Coexistência microscópica de antiferromagnetismo e supercondutividade não-convencional

(1)

Instituto de F´

ısica Gleb Wataghin

Dalson Eloy Almeida

Coexistˆ

encia microsc´

opica de

antiferromagnetismo e supercondutividade

n˜

ao-convencional

(2)

Coexistˆ

encia microsc´

opica de

antiferromagnetismo e supercondutividade

n˜

ao-convencional

Tese apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸cão em F´ısica da Universidade Esta-dual de Campinas como requisito para ob-ten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciência.

Orientador: Eduardo Miranda

Este exemplar corresponde `a vers˜ao final da tese defendida pelo aluno Dalson Eloy Al-meida, e orientada pelo Prof. Dr. Eduardo Miranda.

(3)

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Almeida, Dalson Eloy,

AL64c AlmCoexistência microscópica de antiferromagnetismo e supercondutividade não-convencional / Dalson Eloy Almeida. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

AlmOrientador: Eduardo Miranda.

AlmTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Alm1. Supercondutores à base de ferro. 2. Antiferromagnetismo. 3. Supercondutividade não-convencional. 4. Ginzburg-Landau, Teoria de. 5. Transições de fase clássicas. I. Miranda, Eduardo,1963-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Microscopic coexistence of antiferromagnetism and

unconventional superconductivity Palavras-chave em inglês: Iron-based superconductors Antiferromagnetism Unconventional superconductivity Ginzburg-Landau theory

Classical phase transitions

Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:

Eduardo Miranda [Orientador] Ricardo Luís Doretto

Iakov Veniaminovitch Kopelevitch Mucio Amado Continentino

Miguel Angelo Cavalheiro Gusmão

Data de defesa: 20-02-2017

Programa de Pós-Graduação: Física

(4)

de Dalson Eloy Almeida - RA: 115266 apresentada e

aprovada ao Instituto de F´ısica “Gleb Wataghin”, da

Universidade Estadual de Campinas, em 20/02/2017.

Comiss˜

ao Julgadora:

- Prof. Dr. Eduardo Miranda – (Orientador) – DFMC/IFGW/UNICAMP - Prof. Dr. Iakov Veniaminovitch Kopelevitch – DFA/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Ricardo Luis Doretto – DFMC/IFGW/UNICAMP - Prof. Dr. Mucio Amado Continentino – CBPF

- Prof. Dr. Miguel Angelo Cavalheiro Gusm˜ao – Instituto de F´ısica/UFRGS

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comiss˜ao Examinadora, consta no processo de vida acadˆemica do aluno.

(5)

Nesta tese estudamos a rela¸cão entre antiferromagnetismo e supercondutividade em pnict´ıdeos à base de ferro. Este estudo será feito através da análise de uma energia livre de Ginzburg-Landau de parâmetros de ordem acoplados que será derivada de um modelo microscópico. Em particu-lar, estamos interessados em saber se a transi¸cão entre os estados ordenados é de primeira ordem ou se as duas ordens podem coexistir. Para o caso de supercondutividade convencional as duas fases puras nunca coexistem. Entretanto, quando a supercondutividade é não-convencional e a condi¸cão de nesting perfeito não é satisfeita, pode haver um regime intermediário de coexistˆ en-cia microscópica das duas ordens. Nesta nova fase termodinâmica, as simetrias de rota¸cão no espa¸co de spins, de reversão temporal e U (1) são quebradas simultânea e localmente. Logo, os canais de supercondutividade singleto e tripleto se misturam quanticamente. Em outras pala-vras, uma componente tripleto secundária do estado supercondutor é gerada. Os diagramas de fases do sistema são apresentados e analisamos também como flutua¸cões magnéticas, acima da temperatura de Néel pura, afetam a temperatura de transi¸cão tripleto. Investigamos também o efeito da magnetiza¸cão alternada no efeito Josephson, i.e., na supercorrente que flui através de uma jun¸cão entre dois supercondutores na fase de coexistência. Por fim, mas não menos importante, estudamos o efeito de proximidade em uma interface entre um supercondutor e um antiferromagneto. Veremos que os pares de Cooper podem penetrar a região magnética e em consequência, uma componente tripleto é induzida próximo da interface.

Palavras-chave: Pnict´ıdeos de ferro, Supercondutividade não-convencional, Antiferromagne-tismo, Transi¸cões de fase clássica, Ginzburg-Landau.

(6)

In this thesis, we study the interplay between antiferromagnetism and superconductivity in iron pnictides. This study will be done analyzing a free energy of coupled order parameters which will be derived from a microscopic model. In particular, we are interested if the phase transition between the ordered states is first order or if the two orders can coexist. For the case of conventional superconductivity, the two phases cannot coexist. However, when super-conductivity is unconventional and the perfect nesting condition is not satisfied, there can exist an intermediary state of microscopic coexistence of the two orders. In this new thermodynamic phase, spin rotation, time reversal and U (1) symmetries are simultaneously and locally bro-ken. Therefore, the singlet and triplet superconductivity channels are quantum mechanically mixed. In other words, a secondary triplet component is generated. The phase diagrams of the system are presented and we also analyze the effect of magnetic fluctuations above the pure N´eel temperature on the triplet temperature transition. We also investigate the effects of the staggered magnetization on the Josephson effect, i.e., on the supercurrent that flows through a junction of two superconductors in the coexistence phase. Last, but not least, we study the proximity effect at an interface between a superconductor and an antiferromagnet. We will see that the Cooper pairs can penetrate the magnetic region and consequently a triplet component is induced near the interface.

Key-words: Iron Pnictides, Unconventional supercondutivity, Antiferromagnetism, Classical phase transitions, Ginzburg-Landau.

(7)

O trabalho apresentado nesta tese foi executado sob a supervisão do meu orientador Eduardo Miranda, cujos est´ımulos, discussões, cr´ıticas e revisão deste manuscrito são reconhecidos com profunda gratidão. Obrigado por sempre dispor do seu tempo para me ajudar.

Agrade¸co tamb´em ao professor Rafael M. Fernandes, que me recebeu na University of Min-nesota (EUA). Suas boas ideias foram essenciais para os resultados e discuss˜oes obtidos nesta tese.

Também não posso deixar de agradecer às agências CNPq (Processo: 140834/2013-3) e CAPES (Processo: BEX 2342/15-4) pelos amparos financeiros.

(8)

Introdu¸cão 9 1 Competi¸cão entre antiferromagnetismo e supercondutividade 14 1.1 Modelo microscópico . . . 17 1.2 Diagramas de fases . . . 25 2 Coexistência de antiferromagnetismo e supercondutividade: inclusão de

uma componente tripleto 35

2.1 Expansão de Ginzburg Landau e diagrama de fases . . . 38 2.2 Além da análise de campo médio: renormaliza¸cão do diagrama de fases por

flutua¸c˜oes magn´eticas . . . 45 3 Heteroestruturas supercondutoras 50 3.1 Efeito Josephson . . . 53 3.2 Efeito de proximidade . . . 57

Conclus˜oes 64

Referˆencias Bibliogr´aficas 66

A Deriva¸cão alternativa da teoria de campo médio: fun¸cões de Green 72 A.1 Caso sem tripleto . . . 72 A.2 Caso com tripleto . . . 74

B Coeficientes de GL 76

B.1 Soma sobre as frequˆencias ωn . . . 77

B.2 Soma sobre os momentos . . . 79 B.3 Termos de rigidez . . . 81 C Minimiza¸cão do funcional de Landau para a energia livre 84 D Solu¸cão assintótica para as interfaces 86

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Um importante problema em f´ısica da matéria condensada é a origem microscópica da super-condutividade não-convencional. Um grande esfor¸co teórico na tentativa de se entender este fenômeno tem sido feito recentemente. Em um supercondutor (SC) convencional, a intera¸cão efetiva entre os elétrons via vibra¸cões da rede cristalina (fônons) é atrativa e tal intera¸cão obriga os elétrons a se ligarem em pares [1]. Acredita-se que o mecanismo baseado em fônons não seja capaz de explicar a supercondutividade não-convencional. Em geral, as teorias propostas para explicar a supercondutividade não-convencional são baseadas na presen¸ca de uma intera¸cão pu-ramente repulsiva entre os elétrons [2–4]. Exemplos de supercondutores não-convencionais são férmions pesados, cupratos, supercondutores orgânicos e pnict´ıdeos de ferro. A fase SC n˜ ao-convencional em diversos materiais é próxima a uma instabilidade antiferromagnética (AFM). Além disso, para diversos compostos as duas fases se encontram e às vezes até coexistem no diagrama de fases [5–9]. Por exemplo, medidas experimentais em Ba(Fe₁_=xCox)2As2 indicam

que as fases AFM e SC coexistem neste composto para certos valores de dopagem [10–12], conforme mostrado no diagramas de fases [13] apresentado no painel à esquerda na Figura 0.1. No painel à direita, desta mesma figura, mostramos também o diagrama de fases do férmion pesado CeRh1=xIrxIn5.

A transi¸cão SC quebra a simetria de “gauge” U (1). Já a transi¸cão AFM quebra a simetria SO(3) de rota¸cão no espa¸co de spins e a reversão temporal. Assim, na região em que supercon-dutividade e antiferromagnetismo coexistem microscopicamente, ambas simetrias U (1) e SO(3) são simultaneamente quebradas e, portanto, temos uma nova fase termodinâmica no material. A possibilidade de coexistência microscópica dos dois estados, AFM e SC, é na verdade um resultado um tanto inesperado, pois os dois estados ordenados competem entre si pelos mesmos estados eletrônicos. Logo, a coexistência microscópica é muito mais interessante e exótica do que uma coexistência macroscópica. No caso de coexistência macroscópica partes da amostra se encontram no estado magneticamente ordenado e diferentes por¸cões dela estão no estado SC. Portanto, as simetrias U (1) e SO(3) não são quebradas localmente ao mesmo tempo. A quebra da simetria de rota¸cão no espa¸co de spins implica que os pares de Cooper são uma combina¸cão de estados de spin singleto e tripleto, ou seja, uma componente SC tripleto secundária será gerada espontaneamente na fase de coexistência. Por exemplo, no caso de apenas duas part´ıculas, se

(10)

Figura 0.1: Diagramas de fases do pnict´ıdeo de ferro BaFe2As2 (esquerda) e do SC de f´ermions

pesados CeRhIn5 (direita), evidenciando a regi˜ao em que o sistema apresenta tanto ordem AFM

como ordem SC (em verde). Adaptadas das Refs. [13] e [14], respectivamente.

com a quebra de simetria SO(3) o estado do sistema ´e | ↑↓i, podemos escrever tal estado como a seguinte combina¸c˜ao linear dos estados singleto e tripleto: | ↑↓i = √1

2 _{|↑↓i−|↓↑i} √ 2 + |↑↓i+|↓↑i_√ 2 . E mais, tal componente só será gerada na fase de coexistência microscópica. No estado SC puro apenas a componente singleto estará presente.

O estado de coexistência de antiferromagnetismo e supercondutividade (AFM+SC) foi ve-rificado experimentalmente em diversos tipos de compostos [8, 9, 15–18], portanto, é de grande interesse entender as propriedades microscópicas e macroscópicas desse estado não usual da matéria. Diversos trabalhos teóricos têm abordado esse problema provendo bastante informa-¸cão sobre o estado AFM+SC [3, 13, 19–25]. Conforme mostrado na Ref. [19], o fato de que o parâmetro de ordem AFM (M ) e o parâmetro de ordem SC singleto (∆s) são simultaneamente

não nulos implica que uma componente do tipo tripleto do estado SC é gerada, ∆t ∝ ∆sM . É

claro que esta componente tripleto só pode existir no caso de coexistência microscópica, con-sequentemente, a deteçcão desta componente provaria, de forma não amb´ıgua, a existência da fase AFM+SC. Microscopicamente, a componente tripleto emparelha elétrons com momento −k e k + Q, sendo Q o vetor de ordenamento magnético, i.e.,

∆t ∝ X k ˆ_{d · σiσ}y† ss0hck+Q,sc−k,s 0i. (1)

Aqui, ck,s é operador fermiônico associado com um elétron com momento k e spin s, σj são as

matrizes de Pauli e ˆd ´e o chamado vetor-d que caracteriza as trˆes componentes dos pares de Cooper no estado tripleto [26].

Diferentes aspectos do impacto da componente tripleto na fase de coexistˆencia AFM+SC foram analisados nas Refs. [19, 27–30]. Na maioria dos casos, as an´alises foram focadas no

(11)

estado ordenado, no qual, o vetor-d é fixado paralelo à dire¸cão da magnetiza¸cão alternada ˆ

M . No nosso trabalho, investigaremos o acoplamento entre o vetor-d e M . Discutiremos um modelo de duas bandas vastamente usado no estudo da rela¸cão entre supercondutividade e antiferromagnetismo em SC à base de ferro. Conforme mostrado nas Refs. [23, 24], o diagrama de fases desse modelo pode apresentar um ponto tetra-cr´ıtico e, consequentemente, uma fase de coexistência AFM+SC. Próximo do ponto tetra-cr´ıtico, usaremos um modelo microscópico para derivar a energia livre de Ginzburg-Landau (GL) na fase desordenada e mostrar que o vetor-d se acopla linearmente com M . No estado ordenado estes dois vetores são paralelos, conforme assumido em trabalhos anteriores. Esse fato leva ao aparecimento de um modo coletivo correspondente às oscila¸cões do ângulo entre o parâmetro de ordem AFM e o vetor-d da componente tripleto do estado SC. Encontramos que, em geral, este modo coletivo possui uma energia finita, que é comparável, mas é maior do que a energia associada com o modo do tipo Leggett [31] associado com oscila¸cões da fase relativa entre os parâmetros de ordem SCs singleto e tripleto.

Uma aplica¸cão interessante de sistemas SCs é uma jun¸cão de dois SCs. É sabido que uma corrente persistente fluirá na jun¸cão desses SCs se houver um gradiente de fase SC entre as duas partes do sistema. Essa supercorrente, que é transportada pelos pares de Cooper e existe na ausência de um potencial externo, foi predita em 1962 por Josephson, e é hoje em dia conhecida como corrente Josephson [32].

Um problema proeminente é o que acontece numa heteroestrutura formada por um SC e um material não SC. Uma interface entre dois materiais pode dar origem a fenômenos origi-nais e singulares que não estão presentes nos materiais constituintes quando isolados. Para a heteroestrutura citada acima, espera-se, pelo chamado efeito de proximidade, que pares de Cooper na fronteira da interface possam penetrar no material não SC, o que implica na indu¸cão de supercondutividade nessa região. Consequentemente, nas proximidades da interface haverá uma atenua¸cão da supercondutividade no lado SC dessa heteroestrutura. O mecanismo de transmissão de pares de Cooper através de uma interface entre um metal normal e um SC é chamado reflexão de Andreev, e foi descoberto por Andreev em 1964 [33] e por de Gennes e Saint-Jaimes em 1963/64 [34, 35] (veja a Ref. [36] para uma revisão).

Interfaces entre materiais magnéticos e SCs também têm sido amplamente estudadas recen-temente [37–44]. Além disso, há diversos trabalhos experimentais explorando estas heteroestru-turas, veja, por exemplo, as Refs. [45–48]. A Figura 0.2 apresenta um resumo esquemático dos principais resultados conhecidos para essas estruturas. Em particular, na interface metal/SC, temos o efeito de proximidade discutido no parágrafo anterior, onde apenas a componente singleto é afetada, sendo suprimida à medida que penetra na região não SC. Por outro lado, na interface ferromagneto/SC (com polariza¸cão de spin fraca), a penetra¸cão de supercondu-tividade na região magnética gera uma componente tripleto secundária. Em geral, ambas as

(12)

Figura 0.2: Comportamento t´ıpico de uma interface entre um SC (esquerda) e um ferromagneto (direita). Em verde/vermelho temos a componente singleto e tripleto do estado SC. Figura adaptada da Ref. [44].

componentes tripleto e singleto do estado SC adquirem fortes oscila¸cões que permitem as suas sobrevivências até mesmo longe da interface. Isso ocorre apesar da componente tripleto não estar presente na fase SC, pois não há magnetismo nessa região, e, portanto, o tripleto não é gerado. No caso de uma estrutura com um ferromagneto com polariza¸cão de spin forte, além da penetra¸cão de supercondutividade no ferromagneto, há também penetra¸cão de ferromag-netismo na região SC. Ou seja, ambas simetrias SO(3) e U (1) são simultânea e localmente quebradas também na região SC e, portanto, a componente tripleto naturalmente surge neste lado da interface. Por fim, se o ferromagneto tem uma polariza¸cão de spin muito forte a SC não consegue penetrar o lado magnético, entretanto, há uma grande penetra¸cão de magnetismo na amostra SC, o que gera supercondutividade tripleto e atenua a supercondutividade singleto no lado SC.

Um outro poss´ıvel arranjo de interface é a jun¸cão de um supercondutor e um antiferromag-neto. Em 1999, Kuboki [49] estudou o efeito de proximidade entre um supercondutor do tipo onda-d e um antiferromagneto através do formalismo de Bogoliubov-de Gennes [50]. O resul-tado que ele encontrou foi que a magnetiza¸cão alternada penetra o lado SC induzindo assim supercondutividade do tipo onda-p próximo à interface. Três anos depois, em 2002, Andersen e Hedeg˚ard [51] analisaram o aparecimento de estados ligados de Andreev nesta mesma interface. Até onde sabemos, esta interface não foi posteriormente explorada. Por fim, um outro arranjo interessante, nunca estudado, é uma interface entre um SC no qual a componente tripleto já esteja presente, i.e., um SC no estado de coexistência com antiferromagnetismo, e um material AFM.

Esta tese está organizada da seguinte maneira: No próximo cap´ıtulo estudaremos um modelo de duas bandas que contém os ingredientes básicos para o aparecimento de supercondutividade e antiferromagnetismo. Este modelo já foi discutido por diversos autores [23, 24] e tem sido

(13)

utilizado para descrever os pnict´ıdeos de ferro. No cap´ıtulo seguinte (Cap. 2) discutiremos a componente tripleto secundária que é induzida na fase de coexistência microscópica e também iremos além da aproxima¸cão de campo médio e investigaremos o impacto de flutua¸cões magn´ e-ticas no diagrama de fases. Por fim, o Cap´ıtulo 3 será dedicado ao estudo de jun¸cões. Primeiro estudaremos a corrente SC que pode aparecer entre dois eletrodos SC colocados em contato, o chamado efeito Josephson. A última parte do cap´ıtulo será devotada ao efeito de proximidade que surge em uma interface entre um SC e um material não SC. Quatro apêndices contendo detalhes técnicos das deriva¸cões discutidas no texto principal são apresentados.

(14)

Cap´ıtulo 1

Competi¸

c˜

ao entre antiferromagnetismo

e supercondutividade

Independentemente de detalhes microscópicos, a competi¸cão entre supercondutividade e anti-ferromagnetismo próxima das temperaturas de transi¸cão pode ser descrita em termos de uma teoria de GL de parâmetros acoplados. A parte homogênea da densidade de energia livre é dada por f = as 2|∆s| 2₊us 4|∆s| 4₊ am 2 M 2₊um 4 M 4₊ γms 2 M 2_|∆ s|2 (1.1)

sendo ∆s e M os parˆametros de ordem SC e AFM, respectivamente. M = (Mx, My, Mz)T

é um vetor com três componentes e ∆s é um parâmetro de ordem complexo, ou seja, ∆s

´e caracterizado por uma amplitude e uma fase. Aqui, ignoramos uma constante f0, que ´e a

densidade de energia livre do estado normal, que não influencia o que discutiremos a seguir. Para que os estados ordenados compitam entre si o termo dominante que acopla os dois parâmetros de ordem, γms, deve ser positivo. Além disso, por hipótese, us e um são ambos positivos,

ou seja, as transi¸cões são de segunda ordem quando não há competi¸cão entre os parâmetros de ordem, i.e., quando γms = 0. Se os termos quárticos us e um forem negativos, deve-se

expandir a energia livre até, no m´ınimo, a sexta ordem, neste caso, se o termo sêxtico for positivo, tem-se uma transi¸cão de fase de primeira ordem. O coeficiente do termo quadrático SC (AFM) muda de sinal na temperatura cr´ıtica SC Tc,0 (de Néel TN,0) despida. Estas são as

temperaturas de transi¸c˜ao quando γms = 0. As simetrias quebradas em Tc,0 e TN,0 s˜ao U (1) e

SO(3), respectivamente. Nos limites |T − Tc,0| Tc,0 e |T − TN,0| TN,0 podemos escrever

as = as,0(T − Tc,0) e am= am,0(T − TN,0).

Ademais, consideraremos que as temperaturas de transi¸cão despidas Tc,0 e TN,0 são fun¸cões

de algum parˆametro x, i.e., Tc,0 → Tc,0(x) e TN,0 → TN,0(x). Esse parˆametro f´ısico x pode

ser, por exemplo, pressão, densidade de elétrons, campo magnético, etc. Se para algum x as curvas das temperaturas de transi¸cão despidas se encontram, digamos em x = x∗, ou seja Tc,0(x∗) = TN,0(x∗) = T∗, tem-se um ponto multi-cr´ıtico (x∗, T∗) no diagrama de fases. A

(15)

vizinhan¸ca deste ponto é a região em que a expansão de GL pode ser feita.

As equa¸cões de campo médio são dadas pela minimiza¸cão de f em rela¸cão aos dois parˆ ame-tros de ordem. As derivadas primeiras de f em rela¸cão a |∆s| e M são dadas por:

∂f ∂|∆s| = |∆s|(as+ us|∆s|2+ γmsM2) (1.2) e ∂f ∂M = M (am+ umM 2 _{+ γ} ms|∆s|2), (1.3)

respectivamente. Logo, ∂f /∂|∆s| = ∂f /∂M = 0 tem, al´em da solu¸c˜ao |∆s| = M = 0 que

corresponde ao estado normal, três diferentes solu¸cões não triviais: (i) Estado SC singleto puro com M(s)= 0 e

|∆s (s)|2 = − as us = as,0 us (Tc,0− T ) (1.4)

cuja densidade de energia de condensa¸c˜ao ´e fs = −

a2 s

4us

; (1.5)

(ii) Estado AFM puro com ∆s (m)= 0,

M_(m)2 = −am um

= am,0 um

(TN,0− T ) (1.6)

e densidade de energia livre

fm= −

a2_m 4um

; (1.7)

(iii) Estado de coexistˆencia de antiferromagnetismo e supercondutividade (AFM+SC) com |∆s (c)|2 = asum− amγms Dms = (as,0um− am,0γms)T − as,0umTc,0+ am,0γmsTN,0 Dms , (1.8) M_(c)2 = amus− asγms Dms = (am,0us− as,0γms)T − am,0usTN,0+ as,0γmsTc,0 Dms (1.9) e densidade de energia livre de condensa¸c˜ao

fcoex = fs+ (amus− asγms)2 4usDms = fm+ (asum− amγms)2 4umDms , (1.10)

(16)

sendo Dms= γms2 − usum.

A solu¸c˜ao (iii) s´o tem um significado f´ısico quando (asum−amγms)/Dmse (amus−asγms)/Dms

s˜ao ambos positivos (que implicam que |∆s (c)|2 > 0 e |∆s (c)|2 > 0), e, al´em disso, a energia livre

do estado de coexistˆencia ´e a menor poss´ıvel apenas se Dms = γms2 − usum< 0.

Essa análise nos leva a concluir que o diagrama de fases, próximo do ponto multi-cr´ıtico (x∗, T∗), terá dois comportamentos distintos: (i) se Dms< 0 pode existir um regime no diagrama

de fases onde as ordens AFM e SC ocorram simultaneamente na amostra. E mais, o ponto (x∗, T∗) será um ponto tetra-cr´ıtico onde duas linhas de transi¸cões de fases de segunda ordem se interceptam e, portanto, tem-se um regime de coexistência. Por outro lado, (ii) quando Dms> 0,

a competi¸cão entre os dois estados ordenados puros é tão grande que não há coexistência de antiferromagnetismo e supercondutividade. Neste caso, os dois estados ordenados puros serão separados por uma transi¸cão de primeira ordem que terminará no ponto bi-cr´ıtico (x∗, T∗). Note que o comportamento do diagrama de fases próximo do ponto multi-cr´ıtico é completamente governado pelos coeficientes quárticos.

Nosso maior interesse aqui ´e no caso em que Dms < 0, pois neste caso tem-se uma nova

fase termodinâmica na qual os dois parâmetros de ordem podem ser finitos simultaneamente. Esta coexistência é microscópica e não macroscópica, uma vez que as simetrias U (1) e SO(3) são quebradas simultaneamente em todas as células unitárias da amostra. No caso de uma coexistência macroscópica, tem-se que certas regiões da amostra se encontram no estado SC e diferentes regiões estão no estado AFM. Ou seja, as simetrias U (1) e SO(3) são quebradas em partes distintas da amostra e não localmente.

Qual o valor da temperatura cr´ıtica SC dentro da fase magn´etica? Ou seja, para T < TN,0

(am < 0) como Tc,0 ´e renormalizada? Substituindo M2 = −(am+ γms|∆s|2)/um (solu¸c˜ao de

∂f /∂M = 0 com M 6= 0) na densidade de energia livre obtemos que f (∆s) ≈ fm+ 1 2 as− amγms um |∆s|2+ 1 4 us− γ_ms2 um |∆s|4 ≡ fm+ as,0(T − Tc) 2 |∆s| 2 + O(|∆s|4), (1.11) logo Tc = Tc,0 + _aamγms

s,0um, que ´e a temperatura cr´ıtica SC dentro do estado magneticamente

ordenado, mostrando que a temperatura cr´ıtica SC ´e reduzida dentro da fase AFM, pois Tc <

Tc,0 para am< 0.

Analogamente, se substituirmos |∆s|2 = −(as + γmsM2)/us na Eq. (1.1) obtemos uma

energia livre que depende apenas da magnetiza¸c˜ao alternada f (M ) ≈ fs+ 1 2 am− asγms us M2+1 4 um− γ2 ms us M4 ≡ fs+ am,0(T − TN) 2 M 2_{+ O(M}4_), _(1.12)

(17)

A transi¸cão para o estado misto é de segunda ordem quando os coeficientes dos termos quárticos nas expansões para f (∆s) e f (M ) forem positivos, e isto acontece quando Dms =

γ_ms2 − usum < 0. Por outro lado, se γms2 > usum não há região de coexistência, pois, a energia

de coexistência é sempre maior que a energia dos estados ordenados puros [ver Eq. (1.10)] que ficam separados por uma transi¸cão de fase de primeira ordem.

Usando as defini¸c˜oes de TN,0 e Tc,0, podemos escrever que a temperatura SC dentro do estado

AFM ´e dada por

Tc = Tc,0− am,0γms(TN,0− Tc,0) as,0um− am,0γms , (1.13) bem como TN= TN,0+ as,0γms(TN,0− Tc,0) am,0us− as,0γms (1.14) ´e a temperatura de N´eel no estado SC.

A fim de ilustrar essas discussões introduziremos um modelo microscópico. Uma vez que com um modelo microscópio podemos calcular os coeficientes de GL presentes na expansão (1.1).

1.1 Modelo microsc´

opico

Para obter os coeficientes da expansão de GL devemos especificar um modelo. O modelo que estudaremos é uma poss´ıvel descri¸cão dos pnict´ıdeos de ferro, que possuem uma região de coexistência de antiferromagnetismo e supercondutividade nos seus diagramas de fase [10– 12]. Espectros eletrônicos destes compostos indicam que, na região SC, as superf´ıcies de Fermi são formadas por um pocket de buracos centrado em (0, 0) e outro de elétrons centrado em Q = (π, π) na zona de Brillouin dobrada [52, 53], onde Q é o vetor de ordenamento magnético. Por exemplo, o diagrama de fases do composto Ba(Fe₁_=xCox)2As2 foi apresentado no painel

`

a esquerda na Figura 0.1. Este diagrama de fases claramente demonstra que a ordem AFM coexiste e compete com supercondutividade acima de x = 0.04 e se estende até x ∼ 0.06. Acima desta dopagem de cobalto não há antiferromagnetismo, mas ainda há supercondutividade, que será totalmente suprimida em x = 0.114. Na Figura 1.1, reproduzida da Ref. [54], mostramos os contornos dos pockets na superf´ıcie de Fermi, estes dados foram obtidos através de medidas de espectroscopia de fotoemissão resolvida em ângulo ARPES (acrônimo em inglês) e indicam que o pocket centrado em (0, 0) é circular, enquanto que o pocket centrado em (π, π) é el´ıptico. Assim, para descrevermos o antiferromagnetismo e a supercondutividade nos pnict´ıdeos de ferro assumiremos um modelo bidimensional com duas bandas, sendo uma banda de elétrons e uma banda de buracos. O modelo que contém os ingredientes básicos para fazer tal descri¸cão foi analisado por diversos autores [23, 24] e contem três termos H = H0 + HAFM + HSC. A

(18)

Figura 1.1: Contornos dos pockets na superf´ıcie de Fermi obtidos por medidas de ARPES: Γ-Pocket é localizado em (0, 0) e X-Pocket é localizado em Q = (π, π), na nossa nota¸cão. Note que a dopagem com Cobalto diminui (aumenta) o pocket em Γ (X). Figura reproduzida da Ref. [54].

parte n˜ao interagente de H ´e dada por H0 = X k,s ξc,kc † k,sck,s+ X k,s ξf,k+Qf † k+Q,sfk+Q,s, (1.15)

sendo c†_k,s e f_k+Q,s† os operadores que criam el´etrons com momento k e k + Q, respectivamente, e proje¸c˜ao de spin s = ±.

ξc,k = εc,0 −

k2 2m − µ

é a dispersão circular de buracos de massa m, no centro da zona de Brillouin. Note que o potencial qu´ımico µ já está inclu´ıdo na dispersão e εc,0 é uma energia de referência. A banda

dos elétrons é el´ıptica, possui massas mx e my e está deslocada pelo vetor de ordenamento Q:

ξf,k±Q = −εf,0+ k2 x 2mx + k 2 y 2my − µ sendo εf,0 uma outra energia de referˆencia.

Introduzindo tan θ = ky/kx pode-se escrever ξf,k+Q = −ξc,k + 2δk sendo δk = δ0(k) +

δ2(k) cos 2θ com δ0(k) = εc,0−εf,0 2 − µ + k2 8 1 mx + 1 my − 2 m e δ2(k) = k 2 8 1 mx − 1 my . Uma representa¸cão esquemática das dispersões de buracos e elétrons é mostrada na Figura 1.2, na qual apresentam-se também as respectivas superf´ıcies de Fermi. Seguindo trabalhos anteriores [23, 24], faremos a seguinte simplifica¸cão δ0(k) ≈ δ0(kF) ≡ δ0 e δ2(k) ≈ δ2(kF) ≡ δ2, sendo kF o

vetor de Fermi definido como ξc,kF = 0. Ou seja, δk= δ0(k)+δ2(k) cos(2θ) → δθ = δ0+δ2cos(2θ).

(19)

Q k

ξα,k

Q= (π, π)

Figura 1.2: (Esquerda): Representa¸c˜ao esquem´atica da estrutura de duas bandas usada aqui: uma banda circular de buracos no centro da zona de Brillouin (banda ξc,k em azul) e uma

banda el´ıptica de el´etrons deslocada de Q a partir da banda de buracos (banda ξf,kem laranja).

(Direita): Superf´ıcie de Fermi dos buracos e dos el´etrons no centro da zona de Brillouin (azul) e centrada em Q (laranja), respectivamente.

Já o parâmetro δ2 é uma medida da elipticidade da superf´ıcie de Fermi dos elétrons. De modo

que δθ ´e uma medida do desvio da condi¸c˜ao de nesting perfeito e reflete o efeito de dopagem.

Apesar de que todos os cinco orbitais d do ferro contribu´ırem para os estados na super-f´ıcie de Fermi dos pnict´ıdeos de ferro, a f´ısica da competi¸cão entre antiferromagnetismo e supercondutividade é bem capturada por esse modelo efetivo de duas bandas [55]. Outros fenômenos observados nos pnict´ıdeos de ferro, como por exemplo a transi¸cão de fase tetragonal-ortorrômbica vista no diagrama de fases apresentado no painel à esquerda na Figura 0.1, só podem ser entendidos com a inclusão de outras bandas [56, 57].

O segundo termo da Hamiltoniana H descreve uma intera¸c˜ao Coulombiana do tipo HAFM = − Vm 2υ X k,k0 c†_k,sσ_ssz0f_k+Q,s0f† k0+Q,σσ z σσ0c_k0_,σ0 (1.16)

sendo υ o volume do sistema, Vm o acoplamento dessa intera¸c˜ao e σzss0 ´e o elemento (ss0) da

matriz de Pauli σz_{. Aqui e no restante desta tese, ´ındices repetidos de spin est˜}_{ao sempre}

implicitamente somados. Note que, por simplicidade, estamos assumindo que Vm independe

dos momentos e que a magnetiza¸cão apontará na dire¸cão z.

Os elétrons também estão sujeitos a uma intera¸cão de pareamento SC, a saber Hs SC = − Vs υ X k,k0 (c†_k,↑c†_−k,↓f−k0_−Q,↓f_k0_+Q,↑+ f† k+Q,↑f † −k−Q,↓c−k0_,↓c_k0_,↑). (1.17)

sendo Vs o acoplamento SC singleto.

Com o objetivo de analisar o problema dentro de uma aproxima¸c˜ao de campo m´edio (A1A2 ≈

(20)

de gap para cada banda ∆s,c = − Vs υ X k hfk+Q,↑f−k−Q,↓i e ∆s,f = − Vs υ X k hck,↑c−k,↓i, (1.18)

bem como a magnetiza¸c˜ao alternada M = Vm υ X k h hc†_k,↑fk+Q,↑i − hc†_k,↓fk+Q,↓i i . (1.19)

Note que o gap SC de uma banda é devido à intera¸cão dos elétrons na outra banda. As defini¸cões acima nos levam à seguinte Hamiltoniana de campo médio

H → HCM = X k ψ†_kHˆkψk+ Econd, sendo Econd = 2υ M2 Vm − Re(∆s,c∆∗_s,f) Vs

a ‘energia de condensa¸c˜ao’,

ˆ Hk=       ξc,k −∆s,c −M 0 −∆∗ s,c −ξc,k 0 −M∗ −M∗ ₀ _ξ f,k+Q −∆s,f 0 −M −∆∗ s,f −ξf,k+Q       (1.20) a Hamiltoniana reduzida e ψ_k† =c†_k,↑, c−k,↓, f_k+Q,↑† , f−k−Q,↓ ´e o spinor de Balian-Werthamer. Um termo constante igual a 1_υP

k(ξc,k+ ξf,k+Q), que s´o

contribui para a energia do estado normal, foi omitido.

1.1.1 Equa¸

c˜

oes auto-consistentes e expans˜

ao de Ginzburg-Landau

Primeiramente, assumimos que os parˆametros de ordem ∆s,c, ∆s,f e M s˜ao todos reais e os

ge-neralizamos como sendo fun¸cões não homogêneas do espa¸co e do tempo (imaginário) - ou equi-valentemente do momento e frequência: ∆s,c(k,ωn), ∆s,f (k,ωn) e M(k,ωn), sendo ωn= (2n + 1)πT

as frequˆencias de Matsubara fermiˆonicas (n = 0, ±1, ±2, · · · ). Denotando k = (k, ωn),

R k = TP n 1 υ P

k e sendo ˆτi (i = 1, 2, 3) as matrizes de Pauli, pode-se generalizar a Hamiltoniana

reduzida para HCM= υ Z k Z q ψ_k†Hˆk,qψq+ Econd com ˆ Hk,q = ξc,kδk,qτˆ3− ∆s,c(k−q)ˆτ1 −M(k−q) −M(k−q) ξf,k+Qδk,qτˆ3− ∆s,f (k−q)τˆ1 ! .

(21)

A fun¸cão de parti¸cão do sistema pode ser escrita como uma integral funcional sobre variáveis Grassmannianas Z ∝ Z D[ψq, ψq∗]e −S[ψq,ψ∗q]_, _(1.21)

cuja a¸c˜ao ´e dada por S[ψq, ψq∗] = Z 1/T 0 dτ " HCM+ X i,q ψ∗_i,q(τ ) ∂ ∂τψi,q(τ ) # = Z k Z q ψ_k∗Hˆk,qψq+ 2 Z x M2 Vm − ∆s,c∆s,f Vs − Z k ψ∗_kiωnψk sendoR_x =R dd_xR1/T

0 dτ . Logo, ´e ´util definir o seguinte resolvente

− ˆG_k,q−1 = ˆHk,q− iωnδk,q, (1.22)

de modo que a a¸cão é dada por S[ψq, ψ∗q] = − Z k Z q ψ_k∗Gˆ_k,q−1ψq+ 2 Z x M2 Vm −∆s,c∆s,f Vs . (1.23) Note que a a¸cão é quadrática nos férmions de Balian-Werthamer, logo as integra¸cões sobre estes graus de liberdade são triviais, resultando em

Z ∝ det −G−1 exp −2 Z x M2 Vm −∆s,c∆s,f Vs ≡ e−F [M,∆s,c,∆s,f]/T_, _(1.24)

sendo F a energia livre e f = F υ = 2M2 Vm − 2∆s,c∆s,f Vs − Z k loghdet− ˆG_k−1i (1.25) a densidade de energia livre. O determinante acima inclui apenas os ´ındices de Balian-Werthamer (spin e banda) e ´e dado por

D = det− ˆG_k−1= (ω2_n+ E_+,k2 )(ω_n2 + E_−,k2 ), (1.26) sendo E_±,k2 = 1 2 Γk± q Γ2 k+ Ωk+ Υk

os quadrados dos autovalores da Hamiltoniana reduzida [Eq. (1.20)] com Γk= ξc,k2 + ∆ 2 s,c+ ξ 2 f,k+Q+ ∆ 2 s,f + 2M 2_, Ωk = −4(ξ1,k2 + ∆ 2 s,c)(ξ 2 f,k+Q+ ∆ 2 s,f)

(22)

e

Υk = 8M2(ξc,kξf,k+Q+ ∆s,c∆s,f − M2/2).

Avaliando a soma de Matsubara da Eq. (1.25) temos f (M, ∆s,c, ∆s,f) = − 2T υ X k,a=± log 2 coth Ea,k 2T +2M 2 Vm −2∆s,c∆s,f Vs . (1.27)

Os pontos estacionários ∂f (M, ∆s,c, ∆s,f) = 0 levam às equa¸cões auto-consistentes para os

parˆametros de ordem: M = Vm υ X k,a=± M [E2 a,k+ ξc,kξf,k+Q+ ∆s,c∆s,f − M2]

2Ea,k(Ea,k2 − E−a,k2 )

tanh Ea,k 2T (1.28) e ∆s,α= − Vs υ X k,a=± (E2 a,k− ξα,k2 − ∆2α)∆s, ¯α+ M2∆s,α

tanh Ea,k 2T

, (1.29) com α = c, f . Na equa¸c˜ao acima usamos que ¯c = f e ¯f = c, e ainda, quando α = f fica subentendido que ξα,k → ξf,k+Q.

Qual é a temperatura cr´ıtica tal que um gap SC não nulo aparece? Para determinar essa temperatura usamos as equa¸cões de gap acima [Eq. (1.29)] e fazemos ∆s,α→ 0. Para simplificar

nossa discuss˜ao consideraremos o caso com M = 0: ∆s,α = − Vs υ X k,a=± ∆s, ¯α(Ea,k2 − ξα,k2 )

tanh Ea,k 2Tc,0

.

Logo, estamos determinando a temperatura SC despida Tc,0.

Simplificando E2

±,k, bem como ξα,k2 , na equa¸c˜ao acima temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes

acopladas ∆s,c = − Vs υ X k tanhξf,k+Q 2Tc,0 2ξf,k+Q ∆s,f e ∆s,f = − Vs υ X k tanh _ξ c,k 2Tc,0 2ξc,k ∆s,c.

Introduzimos a energia de Fermi ξF = εc,0− µ, de modo que as dispers˜oes ficam dadas por

ξc,k = ξk = ξF − k

2

2m e ξf,k+Q = −ξk + 2δθ. Podemos agora integrar sobre os momentos da

seguinte forma _υ1P k → m R2π 0 dθ 2π RξF −∞ dξ

2π, ademais, assumiremos que ξF → ∞, ou melhor, que

ξF/T 1. Note que m ´e proporcional `a densidade de estados bidimensional.

(23)

1 υ X k tanhξc,k 2Tc,0 2ξc,k = 1 υ X k tanhξf,k+Q 2Tc,0 2ξf,k+Q = m 2π log(2e γ_ξ F/πTc,0),

sendo γ ≈ 0.577 a constante de Euler-Mascheroni, temos que ˆ τ1 ∆s,c ∆s,f ! = −2π mVslog(2eγξF/πTc,0) ∆s,c ∆s,f ! .

Os autovalores e autovetores de ˆτ1 s˜ao ±1 e √1₂(1, ±1)T, respectivamente. Como devemos

ter 2π = ∓mVslog(2eγξF/πTc,0) > 0, conclui-se que, para Vs > 0 (Vs < 0) devemos escolher o

sinal inferior (superior), tal que

Tc,0= 2ξFeγ−2π/m|Vs|/π (1.30)

e portanto ∆s,c = −∆s,f (∆s,c = ∆s,f).

Para Vs< 0 tem-se a supercondutividade convencional, na qual a intera¸c˜ao efetiva atrativa

entre os elétrons é devida aos fônons. Este estado é também conhecido como s++_{, uma vez}

que ∆s,c e ∆s,f tˆem o mesmo sinal. Por outro lado, quando ∆s,c e ∆s,f tˆem sinais opostos, a

supercondutividade é não-convencional pois os pares de Cooper são formados devido à intera¸cão eletrônica repulsiva Vs > 0. Este estado é chamado de estado s+−. O entendimento de qual

é o mecanismo de emparelhamento dos elétrons neste segundo caso é ainda uma questão em aberto.

Note que a temperatura cr´ıtica SC despida (na ausência de competi¸cão com magnetismo) independe dos parâmetros δ0 e δ2. Em contrapartida, a temperatura cr´ıtica AFM despida, que

ser´a discutida a seguir, depende de tais parˆametros.

No regime M, ∆s,c, ∆s,f 1, expandimos a densidade de energia livre (1.27) para escrever

a expansão de GL para a densidade de energia livre. Introduzindo ∆f = f − f (0, 0, 0) temos que ∆f ≈ am 2 M 2 + um 4 M 4 +X α,β as,αβ 2 ∆s,α∆s,β+ X α us,α 4 ∆ 4 s,α+ X α γααM2∆2s,α+ γcf 2 M 2 ∆s,c∆s,f. (1.31) As expressões microscópicas dos coeficientes acima, em termos das dispersões e dos acoplamen-tos Vs e Vm, são apresentados na Se¸cão B.1 do Apêndice B [ver Eq. (B.15) - (B.18), (B.21) e

(B.22)].

Restringir-nos-emos aos casos em que ∆s,c = ±∆s,f ≡ ±∆s. Nestes casos, a energia livre ´e

a mesma dada pela Eq. (1.25) com γms→ γms+± = γcc+ γf f ± γcf e as = as,cc+ as,f f + 2|as,cf| e

us= us,c+ us,f.

A temperatura de Néel pura é a solu¸cão da equa¸cão am(TN,0) = 0. Avaliando numericamente

(24)

0 1 2 3 3.5 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 δ₀₍₂₎_/T_c,0 T / Tc, 0 T N ,0_(δ 0_/T c,0₌ 2,δ 2₎ T N ,0_(δ 0_{, δ} 2_/T c,0₌ 3) as= 0 ¯ TN,0/Tc,0= 2

u

m

>

0 ˜

u

m

<

0

˜ δ₀

u

m

<

0

˜ δ2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2

D

+₋ ms

> 0

D

+− ms

> 0

D

+₋ ms

< 0

Figura 1.3: (Esquerda) Comportamento da temperatura de Néel para o estado magnético puro TN,0, ou seja, a solu¸cão da Eq. am(TN,0) = 0. Na curva em laranja (amarelo) δ2 (δ0) é fixado e

plotamos TN,0 vs. δ0 (δ2). Os resultados mostrados s˜ao para ¯TN,0/Tc,0 = 2. No mesmo gr´afico

tamb´em mostramos a temperatura cr´ıtica supercondutora despida Tc,0, em verde, que n˜ao

de-pende de δθ [veja, por exemplo, a Eq. (1.30)]. Note que, em geral TN,0 (pelo menos pr´oximo de

Tc,0) é uma fun¸cão monotônica decrescente dos parâmetros δ0(2). (Direita): Sinais de ume do

de-nominador D+−

ms no plano (˜δ0 = δ0/2πT, ˜δ2 = δ2/2πT ). um´e positivo (negativo) acima (abaixo)

da curva laranja e D+−

ms é positivo (negativo) nas regiões em cinza (branco). A expansão de GL,

até ordem quártica em M , só tem sentido na região com um> 0. Logo, o caso de

supercondu-tividade n˜ao-convencional, i.e., Vs > 0 e ∆s,c = −∆s,f ≡ −∆s, possibilita que o denominador

das Eqs. (1.8) - (1.10) seja negativo, em razão disso, há uma possibilidade do aparecimento de uma fase de coexistência microscópica de antiferromagnetismo e supercondutividade.

encontrar TN,0. No painel `a direita na Figura 1.3 mostramos o comportamento de TN,0, em

fun¸c˜ao de δ0 (δ2) para um valor fixo de δ2 (δ0). Nesta figura escolheremos Vs ≈ 266 meV e

Vm ≈ 311 meV, tais que Tc,0 = 1 meV (∼ 12 K) e ¯TN,0/Tc,0 = 2. A escolha de Vs estabelece

a escala de energia que usaremos, por outro lado, ´e importante tomarmos ¯TN,0 > Tc,0 a fim de

que a transi¸c˜ao AFM ocorra a uma temperatura maior do que a transi¸c˜ao SC.

No painel `a direita na Figura 1.3, mostramos o sinal de um no plano (˜δ0 = δ0/2πT, ˜δ2 =

δ2/2πT ). Foi encontrado numericamente que γms ´e positivo, o que indica que as fases

or-denadas puras competem entre si. As médias sobre a dire¸cão angular θ dos coeficientes de GL apresentados no Apêndice B podem ser calculadas analiticamente em uma expansão próxima do nesting perfeito (|δθ| 1). Vamos analisar, nesse limite, os denominadores

Dms→ D+±ms = (γ+±ms)2− umus das Eqs. (1.8) - (1.10). Os resultados s˜ao

D++_ms ≈ m T2 14.35 − 164.4˜δ₀2− 82.22˜δ₂2+ 439.9˜δ₂4+ 1391˜δ₀4+ 2865˜δ2₀δ˜₂2 (1.32) e D_ms+−≈ m T2 99.09˜δ₀4− 173.9˜δ₀2δ˜₂2+ 7.713˜δ₂4. (1.33) Conforme discutido no in´ıcio deste cap´ıtulo se Dms> 0 h´a uma transi¸c˜ao de fase de primeira

(25)

ordem entre o estado AFM puro e o estado SC puro. Por outro lado, quando Dms < 0 o estado

de coexistˆencia AFM+SC tem menor energia que os estados ordenados puros.

Da Eq. (1.32) vemos que, para ˜δ0 e ˜δ2 pequenos, Dms++´e positivo. De fato, calculamos Dms++

numericamente, sem expandir em ˜δθ e sempre encontramos que D++ms > 0. Logo, no caso de

supercondutividade s++, i.e., supercondutividade convencional, não há uma fase de coexistência microscópica de magnetismo e supercondutividade. Neste caso, a competi¸cão entre os estados ordenados puros, γ++

ms , é tão forte que estas duas fases são separadas por uma transi¸cão de

primeira ordem.

Analisando a Eq. (1.33) nos dois limites ˜δ0 = 0 ou ˜δ2 = 0 vemos que Dms+− > 0 e a

transi¸cão entre os estados ordenados puros será também de primeira ordem. Entretanto, com ˜

δ0 6= 0 e ˜δ2 6= 0 ´e poss´ıvel termos D+−ms negativo. Avaliamos D+−ms numericamente, para ˜δθ

finito, e mostramos o sinal dessa quantidade no plano (˜δ0, ˜δ2) no painel `a direita na Figura

1.3. Note que há uma vasta região com D+−_ms < 0 e, portanto, o estado de coexistência pode aparecer. Nesse mesmo painel também é mostrado o sinal de um. Lembre-se que a expansão

de GL (para que transi¸cões puras sejam de segunda ordem) é válida apenas quando um > 0.

A banda el´ıptica ´e um ingrediente fundamental, pois, tomando duas bandas circulares, ˜δ2 = 0,

e alterando apenas ˜δ0 não é é poss´ıvel haver a fase de coexistência. Enfatizamos ainda que

alterando apenas a elipticidade da dispersão dos elétrons, i.e., mudando ˜δ2 com ˜δ0 = 0, também

destrói a fase de coexistência, que portanto, só é poss´ıvel com ambos ˜δ0 e ˜δ2 finitos.

Se não houvesse uma competi¸cão (γms ≡ 0) entre os estados ordenados magnético e SC

as temperaturas cr´ıticas despidas Tc,0 e TN,0 seriam suficientes para obter o diagrama de fases

do modelo (gráfico à esquerda da Figura 1.3). Ou seja, ter´ıamos antiferromagnetismo em toda a região abaixo da linha laranja, ou da amarela, e supercondutividade abaixo da linha horizontal verde, de modo que haveria uma grande região com coexistência destas duas ordens. Na próxima se¸cão, analisaremos a renormaliza¸cão das temperaturas cr´ıticas [Tc e TN, ver Eqs.

(1.13) e (1.14)] devido à competi¸cão (γms 6= 0). Isto será feito através da análise das solu¸cões

das equa¸cões de campo médio (1.3) usando os coeficientes de GL derivados no Apêndice B. Isso possibilitará montar os diagramas de fases para o modelo. Como veremos, a região de coexistência das duas ordens é bem menor que a interseçcão das regiões T < Tc,0 e T < TN,0.

De fato, como já dito várias vezes, quando a competi¸cão é forte Dms > 0 e a coexistência não

existe.

1.2 Diagramas de fases

Nosso objetivo nesta se¸cão é calcular os parâmetros de ordem [Eqs. (1.4), (1.6), (1.8) e (1.9)] e então montar os diagramas de fases para o modelo. Para tal, devemos escolher um conjunto de parâmetros. Usaremos unidades em que kF = 1 e fixaremos ξF = 100 meV. Logo m =

(26)

0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 δ₀_/T_c,0 T / Tc, 0 AFM δ₂_/T_c,0_{= 3.5} ¯ TN,0/Tc,0= 3 Normal s++ SC singleto 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 δ₀_/T_c,0 T / Tc, 0 δ₂_/T_c,0_{= 1} ¯ TN,0/Tc,0= 1.5 AFM SC singleto Normal s+−

Figura 1.4: Esquerda (Direita): Diagrama de fases para o caso de supercondutividade convenci-onal s++(não-convencional s+−). As fases AFM e SC são separadas por uma linha de transi¸cão de fase de primeira ordem (na qual Fm = Fs) que termina num ponto bi-cr´ıtico. As linhas

con-t´ınuas laranja e verde, dadas por am = 0 e as = 0, s˜ao as temperaturas de N´eel e cr´ıtica SC

despidas, respectivamente. Neste diagrama de fase, e nos pr´oximos, linhas cont´ınuas/tracejadas representam transi¸c˜oes de segunda/primeira ordem.

0.005 meV−1. Al´em disso, escolheremos novamente Vs ≈ 266 meV, tal que Tc,0 = 1 meV

(∼ 12 K). Daqui em diante, a menos que especifiquemos o contrário, iremos sempre utilizar essa escolha de parâmetros. Por outro lado, os valores de Vm são dados pelas escolhas dos

valores fixados de ¯TN,0, que s˜ao apresentados nas figuras.

Conforme enfatizado na se¸c˜ao anterior, a supercondutividade convencional no modelo de duas bandas, tamb´em chamada de supercondutividade s++_{, n˜}_{ao permite a coexistˆ}_encia

micros-cópica de antiferromagnetismo e supercondutividade. Neste caso, o estado de menor energia livre do sistema é o estado normal ou um dos dois estados ordenados puros (D_ms++> 0 sempre). No painel à esquerda na Figura 1.4 têm-se o diagrama de fases t´ıpico para o modelo nesse regime (∆s,c = ∆s,f ≡ ∆s). Como pode-se ver na figura, ao diminuir a temperatura o sistema ordenará

na fase AFM ou SC (está transi¸cão é de segunda ordem, us> 0 e estamos interessados na região

com um > 0). Reduzindo ainda mais a temperatura o sistema pode continuar na mesma fase

ordenada ou sofrer uma transi¸c˜ao de primeira ordem para a outra fase ordenada. Por outro lado, se o sistema se encontra no estado AFM e δ0´e aumentado o sistema pode ir continuamente

para o estado normal ou sofrer uma transi¸cão de fase descont´ınua para o estado SC. O diagrama mostrado é no plano (T /Tc,0,δ0/Tc,0) para um valor fixo de elipticidade da banda de elétrons

(δ2) porém o diagrama no plano (T /Tc,0,δ2/Tc,0) com δ0 fixo é qualitativamente o idêntico. As

linhas cont´ınuas laranja e verde correspondem, respectivamente, a am = 0 e as = 0. Estas

linhas se interceptam no ponto bi-cr´ıtico T∗ = Tc,0 e δ∗0 ≈ 3.595 Tc,0, que ´e exatamente onde

acaba a linha tracejada. Esta linha de transi¸cão de fase de primeira de ordem entre os estados ordenados puros ocorre exatamente quando as energias de condensa¸cão dos estados puros são

(27)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 |∆ s |, M T /Tc,0 δ₂_/T_c,0 = 1 δ₀_/T_c,0 _{= 1.4} |∆s| M 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 |∆ s |, M δ₀_/T_c,0 M |∆s| δ₂_/T_c,0 _{= 1} T /Tc,0 = 0.75

Figura 1.5: Esquerda (Direita): Parˆametros de ordem versus T /Tc,0(δ2/Tc,0) para o valor de δ0

usado no diagrama de fases da esquerda da Figura 1.4. Nestes gr´aficos estamos considerando o regime de supercondutividade s+−_{. Vemos claramente nestes gr´}_{aficos, que a transi¸c˜}_{ao de}

fase do estado normal para o estado ordenado SC puro é cont´ınua, que não há uma fase de coexistência microscópica dos estados AFM e SC, e que as duas fases ordenadas puras estão separadas por uma transi¸cão descont´ınua.

iguais, ou seja, quando a2

sum= a2mus [veja Eqs. (1.5) e (1.7)]. Vale a pena salientar aqui que os

coeficientes qu´articos (us,um e γms) s˜ao sempre calculados no ponto multi-cr´ıtico.

No caso de supercondutividade s+−_{, ou seja supercondutividade n˜}_{ao-convencional, tˆ}_em-se

um comportamento bastante parecido quando δ0 ou δ2 s˜ao suficientemente pequenos, uma vez

que neste regime D+−

ms > 0, ver Figura 1.3 e tamb´em a Eq. (1.33). Como exemplo, mostramos o

diagrama de fases no plano (T /Tc,0,δ0/Tc,0) com δ2 fixo no painel `a direita na Figura 1.4. Assim

como no caso de supercondutividade convencional, os dois estados ordenados são separados por uma transi¸cão de fase de primeira ordem, para esta escolha de δ2. O ponto bi-cr´ıtico é, para

esta escolha de δ2, dado por δ∗0 ≈ 1.464 Tc,0. Note que T∗ = Tc,0 sempre, uma vez que as n˜ao

depende dos parˆametros δ0e δ2. Na Figura 1.5 apresentamos os comportamentos dos parˆametros

de ordem em fun¸c˜ao da temperatura e de δ0. No painel `a esquerda, vemos que diminuindo a

temperatura, em T ≈ 1.05 Tc,0 o sistema sofre uma quebra espontˆanea de simetria cont´ınua

SO(3), mas o parˆametro de ordem SC cont´ınua nulo. Em T ≈ 0.87 Tc,0 o sistema apresenta

supercondutividade e M se anula descontinuamente. Por outro lado, conforme mostrado no painel `a direita, quando fixamos T , para δ0 pequeno o sistema se encontra na fase AFM.

Aumentando δ0, em δ0 ≈ 1.33 Tc,0, a magnetiza¸c˜ao alternada salta de um valor finito para

zero e ∆s, que at´e ent˜ao era nulo, assume um valor finito. Vale salientar que, para um valor

(suficientemente pequeno) fixo de δ0, observou-se que o diagrama de fases em fun¸c˜ao de δ2 ´e

qualitativamente igual.

Entretanto, para valores maiores de δ0 e δ2, o denominador das equa¸c˜oes (1.8) - (1.10) pode

vir a ficar negativo (D+−

(28)

0 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2 2.5 δ₀_/T_c,0 T / Tc, 0 AFM+ SC SC singleto Normal AFM δ₂_/T_c,0_{= 3.5} ¯ TN,0/Tc,0= 3 s+− 1.5 2 2.5 3 3.5 0.9 1 1.1 1.2 δ₂_/T_c,0 T / Tc, 0 AFM +SC Normal AFM δ₀_/T_c,0_{= 2} ¯ TN,0/Tc,0= 2 SC singleto s+−

Figura 1.6: Diagrama de fases para o caso s+−_{. No painel `}_{a esquerda (direita) mostramos o}

diagrama de fase em fun¸c˜ao de δ0 (δ2) com δ2 (δ0) fixo. Na regi˜ao AFM e SC temos que asum >

amγms e amus > asγms, respectivamente. E na regi˜ao AFM+SC temos que asum < amγms,

amus < asγmse ainda D+−ms < 0. Esta última região do diagrama de fase é a fase termodinâmica

estável do sistema, na qual magnetismo e supercondutividade coexistem microscopicamente. O ponto tetra-cr´ıtico no diagrama de fases à esquerda é dado por T∗ = Tc,0 e δ0∗ ≈ 3.595 Tc,0, que

é o mesmo valor do ponto bi-cr´ıtico do diagrama de fases no painel da esquerda da Fig. 1.4 para o caso supercondutividade não-convencional. Isso se deve ao fato de que a localiza¸cão do ponto multi-cr´ıtico depende apenas dos coeficientes quadráticos as e am, entretanto a natureza do

mesmo, depende dos coeficientes quárticos e, portanto, o mesmo pode ter diferentes naturezas dependendo se a supercondutividade é convencional ou não-convencional. No painel à direita o ponto tetra-cr´ıtico é dado por T∗ = Tc,0 e δ∗2 ≈ 2.606 Tc,0

tem-se asum < amγms e amus < asγms, veja Eqs. (1.8) e (1.9). E esta ´e uma solu¸c˜ao f´ısica

das equa¸cões de campo médio correspondente a uma fase termodinâmica onde magnetismo e supercondutividade coexistem microscopicamente. Mostra-se os diagramas de fase em fun¸cão de δ0 e δ2 na Figura 1.6. Novamente, as linhas cont´ınuas laranja e verde correspondem às

temperaturas de N´eel TN e cr´ıtica supercondutora Tc, respectivamente, de modo que na regi˜ao

entre estas duas curvas (denominada de região AFM+SC) os dois parâmetros de ordem são simultaneamente não nulos. Isto é, as linhas delimitando o estado misto são linhas de transi¸cão de fase verdadeiras e não spinodais de uma transi¸cão de fase de primeira ordem putativa. Estas linhas representam transi¸cões de fase cont´ınuas, a saber, na linha verde/laranja o parâmetro de ordem supercondutor/magnético vai a zero continuamente diminuindo/aumentando δ0 ou δ2.

A linha verde horizontal ´e, obviamente dada por as = 0, i.e., T = Tc,0, e a linha laranja

para T > Tc,0´e dada por am= 0. Para T < Tc,0, estas linhas que delimitam o estado misto s˜ao

dadas por fm = fcoex e fs = fcoex, respectivamente. Ou seja, `a esquerda (direita) da linha verde

(laranja) tem-se que fm < fcoex (fs < fcoex). Das express˜oes para as energias de condensa¸c˜ao

[Eq. (1.5), (1.7) e (1.10)] vemos que a linha verde (laranja) ´e dada por as = amγms/um (am =

(29)

quadráticos, renormalizados, das expansões para as energias livres como fun¸cão apenas de ∆s

e M se anulam levam exatamente `as express˜oes mostradas acima.

A inclusão de termos que vão além da análise de campo médio, i.e., flutua¸cões cr´ıticas, altera-ram as inclina¸cões das linhas de transi¸cões de fases próximas do ponto multi-cr´ıtico (T∗, δ₀₍₂₎∗ ), entretanto, o comportamento genérico dos diagramas de fase não é afetado por flutua¸cões [58, 59].

Mostramos os parâmetros de ordem como fun¸cão de T e δ2 na Figura 1.7. No painel à

esquerda temos ∆s e M em fun¸c˜ao de T /Tc,0; diminuindo a temperatura, em TN,0 ≈ 1.25 Tc,0,

o sistema sofre uma transi¸cão de fase magnética de segunda ordem e o parâmetro de ordem SC continua nulo. Entretanto, diminuindo ainda mais T , em Tc ≈ 0.89 Tc,0 o sistema sofrerá uma

transi¸cão SC que acarretará numa diminui¸cão do parâmetro de ordem magnético. Finalmente, para TN / 0.57 Tc,0 a magnetiza¸cão alternada é nula. No gráfico inserido, a t´ıtulo ilustrativo,

mostramos também os comportamentos das energias de condensa¸cão como fun¸cões da tempe-ratura T . De fato, na região de coexistência, vê-se que o estado misto (AFM+SC) possui uma menor energia livre que os estados ordenados puros. Em contrapartida, no painel à direita te-mos ∆s e M em fun¸cão de δ0 para um valor fixo de T . Para valores pequenos de δ0 o sistema se

encontra no estado AFM. Entretanto, o aumento de δ0 causa o aparecimento da fase de

equil´ı-brio mista, na qual ∆s e M s˜ao n˜ao nulos (note que ∆s aparece continuamente a partir de zero)

e, por fim, com um progressivo aumento de δ0 o antiferromagnetismo ser´a continuamente

supri-mido e o sistema estará no estado SC puro. Novamente, no gráfico inserido temos as evolu¸cões das energias de condensa¸cão evidenciando que na região de coexistˆ_{encia (3.11 / δ}0/Tc,0/ 3.50)

o estado misto (AFM+SC) é o estado termodinâmico estável do sistema.

Todos os diagramas de fases mostrados aqui concordam os resultados obtidos por Voront-sov et al. [24] pr´oximo dos pontos multi-cr´ıticos. Em particular, esses autores resolveram as equa¸c˜oes auto-consistentes (1.28) e (1.28) para obter os diagramas de fases do modelo, e encon-traram que no regime s++ _s´_{o h´}_{a coexistˆ}_{encia de antiferromagnetismo e supercondutividade em}

temperaturas muito baixas e em um pequena região dos parâmetros δ0 e δ2. Ou seja, próximo

do ponto multi-cr´ıticos, região de validade do funcional de GL, não há o estado AFM+SC. ´

E importante mantermos em mente que intentamos aqui captar o diagrama de fases de SCs `

a base de ferro, por exemplo, o diagrama de fases experimental do arsenieto de ferro BaFe2As2

que é mostrado no painel à esquerda da Figura 0.1. Neste diagrama de fases há uma transi¸cão tetragonal-ortorrômbica que não pode ser antevista apenas com o modelo de duas bandas que estamos estudando. A fim de entender esta transi¸cão, uma extensão do modelo deve ser feita através da inclusão de outras bandas [56, 57]. Todavia, o modelo de duas bandas, no regime não-convencional s+−_{, ´}_{e capaz de prever o aparecimento da fase de coexistˆ}_{encia AFM+SC.}

Em geral, quando não há competi¸cão entre os estados ordenados, tem-se que dM2_{/dT < 0 e}

(30)

0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 T /Tc,0 |∆ s |, M 0.6 0.7 0.8 0.9 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0x 10 −3 T /Tc,0 f M |∆s| fm fcoex fs δ₂_/T_c,0 _{= 3.5} δ₀_/T_c,0 _{= 3.4} 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 δ₀_/T_c,0 |∆ s |, M 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 −1.5 −1 −0.5 x 10−3 δ₀_/T_c,0 f M |∆s| δ₂_/T_c,0 _{= 3.5} T /Tc,0 = 0.75 fm fs fcoex

Figura 1.7: Esquerda (Direita): Comportamento de ∆s e M em fun¸c˜ao de T /Tc,0(δ0/Tc,0) para

δ2/Tc,0 = 3.5, que foi o valor de δ2 usado no diagrama de fases do painel da direita na Figura

1.6. A transi¸c˜ao de fase do estado normal (no qual ∆s e M s˜ao ambos nulos) para o estado

magneticamente ordenado puro é novamente de segunda ordem. Isso é devido à escolha de um > 0. Não obstante, neste caso há uma região na qual ambos ∆s e M são não nulos. Note

que, diminuindo T , ∆s tamb´em surge a partir de zero. E ainda, para uma temperatura fixa, ao

variarmos δ0, a transi¸c˜ao entre o estado puro (seja ele AFM ou SC) e o estado misto se d´a de

modo cont´ınuo. Nos gráficos inseridos temos as densidades de energia livre de condensa¸cão de cada estado. Estes mostram claramente que a solu¸cão de menor energia na região AFM+SC é a solu¸cão de coexistência microscópica.

acordo com as Eqs. (1.4) e (1.6). Entretanto, a competi¸cão entre as fases pode mudar este cenário. O modelo de duas bandas prevê que abaixo da temperatura cr´ıtica SC a magnetiza¸cão alternada diminui à medida que a temperatura diminui, ou seja dM2_{/dT > 0, conforme painel `}_a

esquerda da Figura 1.7. E isto está em pleno acordo com medidas experimentais em compostos SCs à base de Fe e As [5–7, 55]. Mostramos o comportamento da magnetiza¸cão em fun¸cão da temperatura para o composto BaFe2As2 na Figura 1.8 que foi reproduzida da Ref. [55]. Estes

dados foram obtidos por experimentos de difra¸cão de nêutrons e concordam qualitativamente com os resultados obtidos aqui para o regime de supercondutividade não-convencional. Em geral, dM2/dT > 0 quando am,0us < as,0γms, ver Eq. (1.9). Um fato interessante é que esse

comportamento de M , abaixo de Tc, implica na reentrˆancia do estado SC na fase AFM que

é mostrada nos diagramas de fases da Figura 1.6. Para demonstrar isso usamos a Eq. (1.14) para calcular a taxa de varia¸cão da temperatura de Néel em rela¸cão a um parâmetro f´ısico x (x = δ0(2) para o modelo de duas bandas):

dTN dx = as,0γms am,0us− as,0γms dTN,0 dx > 0

se dTN,0/dx < 0 pois o denominador do primeiro fator ´e negativo (condi¸c˜ao para dM2/dT > 0).

Em geral, a temperatura de Néel despida TN,0(x) é uma fun¸cão decrescente de x. Para o

(31)

Figura 1.8: Quadrado da magnetiza¸cão alternada, medido via difra¸cão de nêutrons em fun¸cão da temperatura para diversos valores de concentra¸cão x de Co. O painel à direita mostra dados em uma escala expandida. Figura reproduzida da Ref. [55].

na Figura 1.3 (veja tamb´em a Figura 1.6).

Al´em disso, o comportamento de reentrˆancia observado nos diagramas de fases mostram que dTc/dx > 0. Da Eq. (1.13) obtemos que

dTc dx = − am,0γms as,0um− am,0γms dTN,0 dx . (1.34)

Usando que Dms = γms2 − usum < 0, vemos que as,0um > am,0γms e, portanto, dTc/dx > 0.

Por fim, pela Eq. (1.8), temos que se a condi¸c˜ao as,0um > am,0γms ´e verdadeira, devemos ter

d|∆s|2/dT < 0 e isso ´e auto-consistentemente satisfeito, uma vez que o sistema est´a entrando

na fase SC ordenada. Veja também a Figura 1.7: na região AFM+SC tem-se dM/dT > 0 e d|∆s|/dT < 0. Conforme mostraremos a seguir este estado é um m´ınimo estável de f (M , ∆s)

[Eq. (1.1)] e portanto ´e um m´ınimo global, pois j´a foi demonstrado que fm> fcoex e fs > fcoex

nesta regi˜ao.

Uma vez que a magnetiza¸cão alternada é um vetor com três componentes e ∆s é um

parˆametro de ordem complexo, denotaremos estas quantidades como M = (Mx, My, Mz) e

∆s = |∆s|eiαs, respectivamente. No equil´ıbrio, pode-se escolher, sem perda de generalidade,

Mx = My = αs = 0. Para caracterizar a natureza dos pontos estacion´arios de f , definiremos o

conjunto de parˆametros de ordem φT = [Mx, My, Mz, |∆s|, αs] e a matriz Hessiana Hi,j = ∂

2_F

∂φi_∂φj,

tal que, pr´oxima de seus pontos estacion´arios, podemos escrever a energia livre como f [φi] = f [φi₀] +1 2δφ T (H){φi 0}δφ, sendo φT

0 = [M0, ∆s 0] o conjunto de parˆametros de ordens que extremiza f . Como ´e bem

(32)

As matrizes Hessianas para os estados ordenados SC [Eq. 1.4] e AFM [Eq. 1.6] puros s˜ao dadas por (H)M(s),∆s (s) =         am− asγms/us 0 0 0 am− asγms/us 0 0 0 am− asγms/us 0 0 0 −2as 0 0 0 0         e (H)M(m),∆s (m) =         0 0 0 0 0 0 0 −2am 0 0 as− amγms/um 0 0 0 0         ,

respectivamente. Uma vez que as < 0 (am < 0) na regi˜ao SC (AFM), e ainda, encontramos

numericamente que amus > asγms (asum > amγms) nesta mesma regi˜ao, conclui-se que H ´e

positivo-definida nas regi˜oes do estado ordenado puro SC (AFM).

Por outro lado, para o estado misto [Eqs. (1.8) e (1.9)] a matriz Hessiana ´e

(H)M(c),∆s (c) = 2         0 0 0 0 0 0 0 umM 2 z (c) γmsMz (c)|∆s (c)| γmsMz (c)|∆s (c)| us|∆s (c)|2 0 0 0 0         ,

que possui três autovalores nulos [isso reflete a simetria de rota¸cão SO(3) e a simetria global U (1) que são espontaneamente quebradas nesta fase ordenada] e outros dois autovalores que são dados por

umMz (c)2 + us|∆s (c)|2 ±

q

(umM_{z (c)}2 − us|∆s (c)|2)2− 4γms2 Mz (c)2 |∆s (c)|2.

´

E fácil mostrar que, para que a expressão com sinal inferior seja sempre positiva, deve-se ter usum > γms2 , ou seja Dms < 0. Portanto, o estado misto é um m´ınimo estável das equa¸cões de

campo médio e, além disso, como já foi demonstrado, Dms< 0 implica que a energia livre nesta

solu¸cão é menor que a energia livre de ambos os estados puros. Logo, conclui-se que o estado de coexistência microscópica é um m´ınimo global de f e portanto o estado termodinâmico estável do sistema.

Até agora analisamos apenas a supercondutividade do tipo singleto. Entretanto, no estado de coexistência microscópica dos estados AFM e SC, ambas as simetrias SO(3) e U (1) são

(33)

quebradas simultaneamente e em cada célula unitária da rede. Logo, a componente tripleto do estado supercondutor existe naturalmente. Assim, quando uma dire¸cão preferencial para a magnetiza¸cão é especificada, ou seja, há quebra espontânea da simetria de rota¸cão no espa¸co de spins, os pares de Cooper são uma combina¸cão de spin singleto e tripleto, pois o spin eletrônico não é mais um bom número quântico. Entretanto, se a coexistência é macroscópica ou não homogênea, as simetrias SO(3) e U (1) não são quebradas localmente. Portanto, os elétrons se emparelham num estado do tipo singleto nas regiões da amostra onde a simetria U (1) foi quebrada e, nas partes da amostra onde apenas a simetria SO(3) foi quebrada, não há supercondutividade. Na se¸cão final deste cap´ıtulo iremos demonstrar como as componentes tripleto hck,sf−k−Q,s0i podem ser auto-consistentemente geradas na fase AFM+SC.

1.2.1 Componente tripleto

A componente tripleto com proje¸c˜ao nula de spin no eixo z ´e dada por ∆(0)_t = −1 υ X k hfk+Q,↑c−k,↓i + hfk+Q,↓c−k,↑i 2 ,

e os valores esperados anˆomalos acima podem ser obtidos da matriz das fun¸c˜oes de Green ˆ

Gk,iωn =

1 iωn− ˆHk

. (1.35)

Para isso, precisamos inverter o resolvente 1.22. Na Se¸cão A.1 do Apêndice A mostramos essa inversão, que leva ao seguinte resultado para a componente tripleto acima:

∆(0)_t = − Z k M (∆s,f− ∆s,c)(ξc,k+ ξf,k+Q) 2(ω2 n+ E+,k2 )(ωn2+ E−,k2 ) = M ∆s 1 υ X k,a ξc,k+ ξf,k+Q

Ea,k(E_a,k2 − E−a,k2 )

tanh Ea,k 2T

. (1.36)

Note que na ´ultima linha nos restringimos ao regime ∆s,c = −∆s,f ≡ −∆s. O caso de

su-percondutividade s++ tem ∆(0)_t ≡ 0. De fato, não deve haver uma componente tripleto neste estado pois as simetrias SO(3) e U (1) não são simultaneamente quebradas [veja, por exemplo, o diagrama de fase no painel da esquerda na Figura 1.4]. Por outro lado, no caso de super-condutividade s+−_{, se a condi¸c˜}_{ao de nesting perfeito (ξ}

c,k 6= −ξf,k+Q) n˜ao for satisfeita, ∆ (0) t ´e

auto-consistentemente gerada se ambos M e ∆s são não nulos. Ou seja, há naturalmente uma

componente tripleto do estado SC na fase de coexistência microscópica AFM+SC. Entretanto, na fase SC dos diagramas de fases da Figura 1.6 apenas a componente singleto está presente, uma vez que nestas regiões tem-se que M ≡ 0.

No próximo cap´ıtulo iremos analisar a influência da componente tripleto acima, bem como das componentes hck,↑f−k−Q,↑i e hck,↓f−k−Q,↓i, no diagrama de fases. Adotaremos a nota¸cão

(34)

do vetor-d, introduzida por Balian e Werthamer [26], para caracterizar as três componentes dos pares de Cooper no estado tripleto. Também iremos generalizar a magnetiza¸cão alternada como um vetor em uma dire¸cão arbitrária [na Eq. (1.16) M foi fixado na dire¸cão z] a fim de analisar a rela¸cão entre M e o vetor-d.

(35)

Cap´ıtulo 2

Coexistˆ

encia de antiferromagnetismo e

supercondutividade: inclus˜

ao de uma

componente tripleto

Neste cap´ıtulo generalizaremos o modelo que foi estudado no cap´ıtulo anterior (Cap. 1) para incluir uma magnetiza¸cão alternada em uma dire¸cão arbitrária, bem como incluiremos expli-citamente no modelo um canal de supercondutividade tripleto. Consideraremos agora uma Hamiltoniana com quatro termos

H = H0+ HAFM+ HsSC+ H t

SC, (2.1)

com H0 e HsSC dados pela Eqs. (1.15) e (1.17), respectivamente. O segundo termo, respons´avel

pelo aparecimento de antiferromagnetismo, ser´a modificado para HAFM = − Vm 2υ X k,k0 c†_k,sσss0f_k+Q,s0· f† k0+Q,σσσσ0ck0,σ0, (2.2)

na qual σss0 ´e o elemento (ss0) do vetor das matrizes Pauli. Lembre-se que a nota¸c˜ao de Einstein

para ´ındices repetidos de spin está sendo usada. Por fim o último termo de H é dado por

Ht SC = − Vt 2υ X k,k0 ˆ_{d · σiσ}y ss0 ˆ_{d · σiσ}y† σσ0 f_k+Q,s† c†_−k,s0c_−k0_,σf_k0_+Q,σ0 + h.c. ,

sendo Vt o acoplamento SC do tripleto. Note que a intera¸c˜ao de emparelhamento SC tripleto

têm um momento finito Q e é caracterizada por um vetor unitário ˆd = ( ˆdx, ˆdy, ˆdz)T. O spinor

ˆ

d·σiσy_{para pares de Cooper no estado tripleto ´}_{e discutido nas Refs. [26, 60, 61] e foi introduzido}

por Balian e Werthamer em 1963 [26] (veja tamb´em as Refs. [19, 27]). Deve-se frisar que mesmo na ausˆencia de Ht

SC, a supercondutividade do tipo tripleto ´e gerada

(36)

rota¸c˜ao de spin e os canais tripleto e singleto passam a se misturar quanticamente no estado de simetria quebrada. De fato, o aparecimento de hc−k,sfk+Q,s0i 6= 0 na fase de coexistˆencia foi

demonstrado explicitamente na subse¸cão 1.2.1. Todavia, optamos por incluir explicitamente o canal tripleto para uma abordagem mais simplificada, já que estamos interessados na fenome-nologia da coexistência de magnetismo e supercondutividade singleto e tripleto.

Os parˆametros de ordem SCs singletos para cada banda continuam dados pela Eq. (1.18). Por outro lado, generalizamos a magnetiza¸c˜ao alternada [Eq. (1.19)] para

M = −Vm 2υ X k σss0hf† k+Q,sck,s0i, (2.3) sendo M = (Mx, My, Mz) T

. Por fim, introduzimos o parˆametro de ordem supercondutor tri-pleto [19, 26, 27, 60] ∆t = − Vt 2υ X k hfk+Q,s(ˆd · σiσy) † ss0c−k,s0i, (2.4)

que diferentemente dos parâmetros de ordem supercondutores singletos, que têm momentos nulos e são formados por um par de elétrons ou um par de buracos, emparelha um elétron e um buraco com momento total finito igual a Q.

Considerando a aproxima¸c˜ao usual de campo m´edio temos que HAFM ≈ X k h c†_k,s(M · σ)ss0f_k+Q,s0 + h.c. i +2υ|M | 2 Vm , Hs SC ≈ X k ∆s,cc † k,↑c † −k,↓+ ∆s,ff † k+Q,↑f † −k−Q,↓+ h.c. − 2υRe(∆ ∗ s,f∆s,c) Vs e Ht SC ≈ − X k h ˆ_{d · σiσ}y ss0∆tf † k+Q,sc † −k,s0 + h.c. i +2υ|∆t| 2 Vt .

Introduzindo a matriz do gap SC tripleto ˆ∆t = ˆd · σ iσy∆t e o spinor de Balian-Werthamer

de oito componentes ψ_k† = (c†_k,↑, c†_k,↓, c−k,↑, c−k,↓, f † k+Q,↑, f

†

k+Q,↓, f−k−Q,↑, f−k−Q,↓), podemos

es-crever a Hamiltoniana de campo m´edio total na seguinte forma compacta H ≈ HCM= 1 2 X k ψ†_kHˆkψk+ Econd, (2.5) sendo Econd = 2υ h M2 Vm − Re(∆s,1∆∗s,2) Vs + |∆t|2 Vt i e ˆ Hk =       ξc,k12 ∆s,c(iσy) M · σ ∆ˆt −∆∗ s,c(iσy) −ξc,k12 − ˆ∆ † t − (M · σ) ∗ (M · σ)† − ˆ∆t ξf,k+Q12 ∆s,f(iσy) ˆ ∆†_t − (M · σ)T −∆∗ s,f(iσy) −ξf,k+Q12       . (2.6)