Movimento Periódico. A compreensão de movimentos periódicos é essencial para o estudo de ondas, som, correntes alternadas, luz, radiação, etc.

Movimento Periódico

Prof. Cristiano Oliveira

Ed. Basilio Jafet – sala 202

crislpo@if.usp.br

Fisica I ‐ IO

A compreensão de movimentos periódicos é essencial para o

estudo de ondas, som, correntes alternadas, luz, radiação, etc.

Um corpo que está em movimento periódico está em uma

situação de equilíbrio estável. Quando é colocado fora deste

ponto de equilíbrio surge uma força, ou torque, restaurador e o

coloca de volta no equilíbrio.

Existem vários tipos de sistemas que seguem movimentos

periódicos, mas utilizaremos como exemplos simples pêndulos e

sistemas massa‐mola. Estes sistemas servem de base para a

descrição de outros casos mais complexos.

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Descrevendo oscilações

Tirando uma mola de sua posição de equilibrio, surge uma força restauradora.

Amplitude, frequência e frequência angular

A amplitude do movimento, denotada por A, é o valor em módulo do máximo deslocamento a partir do equilíbrio (|x|), É um valor sempre positivo. A unidade dependerá do tipo de oscilação que estivermos olhando. Se for a oscilação de uma mola, a unidade seria o metro (m).

O período, T, é o tempo que leva para termos um ciclo. É uma quantidade sempre positiva. No SI sua unidade é em segundos mas algumas vezes se utiliza "segundos por ciclo".

A frequência, f, é o numero de ciclos que se tem por unidade de tempo. É uma quantidade sempre positiva. No SI sua unidade é o hertz:

A frequência angular, , é 2 vezes a frequência f:

Da definição de f ,T e  é obvio que,

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Movimento Harmônico Simples

O tipo mais simples de oscilação ocorre quando uma força restauradora Fx é

diretamente proporcional com o deslocamento a partir do equilíbrio, x.

Isto ocorre em uma mola que segue a Lei de Hooke. A constante de proporcionalidade entre Fxe x é a constante de mola, k.

Quando se tira o corpo da posição de equilíbrio, Fxe x sempre possuem sinais opostos.

A componente x da força que a mola exerce no corpo é:

Esta equação fornece o modulo e sinal corretos para a força, independente do valor de x (positivo, negativo ou nulo). A constante de mola k é sempre positiva e tem unidade de N/m. Como não assumimos atrito, equação acima provê a força resultante no corpo.

Quando a força resultante é diretamente proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio, a oscilação é chamada movimento harmônico simples, MHS (simple harmonic

Movement ‐ SHM)

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Movimento Harmônico Simples

Da segunda lei de Newton, Fxma

Mas, 2 , logo 2 dt x d a x m k a x m k dt x d _  2₂ Equação diferencial de segunda ordem

Um corpo cujo movimento satisfaz esta equação é denominado oscilador harmônico.

Este caso é extremamente importante na física pois nem todos os movimentos periódicos são harmônicos simples, ou seja, a força restauradora pode depender de outras potencias do deslocamento. No entanto o oscilador harmônico

simples serve como primeira

aproximação em diversos casos onde as oscilações são pequenas.

Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples

Iremos demonstrar que a projeção da bola no eixo horizontal (ou no vertical) descreve um movimento harmônico simples.

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Na animação abaixo é possível intuir que tal afirmação é verdadeira.

Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples

Quando o ponto Q se move em torno do circulo de referencia com velocidade angular constante , o vetor OQ gira com a mesma velocidade angular. Este vetor girante é denominado fasor.

A componente x do fasor no instante t é a coordenada x do ponto Q:

Esta é também a coordenada x da sombra P, que é a projeção de Q no eixo x. Assim a velocidade x da sombra P ao longo do eixo x é igual à componente x do vetor velocidade no ponto Q.

Como o ponto Q está em um movimento circular uniforme, sua aceleração aQ é sempre direcionada na

direção de O. Assim, o modulo de aQé constante e dado

por:

A

a

A

v

A

v

a

.

,













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Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples

A componente de aQé ax=‐ aQcos, assim

A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e sempre tem sinal oposto a este. Como mostrado antes, estes são os requisitos do MHS.

Esta equação é a mesma obtida para o oscilador harmônico se substituirmos a velocidade  angular  do ponto de referencia Q pela relação entre a constante de mola k e a massa m:

Esta relação permite entender porque a velocidade angular do ponto Q pode ser entendida como frequência angular do ponto P. Se o ponto Q faz uma volta completa no tempo T então o ponto P vai e volta em um ciclo completo de oscilação neste mesmo tempo. Assim T é o período de oscilação.

Durante o tempo T o ponto Q se desloca de 2 radianos, logo, sua velocidade angular é = 2 /T, o que justifica a relação entre frequência angular e frequência,

Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples

Deste modo, podemos interpretar a frequência angular do movimento harmônico simples para um corpo de massa m sob a ação de uma força restauradora com constante de mola k:

Desta forma, para um corpo oscilando em MHS o valor de  é pré‐definido pelos valores de k e m. A unidade de K é N/m, ou, kg/s2_{, assim, k/m = (kg/s}2_{)/kg = s}‐2_.

Quando tiramos a raiz obtemos s‐1_{, ou mais precisamente rad/s pois esta é uma} frequência angular. (lembre que o radiano é uma medida angular vinda da razão entre

dois comprimentos, ie, é um número puro) Assim,

Quanto maior a massa, maior sua inercia, e assim menor sua aceleração: ela se move mais lentamente e leva mais tempo para completar um ciclo.

Por outro lado, quanto mais dura a mola (k maior) maior a força restauradora e assim maior a aceleração: maiores velocidades e menores tempos T por ciclo.

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Diapasão de som

Período e Amplitude no MHS

O período e a frequência no MHS são determinados pela massa m e constante de mola

k. Sendo assim, no MHS a o período e frequência não dependem da amplitude A.

Definidos os valores de m e k, o tempo de uma oscilação é o mesmo independente de a amplitude ser grande ou pequena.

Deslocamentos maiores acabam por causar forças restauradoras maiores e em consequência maiores acelerações. Este ganho de velocidade compensa o deslocamento maior e assim o tempo do ciclo se mantem constante.

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Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS

Para termos o conhecimento completo do MHS é necessário termos a solução da equação diferencial para o deslocamento x.

Existem várias formas de obter a solução. Pela analogia com o movimento circular uniforme, fica claro que a solução envolve uma função seno ou cosseno pois a projeção do fasor era x=Acos. Agora, no MHS,  = t +  onde  =(k/m)1/2_{e  o ângulo inicial}

do fasor. Assim,

Veja que a escolha da função cosseno é arbitraria. A solução também pode ser escrita em termos de uma função seno pois

“No movimento harmônico simples, a posição é periódica e com

perfil senoidal em função do tempo.”

Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS

O valor da função cosseno varia entre ‐1 e 1, logo, x sempre está entre ‐A e A. Assim A é a amplitude do movimento.

O período T é o tempo para um ciclo completo de oscilação. A função cosseno repete a si

mesma sempre que a quantidade nos

parênteses aumenta pela quantidade 2

radianos. Assim, Se iniciamos em t=0, o tempo T para um ciclo completo é,

Que repete a equação obtida anteriormente.

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Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS

A constante é chamada de angulo de fase, e nos fornece o ponto de inicio do movimento para t=0. Para t=0 temos o ponto x0. Assim,

Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS

Definida a função que descreve o deslocamento podemos obter a velocidade e a aceleração do sistema,

A velocidade vxoscila entre vmax= +A  e ‐vmax= ‐ A,  e a 

aceleração varia entre amax=+2A e – amax=‐ 2A. Como 

2_=k/m,

que é o mesmo resultado obtido para o MHS.

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Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS

Se nos é dado uma posição inicial x0e uma velocidade inicial vx0para um corpo em 

movimento oscilatório, pode‐se determinar a amplitude A e o angulo de fase .  Se a velocidade inicial é vx0, colocamos t=0 na equação da velocidade e obtemos,  Para obtermos , dividimos a equação de v0xpela equação de x0: Para obtermos A, temos, (1) cos cos 2 2 2 0 0 A  x A  x      sin 0 A vx  sin 0 _A vx  2_cos2 ₍₂₎ 2 2 0   A vx _ 





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Energia no MHS

Para um oscilador massa‐mola a força feita pela mola é a única força horizontal agindo no corpo.

A força feita por uma mola ideal é conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho. Logo a energia mecânica é conservada.

A energia cinética é K=½mv2_{e a energia potencial U=½kx}2_{. Logo, como E=K+U,}

Quando o corpo atinge a máxima amplitude, x=A, ele para momentaneamente e volta  no sentido oposto. Logo, quando x=A (ou ‐A), vx=0. neste ponto a Energia é totalmente  potencial sendo, E=½kA2_{. Como E é constante temos,}  Este resultado pode ser demonstrado diretamente, utilizando as expressões de vxe x, e  lembrando que 2_=k/m

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Podemos obter a velocidade do corpo em MHS em termos da amplitude e da posição: Os dois possíveis sinais indicam que o corpo pode estar se movendo em ambos os  lados da posição de equilíbrio. Veja que a máxima velocidade ocorre quando x=0 (posição de equilibrio), sendo Energia no MHS : Interpretando U, K e E 2 2 1 kx U





Parábola com concavidade para baixo

Parábola com concavidade para cima





Energia mecânica constante!

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APLICAÇÕES DO MHS

MHS na vertical

Vamos supor que uma mola de constante k suspende um corpo com massa m. As oscilações agora ocorrerão na vertical.

Inicialmente o corpo é sustentado parado, em equilíbrio. Nesta posição a mola é esticada de uma quantidade dL de modo que a força exercida pela mola equilibra o peso mg:

Quando o corpo está a uma distancia x acima da posição de equilíbrio, a distensão da mola é Dl‐x. A força resultante no corpo é então, k(l‐x) e a componente resultante será:

Ou seja, uma força para baixo com modulo kx. Similarmente, quando a distensão é para baixo, surge uma força para cima. Sendo assim a oscilação ocorre em torno da nova posição de equilíbrio induzida pelo peso do corpo.

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MHS angular

Um relógio mecânico mantem a hora baseado nas oscilações de uma roda de balanço. A roda possui momento de inércia I em torno do eixo.

Uma mola helicoidal exerce um torque restaurador zque

é proporcional ao deslocamento angular , a partir de sua posição de equilíbrio.

Escrevemos z= ‐ , onde  (kappa) é a constante de

torsão. Usando a segunda Lei de Newton Rotacional,  = I = Id2/dt2_{, obtemos}

A forma desta equação é a mesma da anterior, alterando x por e k/m por / I. Assim, temos  uma forma angular do movimento harmônico simples. Com isso podemos escrever : O movimento de uma roda de balanço oscilando  é harmônico simples!

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Pendulo simples

O pendulo simples é um modelo idealizado de um ponto material suspenso por uma corda sem massa e inextensível. Quando o ponto material é movido para um dos lados de sua posição de equilíbrio, ele oscila em torno desta posição de equilíbrio.

O caminho do ponto material não é uma linha reta, mas sim um arco de circulo com raio L igual ao comprimento da corda. Vamos definir a coordenada x como sendo a distancia ao longo do arco

Se o movimento é harmônico simples, a força

restauradora deve ser diretamente

proporcional a x, ou, como x = L, a . Iremos demonstrar isso.

Na figura ao lado representamos as forças na massa em termos das componentes tangenciais e radiais.

Percebeu que independentemente da distância percorrida pelo pêndulo, o tempo para completar o movimento é sempre o mesmo.

A duração do movimento pendular não é afetada pelo peso do corpo suspenso, mas sim pelo tamanho da corda que o suspende.

Galileu Galilei Pendulo simples

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43200USD$

http://www.panerai.com/en/collections/clocks‐ and‐instruments/pendulum‐clock/643‐pendulum‐ clock‐pam00500

Interessantemente, Galileo Galilei morreu sem ver seu relogio ser implementado, em 1641.

Seu filho, Vincenzo Galilei decidiu tentar finalizar o projeto em 1649,  usinando ele proprio as engrenagens. Infelizmente morreu alguns meses depois sem ter o relogio funcionando. 

Em 1659, Vincenzo Viviani, amigo e biografo de Galileo recuperou os desenhos e levou para o Principe de Florentina. Somente o desenho sobrou pois todas as partes mecanicas feitas pelos Galilei haviam desaparecido.

Tida como primeira invenção de Galileo, o relogio de pendulo foi finalmente implementado pelo mestre relojoeiro de Florentina, Eustachio Porcellotti in 1887. Atualmente a Empresa PANERAI reproduz replicas do relogio de Galileo.

Pendulo simples

A força restauradora F é a componente tangencial da

força resultante:

A força restauradora é feita pela gravidade. A tensão T faz o ponto material se mover no arco. A força restauradora não é proporcional a  mas a sin, logo, em principio, não é um movimento harmônico simples.

Porém se o angulo  é pequeno, sen  é praticamente igual a , quando o angulo é dado em radianos. Por exemplo, quando  =0.1 rad (~6º), sin =0.0998, uma diferença de 0.2%. Com essa aproximação,

A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos com constante de mola k = mg/L. Assim a frequência angular do pendulo para pequenas oscilações é,

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Pendulo simples

Assim, para um pendulo simples com pequenas oscilações:

Note que estas formulas não envolvem a massa da partícula. Isso ocorre pois a força restauradora é o peso da partícula, o qual é proporcional a m. Para pequenas oscilações o período do pendulo, para um dado g, depende somente do comprimento do mesmo.

Deve‐se ter em mente que o pendulo é aproximadamente harmônico simples. Quando a amplitude não é pequena a diferença para o harmônico simples é substancial. Para se ter uma ideia do qual pequeno, significa, pode‐se ter a solução do pendulo em termos de uma serie de potencias do ângulo máximo  :

Por exemplo, se =15º, a diferença é menor que 0,5%.

Como mencionado antes, um dos principais usos de pêndulos é para medida de tempo, uma vez que o período praticamente não depende da amplitude da oscilação. Assim, em relógios de pendulo, mesmo que a amplitude da oscilação diminua, o relógio continua marcando o tempo corretamente!

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Pendulo Físico

Um pendulo físico é qualquer pendulo real composto por um corpo extenso, então por uma massa concentrada em um único ponto como no pendulo simples.

Para pequenas oscilações, o movimento de um pendulo real é muito semelhante ao de um pendulo simples. O corpo está preso a um pivô, que o permite girar sem atrito. A distancia deste pivô para o centro de gravidade (massa) do corpo é d e o momento de inércia deste corpo para com o eixo de rotação passando pelo pivô é I, com massa total m.

Quando o corpo se deslocado de seu equilíbrio, surge um torque restaurador dado por,

O sinal negativo mostra que o torque é oposto ao deslocamento do corpo. 

Quando o corpo é solto, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. Novamente o movimento não é harmônico simples pois o torque é proporcional a sen e não a .

Pendulo Físico

Similarmente ao caso do pendulo simples, se  for pequeno, podemos aproximar sin por , em radianos. Assim, o movimento será aproximadamente harmônico simples. Assim,

Da Segunda Lei de Newton para os torques,

Novamente temos a equação diferencial de segunda ordem, característica do movimento harmônico simples. Neste caso, a relação k/m é dada por mgd/I, assim,

Esta equação para o período é utilizada para a determinação experimental do momento de inércia de um corpo com forma complicada. Se suspendemos o corpo por um eixo passando pelo centro de gravidade, e medimos o período para pequenas oscilações, pode‐se

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Oscilações amortecidas

Ate agora abordamos sistemas oscilatórios sem atrito. Todas as forças são conservativas, a energia mecânica é constante e o sistema pode oscilar infinitamente sem a perda de amplitude.

Sistemas reais sempre possuem forças dissipativas e assim as oscilações acabam a não ser que a perda da energia mecânica dissipada seja reposta de alguma maneira. Na ausência desta reposição, as oscilações cessam.

A diminuição da amplitude de oscilação causada por forças dissipativas é denominada

amortecimento e assim teremos as chamadas oscilações amortecidas.

Oscilador Ideal Oscilador Amortecido

Oscilações amortecidas

O caso mais simples para se analisar é o oscilador harmônico com amortecimento por atrito que é proporcional à velocidade do corpo oscilatório. Temos este caso quando o corpo se move em um fluido viscoso, como em amortecedores de carro ou superfícies em contato lubrificadas por óleo.

Na prática teremos uma força adicional, onde é a velocidade e b a

constante que descreve a força da força de amortecimento. O sinal negativo mostra que a força é sempre oposta à direção da velocidade.

A força resultante será,

A segunda Lei de Newton para o sistema será,

Tratar‐se de uma equação diferencial em x, similar à anterior , mas com o termo ‐bdx/dt. A resolução desta equação é feita com técnicas de resolução de equações diferenciais.

Como Resolver?

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Oscilações amortecidas

Se o amortecimento é fraco, o movimento será descrito por,

A frequência angular de oscilação´ será,

Comparado com o caso sem amortecimento temos duas diferenças. Primeiro a amplitude  de oscilação, dada por  Ae‐(b/2m)t_{, não é constante e decresce com o tempo devido ao termo}  exponencial e‐(b/2m)t_{. Nesta condição temos o amortecimento fraco.}  Segundo, a frequência angular ´, não é igual à = (k/m)1/2_{mas um pouco menor.}  Oscilações amortecidas A frequência angular ´poder ser até zero se b aumentar de modo que,  Quando esta equação é satisfeita têm‐se a condição de amortecimento crítico. O sistema  não oscila e retorna à posição de equilíbrio sem nenhuma oscilação.

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Oscilações amortecidas

Se b é maior que 2(km)1/2_{a condição é chamada superamortecida. Novamente não temos} 

oscilação, mas o sistema retorna ao equilíbrio mais lentamente que o amortecimento  critico. Para o caso superamortecido tem‐se as solução, 

sendo C1e C2constantes que dependem das condições iniciais e a1e a2constantes 

determinadas por m, k e b. fraco critico supercritico t x(t) x(t) fraco critico supercritico t Energia em Oscilações Amortecidas Em oscilações amortecidas a força de amortecimento não é conservativa, assim a energia  mecânica do sistema não é constante e decresce continuamente ate zero.  Para obtermos a taxa de mudança de energia podemos partir da expressão da energia  mecânica em um dado instante: Para obter a taxa de mudança desta quantidade, tomamos a derivada temporal: Mas,      e      , logo

O termo é a taxa na qual a força de amortecimento faz trabalho no sistema (ou seja, potencia de amortecimento), que é igual a taxa com que a energia mecânica muda. Um comportamento análogo ocorre em circuitos elétricos contendo resistores, capacitores e Como,      , temos:

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Oscilações Forçadas e Ressonância

Se aplicamos uma força externa variável, com frequência angular d em um oscilador

harmônico amortecido, o movimento resultante é denominado oscilação forçada ou oscilação com força propulsora. Ele é diferente do movimento harmônico simples onde o sistema oscila com sua frequência natural ´ determinada por m, k e b.

Em oscilações amortecidas o sistema dissipa a energia e para de se mover. No entanto, pode‐se manter uma oscilação em amplitude constante quando se aplica uma força externa que varia no tempo de modo cíclico, com frequência e períodos definidos. Denominamos esta força externa de força propulsora.

Em oscilações forçadas, a frequência angular que o sistema é igual à frequência angular da força externa, d. Esta frequência não precisa ser igual a frequência angular natural do

sistema. 0 2 2    kx dt dx b dt x d m ) ( 2 2 t f kx dt dx b dt x d m   

Como resolver as equações neste caso? Bem é necessário considerar outras formas de resolver equações diferenciais, agora com uma força externa. A solução será a composição da solução da equação homogênea com a obtida para a força externa:

Solução Homogênea Solução Particular Solução Geral: Solução Homogênea + Solução Particular Oscilações Forçadas e Ressonância

A solução homogênea, também denominada de transiente, se extingue rapidamente e o sistema entra em operação com a solução particular.

O caso mais simples de força externa é a inserção de uma força oscilatória na forma senoidal (cossenoidal). Por exemplo, se tomarmos uma força na forma, F(t) = Fmaxcos dt ,

a amplitude da oscilação resultante será dada por:

Em um gráfico A vs. d/, teremos

um máximo em d=  (=(k/m)1/2).

A altura deste pico pode aumentar ou diminuir, dependendo do fator de amortecimento (b ou b/m). Pode‐se mostrar que a largura do pico varia com 1/b.





Note que o extremo de baixa frequência, d=0, fornece, A=Fmax/k.

isso corresponde a uma força

constante Fmax, e deslocamento

A=Fmax/k a partir do equilíbrio, como

esperado.

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Oscilações Forçadas e Ressonância















O fato da amplitude aumentar quando a frequência externa se aproxima da frequência natural do sistema é denominadoressonância.

Para d= 

 Singularidade! Diversos exemplos do cotidiano são associados à

ressonância.

• Aumento da amplitude de oscilação de um balanço infantil pela aplicação de uma força com frequência igual à natural

• Uma “tremedeira” no carro quando atinge certa velocidade e a frequência de rotação das rodas é igual à alguma frequência interna do carro.

• A sintonia de um canal de radio ou TV ocorre quando se ajusta a frequência interna do circuito receptor para entrar em ressonância com uma dada frequência do sinal recebido. Assim pode‐se selecionar uma estação particular e rejeitar as outras.

Oscilações Forçadas e Ressonância

No entanto, ressonância em sistemas mecânicos também pode serdestrutiva. O aumento da amplitude pode causar oscilações muito grandes, gerando a fadiga e ruptura do material. Isso é particularmente importante para construções na engenharia civil, sujeitas a ação de ventos e intempéries. Ponte Tacoma Narrows, destruída quatro meses e seis dias após a inauguração (1940).  A 

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A ponte Angers, também conhecida como Ponte Basse‐Chaîne entrou em colapso em 16 de Abril de 1850 quando um batalhão de soldados franceses marchavam sobre ela, matando mais de 200 deles.

O desastre aconteceu pois a marcha compassada dos soldados gerou uma força oscilatória externa que entrou em ressonância com a oscilação natural da ponte, gerando ressonância.

Após este desastre, soldados quando passam por pontes e afins são liberados de marchar compassadamente para evitar eventuais ressonâncias.

Frequências naturais de materiais podem gerar efeitos bastante peculiares. Abaixo  temos placas de metal ligadas a um a um gerador de funções.

Quando a força externa

aplicada na placa ressoa com a frequência natural cria‐se os chamados modos normais de oscilação.

Quando isso ocorre regiões da placa não oscilam e acabam

armazenando o material

particulado

Com isso tem‐se um mapa 2D dos modos de vibração na placa

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