Inteiros e Indu»c~ao Finita

(1)

Inteiros e Indu»

c~

ao Finita

Neste cap¶³tulo estudaremos uma estrutura alg¶ebrica que j¶a nos ¶e familiar: a estru-tura alg¶ebrica do conjunto Z dos n¶umeros inteiros.

Por estrutura alg¶ebrica do conjuntoZ entende-se o conjunto de propriedades dos n¶umeros inteiros que dizem respeito µas suas duas opera»c~oes habituais, a adi»c~ao e a multiplica»c~ao, bem como µa ordem de¯nida no conjunto Z pela rela»c~ao <, a chamada rela»c~ao de ordem \menor".

Na parte ¯nal do cap¶³tulo, estabeleceremos os assim chamados princ¶³pios de indu»c~ao ¯nita e mostraremos algumas de suas aplica»c~oes.

1.1 Axiom¶

atica da estrutura de

Z

Introduziremos as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao emZ de forma axiom¶atica, isto ¶e, a partir de um conjunto de axiomas ou postulados | propriedades b¶asicas, admitidas a priori | que caracterizam essas opera»c~oes em Z. A partir desse conjunto de propriedades axiom¶aticas, deduziremos algumas outras propriedades, tamb¶em elementares e conhecidas por todos n¶os, por¶em \demonstr¶aveis", isto ¶e, dedut¶³veis a partir dos axiomas b¶asicos.

Admitiremos axiomaticamente que existe um conjunto Z, cujos elementos s~ao chamados n¶umeros inteiros, havendo em Z dois elementos destacados e dis-tintos que s~ao, a saber, 0 (zero) e 1 (um).

Admitiremos tamb¶em que em Z, s~ao de¯nidas duas opera»c~oes, a adi»c~ao (denotada por +) e a multiplica»c~ao (denotada por¢). Dizendo que + e ¢ s~ao duas opera»c~oes emZ, queremos dizer que + e ¢ s~ao duas fun»c~oes

+ : Z £ Z ! Z e ¢ : Z £ Z ! Z;

sendo que a primeira (_{+) associa cada par ordenado de inteiros (x; y) a um ¶unico} inteiro _{x + y, chamado soma de x e y, e a segunda (¢) associa cada par de inteiros} (x; y) a um ¶unico inteiro x ¢ y (denotado tamb¶em por xy, quando isto n~ao gerar ambigÄuidade), chamado produto de_{x e y.}

(2)

Assumiremos que as opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao emZ tem as seguintes propriedades:

Para cada_{x, cada y, e cada z, todos em Z, tem-se:}

(A1) x + (y + z) = (x + y) + x (isto ¶e, a adi»c~ao em Z ¶e associativa); (A2) x + y = y + x (a adi»c~ao em Z ¶e comutativa);

(A3) x + 0 = 0 + x = x (isto ¶e, 0 ¶e elemento neutro da adi»c~ao em Z);

(A4) Existe um elemento ¡x em Z, chamado oposto de x ou inverso aditivo de x, ou ainda sim¶etrico de x relativamente µa opera»c~ao adi»c~ao, satisfazendo x + (¡x) = (¡x) + x = 0.

(M1) x(yz) = (xy)z (a multiplica»c~ao em Z ¶e tamb¶em associativa); (M2) xy = yx (a multiplica»c~ao em Z ¶e tamb¶em comutativa);

(M3) x ¢ 1 = 1 ¢ x = x (1 ¶e elemento neutro da multiplica»c~ao em Z);

(D) x(y + z) = xy + xz (a multiplica»c~ao ¶e distributiva em rela»c~ao µa adi»c~ao).

De¯ni»c~ao 1.1 (Subtra»c~ao em Z) Chama-se diferen»ca de dois inteiros x e y µa

soma x + (¡y). A subtra»c~ao em Z ¶e a opera»c~ao ¡: Z £ Z ! Z, que associa cada par ordenado (x; y) µa diferen»ca x ¡ y.

Teorema 1.1 Para cada x, cada y, e cada z, todos em Z, valem as propriedades:

1. x + y = x ) y = 0 (ou seja, 0 ¶e o ¶unico elemento neutro da adi»c~ao em Z) 2. x + y = 0 ) y = ¡x (ou seja, o oposto de um inteiro x ¶e ¶unico);

3. x + y = x + z ) y = z ( lei do cancelamento da adi»c~ao); 4. ¡(¡x) = x;

5. ¡(x + y) = ¡x ¡ y (aten»c~ao!: ¡x ¡ y signi¯ca (¡x) ¡ y, ou seja, (¡x) + (¡y));

6. x ¢ 0 = 0; 7. (¡x)y = ¡xy; 8. (¡x)(¡y) = xy; 9. (x ¡ y)z = xz ¡ yz.

(3)

Demonstra»c~ao.

1. _{x + y = x ) (¡x) + (x + y) = (¡x) + x. Pelos axiomas (A1), (A3) e (A4),} temos conseqÄuentemente que

((¡x) + x) + y = 0 ) 0 + y = 0 ) y = 0

2. Se _{x + y = 0 ent~ao (¡x) + (x + y) = (¡x) + 0. Pelos axiomas (A1), (A3)} e (A4), temos conseqÄuentemente que

((¡x) + x) + y = ¡x ) 0 + y = ¡x ) y = ¡x

3. Se _{x + y = x + z, ent~ao (¡x) + (x + y) = (¡x) + (x + z). Pelo axioma} (A1), _{((¡x) + x) + y = ((¡x) + x) + z ) 0 + y = 0 + z, e ent~ao, pelo} axioma (A3), _{y = z.}

4. Pelo axioma (A4) ¡(¡x) + (¡x) = 0.

Logo,_{[¡(¡x)+(¡x)]+x = 0+x. Aplicando ent~ao os axiomas (A1) e (A3),} deduzimos: ¡(¡x) + [(¡x) + x] = x ) ¡(¡x) + 0 = x ) ¡(¡x) = x. 5. (Exerc¶³cio para o leitor. Sugest~ao: Calcule inicialmente a soma (x + y) +

[(¡x) + (¡y)], aplicando os axiomas da adi»c~ao.)

6. Seja _{x ¢ 0 = a. Ent~ao, pelos axiomas (A3) e (D), a = x ¢ 0 = x ¢ (0 + 0) =} x ¢ 0 + x ¢ 0 = a + a. Logo, a + a = a + 0, e ent~ao, pelo item 3 provado acima, _{a = 0, ou seja x ¢ 0 = 0.}

7. Por um lado, temos que _{[(¡x) + x]y = (¡x)y + xy. Por outro, temos que} [(¡x) + x]y = 0 ¢ y = 0. Logo, aplicando o resultado do item 2 demonstrado acima, _{(¡x)y + xy = 0 ) ¡(xy) = (¡x)y.}

8. (Exerc¶³cio para o leitor. Sugest~ao: Aplique o resultado do item anterior) 9. (Exerc¶³cio para o leitor.)

Observa»c~ao 1.1 Os axiomas listados ainda n~ao s~ao su¯cientes para caracterizar o conjunto Z de maneira ¶unica. Em outras palavras, existem outras estruturas alg¶ebricas familiares que tamb¶em satisfazem µas propriedades acima.

O leitor certamente j¶a est¶a familiarizado com os conjuntos num¶ericosQ, dos n¶umeros racionais, e R, dos n¶umeros reais. Sabe portanto, que em Q, bem como em R, tamb¶em s~ao de¯nidas uma adi»c~ao e uma multiplica»c~ao, as quais, embora tendo propriedades adicionais, satisfazem a todos os axiomas listados acima.

Isto indica claramente que esses axiomas s~ao satisfeitos por outras estruturas alg¶ebricas familiares, tais como as deQ e R.

Existem tamb¶em estruturas alg¶ebricas \abstratas" satisfazendo os axiomas (A1), (A2), (A3), (A4), (M1), (M2), (M3) e (D).

(4)

Consideremos, por exemplo, o conjunto Z = f0; 1g, no qual de¯niremos uma adi»c~ao e uma multiplica»c~ao conforme as tabelas abaixo (aten»c~ao! Aqui, os n¶umeros 0 e 1 n~ao s~ao aqueles do conjunto Z dos n¶umeros inteiros.)

+ 0 1 0 0 1 1 1 0 ¢ 0 1 0 0 0 1 0 1

Assim, as opera»c~oes _{+ e ¢, de¯nidas em Z conforme suas t¶abuas dadas} acima, satisfazem os axiomas (A1), (A2), (A3), (A4), (M1), (M2), (M3) e (D). Veri¯que. Note que este \Z" tem apenas dois elementos.

1.1.1 Problemas complementares

1.

°

_^. . Usando somente os axiomas (A1) a (D) das opera»c~oes em Z, deduza que _{(¡1)(¡1) = 1. (N~ao utilize o resultado do item 8 do teorema 1.1) Use} o menor n¶umero de axiomas poss¶³vel para essa dedu»c~ao. Quais axiomas s~ao utilizados nela?

2.

°

_^. . Existe um elemento neutro para a opera»c~ao de subtra»c~ao em Z? Ex-plique.

1.2 Ordem em

Z

J¶a temos um conhecimento intuitivo de que os inteiros s~ao ordenados, no sentido de que ¡1 ¶e menor que 0, que por sua vez ¶e menor que 1, que ¶e menor que 2, e assim por diante. Nesta se»c~ao trataremos de caracterizar a rela»c~ao de ordem \menor" (_{<) no conjunto Z de maneira formal.}

De¯ni»c~ao 1.2 (Rela»c~_{ao num conjunto) Sendo A um conjunto n~ao vazio,}

dize-mos que R ¶e uma rela»c~ao em A, se R ¶e um subconjunto do produto cartesiano A £ A. (O produto cartesiano A £ B de dois conjuntos A e B ¶e o conjunto cujos elementos s~_{ao todos os pares ordenados (a; b), com a 2 A e b 2 B.)}

Por exemplo, R = f(1; 2); (1; 4); (2; 3)g ¶e uma rela»c~ao em A = f1; 2; 3; 4g. Tamb¶em s~ao rela»c~oes em_{A os conjuntos S =}

¿

e T = A £ A.

SeS ¶e uma rela»c~ao em A, e se o par (a; b) faz parte dessa rela»c~ao, escrevemos (a; b) 2 S ou aSb, e dizemos que a est¶a relacionado com b pela rela»c~ao S. Se (x; y) 62 S, tamb¶em escrevemos x6Sy.

(5)

1.2.1 Axiomas para a rela»

c~

_{ao \menor" (<) em Z}

Admitiremos que em Z est¶a de¯nida uma rela»c~ao <, chamada rela»c~ao menor. Se (x; y) 2 <, escrevemos x < y (ou y > x) e dizemos que x ¶e menor que y (ou, respectivamente, que _{y ¶e maior que x),}

Admitiremos que a rela»c~ao_{< em Z satisfaz os seguintes axiomas: Para cada} x, cada y, e cada z, todos em Z,

(O1) Lei da tricotomia. Vale uma e somente uma das a¯rma»c~oes: x < y; x = y; y < x

(O2) Se x < y e y < z ent~ao x < z (a rela»c~ao < em Z ¶e transitiva);

(O3) Se x < y ent~ao x + z < y + z (a rela»c~ao < em Z ¶e compat¶³vel com a adi»c~ao);

(O4) Se x > 0 e y > 0 ent~ao xy > 0 (a rela»c~ao < em Z ¶e compat¶³vel com a multiplica»c~ao).

Observa»c~_{ao 1.2 Escrevemos a · b quando a < b ou a = b. Analogamente,}

escrevemos a ¸ b se a > b ou a = b. Assim, por exemplo, 2 · 4, bem como 3 · 3.

Teorema 1.2 (Propriedades adicionais da rela»c~_{ao <) Para cada x, cada y,}

cada z e cada w, todos em Z, valem as seguintes propriedades: 1. x < y se e somente se x ¡ y < 0;

2. x < 0 se e somente se ¡x > 0;

3. (Lei do Cancelamento para a adi»c~ao) Se _{x + z < y + z ent~ao x < y;} 4. Se x < y e z < w ent~ao x + z < y + w; 5. (Regras de Sinais) (a) Se x < 0 e y > 0 ent~ao xy < 0; (b) Se x < 0 e y < 0 ent~ao xy > 0; 6. Se x 6= 0 ent~ao x2 > 0; 7. 1 > 0;

8. _{(a) Se x < y e z > 0 ent~ao xz < yz;} (b) Se x < y e z < 0 ent~ao xz > yz;

(6)

10. (Leis do Cancelamento para a multiplica»c~ao) (a) Se xz < yz e z > 0 ent~ao x < y; (b) Se xz < yz e z < 0 ent~ao x > y. Demonstra»c~ao.

1. Se _{x < y ent~ao, pelo axioma (O3), x + (¡y) < y + (¡y), e portanto} x ¡ y < 0.

2. (Exerc¶³cio para o leitor). 3. (Exerc¶³cio para o leitor).

4. Se _{x < y ent~ao, pelo item 1, x + z < y + z. Analogamente, z < w )} y + z < y + w. Logo, x + z < y + z e y + z < y + w e ent~ao, pelo axioma (O2), _{x + z < y + w.}

5. Provaremos a primeira das a¯rma»c~oes e deixaremos a segunda como exer-c¶³cio. Se _{x < 0 e y > 0 ent~ao ¡x > 0 e y > 0. Pelo axioma (O4), temos} ¡(xy) = (¡x)y > 0, e ent~ao, pelo item 2, xy < 0,

6. (Exerc¶³cio para o leitor).

7. Temos que _{1 6}_{= 0 e que 1}2 _{= 1 ¢ 1 = 1. Da¶³, pelo item 6, 1 > 0.}

8. Provaremos a primeira das a¯rma»c~oes e deixaremos a segunda como exer-c¶³cio. Se _{x < y e z > 0, ent~ao x ¡ y < 0, pelo item 1. Aplicando a} propriedade (a) do item 5, _{x ¡ y < 0 e z > 0 ) (x ¡ y)z < 0, de onde} xz ¡ yz < 0, e ent~ao xz < yz.

10. Provaremos o item (a) e deixaremos o item (b) como exerc¶³cio. Ambos os itens s~ao conseqÄu^encia direta do item 8. Se _{xz < yz e z > 0 ent~ao} neces-sariamente _{x < y pois, caso contr¶ario, teremos x > y ou x = y. Pelo item} 8, sub-item (a), como _{z > 0, temos que xz > yz ou xz = yz, contrariando} nosso dado inicial de que _{xz < yz. Portanto xz < yz e z > 0 ) x < y.}

Proposi»c~_{ao 1.1 Se x e y s~ao inteiros, com x 6}_{= 0 e y 6}_{= 0, ent~ao xy 6}_{= 0.}

Equivalentemente, xy = 0 ) x = 0 ou y = 0.

Demonstra»c~_{ao. Se x 6}_{= 0 e y 6}_{= 0 ent~ao, pela lei da tricotomia (axioma (O1)),} temos _{x < 0 ou x > 0, bem como tamb¶em y < 0 ou y > 0. Da¶³, aplicando} o axioma (O4) ou o teorema 1.2, item 5, teremos _{xy > 0 ou xy < 0, portanto} xy 6= 0.

(7)

1.2.2 O conjunto

N dos n¶umeros naturais e o Princ¶³pio da

Boa Ordem

Alguns textos introdut¶orios de estruturas alg¶ebricas, bem como outros tantos de introdu»c~ao µa teoria dos n¶umeros apresentam uma teoria axiom¶atica dos n¶umeros naturais e ent~ao, a partir dos n¶umeros naturais e suas propriedades, uma constru»c~ao dos n¶umeros inteiros. Um desses conjuntos de axiomas ¶e conhecido como Axiomas de Peano, levando o sobrenome de Giuseppe Peano, que em 1889 formulou uma abordagem axiom¶atica dos n¶umeros naturais.

Em nossa introdu»c~ao µas estruturas alg¶ebricas, optamos por partir axiomati-camente dos n¶umeros inteiros e ent~ao, a partir deles, de¯nir os n¶umeros naturais. Uma das vantagens dessa estrat¶egia ¶e a economia de tempo na elabora»c~ao de con-ceitos e resultados fundamentais, bem como o r¶apido atalho tomado em dire»c~ao a resultados, sobre os inteiros, j¶a n~ao t~ao intuitivos, conforme veremos adiante.

De¯ni»c~ao 1.3 (O conjunto N dos n¶umeros naturais) Chamaremos de n¶ume

ros naturais aos elementos do conjunto

N = fx 2 Z j x ¸ 0g

Se _{x e y s~ao n¶umeros naturais ent~ao, por resultados acima estabelecidos} (quais?), _{x + y e xy tamb¶em s~ao n¶umeros naturais. Na linguagem dos algebristas,} o conjunto N ¶e fechado nas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao de¯nidas em Z, isto ¶e, somando-se ou multiplicando-se elementos de N, tem-se o resultado (soma ou produto) sempre em N.

Tamb¶em s~ao utilizadas as nota»c~oes Z₊_{=N e Z}¤₊_=N¤_{=fx 2 Z j x > 0g.} Os elementos de N¤ s~ao chamados inteiros positivos. Se _{n ¶e um inteiro e} n < 0, ent~ao n ¶e chamado um inteiro negativo. O conjunto dos inteiros negativos ser¶a denotado por Z¤_¡.

Pela lei da tricotomia, temos queZ decomp~oe-se como reuni~ao de tr^es partes disjuntas, a saber

Z = Z¤

¡[ f0g [ Z¤+

Enunciaremos agora o

Axioma da Boa Ordem em N, ou Princ¶³pio do Menor N¶umero Natu-ral. Cada subconjunto n~ao vazio do conjunto N possui um menor (ou primeiro) elemento.

O axioma da boa ordem emN a¯rma que se A ¶e um subconjunto do conjunto

N e A 6=

¿

ent~ao existe um elemento _n₀ em _{A satisfazendo n}₀ · a para cada inteiro _{a do conjunto A.}

Observa»c~ao 1.3 Observe que as propriedades elementares das opera»c~oes em Z, bem como as propriedades da rela»c~_{ao <, axiomatizadas ou deduzidas at¶e o presente}

(8)

momento, excetuando-se o Axioma da Boa Ordem em Z₊, s~ao igualmente v¶alidas para os n¶umeros racionais e para os n¶umeros reais. Do ponto de vista axiom¶atico, o axioma da boa ordem ¶e o primeiro dos axiomas que ¶e satisfeito pelos inteiros n~ao negativos mas n~ao ¶e satisfeito pelos racionais n~ao negativos, visto que nem todo conjunto de n¶umeros racionais n~ao negativos possui um primeiro elemento.

Admitamos, por um momento, familiaridade com o conjuntoQ dos n¶umeros racionais. O conjunto dos n¶_{umeros racionais positivos da forma 1=n, com n inteiro} positivo, n~_{ao possui um menor elemento. Se n > 0 ent~ao n + 1 > n (visto que} 1 > 0). No ^ambito dos n¶umeros racionais, ¶e sabido que ent~ao 0 < _n+11 < 1_n, o que demonstra ser imposs¶³vel encontrar um primeiro (o menor) racional da forma 1=n, com n inteiro positivo.

Observa»c~ao 1.4 (Diferentes leituras de uma mesma nota»c~ao) Quando

es-crevemos \se x 2 A ent~ao..." queremos dizer \se x ¶e elemento de A, ent~ao...", mas na frase \para cada x 2 A, tem-se...", seremos for»cados a ler \para cada x pertencente a A, tem-se...". De modo an¶alogo, as senten»cas \se x > 2 ent~ao..." e \para cada x > 2, tem-se..." s~ao lidas de modos diferentes. Nas senten»cas do primeiro tipo, os s¶³mbolos empregados ( 2, > etc.) tem um papel verbal (\¶e ele-mento de", \¶e maior que"), enquanto que no segundo caso, o s¶³mbolo empregado quali¯ca o objeto que o precede ( \_{x pertencente a", \x maior que").}

Estabeleceremos agora as primeiras conseqÄu^encias do Princ¶³pio do Menor N¶umero Natural.

Teorema 1.3

1. N~_{ao existe um inteiro n tal que 0 < n < 1;}

2. Para cada inteiro m, n~ao existe um inteiro n tal que m < n < m + 1; 3. Se m e n s~ao inteiros com m < n ent~ao m + 1 · n. Reciprocamente, se

m + 1 · n ent~ao m < n. Demonstra»c~ao.

1. Suponhamos que existe um inteiro _{n tal que 0 < n < 1. Tal n ¶e um n¶umero} natural, e portanto o conjunto _{A de n¶umeros naturais caracterizado por}

A = fx 2 N j 0 < x < 1g ¶

e um conjunto n~ao vazio (visto que _{n 2 A).}

Pelo axioma da boa ordem,_{A tem um menor elemento n}₀. Por¶em 0 < n0 < 1 ) 0 ¢ n0 < n0¢ n0 < 1 ¢ n0;

ou seja, _{0 < n}2₀ _{< n}₀. Temos a¶³ uma contradi»c~ao, pois _{0 < n}2₀ _{< 1 ) n}2₀ 2 A, por¶em _n₀ ¶e o menor elemento de_{A e n}2₀ _{< n}₀.

(9)

2. Sejam _{m e n dois inteiros e suponhamos que m < n < m + 1. Ent~ao} m ¡ m < n ¡ m < (m + 1) ¡ m, ou seja, 0 < n ¡ m < 1, o que ¶e imposs¶³vel, segundo o item 1 acima.

De¯ni»c~_{ao 1.4 Seja A um subconjunto n~ao vazio de Z.}

1. Dizemos que A ¶e limitado inferiormente por um inteiro m se a ¸ m, para cada a em A;

2. Dizemos que A ¶e limitado superiormente por um inteiro M se a · M, para cada a em A.

Uma conseqÄu^encia imediata do princ¶³pio do menor n¶umero natural ¶e a se-guinte proposi»c~ao:

Proposi»c~_{ao 1.2 Seja A um subconjunto n~ao vazio de Z.}

1. Se A ¶e limitado inferiormente por m 2 Z, ent~ao A possui um primeiro (menor) elemento, isto ¶_{e, existe a}₀ _{em A tal que a ¸ a}₀ _{para cada a em A.} (Tal a0 ¶e chamado m¶³nimo de A).

2. Se A ¶e limitado superiormente por M 2 Z, ent~ao A possui um ¶ultimo (maior) elemento, isto ¶_{e, existe b}₀ _{em A tal que a · b}₀ _{para cada a em A.} (Tal b0 ¶e chamado m¶aximo de A).

Demonstra»c~ao.

1. Considere o conjunto

A0 = fx 2 Z j x = a ¡ m; com a 2 Ag

Para cada_{a 2 A, temos a ¸ m, logo a ¡ m ¸ 0, o que implica que cada elemento} x de A0¶e um n¶umero natural. Como_A0 ½ N e A0 6₌

¿

(pois_{A 6}₌

¿

), pelo Axioma da Boa Ordem, existe _n₀ 2 A0 tal que _{x ¸ n}₀ para cada _{x 2 A}0.

Sendo _n₀ um elemento de _A0, temos que _n₀ _{= a}₀¡ m para algum inteiro a0 2 A. Logo, para cada x 2 A0,x ¸ a0¡ m. Isto signi¯ca que para cada a 2 A,

a ¡ m ¸ a0¡ m, ou seja, a ¸ a0.

2. Considere o conjunto

A00 = fx 2 Z j x = ¡a; com a 2 Ag

Para cada _{a 2 A, temos a · M ou, equivalentemente, ¡a ¸ ¡M. Logo,} para cada _{x 2 A}00, temos _{x ¸ ¡M. Pelo item 1 provado acima, A}00 tem um primeiro elemento, ou seja, existe _c₀ 2 A00 tal que _{x ¸ c}₀ para cada_{x 2 A}00. Pela caracteriza»c~ao dos elementos de_A00,_c₀ _{= ¡b}₀ para algum_b₀ 2 A. Da¶³, ¡a ¸ ¡b₀ para cada _{a 2 A, ou seja, a · b}₀ para cada_{a 2 A.}

(10)

1.2.3 Problemas complementares

1.

°

. . Para cada inteiro _{m, de¯ne-se o m¶odulo ou valor absoluto de m, como} sendo o inteiro

jmj = ½

m se _{m ¸ 0} ¡m se m < 0

Mostre (prove) que se _{a e b s~ao inteiros, ent~ao} (a)

°

_^. . j ¡ mj = jmj;

(b)

°

_^. . jmj ¸ 0; jmj = 0 , m = 0; (c)

°

_^. . jmj ¢ jnj = jmnj;

(d)

°

. . jm+nj · jmj+jnj [Sugest~ao: mostre que jm+nj2 · (jmj+jnj)2]; (e)

°

. . jmj · n , ¡n · m · n.

2.

°

. . Demonstre que _{a e b s~ao inteiros com ab = 1 ent~ao a = b = §1.} [Sugest~_{ao: Pelas regras de sinais, temos que a e b s~ao simultaneamente} positivos ou negativos. Suponha primeiramente _{a > 0 e b > 0. Mostre que} ent~ao_{a ¢ (b ¡ 1) · 0, de onde b · 1. Sendo 0 < b · 1, tem-se ent~ao b = 1} e ent~ao _{a = b = 1. Trabalhe ent~ao no caso a < 0 e b < 0.]}

3.

°

_^. . Prove que se _{a e b s~ao inteiros com a > b > 0 ent~ao a}2 _{> b}2.

4.

°

. . Agora prove que se _{a e b s~ao inteiros positivos com a}2 _{> b}2 ent~ao a > b. Prove tamb¶em que se n ¸ 3 ¶e um inteiro positivo e an > bn ent~ao a > b. [Sugest~ao: use os \produtos not¶aveis" a2¡ b2 = (a ¡ b)(a + b) e an¡ bn= (a ¡ b)(an¡1+ an¡2b + : : : + abn¡2+ bn¡1), para n ¸ 2.] 5.

°

. . Mostre que se_{n ¶e um inteiro ent~ao n + 1 ¶e o menor inteiro maior que n}

(Todo mundo sabe disto. Compete a voc^e, futuro matem¶atico, demonstr¶ a-lo!).

6.

°

_^. . Admita familiaridade com o conjunto R dos n¶umeros reais, bem como das propriedades da adi»c~ao e multiplica»c~ao em R. Em R tamb¶em de¯ne-se uma rela»c~ao de ordem _{< satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4} descritos na p¶agina 5.

Sendo _{A um subconjunto n~ao vazio de R, dizemos que A ¶e bem-ordenado} ou que _{A satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto n~ao vazio de} A possui um menor elemento.

Quais dos seguintes conjuntos de n¶umeros reais ¶e bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua a¯rma»c~ao. Em caso negativo, exiba um subconjunto n~ao vazio sem um menor elemento.

(a) R₊ _{= fx 2 R j x ¸ 0g} (b) Z

(11)

1.3 Indu»

c~

ao Finita

Os chamados princ¶³pios de indu»c~ao ¯nita nos prov^eem um m¶etodo para demonstrar propriedades dos n¶umeros inteiros que tem um formato do tipo \Para cada inteiro n, a partir de um certo inteiro n0 dado, vale a propriedade..."

Como veremos ao ¯nal da se»c~ao, ambos os princ¶³pios s~ao conseqÄu^encias da proposi»c~ao 1.2, por conseguinte do Princ¶³pio do Menor Inteiro.

Teorema 1.4 (Primeiro Princ¶³pio de Indu»c~_{ao Finita) Seja n}₀ um n¶umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao

A(n), a qual possui, para cada n, um valor l¶ogico V (quando verdadeira) ou F (quando falsa). Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri¯cadas:

1. A a¯rma»c~_{ao A(n) ¶e verdadeira para n = n}₀;

2. Para cada k ¸ n0, se A(k) ¶e verdadeira, ent~ao (¶e poss¶³vel demonstrar que)

A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira.

Ent~ao a a¯rma»c~_{ao A(n) ¶e verdadeira para cada n ¸ n}₀.

Antes de passarmos µa demonstra»c~ao do Primeiro Princ¶³pio da Indu»c~ao Finita, daremos exemplos de resultados (teoremas) que podem ser demonstrados mediante sua aplica»c~ao.

Exemplo 1.1 (Teoreminha) Para cada inteiro n, n ¸ 0, o inteiro 9n ¡ 1 ¶e

divis¶³vel por 8.

Demonstra»c~ao. (habitualmente chamada \prova por indu»c~_{ao sobre n").}

Aqui a a¯rma»c~ao_{A(n), que queremos provar ser verdadeira para cada inteiro} n ¸ 0, ¶e a seguinte:

A(n): \9n¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8".

A prova de que vale a propriedade_{A(n) para cada n ¸ 0, por indu»c~ao sobre} n, consiste em veri¯car a validade de A(n) em apenas duas inst^ancias, realizando duas \veri¯ca»c~oes" (da¶³ o nome \indu»c~ao ¯nita"), a saber,

² veri¯camos a validade da a¯rma»c~ao A(n) para n = 0;

² considerando um inteiro k qualquer, k ¸ 0, supomos que a a¯rma»c~ao A(n) j¶a esteja valendo para_{n = k (esta suposi»c~ao ¶e chamada hip¶otese de indu»c~ao)} e, a partir disto, deduzimos (demonstramos) que a¯rma»c~ao _{A(n) tamb¶em} vale para _{n = k + 1.}

Se _{n = 0, A(n) = A(0) ¶e a a¯rma»c~ao \9}0 ¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8", que ¶e verdadeira.

(12)

Seja ent~ao _{k um inteiro, k ¸ 0, e admitamos a hip¶otese de indu»c~ao, de que} A(k) ¶e verdadeira, ou seja, de que 9k¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8. Provaremos que ent~ao 9k+1¡ 1 tamb¶em ¶e divis¶³vel por 8.

Por hip¶otese de indu»c~ao,₉k¡ 1 = 8a para algum inteiro a. Da¶³ 9k _{= 8a + 1.} Como conseqÄu^encia temos ent~ao

9k+1¡ 1 = 9k¢ 9 ¡ 1 = (8a + 1) ¢ 9 ¡ 1 = 72a + 9 ¡ 1 = 72a + 8 = 8(9a + 1), e assim, acabamos deduzindo que ₉k+1¡ 1 = 8(9a + 1) ¶e um m¶ultiplo inteiro de 8, ou seja, tamb¶em ¶e divis¶³vel por 8.

Provamos portanto que a hip¶otese de indu»c~ao, isto ¶e, a validade da a¯rma»c~ao A(k), implica na validade da a¯rma»c~ao A(k + 1).

Sendo assim, provamos, pelo Primeiro Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita, que_A(n) ¶

e v¶alida para cada _{n ¸ 0, ou seja, que 9}n¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8 para cada n ¸ 0. Outro importante resultado da aritm¶etica dos inteiros, e que pode ser demon-strado por indu»c~ao ¯nita, ¶e o seguinte teorema.

Teorema 1.5 (Algoritmo da Divis~ao Euclidiana em N) Para cada n¶umero

natural n, e cada inteiro positivo d, existem n¶umeros naturais q (quociente) e r (resto) satisfazendo:

n = d ¢ q + r e 0 · r < d:

Al¶_{em disso, os naturais q e r, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.} Prova da exist^_{encia dos naturais q e r, por indu»c~ao sobre n.}

Mostraremos que, ¯xado um inteiro positivo_{d, para cada n¶umero natural n,} existem _{q e r nas condi»c~oes enunciadas.}

Se _{n = 0, basta tomar q = r = 0.}

Seja _{k um n¶umero natural e suponhamos que existem q e r satisfazendo} k = dq + r e 0 · r < d:

Ent~ao _{k + 1 = dq + (r + 1).}

Como _{0 · r < d, temos r + 1 < d + 1, ou seja, r + 1 · d. Se r + 1 < d,} tomamos _q0 _{= q e r}0 _{= r + 1 e teremos k + 1 = dq}0 _{+ r}0, com _{0 · r}0 _{< d.}

Se_{r + 1 = d, ent~ao k + 1 = dq + d = d(q + 1) = dq}00_{+ r}00, onde_q00_{= q + 1} e _r00_{= 0.}

Portanto, pelo Primeiro Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita, para cada _{n 2 N ,} existem _{q e r satifazendo n = dq + r, com 0 · r < d.}

(13)

Observa»c~ao 1.5 (Uma nota»c~ao para o algoritmo da divis~_{ao.) Se n e d s~ao}

n¶_{umeros naturais, com d 6}_{= 0, e se q e r s~ao n¶umeros naturais como no teorema} 1.5, denotamos simbolicamente:

n d r q

Neste caso, nessa divis~ao euclidiana de _{n por d, n ¶e o dividendo, d ¶e o} divisor, _{q ¶e o quociente e r ¶e o resto.}

Observa»c~ao 1.6 O leitor poder¶a veri¯car facilmente, atrav¶es de alguns poucos exemplos, que o teorema 1.5 n~ao ¶e v¶_{alido se d = 0.}

Observa»c~ao 1.7 No pr¶oximo cap¶³tulo enunciaremos e provaremos um teorema do algoritmo da divis~ao na sua vers~ao mais geral para inteiros, n~ao necessariamente naturais.

Uma segunda forma de prova por indu»c~ao ¯nita, por vezes utilizada, ¶e esta-belecida pelo seguinte teorema:

Teorema 1.6 (Segundo Princ¶³pio de Indu»c~_{ao Finita.) Seja n}₀ um n¶umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao

A(n), a qual possui, para cada n, um valor l¶ogico V (quando verdadeira) ou F (quando falsa). Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri¯cadas:

1. A a¯rma»c~_{ao A(n) ¶e verdadeira para n = n}₀;

2. Para cada inteiro k ¸ n0, se A(n) ¶e verdadeira para n0 · n · k ent~ao

A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira.

Ent~ao a a¯rma»c~_{ao A(n) ¶e verdadeira para cada n ¸ n}₀.

Observa»c~ao 1.8 O que difere o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita do primei-ro ¶e a forma como ¶e formulada a hip¶otese de indu»c~ao. No primeiro princ¶³pio, supomos que a asser»c~_{ao A(n) ¶e verdadeira para n = k somente, enquanto que no} segundo, supomos A(n) v¶alida para cada n satisfazendo n0 · n · k. Em ambos

os princ¶³pios, devemos provar que a hip¶otese de indu»c~ao acarreta a validade de A(n) para n = k + 1.

Antes de passarmos µa demonstra»c~ao dos dois princ¶³pios de indu»c~ao ¯nita, exibire-mos um teorema cuja prova pode ser feita pelo segundo princ¶³pio.

Teorema 1.7 (Representa»c~ao decimal de n¶umeros naturais) Para cada

in-teiro n ¸ 1, existem n¶umeros naturais a0; : : : ; as, (s ¸ 0), com os \algarismos"

a0; : : : ; as, tomados no conjuntof0; 1; 2; : : : ; 9g, e as 6= 0, tais que

n =

s

X

i=0

(14)

Observa»c~ao 1.9 Ilustrando o teorema acima com um exemplo, quando

escreve-mos, por exemplo, 50 237, queremos dizer 5 ¢ 104+ 2 ¢ 102+ 3 ¢ 101+ 7 ¢ 100. Prova do teorema 1.7.

Se _{n = 1, podemos tomar n = a}₀ _{= 1.}

Seja _{k ¸ 1 um inteiro e suponhamos que o resultado do teorema seja} ver-dadeiro para cada inteiro _{n, com 1 · n · k. Mostraremos que isto acarreta a} validade da mesma propriedade para _{n = k + 1.}

Com efeito, realizando a divis~ao euclidiana de_{k + 1 por 10,} k + 1 10

r q

obtemos um quociente _{q 2 N e um resto r 2 N, satisfazendo k + 1 = 10q + r,} com _{0 · r < 10, conforme o teorema 1.5.}

Se _{q = 0, ent~ao k + 1 = r = a}₀, com _a₀ 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g.

Se_{q > 0, ent~ao q · k, pois se q > k, ent~ao k+1 = 10q+r > 10k+r ¸ 10k,} e assim _{k + 1 > 10k e ent~ao 1 > 9k ¸ 9, o que ¶e imposs¶³vel.}

Sendo ent~ao _{1 · q · k, pela hip¶otese de indu»c~ao,} q = bt¢ 10t+ ¢ ¢ ¢ + b0¢ 100

para certos algarismos _b_t_{; : : : ; b}₀, todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g. Ent~ao,

k + 1 = 10q + r

= 10(bt¢ 10t+ ¢ ¢ ¢ + b0¢ 100) + r

= bt¢ 10t+1+ ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 101+ r

com _b_t_{; : : : ; b}₀ e _{r todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g.}

Logo, pelo segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, a representa»c~ao decimal de n ¶e poss¶³vel para cada inteiro n ¸ 1.

1.3.1 Demonstra»

c~

ao dos Princ¶³pios de Indu»

c~

ao Finita

Veremos agora que ambos os princ¶³pios de indu»c~ao ¯nita s~ao conseqÄu^encias do Princ¶³pio do Menor Inteiro (teorema 1.2, item 1).

Prova do Primeiro Princ¶³pio da Indu»c~ao Finita.

Suponhamos que estejam estabelecidas as hip¶oteses do teorema 1.4 e que as condi»c~oes 1 e 2 l¶a enumeradas estejam ocorrendo.

Suponhamos que, al¶em disso, contrariamente µa tese do teorema, exista um inteiro _{s ¸ n}₀ tal que a a¯rma»c~ao _{A(s) ¶e falsa.}

(15)

Seja S = fn 2 Z j n ¸ n₀ _{e A(n) ¶e falsag.} S ¶e n~ao vazio, pois s 2 S.

Sendo S ½ Z, e limitado inferiormente por n₀, pelo Princ¶³pio do Menor Inteiro, proposi»c~ao 1.2, item 1, S possui um menor elemento s₀.

Como _n₀ · s₀ e _A(n₀_{) ¶e verdadeira, temos n}₀ _{< s}₀, e ent~ao _n₀ · s₀ ¡ 1. Seja_{k = s}₀¡1. Ent~ao A(k) ¶e verdadeira, pois k < s₀e_s₀ ¶e o menor inteiro n com A(n) falsa.

Mas como _{k ¸ n}₀ e _{A(k) ¶e verdadeira temos ent~ao A(k + 1) verdadeira.} Por¶em_{k + 1 = s}₀ e _A(s₀_{) ¶e falsa.}

Assim, temos uma contradi»c~ao decorrente do fato de existir um inteiro_{s ¸ n}₀ para o qual _{A(s) ¶e falsa.}

Portanto _{A(n) ¶e verdadeira para cada inteiro n ¸ n}₀. Prova do Segundo Princ¶³pio da Indu»c~ao Finita.

Salvo ligeiras modi¯ca»c~oes, a prova do Segundo Princ¶³pio da Indu»c~ao Finita, teorema 1.6, ¶e id^entica µa prova apresentada acima.

A ¶unica diferen»ca se d¶a nas ¶ultimas linhas da demonstra»c~ao.

ConsidereS e s₀ tal como na demonstra»c~ao do primeiro princ¶³pio de indu»c~ao. Suponha agora que est~ao satisfeitas as condi»c~oes 1 e 2 da hip¶otese do teorema 1.6.

Tal como na demonstra»c~ao acima, teremos _n₀ · s₀ ¡ 1. Como s₀ ¶e o menor inteiro _{n com A(n) falsa, temos ent~ao A(n) verdadeira para cada n tal} que _n₀ · n · s₀ ¡ 1. Tomando k = s₀¡ 1, temos ent~ao A(n) verdadeira para cada n satisfazendo n0 · n · k. Pelo item 2 da hip¶otese, isto acarreta A(k + 1)

verdadeira. Mas _{k + 1 = s}₀ e novamente temos uma contradi»c~ao.

1.3.2 Problemas Complementares

1.

°

_^. . Mostre, por indu»c~ao sobre n, que, se_{n ¸ 1 ent~ao:} (a) _{1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n =} n(n+1)₂ ;

(b) ₁2_{+ 2}2_{+ ¢ ¢ ¢ + n}2 ₌ n(n+1)(2n+1)₆ ; (c) ₁3_{+ 2}3_{+ ¢ ¢ ¢ + n}3 _{= [}n(n+1)₂ _]2; 2. Mostre tamb¶em que:

(a)

°

_^. . Para cada inteiro _{n ¸ 0, n}2 _{+ n ¶e par. [Um inteiro ¶e par se ¶e da} forma _{2m para algum inteiro m].}

(b)

°

_^. . (aqui admita familiaridade com os n¶umeros reais) Para cada n¶ u-mero real positivo _{a e cada inteiro n ¸ 0, tem-se (1 + a)}n ¸ 1 + na.

(16)

(c)

°

. . Para cada inteiro _{m, m}3¡ m ¶e divis¶³vel por 3.

(d)

°

. . ₄2n+1_{+ 3}n+2 ¶e um m¶ultiplo de 13 (isto ¶e, ¶e da forma_{13 ¢ a com a} inteiro), para cada _{n ¸ 0;}

(e)

°

. . Todo conjunto de _{n elementos possui 2}n subconjuntos.

3.

°

. . Aponte o erro na seguinte \demonstra»c~ao" de que _{1 = : : : = n para} cada inteiro _{n ¸ 1:}

A a¯rma»c~ao ¶_{e verdadeira se n = 1.}

Supondo que ela ¶e v¶_{alida para n = k, com k ¸ 1, temos 1 = : : : = k, e} portanto 1 + 1 = : : : = k + 1.

Por hip¶otese de indu»c~_{ao, 1 = 2 = : : : = k. Como tamb¶em 2 = : : : = k + 1,} por transitividade teremos 1 = 2 = : : : = k + 1.

Assim, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~_{ao ¯nita, 1 = : : : = n, para cada} inteiro n ¸ 1.

4.

°

_^. . Para cada _{a 2 Z e cada n 2 N, de¯ne-se a pot^encia de base a e} expoente _{n (ou n-¶esima pot^encia de a) como sendo o inteiro denotado por} an e de¯nido pelas leis:

(i) Se n = 0, ent~ao an= a0 = 1; (ii) Para cada k ¸ 0, ak+1 = ak¢ a.

A partir das duas leis de¯nidas acima, prove, por indu»c~ao sobre _{n, que se m} e _{n s~ao n¶umeros naturais e a ¶e um inteiro, ent~ao}

(a) _am+n _{= a}m¢ an [Sugest~_{ao: Assuma que m ¶e um n¶umero natural ¯xado} e fa»ca a prova por indu»c~ao sobre _n];

(b) _(am₎n_{= a}mn;

(c) Se _{a 6}_{= 1 ent~ao 1 + a + a}2_{+ ¢ ¢ ¢ + a}n₌ an+1_a¡1¡1

5. Sendo _{n e p n¶umeros naturais, com n ¸ p, de¯ne-se o n¶umero binomial} Cn;p=¡n_p¢, _µ n p ¶ = n! p!(n ¡ p)!

sendo 0! = 1! = 1, 2! = 2 ¢ 1 = 2, 3! = 3 ¢ 2 ¢ 1 = 6, etc. De um modo geral, se _{n ¸ 1, n! = n ¢ (n ¡ 1)!}

(a)

°

. . Prove a rela»c~ao de Stifel: sendo _{n e p n¶umeros naturais, se n ¸}

p + 1, _µ n p ¶ + µ n p + 1 ¶ = µ n + 1 p + 1 ¶

(b)

°

. . Prove a f¶ormula chamada bin^omio de Newton: sendo_{a e b n¶umeros} reais e _{n um n¶umero natural, n ¸ 1,}

(a + b)n =Pn_k=0¡n_k¢an¡kbk =¡n₀¢an+¡n₁¢an¡1b + ¢ ¢ ¢ +¡n_r¢an¡rbr+ ¢ ¢ ¢ +¡n

1

¢

(17)

(c)

°

. . Prove que, sendo _{n ¸ p ¸ 1,} ¡n_p¢ ¶e o n¶umero de subconjuntos (\combina»c~oes"), com _{p elementos, de um conjunto contendo n} ele-mentos. [Sugest~ao: Fa»ca a demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre _{n, usando} o primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita e a rela»c~ao de Stifel.]

6.

°

_{_}. . A seqÄu^encia de Fibonacci ¶e um exemplo de uma seqÄu^encia de inteiros de¯nida indutivamente. Ela ¶e de¯nida como _a₀_{; a}₁_{; a}₂_{; : : :, sendo}

a0 = 0; a1 = 1 e, an+1= an+ an¡1 para cada n ¸ 0

Assim, ela come»ca como _{0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; : : :} (a) Prove por indu»c~ao sobre _{n que}

an= [(1 +

p

5)=2]n_p¡ [(1 ¡p5)=2]n 5

[Sugest~ao: Use o segundo princ¶³pio da indu»c~ao. Provavelmente lhe ser¶a ¶

util saber que ₍1+₂p5₎2 ₌ 3+₂p5 ]

(b) (para experts em C¶alculo I) Mostre que _lim

n!1( an+1

an ) = Á =

1+p5 2 . (J¶a

ouviu falar deste n¶umero, a \raz~ao ¶aurea"?)

7.

°

. . Mostre que os n¶umeros naturaisq (quociente) e r (resto) no enunciado do teorema do algoritmo da divis~ao em N (teorema 1.5, p¶agina 12), s~ao ¶

unicos. [Sugest~_{ao: mostre que sendo n e d n¶umeros naturais, com d 6}_{= 0, se} n = dq1+r1 = dq2+r2 para certos naturaisq1; q2; r1; r2, com0 · r1; r2 < d,

ent~ao _djq₁ ¡ q₂j = jr₁¡ r₂j < d e logo jq₁¡ q₂j = 0.]

8.

°

_{_}. . (Para experts) Mostre que os algarismos _a₀_{; : : : ; a}_s utilizados na repre-senta»c~ao decimal de um n¶umero natural _{n s~ao determinados de maneira} ¶

unica. [Sugest~_{ao: Mostre que se a}₀ _{+ a}₁_{10 + : : : + a}_n₁₀n _{= 0, sendo os} coe¯cientes _a₀,_a₁,_{: : :, a}_n, todos tomados no conjunto de inteirosf¡9; ¡8; : : : ; ¡1; 0; 1; 2; : : : ; 9g, ent~ao an10n = ¡a0 ¡a110 ¡ : : : ¡an¡110n¡1 )

janj10n· ja0j + ja1j10 + : : : + jan¡1j10n¡1 · 9 + 9 ¢ 10 + : : : + 9 ¢ 10n¡1=

10n ¡ 1 < 10n ) janj10n < 10n ) an = 0. ConseqÄuentemente, se

a0+ a110 + : : : + an10n= 0, e a0, a1, : : :, an, est~ao todos no conjunto de

d¶³gitos f¡9; ¡8; : : : ; ¡1; 0; 1; 2; : : : ; 9g ent~ao a_n _{= a}_n¡1_{= : : : = a}₀ _{= 0].} 9.

°

_^. . Considere a igualdade

2 + 4 + 6 + ¢ ¢ ¢ + 2n = n2+ n + 100

Mostre que tal igualdade ¶e falsa. Mostre por¶em que, sendo _{k um inteiro,} supondo-a verdadeira para _{n = k podemos demonstrar que tamb¶em ¶e} ver-dadeira para _{n = k + 1.}

10.

°

_^. . Considere a a¯rma»c~ao

(18)

(Um inteiro _{p ¶e primo se p 6}_{= 0, p 6}_{= §1, e seus ¶unicos fatores inteiros s~ao} §1 e §p)

Mostre que essa a¯rma»c~ao ¶e verdadeira se _{n 2 f1; 2; 3; 4g, mas ¶e falsa se} n = 5.