Notação e definições
n: número de eleitores
A: conjunto de alternativas (os candidatos)
L: conjunto de permutações deA (ordens de preferência) Cada eleitori associado a umi em L.
Função de bem-estar social: F :Ln→L
F é unânimese F(, . . . ,) = para todo emL.
Eleitori éditador em F se
F(1, . . . ,n) = i para todos1, . . . ,n emL.
F é uma ditadurase há umditador emF.
Teorema de Arrow
F: função de bem-estar social
F é unânimese F(, . . . ,) = para todo ∈L.
Eleitori éditador paraF se
F(1, . . . ,n) = i para todos1, . . . ,n emL.
F é uma ditadurase há um ditador paraF. F é independente de alternativas irrelevantesse =F(1, . . . ,n) e 0 =F(01, . . . ,0n)então
ai b ssea0i b para todo i implica queab sse a0 b.
Teorema de Arrow: Toda função de bem-estar social sobre Acom
|A| ≥3 que satisfaz unanimidade e independência de alternativas irrelevantes é uma ditadura.
Teorema de Arrow
F: função de bem-estar social
F é unânimese F(, . . . ,) = para todo ∈L.
Eleitori éditador paraF se
F(1, . . . ,n) = i para todos1, . . . ,n emL.
F é uma ditadurase há um ditador paraF. F é independente de alternativas irrelevantesse =F(1, . . . ,n) e 0 =F(01, . . . ,0n)então
ai b ssea0i b para todo i implica queab sse a0 b.
Teorema de Arrow: Toda função de bem-estar social sobre Acom
|A| ≥3 que satisfaz unanimidade e independência de alternativas irrelevantes é uma ditadura.
Prova do Teorema de Arrow
Um eleitor épivotal se pode fazer um candidato ir da base até o topo da ordem resultante.
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c.
Prova do Teorema de Arrow
Um eleitor épivotal se pode fazer um candidato ir da base até o topo da ordem resultante. Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c.
Prova do Teorema de Arrow
Um eleitor épivotal se pode fazer um candidato ir da base até o topo da ordem resultante. Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c.
Prova do Teorema de Arrow
Um eleitor épivotal se pode fazer um candidato ir da base até o topo da ordem resultante. Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c.
Por transitividade,ac.
Ponhac acima deaem todas as ordens.
Isso não tirab dos extremos na ordem de cada eleitor, logo mantem a ordem relativa entrea eb e
entreb ec para todos os eleitores. Mas, entãoc i apara todo eleitor i,
e portantoc a por unanimidade, uma contradição.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c. Por transitividade,ac.
Ponhac acima deaem todas as ordens.
Isso não tirab dos extremos na ordem de cada eleitor, logo mantem a ordem relativa entrea eb e
entreb ec para todos os eleitores. Mas, entãoc i apara todo eleitor i,
e portantoc a por unanimidade, uma contradição.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c. Por transitividade,ac.
Ponhac acima dea em todas as ordens.
Isso não tirab dos extremos na ordem de cada eleitor, logo mantem a ordem relativa entrea eb e
entreb ec para todos os eleitores.
Mas, entãoc i apara todo eleitor i,
e portantoc a por unanimidade, uma contradição.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Suponha que não é esse o caso.
Ou seja, existemae c em Atais queab c. Por transitividade,ac.
Ponhac acima dea em todas as ordens.
Isso não tirab dos extremos na ordem de cada eleitor, logo mantem a ordem relativa entrea eb e
entreb ec para todos os eleitores.
Mas, entãoc i apara todo eleitor i,
e portantoc a por unanimidade, uma contradição.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens. Neste caso,b está na base de.
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo. Ao final,b estará no topo de .
Sejan∗ =n(b) o eleitor
cuja mudança fezb deixar de estar na base de. Vamos mostrar quen∗ é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens.
Neste caso,b está na base de.
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo. Ao final,b estará no topo de .
Sejan∗ =n(b) o eleitor
cuja mudança fezb deixar de estar na base de. Vamos mostrar quen∗ é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens.
Neste caso,b está na base de.
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
Ao final,b estará no topo de .
Sejan∗ =n(b) o eleitor
cuja mudança fezb deixar de estar na base de. Vamos mostrar quen∗ é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens.
Neste caso,b está na base de.
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
Ao final,b estará no topo de . Sejan∗ =n(b) o eleitor
cuja mudança fezb deixar de estar na base de.
Vamos mostrar quen∗ é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens.
Neste caso,b está na base de.
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
Ao final,b estará no topo de . Sejan∗ =n(b) o eleitor
cuja mudança fezb deixar de estar na base de. Vamos mostrar quen∗ é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens (inclusive de).
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
(Ao final,b estará no topo de.)
n∗ =n(b): eleitor cuja mudança fezb sair da base de .
Comob está na base ou topo de cada lista, está na base ou topo de.
Logo apósn∗ fazer sua mudança,b foi então para o topo. Ou seja,n∗ fazb ir da base ao topo, e portanto é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens (inclusive de).
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
(Ao final,b estará no topo de.)
n∗ =n(b): eleitor cuja mudança fezb sair da base de . Comob está na base ou topo de cada lista,
está na base ou topo de.
Logo apósn∗ fazer sua mudança,b foi então para o topo.
Ou seja,n∗ fazb ir da base ao topo, e portanto é pivotal.
Existe eleitor pivotal
Sejab um candidato qualquer.
Seb está na base ou no topo de cada uma das ordens, entãob está na base ou no topo de.
Comece comb na base de todas as ordens (inclusive de).
Em uma a uma das ordens, movab da base para o topo.
(Ao final,b estará no topo de.)
n∗ =n(b): eleitor cuja mudança fezb sair da base de . Comob está na base ou topo de cada lista,
está na base ou topo de.
Logo apósn∗ fazer sua mudança,b foi então para o topo.
Ou seja,n∗ fazb ir da base ao topo, e portanto é pivotal.
Prova do Teorema de Arrow
Um eleitor épivotal se pode fazer um candidato ir da base até o topo da ordem resultante. Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois. Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente. Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois. Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente. Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois. Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente. Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois.
Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente. Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois.
Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente.
Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Primeiro, vamos mostrar quen∗ define a ordem entrea e c, para quaisquera e c distintos deb.
Seja I a sequência de ordens imediatamente antes den∗ fazer sua mudança, e II de imediatamente depois.
Seja III obtida de II onden∗ põea acima deb, e os demais eleitores mudam a ordem dea ec arbitrariamente.
Na ordem resultante,ab c, pois a ordem relativa deae b está como em I eb está na base para I, e deb e c está como em II eb está no topo para II.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Mostramos quen∗ define a ordem entre ae c, para quaisquera e c distintos deb.
Segundo, vamos mostrar quen∗ define a ordem também entrea eb, para qualquer adistinto de b.
Sejac um outro candidato, e coloque c no lugar deb na construção inicial, obtendon0=n(c).
Pelo acima,n0 decide ordem de ae b. Masn∗ decide ordem deae b de I para II, logon0 =n∗, concluindo a prova.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Mostramos quen∗ define a ordem entre ae c, para quaisquera e c distintos deb.
Segundo, vamos mostrar quen∗ define a ordem também entrea eb, para qualquer adistinto de b.
Sejac um outro candidato, e coloque c no lugar deb na construção inicial, obtendon0=n(c).
Pelo acima,n0 decide ordem de ae b. Masn∗ decide ordem deae b de I para II, logon0 =n∗, concluindo a prova.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Mostramos quen∗ define a ordem entre ae c, para quaisquera e c distintos deb.
Segundo, vamos mostrar quen∗ define a ordem também entrea eb, para qualquer adistinto de b.
Sejac um outro candidato, e coloque c no lugar deb na construção inicial, obtendon0=n(c).
Pelo acima,n0 decide ordem de ae b. Masn∗ decide ordem deae b de I para II, logon0 =n∗, concluindo a prova.
Prova do Teorema de Arrow
Duas partes:
I existe um eleitor que é pivotal
I tal eleitor é um ditador
Mostramos quen∗ define a ordem entre ae c, para quaisquera e c distintos deb.
Segundo, vamos mostrar quen∗ define a ordem também entrea eb, para qualquer adistinto de b.
Sejac um outro candidato, e coloque c no lugar deb na construção inicial, obtendon0=n(c).
Pelo acima,n0 decide ordem de ae b. Masn∗ decide ordem deae b de I para II, logon0 =n∗, concluindo a prova.
Leilões de Vickrey
Considere umleilão de um único item.
Leilão do primeiro preço:
Cada participante dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga este valor pelo item.
Desvantagem: induz compradores a não declararem o valor real, mas um valor menor.
Leilão inglês
Leilão de segundo preço (ou leilões de Vickrey): Cada comprador dá um lance em um envelope. Ganha o maior lance, e paga o segundo maior lance. Vantagem: induz compradores a declararem o valor real.
Leilões de Vickrey
Considere umleilão de um único item.
Leilão do primeiro preço:
Cada participante dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga este valor pelo item.
Desvantagem: induz compradores a não declararem o valor real, mas um valor menor.
Leilão inglês
Leilão de segundo preço (ou leilões de Vickrey): Cada comprador dá um lance em um envelope. Ganha o maior lance, e paga o segundo maior lance. Vantagem: induz compradores a declararem o valor real.
Leilões de Vickrey
Considere umleilão de um único item.
Leilão do primeiro preço:
Cada participante dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga este valor pelo item.
Desvantagem: induz compradores a não declararem o valor real, mas um valor menor.
Leilão inglês
Leilão de segundo preço (ou leilões de Vickrey): Cada comprador dá um lance em um envelope. Ganha o maior lance, e paga o segundo maior lance. Vantagem: induz compradores a declararem o valor real.
Leilões de Vickrey
Considere umleilão de um único item.
Leilão do primeiro preço:
Cada participante dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga este valor pelo item.
Desvantagem: induz compradores a não declararem o valor real, mas um valor menor.
Leilão inglês
Leilão de segundo preço (ou leilões de Vickrey):
Cada comprador dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga o segundo maior lance.
Vantagem: induz compradores a declararem o valor real.
Leilões de Vickrey
Considere umleilão de um único item.
Leilão do primeiro preço:
Cada participante dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga este valor pelo item.
Desvantagem: induz compradores a não declararem o valor real, mas um valor menor.
Leilão inglês
Leilão de segundo preço (ou leilões de Vickrey):
Cada comprador dá um lance em um envelope.
Ganha o maior lance, e paga o segundo maior lance.
Vantagem: induz compradores a declararem o valor real.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
O valorvi(a)−pi(v1, . . . ,vn) é a utilidade dei para v1, . . . ,vn.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i
Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
O valorvi(a)−pi(v1, . . . ,vn) é a utilidade dei para v1, . . . ,vn.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
O valorvi(a)−pi(v1, . . . ,vn) é a utilidade dei para v1, . . . ,vn.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
O valorvi(a)−pi(v1, . . . ,vn) é a utilidade dei para v1, . . . ,vn.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
(incentivo-compatível=à prova de estratégia)
O valor vi(a)−pi(v1, . . . ,vn)é a utilidade de i para v1, . . . ,vn.
Mecanismos
n: número de participantes A: conjunto de alternativas
vi :A→Rvaloração das alternativas para i Vi ⊆RA: conjunto das possíveis valorações de i
Mecanismo: função de escolha socialf :V1× · · · ×Vn→A e vetor de preçosp1, . . . ,pn que cada participante paga, ondepi :V1× · · · ×Vn→R.
Mecanismo(f,p) éà prova de estratégia se, para todoi, e todov1, . . . ,vn e vi0, para a=f(v−i,vi) e a0 =f(v−i,vi0), vale quevi(a)−pi(v−i,vi)≥vi(a0)−pi(v−i,vi0).
O valorvi(a)−pi(v1, . . . ,vn) é a utilidade dei para v1, . . . ,vn.
