Aula11-Conicas

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Seções Cônicas

Nesta seção, nós aprenderemos:

Elas são chamadas seções cônicas, ou cônicas, porque resultam da intersecção

de um cone com um plano,

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. PARÁBOLA

Uma parábola é o conjunto de pontos em

um plano cujas distâncias a um ponto fixo F

(denominado foco) e a uma reta fixa

VÉRTICE

Observe que o ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz está na parábola; ele é conhecido como vértice.

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EIXO

A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é intitulada eixo da parábola.

PARÁBOLAS

No século XVI, Galileu mostrou que a

trajetória de um projétil atirado no ar com um certo ângulo em relação ao solo é uma

parábola.

ƒ Desde essa época, os formatos parabólicos têm sido usados para desenhar faróis de carro,

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Obteremos uma equação particularmente

simples para uma parábola se colocarmos o vértice na origem O e sua diretriz paralela

ao eixo x.

Se o foco for o ponto (0, p), então a diretriz tem a equação

y = –p.

ƒ A figura ilustra o caso onde p > 0. PARÁBOLAS

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Se P(x, y) for um ponto qualquer na

parábola, então a distância de P até o foco é

ƒ A distância de P até a diretriz |y + p| 2 2 ( ) PF = x + y − p PARÁBOLAS

A propriedade de definição de uma parábola

d diz que essas distâncias são iguais:

2 2

(

)

x

+

y

−

p

= +

y

p

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Obtemos uma equação equivalente

elevando ao quadrado e simplificando:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

(

)

2

2

4

x

y

p

y

p

y

p

x

y

py

p

y

py

p

x

py

+

−

= +

=

+

+

−

+

=

+

+

=

Uma equação da parábola com foco (0, p) e diretriz

y =

–p é:

x

= 4py

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Se escrevermos a = 1/(4p), então a

equação-padrão de uma parábola (1) torna-se y = ax2_.

ƒ A concavidade é para cima se p > 0 e para baixo se p < 0.

O gráfico é simétrico em relação ao eixo y

porque (1) não muda quando x é trocado por -x.

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Se trocarmos x e y em (1), obteremos

y2 _{= 4px}

que é uma equação da parábola com foco (p, 0) e diretriz x = -p.

Trocar x e y significa refletir em relação à reta diagonal y = x.

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A concavidade da parábola é para a direita se p > 0 e para a esquerda se p < 0.

ƒ Em ambos os casos, o gráfico é simétrico em relação ao eixo x, que é o eixo da parábola. PARÁBOLAS

Encontre o foco e a diretriz da parábola

y2 _{+ 10x = 0 e esboce o gráfico}

.

ƒ Se escrevermos a equação como y2 _{= –10x e a}

compararmos com a Equação 2 veremos que 4p = -10;

ƒ Assim p = –(5/2).

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Então, o foco é (p, 0) = (–5/2, 0) e a diretriz é

x = (5/2).

ELIPSES

Uma elipse é o conjunto de pontos em um

plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F₁ e F₂ é uma constante.

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ELIPSES

Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses com o Sol em um dos focos.

Para obter a equação mais simples para uma elipse, colocamos os focos no eixo x nos

pontos (-c, 0) e (c, 0), de modo que a origem esteja na metade do caminho entre os focos.

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Seja 2a > 0 a soma das distâncias de um ponto na elipse até os focos.

Então P(x, y) é um ponto na elipse quando

|PF₁| + |PF₂| = 2a

Isto

é,

ou

(

x

+

c

)

+

y

+

(

x c

−

)

+

y

=

2

a

(

x c

−

)

+

y

=

2

a

−

(

x c

+

)

+

y

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Elevando ao quadrado ambos os lados, temos: que se torna 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

4

4

(

)

2

x

cx

c

y

a

a

x

c

y

x

cx

c

y

−

+ +

=

−

+

+

+

+

+ +

(

)

a

x

+

c

+

y

=

a

+

cx

Elevamos ao quadrado novamente: que se torna 2 2 2 2 4 2 2 2

(

2

)

2

a x

+

cx

+ +

c

y

=

a

+

a cx

+

c x

(

a

−

c x

)

+

a y

=

a a

(

−

c

)

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A partir do triângulo F₁F₂P, vemos que 2c < 2a, assim c < a e, portanto, a² - c² > 0.

ƒ Por conveniência, seja b² = a² - c². ELIPSES

Então, a equação da elipse torna-se

b2_x2 _{+ a}2_y2 _{= a}2_b2

ou, se ambos os lados forem divididos por

a2_b2_, 2 2 2 2

1

x

y

a

+

b

=

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As intersecções com o eixo x são

encontradas fazendo-se y = 0.

ƒ Então, x2_/a2 _{= 1, ou x}2 _{= a}2_.

ƒ Assim, x = ±a. ELIPSES

VÉRTICES E EIXO MAIOR

Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o

segmento de reta que une os vértices é dito

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Para encontrar as intersecções com o eixo y

fazemos x = 0 e obtemos y2 _{= b}2_.

ƒ Ou seja, y = ± b.

A Equação 3 não muda se x for trocado por

-x ou y for trocado por -y, logo, é simétrica em relação a ambos os eixos.

Observe que, se os focos coincidirem,

então c = 0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b.

Resumimos essa discussão a seguir.

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A elipse

tem focos (±c, 0), onde c2 _{= a}2 _{– b}2_{, e}

vértices (±a, 0). 2 2 2 2

1

0

x

y

a

b

a

+

b

=

≥ >

Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em

(0, ±c)

podemos encontrar sua equação trocando x e y em (4).

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A elipse

tem focos (0, ±c), onde c2 = a2 – b2, e

vértices (0, ±a). 2 2 2 2

1

0

x

y

a

b

b

+

a

=

≥ >

ELIPSES EXEMPLO 2

Esboce o gráfico de 9x2 _{+ 16y}2 _{= 144 e}

localize os focos.

ƒ Dividindo ambos os lados da equação por 144:

2

1 16 9

x y2

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E assim, temos:

a2 _{= 16, b}2 _{= 9, a = 4, b = 3}

ƒ As intersecções com o eixo x são ±4. ƒ As intersecções com o eixo y são ±3.

Além disso, c2 _{= a}2 _{– b}2 _{= 7, portanto c =}

e os focos são (± 7, 0).

7

Veja o gráfico.

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ELIPSES EXEMPLO 3

Encontre uma equação para a elipse com focos (0, ±2) e vértices (0, ±3).

ƒ Usando a notação de (5), temos c = 2 e a = 3.

ƒ Então, obtemos b2 _{= a}2 _{– c}2 _{= 9 – 4 = 5, logo, uma}

equação para a elipse é

Outra forma de escrevê-la é 9x² + 5y² = 45.

2

1

5

9

x

y

Como as parábolas, as elipses têm uma

propriedade de reflexão interessante, com consequências práticas.

Se uma fonte de luz — ou som — for colocada em um foco de uma superfície com secções

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. LITOTRIPSIA

Esse princípio é usado em litotripsia, um

tratamento para pedras nos rins.

ƒ Um refletor com secção transversal elíptica é

colocado de maneira que a pedra no rim está em um foco.

ƒ Ondas sonoras de alta intensidade geradas no

outro foco são refletidas para a pedra e a destroem sem causar dano ao tecido vizinho.

ƒ O paciente não sofre o trauma de uma cirurgia e se recupera em poucos dias.

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. HIPÉRBOLES

Uma hipérbole é o conjunto de todos os

pontos em um plano cuja diferença entre as distâncias a dois pontos fixos F₁ e F₂ (os

As hipérboles ocorrem frequentemente como gráficos de equações em:

ƒ Química (Lei de Boyle), ƒ Física (Lei de Ohm),

ƒ Biologia,

ƒ Economia (curvas de demanda e de oferta). HIPÉRBOLES

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Uma aplicação particularmente importante

de hipérboles é encontrada nos sistemas de navegação desenvolvidos nas I e II Guerras Mundiais.

ƒ Veja o

exercício 51.

Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse.

ƒ A única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias.

De fato, a dedução da equação de uma

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Veremos que quando os e a os focos estão no eixo x em (±c, 0) e a

diferença das distâncias for |PF₁| – |PF₂| =

±2a, então a equação da hipérbole é

onde c2 _{= a}2 _{+ b}2_. 2 2 2 2

1

x

y

a

−

b

=

Observe que:

ƒ As intersecções com o eixo x são novamente ±a. ƒ Os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices da

hipérbole. HIPÉRBOLES

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Mas, se colocarmos x = 0 na Equação 6, teremos

y2 _{= –b}2,

ƒ que é impossível;

ƒ dessa forma, não existe intersecção com o eixo y. ƒ A hipérbole é simétrica em relação a ambos os

eixos.

Para analisar a hipérbole um pouco mais, olhamos a Equação 6 e obtemos

ƒ Isso mostra que x2 ≥ a2.

2 2

2

1

1

x

y

a

= +

b

≥

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. RAMOS

Portanto, temos

x ≥ a ou x ≤ –a

ƒ Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.

ASSÍNTOTAS

Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas

assíntotas, que são as retas y = (b/a)x e

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Ambos os ramos da hipérbole se aproximam das assíntotas, isto é, eles chegam

arbitrariamente próximos delas.

A hipérbole

tem focos (±c, 0), onde c2 = a2 + b2,

vértices (±a, 0), e assíntotas y = ±(b/a)x.

2 2

2 2

1

x

y

a

−

b

=

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Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação.

A hipérbole

tem focos (0, ±c), onde c2 _{= a}2 _{+ b}2_,

vértices (0, ±a), e assíntotas y = ±(a/b)x.

2 2

2 2

1

y

x

a

−

b

=

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Veja a ilustração da equação 8.

Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole

9x

_{– 16y}

_{= 144}

e esboce seu gráfico.

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Se dividirmos ambos os lados da equação por 144, teremos

ƒ que é da forma dada em (7) com a = 4 e

b = 3.

Como c2 _{= 16 + 9 = 25, os focos são (±5, 0).}

As assíntotas são as retas y = ¾ x e

y = – ¾ x.

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Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ±1) e assíntota y = 2x

.

ƒ A partir de (8) e da informação dada, vemos que a = 1 e a/b = 2

ƒ Então, b = a/2 = ½ e c2 _{= a}2 _{+ b}2 _{= (5/4).}

ƒ Os focos são (0, ±√5/2) e a equação da hipérbole é y2 _{– 4x}2 _{= 1}

CÔNICAS TRANSLADADAS

Transladamos as cônicas tomando as

equações- padrão (1), (2), (4), (5), (7) e (8) e trocando x e y por x – h e y – k.

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Encontre uma equação para a elipse com focos (2, –2), (4, –2), e vértices (1, –2), (5, –2).

ƒ O eixo maior é o segmento de reta que une os vértices (1, –2), (5, –2), e tem comprimento 4; assim a = 2.

ƒ A distância entre os focos é 2, e assim, c = 1. ƒ Então, b2 _{= a}2 _{– c}2 _{= 3.}

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Como o centro da elipse é (3, -2) ,

trocamos x e y em (4) por x - 3 e y + 2 para obter

como a equação da elipse.

2 2

(

3)

(

2)

1

4

3

x

−

₊

y

+

₌

Esboce a cônica

9x2 _{– 4y}2 _{– 72x + 8y + 176 = 0}

e encontre seus focos.

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Completamos os quadrados como a seguir:

2 2 2 2 2 2 2 2

4(

2 ) 9(

8 ) 176

4(

2

1) 9(

8

16)

176 4 144

4(

1)

9(

4)

36

(

1)

(

4)

1

9

4

y

y

x

x

y

y

x

x

y

x

y

x

−

−

−

=

−

+ −

−

+

=

+ −

−

−

−

=

−

₋

−

₌

Isso está na forma de (8), exceto que x e y

estão trocados por x - 4 e y - 1. Então, a2 _{= 9, b}2 _{= 4,} e c2 _{= 13.}

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A hipérbole está deslocada quatro

unidades para a direita e uma unidade para

cima.

Os focos são

(4, 1+√13) e (4, 1 – √13) e os vértices são (4, 4) e (4, –2) .

As assíntotas são