Análise Combinatória

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Análise

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princípio aditivo e multiplicativo ...3

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Princípio Aditivo e Multiplicativo.

Neste capitulo resolveremos uma série de problemas fazendo uso, inicialmente, dos princí-pios aditivo e multiplicativo. Os exemplos se tornarão gradualmente mais complexos e mostrare-mos também como contruir permutações, arranjos e combinações.

Os exemplos a seguir ilustram esses princípios iniciais:

Exemplo 01: Suponha que tenham entrado em cataz 3 filmes e 2 peças de teatro que

você quer assistir, porém você só tem dinheiro suficiente para um único evento, quantos progra-mas você pode fazer no sábado?

Note que você só tem dinheiro suficiente para um único evento, ou seja, você deve escolher,se vai ver o Filme 1 ou o Filme 2 ou o Filme 3 ou a Peça 1 ou a Peça 2, portanto você tem 5 opções diferentes.

Exemplo 02: Ainda com os eventos do exemplo um, suponha agora que você tenha

di-nheiro pra assistir a um filme e a uma peça, quantos programas diferente você poderia fazer? Vamos enumerar os seguintes cassos possíveis:

Filme 1 e Peça 1 Filme 1 e Peça 2 Filme 2 e Peça 1 Filme 2 e Peça 2 Filme 3 e Peça 1 Filme 3 e Peça 2

Portanto você poderá escolher dentre os 6 programas aquele que pretende fazer.

Exemplo 03: Suponha que Maria entre em uma lanchonete e lá tenha 5 sabores de picolés e 3

Salgados diferentes, suponha que ela queira comer apenas um picolé ou um salgado, quantas as as possibilidades de pedidos que Maria deve fazer?

Ou Maria Escolhe um dos cinco sabores de picolés ou escolhe um dos três salgados, portanto Maria pode fazer 8 pedidos diferentes.

Exemplo 04: Suponha que a Lucia fosse a essa mesma lanchonete, e quisesse comer um picolé

e um salgado, quantos pedidos diferentes ela poderia fazer ?

Vamos fazer todas a possibilidades que Lúcia teria para comer um picolé e um salgado: Picolé 1 Salgado 1 Picole 1 Salgado 2 Picolé 1 Salgado 3

Picolé 2 Salgado 1 Picole 2 Salgado 2 Picolé 2 Salgado 3 Picolé 3 Salgado 1 Picole 3 Salgado 2 Picolé 3 Salgado 3 Picolé 4 Salgado 1 Picole 4 Salgado 2 Picolé 4 Salgado 3 Picolé 5 Salgado 1 Picole 5 Salgado 2 Picolé 5 Salgado 3 Portanto há 15 possibilidades de Lucia fazer o seu pedido.

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Os Exemplos 02 e 04 obedecem a um outro princípio básico e contagem que chamamos de principio multiplicativo, se um evento A pode ocorrer de m maneiras e para cada uma dessas maneiras um outro evento B pode ocorrer de n maneiras, então o número de maneiras de ocorrer um evento A, seguindo de um evento B é m . n.

Exercícios Resolvidos:

01. Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras po-demos formar um conjunto de 1 mesa e 4 cadeiras iguais ?

Ele tem 20 possibilidades de cadeiras e 5 possibilidades de mesa, portanto o número de conjun-tos diferentes, pode ser obtido atraves de 20 . 5 = 100 maneiras diferentes.

02. Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática, 7 de física e permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras diferentes a escolha pode ser feita ?

Eu posso escolher entre cinco livros diferentes de matemática e depois escolher entre 7 livros de física, então o número total de escolhas pode ser obtido por 7 . 5 = 35 maneiras diferentes.

03. De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz ?

O primeiro prêmio pode ser dado a qualquer um dos 10 rapazes, já o segundo prêmio só vai po-der ser distribuido entre 9, uma vez que um deles já recebeu o primeiro premio e não pode rece-ber novamente, então a quantidade de possibilidades para a premiação ser efetuada será dada através de 10 . 9 = 90 possibilidades diferentes.

04 De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios possam ser dados a um mesmo rapaz ?

O primeiro premio pode ser dado a qualquer um dos 10 rapazes e o segundo também, já que pode ser repetido, então teremos 10 . 10 = 100 maneiras distintas

05. Quantos são os anagramas de duas letras diferentes que podemos formar com o alfabeto de 26 letras ?

A primeira letra pode ser escolhida dentre 26 letras do alfabeto, já a segunda podemos escolher dentre 25, já que uma letra já foi anteriormente utilizada, ficando o total 26.25 = 650 maneiras distintas.

06. De quantas maneiras duas pessoas podem estacionar seus carros numa garagem de 6 car-ros?

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Permutação Simples

Uma permutação de n objetos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, de modo que, se denominarmos Pn o número de permutações simples dos n objetos, então:

Pn=n(n-1)(n-2)…2.1=n!

Definimos P0 = 0! = 1! = 1

Exemplos:

01 .Considerando os dígitos 1,2,3,4 e 5, quantos números de cinco algarismos distindos podem ser formados ?

Temos 5 dígitos, que não se repetem, e devemos colocar eles em cinco posições, uma vez que o número a ser formado deve conter 5 algarimos, logo a solução seria pelo princípio multiplica-tivo: 5.4.3.2.1 = 120, ou então usamos direto a fóruma de permutação simples, onde o P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

02. De quantas maneiras 6 carros podem ser estacionados em 6 vagas?

O primeiro carro tem 6 vagas onde ele pode estacionar, o segundo tem 5 vagas e assim suces-sivamente até o sexto carro que só terá uma vaga disponível, logo pelo princípio multiplicativo teremos: 6.5.4.3.2.1 = 720 formas diferentes, ou ainda podemos fazer direto, P₆ = 6! = 720. 03. De quantas maneiras 4 moças e 4 rapazes podem formar casais para uma dança, de forma que cada casal seja composto por uma moça e um rapaz?

A primeira moça teria 4 escolhas possíveis dentre os rapaz, a segunda teria 3, a terceira 2 e a quarta apenas 1 opção, então podemos fazer P₄ = 4! = 24 casais diferentes para a dança. 04. Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ANEL?

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Arranjo Simples

Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n≥1 e p um número positivo tal que 1 ≤p≤n , são todos os grupos de p elementos distintos que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo, notação Anp

A_np_{= n!}

(n- p)!

Exemplos:

01. Quantos anagramas de duas letras diferentes podemos formar com um alfabeto de 26 letras ?

Agora como temos 26 letras para apenas dois espaços, pois desejamos formar anagramas com apenas duas letras, podemos utilizar a fórmula do arranjo que acabamos de aprender,

A₂₆2_{= 26!/ = 26! = 26 . 25. 24! = 26.25 = 650, conforme já vimos antes no exemplo 05 de}

(26- 2)! 24! = 24! princípios multiplicativos

02. Considerando os dígitos 1,2,3,4 e 5, quantos números de dois dígitos poderão ser for-mados?

Temos 5 dígitos para formar números com apenas dois dígitos, então usaremos novamen-te a fórmula de arranjo.

A₅2_{= 5! = 5! = 5. 4 . 3! = 5.4 = 20 números diferentes de dois dígitos.}

(5- 2)! 3! = 3!

03. Temos 7 carros e devemos colocá-los em apenas 3 vagas de estacionamento, de quantas formas diferentes podemos estacionar os carros?

Novamente temos 7 carros para apenas 3 vagas então usaremos novamente arranjos: A₇3_{= 7! = 7! = 7 . 6 . 5 . 4! = 7.6.5 = 140 formas diferentes de estacionar os carros.}

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Combinação SImples

Combinação simples de n elementos tomados p a p, onde n≥1 e p um número positivo tal que 1 ≤ p ≤ n , são todas as escolhas não ordenadas de p desses n elementos, entretanto, quan-do consideramos combinações simples de n elementos tomaquan-dos p a p, temos agrupamentos de p elementos, tomados dentre os n elementos disponíveis, que diferem entre si apenas pela nature-za dos elementos, isto é, importa somente quem participa do grupo, não a ordem, e temos como fórmula da combinhação simples.

Cnp = n!

p! (n- p)!

Exemplos:

01. Quantos grupos de 5 pessoas diferentes podemos formar para um trabalho de mate-mática, em uma turma de 12 alunos ?

Primeiramente, veremos, oomo a ordem não importa, em um grupo com Ana, Beto, Carlos, Daniel e Erica, não importa quem eu escolhi primeiro, logo usaremos a combinação simples: C₁₂5_{= 12! = 12! = 12.11.10.9.8.7! =95.040 = 792 formas diferentes de formar o grupo}

5! (12 -5)! 5! . 7! 7! 5.4.3.2.1 120

02. Uma empresa possui no seu quadro de empregados 10 funcionários e vai oferecer uma viagem a 2 desses funcionários, de quantas formas diferentes poderão ser formados esse grupo de viagem ?

Novamente vemos que a ordem de quem foi escolhido não importa, se ele tiver sido esco-lhido estará dentro do grupo das pessoas que irão viajar, com isso, concluimos que utilizaremos combinação simples :

C₁₀2_{= 10! = 10! = 10.9.8! = 10 . 9 = 45 formas diferentes de formar o grupo}

2! (10-2)! 2! . 8! 8! 2! 2

Obs: Chamamos de combinação complementar, a combinação de n tomadas (n-p) a (n-p) ele-mentos, e ela será igual o valor da combinação de n tomados p a p elementos:

Exemplo: Combinação de 10 tomados 2 a 2 elementos, será igual a combinação de 10

tomados (10-2) a (10-2) elementos, ou 8 a 8 elementos. C₁₀2_{= 10! = 10! C}

102= 10!___ = 10!

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Exercícios

Questão 1: IBFC - Sold (PM BA)/PM BA/2020

Em uma prateleira de uma biblioteca, deseja-se dispor 4 livros de maneiras distintas.

Sabendo que a prateleira possui 10 espaços em que os livros podem ser colocados,

assinale a alternativa que apresenta corretamente a quantidade de maneiras que

esses livros podem ser dispostos nessa prateleira.

a) 3628800

b) 5040

c) 151200

d) 720

e) 24

Questão 2: FEPESE - AssJur (Pref Itajaí)/Pref Itajaí/2020

Uma pessoa vai a uma feira onde tem a sua disposição 8 tipos de frutas e 7 tipos de verduras. De quantas maneiras diferentes esta pessoa pode montar uma cesta, consistindo em 3 frutas de tipos distintos e 2 verduras de tipos distintos?

a) Mais de 1300

b) Mais de 1200 e menos de 1300 c) Mais de 1100 e menos de 1200 d) Mais de 1000 e menos de 1100 e) Menos de 1000

Em um restaurante a quilo são oferecidos 5 tipos de comida sem glúten e 8 tipos com glúten. Uma pessoa deseja montar uma marmita com 3 tipos distintos de comida, de maneira que no máximo uma contenha glúten.

Quantas marmitas diferentes esta pessoa pode montar, obedecendo às restrições descritas ante-riormente? a) Mais de 105 b) Mais de 95 e menos de 105 c) Mais de 85 e menos de 95 d) Mais de 75 e menos de 85 e) Menos de 75

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Assumindo que todos os assentos estão disponíveis, de quantas maneiras diferentes os irmãos podem escolher seus assentos, de maneira que viajem juntos (ou seja, sem corredor os separando e na mesma fileira)? a) Mais de 35 b) Mais de 30 e menos de 35 c) Mais de 25 e menos de 30 d) Mais de 20 e menos de 25 e) Menos de 20

Sete atletas disputam uma prova de natação, com iguais chances de vencer.

De quantos modos diferentes pode ocorrer a chegada dos quatro primeiros colocados? a) Mais de 900

Questão 6: FEPESE - ACUrb (Pref Itajaí)/Pref Itajaí/2020

Um triatleta vai a uma loja para comprar um kit formado por dois óculos de natação, uma bicicleta e dois pares de tênis. A loja oferece 6 opções de óculos de natação, 8 opções de bicicletas e 8 opções de pares de tênis.

De quantas maneiras diferentes o triatleta pode formar seu kit? a) Mais de 3300

Questão 7: FEPESE - ACUrb (Pref Itajaí)/Pref Itajaí/2020

Um grupo escoteiro conta com 25 participantes, sendo 12 meninos e 13 meninas. Deseja-se formar uma equipe com exatamente dois meninos e uma menina.

De quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada? a) Mais de 900

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Questão 8: CEFETMINAS - Aud Fisc (Contagem)/Pref Contagem/Fiscalização/2020

A câmara de vereadores aprovou uma lei que isenta as empresas de todos os tributos municipais durante 3 dias em cada mês. Segundo essa lei, as empresas devem informar previamente à fiscali-zação tributária municipal quais dias do mês ela irá usufruir dessa isenção, sendo essa informação chamada de “opção”.

Uma empresa é totalmente livre para escolher qual das várias opções possíveis será a escolhida por ela.

Nesse caso, a quantidade de opções possíveis que uma empresa que trabalha todos os dias pode informar em um mês de 31 dias é corretamente calculada pela expressão

a) 3! b) 31! c) 31! / 3! d) 31! / 28! e) 31! / 3!.28!

Questão 9: FCC - AssGP (Pref Recife)/Pref Recife/2019

Uma determinada secretaria municipal conta com dois assessores (A1 e A2) e cinco supervisores (S1, S2, S3, S4 e S5). Deseja-se formar uma comissão formada por quatro membros, pelo menos um dos quais deve ser um assessor e os demais, supervisores. Ainda, se A1 for membro da comis-são, S1 não deve ser. Nessas condições, podem ser formadas

a) 15 comissões diferentes. b) 30 comissões diferentes. c) 20 comissões diferentes. d) 44 comissões diferentes. e) 60 comissões diferentes.

Questão 10: CEBRASPE (CESPE) - AFRE (SEFAZ RS)/SEFAZ RS/2019

Os funcionários de uma repartição foram distribuídos em sete grupos de trabalhos, de modo que cada funcionário participa de exatamente dois grupos, e cada dois grupos têm exatamente um fun-cionário em comum.

Nessa situação, o número de funcionários da repartição é igual a a) 7.

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Questão 11: FCC - Esc (BANRISUL)/BANRISUL/2019

Ana e Beatriz são as únicas mulheres que fazem parte de um grupo de 7 pessoas. O número de comissões de 3 pessoas que poderão ser formadas com essas 7 pessoas, de maneira que Ana e Beatriz não estejam juntas em qualquer comissão formada, é igual a

a) 20. b) 15. c) 30. d) 18. e) 25.

Assunto: Análise combinatória (princípio fundamental da contagem, arranjos, combinações, permu-tações)

Considere, em ordem crescente, todos os números de 3 algarismos formados, apenas, pelos alga-rismos 1, 2, 3, 4 e 5. O número 343 ocupa a posição de número

a) 45. b) 60. c) 39. d) 70. e) 68.

Uma população consiste nos 6 primeiros números inteiros estritamente positivos, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja n 1 o número de amostras aleatórias possíveis de 2 elementos que podem ser extraí-das da população com reposição e n 2 o número de amostras aleatórias possíveis de 2 elementos que podem ser extraídas da população sem reposição. O módulo de (n 1 – n 2) é igual a

a) 49. b) 24. c) 26. d) 30. e) 21

Questão 14: FADESP - Ag Trans (Mocajuba)/Pref Mocajuba/2019

A quantidade máxima de anagramas (composições com as letras de uma palavra, mesmo que não façam sentido) que é possível obter com as letras da palavra MOCAJUBA, mantendo-se fixas as vogais em suas respectivas posições, é igual a

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Questão 15: CEBRASPE (CESPE) - ACI (COGE CE)/COGE CE/Auditoria/Governamental/2019

Em determinado órgão, sete servidores foram designados para implantar novo programa de aten-dimento ao público. Um desses servidores será o coordenador do programa, outro será o subcoor-denador, e os demais serão agentes operacionais.

Nessa situação, a quantidade de maneiras distintas de distribuir esses sete servidores nessas fun-ções é igual a a) 21. b) 42. c) 256. d) 862. e) 5.040.

Questão 16: NC-UFPR - AFTM (Curitiba)/Pref Curitiba/2019

Um restaurante possui 11 pratos especiais que são ofertados em cardápios semanais. A cada se-mana, somente 4 desses pratos são escolhidos para compor o cardápio, por problemas de logís-tica na confecção dos pratos. Quantas semanas serão necessárias até que o restaurante precise repetir um cardápio? a) 11. b) 52. c) 330. d) 5040. e) 7920.

Questão 17: FEPESE - CI (Ágs de Chapecó)/Pref Ágs de Chapecó/2019

Em uma excursão em um ônibus panorâmico, devem-se escolher duas pessoas para sentar no assentos numerados 1 e 2, que são os que oferecem a melhor visibilidade dos pontos turísticos. Se a excursão conta com 42 pessoas, de quantas maneiras diferentes é possível escolher essas duas pessoas?

a) Mais do que 1800

b) Mais do que 1700 e menos que 1800 c) Mais do que 1600 e menos que 1700 d) Mais do que 1500 e menos que 1600 e) Menos do que 1500

Questão 18: FEPESE - CI (Ágs de Chapecó)/Pref Ágs de Chapecó/2019

Em uma empresa, após o expediente, uma pequena confraternização é feita e os funcionários so comprimentam trocando 91 apertos de mão.

Sabendo-se que cada funcionário cumprimentou todos os outros, sem repetição, quantos funcioná-rios estavam presentes na confraternização?

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Questão 19: ACEP - Ana (Pref Aracati)/Pref Aracati/Fundos de Investimento/2019

Em um torneio de tênis há 25 inscritos. Os prêmios serão dados aos que ocuparem o pódio, isto é, ao primeiro, segundo e terceiro lugar. De quantas maneiras o pódio poderá ser formado?

a) 2.300. b) 7.800. c) 10.300. d) 13.800.

Questão 20: OBJETIVA CONCURSOS - Tec Amb (Itaberaí)/Pref Itaberaí/2019

Em um grupo de seis Fiscais de Tributos Municipais, deve-se escolher três deles para participar de um congresso. Sendo assim, ao todo, de quantos modos distintos esses três Fiscais de Tributos Municipais podem ser escolhidos?

a) 20 b) 40 c) 80 d) 120

Questão 21: IBGP - GM (Pref Uberaba)/Pref Uberaba/II/2019

A análise combinatória estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado even-to. Dez candidatos estão disputando quatro vagas em um concurso público.

Assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE quantas são as possibilidades para esses candidatos ocuparem as três primeiras vagas.

a) 720. b) 270. c) 27. d) 10.

Questão 22: IBGP - GM (Pref Uberaba)/Pref Uberaba/II/2019

Os números de telefones fixos em Minas Gerais possuem oito algarismos. Sabe-se que esses nú-meros não podem começar com zero, sendo assim, assinale a alternativa que apresenta CORRE-TAMENTE o número máximo de telefones que podem ser instalados no estado.

a) 1.000.000. b) 9.000.000. c) 90.000.000. d) 100.000.000.

Questão 23: FGV - APIOPM (Salvador)/Pref Salvador/Arquitetura/2019

Dentre todos os números naturais de 3 algarismos, a quantidade desses números que possui pelo menos um algarismo 5 é

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Questão 24: IDIB - GM (Petrolina)/Pref Petrolina/2019

João e Maria foram comemorar o aniversário de casamento em um restaurante que tem 3 opções de pratos de entrada, 3 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa.

Sabendo-se que cada pessoa deve escolher 1 prato de entrada, 1 prato principal e 1 sobremesa, assinale a alternativa que indica corretamente o número de maneiras distintas que cada pessoa pode escolher sua comida:

a) 72 b) 36 c) 18 d) 12 e) 9

Questão 25: IBGP - GM (Pref Jacutinga)/Pref Jacutinga/2019

O fatorial de um número é extremamente utilizado na análise combinatória. Dessa forma, analise as proposições a seguir:

I - O fatorial n! de um número n∈Nn∈N e dado por n!=n×(n−1)×(n−2)...3×2×1; II - 0!=1.

III - 1!=0.

Está(ão) CORRETA(S) a(s) proposição(ões): a) II apenas.

b) I e II apenas. c) II e III apenas. d) I e III apenas.

Questão 26: IBGP - GM (Pref Jacutinga)/Pref Jacutinga/2019

Assinale a alternativa que contém a quantidade de vezes que e possível usar de maneiras diferen-tes duas blusas, três calças e quatro meias:

a) 24 maneiras diferentes. b) 28 maneiras diferentes. c) 32 maneiras diferentes. d) 36 maneiras diferentes.

Questão 27: FGV - AFM (Pref Salvador)/Pref Salvador/2019

Os cinco times de futebol de certo município disputarão um torneio em que cada time jogará uma vez com cada um dos outros times.

O número de partidas que serão realizadas é a) 8.

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Questão 28: INAZ do Pará - Proc Mu (Terra Alta)/Pref Terra Alta/2019

Quantos anagramas podemos formar com a palavra CADERNO, mantendo a letra C e R nas extremidades? a) 200 b) 120 c) 5040 d) 240 e) 720

Questão 29: FEPESE - AAdm (Campos Novos)/Pref Campos Novos/Efetivo/2019

Uma empresa conta com 50 funcionários. Dentre esses, 47 devem ser escolhidos para fazer um turno extra ao sábado.

De quantas maneiras diferentes é possível escolher os 47 funcionários? a) Mais do que 19.500

b) Mais do que 18.500 e menos que 19.500 c) Mais do que 17.500 e menos que 18.500 d) Mais do que 16.500 e menos que 17.500 e) Menos do que 16.500

Questão 33: FEPESE - AAdm (Campos Novos)/Pref Campos Novos/Efetivo/2019

Uma pessoa deseja viajar entre as cidades A e C, passando por B. Entre A e B, existem 7 rotas possíveis e entre B e C existem 18 rotas disponíveis.

De quantas maneiras diferentes esta pessoa pode viajar da cidade A para a cidade C, utilizando as rotas mencionadas?

a) Mais do que 175

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