Modelagem da dispersão de poluentes utilizando o modelo 3D-GILTT

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Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática

Dissertac¸ ˜ao

Modelagem da Dispers ˜ao de Poluentes Utilizando o Modelo 3D-GILTT

Marcos Antonio Carraro

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Marcos Antonio Carraro

Modelagem da Dispers ˜ao de Poluentes Utilizando o Modelo 3D-GILTT

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática da Universidade Federal de Pelotas, como re-quisito parcial à obtenç ão do t´ıtulo de Mestre em Modelagem Matem ática.

Orientador: Profa. Dra. Daniela Buske

Coorientador: Prof. Dr. Jonas da Costa Carvalho

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CARRARO, Marcos Antonio. Modelagem da Dispers ão de Poluentes Utilizando o Modelo 3D-GILTT. 2015. 71 f. Dissertaç ão (Mestrado em Modelagem Matem ática) – Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática, Instituto de F´ısica e Matem ática, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2015.

Na presente dissertaç ão é apresentada uma soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional transiente para a simulaç ão da dispers ão de poluentes na atmosfera. Para tanto, a equaç ão de advecç ão-difus ão é resolvida pela combinaç ão da transformada de Laplace e da t écnica GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique), com fechamento fickiano da turbul ência. Para validaç ão do modelo, os resultados num éricos e estat´ısticos obtidos s ão comparados com resultados experimentais da literatura (Copenhagen e Kinkaid). Na simulaç ão de uma camada limite turbulenta mais real´ıstica, ser á considerada uma situaç ão de liberaç ão de poluentes onde as vari áveis micrometeorol ógicas do evento s ão calculadas utilizando o WRF. Sendo assim, é analisado um caso cr´ıtico de poluiç ão produzido por emiss ões provenientes de queimadas. Devido à complexidade desse tipo de evento, algumas modificaç ões s ão realizadas no modelo.

Palavras-chave: Poluiç ão do Ar, Soluç ão Anal´ıtica, Modelagem da Dispers ão de Po-luentes.

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ABSTRACT

CARRARO, Marcos Antonio. Modeling Pollutant Dispersion Using a Model 3D-GILTT. 2015. 71 f. Dissertaç ão (Mestrado em Modelagem Matem ática) – Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática, Instituto de F´ısica e Matem ática, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2015.

This dissertation presents an analytical solution for the transient three-dimensional advection-diffusion equation in order to simulate pollutant dispersion in the atmo-sphere. Therefore, the advection-diffusion equation is solved by combination of Laplace’s transform and GILTT technique (Generalized Integral Laplace Transform Technique) with Fickian closure of turbulence. For model validation, numerical and statistical results are compared with experimental results from literature (Copenhagen and Kinkaid). In the simulation of a more realistic turbulent boundary layer, will be considered one situation of pollutant release where micrometeorological components are calculated using WRF (Weather Research and Forecast). Therefore is considered a critical event of pollution resultant of emissions from burnings. Due to the complexity of this type of event, some modifications are made in the model.

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Figura 1 Experimento de Copenhagen. . . 36 Figura 2 Concentraç ão ao n´ıvel do solo pela soluç ão tridimensional para

di-ferentes alturas de fontes em condiç ão convectiva (1/L = −0.01). . 39 Figura 3 Concentraç ão adimensional (C = cuz2

i/Q) em funç ão da dist ância

adimensional (X = xu∗/uzi)a partir de uma fonte (Hs = 0.1zi)para

5 diferentes condiç ões meteorol ógicas. . . 40 Figura 4 Concentraç ão (C∗ _{= cuz}2

i/Q) em relac¸ ˜ao a altura (Z∗ = z/zi) em

condiç ões convectivas (1/L = −0.01) para tr ês diferentes dist âncias da fonte (X∗ = xw∗/uzi)e duas alturas de fontes (Hs = 0.05zi e 0.1zi). 41

Figura 5 Concentrac¸ ˜ao (C∗ _{= cuz}2

i/Q) em relac¸ ˜ao a altura (Z∗ = z/zi) em

condiç ões convectivas (1/L = −0.01) para tr ês diferentes dist âncias da fonte (X∗ = xw∗/uzi)e duas alturas de fontes (Hs = 0.25zi e 0.5zi). 42

Figura 6 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas e pre-ditas ao n´ıvel do solo utilizando o m étodo 3D-GILTT para o experi-mento de Copenhagen. . . 43 Figura 7 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas e

pre-ditas ao n´ıvel do solo utilizando o m ´etodo 3D-GILTT para o experi-mento de Kinkaid. . . 44 Figura 8 Regress ˜ao linear para a GILTTG (c´ırculos) e 3D-GILTT (estrela)

uti-lizando os dados de Copenhagen. A reta bissetriz foi inserida como uma guia visual. . . 46 Figura 9 Regress ˜ao linear para a GILTTG (c´ırculos) e 3D-GILTT (estrela)

uti-lizando os dados de Kinkaid. A reta bissetriz foi inserida como uma guia visual. . . 46 Figura 10 Principais mecanismos f´ısicos de redistribuiç ão de emiss ões de

queimadas na atmosfera. Fonte: (FREITAS et al., 2005) . . . 49 Figura 11 Acumulado de focos de queima durante o m ˆes de agosto de 2010.

Fonte: CPTEC/INPE . . . 50 Figura 12 Representaç ão esquem ática do sistema de modelagem do WRF.

Fonte: (IRIART; CARVALHO; PAREIRA NETO, 2011) . . . 51 Figura 13 Magnitude (m/s) e campo do vento m ´edio do dia 20 a 22 de agosto

de 2010 simulados pelo WRF. . . 54 Figura 14 Magnitude (m/s) e campo do vento m ´edio do dia 20 a 22 de agosto

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Figura 15 Isolinhas de concentrac¸ ˜ao tridimensional preditas pelo modelo (C∗ _{= ¯}_cuz

i/Q, X∗ = xw∗/uzi, Z∗ = z/zi) para o dia 21.08.10 `as

24h. . . 58 Figura 16 Gr áfico do fluxo de poluentes em relaç ão a variaç ão ∆h da camada

limite. . . 59 Figura 17 Gr áfico da concentraç ão em relaç ão a altura zi+ ∆h da camada limite. 59

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Tabela 1 Par âmetros meteorol ógicos do experimento de Copenhagen (GRY-NING et al., 1987). . . 36 Tabela 2 Par âmetros meteorol ógicos para o experimento de Kinkaid

(HANNA; PAINE, 1989). Ta ´e a temperatura ambiente, Ti ´e a

tem-peratura da pluma na sa´ıda da fonte e Vi ´e a velocidade vertical da

pluma na sa´ıda da chamin é. . . 38 Tabela 3 Expoente do perfil de vento pot ência (α) e a invers ão do valor do

comprimento de Obukhov (1/L) para diferentes condiç ões meteo-rol ógicas. . . 40 Tabela 4 Comparaç ão estat´ıstica entre os modelos usando os dados de

Co-penhagen. . . 44 Tabela 5 Comparac¸ ˜ao estat´ıstica entre os modelos usando os dados de

Kin-kaid. . . 44 Tabela 6 Comparaç ão da regress ão linear da GILTTG e 3D-GILTT para o

ex-perimento de Copenhagen. . . 45 Tabela 7 Comparaç ão da regress ão linear da GILTTG e 3D-GILTT para o

ex-perimento de Kinkaid. . . 45 Tabela 8 Par âmetros meteorol ógicos gerados pela simulaç ão do WRF para o

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

A, B matriz de coeficientes do problema transformado Ak pesos da quadratura Gaussiana

˜

cn, ˜ci coeficientes da expans ˜ao por s ´erie na GILTT

¯

c concentraç ão m édia do contaminante passivo (g/m3₎

Co concentrac¸ ˜oes observadas experimentalmente

Cp concentrac¸ ˜oes preditas pelo modelo

CLA camada limite atmosf érica CLP camada limite planet ária CLE camada limite est ável CLC camada limite convectiva COR coeficiente de correlaç ão

D matriz diagonal dos autovalores da matriz F de coeficientes do problema transformado

E, F matriz de coeficientes do problema transformado F B fraç ão de inclinaç ão

F S desvio fracional padr ˜ao

G(x, s) matriz da transformada inversa de (rI + D)−1 Hs altura da fonte

I matriz identidade

k constante de Von-K ´arm ´an

Kx coeficiente de difus ão na direç ão x (m2/s)

Ky coeficiente de difus ão na direç ão y (m2/s)

Kz coeficiente de difus ão na direç ão z (m2/s)

Kα coeficiente de difus ão onde α indica as direç ões x, y e z (m2/s)

L comprimento de Obukhov (m)

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M ordem da quadratura Gaussiana N n ´umero de autovalores

N M SEerro quadr ´atico m ´edio normalizado Pk ra´ızes da quadratura Gaussiana

Q intensidade da fonte (g/s) r vari ´avel transformada (x → r) S termo fonte

s vari ´avel transformada (t → s) t tempo (s)

u∗ velocidade de fricc¸ ˜ao (m/s)

u velocidade m édia do vento orientado na direç ão x (m/s) u1 velocidade m édia do vento analisada na altura z1

v velocidade m édia do vento orientado na direç ão y (m/s) w velocidade m édia do vento orientado na direç ão z (m/s) Vg velocidade de deposiç ão (m/s)

V_{g top} velocidade do poluente que passa da CLA (m/s) w∗ escala de velocidade convectiva (m/s)

x dist ˆancia longitudinal da fonte (m)

X matriz dos autovetores da matriz F de coeficientes do problema transformado X−1 matriz inversa de X

y dist ˆancia latitudinal da fonte (m)

Y (x, s) vetor de inc ´ognitas do problema transformado Y (r, s) transformada de Laplace aplicada em Y (x, s) z altura acima da superf´ıcie (m)

z0 comprimento de rugosidade aerodin ˆamico (m)

zi altura da camada limite convectiva (m)

δn,m, βn,mmatriz auxiliar

∆h incremento da altura da CLA (m)

∆H efeito de ascens ˜ao da pluma δ funcional delta de Dirac η vari ´avel auxiliar

λn, µi autovalores dos problemas de Sturm-Liouville

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SUM ´

ARIO

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 12

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . . 14

3 MODELO MATEM ´ATICO . . . . 19

3.1 Deduç ão da Equaç ão de Advecç ão-Difus ão . . . 19

3.2 Soluc¸ ˜ao via GILTT . . . . 22

4 PARAMETRIZAÇ ÃO DA TURBUL ÊNCIA . . . . 31

4.1 Coeficiente de Difus ˜ao . . . . 31

4.2 Ascens ˜ao da Pluma . . . . 33

4.3 Perfil do Vento . . . . 34

5 VALIDAC¸ ˜AO DO MODELO COM DADOS EXPERIMENTAIS . . . . 35

5.1 Dados Experimentais . . . . 35

5.1.1 Experimento de Copenhagen (Dinamarca) . . . 35

5.1.2 Experimento de Kinkaid (Illinois, USA) . . . 36

5.2 ´Indices Estat´ısticos . . . . 37

5.3 Resultados . . . . 39

6 SIMULAÇ ÃO DA DISPERS ÃO DE POLUENTES EM CASO DE QUEIMADAS 47 6.1 Queimadas . . . . 47

6.2 WRF . . . . 50

6.3 Campo de Vento . . . . 53

6.4 Coeficiente de Difus ˜ao . . . . 53

6.5 Modificaç ões a Serem Feitas no Modelo e Resultados Preliminares . 57 6.5.1 Modificaç ão da Condiç ão de Contorno . . . 57

6.5.2 Modificac¸ ˜ao da Altura da CLA . . . 58

7 CONCLUS ˜OES E PERSPECTIVAS . . . . 60

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Neste trabalho ser á apresentado um modelo anal´ıtico que obt ém uma soluç ão para a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional transiente, para a simulaç ão da dis-pers ão de poluentes na atmosfera. Para tanto, a equaç ão de advecç ão-difus ão ser á resolvida pela combinaç ão da transformada de Laplace e da t écnica GILTT (Generali-zed Integral Laplace Transform Technique), com fechamento fickiano da turbul ência.

Estudos sobre a qualidade do ar com abordagens formais, qualitativas, s ão recen-tes na literatura e vem ganhando força nas últimas d écadas, devido ao aumento de emiss ões de poluentes na atmosfera, provocados pelo crescimento industrial e de-senvolvimento tecnol ógico. S ão muitos os problemas que a poluiç ão, produzida por atividades antropog ênicas, ocasiona para o equil´ıbrio ecol ógico: nas proximidades das fontes, gases e part´ıculas abandonados na atmosfera diminuem a qualidade do ar em regi ões urbanas, agr´ıcolas e industriais; a m édia ou longa dist ância h á o trans-porte transfronteiriço e a formaç ão da chuva ácida e; em escala global, a formaç ão do buraco na camada de oz ônio. Devido a todos esses problemas ocasionados pela poluiç ão do ar, torna-se necess ário estudar e entender o processo de dispers ão de poluentes, produzindo ferramentas capazes de auxiliar no entendimento dos diversos casos que envolvem essa área de pesquisa.

O transporte dos materiais emitidos para a atmosfera acontece principalmente den-tro da camada limite atmosf érica (CLA) ou camada limite planet ária (CLP). O aque-cimento e/ou resfriamento da terra provoca variaç ão da temperatura e do vento na camada limite; esta variaç ão faz com que a subst ância que é emitida na atmosfera se disperse atrav és da difus ão turbulenta; sendo assim, o transporte das part´ıculas é dominado na horizontal pelo vento m édio (advecç ão) e na vertical pela turbul ência; e como consequ ência, o transporte e a dispers ão de poluentes na atmosfera é, geral-mente, descrito pela equaç ão de advecç ão-difus ão.

Existem duas abordagens para representar o fluxo e a difus ão em um fluido: a Eu-leriana e a Lagrangiana. A principal diferença entre os dois modelos é o sistema refe-rencial, ou seja, o sistema de refer ência Euleriano é fixo em relaç ão à Terra, enquanto o Lagrangiano segue a velocidade instant ânea do fluido (ANFOSSI, 2005). Os

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mode-13

los eulerianos s ão de car áter determin´ısticos, isto é, predizem a concentraç ão de um poluente em um volume, enquanto que os modelos lagrangianos s ão probabil´ısticos, isto é, predizem a probabilidade que uma dada part´ıcula seja encontrada em uma dada posiç ão. A abordagem Euleriana é a utilizada nos estudos desta dissertaç ão.

Devido ao car áter turbulento do campo de vento na CLA, torna-se extremamente dif´ıcil o estudo da dispers ão e do transporte de contaminantes na atmosfera. Ainda, devido à complexidade da turbul ência, o estudo da dispers ão de poluentes na atmos-fera emprega modernas metodologias dispon´ıveis na comunidade cient´ıfica. Neste as-pecto, ferramentas te óricas e dados observacionais s ão combinados com simulaç ões num éricas, com o objetivo de compreender e descrever, de uma maneira mais ade-quada, o fen ômeno de transporte turbulento. As ferramentas te óricas s ão ainda hoje um desafio, uma vez que a dispers ão de poluentes ocorre em um campo turbulento que possui um n úmero infinito de graus de liberdade. Simplificaç ões nas equaç ões s ão obtidas e validadas por experimentos de campo que auxiliam na compreens ão do processo de difus ão. Neste contexto, os modelos matem áticos trabalhados tornam-se instrumentos úteis no entendimento dos fen ômenos que controlam o transporte e a dispers ão dos poluentes na atmosfera.

Nesta dissertaç ão utiliza-se o m étodo matem ático GILTT. Este é tipicamente em-pregado para modelar eventos de dispers ão de poluentes que ocorrem dentro da CLA, ou seja, aplicado para sistemas dimensionais de microescala. Durante os estudos, este modelo foi aplicado em uma situaç ão onde a fonte emissora est á associada a queimadas. Deve-se levar em consideraç ão que neste tipo de emiss ão o produto gerado, al ém de ter efeitos em microescala, tem grande parte de seu transporte em sistemas de mesoescala. Este é um dos fatos para a ocorr ência dos erros nos resul-tados durante a metodologia elaborada, onde emprega-se um modelo de microescala para modelar um sistema de mesoescala.

O presente trabalho est á estruturado da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 é feita uma breve revis ão bibliogr áfica sobre os principais estudos na área de dispers ão de polu-entes. No cap´ıtulo 3 é estudado o modelo matem ático utilizado para a obtenç ão da soluç ão do problema proposto. O cap´ıtulo 4 apresenta as parametrizaç ões da tur-bul ência utilizadas no modelo. Os dados experimentais, para obtenç ão dos resultados num éricos e validaç ão do modelo, s ão apresentados no cap´ıtulo 5. No cap´ıtulo 6 é realizada uma an álise preliminar em relaç ão a dispers ão de poluentes produzidos por focos de queimadas; é apresentada uma breve descriç ão do WRF, utilizado para cal-cular as vari áveis micrometeorol ógicas utilizadas no modelo; em seguida, o campo de vento e o coeficiente de difus ão, al ém de alteraç ões no modelo que devem ser con-sideradas a fim de tornar os resultados coerentes com a f´ısica do problema, obtendo assim resultados preliminares que s ão apresentados no final do cap´ıtulo. Conclus ões e perpectivas para continuaç ão deste trabalho s ão discutidas no cap´ıtulo 7.

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Na Literatura é encontrada uma grande variedade de soluç ões num éricas da equaç ão de advecç ão-difus ão (NIEUWSTADT; VAN ULDEN, 1978) (LAMB, 1978) (CARVALHO, 1996). Embora existam an álises avançadas em soluç ões num éricas, o estudo de soluç ões anal´ıticas para resolver e sistematizar problemas de dispers ão é uma das principais linhas de pesquisa nesta área, pois durante a soluç ão, todos os par âmetros aparecem expl´ıcitos, facilitando a investigaç ão de suas influ ências e obtenç ão do comportamento assint ótico da soluç ão, que, as vezes, é dif´ıcil gerar via c álculos num éricos.

A primeira soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão foi a soluç ão Gaussiana, devido a Fick, na segunda metade do s éculo XIX. Modelos baseados nesse tipo de soluç ão, chamados de modelos Gaussianos, usam par âmetros de dispers ão emp´ıricos, de modo a forçar a soluç ão Gaussiana a representar o campo de concentraç ão. Assim, nesse tipo soluç ão, o coeficiente de difus ão na direç ão z e a velocidade do vento s ão constantes com a altura, e s ão consideradas as condiç ões de contorno de fluxo nulo de poluentes na parte inferior e superior da camada limite planet ária (CLP):

Kz

∂¯c

∂z = 0 em z = 0 e z → ∞ (1)

Uma soluç ão bidimensional para fontes ao n´ıvel do solo foi apresentada por (RO-BERTS, 1923), onde a velocidade do vento e o coeficiente de difus ão Kz(m2/s)

se-guem leis de pot ência como uma funç ão da altura, ou seja: u = u1( z z1 )m ; Kz = K1( z z1 )n (2)

sendo z1 a altura na qual u1 e K1 s ˜ao analisados, os expoentes m e n est ˜ao

relacio-nados, respectivamente, com a instabilidade atmosf ´erica e a rugosidade da superf´ıcie (IRWIN, 1979).

(ROUNDS, 1955) obteve uma soluç ão bidimensional para fontes elevadas, com o mesmo perfil de vento por ém, somente para perfis lineares de Kz. Em 1957, Smith

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resolveu a equaç ão de transporte e difus ão bidimensional (SMITH, 1957a), sendo u e Kz funç ões de pot ência da altura, com expoentes destas funç ões seguindo a lei

conjugada de Schmidt (α = 1 − β). (SMITH, 1957b) apresenta uma outra soluc¸ ˜ao com uconstante, contudo o Kz usado foi:

Kz = K0zα(zi− z)β (3)

onde K0 ´e uma constante, α e β valem 0 ou 1 de acordo com a altura da camada limite

zi.

Para o transporte de longa escala de poluentes, (SCRIVEN; FISHER, 1975) apre-sentam uma soluç ão, que é amplamente usada no Reino Unido, onde considera-se u constante e Kz como

Kz ≡ z para 0 ≤ z ≤ zt e Kz = Kz(zt) para zt≤ z ≤ zi (4)

na qual zt(m) ´e uma altura predeterminada (geralmente a altura da camada

super-ficial). Assumindo um fluxo l´ıquido de material para o solo, a soluç ão de Scriven e Fisher tem como condiç ão de contorno:

Kz

∂C

∂z = VgC (5)

Em 1975, nas publicaç ões de (YEH; HUANG, 1975) e (BERLYAND, 1975), foram apresentadas soluç ões, em termos de funç ões de Green, para um problema bidimen-sional de fontes elevadas com u e Kz dados por perfil de pot ência, mas para uma

atmosfera sem contorno superior (Kz∂C_∂z = 0 em z → ∞). Em 1978,(DEMUTH, 1978)

apresentou uma soluç ão, dada em termos de funç ões de Bessel, considerando uma camada verticalmente limitada (Kz∂C_∂z = 0 em z = zi). Na It ália quatro modelos

ba-seados nas soluç ões de Yeh e Hung, Berlyand e Demuth, t êm sido utilizados: KAP-PAG (TIRABASSI; TAGLIAZUCCA; ZANNETTI, 1986), KAPKAP-PAG-LT (TIRABASSI; TA-GLIAZUCCA; PAGGI, 1989), CISP (TIRABASSI; RIZZA, 1992) e MAOC (TIRABASSI; RIZZA, 1993).

(VAN ULDEN, 1978), a partir da aplicaç ão da teoria da similaridade de Monin-Obukhov à difus ão, derivou uma soluç ão para a difus ão vertical de fontes cont´ınuas pr óximas ao solo, supondo perfis de similaridade para u e Kz. Com isso, Van Ulden

obteve resultados similares aos de Roberts (ROBERTS, 1923) por ém, ele formulou um modelo para fontes n ão superficiais, mas aplic ável à fontes dentro da camada limite superficial. Essa soluç ão é utilizada no modelo SPM (TIRABASSI; RIZZA, 1995).

Em 1980, Nieuwstadt (NIEUWSTADT, 1980) obteve uma soluç ão unidimensional dependente do tempo, sendo essa um caso particular da soluç ão de (SMITH, 1957b). Para tanto, utilizou os polin ômios de Legendre e o coeficiente de difus ão dado por:

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Kz = Gcu∗z(1 −

z zi

) (6)

onde Gc é uma constante e u∗ é a velocidade de fricç ão. No ano seguinte

(NIEUWS-TADT; HAAN, 1981) estenderam essa soluç ão para o caso de crescimento da altura da camada limite, utilizando os polin ômios de Jacobi. Uma extens ão da soluç ão para o caso de perfis de vento vertical n ão-zero foi apresentada em (CATALANO, 1982).

(KOCH, 1989) apresentou uma soluç ão anal´ıtica bidimensional para uma fonte ao n´ıvel do solo, onde o vento e as difusividades seguem os perfis de pot ência, incluindo os efeitos de remoç ão de contaminantes pelo solo.

No transporte de emiss ões sem empuxo, em uma fonte a érea cont´ınua ao n´ıvel do solo, foi desenvolvida uma soluç ão tridimensional por (CHRYSIKOPOULOS; HILDE-MANN; ROBERTS, 1992), onde u e Kz seguem os perfis dados em (2), com inclus ão

do termo de deposic¸ ˜ao seca.

A equaç ão de advecç ão-difus ão pode ser resolvida por m étodos anal´ıticos, onde n ão h á nenhuma aproximaç ão ao longo da derivaç ão da soluç ão e, por m étodos semi-anal´ıticos, que resolvem parte do problema analiticamente e parte numericamente. Neste trabalho tem-se interesse particular em soluç ões anal´ıticas obtidas atrav és da aplicaç ão da t écnica da transformada de Laplace e da t écnica da transformada ge-neralizada. A exist ência e unicidade de uma soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de advecç ão-difus ão é garantida pelo teorema de Cauchy-Kowalewsky (COURANT; HIL-BERT, 1989). Estas soluç ões anal´ıticas podem ser expressas na forma integral, como é o caso ao se aplicar a transformada de Laplace, ou com uma formulaç ão em s érie, como na t écnica da transformada integral generalizada. Estas soluç ões s ão matema-ticamente equivalentes (MOREIRA et al., 2008) e assim, a seguir, ser á dado enfoque aos modelos que utilizam essas t écnicas para obter a soluç ão anal´ıtica da equaç ão de advecç ão-difus ão.

Os m étodos aplicados à problemas de poluiç ão atmosf érica, e que obt ém a soluç ão anal´ıtica pela aplicaç ão da transformada de Laplace e/ou da t écnica da transformada generalizada, s ão: ADMM (Advection Diffusion Multilayer Model, Modelo Multicama-das Advectivo Difusivo); GITT (Generalized Integral Transform Technique, T écnica da Transformada Integral Generalizada); GIADMT (Generalized Integral Advection Diffu-sion Multilayer Technique, que é uma combinaç ão dos m étodos ADMM e GITT); e o GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique, combinaç ão do m étodo GITT com a Transformada de Laplace).

O m étodo ADMM é baseado na discretizaç ão da camada limite planet ária (CLP) em N subcamadas, sendo que em cada uma delas, a equaç ão de advecç ão-difus ão é resolvida aplicando-se a t écnica da transformada de Laplace com invers ão num érica, e considerando-se valores m édios para o coeficiente de difus ão e perfil de vento.

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Com isso, t êm-se a substituiç ão de um problema com coeficiente vari ável por um con-junto de problemas com coeficientes constantes (coeficientes m édios), acoplados por condiç ões de continuidade de concentraç ão e fluxo de contaminante nas interfaces. A soluç ão obtida pela aplicaç ão do ADMM é semi-anal´ıtica, dada em forma integral. Foram v ários os trabalhos publicados utilizando essa t écnica: (MOURA; VILHENA; DEGRAZIA, 1995), (VILHENA et al., 1998), (FERREIRA NETO, 2003), (COSTA; MO-REIRA; VILHENA, 2004), (MOREIRA et al., 2004),(MOMO-REIRA; CARVALHO; TIRA-BASSI, 2005),(MOREIRA; FERREIRA NETO; CARVALHO, 2005),(MOREIRA et al., 2005), (MOREIRA et al., 2006), (BULIGON; MOREIRA; VILHENA, 2006). Uma re-vis ão completa do m étodo ADMM pode ser encontrada em (MOREIRA et al., 2006).

O m étodo GITT é um m étodo h´ıbrido (anal´ıtico-num érico) (COTTA, 1993), (COTTA; MIKHAYLOV, 1997) derivado da transformaç ão integral cl ássica (MIKHAYLOV; ¨ OZI-SIK, 1984), que combina uma expans ão em s érie com uma integraç ão, para proble-mas lineares de difus ão. Na expans ão, é utilizada uma base de autofunç ões determi-nadas por um problema auxiliar contendo o operador diferencial principal do problema original. A integraç ão é feita em todo o intervalo da vari ável transformada, fazendo pro-veito da propriedade de ortogonalidade da base usada na expans ão. Como resultado deste procedimento, obt êm-se um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias (EDO), tamb ém chamado de problema transformado que, uma vez solucionado por subrotinas num éricas, é invertido para a obtenç ão do resultado da equaç ão original. Soluç ões de diferentes classes de problemas lineares e n ão-lineares de difus ão e advecç ão-difus ão s ão obtidos utilizando-se a GITT, como em: (CHEROTO et al., 1999), (LIU et al., 2000), (RIBEIRO et al., 2000), (RIBEIRO et al., 2002), (MAGNO; MAC ÊDO; QUARESMA, 2002), (PEREIRA et al., 2002), (ALVES; COTTA; PONTES, 2002), (VELLOSO et al., 2003), (STORCH; PIMENTEL, 2003),(VELLOSO et al., 2004), (STORCH; PIMENTEL, 2005), (COTTA; BARROS, 2007) e (GUERRERO et al., 2012).

Em 2006, para resolver a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional, (COSTA et al., 2006) utilizou a t écnica GITT juntamente com o m étodo ADMM. A t écnica rece-beu o nome de GIADMT e consiste em transformar o problema tridimensional em um problema bidimensional pela aplicaç ão da GITT na vari ável y, e o problema bidimensi-onal resultante é resolvido pelo m étodo ADMM, discretizando-se a CLP. A aplicaç ão do m étodo GIADMT pode ser encontrada nos trabalhos (COSTA et al., 2006), (MOREIRA et al., 2008), (COSTA; TIRABASSI; VILHENA, 2010) e (COSTA et al., 2012).

Em (WORTMANN et al., 2005), apresentou-se uma nova soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de advecç ão-difus ão bidimensional com coeficiente de difus ão vari ável com a altura. Neste trabalho, o sistema de EDO’s resultante da aplicaç ão da GITT (pro-blema transformado) foi resolvido analiticamente pelo uso da transformada de Laplace e diagonalizaç ão. Este novo m étodo recebeu o nome de GILTT.

(19)

utilizando o m étodo GILTT na equaç ão de advecç ão-difus ão bidimensional, sendo que os trabalhos de maior relev ância s ão os seguintes: (WORTMANN et al., 2005), (MO-REIRA et al., 2006), (BUSKE et al., 2007a), (BUSKE et al., 2007b), (TIRABASSI et al., 2008), (TIRABASSI et al., 2009), (MOREIRA et al., 2009), (MOREIRA; VILHENA; BUSKE, 2009) e (SCHUCH et al., 2011). De acordo com os trabalhos analisados, a obtenç ão da soluç ão do problema via GILTT pode ser resumida da seguinte forma: seguindo o mesmo procedimento inicial da GITT, realiza-se a transformaç ão integral at é a obtenç ão do sistema EDO. Aplica-se a transformada de Laplace nesse sistema, o que resulta em um sistema alg ébrico. A matriz dos coeficientes do sistema transfor-mado é decomposta em seus autovalores e autovetores. Ap ós a diagonalizaç ão, esta matriz é invertida para se obter a soluç ão do sistema alg ébrico. Esta invers ão, por utilizar uma matriz diagonalizada e a transformada de Laplace, é anal´ıtica e sem custo computacional. Assim, a soluç ão anal´ıtica do problema transformado é finalmente en-contrada. O m étodo GILTT é anal´ıtico no sentido de que nenhuma aproximaç ão é feita ao longo da derivaç ão da soluç ão, exceto pelo erro de truncamento da soluç ão em s érie para fins de c álculos num éricos.

Para se obter uma soluç ão tridimensional, inicialmente a t écnica GILTT utilizava uma aproximaç ão na vari ável y assumindo que a pluma de poluente possui uma distribuiç ão gaussiana, e esta soluç ão recebeu o nome de GILTTG (MOREIRA et al., 2009). Em 2009 surgiu o novo m étodo 3D-GILTT (Three-dimensional Generalized In-tegral Laplace Transform Technique) (BUSKE; VILHENA; MOREIRA, 2009), (BUSKE et al., 2009), (BUSKE et al., 2011a), (BUSKE et al., 2011b), (BUSKE et al., 2012a), (BUSKE et al., 2012b), (VILHENA et al., 2012) que resolveu a equaç ão tridimensional de advecç ão-difus ão de forma anal´ıtica utilizando a transformada integral na vari ável ydo problema, e o problema bidimensional resultante foi resolvido pelo m étodo GILTT conforme descrito acima.

(20)

3 MODELO MATEM ´

ATICO

Para representar um fen ômeno de interesse é necess ário uma formulaç ão ma-tem ática que o represente, s ó assim é poss´ıvel realizar uma simulaç ão de seu com-portamento. Um modelo de dispers ão de poluentes é uma formalizaç ão matem ática capaz de simular o comportamento de um determinado poluente na atmosfera. A seguir, apresenta-se a formulaç ão matem ática capaz de simular analiticamente a dis-pers ão tridimensional de poluentes na atmosfera.

3.1 Deduç ão da Equaç ão de Advecç ão-Difus ão

A equaç ão que modela a advecç ão e difus ão atmosf érica de um contaminante no ar é obtida a partir da aplicaç ão da equaç ão de conservaç ão de massa (equaç ão da continuidade). Considerando uma esp écie gen érica C que se conserva na atmosfera (BLACKADAR, 1997) temos: ∂C ∂t + U ∂C ∂x + V ∂C ∂y + W ∂C ∂z + S = 0 (7)

onde U , V e W s ão as componentes das velocidades instant âneas do vento (m/s) nas direç ões x, y e z (m) respectivamente; e S é o termo fonte.

Considerando os efeitos da turbul ência nessa equaç ão, é utilizado a decomposiç ão de Reynolds (STULL, 1988), que considera cada vari ável como a soma de sua parte m édia (denotado com a barra superior) e flutuaç ão (denotado pelo ap óstrofo)(ARYA, 1995): U = ¯u + u0 V = ¯v + v0 (8) W = ¯w + w0 C = ¯c + c0 Substituindo (8) em (7):

(21)

∂(c + c0) ∂t + (u + u 0 )∂(c + c 0₎ ∂x + (v + v 0 )∂(c + c 0₎ ∂y + (w + w 0 )∂(c + c 0₎ ∂z + S = 0 (9) Aplicando as propriedades de derivac¸ ˜ao:

∂c ∂t + ∂c0 ∂t + u ∂c ∂x + u ∂c0 ∂x + u 0∂c ∂x + u 0∂c0 ∂x + v ∂c ∂y + v ∂c0 ∂y + +v0∂c ∂y + v 0∂c0 ∂y + w ∂c ∂z + w ∂c0 ∂z + w 0∂c ∂z + w 0∂c0 ∂z + S = 0 (10) Antes de prosseguir com a deduç ão, vamos sumarizar algumas regras que gover-nam as m édias temporais para um sistema euleriano de representaç ão:

¯ ¯ φ = ¯φ φ + ϕ = ¯φ + ¯ϕ ¯ φ ∗ ϕ = ¯φ ∗ ¯ϕ (11) ∂φ ∂t = ∂ ¯φ ∂t cte = cte ¯

φ0 _{= 0} _pois _{φ = ( ¯}¯ _{φ + φ}0_{) → ¯}_{φ = ¯}_{φ + ¯}_φ0 _{sendo assim} _φ¯0 _{= 0}

Realizando a m édia nos termos da Eq.(10): ∂c ∂t + ∂c0 ∂t + u ∂c ∂x + u ∂c0 ∂x + u 0∂c ∂x + u 0∂c 0 ∂x + v ∂c ∂y + v ∂c0 ∂y + +v0∂c ∂y + v 0∂c 0 ∂y + w ∂c ∂z + w ∂c0 ∂z + w 0∂c ∂z + w 0∂c 0 ∂z + S = 0 (12) A Eq.(12) é simplificada utilizando as afirmaç ões (11), restando:

∂c ∂t + u ∂c ∂x + v ∂c ∂y + w ∂c ∂z + u 0∂c 0 ∂x + v 0∂c 0 ∂y + w 0∂c 0 ∂z + S = 0 (13)

Antes de prosseguir, vamos provar a seguinte igualdade: u0∂c 0 ∂x + v 0∂c 0 ∂y + w 0∂c 0 ∂z = ∂u0_c0 ∂x + ∂v0_c0 ∂y + ∂w0_c0 ∂z (14)

Para chegar na relaç ão acima, partiremos das seguintes afirmaç ões: ∂u0c0 ∂x = u 0∂c 0 ∂x + c 0∂u 0 ∂x

(22)

21 ∂v0c0 ∂y = v 0∂c0 ∂y + c 0∂v0 ∂y ∂w0c0 ∂z = w 0∂c0 ∂z + c 0∂w0 ∂z ∂(u0c0) ∂x + ∂(v0c0) ∂y + ∂(w0c0) ∂z = u 0∂c0 ∂x + v 0∂c0 ∂y + w 0∂c0 ∂z + c 0 (∂u 0 ∂x + ∂v0 ∂y + ∂w0 ∂z ) (15) A equaç ão da continuidade aplicada à um fluido incompress´ıvel e com densidade constante é representada por:

∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 (16)

Realizando a decomposic¸ ˜ao de Reynolds: ∂(¯u + u0) ∂x + ∂(¯v + v0) ∂y + ∂( ¯w + w0) ∂z = 0 ∂ ¯u ∂x + ∂u0 ∂x + ∂ ¯v ∂y + ∂v0 ∂y + ∂ ¯w ∂z + ∂w0 ∂z = 0 (17)

Aplicando a m édia nos termos da equaç ão, e sabendo que a m édia de uma flutuaç ão é igual a zero, por (11), temos portanto:

∂ ¯u ∂x + ∂ ¯v ∂y + ∂ ¯w ∂z = 0 (18)

Substituindo a equac¸ ˜ao (18) em (17), obtemos que: ∂u0 ∂x + ∂v0 ∂y + ∂w0 ∂z = 0 (19)

Com isso, a afirmaç ão inicial (15) é reduzida para: ∂(u0c0) ∂x + ∂(v0c0) ∂y + ∂(w0c0) ∂z = u 0∂c0 ∂x + v 0∂c0 ∂y + w 0∂c0 ∂z (20)

Aplicando a m édia de Reynolds nos termos da Eq.(20), provamos a afirmaç ão proposta em (14): u0∂c 0 ∂x + v 0∂c 0 ∂y + w 0∂c 0 ∂z = ∂u0_c0 ∂x + ∂v0_c0 ∂y + ∂w0_c0 ∂z (21)

(23)

Sendo assim, utilizando o que foi visto anteriormente, a Eq.(13) torna-se: ∂¯c ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z + ∂u0_c0 ∂x + ∂v0_c0 ∂y + ∂w0_c0 ∂z + S = 0 (22)

onde os termos u0_c0_{, v}0_c0 _{e w}0_c0 _{representam , respectivamente, o fluxo turbulento do}

contaminante (g/sm2_{)nas direç ões longitudinal, lateral e vertical. O termo de difus ão}

molecular é desconsiderado, pois a turbul ência domina os processos de transporte e dispers ão.

A Eq.(22) cont ém quatro vari áveis desconhecidas (os fluxos turbulentos e a concentraç ão ¯c) criando um problema de fechamento da turbul ência. Uma das ma-neiras mais utilizadas para solucionar o problema de fechamento da equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional (22) é baseada na hip ótese de transporte por gra-diente (ou Teoria K), onde os fluxos de massa turbulentos podem ser expressos em termos do gradiente da concentraç ão m édia (SEINFELD; PANDIS, 1997), dado por:

u0_c0 _{= −K} x ∂¯c ∂x v0_c0 _{= −K} y ∂¯c ∂y (23) w0_c0 _{= −K} z ∂¯c ∂z

Por (23), o modelo torna-se puramente determin´ıstico. Substituindo (23) na Eq.(22) e reorganizando seus termos, obtemos a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional:

∂¯c ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z = ∂ ∂x Kx ∂¯c ∂x + ∂ ∂y Ky ∂¯c ∂y + ∂ ∂z Kz ∂¯c ∂z + S (24) A Eq.(24) representa a Equaç ão de Advecç ão-Difus ão, com fechamento Fickiano da turbul ência, para um sistema de coordenadas cartesianas. O primeiro elemento é o termo transiente; os tr ês seguintes s ão os termos advectivos, onde ¯u, ¯v e ¯w s ão as componentes m édias do vento; ap ós a igualdade temos os termos difusivos, onde Kx,

Ky e Kz s ão os coeficientes de difus ão turbulentos, os quais, a princ´ıpio, cont ém toda

a informaç ão da complexidade da turbul ência, sendo geralmente parametrizados; e S é o termo fonte.

3.2 Soluc¸ ˜ao via GILTT

Antes de prosseguir com a soluç ão da Eq.(24) pelo m étodo GILTT, assumimos que a advecç ão é dominante no eixo-x (¯u∂¯_∂xc ∂

∂x Kx ∂¯c

∂x), portanto o termo difusivo na

(24)

23 ∂¯c ∂t+ ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z = ∂ ∂y Ky ∂¯c ∂y + ∂ ∂z Kz ∂¯c ∂z (25) A Eq.(25) est á sujeita as seguintes condiç ões de contorno, inicial e de fonte, res-pectivamente: Ky ∂¯c ∂y = 0 em y = 0 e y = Ly (26) Kz ∂¯c ∂z = 0 em z = 0 e z = zi (27) ¯ c(x, y, z, 0) = 0 (28) u(z)¯c(0, y, z, t) = Qδ(y − y0)δ(z − Hs) (29)

em que Q é a intensidade da fonte (g/s), zi é a altura da CLP (m), Hs é a altura da

fonte (m), Ly ´e o limite para longe da fonte no eixo y em (m) e δ ´e o funcional delta de

Dirac. Vale ressaltar que a condiç ão de fonte é v álida em todo o dom´ınio, exceto no ponto de liberaç ão (0, y0, Hs).

Aplica-se a Transformada de Laplace no tempo na Eq.(25):

s˜c(x, y, z, s) − ¯c(x, y, z, 0) + u∂˜c ∂x + v ∂˜c ∂y + w ∂˜c ∂z − ∂ ∂y Ky ∂˜c ∂y − ∂ ∂z Kz ∂˜c ∂z = 0 (30) onde ˜ c(x, y, z, s) = L{¯c(x, y, z, t); t → s}, (31) e como a condiç ão inicial é ¯c(x, y, z, 0) = 0, a Eq.(30) torna-se:

s˜c + u∂˜c ∂x + v ∂˜c ∂y + w ∂˜c ∂z − ∂ ∂y Ky ∂˜c ∂y − ∂ ∂z Kz ∂˜c ∂z = 0 (32)

De acordo com o m étodo GILTT, usa-se a base de autofunç ões do problema de Sturm-Liouville para expandir a vari ável ˜c(x, y, z, s). Assim,

˜ c(x, y, z, s) = ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s)ζn(y) N 1 2 n (33) onde Nn= Z Ly 0 ζ_n2(y) dy (34)

(25)

Eq.(33) precisa ser encontrada.

O problema de Sturm-Liouville ´e dado por:

ζ_n00(y) + λ2_nζn(y) = 0 em 0 < y < Ly

∂ζn(y)

∂y = 0 em y = 0 (35)

∂ζn(y)

∂y = 0 em y = Ly

A soluç ão do problema (35) é anal´ıtica e encontrada tabulada em ( ÖZISIK, 1974), tendo a forma:

ζn(y) = cos(λny) com λn=

nπ Ly

(n = 0, 1, 2, ...) (36) Com isso, ao substituir (33) na Eq. (32), tem-se:

s ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s)ζn(y) N 1 2 n + ∞ X n=0 u N 1 2 n ∂˜cn(x, z, s) ∂x ζn(y) + ∞ X n=0 v N 1 2 n ˜ cn(x, z, s) ∂ζn(y) ∂y + + ∞ X n=0 w N 1 2 n ∂˜cn(x, z, s) ∂z ζn(y) − ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) N 1 2 n ∂ ∂y Ky ∂ζn(y) ∂y + (37) − ∞ X n=0 1 N 1 2 n ∂ ∂z Kz ∂˜cn ∂z ζn(y) = 0

Neste momento, aplica-se o operador integral 1 N

1 2 m

RLy

0 (.)ζm(y) dy na Eq.(37), o que

resulta em: s ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + u ∞ X n=0 ∂˜cn(x, z, s) ∂x Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + +v ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ζn(y) ∂y ζm(y) dy + (38) +w ∞ X n=0 ∂˜cn(x, z, s) ∂z Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + − ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ ∂y Ky ∂ζn(y) ∂y ζmdy + − ∞ X n=0 ∂ ∂z Kz ∂˜cn(x, z, s) ∂z Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy = 0

(26)

25

Lembrando que:

ζ_n00(y) + λ2_nζn(y) = 0 ⇒ ζn00(y) = −λ 2

nζn(y) (39)

pode-se reescrever a Eq. (38) da forma:

s ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + u ∞ X n=0 ∂˜cn(x, z, s) ∂x Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + +v ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ζn(y) ∂y ζm(y) dy + (40) +w ∞ X n=0 ∂˜cn(x, z, s) ∂z Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + +λ2_nKy ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s) Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy + − ∞ X n=0 ∂ ∂z Kz ∂˜cn(x, z, s) ∂z Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy = 0

onde, utilizando a ortonormalidade, escrevemos:

δn,m = Z Ly 0 ζn(y)ζm(y) N 1 2 nN 1 2 m dy = ( 0 se m 6= n; 1 se m = n. βn,m = Z Ly 0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ζn(y) ∂y ζm(y) dy = ( _2n2 Ly(m2−n2)[cos(nπ) cos(mπ) − 1] se m 6= n; 0 se m = n.

Com isso, a Eq. (40) pode ser escrita da seguinte forma:

sδn,mc˜n(x, z, s) + uδn,m ∂˜cn(x, z, s) ∂x + vβn,m˜cn(x, z, s) + wδn,m ∂˜cn(x, z, s) ∂z + +λ2_nKyδn,m˜cn(x, z, s) − δn,m ∂ ∂z Kz ∂˜cn(x, z, s) ∂z = 0 (41)

Ap ós encontrar a Eq. (41) o pr óximo passo é aplicar a GILTT em z, de tal forma que: ˜ cn(x, z, s) = ∞ X i=0 ˜ ci(x, s)ξi(z) (42)

ξi(z) é a soluç ão do problema auxiliar de Sturm-Liouville e a vari ável ˜ci(x, s) da Eq.

(27)

O problema de Sturm-Liouville é dado por: ξ_i00(z) + µ2_iξi(z) = 0 em 0 < z < zi ∂ξi(z) ∂z = 0 em z = 0 (43) ∂ξi(z) ∂z = 0 em z = zi em que a soluç ão é anal´ıtica ( ÖZISIK, 1974), tendo a forma:

ξi(z) = cos(µiz) com µi =

iπ zi

(i = 0, 1, 2, ...) (44) Sendo assim, ao substituir (42) na Eq. (41), esta torna-se:

sδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s)ξi(z) + uδn,m ∞ X i=0 ∂˜ci(x, s) ∂x ξi(z) + vβn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s)ξi(z) + wδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) ∂ξi(z) ∂z + (45) λ2_nKyδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s)ξi(z) − δn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) ∂ ∂z Kz ∂ξi(z) ∂z = 0

Em seguida, aplica-se o operador integralRzi

0 (.)ξj(z) dz na Eq.(45). Logo, sδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 ξi(z)ξj(z) dz + δn,m ∞ X i=0 ∂˜ci(x, s) ∂x Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z) dz + +vβn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 ξi(z)ξj(z) dz + wδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 ∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz + +λ2_nKyδn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 ξi(z)ξj(z) dz + (46) −δn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 K_z0∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz + +δn,m ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) Z zi 0 Kz ∂2_ξ i(z) ∂z2 ξj(z) dz = 0 Lembrando que: ξ00_i(z) + µ2_iξi(z) = 0 ⇒ ξi00(z) = −µ 2 iξi(z) (47)

(28)

27 ∞ X i=0 ∂˜ci(x, s) ∂x δn,m Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z) dz + ∞ X i=0 ˜ ci(x, s) δn,m Z zi 0 sξi(z)ξj(z) dz+ +βn,m Z zi 0 vξi(z)ξj(z) dz + δn,m Z zi 0 λ2_nKyξi(z)ξj(z) dz + (48) +δn,m Z zi 0 w∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz − δn,m Z zi 0 K_z0∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz + +δn,m Z zi 0 µ2_iKzξi(z)ξj(z) dz = 0

Pode-se utilizar a forma matricial para representar a Eq. (48):

AY0(x, s) + BY (x, s) = 0 (49) onde A = δn,m Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z) dz (50) e B = δn,m Z zi 0 sξi(z)ξj(z) dz + βn,m Z zi 0 vξi(z)ξj(z) dz + +δn,m Z zi 0 λ2_nKyξi(z)ξj(z) dz + δn,m Z zi 0 w∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz + (51) −δn,m Z zi 0 K_z0∂ξi(z) ∂z ξj(z) dz + δn,m Z zi 0 µ2_iKzξi(z)ξj(z) dz

Assumindo que a matriz A é n ão-singular, multiplica-se a equaç ão (49) pela matriz inversa de A e obt êm-se:

Y0(x, s) + EY (x, s) = 0 (52)

sendo E = A−1_{B. Notemos que a Eq. (52) ´e uma EDO homog ˆenea.}

A EDO (52) é resolvida analiticamente pela t écnica da transformada de Laplace e diagonalizaç ão (WORTMANN, 2003), (MOREIRA et al., 2006) e (MOREIRA et al., 2009). Sendo assim, inicialmente aplica-se a transformada de Laplace na vari ável x:

r ¯Y (r, s) − Y (0, s) + E ¯Y (r, s) = 0 (53) onde ¯Y (r, s) = L{Y (x, s); x → r}.

Por diagonalizaç ão, é poss´ıvel decompor a matriz E, tal que:

E = XDX−1 (54)

onde D é a matriz diagonal de autovalores da matriz E; X é a matriz dos autovetores e X−1 é a matriz inversa de X. Assim, a Eq. (53) pode ser reescrita na forma:

(29)

(rI + XDX−1) ¯Y (r, s) = Y (0, s) (55) na qual I = XX−1 é a matriz identidade. Ap ós algumas manipulaç ões alg ébricas obt ém-se:

¯

Y (r, s) = X(rI + D)−1η (56)

onde η = X−1_{Y (0, s).}

Para encontrar Y (0, s) precisa-se encontrar ˜c(0, y, z, s). Assim, usando a expans ão da GILTT em y na condiç ão de fonte:

u(z)c(0, y, z, t) = Qδ(y − y0)δ(z − Hs) (57) onde c(0, y, z, t) = ∞ X n=0 ˜ cn(0, z, t)ζn(y) N 1 2 n (58) ou seja, u(z) ∞ X n=0 ˜ cn(0, z, t)ζn(y) N 1 2 n = Qδ(y − y0)δ(z − Hs) (59)

Aplicando o operador integral 1

N 1 2 m RLy 0 (·)ζm(y)dyna Eq.(59): u(z) ∞ X n=0 ˜ cn(0, z, t) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qδ(z −Hs) 1 N 1 2 m Z Ly 0

δ(y −y0)ζm(y)dy (60)

Pela propriedade do funcional delta de Dirac, tem-se: Z Ly 0 δ(y − y0)ζm(y)dy = ζm(y0) (61) Assim u(z)˜cn(0, z, t) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qζm(y0) N 1 2 m δ(z − Hs) (62)

Agora aplicando a expans ˜ao da GILTT em z, de tal forma que:

˜ cn(0, z, t) = ∞ X n=0 ˜ ci(0, t)ξi(z) (63)

e substituindo na Eq. (62), obt ´em-se:

u(z) ∞ X n=0 ˜ ci(0, t)ξi(z) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qζm(y0) N 1 2 m δ(z − Hs) (64)

(30)

29

Aplicando o operador integralRzi

0 (·)ξj(z)dz, tem-se: ∞ X i=0 ˜ ci(0, t) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z)dz = Qζm(y0) N 1 2 m Z zi 0 ξi(z)δ(z − Hs)dz (65) Pela propriedade do funcional delta de Dirac:

Z zi 0 δ(z − Hs)ξj(z)dz = ξj(Hs) (66) Logo ˜ ci(0, t) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z)dz = Qζm(y0)ξj(Hs) N 1 2 m (67) 1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = I (68) Z zi 0 u(z)ξi(z)ξj(z)dz = A (69)

e com isso obt ´em-se que:

Y (0, t) = ˜ci(0, t) = Qζm(y0)ξj(Hs) N 1 2 m A−1 (70) Y (0, s) = ˜ci(0, s) = Qζm(y0)ξj(Hs)A−1 sN 1 2 m (71) Assim, η é encontrado resolvendo o sistema linear Xη = Y (0, s) via decomposiç ão LU.

Aplicando a transformada inversa de Laplace na Eq. (56):

Y (x, s) = XL−1{(rI + D)−1; r → x}η (72) ´e observado que a matriz (rI + D) ´e escrita como:

(rI + D) =       r + d1 0 . . . 0 0 r + d2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . r + dN       (73)

onde dN s ˜ao os autovalores da matriz E, ou ainda, os elementos da matriz diagonal

(31)

´algebra matricial, sendo escrita como: (rI + D)−1 =       1 r+d1 0 . . . 0 0 _r+d1 2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . _r+d1 N       (74)

Assim, realizando a invers ão da transformada de Laplace de (74) e utilizando os resultados padr ão da teoria da transformada de Laplace, obt ém-se que:

L−1{(rI + D)−1} = G(x, r) =       e−d1x ₀ _{. . .} ₀ 0 e−d2x _{. . .} ₀ .. . ... . .. ... 0 0 . . . e−dNx       (75)

Com esse resultado, temos que, a vari ´avel ˜ci(x, s) ´e encontrada e

˜ cn(x, z, s) = ∞ X i=0 ˜ ci(x, s)ξi(z) (76)

´e bem determinada. Com isso, determina-se, tamb ´em: ˜ c(x, y, z, s) = ∞ X n=0 ˜ cn(x, z, s)ζn(y) N 1 2 n (77)

Agora, ´e necess ´ario aplicar a transformada inversa de Laplace em s para determi-nar ¯c(x, y, z, t), ou seja

¯

c(x, y, z, t) = L−1{˜c(x, y, z, s); t → s}, (78) Esta invers ão, por sua vez, é obtida numericamente atrav és da quadratura de Gauss-Legendre (STROUD; SECREST, 1966), de tal forma que a soluç ão da Eq.(25)

´e dada por:

¯ c(x, y, z, t) = M X k=1 Pk t Ak N X n=0 ˜ cn(x, z,P_tk)ζn(y) N 1 2 n (79) onde N é o n úmero de termos do somat ório da f órmula inversa da GILTT; Ak, Pk e

M s ˜ao, respectivamente, os pesos, as ra´ızes e a ordem da quadratura considerada, e est ˜ao tabulados em (STROUD; SECREST, 1966).

(32)

4 PARAMETRIZAC

¸ ˜

AO DA TURBUL ˆ

ENCIA

Para gerarmos as simulaç ões da dispers ão do poluente, ser á usada a soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional deduzida no cap´ıtulo an-terior e parametrizaç ões para o perfil do vento, coeficientes de difus ão e efeito de ascens ão da pluma. Estas parametrizaç ões modelam o processo conforme a estabi-lidade na CLA e levam em conta as principais vari áveis micrometeorol ógicas como o comprimento de Obukhov e a velocidade de fricç ão.

4.1 Coeficiente de Difus ˜ao

Em problemas de difus ão atmosf érica, a escolha de uma parametrizaç ão turbulenta representa uma decis ão fundamental para modelar a dispers ão de poluentes. A partir de um ponto de vista f´ısico, uma parametrizaç ão da turbul ência é uma aproximaç ão da natureza, no sentido que os modelos matem áticos recebem uma relaç ão aproxi-mada que substitui um termo desconhecido. A confiabilidade de cada modelo de-pende fortemente da maneira como os par âmetros s ão calculados e relacionados ao entendimento da CLP (MANGIA et al., 2002).

Na literatura encontram-se diversas formulaç ões para o coeficiente de difus ão tur-bulento vertical (ULKE, 2000). Os coeficientes de difus ão dependentes somente da turbul ência, utilizados neste trabalho, s ão apresentados a seguir, sendo v álidos a partir da rugosidade (z0)at é o topo da camada limite (zi).

• F ´ormulas de Degrazia: utilizadas em toda CLP.

– Condiç ões inst áveis (L ≤ 0) (MANGIA et al., 2002):

Kz = 0, 22w∗zi z zi 1₃ 1 −_zz i 1₃ h 1 − e −4z zi _{− 0, 0003e} 8z zi i (80) em que zi ´e a altura da CLC.

(33)

– Condiç ões est áveis (L ≥ 0) (DEGRAZIA et al., 2000):

Kz =

0, 3(1 − z/zi)u∗z

1 + 3, 7(z/Λ) , (81)

no qual zi ´e a altura da CLE e Λ = L(1 − z/zi)

5 4.

Para representar a difus ão em regi ões pr óximas à fonte, os coeficientes de difus ão devem ser considerados como funç ão n ão somente da turbul ência, mas tamb ém da dist ância da fonte. É importante salientar que uma parametrizaç ão que é dependente da dist ância da fonte representa, de um modo mais correto, a difus ão em ventos fracos (ARYA, 1995). Seguindo-se essa ideia, (DEGRAZIA; MORAES, 1992) e (DEGRAZIA; MOREIRA; VILHENA, 2001) propuseram uma formulaç ão integral e (DEGRAZIA; VI-LHENA; MORAES, 1996) e (DEGRAZIA et al., 2002) propuseram uma formulaç ão alg ébrica para os coeficientes de difus ão na camada inst ável:

• Condiç ões inst áveis (DEGRAZIA; MOREIRA; VILHENA, 2001), (DEGRAZIA et al., 2002): Kα = 0, 09w∗zic 1/2 i ψ1/3(z/zi)4/3 (f∗ m) 4/3 i Z ∞ 0 sin(7,84c 1/2 i ψ1/3(f ∗ m) 4/3 i X ∗_n0 (z/zi)2/3 ) (1 + n0₎5/3 dn0 n0 (82) Kα = 0, 583w∗ziciψ2/3(z/zi)4/3X∗[0, 55(z/zi)2/3+ 1, 03c 1/2 i ψ1/3(f ∗ m) 2/3 i X ∗ ] [0, 55(z/zi)2/3(fm∗) 1/3 i + 2, 06c 1/2 i ψ1/3(fm∗)iX∗]2 (83) em que X∗ = xw∗/uzi é a dist ância adimensional, n0 é a frequ ência adimensional,

zi é a altura da CLC, cv,w = 0, 36, cu = 0, 3, (fm∗)i é a frequ ência normalizada do

pico espectral independente da estratificac¸ ˜ao na qual:

(f_m∗)w = z (λm)w = 0, 55 z zi 1 − exp −4z zi − 0, 0003exp 8z zi −1 (84) para a componente vertical, em que

(λm)w = 1, 8zi 1 − exp −4z zi − 0, 0003exp 8z zi

´e o valor do pico espectral do comprimento de onda vertical. A componente longitudinal obtida de (OLESEN; LARSEN; HOJSTRUP, 1984) ´e (f_m∗)u = 0, 67. A

(34)

33

4.2 Ascens ˜ao da Pluma

Para muitas aplicaç ões, como em emiss ões industriais, é necess ário levar em conta o efeito do empuxo sobre a pluma de poluente. Quando a pluma de polu-entes é mais quente que o ambiente (menos densa) ela tende a se elevar at é uma camada onde se encontre em equil´ıbrio termodin âmico, a altura efetiva da fonte (He)

ser ´a a soma da altura real da fonte (Hs)e o efeito de ascens ˜ao da pluma (∆H). Nas

an álises deste (∆H) desconsidera-se os efeitos t érmicos gerados pr óximo a fonte. Dessa forma assumimos que, a certa dist ância da fonte, a pluma de material liberado em Hs se comporta como uma pluma de mesma densidade que o ambiente,

abando-nada sem empuxo a uma altura He (ARYA, 1999).

Em casos de convecç ão forte (zi/|L| > 10), a pluma ter á uma ascens ão final dada

por ∆H = 4.3 F ¯ uw∗ 3₅ z 2 5 i (85)

sendo F um par ˆametro de flutuabilidade definido como F = gVir2i

(Ti− Ta)

Ti

(86) onde g é a aceleraç ão da gravidade, Ti, Vi, rie Tas ão, respectivamente, a temperatura

da fonte, a velocidade vertical de sa´ıda, o raio da fonte e a temperatura ambiente (BRIGGS, 1975).

Para condiç ões moderadamente convectivas a ascens ão da pluma é parametri-zada como ∆H = F ¯ uw2 d 3₅ 1 + 2Hs ∆H 2 (87) que pode ser resolvida interativamente, onde wd = 0.4w∗ é a velocidade m édia dos

downdrafts (correntes de ar descendentes).

Para condiç ões de estabilidade neutra a seguinte express ão para ∆H:

∆H = 1.3 F ¯ uu2 ∗ 1 + Hs ∆H 2₃ (88) (WEIL, 1979) sugere que uma pluma tem a seguinte restriç ão para sua ascens ão:

∆H = 0.62(zi− Hs). (89)

Considerado o que foi exposto anteriormente, (BRIGGS, 1975) sugere que o valor final de ∆H deve ser o valor m´ınimo obtido com as equac¸ ˜oes (85), (87), (88) e (89).

(35)

4.3 Perfil do Vento

As equaç ões usadas pelo modelo para calcular o vento m édio s ão as de similari-dade (PANOFSKY; DUTTON, 1984):

u = u∗ k ln z − d z0 − ψm z − d L se z ≤ zb (90) u = u(zb) se z > zb (91)

em que zb = min[| L | , 0, 1 h], k é a constante de von-K árm án (k ∼= 0, 4), z0 é a

rugo-sidade do terreno. O deslocamento do plano zero (d) (m) é uma altura acima da su-perf´ıcie em que a velocidade do vento é nula e é consequ ência do escoamento sobre obst áculos tais como árvores ou construç ões, sendo desconsiderado neste trabalho (d = 0). A funç ão estabilidade ψm é expressa em termos das relaç ões de Businger:

ψm z L = −4, 7z L para 1/L ≥ 0, ψm z L = ln 1 + γ 2 2 + ln 1 + γ 2 2 − 2arctanγ +π 2 para 1/L < 0 com γ = 1 − 15_Lz 1 4_.

Alternativamente, a velocidade do perfil de vento pode ser descrita por uma lei de pot ˆencia como (PANOFSKY; DUTTON, 1984)

u u1 = z z1 α , (92)

na qual u e u1 s ão as velocidades m édias horizontais do vento nas alturas z e z1 e α é

(36)

5 VALIDAC

¸ ˜

AO DO MODELO COM DADOS EXPERIMENTAIS

Neste cap´ıtulo apresentam-se os dados experimentais, ´ındices estat´ısticos e os resultados num éricos obtidos com a soluç ão do modelo utilizados neste trabalho.

5.1 Dados Experimentais

Qualquer estudo de modelagem é incompleto se n ão é adequadamente validado com observaç ões relevantes. A seguir s ão apresentados os experimentos difusivos utilizados neste trabalho para validar o presente modelo.

5.1.1 Experimento de Copenhagen (Dinamarca)

Os experimentos de dispers ão em Copenhagen, descritos nos artigos de Gryning (GRYNING et al., 1987) e Gryning e Lyck (GRYNING; LYCK, 1984), consistiram na liberaç ão do traçador SF6 (hexafluoreto de enxofre) ao norte de Copenhagen. É um

experimento de fonte alta e fortemente convectivo.

O traçador foi abandonado sem empuxo a partir de uma torre com altura de 115 m, sendo coletado ao n´ıvel do solo (z = 0), em unidades de amostragem localizadas em tr ês arcos perpendiculares ao vento m édio. As unidades de amostragem foram posi-cionadas a uma dist ância entre 2 a 6 km, a partir do ponto onde ocorreu a liberaç ão do poluente, como mostra a Figura (1).

As liberaç ões de SF6 começaram uma hora antes do in´ıcio da amostragem. O

tempo m édio das medidas foi de 1 h e suas imprecis ões s ão de 10 %. O local era principalmente residencial, com um comprimento de rugosidade de z0 = 0,6 m (altura

em que o vento ´e zero).

A Tabela (1) mostra os dados meteorol ógicos dos experimentos de dispers ão na CLC de Copenhagen a serem utilizados no modelo onde, u é a velocidade do vento m édio (m/s), u∗ representa a velocidade de fricç ão (m/s), L é o comprimento de

Obukhov (m), w∗ ´e a escala de velocidade convectiva vertical (m/s), Hs ´e a altura da

(37)

Figura 1: Experimento de Copenhagen.

Tabela 1: Par ˆametros meteorol ´ogicos do experimento de Copenhagen (GRYNING et al., 1987). u(115 m) u(10 m) u∗ L w∗ zi Expt (ms−1) (ms−1) (ms−1) (m) (ms−1) (m) 1 3,4 2,1 0,36 -37 1,8 1980 2 10,6 4,9 0,73 -292 1,8 1920 3 5,0 2,4 0,38 -71 1,3 1120 4 4,6 2,5 0,38 -133 0,7 390 5 6,7 3,1 0,45 -444 0,7 820 6 13,2 7,2 1,05 -432 2,0 1300 7 7,6 4,1 0,64 -104 2,2 1850 8 9,4 4,2 0,69 -56 2,2 810 9 10,5 5,1 0,75 -289 1,9 2090

5.1.2 Experimento de Kinkaid (Illinois, USA)

Levando-se em consideraç ão o empuxo, tamb ém utilizamos o experimento de Kin-kaid (realizado em Illinois - USA), relativo somente a condiç ões convectivas (para −zi/L > 10) e descrito no trabalho de (HANNA; PAINE, 1989). Este experimento

consistiu de uma liberac¸ ˜ao elevada em um terreno plano com alguns lagos. Durante o experimento, o SF6foi liberado de uma altura de fonte de 187 m e medido em uma rede

que consistiu de aproximadamente 200 amostradores posicionados em arcos de 0,5 a 50 km da fonte. O conjunto de dados inclui os par âmetros meteorol ógicos como velo-cidade de fricç ão, comprimento de Obukhov e altura da camada limite e s ão apresen-tados na Tabela (2). O comprimento de rugosidade foi de aproximadamente 10 cm. As concentraç ões m áximas foram observadas ao n´ıvel do solo. O n´ıvel de concentraç ão medida é frequentemente irregular com altos e baixos n´ıveis de concentraç ão ocor-rendo intermitentemente ao longo do mesmo arco, al ém disso h á freq üentes lacunas nos arcos de monitoramento. Por estas raz ões uma vari ável é escolhida como um fator de qualidade de modo a indicar o grau de legibilidade dos dados. O indicador de

(38)

37

qualidade (de 0 a 3) ´e normalmente utilizado (OLESEN; LARSEN; HOJSTRUP, 1984). Aqui, somente os dados com fator de qualidade 3 foram considerados.

5.2 ´Indices Estat´ısticos

Para a comparaç ão entre os dados de concentraç ão simulados no modelo com os dados observados nos experimentos trabalhados, foram utilizados ´ındices es-tat´ısticos da literatura. Para a elaboraç ão desta an álise estat´ıstica, emprega-se aqui um programa desenvolvido por Hanna em 1989 (HANNA, 1989). Estes ´ındices es-tat´ısticos s ão recomendados para validaç ão e comparaç ão de modelos, pela Ag ência de Proteç ão Ambiental Americana (USEPA), pela Força A érea Americana (US Air Force), pelo Instituto Americano do Petr óleo (API), bem como pela comunidade ci-ent´ıfica da área de dipers ão de poluentes na atmosfera ap ós o Workshop ”Operational Short-Range Atmospheric Dispersion Models for Environmental Impact Assesments in Europa”, realizado na B élgica em 1994 (OLESEN, 1995).

As notaç ões utilizadas para os ´ındices o e p indicam, respectivamente, as quanti-dades observadas e preditas, C é a concentraç ão de poluentes, e σ é o desvio padr ão e N o n úmero de observaç ões.

Os ´ındices estat´ısticos aplicados s ˜ao definidos do seguinte modo:

1. Erro quadr ático m édio normalizado: informa sobre todos os desvios entre as concentraç ões dos modelos e as concentraç ões observadas. É uma estat´ıstica adimensional, e seu valor deve ser o menor poss´ıvel para um bom modelo.

N M SE = (Co− Cp)

2

CoCp

(93)

2. Coeficiente de correlaç ão: descreve o grau de associaç ão ou concord ância entre as vari áveis. Para um boa performance, o seu valor deve ser o mais pr óximo a 1.

COR = (Co− Co)(Cp− Cp) σoσp

(94) 3. Fraç ão de Inclinaç ão: informa a tend ência do modelo de superestimar ou

subes-timar as concentraç ões observadas. O valor ótimo é zero. F B = Co− Cp

0, 5(Co+ Cp)

(95)

4. Fractional Standard Deviations: O valor ´otimo ´e zero. F S = σ0− σp

0, 5(σ0+ σp)

(39)

Tabela 2: Par âmetros meteorol ógicos para o experimento de Kinkaid (HANNA; PAINE, 1989). Ta é a temperatura ambiente, Ti é a temperatura da pluma na sa´ıda da fonte e

Vi ´e a velocidade vertical da pluma na sa´ıda da chamin ´e.

L zi u∗ w∗ Ta Ti Vi Q Expt (m) (m) (ms−1) (ms−1) (K) (K) (ms−1) (gs−1) 1 -8,6 2076 0,30 2,65 298,4 416 14,6 10,2 2 -11,2 2092 0,31 2,53 298,4 416 14,6 8,2 3 -3,9 893 0,22 1,95 284,2 432 29,6 11,2 4 -4,8 1032 0,22 1,95 285,2 432 29,2 11,2 5 -10,4 1175 0,28 2,05 286,2 432 29,6 11,3 6 -6,3 1355 0,25 2,19 286,6 432 29,9 11,1 7 -23,5 1300 0,37 2,17 290,8 441 27,9 11,5 8 -40,3 1743 0,34 1,68 291,3 442 27,1 11,8 9 -63,5 1840 0,29 1,24 291,6 445 27,3 12,2 10 -8,6 850 0,30 1,52 296,6 453 28,5 11,2 11 -6,6 1447 0,28 2,31 297,6 456 31,8 11,2 12 -35,4 1223 0,50 2,33 299,9 440 18,0 11,0 13 -58,5 2069 0,57 2,66 300,4 441 18,0 11,0 14 -24,4 950 0,40 1,79 285,0 436 16,6 16,2 15 -33,3 1253 0,46 1,99 286,1 438 16,9 12,0 16 -27,0 1548 0,44 2,12 287,5 434 17,9 11,1 17 -28,6 2250 0,46 2,30 288,5 433 18,7 10,8 18 -41,3 2450 0,52 2,35 289,5 431 17,6 10,8 19 -51,4 2506 0,53 2,29 289,8 431 15,7 10,8 20 -67,8 2528 0,52 2,08 290,1 436 14,2 11,6 21 -14,3 1700 0,37 2,43 290,9 420 17,3 12,1 22 -6,0 1750 0,29 2,56 290,4 423 18,9 12,0 23 -46,1 1776 0,56 2,60 290,9 426 18,3 11,5 24 -29,6 1800 0,47 2,60 292,6 426 18,8 11,1 25 -20,6 1950 0,39 2,46 291,4 395 21,7 10,6 26 -18,7 1131 0,41 2,69 298,0 421 21,1 12,9 27 -42,1 2252 0,47 2,53 299,9 435 29,8 13,1 28 -67,6 2676 0,51 2,37 300,0 436 31,8 13,2 29 -5,2 1725 0,30 3,09 299,6 434 37,3 13,5 30 -4,3 1750 0,26 2,91 299,8 434 39,3 13,7 31 -5,4 1750 0,25 2,61 299,9 434 38,2 13,9 32 -8,0 1450 0,32 2,61 302,2 435 19,8 19,8 33 -11,2 1450 0,33 2,46 302,4 435 20,0 20,0 34 -18,3 1483 0,34 2,21 302,3 436 19,5 19,5 35 -18,5 1505 0,26 1,68 301,5 436 18,6 18,6 36 -45,1 1014 0,52 2,11 292,3 397 16,7 16,7 37 -35,8 1462 0,54 2,98 293,0 397 16,4 16,4 38 -42,3 2274 0,55 2,95 293,5 390 16,2 16,2 39 -86,1 1376 0,63 2,45 297,4 390 18,5 18,5 40 -108,0 1455 0,62 2,25 297,2 395 18,6 18,6 41 -131,0 1539 0,66 2,30 297,1 398 19,1 19,1 42 -191,0 1594 0,61 1,91 296,9 398 18,5 18,5 43 -6,4 1124 0,28 2,51 296,8 427 13,0 13,0 44 -8,3 1250 0,31 2,62 297,7 428 13,2 13,2 45 -10,6 1353 0,32 2,55 298,5 428 12,7 12,7 46 -9,2 1635 0,30 2,54 299,0 428 12,1 12,1 47 -11,6 1721 0,29 2,40 299,4 428 12,2 12,2 48 -21,2 1794 0,32 2,14 299,4 428 12,5 12,5 49 -67,5 1851 0,34 1,55 299,3 427 12,7 12,7 50 -81,2 952 0,67 2,47 299,7 431 12,6 12,6 51 -85,6 1222 0,68 2,59 300,3 431 12,7 12,7 52 -59,2 1300 0,60 2,69 301,1 432 12,9 12,9 53 -113,0 1360 0,68 2,55 301,1 432 12,5 12,5

(40)

39

5.3 Resultados

Dada a complexidade da soluç ão, é importante mostrar o seu comportamento em diferentes condiç ões. Nos estudos de dispers ão, é essencial ter conhecimento da dist ância da fonte em que ocorre a concentraç ão m áxima de poluentes. Sendo assim, é poss´ıvel ver na Figura (2) uma representaç ão gr áfica das concentraç ões ao n´ıvel do solo, previstas pela soluç ão tridimensional, para diferentes alturas de fonte em condiç ão convectiva. Para uma fonte na altura Hs = 0.025zi, localizada pr óxima ao

solo, é verificado um pico acentuado de concentraç ão na área pr óxima à fonte. Com o crescimento da altura da fonte, observa-se um decaimento dos picos e uma diferente localizaç ão dos mesmos.

Figura 2: Concentraç ão ao n´ıvel do solo pela soluç ão tridimensional para diferentes alturas de fontes em condiç ão convectiva (1/L = −0.01).

Tamb ém para mostrar a influ ência da turbul ência atmosf érica, é apresentado na Fi-gura (3) a concentraç ão em funç ão da dist ância da fonte (Hs= 0.1zi), ambas

adimen-sionais, para cinco condiç ões meteorol ógicas diferentes. Na Tabela (3) é apresentado o expoente do perfil de vento pot ência (α) e a invers ão do valor do comprimento de Obukhov (1/L) para diferentes condiç ões meteorol ógicas utilizados para as soluç ões da Figura (3). Assim, para vari áveis adimensionais, pode-se observar nesta figura que, em condiç ões meteorol ógicas inst áveis, durante o dia, o pico de concentraç ão

(41)

encontra-se pr óximo à fonte, isto deve-se ao fato que é neste per´ıodo onde h á maior influ ência da turbul ência da CLP sobre o poluente, fazendo com que este se disperse imediatamente ap ós a emiss ão. Este efeito tende a diminuir, havendo um desloca-mento do pico de concentraç ão, conforme as condiç ões meteorol ógicas tornam-se mais est áveis.

Tabela 3: Expoente do perfil de vento pot ência (α) e a invers ão do valor do compri-mento de Obukhov (1/L) para diferentes condiç ões meteorol ógicas.

Condiç ão alpha (α) 1/L inst ável 0.07 -0.10 inst ável 0.1 -0.02

neutro 0.15 0 est ´avel 0.35 0.01 est ´avel 0.55 0.03

Figura 3: Concentrac¸ ˜ao adimensional (C = cuz2

i/Q) em funç ão da dist ância

adimen-sional (X = xu∗/uzi) a partir de uma fonte (Hs = 0.1zi) para 5 diferentes condic¸ ˜oes

meteorol ´ogicas.

Nas Figuras (4) e (5), é mostrada a influ ência da altura da fonte. Assim, as concentraç ões verticais adimensionais em tr ês dist âncias, a partir de quatro diferentes alturas de fontes, s ão apresentadas em condiç ão convectiva. Estes gr áficos apresen-tam valores maiores de concentraç ão para dist âncias menores, e menores com o

(42)

cres-41

cimento da dist ância. Al ém disso, com o crescimento da dist ância, h á uma tend ência à obtenç ão de um perfil homog êneo de concentraç ão, isso porque o poluente sofreu os processos difusivos e advectivos da CLP, encontrando-se, depois de determinada dist ância, espalhado uniformemente em toda a atmosfera analisada.

Figura 4: Concentrac¸ ˜ao (C∗ = cuz2

i/Q)em relac¸ ˜ao a altura (Z

∗ _{= z/z}

i)em condic¸ ˜oes

convectivas (1/L = −0.01) para tr ˆes diferentes dist ˆancias da fonte (X∗ _{= xw}

∗/uzi) e

duas alturas de fontes (Hs= 0.05zi e 0.1zi).

A fim de mostrar o desempenho da soluç ão da equaç ão de advecç ão difus ão de-senvolvida e das parametrizaç ões propostas, o modelo ser á aplicado usando os

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con-Figura 5: Concentraç ão (C∗ = cuz_i2/Q)em relaç ão a altura (Z∗ = z/zi)em condiç ões

convectivas (1/L = −0.01) para tr ˆes diferentes dist ˆancias da fonte (X∗ = xw∗/uzi) e

duas alturas de fontes (Hs= 0.25zi e 0.5zi).

juntos de dados experimentais de Copenhagen e Kinkaid.

As Figuras (6) e (7) mostram a comparaç ão da concentraç ão prevista pelo m étodo 3D-GILLT em relaç ão aos dados observados nos experimentos de Copenhagen e Kinkaid. Na an álise de gr áficos de espalhamento, quanto mais pr óximos estiverem os resultados da reta central, melhores os resultados. Pode-se observar que as concentraç ões obtidas reproduziram aceitavelmente os dados observados.

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43

Figura 6: Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas e preditas ao n´ıvel do solo utilizando o m étodo 3D-GILTT para o experimento de Copenhagen.

A fim de comparar a qualidade da nova abordagem em relaç ão a outros mode-los, usam-se os ´ındices estat´ısticos padr ão. Enquanto o presente m étodo (3D-GILTT) baseia-se numa verdadeira descriç ão tridimensional, uma abordagem anal´ıtica ante-rior chamada GILTTG utiliza um pressuposto Gaussiano para a direç ão transversal horizontal (MOREIRA et al., 2009). No GILTTG, a concentraç ão integrada do vento lateral cy_{(x, z, t)} _{é obtido analiticamente utilizando o m étodo GILTT. Para calcular a}

concentraç ão tridimensional ¯c(x, y, z, t), a difus ão lateral (σy)deve ser inclu´ıda, isto é,

presume-se que a pluma tem uma distribuiç ão Gaussiana da concentraç ão na lateral. Ainda, para o conjunto de dados de Copenhagen, os resultados obtidos s ão tamb ém comparados com resultados do m étodo GIADMT (COSTA et al., 2006).

As Tabelas (4) e (5) apresentam algumas avaliaç ões do desempenho dos re-sultados do modelo, utilizando o procedimento de avaliaç ão estat´ıstica descrito por (HANNA, 1989).

Os ´ındices estat´ısticos apontam uma boa concord ância entre os dados experimen-tais e os obtidos pelo modelo 3D-GILTT para ambos os casos estudados. A figura (6) mostra um desempenho mais homog êneo do modelo em relaç ão à figura (7), levando em consideraç ão algum erro de super ou subestimaç ão. Reflexo disso, observa-se um

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Figura 7: Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas e preditas ao n´ıvel do solo utilizando o m étodo 3D-GILTT para o experimento de Kinkaid.

Tabela 4: Comparac¸ ˜ao estat´ıstica entre os modelos usando os dados de Copenhagen. Modelo NMSE COR FB FS

GILTTG 0.33 0.80 0.28 0.09 GIADMT 0.15 0.87 0.01 -0.09 3D-GILTT 0.07 0.93 0.02 0.03

Tabela 5: Comparac¸ ˜ao estat´ıstica entre os modelos usando os dados de Kinkaid. Modelo NMSE COR FB FS

GILTTG 0.37 0.68 0.08 -0.15 3D-GILTT 0.37 0.67 0.09 -0.09

baixo valor de NMSE e ´ındice FB para esta simulaç ão em relaç ão às demais an álises. A fim de verificar a diferença dos resultados obtidos entre os modelos GILTTG e 3D-GILTT ajustou-se os valores previstos em relaç ão aos observados atrav és de uma regress ão linear (ver figuras (8) e (9)) para ambos os experimentos, onde quanto mais pr óximo a sua interseç ão com a origem e quanto mais pr óxima é a inclinaç ão com a unidade, melhor ser á a aproximaç ão. Para realizar a validaç ão do modelo, foi uti-lizado um par âmetro k = p(a − 1)2_{+ (b/ ¯}_C

o)2 onde ¯Co = 1_n

Pn

i=1Coi (MELLO, 2010),

(46)

45

modelo e os resultados experimentais. Aqui a é o declividade, b a intersecç ão, Coi é

a concentraç ão dos dados experimentais e ¯Co sua m édia aritm ética. Uma vez que

a experi ência é de car áter estoc ástico, enquanto que as propriedades estoc ásticas est ão ocultas nos par âmetros do modelo, as flutuaç ões observadas est ão presentes. No entanto, em comparaç ão, observa-se nas Tabela (6) e (7) que a presente aborda-gem produz uma melhor descriç ão dos dados para o experimento de Copenhagen. Analisando as figuras (8) e (9), os gr áficos mostram claramente que est á faltando algo a ser contemplado pelo modelo, o que interfere na obtenç ão de melhores resultados. Pode-se observar, principalmente na figura (9), que se houvesse a presença de al-gum par âmetro durante a soluç ão, os resultados se ajustariam a reta central, sendo o ideal nessa an álise. Para determinar tal car ência, ter á que ser feito um estudo mais aprofundado, que n ão é o objetivo dessa dissertaç ão.

Tabela 6: Comparaç ão da regress ão linear da GILTTG e 3D-GILTT para o experimento de Copenhagen.

Modelo Regress ˜ao R2 _k

GILTTG C¯p= 0.77 ¯Co+ 0.004 0.8 0.23

3D-GILTT C¯p= 0.91 ¯Co+ 0.34 0.93 0.1

Tabela 7: Comparaç ão da regress ão linear da GILTTG e 3D-GILTT para o experimento de Kinkaid.

Modelo Regress ˜ao R2 _k

GILTTG C¯p= 0.79 ¯Co+ 7.32 0.68 0.25

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Figura 8: Regress ˜ao linear para a GILTTG (c´ırculos) e 3D-GILTT (estrela) utilizando os dados de Copenhagen. A reta bissetriz foi inserida como uma guia visual.

Figura 9: Regress ˜ao linear para a GILTTG (c´ırculos) e 3D-GILTT (estrela) utilizando os dados de Kinkaid. A reta bissetriz foi inserida como uma guia visual.