)-l=b—a; FI O. 1 3 Demostremos qu e par a fe^2, el áre a ACDB es igua l a 4 ^ q3 ^4 ~3 ~~ í s i k=3, entonces e l áre a ACDB es igua l a — ^ , etc. ^n el cas o general , e n qu e k es u n númer o cualquier a n o negativo, demostremo s qu e e l áre a de i trapeci o curvilíne o co -rrespondiente ser a representad a po r l a expresio n — — . Es evident e qu e est e resultad o genera l e s válid o par a todo
s . s arriba , considerado s particulares los caso
/Con el fi n d e contribui r a la comprensión dei problema
, o determinado r numéric n valo s u le daremo e k ali exponent
, por ejemplo , .fe-=5 . Supongamo s además , qu e 0<tí</j . Ex a-minemos, po r consiguiente , l a gráfic a d e l a funció n t/=A:° , y siguiend o e l procedimient o mencionad o e n e l p . 2 , probemo s que e l áre a de i trapeci o curvilíne o ACDB (fig. 14 ) e s igua l 6« —a » ' 4 . Hemo s d e calcula r l a sum a d e área s d e u n gra n númer o de lo s rectângulo s qu e compone n l a figur a escalonad a (fig . 14) . f^ara simplifica r l a tare a e ijamos lo s rectângulo s d e ta l mod
o n est . Co n geométrica a progresió n un s constituya s área que su
e objeto tomemos lo s punto s E, F, G, H, . .., / en el ej e Ox de un a maner a ta l qu e Ja s longitude s OC^^a, OE, OF, OG, O/. OD--=b hagan una progresión geométrica. Designe -mos por n + 1 e l númer o d e término s d e est a progresión , y por q, su razón (puesto qu e b>a, entonces q>\). Obtenemo.s ia s igualdades: OC--=a, OE = aq, OF^aq\ = aq\ .., Oí aq'-\ OD = aq" = b. En la fig 14 está n dibujado s 6 rectângulos v , po r tanto , n+\---T: e n l o sucesiv o supondremo s n tan grande com o s
e , etc 000, n-lOOOOO 10 «= , , n=1000 r ejemplo desee. po
. La s base s d e lo s rectângulo s forma n un a progresió n geo -métrica dê"Tã" mi s m a razó n q: CE=OE-OC=a{q—l), EF=OF—OE=aq{q—l), FG OF^aq^{q-\), ...JD^OD—Ol ^aq-^Hq—X) (e 1 jnú iTiero d e término s d e est a progresió n y de la s qu e s i -guen es igua l a n, y no a n +1 ).
FI G. 14 I„as altura s d e lo s rectângulo s so n la s ordenada s CA, EEi, FFi, ao \; cad a un a d e ella s e s igua l a la quinta po-tencia de la abscisa qu e l e correspond e (no s convenimo s qu e y=x^). Po r consiguiente , CA = OC'' = a^ EE^=--OE^ = a^q\ = a''q^\ GGi = a'^q^\ .... IIi-=OP = a^ql^''-". Advertimos qu e la s altura s d e lo s rectângulo s tambié n forman una progresión geométrica" d e la razón qH=Q'')• Como las bases d e lo s rectângulo s forma n l a progresió n de razó n ^ . y las alturas, l a progresió n d e razó n q^=q''); gntonces la s área s d e lo s rectângulo s debe n forma r un a progresión de l a razó n qq^^=q''{=q''-^^): CE-CA = a{q — \)a' = a'(q—\); EF •EE^=^aq{q—\) a^q' = a^q" (q—l); FG-FF, = aq^q~l)a'q^'' = a*q^^ (q—l); ID- fli = aq"-' ( (/ — 1 ) a V' "-" = a ''í '" "" " ( Í/ — ! )• Por eso , l a sum a d e área s d e lo s rectângulo s qu e e s equiva -lente a l áre a d e l a figur a escalonada , e s l a sum a d e un a pro -gresión geométrica de razó n ^ ^ cuy o prime r términ o e s a " (q~l) y el últim o términ o e s aY^"-^\q—\): è« —a « í q^ + q^ + f + g^i-q+\ r) 0_
'-q^+q^+q^+q^- p y -^^- e b=aq" o qu (hemos aprovechad
• 5 . Hagamo s aumenta r indefinidament e e l númer o n de los rectângulos . Puest o qu e la s base s d e lo s rectângulo s consti -tuyen una progresión geométrica creciente (q>\), la
primera s restantes n la n co n comparació r e a meno á l s ser s Base de está
. Pero, l a sum a d e longitude s d e toda s n bases e s igua l a b—a; por es o a la base CE, le correspond e un a magnitu d meno r qu e ^^^^ es de dr ,_ a^ —a <^ ^ • j^ ^^ ; q-l < h — a E1 segund o miembr o d e l a últim a desigualda d tiend e a cero, cuanHô « aumenta indefinidamente. Dad o qu e e l prime r miem -brò es positivo , deF e tambié n tende r a cero, l o qu e signific a que q tiende a 1. De aqu i s e deduc e qmq^, q'\ y q^ tambié n tiende n a 1; la sum a q'+q'+q-->+q^+q+l tiende a 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =6 , y, po r l o tanto , tod a e l áre a d e l a figur a escalonada , igua l a b»^a* í^ + V^ +í M-í^ + í+ l 3 1707 2 I
tiende a l limit e 6»—a*. El áre a buscad a de i trapeci o curvilíne o deb e se r precisament e igual a este limite : Hemos obtenid o e l resultad o mencionad o par a fe=5. S i realizáramos e l mism o procedimient o par a cualquie r fe natu-ra l, tendríamos : fe+T—• De ta l mod o hemo s comprobad o qu e d área d e u n trapeci o curyilineo, comprendid o entr e do s ordenada s deabscisa s ay b y_ limitad o po r arrib a co n u n arc o d e l a funció n j/ =j; *r es jguãT a ' 6. El resultado dei párraf o anterior , l o hemo s obtenid o suponiendo qu e 0<.a-<b, es decir , par a e l trapeci o situad o a l a derech a de i ej e O / /. S i fl<b<0, la demostración se llev a a cab o de i mod o igual . N o obstante , conservand o l a razó n q positiv a y mayor qu e 1 , tenemo s qu e toma r e í númer o b por e l primer términ o d e l a progresión, y e l númer o a porei últim o término (teniendo e n cuent a qu e |a|>|fti) . Reiterand o e l procedimiento, llegamo s a l mism o resultado : Si k es u n númer o impar , k-^-l será pa r y , po r consiguiente , y a*+ i so n número s positivos , siend o e l prime r númer o menor qu e e l segundo . Po r eso , 5 será, e n est e caso , negativa
; o o curvilíne l trapeci impar e a k e par o qu , dad s lógico esto e
correspondiente s e sltú a po r debaj o de i ej e Ox (véanse la s partes izquierda s e n la s figura s 1 1 y 13). Volvamos a considerar e l cas o d e 0<.a<b. S i dejamo s b invariable y hacemos tende r a cero a, el trapeci o curvilíne o ira extendiend o a la izquierda y , a l se r a =0 . s e transformar á en un triângulo curvilíneo ODB (TIg . 15 ) (consideramo s qu e fe^l). Es evident e que , cuand o a tiende a cero, e l áre a de i trapecio curvilíneo tiende a la dei triângul o curvilíneo . E n efecto, l a diferenci a entr e e l áre a segund a y primera es meno r que e l áre a OCAL, la qué tiend e a cero. Po r otr a parte , cuand o a tiend e a O, e l áre a de i trapeci o curvilíne o tiend e a la magni-tud (iõ que s e infier e d e l a fórmula , ya obtenida). Es por es o qu e e l áre a de i triângul o curvilíne o ODB es igua l a -7-T- , e s decir , e s k+l veces meno r de i áre a de i rectângul o y K B 1 L
0
D X à FI G. 1 5 ODBK, o , qu e e s l o mismo , k+l veces meno r de i producto (ponemos. » ODB o rectangular i triângul s de s «cateto de lo
comillas, puest o qu e s ê trat a d e u n triangul o n o común , sino curv i íneo) . Par a fe=l obtenemos l a funció n y^x; la gráfica será un a rect a (véas e l á fig . 9 ); e l triângul o curvilíne o se transform a e n u n triângul o rectangula r comú n y el áre a de ést e e s yq: j = y ' ^^ ^ product o d e lo s catetos . El resultad o análog o s e obtien e par a e l cas o engu e a<fe<0 _ (el trapeci o curvilíne o s e dispon e a la ízquierHãdél ej e O Í/). Dejando a invariable, hacemo s qu e b tienda a cero . En este caso l a expresio n — — tiend e al limit e —jzTi ej_que será e l áre a de i triângul o curvilíne o correspondiente . Qn friangulo curvilíneo puede considerars e com o cas o particular d e u n trapeci o curvilíneo . D e l o qu e hemo s estable
conserva su validez par a u n triângul o curvilíneo . Bast a sól o poner e n ell a a =0 (si e l triângul o s e dispon e a la derecha dei eje Oy) o ^=^ 0 (s i e l triângul o s e dispon e a la izquierda de Oy). ' ^ - Retornemos , ahora , a l problem a genera l de i exame n d
e Frapiecio un a ACDB . Se s curvilíneos s trapecio " lo áreas 3ê
curvilíneo, limitad o po r e l arc o AB de l a gráfic a d e l a funció n y=f{x), do s ordenada s AC y BD bajadas d e lo s extremo s de i arco a Ox, y el segment o CD encerrado entr e la s ordenada s (fig. 16) . S i OC=a y OD=b, siendo a<b. entonces e l áre a ACDB s e design a por : b \f{x)dx. (•) a En esta expresión cada signo tien e s u propi o sentido . Est á indicada en ella la función f{x), cuy a gráfic a lin^it a po r un a parte un trapecio curvilíneo ; lo s número s a y b determinan las frontera s de i trapeci o mencionad o desd e l a izquierd a y desde la derecha . La expresión (*) no s recuerd a tambié n e l métod
o n lo o e , expuest Este método a ACDB. l áre r e de calcula
s pp. 2 y 3 , consist e e n e l cálcul o d e l a sum a d e área s d e lo s rectângulos qu e compone n l a figur a escalonad a y en el pas o posterior al limite . E l sign o J representa la letra 5 (extendid a por su s extremos) , l a primer a letr a d e l a palabr a latin a summa . Ta l mod o d e escribi r la letra 5 recuerd a qu e elcálcuT õ 3e l área d e u n trapeci o curvilíne o n o s e l im it a co n l a composi -ción de l a suma ; hac e falta , además, pasar a l limite . A la derecha de i sign o ^ , qu e s e denomin a sign o d e intesral (de la palabr a latin a integer) , vemo s u n product o fix)dx. Este producto represent a e n s í e f área"~de l fêcTángul o dê~altur a J(x) y base dx. L aj et ra d qu e preced e a x signific a diferenci a (o el a palabr a latin a differentia ; dx designa una~3TTêrenci a entre do s valore s d e x (véase fig . 16) : dx=x'—x. Los números g V se llaman , respectivamente , limit e inferio r y superior de l a integra l (l a palabr a «limite » s e us a e n est e cas o e n e l sentido d e «frontera») . Así pues , l a expresió n (* ) de i áre a d e u n trapeci o curvilíne o nos da , e n e l prime r lugar , todo s lo s dato s sobr e l a form a de i trapecio y s u tamafi o (número s a y b y l a propi a funció n /W ); e n e l segund o lugar , e l métod o d e búsqued a de i áre
a e rec s d s área e la o d l cálcul n e e e l consist l cua o e dei trapeci
-tângulos cuya s altura s y bases so n f{x) y dx, respectivamente, composición de la s suma s d e esta s área s y paso posterio r a l limite (el propi o sign o d e l a integral) . Reiteramos qu e l a anotació n indicad a arrib a expres a e l área de i trapeci o curvilíne o ACDB. Haciendo uso de l a nuev a desigpación. podemo s anota r lo s resultado s obtenido s e n e l : e sigue forma qu la en p. 5 b a (donde k es u n númer o enter o no . negativo) . 8. Examinemos , alguna s propiedades, . más ^ simpJes , d e la s integrales. Es evidente qu e e l áre a ACDB, sumada al áre a BDD'B' no s d a e l áre a ACD'B' (fig. 17) . Per o e l áre a ACDB b es igua l a J f(x)dx, la dei trapeci o BDD'B' es igua l a a b J f{x)dx y e l áre a tercer a (de i trapeci o ACD'B') es igua l c c a ^ f{x)dx. Po r consiguiente , tenemos : a b c c ^f{x)dx+'^f{x)dx=\^fix)dx.
Aq ui, a<b<c. En el cas o d e qu e a<c<b (fig. 18 ) obtenemos : c b b '^f{x)dx+'\fix)dx=\f{x)dx, a c a teniendo e n cuent a qu e e l áre a ACD'B', a l sumari a al áre a B'D'DB no s d a e l áre a ACDB. y — r
0
D b FI G. 1 7 y c y 0 C 0' 6 D " FI G. 1 8 Al introduci r l a noció n d e l a integra l ^ \(x)dx e n e l p . 7 , a considerábamos qu e a<.b, es decir , e l limit e inferio r e s meno r que e l superior . Precisament e po r est a razó n e l áre a BDD'B', donde 0D =& , O D'= c, siend o b<c (fig. 17) , pud o se r expre -c sada com o J /W^A ;. Si b fuera mayor qu e c (fig. 18) , l a b expresión dei áre a tendri a l a form a ^ f(x)dx (cad a ve z e l c limite inferior e s meno r de i superior) . En el prime r cas o ' c b la diferenci a d e integrale s f {x)dx—f {x)dx era igual a a à c J f(x)dx; en el segund o cas o l a diferenci a llev a e l sign o me -nos: —J f{x)dx (hemos aprovechad o la s igualdade s d e im c tegrales escrita s má s arriba) . Par a consegui r qu e un a mism a fórmula pueda ser aplicad a e n ambo s caso s no s convenimos : o F5>c ^ cuand escribir gue
c b '^f{x)dx = -lf{x)dx. b c En otras palabra s admitamos , ahora , tambié n l a integral , cuyo limite inferior e s mayo r qu e e l limit e superior , consi
- n a co o tomad o curvilíne n trapeci e u área d como derándola
el sign o contrario . Entonces , e n luga r d e do s fórmula s di - ferentes X c b c lf{x)dx-lf{x)dx=\f{x)dx (b<c} a a b Ó c b b [f{x)dx-\f{x)dx = -[f{x)dx (b>c) a a c escribiremos e n tod o caso : c b c \f{x)dx-\f{x)dx==^\f{x)dx (b=^c). a a b Cuando b=c, el prime r miembr o s e reduc e a l cero ; po r b eso e s natura l considera r l a integra l ^ f(x)dx, suponiéndol a igual a cero. Así pues . cualquier a qu e se a l a correlació n entr e lo s l
i-mites: b<c, b>c ó b=c, siempr e s e pued e usa r l a fórmul a c b c a a b Es ta fórmula puede se r representad a e n l a forma : b c c \f{x)dx-{-\f{x)dx=\f(x)dx. a b a Proponemos qu e e l mism o lector , liaciend o us o d e lo s resultados obtenidos , s e convenz a d e qu e l a fórmul a ^ válid a par a a y cualesQuiera (y no sólo par a 0< a< í> oa <& <0 ). • 9 . Supongamo s qu e f{x) es un a sum a o una diferencia de dos funciones : fix)=gix)+h{x) o fix)=g{x)-h{x) (por ejemplo, f{x)=x'>-x^). E n est e cas o l a integra l d e f{x) puede ser cambiad a po r l a sum a o diferencia de integrale s d e la s funciones g{x) y h{x): b b b lf{x)dx=\g{:()dx+lh{x)dx a a a b b b s óyix)dx=lgix)dx-lh{x)dx]. f \ Por ejemplo . t) o u J (x'>—x'') dJ C = S x^dx— \ dx a a b*—a* bO — a« Comprobemos est a propieda d d e la s integrales , limitándo -nos sól o a l cas o d e un a suma . A si se a f(x)-=gix)+h(xy, las gráficas d e tre s funcione s g{x)rh{x)~Y f{x) está n expuesta s en la fig. 19 . Es necesari o demostra r qu e b b b ']f{x)dx=lgix)dx+\h(x)dx, a a a es decir , e l áre a ACDB es igua l a la suma de la s área s AiCiDiBi y A^CiD^Bi. Dividamo s e l segment o de i ej e Ox entre lo s punto s x=a y x=b en domínios parciale s y cons-truyamos figura s escalonada s correspõnHíênte s par a todo s los tre s t r apee i o s curvi í íneós , representado s e n l a fig . 19 . y
c,
0,0
y a é i b X. O2 0 ym
c
, y= '(i
D b X '1 --N0
>x X FI G. 1 9 Es evidente , qu e e l áre a d e cad a rectângul o e n l a part e infe -rior de i dibuj o e s igua l a la suma de área s d e do s rectângu -los situado s sobr e e l pr i mero , e n la s parte s medi a y superior dei dibujo . Po r ello , e l áre a d e l a figur a escalonad a inferio r es igua l a la suma de área s d e do s figura s escalonadas , sifúa -4 1707 2das po r arriba . Es ta correlación entre la s área s n o cambia
, e Ox i ej o de i segment n de e partició o d l mod a e l fuer sea cua
entre lo s punto s x=a y x=b. S i e l númer o d e domínio s par -niales crec e indefinidamente , entonce s su s longitude s tiende n b a cero ; e l áre a inferio r e n est e caso , tiend e a l limit e ^f{x)dx, a mientras qu e la s do s áreas , dispuesta s arrib a tiende n a sus propios limites : '^g{x)dx y lhix)dx. Como el limit e d e l a sum a e s igua l a la suma d e limites , tenemos: b b
lf{x)dx='^[g{x)
+ hix)]dx==
a a b b ==lg(x)dx+'ih{x)dx. lo qu e s e tení a qu e demostrar. e demuestr o s o mod Del mism
a qu e b b b [\g{x)-h (x)] dx=^g(x)dx-\h (x) dx. a a a Es fáci l ve r qu e l a propieda d establecid a d e integrale s es válid a tambié n par a e l cas o e n quef{x) es un a sum a d e mayo r número d e sumandos . Po r ejemplo , s i f {x)=gix)—h{x)+k(x), entonces: b
»
i r [g ^x)-h {x) + k {X)]dx^\[g{x)-h (x)] dx+]k{x)dx = a " í ' b b b = lg(x)dx — 'j^h(x)dx + lk{x)dx. a a a • 10 . Aclaremos , qu é correlació n exist e entr e la s integrale s 6 b \t{x)dx y ]Cf{x }dx, a o donde C es u n númer o constant e cualquiera . Por ejemplo , cuá l e s l a diferenci a entr e do s integrales : b b \x^dx y \2x^dx. Demostraremos qu e b b \cf{x)dx = c\f{x)dx; por ejemplo , \2x^dx^2lx^dx = 2 ' ^ ^ ' -^ . Para simplificar l a tarea , asignaremo s a C algú n valo r2 -^ C= s , hacemo r ejemplo . Po numérico determinado
. Ahora , tenemos qu e compara r la s integrale s b b lf{x)dx y l\f{x)dx. a a En la fig. 2 0 estár i representado s lo s trapecio s curvilí -neos cuya s área s s e expresa n mediant e la s integrale s mencio -nadas. Dividamo s e l segment o de i ej e Ox entre lo s punto
s construyamos igura s y s parciale n domínio x=b e x=a y
s escalonadas correspondientes . Es fácil convencers e d e qu
e o e i dibuj r de e inferio e part o d a rectângul e cad a d el áre
s igual a la mitad dei áre a de i rectângul o situad o po r arrib a (de l a part e superio r de i dibujo) . Po r es o e l áre a d e l a figur a escalonada inferior e s do s vece s meno r qu e e l áre a d e l a fi -gura escalonada superior. Pasand o a l limit e (com o e n e l p . 9) , observamos qu e tod a e l are a de i trapeci o curvilíne o inferio
r o superior o curvilíne i trapeci a de l áre e e r qu s meno s vece es do
: b b l\f{x)dx = ^^f[x)dx. a a En nuestro cas o e l númer o C era positivo. En el cas o d e C negativo, po r ejempl o C== — ^, la gráfica tendrá l a form a expuesta en la fig. 21 .
Comparando ahora el áre a ACDB con el áre a A''C"D"B", encontramos n o sól o e l cambi o d e l a magnitu d absolut a de i área (s e h a reducid o do s veces ) sin o tambie n e l cambi o d e A
C
y-y
;
e D ( y jc
IC
y yi
\ \1
y-Ú
) 6 a C ^ FI G. 2 0 FI G. 2 1 signo. Po r consiguiente , Por supuesto , hemo s elijid o C= ±Y sólo con el objet o de mayo r clarida d d e razonamiento . En el cas o general , para C cualquiera, e s válid a l a igualdac i b b \c^(x)àx.^c\t{x)áx. a a Como ejemplo dei us o d e la s propiedade s d e l a integral , demostradas e n est e párraf o y en el párraf o anterior , calcule - 1 mos l a integra l ^ {3x^—2x+\)dx. Obtendremos : o 1 1 1 1 S (Zx'-2x+l)dx=l Sx^dx— J 2A :djc + J 1 ÍÍA; = o 0 0 0 1 1 1 = 3 5 A T^ ^C ÍA :— 2 lxdx + '\^x'>dx = o 0 0 -à—^ 2— \_-2
4+
1
= 1 -.1 1. Examinemo s l a funció n 1 cuya gráfica lleva el nombr e d e hipérbola equilátera y está expuesta en la fig. 22 . Más arrib a obtuvimo s un a fórmul a par a e l trapeci o curvi -líneo eu la que k^O: k + l Si 'l a aplicaino s a l cas o dado , entonces , observand o qu e k+ 1=0 a ex o un o miembr l segund n e s e 1, õEtênêmo y~í)*+i=a'*+*=
-presión que n o tien e sentido . Po r consiguiente , est a fór -mula no es válid a par a e l cas o e n qu e k=l. ' La invalidez d e la fórmula para calcular l a integra l b _ J noe s u n obstáculo , si n embargo , par a qu e estudiemo s a algunas propiedade s d e est a integral .
Demostremos qu e s i aumervtamo s lo s valore s d e a y fe o
los s multi i lo , s s decir , e e veces o d o númer n mism disminuimos u
-plicamos po r u n mism o q>0>, obtendremos u n nuev o trapeci o curvilíneo ãe la misma ãrea. E st ^ c lã rõ ^ê la propiedad men-cionadSlse compfueb a baj ò e l supuest o d e qu e l a curva , cuyo s arcos lim it an desde un a part e lo s trapecio s curvilíneos , e s FI O. 2 2 Qbligatoriamente un a hipérbol a equilátera . E n otra s palabras , bq b aq a sea cua l fuer a fl(o>OÍ. Para que l a cõmprobàció n se a má s fácil , asignaremo s a <7 un valor numéric o determinado , po r ejemplo , ^= 3. En la fig. 2 3 s e expone n do s trapecio s curvilíneo s corres -pondientes, ACDB y A''C'D'B'. E l primer o d e ello s e s es -trecho per o má s aito . El segundo e s má s ancho , per o bajo . Es necesari o demostra r qu e e l aument o d e l a anchur a e n e l segundo cas o e s compensad o po r l a disminució n d e l a altur a de un a maner a ta l qu e e l áre a qued a invariable . Co n est e objeto dividamos e l prime r trapeci o e n uno s trapecio s ele -mentales, má s estrecho s todavia , y cambiemos po r u n rectân
- s tre i aumentamo . S . 23) s (fig s último e esto o d a un a cad gulo
s veces l a abscis a d e cad a punt o d e l a figur a escalonad a ACDB, FI G. 2 3 dejando invariable s la s ordenadas , obtendremo s l a figur a A'C'D'B' cuy a áre a e s tre s vece s mayor , puest o qu e cad a rectângulo se hiz o tre s vece s má s ancho . Per o lo s extremo s ^e ordenada s y a n o s e sitúa n e n nuestr a hipérbola . E n efecto , esíãTiipérEõla es un a curv a d e l a proporcionalida d inversa , í/ =-j, y si deseamo s qu e lo s punto s n o s e aparte n d e ella , deberemos disminui r l a ordenad a tanta s vece s com o hemo s aumentado l a abscisa . S i disminuimo s tre s vece s toda s la s ordenadas d e l a figur a A'C'D'B', obtendremos la otra
fi- , limitad o curvilíneo n trapeci es u sta E gura, A"C'D'B".
o por arrib a co n u n arc o d e l a hipérbol a y=— , y de lo s costados , por ordenadas , construída s par a x=3a y x=3b. Los rectân-gulos correspondiente s tiene n base s tre s vece s mayore s qu e las d e lo s rectângulo s originales , y alturas tre s vece s menores .
Por ell o la s área s d e lo s rectângulo s obtenido s sonliguale s a las de lo s rectângulo s originales . Po r l o tanto , la s área s d e do s figuras escalonada s so n iguale s com o so n su s limites , es/decir , las área s d e lo s trapecio s curvilíneos : \ qb b qa a Hemos demostrad o l a propiedad , suponiend o qu e a<fe . No obstante, e s valid a tainbién , cuãnd õ a=b y cuand o a>f> . En efêcTo. "s j a=fe T entonce s aq=bq, y la s do s integrale s s
e o válida e siend d sigu a igualda e l o qu e mod o d a cer reducen
. Si a>b, entonces aq>bq\ n est e cas o s e verific a l a igualda d aq a [x-^dx = \x-^dx bq b (ahora b< a yp or es o b y a cambian de lugares) . Pero , segú n b lo convenid o e n e l p . 8 , par a e l cas o e n qu e a>b, ^ f{x)dx b significa —^ f{x)dx. Po r consiguiente : a bq aq b a ^x-^dx = — 5 dx, 'j^x-^dx = —\x-^dx a b aq bq y, com o lo s segundo s miembro s d e esta s correlacione s so n iguales, debe n se r iguale s tambié n lo s miembro s primeros : bq b ^x-^dx=^x-^dx. aq a Así pues , l a correlacíór i comprobad a qued a válida , cua l -quiera qu e se a l a correlació n entr e a y b: a<.b, a=b ó d>b. b * 12 . Hagamo s a= l y examinemos J x~Hx. Si b>\, la 1 integral indicad a expres a e l áre a de i trapeci o curvilíne o ACDB (fig . 24) . S i b=l, la integral s e reduc e a cero. Po r f in
. á l ser a integra e l r d e inferio l limit s e 1, entonce )< <Í s 0 si e
menor qu e e l superio r y en este cas o tenemos : b 1 \x-^dx = — \x-^dx. 1 b Esto signific a qu e l a integra l s e diferenci a de i áre a de i tra -pecio curvilíne o B'D'CA sólo po r e l sign o (fig . 25) . E n tod o caso posible , par a cualquie r númer o b positivo la integral ^ x~Hx yene valo r bie n determinado . Est e valo r e s positivo , cuando b>\, es nul o cuand o b=\, y e s negativ o par a fc<l.
b • Es evidente qu e l a integra l J x-^dx e s un a funció n d e b. 1 Esta funció n desempen a u n pape l mu v important e e n la s matemáticas; l a llama n logaritmo natural de i númer
o b las primera signitican y n letras / as . L n asii^lnfe y designa
s letras d e término s latino s «logarithmus » y naturalis». As i: b '\x-^dx = \nb. 1 Indiquemos alguna s propiedade s de i logaritm o natural . Ante todo , tenemos : ln 6> 0, s i b>l; In 1 =0 ; ln 6< 0, s i b<l. Obtengamos ahora , l a propieda d fundamenta l de i logaritmo : logaritmo de un producto es igual ã la suma de
logaritmos de los factores,
por ejemplo : In 6= ln 2+ ln 3. En el cas o general : ln(èc) = l nb +l nc , es decir , bc b c 5 x -i dA; = 5 x -i Í/A; + 5 X-» dx. 1 1 I En efecto, segú n l o demostrad o anteriormente : c qc \x-^dx= J X -M J C 1 q para cualquie r q>0. Hagamos Q=b, entonces tenemos : c bc \x-^dx= \x-^dx. 1 b Por eso , b c b bc \x-^dx + [ X-' dx = J x-i dx + 5 x-'dx. 1 1 1 í» Según la propiedad sacada en el p . 8 , l a últim a sum a pued e ser sustituid a po r l a integra l ^ x-^dx, as i qu e 1 6 c bc ^x-^dx+^x-^dx^^ lx-'dx, 1 1 1 -que e s l o qu e teniamo s qu e demostrar . - D e est a propieda d s e puede n saca r alguno s colorarios . Sea b>0, entonces, segú n l o demostrado , tenemos : 1 \ b^ ln l = ln =l n6 + ln -^ , y, com o I n 1 =0 , tenemos : ln 6+ ln y= 0, d e donde : ln -i = — In fe . Por ejemplo , In y = —l n2 . Luego , s i fe>0 y c>0, entonces: ln -^ = l n ( cy ) = l nc + ln y = ln c— In fe ; en otras palabra s el logaritmo de un cociente es igual a la di' ferencia entre los logaritmos dei dividiendo y divisor. La propiedad fundamental de i logaritm o s e h a formulad o para e l product o d e do s factores . Per o e s tambié n válid a par a el product o d e cualquie r númer o d e factores . As í po r ejemplo , contando co n tre s factores , tenemos : ln(fecd)=ln[(fec)íi] = l n( fe c) +l nd =( ln fe +l nc )+ ln d= ln fe + + ln£-+lnd . Es evident e qu e e l logaritm o d e u n product o e s siempr e igua l a l a sum a d e logaritmo s d e lo s fai?tores , se a cua l fuer a e l número d e estos . Aplicaremos est a propieda d a un [logaritmo d e l a potenci a .cuyo exponente e s u n númer o positivo . Encontramos: lnfe* = ln(fefe...fe) =ln fe + ln fe +. .. +I nf e = fe Infe . k vece s * veces Por ejemplo , I n 1 6= ln 2* =4 1n 2.
Sea c=yb; entonces c*=fe , y, po r l o tant o Infe = ln c* = felnc.= feln , de dond e Ih /fe = ll nò . Por ejemplo , In yj =\\n2. Si c= fe y, dond e p y q son número s entero s y positivos, conforme a las propiedades demostrada s tenemos : in b T= ln |/ V= |l nf e' ' = - J--p ln fe = -^ ln fe . Por consiguiente . l a propieda d lnfe* = felnfe es válid a n o sól o par a k entero y positivo, sin o tambié n cuand o k e s un a fracció n de i tip o y . Es fáci l ve r qu e l a mism a propieda d e s válida , cuand o k es ni ^t iv o (enterõl)Traccionario) . E n efecto , s i k<.Q, enton-ces —fe> U y érresíê'Tãscnene mos: ln fe *= ln — = —I nf e-* = -(— /s Infe) =f e Infe . Y, po r fin , est a propieda d e s válid a par a fe=0: 1 lnfe " = ln 1 = 0 = 0-lnfe. Así pues , par a cualquie r k racional (positivo , igua l a cero o negativo, enter o o fraccionarioy"se pued e ãTirma r qu e Infe^^felnfe. Podríamos comproba r qu e est a correlació n e s válid a ja in -bién para k irracional ; po r ejemplo , In 6 »^ = 1/ 2 Infe . Aceptemos est a últim a afirmació n sin demostraria y e n l o sucesivo hagamo s us o d e l a propieda d siguíente : e / logaritmo natural de la potencia es igual al exponente de la potencia mul-tiplicado por el logaritmo natural de la base de la potencia. La propiedad conserva su validez par a todo s lo s valore s posibles de i exponent e k, tanto racionale s com o irracionales . * 13 . Ahor a no s dediquemo s a l cálcul o d e logaritmos . S u-pongamõs qu e e s necesari o calcula r I n 2 , e s deci r encontra r el áre a de i trapeci o cuTviline o ACDB, expuesto e n l a fig . 26 , a. Dividamos e l segment o CD en 10 partes iguale s y tracemos ordenadas correspondientes : KiLu K^L^, K»L^. Con el objeto de hace r má s exact a l a aproximació n d e I n2 . cambie -mos cad a un o d e lo s die z trapecio s curvilíneo s estrecho s po r los traj)ecios_rectiHneo s comune s (n o po r rectângulos , como hemos procedid o antes) 7 Co n est e 'fi n unamo s mediant
e a, y L puntos U y Li, s A s punto s lo segmentos rectilíneo
et c, .. ., L, y B. Com o l a fig . 26 , a no presta la posibilídad de distingui r lo s trapecio s curvilíneo s d e lo s rectangulares , la figur a 26 , fe demuestra el trapeci o e n un a escal a aumentada . El áre a d e cad a trapeci o e s igua l a l product o d e l a semisum a dgJasSases"por l a altura . En nuestro cas o toda s la s altura s iguales: son C/ CI = / CI A: 2= .. . =K ,D = 0, 1.
Por es o la s área s d e lo s trapecio s s e expresará n así : i£ Wi .O ,l ; Mi +M i. o. l; 1a sum a d e esta s área s e s igua l a : „ , (AC+KiL,) + (K,L^ + / (. L; ) + . . • + {K,L, + BD) Ó 0,1(0,5 AC+ KrL^ + K,L^+ .. • + K^L, +0,5 BD). Nos qued a po r adverti r qu e toda s la s base s d e lo s trape
- n a funció e l a d a gráfic e l s d í ordenada n s n e cios representa
< /= — , correspondientes a las Síguierítes abscisas : 1; 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 1,7 ; 1,8 ; 1,9 ; 2 . Por eso : ^C = 4 = 1,000 ; ^i Li = -^ = 0,909; 7^^^ , = = 0,833 ; /C,L 3 = y ^ = 0,769; 7C ,L .= i ^ = 0,714; /C ,L ,= j ^= 0,667; iC ,L ,= jig = 0,625 ; /C ,L ,= j |^ -0 ,5 88 ; K8 L, = j ^ = 0,556;. A:,L, = -ig = 0,526 ; fiD = | = 0,500. Por consiguiente , l a sum a d e área s d e lo s trapecio s e s igual a : 0,1(0,500+0,909+0,833+0,769+0,714+0,667+0,625+ +0,588+0,556+0,526+0,250)=0,6937. Escrutinando co n atenció n la figura 26, sacamo s l a con -clusíón de qu e l a sum a d e la s área s d e lo s trapecio s no s pro -porciona una magnitud que es^u n poc o mayo r e n comparació n jçon el áre a de i trapeci o curviTmeo . Est o signific a qu e iiemo s encontrado e l valo r aproximad o d e I n 2 por exceso , e s decir , In 2 e s u n poc o meno r qu e 0,6937 . Más abaj o conoceremo s otr o métod o de i cálcul o d e loga
- con n 2 r I , obtene n particular , e s permitirá e no ritmos qu
mayor grad o d e precísión . * 14 . S í calculamo s la s abscisa s a partir de i punt o C (no dei punt o O, como antes) y designamos nueva s abscisa s co n l a letra t (fig . 27) , l a correlació n entr e la s abscisas , l a nuev a y l a anterior , d e u n mism o punt o s e expresar á así : Es ta correlación será válid a par a cualquie r punto . s í consi -deramos í> 0 cuand o x >l , y í^O" cuand o x^l. A l cambia r xp or l+t„ l a funció n Í /= ^ tomar á l a forma : L a FI O. 2 7 gráfica, si n embargo , n o experiment a câmbios . Tod o l o nuev o que s e introduc e junt o co n t se réSuc e sól o al nuev o orige
n al nuev , o tanto r l y, po ) e O lugar d en (C s de coordenada
o eje Cy (paraleloal ej e Oy); la curva no cambia su forma. Qued
a o e Pero, cuand a ACDB. l áre , e r supuesto invariable, po
l valor d e x servia de abscisa , est a áre a s e expresab a mediant e al t^ in la 1+ 3 S x-^dx = ln{l+fi) (aqui p= CP ). Ahora, cuand o po r abscis a s e tom a e l valo r d e t, la misma P área se expres a po r l a integra l J (l +/ )-»d í. Comparand o
o
1 ,estas integrales , obtenemo s
ln
(l
+P
)=
S
(l
+0
-M
/.
o
Indiquemos a l a siguient e identidad : Se obtien e e n seguida , s i observamo s qu e e],.^rimg r mmoiÈrff razón. la , r término cuyo prime geométrica esjiiiaLprogresión
"yel últim o términ o so n l a unidad , í y respectivamente
. e e qu e deduc ' s a Í3entidá3 Dê" est
1 /2 n l—t + t^ — t^+...—t'"-'' Por esto :
ln
(l+
P) =
S
o
dt. Bajo e l sign o d e la integral e l luga r d e l a magnitu d {l+t)~^, l o ocup a ahor a l a expresió n má s complicad a que a integra e l s qu a sabemo . "Y s sumandos e mucho a d a sum es un
l a l l a s igua funciones e de diferencia una de a o a sum de un
suma o diferencia de las integrales d e esta s funciones . Por consiguiente ,
ln
(l+
p) =
p P P P P = ^dt — y dt + dt — ^t"dt +... — y^"-^dt + o Sabemos calcula r cad a integra l e n e l segund o miembr o d e la igualdad , galv o la última. A saber: P P P1'""=^
Í
'-''
"=
S-De ah i s e provien e qu e,„„+p,==(p-^+-£-í
^+...-Ç) +
|a
. <.
o
La expresión entre parêntesi s e n e l segund o miembr o d e la desarrollado segú grado 2n, de polinómio un es igualdad
n e p s d crecientes potencia . S i e l valo r d e p está conocid o y
, r (puede se positivo entero y o n l númer o e además, elegid
cualquiera), e l valo r de i polinómi o s e calcul a co n facilidad
. a integra e l o d 1 cálcul n ^ e e d consist única dificulta La
l
o
Demostremos ahora , qu e e n e l cas o e n qu e — l< p< l,se s n i tomamo , s e quiera o s a com n pequen a ta puede hacerl
lo ), s +P (i ln o , calculand . Entonces suficientemente grande
e n u á e e resultar o qu l l a integra a últim r l puede desprecia
n e , aproximadament r consiguiente . Po error insignificante
íendremos:
ln
(l
+P
)-
P-
+ ^
-P
* •
3 4 ' • • • 2n • • 15 . Co n e l fi n d e evalua r e l erro r d e est a igualda d apro- a integral despreciad la r a examina hace falt ximada
P t2n dt. + / . 1
o
Supongamos a l principi o qu e 0 <p< .l. E n est e caso t n e integració s d s limite e lo o d o dentr e positiv es siempr
y, , por consiguiente 0 < ^ < í -. Esto signific a qu e l a gráfic a d e l af un ci ón y= se encuentra ^or debaj o d e l a gráfic a d e l a funció n y^^t^" (fig. 28) ; po r es o efarea CEÃi e s meno r qu e e l áreaTfi/l , e s decir , P P
Así, e l erro r qu e provien e d e l a igualda d aproximad a e s menor que"f^"_|^^ 2 dad o qu e 0< P< 1, s e pued e hace r est e error ta n pequeií o com o s e quiera , cuand o n es suficientement e grande. Hagamos , po r ejemplo , P= l. Entonce s la fórmula, obtenida no s da : , „ , 1 , I 1 , 1 1 , . 1 1 con un error inferio r & 2^ \ ^ ' deseamo s utiliza r est e métod o para calcula r I n 2 con un error inferio r a 0,001, deberemo s FI G. 2 8 hacer qu e se a 2 jj ^< 0, 00 1, ê s decir , 2n +l> 10 00 ; est a con -dicíón puede se r satisfecha , poniend o 2a;^lQQ0 _ Lo
último d aparecerá a igualda e l o d r miembr el prime en que significa
n tra- un Es . r determinada e se a deb a sum , cuy 1000 términos
bajo desmesurad o y pronto veremo s com o s e pued e evitarlo
, . n 2 a I a par a fórmul e otr o d haciendo us
»16. Volvamo s a examinar la integral j j^ ^y d t, supo -0 niendo, est a vez , qu e —1 <P <0 . Ya sabemos qu e p
í
t^"dt U La integral Jj q; ^ e s igua l a l áre a d e l a figur a ABCK, rayada en la fig. 29 . L a figur a indicad a est á situad a po r arrib a dei ej e Ct, dado qu e y=j:çi>0, cuando 1 . Po r eso ,o
el áre a ABCK es positiva , e s decir , la integral J "Çq ^ e s una magnitu d positiv a qu e s e diferenci a d e l a integra l J ' P t^"dt l+t sólo po r e l sign o y, po r consiguiente , su s módulo s so n equiva - lentes: ] l + ] l + t Observemos luego , qu e par a/>p
yp>>—
1 s e verific a l a desi -guãldãd 1+ /> 1+ P> 0, por l o tanto . l + t i + p (2n<
t ^ l + 1 + P • Esto signific a qu e l a gráfic a d e l a funció n í/=y7p - e n e l segmento p </<0 pasa po r debaj o d e l a gráfic a d e l a funció n í/ =~ ^( fi g. 29).^Po r ello , e l áre a ABCK es meno r que ABCL: o o Ç t^"dt C t^"dt J 1 + í < J 1 +p •El segund o miembr o d e l a desigualda d s e calcul a eo n f a-cilidad: ' dt = • P i +
j
t^" dt = P2 « + 1 •( 2n +l )( l+ P) (esta magnitud es u n númer o positivo , dad o qu e P^^"^^<Q , 1+ P> 0 y 2 n+ l> 0) - Po r consiguiente , R o o f i P Por ello , desprec i and o el sumand o \ n l a expresior t o para ln (l +P ), cometemo s u n erro r inferior , e n s u magnitu d « p2 .( _ 1 < 0) Elerror P) (l + l) a+ 2r —( o l númer absoluta, a
tiende a cero, cuand o n v a creciend o ilimitadamente . As i, e n e l interval o —1 <P <0 la fórmula aproximada ,„ <, +w «p -Ç +Ç -Ç +. .. -e es válid a co n e l erro r inferio r a ~ (2 n- t-1)( l- |-P) ' Supongamos, po r ejemplo , qu e p= —^ . Entonces . e l error d e l a fórmul a aproximad a ser á inferio r a 1 22 « + l ' (2 n + l ) 1 (2n + l) 22 '' • 2 Si tomamo s rt=4, la última fracción será igua l ^ = g7^ g = == 2^ <t ''0 00 5. Po r consiguiente , co n est e grad o d e precisió n podemos escribir : , 1 1 1 1 1 1 In -í T ' 2 2 2 2. 2 2i'.3 2'-4 2». 5 1 1 1 26 .6 2 '-7 2S-8 " Realicemos lo s cálculos : y = 0,5000, 2^ ^ = 0,1250, 2^7 3 = 0,0417, 24^ ^ = 0,0156, 2^ = 0,0062 , = 0,0026, ^ = 0,0011 , ^ = 0,0005 , Obtenemos: ln 4-» —0 ,6 92 7» —0 ,6 93 con error inferio r a 0,001 (tomamos e n cuent a qu e l a propi
a n adi , e 5 y a 0,000 e hast r d n erro r u puede contene fórmula
-ción, u n erro r d e hast a 0,0000 5 pud o surgi r com o resultad o de l a reducció n d e cad a un o d e och o sumando s a una fracción decimal). Dado que I n y =— In 2, tenemos : ln2«0,693. Si e n l a fórmul a aproximad a par a ln (l +P ) ponemo s 2 ' 1 P= —, podemos calcula r de i mism o mod o In-g , y po r l o tanto, ln 3= —l uy . E n general , a l toma r P=— -^ç^, obtene
-/ k \ pjj ^- l— (^ ln mos: =ln ^3 pj , y , po r consiguiente , In {fe 4-l)= =— ln r4 -r . N o obstante , est e métod o d e cálcul o d e to s loga -ritmos sigu e siend o mu y laborioso . As i po r ejemplo . s i de -searamos cãlcular~TnTl , entonces , tomand o *+ I = l l, e s decir ^= 10 , deberíamo s pone r p= —j ^. En este cas o e l erro r de la fórmula aproximada seria inferior a = «0 ,9 U fi -» y« 0, 83 ; í' ?r «0 ,6 9; í !2 r-0, 48 ; Tenemos, pues : yy »0 ,9 1; ^ Y^ J r^^,^^, _ v. ,v ,. , 0,29;
(
!2
)-«0
,0
8;
(|5)".
0,006: ({ ^y » 0,005 . Por consiguiente , sól o e n e l cas o e n qu e 2 «+ l= 65podemos a par a aproximad a fórmul e l r d l erro e e garantizar qu
a e l cálculo de In-r r ser á inferio r a ^•0,005»0,001. Es evident e qu e lo s cálculo s d e In-j^ j será n demasiad o l a-boriosos, y a qu e debemo s calcula r l a sum a d e 6 4 sumandos : 11 2 V ll j 3 V ll J • • • 64 Vi l j • * 17 . L as conclusiones relativa s a la fórmula aproximada
para e requereri , qu a fórmula r otr n busca s hace P) no (l + ln
a l a menor cantida d d e operaciones . Ta l fórmul a existe . Par a encontraria tomemos u n númer o k, entero y positivo, v haga-mos P= 2F h' Entonce s tendremos : •I nf l' ' 1 . 1 3(2fe + 2 ' 1) ;+ 2* ( 2k^l 2 '2k+l l)« ' • 1 4( 2Ã -h l) *'' " • • • " ^( 2/ 1— 1) (2 ft -t -l )2 "-i 2rt(2fe-|-1)-" • El erro r d e est a igualda d aproximad a e s inferio r a ' Tomemo s ahor a P negativo, igua l a i- «+ )2 -l -t fe (2 l) n+ (2 —2^q7j . Obtendremos otr a igualda d aproximada : In(^l 2k J 1 1 1 2k+l 2( 2/ j+ l) 2 3(2k + l)3 1 1 4 (2J t + l) * (2 n— l) (2 fe +2 n( 2f e-fl )í «' que no s d a e l valo r d e I n ( 1 2/1+1 con el erro r inferio r a: -1 (2 fe +l )2 « + 1-(2« + 1 )( i- 2-Í t' 1 1 2fe-i-l 2k ' 2n+l ' ( 2è +l )2 " + i • Sustrayendo, miembr o a miembro, l a segund a igualda d apro -ximada de la primera, encontramos : In 1 + 1 2 , 2 In 1 -1 2f e+ l 2 2fe-f-l I 3(2fe + l )3 ^5 (2 /; +l )5 (2 /1 -1 ) ( 2í> +l) 2'" -i * El erro r d e est a igualda d aproximad a n o e s superior , e n su magnitud absoluta, a la suma de errore s qu e admite n las -fórmulas par a I n ( ^1 +2 ^) y I n 1 — . Po r ell o e s inferior a 1 1 2k+\ 1 2/ í+ l (2f e + l) 2n + i ~ 2k 2/1-1-1 (2/ ! + l )2 " + i " _4 fe -| -l 1 1 ^4k + 2 1 X 2k 2n+l ( 2f e+ l) 2« + i 1 1 2k 2/!-1-1 X (2 /! -H l) 2« + i k(2n+l){2k+\)^''-Transformemos la diferencia de logaritmos , observand
o . Obtene i cociente o de l logarftm n e r co e coincidi a deb que ell
-mos: 1 In 1 1 2A-f-l -In 1 = ln 2k+l 1-; 1 1 A "2 fe +i ; 2fe-f 1 = l n ^ = l n ^ = ]n(/fe + l) -ln /fe .
As i, + (2«—1 ) ( 2fc +l) 2" -i con e i erro r inferio r a 4- • ' ' k 2n+ l (2fe+l)2« -Es ta es l a fórmul a buscada , ^ a fórmul a permit e calcula r \n(k+\), si s e conoc e Infe . Aprovechand o l a igualda d I n 1 =0 y poniend o e n ell a k= \ encontraremo s In 2 co n erro r in -ferior a 1 J _ 2rt+l • 32" • Tomemos rt=õ. Se puede afirma r qu e e l erro r ser á inferio r a • gíõ = n .5904 9 <0,000002 . Po r consiguiente : In 2 = l n2 — In l »- ^-fõ ^H -À -+ + ' ^ ^ 7-3 5-3» 3.33 ^ 9-3» con erro r inferio r a 0,000002. Transformand o toda s la s cinc o fracciones e n la s fraccione s decimale s co n sei s cifra s despué s de l a com a (e s decir , co n erro r inferio r a 0,0000005) y sumán-dolas, obtendremo s e l valo r d e I n 2 con error inferio r a 0,000002 ^ 0,000000 5 • 5<0,000005: ln2»0,693146»0,69315. Hagamos ahor a e n l a fórmul a (* ) k=2 y «= 3. Resulta : In 3 -I n 2 | + ^ + ^ « 0,40546 con erro r inferio r a • y • ^ = yj^^^ggs^O.0000^5 . Po r es o In 3« ln 2 +0,40546 » 1,09861 . Luego, obtendremo s In 4= 2I n2 » 1,38630 ; tomand o e n l a fórmula (*) ^= 4 y n =3 , encontramos : In 5— In 4 » |--3 ^ + ^ » 0,22314 4 » 0,22314 con erro r inferio r a 1 1 1 1 4 7 9« 28-53144 1 < 0,0000001 . Por esto : In 5 »l n4 +0,22314» 1,60944 . Ahora podemos encontrar , también , e l valo r d e I n 10 : Iji 10=ln5+ln2»2.3025 9 y, po r fin , tomand o e n l a fórmul a (* ) k= 10 y /i=2, obtenemos : In 11 -I n 1 0 » ^+ g^jã = 0,0953 1 (aqui, e l erro r d e l a fórmul a aproximad a e s meno r qu e Por ello : In l l» ln 10+0,09531»2,39790. yp necesitamos má s ejemplo s par a comprender . com o s
e . ÍPrecisa s naturales e logaritmo a d a tabl r l puede construi
-mente a base d e est e métod o fu e construíd a l a siguient e tabl a de logaritmo s naturale s d e lo s níimero s enteros , partiend o d e la unida d hast a 100 , calculado s co n erro r inferio r a 0,0005. - 18 . Hemo s vist o qu e e l logaritm o d e u n product o s e obtien e mediante l a operació n d e adición ; g l d e u n cociente , mediant e la sustracción , e l logaritm o d e un a potenci a s e encuentr a mediante l a multiplicació n (po r e l exponent e d e l a potencia ) V e l logaritm o d e un a raiz , mediant e l a divisió n (po r e l expo
- a n l a e a tabl e un o d , disponiend r eso ). Po aiz a r e l nente d
que al lad o co n lo s número s s e encontraría n escrito s lo s lo -garitmos d e esto s (tabl a d e logaritmos ) s e podri a sustituir , con ayud a d e est a tabla , l a operació n d e multiplicació n po r la d e adición , l a divisió n po r sustracción, la elevación a po -tencia por multiplicación , y la operación de extracció n d
e a s cad s operacione r la , po s decir , e e división a d r l raiz po
vez má s simples . Lo s procedimiento s correspondiente s s e exponen en los manuale s d e álgebra . Aq ui, nos limitemo s con u n simpl e ejemplo . Supongamos qu e e s precis o calcula r c= p/ 2. Hagamo s us o dei valor , anteriorment e calculado , d e ln2»0,693 ; al div i-dirlo por 5 , obtendremo s In ^2 =-^ In2»0,139 . Basta , ahor a encontrar e l númer o ^2 , segú n s u logaritmo . Nuestr a tabl a no e s suficientemení e convenient e par a est e objeto , dad o qu e contiene lo s logaritmo s 0,00 0 (correspondient e a la unidad)
Tábia de logaritmo s naturale s (de Ia 1 hast a 100 ) n In n n In n n In n n In n In n 1 0,0 00 21 3.045 41 3,714 61 4,111 81 4,3 94 2 0,6 93 22 3,091 42 3,7 38 62 4,1 27 82 4,407 3 1,099 23 3,1 35 43 3,7 61 63 4,143 83 4,419 4 1,386 24 3,178 44 3,784 64 4,159 84 4,431 5 1.609 25 3,2 19 45 3,807 65 4,174 85 4,4 43 6 1,792 26 3.258 46 3,829 66 4,190 86 4,454 7 1,946 27 3.2 96 47 3,8 50 67 4,2 05 87 4,4 66 8 2,0 79 28 3.332 48 3,871 68 4,2 20 88 4,477 9 2.197 29 3.367 49 3,892 69 4,234 89 4,489 10 2.3 03 30 3,401 50 3,9 12 70 4,248 90 4,5 00 11 2.398 31 3,434 51 3,932 71 4,2 63 91 4,511 12 2,485 32 3,4 66 52 3,951 72 4,277 92 4,522 13 2,565 33 3,497 53 3,9 70 73 4,2 90 93 4,5 33 14 2.639 34 3,5 26 54 3,9 89 74 4,3 04 94 4,5 43 15 2,708 35 3,5 50 55 4,0 07 75 4,317 95 4,554 16 .2,773 36 3,5 84 56 4,0 25 76 4,3 31 96 4,564 17 2,833 37 3,611 57 4,0 43 77 4,344 97 4,5 75 18 2,890 38 3.638 58 4.0 60 78 4,357 98 4,5 85 19 2,944 39 3,664 59 4,078 79 4,3 69 99 4,5 95 20 2,996 40 3.6 89 60 4,0 94 80 4,382 100 4,6 05 y 0,69 3 (correspondient e a 2). El primer o e s demasiad o pe -•j. queiío, e l segund o e s ex ce siv o. En virtud de l o enunciad o < podemos^deci r sól o que ^ l <j /2 <2 . Pero , advertimo s qu e 3 ln (1 0^ 2) = lnl0-lní/2=2,303+0,139=2,442. El logaritm o • inferio r má s próxim o d e l a tabl a e s 2,398 ( = ln 11), e l loga -« j» ritm o superio r má s v ec in oe s2 ,4 85 (= ln 12). Po r eso , tenemos : ^ 1 l <1 0v '' 2< 12.Observando qu e e l númer o 2,44 2 e s próxim o - a l promedi o artitmétic o d e lo s número s I n 1 1 y In 12, qu e e s igual a 2,441, podemo s escribi r lO f/ 2» 11,5 , e s decir , y^ 2w »1 ,1 5. Par a controlamo s observemo s qu e In ( 10 0^ '2 ) = In 1 00 + I n v /2 = 4,60 5 + 0 ,1 39 = 4,74 4 y I n li5 =ln 5+ ln 23 =l, 60 9+ 3, 13 5= 4, 74 4. " 19 . Co n e l fi n d e construi r l a gráfic a d e l a funció n t/=ln x elijamos lo s eje s d e coordenada s y una unidad de escala
; e los levantadas d e Ox, l ej s a s perpendiculare n la luego, e
. y / ^^ ^^ ^^ K , , 0
1
A 2 X « 3 X y |y * \ .1 X V a X' I 2 X e 3 X FI G. 3 0 puntos escogido s d e x (x >0 ), marquemo s lo s valore s corres -pondientes d e Injc . Lo s extremo s d e la s perpendiculare s par a todos X le situarán en la curva que ser á l a gráfic a d e u n loga -ritmo natural y que s e expon e e n l a fig . 3 0.a . Po r debajo . e n |a fig . 30,b . vemo s \nx, expresado po r médi o d e i m área . Lo s ao s dibujo s tiene n un a mism a escala . P ar a u n mism o valor e unidade d d a cantida e l n qu a afirmació a un será válid de X
s cuadradas. qu e compone n e l áre a de i trapect o curvilíne o 4*
