LISTA DE EXERC´ICIOS 08 – v. 1.0 Assuntos:

UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 08 – v. 1.0

Assuntos: Sistemas de n´ umeros naturais sob diversos aspectos: axiom´aticas (equivalentes) como defini¸c˜ao de

do ponto-de-vista formal; demonstra¸c˜oes por indu¸c˜ao finita, indu¸c˜ao completa e pelo princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao; o teorema de defini¸c˜ao por recurs˜ao e algumas variantes suas; a existˆencia de sistemas de Peano; isomorfismos deles; opera¸c˜oes aritm´eticas em

e suas propriedades; bases de enumera¸c˜ao; fatos b´asicos sobre divisibilidade e fato- ra¸c˜ao prima; e algumas classes especiais de n´ umeros naturais.

Orienta¸ c˜ ao. Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Podem ser usados os recursos da l´ogica de predicados com igualdade, a nossa Parte I dos axiomas de ZF (cf. Lista 04), e os resultados em nossas listas ante- riores. Os exerc´ıcios “dif´ıceis” e “muito dif´ıceis” para a audiˆencia esperada, seja pelo n´ıvel t´ecnico ou pela extens˜ao de sua resolu¸c˜ao, ser˜ao assinalados com * e ** respectivamente. Os leitores devem, ao menos, tentar fazˆe-los.

J´a os exerc´ıcios *** s˜ao apenas para o conhecimento de seus enunciados e uso pois, al´em de serem muito dif´ıceis, constituem assunto avan¸cado para o n´ıvel esperado neste curso. Itens resolvidos no final do texto s˜ao indicados pelo sinal de par´agrafo “ § ”: s´o conferi-los ap´os tentar resolvˆe-los seriamente.

Nos itens em que se pedem algoritmos, a descri¸c˜ao destes pode ser feita em portuguˆes, pseudoc´odigo ou alguma linguagem de programa¸c˜ao consagrada.

Quest˜ ao 1. Os axiomas de Peano

(ou de Peano-Dedekind ), que definem um sistema de Peano (ou sistema de n´ umeros naturais) (N, 0, S), s˜ao:

1. S : N −→ N ´e uma inje¸c˜ao definida num conjunto N ; 2. 0 ∈ N \ S(N );

3. Princ´ıpio da indu¸c˜ao finita (P.I.F. – vers˜ao na l´ogica de 2

ordem). Para todo subconjunto X ⊆ N , se vale a propriedade abaixo, ent˜ao X = N : 0 ∈ X e ∀ n ∈ N, n ∈ X = ⇒ S(n) ∈ X, (1) ou seja, o ´ unico subconjunto de N que cont´em zero e ´e fechado para a sucess˜ao imediata ´e o pr´oprio N .

1

Na axiom´atica original,

come¸cava de 1. Aqui, iniciamos de 0 (como diversos outros

autores) devido ` a sua conveniˆencia aritm´etica (elemento neutro da adi¸c˜ ao), ` a constru¸c˜ ao

de modelos de

a partir do axioma do infinito – cf. itens 12.a e 12.b, e ` a obten¸c˜ ao direta

de um n´ umero cardinal 0 representando o n´ umero de elementos de ∅.

1.a. Demonstrar que N = { 0 } ⊔ S(N ) (Ou seja, X consiste, precisamente, de zero e dos sucessores imediatos. Al´em disto, aquela uni˜ao ´e disjunta).

Dica. Seja X = { 0 } ∪ S(N );

1.b. Corol´ario. Verificar a boa defini¸c˜ao da fun¸c˜ao antecessor (ou predeces- sor) imediato T : N \{ 0 } −→ N determinada por T ◦ S = Id

e S ◦ T = Id

, ou seja, ∀ n ∈ N, T (S(n)) = n e, se n 6 = 0, ent˜ao S(T (n)) = n.

Esbo¸ co. S ´e inje¸c˜ao e, portanto, ´e invert´ıvel sobre sua imagem, ou seja, S possui inversa(s) `a esquerda, cuja restri¸c˜ao `a imagem de S ´e igual `a fun¸c˜ao T desejada, a qual nada mais ´e que T = s

, onde s ´e a seguinte modifica¸c˜ao de S (ela ajusta o contradom´ınio): s : N −→ N \{ 0 }

n 7−→ s (n) = S(n);

1.c § Demonstrar que nenhum n´ umero natural ´e seu sucessor imediato.

Dica. Observemos que a proposi¸c˜ao equivale a: todo n´ umero natural ´e diferente de (“n˜ao ´e”, “n˜ao ´e igual a”) seu sucessor imediato;

1.d. ** (Teorema de demonstra¸ c˜ ao por indu¸ c˜ ao finita ou fraca, ou P.I.F.

na l´ogica de 1

ordem). Provar que, dado um predicado P (x) na vari´avel natural x, se:

− A proposi¸c˜ao P (0) ´e verdadeira (V); e

− ∀ n ∈ N, [P (n) ´e verdadeira = ⇒ P (S(n)) ´e verdadeira], ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo natural n.

Dica. Seja X = { n ∈ N | P (n) } .

Obs. A vers˜ao geral deste teorema ´e para um predicado Q(x, x

, x

, . . . , x

) em x (natural) e k vari´aveis arbitr´arias x

, x

, . . . , x

. Lidamos com o caso k = 0. Para provarmos o caso geral, consideramos cada predicado P (x) = Q(x, x

, x

, . . . , x

) obtido ao fixarmos os valores de x

, x

, . . . , x

. Da arbi- trariedade destes valores, temos a validade do teorema para Q;

1.e. Quais dos itens anteriores ao Item 1.d conseguirias provar usando 1.d ? Obs. Neste texto, muitos itens podem ser demonstrados por indu¸c˜ao finita, particularmente nas quest˜oes 3 e 6. ´ E preciso ter cuidado no uso do P.I.F., evitando manipula¸c˜oes errˆoneas com n (cf. Item 6.d).

As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e exponencia¸c˜ao em N podem ser vistas assim: a soma m + n ´e o resultado da aplica¸c˜ao da itera¸c˜ao (repeti-

¸c˜ao), n vezes, da sucess˜ao imediata S ao n´ umero natural m: m +n = S

(m);

o produto m · n ´e o somat´orio de n parcelas iguais a m, o que pode ser visto como a aplica¸c˜ao iterada n vezes de “somar com m” (h

(x) = x + m) ao ele- mento neutro da adi¸c˜ao, 0 (ali´as, isto d´a conta da situa¸c˜ao n = 0 tamb´em);

e a potˆencia m

´e o produt´orio de n fatores iguais a m, o que, analogamente ao discutido para a multiplica¸c˜ao, pode ser visto como a aplica¸c˜ao iterada n vezes de “multiplicar por m” (h

(x) = x · m) ao elemento neutro da mul- tiplica¸c˜ao, 1 (e isto d´a conta do caso n = 0 tamb´em). J´a o fatorial n! de um n´ umero natural n ´e o produt´orio dos naturais de 1 a n (com 0! = 1). O problema ´e: ainda n˜ao temos uma defini¸c˜ao do que ´e a aplica¸c˜ao iterada n vezes de uma fun¸c˜ao a um valor inicial. Da mesma forma para opera¸c˜oes:

ainda n˜ao temos uma defini¸c˜ao de somat´orio, produt´orio ou mesmo potˆencia!

Para bem definirmos a aplica¸c˜ao iterada de uma fun¸c˜ao h : A −→ A num conjunto A a um valor inicial a

∈ A, utilizaremos recurs˜ao (cf. Quest˜ao 2) e algumas variantes. Ela formaliza a ideia de obtermos o valor seguinte a partir do valor atual como a aplica¸c˜ao de h a este ´ ultimo: denotando c

= h

(a

) (que ainda n˜ao est´a bem definido porque ainda n˜ao temos a composi¸c˜ao repe- tida h

de n c´opias de h com n arbitr´ario), a

= h(a

), o que seria escrito, apelando para aquele h

(a

), como a

= h (h

(a

)) = h

(a

). Ao inv´es de usarmos a nota¸c˜ao de sequˆencias a

para os valores obtidos por recurs˜ao, utilizaremos a nota¸c˜ao de fun¸c˜oes f : N −→ A, com f (S(n)) = h (f(n)) e o valor inicial f (0) = a

dado. De volta `as opera¸c˜oes mencionadas, para cada parˆametro m ∈ N fixado:

m + 0 := m,

m + S(n) := S(m + n), ∀ n ∈ N ;

m · 0 := 0,

m · S(n) := m · n + m, ∀ n ∈ N;

m

:= 1,

m

:= m

· m, ∀ n ∈ N ; e

0! := 1,

S(n)! := S(n) · n! , ∀ n ∈ N.

(2) Obs. Tamb´em denotamos m · n por mn.

No primeiro caso, temos que a fun¸c˜ao desejada ´e (com rela¸c˜ao ao parˆame- tro m fixado) f

: N −→ N

n 7−→ f

(n) = m + n obtida pela aplica¸c˜ao iterada de h = S : N −→ A = N ao valor inicial a

= m, donde o valor inicial desta recurs˜ao depende do parˆametro, mas n˜ao a fun¸c˜ao h. J´a nos dois outros casos, esta dependˆencia se inverte ! De fato, para a multiplica¸c˜ao, a fun¸c˜ao desejada

´e (fixado o parˆametro m) f

: N −→ N

n 7−→ f

(n) = f

(n) = m · n obtida pela aplica¸c˜ao iterada de h

: N −→ N

a 7−→ h

(a) = a + m ao valor inicial a

= 0

(elemento neutro para a adi¸c˜ao – cf. Item 3.a); para a exponencia¸c˜ao, f

: N −→ N

n 7−→ f

(n) = f

(n) = m

por h

: N −→ N

a 7−→ h

(a) = a · m a- plicada ao valor inicial a

= 1 (Item 3.g). No Item 2.e, consideraremos a dependˆencia, com o parˆametro m, do valor inicial e da fun¸c˜ao iterada.

Em cada um dos trˆes casos discutidos no par´agrafo acima, as fun¸c˜oes f

obtidas por recurs˜ao sobre n com o parˆametro m fixado podem ser combina- das numa ´ unica fun¸c˜ao f , variando-se o valor do parˆametro

:

f : N × N −→ N

(m, n) 7−→ f (m, n) = f

(n).

Tamb´em poder´ıamos ter dado todas as fun¸c˜oes h

combinadas como uma s´o h : N × N −→ N , e separ´a-las, quando necess´ario, atrav´es de:

∀ m ∈ N, h

: N −→ N

n 7−→ h

(n) = h(m, n). Seguiremos esta vers˜ao no Item 2.e. J´a a adapta¸c˜ao da recurs˜ao para tratarmos do fatorial ser´a discutida no Item 2.j.

Com esta longa introdu¸c˜ao, estamos melhor preparados para a Quest˜ao 2.

Quest˜ ao 2. (Recurs˜ao).

2.a. *** O teorema da recurs˜ ao afirma que, dados um conjunto A, um ele- mento a

∈ A e uma fun¸c˜ao h : A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao

f : N −→ A satisfazendo

a recurs˜ ao (3) abaixo. Tentar demonstr´a-lo.

f (0) = a

,

f (S(n)) = h(f (n)) , ∀ n ∈ N. (3) Obs. Em alguns contextos, denotamos a segunda linha por a

= h(a

).

2

Esta ideia ´e comum em matem´ atica mais avan¸cada.

3

Observar que f (n) ´e aplica¸c˜ ao de h, iterada n vezes, a a

. Isto ´e, `as vezes, representado

por h

(a

) e est´ a bem definido gra¸cas a este teorema. Sem ele, podemos formar este

valor ´ unico, passo a passo (sucessor a sucessor), para n = 0 at´e n = k, um natural

qualquer: chamando S(0) de 1 e S(1) = 2, temos que f (0) = a

d´a f (1) = h(a

), que

d´a f (2) = h(h(a

)), que eventualmente chega a f (k) = h

(a

) para o k fixado (digamos

que k / ∈ { 0, 1, 2 } ) atrav´es de sucessivas aplica¸c˜ oes de h. O que o teorema diz ´e que esta

forma¸c˜ ao est´ a bem definida para todos os naturais k de uma vez ! Observar, tamb´em, que

a recurs˜ ao expressa f (mas n˜ ao como uma f´ ormula fechada) em todos os naturais, uma

vez que temos a decomposi¸c˜ ao de N apresentada no Item 1.a.

Obs. Mesmo com as ideias indicadas abaixo, a demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser muito dif´ıcil para muitos estudantes.

Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao (seguindo [Moschovakis]). Recordar que uma fun¸c˜ao, enquanto rela¸c˜ao, ´e um conjunto de pares ordenados, a saber, f = { (n, f (n)) | n ∈ N } . Tal fun¸c˜ao reflete a constru¸c˜ao do k − ´esimo est´agio f

(dado k ∈ N ), levando a f = [

k∈N

f

Agora, f

poderia ser expresso como f

= { (n, f (n)) | n ∈ N : 0 ≤ n ≤ k } se j´a tiv´essemos definido a rela¸c˜ao de ordem ≤ em N . Ela tamb´em serviria para organizarmos os est´agios, dizendo que k

≤ k ⇒ f

´e a restri¸c˜ao de f

a { n ∈ N | 0 ≤ n ≤ k

} . O problema ´e que utilizaremos recurs˜ao (com parˆametros) para definirmos a adi¸c˜ao, e esta para definirmos a rela¸c˜ao ≤ . Para contornarmos esta ausˆencia, pensamos nos est´agios como “aproxima¸c˜oes” de f, a saber, fun¸c˜oes p : D

−→ N tais que:

seus dom´ınios D

⊆ N satisfazem 0 ∈ D

e ∀ n ∈ N, S(n) ∈ D

= ⇒ n ∈ D

(ou seja, D

possui 0 e todos os antecessores imediatos de seus elementos n˜ao-nulos); e seus valores satisfazem p(0) = a

e ∀ n ∈ N, S(n) ∈ D

= ⇒ p(S(n)) = h(p(n)). Observar que, se f existir, ent˜ao ela pr´opria ´e uma aproxima¸c˜ao sua. Para a unicidade de f , demonstrar que, para todas as aproxima¸c˜oes p e q de f , e para todos os naturais n, se p e q est˜ao definidos em n (isto ´e, se n ∈ D

∩ D

), ent˜ao p(n) = q(n). Para a existˆencia de f, observar que cada aproxima¸c˜ao ´e um subconjunto de N × N e, da´ı, demonstrar que as aproxima¸c˜oes formam um conjunto em ZF (subconjunto de P (N × N )) cuja uni˜ao ´e a fun¸c˜ao f desejada, ou seja, cuja uni˜ao ´e uma fun¸c˜ao, tem dom´ınio N e satisfaz a recurs˜ao desejada;

2.b. As fun¸c˜oes identidade Id

e sucess˜ao imediata S em N satisfazem, obvia- mente, as recurs˜oes abaixo:

Id

(0) = 0,

Id

(S(n)) = S(n), ∀ n ∈ N; e

S(0) = S(0) =: 1,

S(S(n)) = S(S(n)), ∀ n ∈ N.

Verificar que Id

= f do Item 2.a para a

= 0 e h = S, enquanto S = f do Item 2.a para a

= 1 e h = S;

2.c. ** Corol´ario. Provar que a composi¸c˜ao iterada de uma fun¸c˜ao est´a bem definida, isto ´e, dados um conjunto A e uma fun¸c˜ao ϕ : A −→ A, est˜ao bem definidas as fun¸c˜oes ϕ

: A −→ A dadas pela recurs˜ao

ϕ

= Id

,

ϕ

= ϕ ◦ ϕ

, ∀ n ∈ N.

Obs. A nota¸c˜ao ϕ

para a composi¸c˜ao iterada (repetida) de ϕ ´e padr˜ao.

Notar que ϕ

= ϕ.

Ideias para provas. Uma abordagem ´e definirmos ϕ

em cada a ∈ A sepa-

radamente:

ϕ

(a) = a,

ϕ

(a) = ϕ (ϕ

(a)) , ∀ n ∈ N. Escolher a

e h convenien- tes no Item 2.a para que ∀ n ∈ N, ϕ

(a) = f (n). Isto trata a ∈ A como um parˆametro, semelhante ao que ´e feito no Item 2.e: ϕ

(a) = f (a, n) naquele item. Outra abordagem ´e aplicarmos o Item 2.a usando A = A

(o conjunto das fun¸c˜oes de N em A) como sendo o conjunto A daquele item, a

= Id

e

h : A

−→ A

g 7−→ h (g) = ϕ ◦ g, resultando em f : N −→ A

n 7−→ f (n) = ϕ

; 2.d. ** (Antecessor imediato por recurs˜ao). Estendamos N por um s´ımbolo for-

mal I / ∈ N (I representa a express˜ao “indefinido”): N b = ˆ N ⊔ { I } . Consi- deremos uma extens˜ao n˜ao-injetiva do antecessor imediato T a N b , a saber, a fun¸c˜ao T b : N b −→ N b que tem valor T b (I) = I , e cujos valores em N s˜ao definidos recursivamente por:

( T b (0) = I (pois o antecessor imediato T de 0 n˜ao est´a definido);

e, ∀ n ∈ N, T b (S(n)) = n (seguindo a defini¸c˜ao de T no Item 1.b). Para obtermos T b |

pela recurs˜ao (3), precisamos de a

= I e de h : N b −→ N b tal que, ∀ n ∈ N, n = T b (S(n)) = h

T b (n)

. Para n 6 = 0, S j´a cumpre o papel do h desejado (pelo Item 1.b) e, portanto, h precisa estender S a S b tal que 0 = h

T b (0)

= h(I) ∴

h ≡ S b : N b −→ N b ˆ

n 7−→ S b (ˆ n) =

0, se ˆ n = I;

S (ˆ n) , se ˆ n ∈ N.

Verificar que: T b ´e uma inversa `a esquerda para a inje¸c˜ao S, isto ´e, b T b ◦ S b = Id

; T b

(N ), a imagem inversa

de N por T b , ´e igual a N \{ 0 } ; e a restri¸c˜ao T b |

a este conjunto ´e igual `a fun¸c˜ao T do Item 1.b.

Obs. Claro que, n˜ao sendo S b sobrejetiva, T b n˜ao poderia ser tamb´em inversa

`a direita de S, mas b S b ◦ T b |

= Id

;

2.e. *** Corol´ario ( recurs˜ ao com parˆ ametros ). Tentar provar que, dados conjuntos A e P , e fun¸c˜oes g : P −→ A e h : P × A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao f : P × N −→ A satisfazendo a seguinte recurs˜ao:

∀ p ∈ P,

f(p, 0) = g(p),

f (p, S(n)) = h(p, f (p, n)), ∀ n ∈ N. (4) Obs. O(a) leitor(a) pode entender melhor o enunciado resolvendo os itens 2.f, 2.g e 2.h primeiro.

4

Intuitivamente, a fun¸c˜ ao T b tem valor I (“indefinido”) precisamente onde a fun¸c˜ ao

antecessor imediato T n˜ ao est´ a definida. Assim, T b

(N ) consiste dos elementos nos quais

T est´ a definida, ou seja, ´e o dom´ınio de T .

Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao (boa parte j´a discutidas na introdu¸c˜ao `a Ques- t˜ao 2). P ´e um conjunto de parˆametros. Para cada p ∈ P fixado, g fornece o valor inicial a

= g(p) de uma recurs˜ao do tipo (3), na qual

h

: A −→ A

a 7−→ h

(a) = h(p, a) faz o papel da fun¸c˜ao h em (3), ou seja, co- me¸camos com a

= g(p) e, ent˜ao, aplicamos h

iterada n vezes. Para a existˆencia de f, usamos o Item 2.a, obtendo uma ´ unica fun¸c˜ao f

: N −→ A que d´a sentido `a express˜ao no lado direito da igualdade f

(n) = h

(g(p)).

Da´ı, combinamos as fun¸c˜oes produzidas para os diferentes valores de p na fun¸c˜ao f : P × N −→ A

(p, n) 7−→ f (p, n) = f

(n). Verificar que tal f satisfaz a re- curs˜ao (4). Para a unicidade de f , observar que, sendo a uni˜ao P × N =

G

p∈P

{ p }

!

× N = G

p∈P

( { p } × N ) disjunta, f ser ´ unica equivale `a unicidade de todas as restri¸c˜oes de f `as fatias do tipo { p } × N . Mas cada uma destas restri¸c˜oes satisfaz a recurs˜ao que define f

para seu respectivo p ∈ P e, pelo Item 2.a, ´e ´ unica;

2.f. * Mostrar que a adi¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa¸c˜oes (2), est´a bem definida por ser a aplica¸c˜ao do Item 2.e ao exemplo determinado por: A = P = N, g = Id

e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = S(n);

2.g. * Mostrar que a multiplica¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa-

¸c˜oes (2), est´a bem definida por ser a aplica¸c˜ao do Item 2.e ao exemplo deter- minado por: A = P = N , g ≡ 0 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = n + m;

2.h. * Mostrar que a exponencia¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa-

¸c˜oes (2), est´a bem definida por ser a aplica¸c˜ao do Item 2.e ao exemplo deter- minado por: A = P = N , g ≡ 1 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = n · m;

2.i. ** Observar que a subtra¸ c˜ ao em N pode ser expressa atrav´es da recurs˜ao abaixo, a qual j´a leva em considera¸c˜ao os casos

em que ela n˜ao est´a definida, produzindo o s´ımbolo I (“indefinido”) neles atrav´es da fun¸c˜ao T b do Item 2.d:

∀ m ∈ N,

m − 0 = m;

m − S(n) = T b (m − n) , ∀ n ∈ N. (5)

5

Ler o enunciado do Item 5.d. Observar que m − n n˜ ao introduz um elemento − n

oposto a n em N . Em geral, n˜ ao faz sentido escrever − n + m no lugar de m − n em N.

Mostrar que ela ´e a aplica¸c˜ao do Item 2.e ao exemplo determinado por:

P = N, g = Id

, A = N , b e h : N × N b −→ N b

(m, n) 7−→ h(m, n) = T b (n) (isto ´e, ∀ m ∈ N, h

(n) = T b (n), donde m − n = f

(n) = T b

(m) ∈ N b ).

Obs. Para obtermos a subtra¸c˜ao como fun¸c˜ao parcial com valores em N (e n˜ao em N b ), devemos nos restringir `a imagem inversa de N por f , isto ´e, devemos considerar a restri¸c˜ao de f ao subconjunto f

(N ) de N × N ; 2.j. *** Corol´ario (recurs˜ ao com o argumento como parˆ ametro). Tentar

provar que, dados um conjunto A, um elemento a

∈ A e uma fun¸c˜ao

h : N × A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao f : N −→ A satisfazendo a seguinte recurs˜ao:

∀ p ∈ P,

f (0) = a

,

f (S(n)) = h(n, f (n)), ∀ n ∈ N. (6) Obs. Denotando, como antes, h

(n) = h(m, n), temos que f d´a sentido `a itera¸c˜ao na igualdade f (S(n)) = (h

◦ · · · ◦ h

◦ h

)(a

);

2.k. Mostrar que a opera¸c˜ao un´aria fatorial em N , expressa recursivamente nas equa¸c˜oes (2), est´a bem definida por ser a aplica¸c˜ao do Item 2.j ao exemplo determinado por: A = N, a

= 1 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = S(m) · n.

Quest˜ ao 3. Tentar demonstrar as t´ıpicas propriedades alg´ebricas das ope- ra¸c˜oes em N . Elas foram apresentadas, abaixo, numa ordem conveniente para evitarmos, em cada item, o uso de propriedades ainda n˜ao provadas:

3.a § 0 ´e elemento neutro

para a adi¸c˜ao em N ; 3.b. * A adi¸c˜ao em N ´e associativa;

3.c. ∀ n ∈ N, n + 1 = S(n) = 1 + n, onde 1 := S(0);

3.d. ** A adi¸c˜ao em N ´e comutativa;

Dica. O Item 3.c leva ao lema: ∀ m, n ∈ N, S(n) + m = n + S(m);

6

∀ m ∈ N, m + 0 = m pela defini¸c˜ ao de adi¸c˜ ao em (N, 0, S), ou seja, 0 ´e um elemento neutro ` a direita para a adi¸c˜ ao. Agora, mostrar que 0 ´e elemento neutro ` a esquerda:

∀ m ∈ N, 0 + m = m.

3.e. Dados a, b ∈ N :

i. a, b ∈ N, a + b = 0 ⇐⇒ a = 0 = b;

ii. A fun¸c˜ao F

: N −→ N

x 7−→ F

(x) = x + b ´e injetiva;

Esbo¸ co: Observar que F

´e uma composi¸c˜ao repetida por satisfazer a recurs˜ao F

= Id

e, ∀ n ∈ N, F

= S ◦ F

. Tais igualdades podem ser usadas para um argumento por indu¸c˜ao finita mostrando que F

e F

s˜ao injetivas. Para tanto, recordar que fun¸c˜oes-identidade e composi¸c˜oes de inje¸c˜oes s˜ao inje¸c˜oes;

iii. Interpretar a injetividade de F

algebricamente como a lei de cance- lamento para a adi¸c˜ao em N, ou seja:

∀ x, y ∈ N, x + b = y + b = ⇒ x = y. (7) iv. Corol´ario: a + b = b = ⇒ a = 0;

3.f. ∀ n ∈ N, 0 · n = 0.

Obs. Como n · 0 = 0 por defini¸c˜ao, temos que 0 ´e um elemento absorvente para a multiplica¸c˜ao em N (e ´e o ´ unico pelo Item 3.l.ii);

3.g. 1 ´e elemento neutro

para a multiplica¸c˜ao em N;

3.h § A multiplica¸c˜ao em N ´e distributiva `a esquerda sobre a adi¸c˜ao, ou seja:

∀ m, n, p ∈ N, p(m + n) = pm + pn;

3.i § A multiplica¸c˜ao em N ´e distributiva `a direita sobre a adi¸c˜ao, ou seja:

∀ m, n, p ∈ N, (m + n)p = mp + np;

3.j. A multiplica¸c˜ao em N ´e associativa;

3.k. A multiplica¸c˜ao em N ´e comutativa;

3.l § * Dados a, b ∈ N :

i. a · b = 0 ⇐⇒ (a = 0 ∨ b = 0) (ou seja, N n˜ao possui divisores de zero);

7

Ou seja, 1 ´e elemento neutro ` a esquerda e elemento neutro ` a direita.

ii. a · b = a ⇐⇒ (a = 0 ∨ b = 1) (Corol´ario: 0 ´e o ´ unico elemento absor- vente para a multiplica¸c˜ao em N ); e

iii. a · b = 1 ⇐⇒ a = b = 1 (ou seja, apenas 1 possui inverso multipli- cativo em N );

3.m. 1 ´e elemento neutro `a direita para a exponencia¸c˜ao em N , mas ela n˜ao admite elemento neutro `a esquerda;

3.n. A exponencia¸c˜ao em N n˜ao ´e comutativa e n˜ao ´e associativa;

3.o. ∀ b, m, n ∈ N, b

= b

b

; 3.p § ∀ b, m, n ∈ N, b

= (b

)

; 3.q. ∀ a, b, n ∈ N, a

b

= (ab)

.

Obs. Podemos provar v´arias propriedades da subtra¸c˜ao em N a este ponto, mas seus enunciados ficar˜ao mais informativos na Quest˜ao 5, ap´os a introdu-

¸c˜ao da ordem usual em N na Quest˜ao 4.

Quest˜ ao 4. (A ordem usual em N ; o P.B.O.; equivalentes do teorema de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita; monotonicidade estrita em opera¸c˜oes aritm´eticas em N). Definimos a seguinte rela¸c˜ao bin´aria em N : para todos m, n ∈ N, m ≤ n se, e somente se, m + a = n para algum a ∈ N .

4.a. Provar que a rela¸c˜ao ≤ em N ´e reflexiva e transitiva, ou seja, que:

∀ m, n, p ∈ N, m ≤ m e, se m ≤ n e n ≤ p, ent˜ao m ≤ p;

4.b. * Tentar provar que a rela¸c˜ao ≤ em N ´e anti-sim´etrica, ou seja, que:

∀ m, n ∈ N , se m ≤ n e n ≤ m, ent˜ao m = n.

Dica. Provar que ∀ a, b ∈ N, se a + b = 0, ent˜ao a = 0 = b;

Obs. Dos itens 4.a e 4.b, temos que ≤ ´e uma rela¸c˜ao de ordem em N e, com os itens 4.d e 4.e, temos que ela ´e uma boa ordena¸c˜ao total em N ;

4.c. ∀ m, n ∈ N, m < n ⇐⇒ ∃ a ∈ N \{ 0 } tal que m + a = n.

Corol´ ario. ∀ n ∈ N, n < S(n) (Usar os itens 4.c e 3.c).

Defini¸ c˜ ao. Um natural n ´e dito positivo se, e somente se, 0 < n, o que

equivale (em N ) a n 6 = 0 e, em virtude do Item 1.a, tamb´em equivale a

n ∈ Im(S);

4.d. ** Tentar provar a totalidade de ≤ , ou seja, todos os naturais s˜ao ≤ − com- par´aveis, isto ´e: ∀ m, n ∈ N, m ≤ n ou n ≤ m;

4.e. ** (P.B.O. — princ´ ıpio da boa ordena¸ c˜ ao numa vers˜ao na l´ogica de 2

ordem). Tentar demonstrar que todo subconjunto n˜ao-vazio de N possui m´ınimo (com rela¸c˜ao `a ordem usual ≤ ).

Dica. Dado um conjunto n˜ao-vazio S de N supostamente sem m´ınimo, considerar X = b { n ∈ N |∀ s ∈ S, n < s } . Mostrar que X e S s˜ao disjuntos e, por indu¸c˜ao finita, que X = N , chegando a uma contradi¸c˜ao: ∅ 6 = S = ∅ ; 4.f. Corol´ario (uma vers˜ao do P.B.O. na l´ogica de 1

ordem). Demonstrar que,

dado um predicado P (x) na vari´avel natural x, se existe algum natural n para o qual P (n) ´e verdadeira, ent˜ao existe um m´ınimo natural m tal que P (m) ´e verdadeira.

Obs. Podemos considerar predicados mais gerais P (x, x

, x

, . . . , x

) nas vari´aveis x natural e x

, x

, . . . , x

, como pod´ıamos para o Item 1.d;

4.g. * Tentar demonstrar o teorema de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita (Item 1.d) usando o P.B.O. do Item 4.f.

Dica. Consideremos o predicado P (x) = b ¬ P (x) (a nega¸c˜ao de P (x), que ´e verdadeira se, e somente se, P (x) ´e falso). Mostrar que, se P (n) ´e verda- deira para algum natural n, ent˜ao o m´ınimo m que satisfaz P leva a uma contradi¸c˜ao da hip´otese do teorema no Item 1.d;

4.h. Provar que, para cada m ∈ N, a fun¸c˜ao F

: N −→ N

x 7−→ F

(x) = x + m ´e estritamente crescente

. Em outras palavras:

∀ x, y ∈ N, x < y = ⇒ x + m < y + m. (8) Finalmente, obter que Im(F

) = { n ∈ N | m ≤ n } .

Dica. Para a monotonicidade estrita, utilizar o Item 4.c;

4.i. ** (Demonstra¸ c˜ ao por indu¸ c˜ ao finita com caso base qualquer).

Tentar demonstrar que, dado um predicado un´ario P (x) na vari´avel natural x, se P satisfaz as condi¸c˜oes abaixo para um natural n

, ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo natural n ≥ n

:

− A proposi¸c˜ao P (n

) ´e verdadeira; e

− ∀ n ∈ N tal que n ≥ n

, [P (n) ´e verdadeira = ⇒ P (S(n)) ´e verdadeira].

8

Vimos que F

´e injetiva no Item 3.e.ii.

Obs. O Item 1.d ´e o caso n

= 0.

Obs. Podemos considerar predicados mais gerais P (x, x

, x

, . . . , x

) nas vari´aveis x natural e x

, x

, . . . , x

, como pod´ıamos para o Item 1.d.

Dicas. Um caminho ´e o uso da injetividade da fun¸c˜ao F

(cf. Item 4.h).

Outro caminho ´e a considera¸c˜ao do predicado Q(n) = P (n) ∨ (n < n

).

Tentar os dois caminhos !

4.j § * Provar que, para cada m ∈ N \{ 0 } , G

: N −→ N

x 7−→ G

(x) = x · m ´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras pa- lavras:

∀ x, y ∈ N, x < y = ⇒ x · m < y · m. (9) Interpretar a injetividade de G

algebricamente como a seguinte lei de can- celamento para a multiplica¸c˜ao em N :

∀ x, y ∈ N, x · m = y · m = ⇒ x = y. (10) Ideia. Proceder por indu¸c˜ao finita sobre m > 0. Observar que, se x < y, ent˜ao x · S(m) = x · m + x < x · m + y pelo Item 4.h aplicado `a fun¸c˜ao F

. Utilizar o mesmo argumento para F

combinado `a hip´otese de indu¸c˜ao;

4.k § * Provar que, para cada m ∈ N \{ 0 } , H

: N −→ N

x 7−→ H

(x) = x

´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras palavras:

∀ x, y ∈ N, x < y = ⇒ x

< y

. (11) Interpretar a injetividade de H

algebricamente como a seguinte lei de can- celamento para a potencia¸c˜ao em N :

∀ x, y ∈ N, x

= y

= ⇒ x = y. (12) Ideia. Proceder por indu¸c˜ao finita sobre m > 0. Observar que, se x < y, ent˜ao x

= x

· x ≤ x

· y < y

· y pelo Item 4.j aplicado `as fun¸c˜oes G

e G

e combinado `a hip´otese de indu¸c˜ao. Por que a primeira desigualdade n˜ao ´e, necessariamente, estrita ?

4.l. * Provar que, para cada b ∈ N \{ 0, 1 } , a fun¸c˜ao J

: N −→ N

x 7−→ J

(x) = b

´e estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras palavras:

∀ x, y ∈ N, x < y = ⇒ b

< b

. (13)

Interpretar a injetividade de J

algebricamente como a seguinte lei de cance- lamento para a exponencia¸c˜ao em N :

∀ x, y ∈ N, b

= b

= ⇒ x = y. (14) Dica. Usar o Item 3.o, o Item 4.j aplicado `a fun¸c˜ao G

e o seguinte lema (Prov´a-lo !): ∀ n ∈ N \{ 0 } , 1 < b

;

4.m. *** (Teorema de demonstra¸ c˜ ao por indu¸ c˜ ao completa ou forte ou a curso de valores — vers˜ao na l´ogica de 1

ordem). Dado um predicado un´ario Q(x) na vari´avel natural x, se:

∀ n ∈ N, [ ∀ m ∈ N tal que m < n, Q(m) ´e verdadeira (V)] = ⇒ Q(n) ´e V, ent˜ao Q(n) ´e verdadeira para todo natural n. Tentar provar, diretamente, que os teoremas de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita (Item 1.d) e indu¸c˜ao completa s˜ao equivalentes. Tentar, tamb´em, provar o teorema de demonstra-

¸c˜ao por indu¸c˜ao completa a partir do P.B.O. (Dica an´aloga `a do Item 4.g).

Obs. Podemos considerar predicados mais gerais Q(x, x

, x

, . . . , x

) nas va- ri´aveis x natural e x

, x

, . . . , x

, como pod´ıamos para o Item 1.d.

Obs. Pode ser interessante primeiro tentar mostrar que o Item 4.m equivale a: dado um predicado un´ario Q(x) na vari´avel natural x, se:

− A proposi¸c˜ao Q(0) ´e verdadeira (V); e

− ∀ n ∈ N, [ ∀ m ∈ N tal que m ≤ n, Q(m) ´e V] = ⇒ Q(S(n)) ´e V, ent˜ao Q(n) ´e verdadeira para todo natural n. Nesta perspectiva:

− Usar vacuidade para o caso base; e, se necess´ario,

− Usar o predicado P (x) = “ b ∀ m ∈ N tal que m ≤ x, Q(m)”. Em outras palavras, considerar o predicado definido por recurs˜ao como:

P (0) = b Q(0);

P (S(n)) = b P (n) ∧ Q(S(n)), ∀ n ∈ N.

4.n. *** (Uma vers˜ao da indu¸c˜ao completa na l´ogica de 2

ordem). Tentar provar que, para todo X ⊆ N, se vale a propriedade abaixo, ent˜ao X = N :

∀ n ∈ N, ( ∀ m ∈ N, m < n ⇒ m ∈ X) = ⇒ n ∈ X.

Quest˜ ao 5. (Estudo da subtra¸c˜ao em N ). ´ E interessante rever os itens 1.b,

2.d, 2.i e 4.i antes de trabalhar esta quest˜ao.

5.a. A subtra¸c˜ao em N n˜ao admite elemento neutro `a esquerda

; 5.b. ∀ m ∈ N \{ 0 } , m − 1 = T (m);

5.c. A subtra¸c˜ao em N nem ´e comutativa nem ´e associativa;

5.d. ** Tentar provar que:

∀ m, n, a ∈ N, a + m = n ⇐⇒ n − m = a (15) e, disto, que: ∀ m, n ∈ N, n − m est´a definida com valor em N se, e somente se, m ≤ n. Com tal resultado, est´a bem definida a seguinte fun¸c˜ao:

K

: { n ∈ N | m ≤ n } −→ N

x 7−→ K

(x) = x − m, e que K

´e sobrejetiva.

Dica. Demonstrar que, ∀ m ∈ N, T

◦ S

= Id

, isto ´e, que:

∀ m, a ∈ N, (a + m) − m = a. (16) Um caso particular disto ´e que m neutraliza a si mesmo por subtra¸c˜ao:

∀ m ∈ N, m − m = 0; (17) 5.e. * Provar que K

do Item 5.d ´e uma inversa `a esquerda da inje¸c˜ao F

do Item

4.h. Considerando F

: N −→ Im(F

) = { n ∈ N | m ≤ n }

x 7−→ F

(x) = x + m, modifica¸c˜ao de F

em uma bije¸c˜ao, temos que K

´e a fun¸c˜ao inversa de F

;

5.f. * Demonstrar que, para todos m, n, p, q ∈ N ,

i. m ≤ q = ⇒ [(p + q) − m est´a definido e (p + q) − m = p + (q − m)];

ii. m + n ≤ p = ⇒ [p − m est´a definido e p − (m + n) = (p − m) − n; e iii. (m > 0 e n ≤ p) = ⇒ [mp − mn est´a definido e m(p − n) = mp − mn];

5.g. * Demonstrar que a fun¸c˜ao K

do Item 5.d ´e estritamente crescente, ou seja,

∀ m, p, q ∈ N, m ≤ p < q = ⇒ p − m < q − m; (18) 5.h. * Provar que, para todo p ∈ N , L

: { n ∈ N | n ≤ p } −→ N

x 7−→ L

(x) = p − x

´e estritamente decrescente, ou seja,

∀ m, n, p ∈ N, m < n ≤ p = ⇒ p − n < p − m; (19)

9

Por defini¸c˜ ao, 0 ´e elemento neutro ` a direita para a subtra¸c˜ ao em N.

5.i. * Corol´ario. Utilizando o P.B.O. diretamente, demonstrar que:

i. N˜ao existe fun¸c˜ao estritamente decrescente de N em N ;

ii. Toda fun¸c˜ao f : N −→ N estritamente crescente ´e ilimitada superior- mente

.

Ideias para provas. Para a parte (i), observar que a imagem da fun¸c˜ao contradiria o P.B.O. . Para a parte (ii), produzir duas demonstra¸c˜oes. Uma atrav´es do lema ∀ n ∈ N, n ≤ f (n), que pode ser provado por indu¸c˜ao finita.

Outra, adaptando o item (i): dada uma tal fun¸c˜ao f, suponhamos que, por absurdo, existe uma cota superior M ∈ N para Im(f). Usando o Item 5.h, mostrar que a fun¸c˜ao g : N −→ N

n 7−→ g (n) = M − f (n) est´a bem definida (´ E uma composi¸c˜ao. Qual ?) e ´e estritamente decrescente, contradizendo (i).

Obs. Faremos aplica¸c˜oes da parte (ii) do Item 5.i a imagens de fun¸c˜oes es- tritamente crescentes de N em N, obtendo que elas s˜ao conjuntos ilimitados superiormente. Poder´ıamos obtˆe-las por resultados anteriores `aquele item:

− Aplicando a Id

, mostramos a ilimita¸c˜ao superior para N;

− A S, para o conjunto dos sucessores imediatos (cf. Item 1.a);

− A F

do Item 4.h com m ∈ N , para os naturais maiores que ou iguais a m, isto ´e, { n ∈ N | m ≤ n } ;

− A G

do Item 4.j com m ∈ N \{ 0 } , para os m´ ultiplos naturais de m, os quais aparecem em temas como divisibilidade e congruˆencias; e

− A J

do Item 4.l com b ∈ N \{ 0, 1 } , para as potˆencias da base b com expoente natural, fato que ser´a usado para demonstrar que b serve como base de enumera¸c˜ao para N .

Obs. (Requer no¸c˜oes de finitude). A parte (i) do item 5.i aplicada `a fun¸c˜ao L

do Item 5.h serve para demonstrar que { n ∈ N | n ≤ p } ´e finito a Dedekind.

Por sua vez, a parte (i) do Item 5.i vale para qualquer conjunto infinito a Dedekind no lugar de N;

5.j. ** (Teorema ou algoritmo da divis˜ ao longa). Dado o par ordenado (D, d) ∈ N × (N \{ 0 } ), existem um ´ unico par ordenado (Q, R) ∈ N × N tal que:

0 ≤ R < d e D = Qd + R. (20)

10

Ou seja, n˜ ao existe cota superior para a imagem de f , isto ´e, n˜ ao existe M ∈ N tal

que ∀ n ∈ N, f (n) ≤ M .

Obs. D, d, Q e R s˜ao denominados, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e resto da divis˜ao longa.

Obs. H´a diversos caminhos para a demonstra¸c˜ao da existˆencia neste resul- tado. Consideramos o uso do P.B.O. particularmente eficiente. Indu¸c˜ao com- pleta tamb´em leva a uma prova razoavelmente r´apida. Vale a pena comparar resolu¸c˜oes com uso de diferentes recursos, inclusive o seguinte argumento “al- gor´ıtmico”: enquanto (“while”) D > d, subtraia-se d de D. Ao final do la¸co (“loop”), Q ´e o n´ umero de subtra¸c˜oes efetuadas, e R ´e o D final (ou seja, o que sobrou de D).

Obs. O resultado se estende a (D, d) ∈

× (

\ 0) ao se modificarem os dados de sa´ıda por (Q, R) ∈

× N e 0 ≤ R < | d | . H´a, tamb´em, um resultado adaptado para polinˆomios, estudado em ´algebra abstrata.

Utilizando a associatividade e a comutatividade da adi¸c˜ao e da multiplica¸c˜ao, podemos bem definir somat´orios e produt´orios (sem o uso de parˆenteses e sem a necessidade de ordenarmos os termos a serem operados) sobre um n´ umero (natural) n˜ao-nulo de parcelas e fatores, respectivamente. Utilizamos os ele- mentos neutros 0 e 1 como respectivos valores do somat´orio sobre nenhuma parcela e do produt´orio sobre nenhum fator (ou seja, sobre um n´ umero nulo de parcelas e fatores, respectivamente).

Quest˜ ao 6. (Pr´atica de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita, indu¸c˜ao completa, P.B.O. e algumas propriedades aritm´eticas de N). Nesta quest˜ao, os n´ umeros naturais est˜ao representados na base decimal de enumera¸c˜ao.

6.a § (Apenas o segundo somat´orio est´a resolvido no final deste texto). Demons- trar que, ∀ n ∈ N:

X

=0

1 = n; 2 X

=0

 = n(n + 1); 6 X

=0



= n(n + 1)(2n + 1);

3 X

=0

( + 1) = n(n + 1)(n + 2); 6 X

=0

( + 2) = n(n + 1)(2n + 7);

X

=0

(2)

= 4

"

X

=0



#

; 3 X

=0

(2 + 1)

= (n + 1)(2n + 1)(2n + 3);

X

=0



=

"

X

=0



#

; X

=0

(2)

= 2 n

(n+1)

; X

=0

(2+1)

= (n+1)

[2(n+1)

− 1]

Obs. O objetivo de usar m´ ultiplos dos somat´orios acima (em particular, n˜ao dividir o segundo por 2) ´e manter o discurso em N , sem ter que passar a

. Obs. Para uma melhor compreens˜ao de somat´orios de potˆencias num´ericas, ver as seguintes p´aginas web (em inglˆes):

http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber’s formula Em espanhol:

http://es.wikipedia.org/wiki/F´ormula de Faulhaber

6.b. (Somas de P.A. e P.G. em N ). Dados a

, q ∈ N , provar que, ∀ n ∈ N : 2

X

=0

(a

+q ) = (2a

+ q n)(n +1); para q ≥ 2, (q − 1) X

=0

a

q

= a

(q

− 1) Obs. Tentar dar uma prova que valha para a

, q ∈

(para P.G., q 6 = 1);

6.c. Demonstrar que, para todo natural positivo n:

5 X

=0



= (3n

+ 3n − 1) X

=0



; X

=0

2

 = 2 + 2

(n − 1).

6.d § (O “teorema” das cores dos cavalos de Gy¨orgy P´olya). Lembrando que cada cavalo possui uma ´ unica cor (sen˜ao ´e zebra, e n˜ao cavalo !), todos os cavalos em um conjunto finito e n˜ao-vazio de cavalos dado tˆem a mesma cor ! (Ex.: o conjunto de todos os cavalos existentes agora na Terra possuem a mesma cor).

Descobrir o erro l´ogico-matem´atico na “demonstra¸c˜ao” abaixo. Procederemos por indu¸c˜ao sobre n ≥ 1, o n´ umero de elementos num conjunto C de cavalos:

Caso base. Para n = 1, um cavalo s´o possui uma cor e, portanto, a cor dos cavalos no conjunto C em quest˜ao est´a bem definida;

Passo indutivo. Se o resultado vale para um natural n ≥ 1, ent˜ao, dado um conjunto C = b { c

}

com, exatamente, S(n) cavalos distintos, temos que C = { c

}

∪ { c

}

, uma uni˜ao de conjuntos com exatamente n cavalos distintos cada. Da hip´otese de indu¸c˜ao, em cada um dos dois conjuntos, os cavalos tˆem a mesma cor. Mas o cavalo rotulado c

est´a em ambos. Sendo o mesmo cavalo, a cor em cada conjunto ´e a mesma e, por conseguinte, a cor ´e constante em C.

Pelo Item 4.i, todos os cavalos em cada conjunto C finito e n˜ao-vazio de

cavalos possuem a mesma cor ! Q.E.D.

6.e. Utilizando o Item 4.i, demonstrar que: 2n

> 5n + 18 para todo n´ umero natural n ≥ 5. Depois, provar o mesmo resultado utilizando propriedades das fun¸c˜oes reais quadr´aticas a n´ıvel de Ensino M´edio.

Obs. Esta segunda abordagem mostra um caminho para, facilmente, produ- zirmos problemas semelhantes a este item;

6.f. Sejam a, x ∈ N . Demonstrar que, ∀ n ∈ N :

n ≥ a = ⇒ an ≤ n

; para a ≥ 2 (mesmo se a ´e real), an ≤ a

; n < 2

; n

≤ 1 + 2

; n ≥ 10 = ⇒ n

< 2

; n ≥ 17 = ⇒ n

< 2

;

n ≥ 1 = ⇒ n

+ 1 < 3

; n ≥ 4 = ⇒ n

+ n < 3

; n

< 4

; 1 + nx ≤ (1 + x)

(mesmo se x ∈ [ − 1, + ∞ ) ⊂

);

6.g. * (Requer no¸c˜oes de finitude). Descrever e demonstrar a validade de um algoritmo que recebe, como dado de entrada, um subconjunto n˜ao-vazio e finito a Cantor C de N e, utilizando o P.B.O., fornece max(C) (o m´aximo de C) como dado de sa´ıda.

Obs. Uma solu¸c˜ao deste item demonstra, construtivamente, que todo sub- conjunto finito e n˜ao-vazio de N possui m´aximo na ordem usual de N ; 6.h § Demonstrar, por indu¸c˜ao completa, que ∀ n ∈

, s

< 2

, onde a sequˆen-

cia (s

)

´e definida por recurs˜ao a curso de valores: s

= 1; s

= 1; e

∀ n ∈ N, s

= s

+ s

;

6.i § Por indu¸c˜ao completa, demonstrar que, para todo n ∈ N tal que n ≥ 18, existem

p, q ∈ N tais que n = 4p + 7q. Verificar que o resultado ´e falso para n = 17. Discutir se o par (p, q) ´e ´ unico para cada n ≥ 18 ou n˜ao.

Dica: Provar os casos 18 ≤ n ≤ 21 isoladamente. O que isto tem a ver com o n´ umero 4 ?

6.j. * Seja f : N \{ 0 } −→ N \{ 0 } uma fun¸c˜ao que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

f (1) = 1; ∀ n ∈ N \{ 0 } , f (2n) = 2f (n) + 1 e f (f (n)) = 4n − 3 Inferir uma lei de forma¸c˜ao “f (n) = · · · ” para f como fun¸c˜ao expl´ıcita de n. Ent˜ao, utilizando indu¸c˜ao completa, demonstrar que a lei de forma¸c˜ao encontrada est´a correta.

11

Com recursos de um curso b´ asico sobre teoria dos n´ umeros (aritm´etica), temos que,

como 4 e 7 s˜ ao primos entre si, todos os inteiros podem ser escritos como 4p + 7q, onde,

no entanto, p, q ∈

. Em geral, { mp + nq | p, q ∈

} consiste, exatamente, de todos os

m´ ultiplos inteiros do m.d.c.(m, n), sendo m.d.c. definido no Item 10.c.

Quest˜ ao 7. (Bases de enumera¸c˜ao).

7.a. ** Demonstrar que, para todo natural n˜ao-nulo n, existem ´ unicos naturais ℓ, d

, . . . , d

tais que:

∀  ∈ N :  ≤ ℓ, 0 ≤ d

< 10; d

> 0; e n = X

=0

d

· 10

Em outras palavras, n tem representa¸c˜ao ´ unica n = (d

d

· · · d

)

na base decimal com d´ıgitos d

. Generalizar o argumento para qualquer natural b > 1 substituindo 10 acima.

Ex.: (A base decimal ). 2 = (2)

= 2 · 10

; 4 = (4)

= 4 · 10

; 10 = (10)

= 1 · 10

+ 0 · 10

; 16 = (16)

= 1 · 10

+ 6 · 10

;

100 = (100)

= 1 · 10

+ 0 · 10

+ 0 · 10

; 63 = (63)

= 6 · 10

+ 3 · 10

; 4027 = (4027)

= 4 · 10

+ 0 · 10

+ 2 · 10

+ 7 · 10

.

Nos pr´oximos exemplos, j´a omitimos as parcelas nulas para enfatizarmos as ideias no esbo¸co de demonstra¸c˜ao abaixo.

Ex.: (A base bin´ aria, cujo alfabeto para os d´ıgitos ´e { 0, 1 } ).

2 = (10)

= 1 · 2

; 4 = (100)

= 1 · 2

; 10 = (1010)

= 1 · 2

+ 1 · 2

; 16 = (10000)

= 1 · 2

; 63 = (111111)

= 1 · 2

+1 · 2

+1 · 2

+1 · 2

+1 · 2

+1 · 2

; 100 = (1100100)

= 1 · 2

+ 1 · 2

+ 1 · 2

;

4027 = (111110111011)

= 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

. Ex.: (A base hexadecimal, cujo alfabeto para os d´ıgitos inclui (A)

= 10, (B)

= 11, (C)

= 12, (D)

= 13, (E )

= 14 e (F )

= 15).

2 = (2)

= 2 · 16

; 4 = (4)

= 4 · 16

; 10 = (A)

= A · 16

;

16 = (10)

= 1 · 16

; 63 = (3F )

= 3 · 16

+ F · 16

; 64 = (40)

= 4 · 16

; 100 = (64)

= 6 · 16

+ 4 · 16

; 4027 = (F BB)

= F · 16

+ B · 16

+ B · 16

. Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao: Como discutido na Observa¸c˜ao que se se- gue ao Item 5.i.ii, a aplica¸c˜ao daquele item `a fun¸c˜ao J

do Item 4.l (com b = 10 ou, mais geralmente, b natural tal que b > 1) mostra que a sequˆencia 1 = b

< b = b

< b

< b

< · · · < b

< b

< · · · ´e ilimitada superiormente.

Usando o P.B.O. de forma adequada, obtemos que, para todo natural n˜ao-

nulo n, h´a um ´ unico natural ℓ tal que b

≤ n < b

. Dividindo R

= b n por b

,

obtemos o quociente d

, e o resto R

´e menor que b

. Repetindo o processo

para o resto R

no lugar de R

, um pr´oximo resto R

no lugar de R

, etc.,

obtemos os d´ıgitos posteriores como quocientes para divisores b

cada vez

menores (e, portanto, com restos cada vez menores), at´e que a divis˜ao longa

seja exata (isto ´e, o resto seja 0);

7.b. ** Descrever e demonstrar um algoritmo de adi¸c˜ao de dois naturais n˜ao- nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois n´ umeros naturais n˜ao-nulos m e n, considerar suas representa¸c˜oes ´ unicas m = (c

c

· · · c

)

n = (d

d

· · · d

)

na base decimal, isto ´e, m = X

ı=0

c

· 10

e n = X

=0

d

· 10

O algoritmo recebe os n´ umeros k, ℓ, c

, d

e devolve a representa¸c˜ao de m + n na base decimal. Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸c˜ao b > 1;

7.c. * Descrever e demonstrar um algoritmo de compara¸c˜ao de naturais n˜ao- nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois n´ umeros naturais n˜ao-nulos m e n, considerar suas representa¸c˜oes ´ unicas m = (c

c

· · · c

)

n = (d

d

· · · d

)

na base decimal, isto ´e, m = X

ı=0

c

· 10

e n = X

=0

d

· 10

O algoritmo recebe os n´ umeros k, c

, ℓ e d

e devolve uma, e apenas uma, das respostas: m < n, m = n ou m > n . Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸c˜ao b > 1, observando que a resposta produzida pelo algoritmo independe da base de enumera¸c˜ao escolhida !

Dica: E poss´ıvel realizar a compara¸c˜ao em dois passos bem diferentes, cada ´ um com um crit´erio de compara¸c˜ao. O segundo s´o ´e usado quando o primeiro crit´erio tem o mesmo valor para ambos m e n;

7.d. Descrever e demonstrar um algoritmo com as caracter´ısticas abaixo:

Dados de entrada: naturais c

, c

, d

e d

tais que c

6 = 0 6 = d

, represen- tando dois naturais m e n na base decimal por suas representa¸c˜oes ´ unicas:

m = (c

c

)

e n = (d

d

)

, isto ´e, m = 10c

+ c

e n = 10d

+ d

com 10 ≤ m, n ≤ 99;

Dados de sa´ıda: naturais a

, a

, a

e a

representando o natural m · n na base decimal como mn = (a

a

a

a

)

, isto ´e, m · n =

X

ı=0

a

· 10

.

Defini¸ c˜ oes. Consideremos as seguintes defini¸c˜oes em N :

− Dados m, n ∈ N , dizemos que m divide n, n ´e divis´ ıvel por m, m ´e divisor de n, n ´e m´ ultiplo de m, e que a divis˜ao longa de n por m ´e exata, e denotamos

isto tanto por m \ n como m | n se, e somente se, existe d ∈ N tal que md = n (isto ´e, o resto da divis˜ao longa de n por m ´e 0);

12

Esta nota¸c˜ ao tamb´em se aplica ` a extens˜ ao deste conceito de N para

.

− Dado p ∈ N , p ´e primo se, e somente se, p possui exatamente dois divisores distintos

, a saber, 1 e p;

− Dado q ∈ N \{ 0, 1 } , q ´e composto se, e somente se, q n˜ao ´e primo.

Quest˜ ao 8. (A rela¸c˜ao de ordem parcial em N dada por divisibilidade).

8.a § Com a sucess˜ao imediata S, definimos 1 := S(0), 2 := S(1) e 3 := S(2).

Demonstrar que que 2 n˜ao ´e divisor de 3;

8.b § * Provar que a rela¸c˜ao bin´aria ≤

abaixo ´e rela¸c˜ao de ordem parcial em N :

∀ m, n ∈ N, (m ≤

n ⇐⇒ m \ n) ;

8.c § Demonstrar que 1 e 0 s˜ao, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo do con- junto parcialmente ordenado (N, ≤

);

8.d § Demonstrar que, para todos os naturais n˜ao-nulos m e n, se m ≤

n, ent˜ao m ≤ n (na ordem usual)

;

8.e § Dos itens anteriores, deduzir que: 0 n˜ao ´e primo; 2 e 3 s˜ao primos; e que os n´ umeros primos s˜ao os elementos minimais de N \{ 1 } para a rela¸c˜ao de ordem parcial ≤

;

8.f § Mostrar que ≤

n˜ao ´e total (linear);

8.g § Demonstrar que ≤

´e bem fundada

, observando que isto significa que, para todo subconjunto n˜ao-vazio C de N , existe m ∈ C tal que m ´e mini- mal

em C com rela¸c˜ao a ≤

.

Dica: Usar o Item 8.d e a boa ordena¸c˜ao de (N, ≤ ).

13

Logo, 1 n˜ao ´e primo por defini¸c˜ ao de primalidade. Historicamente, 1 era considerado primo e, depois, modificou-se a defini¸c˜ ao para retir´ a-lo. Com isto, evitaram-se as exce¸c˜oes que 1 causava em v´ arios enunciados.

14

Do Item 8.a e do fato de que 2 < S(2) = 3, a rec´ıproca ´e falsa !

15

Toda rela¸c˜ao bem fundada induz uma no¸c˜ ao de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao bem fun- dada e uma no¸c˜ao de defini¸c˜ ao por recurs˜ ao bem fundada; Elas podem ser bastante com- plexas quando comparadas ` as indu¸c˜ oes finita e completa. No caso de ≤

, o caso-base consiste do m´ınimo 1, mas o passo indutivo possui infinitos “sucessores imediatos” de cada vez devido ao Item 8.f. Por exemplo, todos os primos s˜ ao “sucessores imediatos” de 1 para a rela¸c˜ ao ≤

.

16

Isto ´e, n˜ ao existe c ∈ C tal que c <

m.

Quest˜ ao 9. (Alguns resultados sobre primos).

9.a. * Demonstrar que, para todo natural primo p vale:

∀ m, n ∈ N, [(p \ m ∨ p \ n) ⇐⇒ p \ (m · n)]

Obs. A implica¸c˜ao no sentido reverso ´e o conte´ udo original do Lema de Euclides colocado em termos da matem´atica contemporˆanea;

9.b. O que ainda ´e v´alido no Item 9.a se substituirmos “primo p” por “natural q > 1” ? Por quˆe ?

9.c. Provar que, para todos os naturais m, n e d, (d \ m ∧ d \ n) = ⇒ d \ (m + n);

9.d. Mostrar que a rec´ıproca do Item 9.c ´e falsa;

9.e. * Provar que, para todos os naturais m, n e d, [d \ (m + n) ∧ d \ n] = ⇒ d \ m;

9.f. ** (Requer no¸c˜ao de infinitude). O conjunto dos n´ umeros naturais primos

´e infinito a Cantor

.

Dica Por contradi¸c˜ao, assumir que ´e finito. Considerar a soma de 1 com o produt´orio de todos os primos. Ent˜ao, usar o Item 9.e;

9.g. Demonstrar o seguinte lema: para cada natural positivo n, todos os n´ umeros de 2 a n + 1 dividem (n + 1)! ;

9.h. Utilizando os itens 9.c e 9.g, deduzir que os n n´ umeros naturais consecutivos do conjunto { (n + 1)! + k }

s˜ao compostos.

Obs. Considerando os naturais primos arranjados em uma sequˆencia estri- tamente crescente, conclu´ımos que h´a intervalos arbitrariamente grandes de naturais fora desta sequˆencia ! Para melhor apreciar esta observa¸c˜ao, vale recordar o enunciado do Item 9.f;

9.i. *** (Teorema fundamental da aritm´ etica). Todo n´ umero natural maior que 1 possui uma ´ unica (uma e apenas uma) fatora¸c˜ao como produto p

p

· · · p

de naturais primos q

≤ q

≤ · · · ≤ q

(para algum k ∈

\{ 0 } ).

Obs. A lista de primos ´e crescente mas pode ser estritamente crescente ou n˜ao. Em outras palavras, a lista pode ter repeti¸c˜oes. Outro modo de expres- sar este resultado ´e fornecido a seguir.

17

Teorema devido a Euclides, c. 300 a.C. ´ E a Proposi¸c˜ ao 20 do Livro IX dos Elementos .

(Outro enunciado do teorema fundamental da aritm´ etica). Dado um natural n > 1, existem ´ unicos naturais d, ε

, . . . , ε

, p

, . . . , p

tais que:

d, ε

, . . . , ε

> 0; p

< · · · < p

; p

, . . . , p

s˜ao primos

; e n = Y

=1

p

. Ex.: 2 = 2

; 4 = 2

; 6 = 2

· 3

; 360 = 2

· 3

· 5

.

Obs. A existˆencia tem provas relativamente curtas por indu¸c˜ao completa.

Para cada n´ umero natural n, denotemos, arbitrariamente, por D

o con- junto dos naturais que s˜ao divisores de n, e por M

o conjunto dos m´ ultiplos naturais de n:

D

= b { d ∈

| d \ n } ; M

= b { x · n | x ∈

} = (se n 6 = 0) { y ∈ N | n \ y } . Quest˜ ao 10. (m.m.c. e m.d.c.). Sejam os naturais m e n.

10.a. Demonstrar que o conjunto dos naturais que s˜ao divisores comuns a m e n

´e D

∩ D

e, analogamente, o conjunto dos naturais que s˜ao m´ ultiplos de ambos m e n ´e M

∩ M

;

10.b. ** Demonstrar que M

∩ M

possui m´ınimo, o qual denominamos de m´ ınimo m´ ultiplo comum a m e n, e denotamos por m.m.c.(m, n);

10.c. ** Demonstrar que D

∩ D

possui m´aximo, o qual denominamos de m´ aximo divisor comum a m e n, e denotamos por m.d.c.(m, n);

10.d. Provar que: M

= { 0 } ; D

= N = M

; D

= { 1 } ; m.m.c.(m, 0) = 0;

m.d.c.(m, 1) = 1; m = m.m.c.(m, m) = m.d.c.(m, m) = m.d.c.(m, 0) = m.m.c.(m, 1); m.m.c.(m, n) = m.m.c.(n, m); m.d.c.(m, n) = m.d.c.(n, m);

m.d.c.(m, n) = m ⇐⇒ m ∈ D

⇐⇒ m \ n ⇐⇒ n ∈ M

⇐⇒ m.m.c.(m, n) = n 10.e. ** Se m, n > 1, consideremos todos os naturais primos p

< p

< · · · < p

que aparecem na fatora¸c˜ao (´ unica) de, pelo menos, um dos n´ umeros m e n:

m = Y

=1

p

e n = Y

=1

p

, para δ

, ε

∈ N unicos. ´

18

Agora, os primos s˜ ao dois a dois distintos, pois a sequˆencia ´e estritamente crescente.

Obs. Alguns dos expoentes podem ser nulos porque alguns primos podem aparecer em apenas uma das fatora¸c˜oes (claro, os expoentes n˜ao podem ser ambos nulos para um mesmo ´ındice ). Demonstrar que:

m.m.c.(m, n) = Y

=1

p

, e m.d.c.(m, n) = Y

=1

p

.

Da´ı, concluir que m.m.c.(m, n) · m.d.c.(m, n) = m · n;

10.f. ** Dado um n´ umero natural q > 1, demonstrar que q ´e primo se, e somente se, q verifica a seguinte propriedade:

∀ n ∈ N, [q \ n ∨ m.d.c.(q, n) = 1] .

A pr´oxima quest˜ao trata de duas axiom´aticas equivalentes `a de Peano.

Quest˜ ao 11. (Axiom´aticas equivalentes `a de Peano; exemplos e isomorfis- mos de sistemas de Peano). Recordar os axiomas de Peano (cf. Quest˜ao 1).

Consideremos, agora, a seguinte axiom´atica sobre ( ˜ N , S, ˜ ≤ ):

i. ˜ N ´e um conjunto n˜ao-vazio;

ii. (P.B.O.) ≤ ´e uma rela¸c˜ao de ordem total e boa em ˜ N ;

iii. ˜ S : ˜ N −→ N ˜ ´e uma fun¸c˜ao tal que ˜ N = { ˜0 } ∪ Im( ˜ S), onde denotamos por ˜0 = min b

( ˜ N );

iv. ∀ ˜ n ∈ N, ˜ n < ˜ S(˜ ˜ n);

Consideremos, tamb´em, a seguinte axiom´atica sobre N , 0, S, ≤

: A. N , ≤

´e um conjunto totalmente ordenado;

B. 0 = min

N

;

C. S : N −→ N ´e uma fun¸c˜ao tal que N = { 0 } ∪ Im S

; D. ∀ n ∈ N, n <

S(n);

E. Para todo subconjunto X ⊆ N , se vale a propriedade abaixo, ent˜ao X = N :

∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N, m <

n ⇒ m ∈ X

= ⇒ n ∈ X.

11.a. *** Tentar provar que as axiom´aticas (1–3), (i–iv) e (A–E) s˜ao equivalentes.

Obs. Este ´e o problema mais dif´ıcil desta apostila.

Algumas ideias. Ao longo deste texto, produziram-se resultados que mos- tram que a primeira axiom´atica implica as outras duas. Ela implica a segunda com os s´ımbolos sem til e a rela¸c˜ao de ordem da Quest˜ao 4 submetidos a (1–3) fazendo, respectivamente, o papel dos s´ımbolos com til e da rela¸c˜ao de ordem

≤ acima, submetidos a (i–iv). Tentar mostrar que ( ˜ N , S, ˜ ≤ ) e ˜0 submetidos a (i–iv) fornecem ( ˜ N, ˜0, S) submetido a (1–3). Inspirar-se, em particular, no ˜ Item 4.g, adaptando-o `a l´ogica de 2

ordem. Provavelmente, a parte mais dif´ıcil ´e a injetividade de ˜ S. Cabe o seguinte lema, interessante por si mesmo:

11.b. *** Lema. No sistema ( ˜ N, S, ˜ ≤ ) submetido a (i–iv), a fun¸c˜ao ˜ S ´e igual `a fun¸c˜ao µ : N ˜ −→ N ˜

˜

n 7−→ µ (˜ n) = min

{ ˜ a ∈ N ˜ | n ˜ ≤ ˜ a }

, que ´e bem definida e estritamente crescente. Disto, µ ´e inje¸c˜ao.

Roteiro para uma prova do lema. Para a boa defini¸c˜ao de µ, aplicar o P.B.O. ao conjunto { a ˜ ∈ N ˜ | n ˜ ≤ ˜ a } , que n˜ao ´e vazio devido ao axioma (iv).

Por defini¸c˜ao, µ satisfaz a seguinte propriedade: ∀ n ˜ ∈ N , ˜ n < µ ˜ (˜ n) . (21) Para a monotonicidade estrita de µ aplicar µ a ˜ m, ˜ n ∈ N ˜ tais que ˜ m < n, e ˜ combinar: a propriedade (21) acima aplicada a ambos ˜ m e ˜ n; e o uso da defini-

¸c˜ao de µ em vista de ˜ m < n ˜ para obter µ ( ˜ m) ≤ n. Finalmente, ˜ ˜ S ≡ µ porque se, por absurdo, n˜ao o fosse, ter´ıamos, do axioma (ii), o m´ınimo ˜ n

∈ N ˜ a satisfazer µ (˜ n

) 6 = ˜ S (˜ n

). Das defini¸c˜oes de µ e ˜ n

, necessariamente vale

˜

n

< µ (˜ n

) < S ˜ (˜ n

) e, do axioma (iii), existe ˜ p ∈ N ˜ tal que µ (˜ n

) = ˜ S (˜ p).

Da propriedade (21), ˜ p < S ˜ (˜ p) = µ (˜ n

) donde, pela defini¸c˜ao de µ, temos que ˜ p ≤ ˜ n

. Produzir contradi¸c˜oes em ambos os casos ˜ p = ˜ n

e ˜ p < n ˜

. Obs.

N˜ao obtivemos a propriedade (21) do lema do Item 5.i.ii porque utilizamos aquela propriedade para deduzirmos que µ ´e estritamente crescente.

Passemos, agora, `a discuss˜ao da verifica¸c˜ao de que, dado um sistema N, 0, S, ≤

submetido aos axiomas (A–E), N , S, ≤

satisfaz os axiomas (i–iv), fazendo o papel de

N , ˜ S, ˜ ≤

. As axiom´aticas j´a tˆem, em comum,

(iii), (iv) e parte de (ii). (i) ´e f´acil. A parte crucial ´e obter a boa funda¸c˜ao

de ≤

. Isto pode ser feito por contradi¸c˜ao, come¸cando com um subconjunto

C n˜ao-vazio de N tal que C n˜ao possui m´ınimo com rela¸c˜ao a ≤

. Tomar

X = b N \ C e mostrar que X satisfaz a propriedade no axioma (E) devido a C

n˜ao possuir m´ınimo. Da´ı, X = N, donde C = ∅ (contradi¸c˜ao).

A pr´oxima quest˜ao trata de dois temas muito importantes do ponto-de- vista conceitual. Um deles ´e a existˆencia de sistemas de Peano-Dedekind, para a qual ´e introduzido o axioma do infinito. Discutimos as vers˜oes pre- sentes nas axiom´aticas de Zermelo e de Zermelo-Fraenkel. Na primeira, os n´ umeros naturais s˜ao modelados por conjuntos unit´arios, cada n´ umero con- tando chaves em torno de ∅ . Na outra, os n´ umeros naturais s˜ao modelados por conjuntos com tantos elementos quanto o n´ umero em quest˜ao.

Quest˜ ao 12. (Existˆencia e isomorfia de sistemas de Peano-Dedekind).

12.a. *** Consideremos a vers˜ao do axioma do infinito na axiom´atica de Zermelo, a saber, existe I

tal que ∅ ∈ I

e ∀ X ∈ I

, { X } ∈ I

. Tentar provar que (N

, 0

, S

) constitui um sistema de Peano, onde:

− N

:= ∩F , onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de I

tais que:

∅ ∈ C e ∀ X ∈ C, { X } ∈ C;

− 0

:= ∅ ; e

− S

´e a restri¸c˜ao S |

de S a N

, onde S : I

−→ I

X 7−→ S (X) = { X } ; 12.b. Consideremos a vers˜ao do axioma do infinito na axiom´atica

ZF, a saber,

existe I

tal que ∅ ∈ I

e ∀ X ∈ I

, (X ∪ { X } ) ∈ I

. Tentar provar que (N

, 0

, S

) constitui um sistema de Peano, onde:

− N

:= ∩F , onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de I

tais que:

∅ ∈ C e ∀ X ∈ C, (X ∪ { X } ) ∈ C;

− 0

:= ∅ ; e

− S

´e a restri¸c˜ao S |

de S a N

, onde S agora ´e dado por S : I

−→ I

X 7−→ S (X) = X ∪ { X } .

Obs. Enquanto cada natural n ´e modelado pelo n´ umero de chaves em torno de ∅ no Item 12.a, ele ´e modelado no Item 12.b por um conjunto com exata- mente n elementos ! Ex.: 3

= {{{∅}}} vs. 3

= { 0

, 1

, 2

} .

Os pr´oximos itens lidam com a isomorfia de sistemas de Peano (na l´ogica de 2

ordem), justificando a identifica¸c˜ao de todos eles entre si, sublimados num ´ unico objeto

. Isto era o esperado ao formalizarmos os naturais:

desej´avamos uma estrutura ´ unica, independente de como os model´assemos.

19

Nesta vers˜ ao, ´e produzido um sistema de Peano tal que N ´e o ordinal ω de von

Neumann, o qual ´e constitu´ıdo dos ordinais de von Neumann finitos.