COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Exercícios de Números Complexos – Forma Trigonométrica - GABARITO 1. Dê a forma trigonométrica do complexo de afixo
2,2 3
.Solução. Calculando módulo e argumento, temos:
3 isen 5 3 cos4 5 z ou
º300 isenº 300 cos4 z
3 º300 5
2 1 4 2 z cos a
2 3 4
32 z sen b
416 124 32 2
z 2 2
.
2. Escreva a forma trigonométrica dos complexos:
a) 2
3 i
z b) z 6 2i c) z 4i d) z 3 Solução. Calculando módulo e argumento em cada item, temos:
a)
6 isen 5 6 cos 5 z ou
º150 isen º150 cos z
6 º150 5
2 3 1
2 3 z cos a
2 1 1 2 1 z sen b
4 1 4 4 1 4 3 2 1 2 z 3
2 2
.
b)
6 isen 7 6 cos2 7 2z ou
º210 isenº 210 cos2 2z
6 º210 7
2 3 22 6 z cos a
2 1 22 2 z sen b
22 8 26 2 6
z 2 2
.
c)
2 isen 3 2 cos4z 3 ou
º270isen º270cos 4z 2 º270 3 4 0
0 z cos a
4 1 4 z sen b
416 40
z 2 2
.
d)
isen cos3 z ou
º180 isenº 180cos 3z º180 3 1
3 z cos a
3 0 0 z sen b
39 03
z 2 2
.
3. Escreva a forma algébrica dos complexos:
a) 4
cis
z b) z 2cis
c)6
10 7
cis
z d)
8
2cis z
Solução. A expressão “cis” representa cos(arg) + i.sen(arg), onde “arg” é o argumento do complexo.
a) 2
2 2
2 4 cos4
4 isen i
cis
z
.
b) z2cis 2
cos isen
2
1i.0
2.
c) z 10cis76 10 cos76 isen76 10 23 i215 35i
.
d) 8
0 .i1
8iisen2 cos2
2 8 cis 8
z
.
4. Ache o conjugado de
z
34 sendo zcos
8 isen
8. Solução. Aplicando a fórmula de Moivre, temos:
2 i 2 2 i 2 2
2 2 z 2 2 i
2 2
2 isen 4 cos 4 z
4 8 2 8 32 8 : 34 OBS
8 isen 34 8 cos 34 . 8 34 8 isen . 34 cos z isen 8 cos 8 z
isen 8 cos 8 z
34 34
34 34 34
.
5. Se
i z i
4 6
2 5 2
, determine, na forma algébrica,
z
13.Solução. Expressando “z” na forma (a + bi) e calculando a potência, temos:
i2 2 2 i 2 2
2 2 ) 2 1 )(
1 ( 2 i
2 2 i 2 . i 2 i
2 2 i 2 z z z
4 i i 2 4
) 2 ( 2 4 i 2 4 i 2 2
2 2 2 2 4 i 2 2
2 2 z 2
2 i 2 2
2 52
i 2 26 2 26 i
4 6
i 2 20 i 2 30 i 2 4 2 6 i 4 6
i 4 . 6 i 4 6
i 2 5 2 i
4 6
i 2 5 z 2
2 4 6 6
2 13
2 2
2
2 2
2
.
6. (UERJ) Considere o seguinte número complexo:
3 1
1 i z i
. Ao escrever z na forma trigonométrica, os
valores do módulo e do argumento serão respectivamente:
a) 2 e 12 25
b) 2 e 12 17
c) 2
2 e 12 25
d) 2
2 e 12 17
Solução. Escrevendo o numerador e o denominador na forma complexa e dividindo, temos:i)
4
7 2 sen 1
2 cos 1 2 )1(
)1(
i1 2 2
. ii)3 2 sen 3
2 cos 1 2 3 1 )3 ( )1(
3i
1 2 2
.Logo,
12 )z 17 ( Arg
2 z 2 12
isen 17 12
cos 17 2 . z 2
3 4 isen 7 3
4 cos 7 2 .
2 isen 3
cos 3 .2
4 isen 7 4
cos 7 .2 3 i 1
i z 1
.
7. Calcule m de modo que a imagem do número
i i z m
2
6 esteja na bissetriz dos quadrantesímpares.
Solução. Para que a condição ocorra, o complexo z = a + bi é tal que a = b.
2 6 12 185 12 5
6 2 1
4
6 12 2
2 . 2 2
6 2
6 2
m mi i i m m i m m m
i i i
i m i
i
z m
.
8. (CESGRANRIO) Seja w abi um complexo onde a > 0 e b > 0. Seja
w
o seu conjugado. Qual a área do quadrilátero de vérticesw
,w
, w
e w
?Solução. Representando no plano Argand-Gauss, temos o retângulo.
a a b b a b ab
Área bi a w
bi a w
bi a w
bi a w
4 2.
2
.
.
9. (MACK) As representações gráficas dos complexos 1i,
1i
2, 1
e
1i
2, são vértices de um polígono de área:a) 2 b) 1 c) 2
3 d) 3 e) 4
Solução. Uma fórmula conhecida para calcular a área de um triângulo dado por coordenadas cartesianas no plano é:
1 1 1 2.
1
3 3
2 2
2 1
y x
y x
y x
A , onde P(x1, y1), Q(x2, y2) e R(x3, y3) são os
vértices do triângulo.
No caso do exercício temos os pontos:
i) 1i P(1,1). ii)
1i
2 2iP(0,2). iii) 1P(1,0). iv)
1i
2 2iP(0,2).Dividindo o quadrilátero em dois triângulos aplica-se a fórmula somando-se os resultados.
A1:
2 ) 3 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 1 1 1 0 1
1 2 0
1 1 1 2
1
. A2:
2 ) 5 2 ( 1 ) 1 ( 0 ) 3 ( 2 1 1 1 1 1
1 2 0
1 0 1 2
1
.
Logo, a área será 4
2 8 2 5 2
3
A .
10. Um triângulo eqüilátero ABC está inscrito em uma circunferência com centro na origem do plano complexo. O vértice A é o afixo do complexo 3i. Determine as coordenadas dos pontos B e C.
Solução. O módulo do complexo será o raio da circunferência. O triângulo eqüilátero divide a circunferência em três arcos congruentes. Logo, cada afixo está distante do outro consecutivo de 120º.
2, 2 0
isen 3 2 cos 3 2 z C
6 1,3 isen 5 6 cos 5 2 z B
2 3 6 9 3 2 6 5
6 5 3 2 6 6
2 cos 3
2 sen 1
2 1 3 z i 3 z A
2 2
3 2 1
1 1
2 2 1
.
11. (IBMEC) Se A, B e C representam, no plano Argand-Gauss, as imagens das raízes complexas da equação 0
5 2 2
3 x x
x , então o perímetro do triângulo ABC é igual a:
a) 24 5 b) 42 5 c) 54 2 d) 45 2 e) 52 5 Solução. Resolvendo a equação, temos:
i21 x
i21 x
0x :raízes 2
i42 2
16 2 2
204 x0 2 5x2 x
0x 05 x2x x0 x5x2 x
3 2 1 2
2 2
3
.Representando no plano, temos:
5 2 4 Perímetro 4
i4 i2 1 i2 1 BC
5 2 1 i2 1 AC
5 2 1 i2 1 AB
2 2 2 2
.
12. O número complexo z possui afixo no 2º quadrante do plano Argand-Gauss. Se z2 z2z 33i, determine z, seu módulo e seu argumento.
Solução. Resolvendo a equação para z = x + yi, temos:
4 rad º 3
135 2
cos 1 2 sen 1 : Argumento )ii
2 )1 ( 1 i
1 z
: Módulo )i
Quadrante º2
i 1 z
Quadrante º1
i 2 : z
Complexo 2 1
3 x 1
2 2 3 x 1 2
3 1 2
9 1 2
)2 )(
1(
4 1 x 1
0 2 x 3 x
x 1 x
1 y 3 y i3 3 3 i y 3 x y x
i3 3 yi 2 yi x 2 x y x i3 3 ) yi x(
2 ) yi x(
y x i3 3 z 2 z z
2 2 2
2 1 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
.
13. Se o módulo de um complexo é igual a 2 e seu argumento, 4 7
, a expressão algébrica deste número é:
a) 1i b) 2i c)
i
d) 1i e) 1iSolução. Temos: 1 i
2 2 2 2 2 4
isen7 4
cos7 2
z
.
14. Na figura P é o afixo do número complexo z. Se o ângulo assinalado mede rad 6
, escreva z na formatrigonométrica e na forma algébrica.
Solução. O ângulo em graus mede 30º. Logo o arco medido no sentido positivo é de 300º ou rad
6 5
. A circunferência possui raio 2, logo o módulo de P vale 2. Temos:
3
isen5 3
cos5 2 z : rica Trigonomét )
i
;
ii)Algébrica:z 2 21 23i1 3i
15. Dados z1
4.
cos30º
isen30º
, z2
3.
cos120º
isen120º
e z3 2.
cos270ºisen270º
números complexos, escreva na forma trigonométrica os resultados das operações:
a) z1.z2 b)
3 1
z
z c)
z2 5 d)
z3 8 Solução. Aplicando as operações usuais e a fórmula de Moivre, temos:a)
cos º150 º150
12 .
º120 º30 º120
º30 cos )3).(
4(
º120 . º120 cos 3
º30 º30 cos 4
2 1
2 1 2
1
isen zz
isen isen zz
z
isen z
.
b)
cos 240 º 240 º 2 cos 120 º 120 º
2
º 270 º30 º
270 º30 2 cos 4 º
270 º 270 cos 2
º30 º30 cos 4
3 1
3 1 3
1
isen z isen
z
z isen z isen z
isen z
.
c)
243 cos º600 º600 243 cos º240 º240
º120 5 º120 5 cos º120 243
º120 cos 3
º120 º120 cos3
5 2
5 5 2 5 5
2 2
isen isen
z
isen isen z
z
isen z
.
d)
256 cos 2160 º 2160 º 256 cos º0 º0
º270 8 º270 8 cos º270 256
º270 cos 2
º270 ºº 270 cos 2
8 3
8 8 3 8 8
3 3
isen isen
z
isen isen z
z
isen z
.
16. (FGV) Três números complexos estão representados no plano de Argand-Gauss por três pontos que dividem uma circunferência de centro na origem (0,0) em partes iguais. Um desses números é igual a 1. Determine os outros dois números, faça um esboço da circunferência e calcule a área do triângulo cujos vértices são os três pontos.
Solução. O módulo do complexo será o raio da circunferência que vale 1. O triângulo eqüilátero divide a circunferência em três arcos congruentes. Logo, cada afixo está distante do outro consecutivo de 120º ou 3
2
.
2 , 3 2 1 3
isen 4 3 cos 4 1 z z
2 , 3 2 1 3
isen 2 3 cos 2 1 z z
3 4 3 2 3 2
3 2 3 0 2 0
1 cos 1
1 sen 0
1 0 1 z 1 z
2 3
2 2
3 2 1
1 1
2 2 1
.
A área é calculada aplicando a metade do módulo do determinante das coordenadas:
4 3 3 2
3 3 2 1 2 3 3 2 1 4
3 4 1 3 2 0
3 2 1 3 2 1 2 1
3 2 1
2 1 3 2 1
1 0 1 2
A 1
.
17. (VUNESP) Considere o complexo u i 2 1 2
3
, onde i 1. Encontre o número complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do argumento principal de u.
Solução. Escrevendo o complexo “u” na forma trigonométrica e verificando as condições, temos:
2 v
2 3 6
6 2
3 1 2 3 cos
2 1 1 2 1 sen
4 1 1 4 3 2
1 2
u 3 2 i 1 2 u 3
v u
u u
2 2
. R: 2i
isen2 cos2
2
v
18. Obtenha as raízes cúbicas da unidade. Isto é, calcule 3 z , onde z = 1.
Solução. Escrevendo z = 1 na forma trigonométrica e aplicando a radiciação, temos:
2 i 3 2 , 1 2 i
3 2 ,1 1 : R
2 i 3 2 1 3 isen 4 3 cos 4 3
) 2 ( 2 isen 0 3
) 2 ( 2 cos 0 w
2 i 3 2 1 3 isen 2 3 cos 2 3
) 1 ( 2 isen 0 3
) 1 ( 2 cos 0 w
3 1 isen 0 3 cos 0 3
) 0 ( 2 isen 0 3
) 0 ( 2 cos 0 w
3 k 2 isen 0 3
k 2 cos 0 k
2 0 isen k
2 0 cos z
w z w
Z k
; k 2 0 isen k
2 0 cos z 0 1 1
cos 1 1 0 sen 0 1
0 1 z 1 z
2 1 0
3 / 3 1
/ 1 k 3
2 2
.
19. Determine as raízes quadradas de z22 3i
Solução. Escrevendo z 22 3i na forma trigonométrica e aplicando a radiciação, temos:
3 i , 3 i
: R
i 2 3
isen 1 2
2 3 6 isen 11 6
cos 11 6 2
) 1 ( 6 isen 5 6
) 1 ( 6 cos 5 2 w
i 2 3
isen 1 2
2 3 6 isen 5 6 cos 5 6 2
) 0 ( 6 isen 5 6
) 0 ( 6 cos 5 2 w
6 k 6 isen 5 6
k 6 cos 5 3 4
k 6 isen 5
3 k 6 cos 5
4 z w z w
Z k
; k 3 2 isen 5 k
3 2 cos 5 4 3 z
5 2
1 4 cos 2
2 3 4
3 sen 2
4 16 12 4 3
2 2
z i 3 2 2 z
1 0
2 / 1 2
/ 1 2 / 1 k 2
2 2
.
20. Determine as raízes quartas de 81.
Solução. Escrevendo z = 81 na forma trigonométrica e aplicando a radiciação, temos:
3 , 3 , 3 ,i 3 i
: R
i 3 i 0 0 2 3
isen 3 2 cos 3 4 3
) 3 ( 2 isen 0 4
) 3 ( 2 cos 0 3 w
3 i 0 1 3 isen cos
4 3 ) 2 ( 2 isen 0 4
) 2 ( 2 cos 0 3 w
i 3 i1 0 2 3 2 isen cos 4 3
) 1 ( 2 isen 0 4
) 1 ( 2 cos 0 3 w
4 3 isen 0 4 cos 0 4 3
) 0 ( 2 isen 0 4
) 0 ( 2 cos 0 3 w
4 k 2 isen 0 4
k 2 cos 0 3 k
2 0 isen k
2 0 cos 81 z
w z w
Z k
; k 2 0 isen k
2 0 cos 81 z 0 81 1
cos 81 81 0 sen 0 81
z 81 z
3 2 1 0
4 / 1 4
/ 4 1
/ 1 k 4
.
21. Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é
2 cos6 6
0
isenw .
a) Determine, na forma algébrica, as outras raízes cúbicas de z. Resposta:
3i
,2i
b) Escreva z na forma algébrica. Resposta: z = (– 2i)3 = 8i.
Solução. Como são raízes cúbicas, então há w0, w1 e w2. Temos:
3 i, 2i
: R
i 2 i 1 0 2 2
isen3 2
cos3 3 2
2 6 isen 5 3
2 6 cos 5 2 w
i 3 2i
1 2 2 3 6 isen5 6
cos5 3 2
2 isen 6 3
2 cos 6 2 w
2 1
.
22. Determine a área do polígono cujos vértices são afixos das soluções complexas da equação w4 16. Solução. Encontrando as raízes cúbicas de 16, temos:
2 , 2 , 2 ,i 2 i
: R
i 2 i 0 0 2 2
isen 3 2 cos 3 4 2
) 3 ( 2 isen 0 4
) 3 ( 2 cos 0 2 w
2 i 0 1 2 isen cos
4 2 ) 2 ( 2 isen 0 4
) 2 ( 2 cos 0 2 w
i 2 i1 0 2 2 2 isen cos 4 2
) 1 ( 2 isen 0 4
) 1 ( 2 cos 0 2 w
4 2 isen 0 4 cos 0 4 2
) 0 ( 2 isen 0 4
) 0 ( 2 cos 0 2 w
4 k 2 isen 0 4
k 2 cos 0 2 k
2 0 isen k
2 0 cos 16
z w z w
Z k
; k 2 0 isen k
2 0 cos 16 z 0 16 1
cos 16 16 0 sen 0 16
z 16 z
3 2 1 0
4 / 1 4
/ 4 1
/ 1 k 4
.
A área vale o quádruplo da área de um triângulo retângulo isósceles de cateto 2:
2 8 2
4 2
A
.
23. (PUC) Ache todas as soluções complexas da equação z610. Solução. Encontrando as raízes sextas de – 1, temos:
i ,i , 2i 1 2 , 3 2i 1 2 , 3 2i 1 2 , 3 2i 1 2 : 3 R
2i 1 2
3 6 isen11 6 cos11 6
) 5 ( isen 2 6
) 5 ( cos 2 w
2 i isen3 2 cos3 6
) 4 ( isen 2 6
) 4 ( cos 2 w
2i 1 2
3 6
isen7 6 cos7 6
) 3 ( isen 2 6
) 3 ( cos 2 w
2i 1 2
3 6
isen5 6 cos5 6
) 2 ( isen 2 6
) 2 ( cos 2 w
2 i 2 isen 6 cos
) 1 ( isen 2 6
) 1 ( cos 2 w
2i 1 2
3 isen6
cos6 6
) 0 ( isen 2 6
) 0 ( cos 2 w
6 k isen 2 6
k cos 2 k
2 isen k 2 cos z
w z w
Z k
; k 2 isen k 2 cos z 1 1
cos 1 1 0 sen 0 1 0 1 z 1 z
5 4 3 2 1 0
6 / 6 1
/ 1 k 6
2 2
.
24. Qual o menor valor natural de n, n0, para que
n
i
2
2 2
2 seja um número real?
Solução. Escrevendo o complexo na forma trigonométrica, temos:
3 N k 4 3
k n 4
4 k 3 . 0 n 4
3 . sen n real
4 z 3 . isen n 4
3 . cos n 4
isen 3 4
cos 3 z
Z k 4 ; isen 3 4
cos 3 4 z
3 2
cos 2 2 sen 2
2 1 1 2 1 2
2 2
z 2 2 i
2 2 z 2
n n
n
2 2
.
Para que “n” seja natural, (4k) deve ser o menor múltiplo de 3. Logo, (4k) = 12. O menor valor é n = 4.
25. (UFRJ) Determine o menor inteiro n1 para o qual
3i
n é um número real positivo.Solução. Escrevendo o complexo na forma trigonométrica, temos:
N k 6 n
6 k 0 n 6 sen n real 6 z
isen n 6
cos n 6 2
6 isen cos 2 z
Z 6 k;
6 isen cos 2 6 z
2 cos 3
2 sen 1
2 1 3 1 3 z
i 3 z
n n
n n
2 2
.
Para k = 1, n = 6. Mas a parte real seria cos
