Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos

Modelagem Matemática de

Sistemas Hidráulicos

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1 INTRODUÇÃO

Os fluidos, estejam na forma líquida ou gasosa, constituem os meios mais versáteis para a transmissão de sinais e de potência, sendo largamente empregados na indústria, principalmente em processos químicos, sistemas automáticos de controle, atuadores, automação de máquinas, etc. Os sistemas fluidos são normalmente interconectados a sistemas mecânicos através de bombas, compressores, válvulas e cilindros. Uma turbina acionada por água e usada para movimentar um gerador elétrico é um exemplo em que interagem elementos hidráulicos, mecânicos e elétricos.

Basicamente, líquidos e gases podem ser diferenciados por suas compressibilidades: um líquido é considerado praticamente incompressível, ao passo que um gás deforma-se facilmente com a mudança de pressão. Além disso, um líquido pode apresentar uma superfície livre, enquanto que um gás expande-se de modo a ocupar totalmente o seu reservatório. Vamos utilizar o termo sistema hidráulico para descrever sistemas que usam um líquido como fluido de trabalho e sistema pneumático para sistemas que utilizam um gás como fluido de trabalho.

Uma análise exata de um sistema hidráulico usualmente não é viável, por causa da sua natureza distribuída (propriedades distribuídas ao longo da massa) e não linear (resultando em modelos matemáticos não lineares). Contudo, na maioria dos casos, a operação de um sistema hidráulico se dá nas proximidades de um ponto de operação, de modo que ele pode ser linearizado em torno desse ponto, o que faz com que obtenhamos modelos lineares em termos de variáveis incrementais.

Tendo em vista que os sistemas hidráulicos envolvem o escoamento e a acumulação de líquidos, as variáveis usadas para descrever o seu comportamento dinâmico são a vazão volumétrica [m3_{/s], o volume} [m3_{], a altura de líquido [m] e a pressão [N/m}2_{] (ou [Pa]).}

Devido a sua grande importância, dividiremos o estudo dos sistemas hidráulicos em dois grandes ramos: (a) Sistemas de nível de líquido;

(b) Sistemas servo-hidráulicos.

Algumas características dos líquidos que indicam sua aplicação são: positividade, precisão, flexibilidade de uso, alta relação potência/peso, rápidas partida e parada, reversão de movimento com suavidade e precisão. Por esse motivo, o conhecimento de sistemas hidráulicos é básico na formação de engenheiros, principalmente engenheiros mecânicos, químicos e de controle e automação.

A maior parte dos sistemas hidráulicos é não-linear. Às vezes, contudo, é possível linearizar tais sistemas, de modo a reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam ainda suficientemente precisas. Nos exemplos que veremos será mostrada uma técnica de linearização usando o desenvolvimento em Série de Taylor.

Um estudo mais detalhado dos componentes de um sistema servo-hidráulico será feito nas disciplinas de Sistemas Fluidomecânicos, Controle Hidráulico e Pneumático e Laborat6rio de Controle Hidráulico e Pneumático. Aqui, portanto, serão apresentados apenas os conceitos básicos necessários para o entendimento da sua modelagem matemática.

2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA HIDRÁULICO

Os sistemas hidráulicos exibem três tipos de propriedades que podem ser aproximadas por parâmetros concentrados: resistência, capacitância e inertância. Apresentaremos apenas as duas primeiras propriedades, já que a inertância, que leva em conta a energia cinética do líquido, normalmente é desprezível para as baixas velocidades encontradas industrialmente.

RESISTÊNCIA HIDRÁULICA

Quando um líquido escoa em uma tubulação, dá-se uma queda na pressão do líquido ao longo da mesma, devida ao atrito com as paredes da tubulação, a qual é conhecida como perda de carga normal. Também ocorre uma queda de pressão sempre que o líquido passa através de acidentes, tais como curvas, válvulas, orifícios, restrições, alargamentos, contrações, etc., a qual recebe o nome de perda de carga acidental. Tais quedas de pressão normalmente são descritas por expressões algébricas não lineares que relacionam a vazão volumétrica com a queda de pressão. Por exemplo, a expressão

(1) Q = k ∆P

descreve razoavelmente bem a relação entre a vazão volumétrica Q e a queda de pressão ∆P no caso de um escoamento turbulento de um líquido através de um orifício ou de uma válvula como a ilustrada na fig. 1:

Fig. 1

Na eq. (1), k é uma constante que depende das características do escoamento, da tubulação, válvula ou orifício, a qual deve ser obtida experimentalmente. Uma representação gráfica da eq. (1) é mostrada na fig. 2, onde (∆P−,Q− ) é o ponto de operação:

Fig. 2

Como a eq. (1) é uma relação não linear, devemos linearizá-la em torno do ponto de operação, a fim de obter um modelo matemático linear para o sistema hidráulico. Para isso, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 2) e definimos como resistência hidráulica R o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: (2) 1 ₌ dQ − ∆ ∆P _P d R

Desenvolvendo a eq. (1) em série de Taylor em torno do ponto de operação e retendo apenas os termos lineares: (3) ( P P) P d dQ P − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ₋ Q Q =

Podemos, agora, definir as variáveis incrementais Q^ e ∆^Pcomo (4a) Q^ = Q − Q−

(4b) ∆P^ = ∆P − ∆P−

Levando as eqs. (2), (4a) e (4b) na eq. (3) obtemos:

^ ^ Q P R = ∆ (5)

Por outro lado, a eq. (1) pode ser aplicada no ponto de operação, logo: Q− =k ∆P−

Derivando e usando a eq. (2), chegamos a

(6) ₂

Podemos, também, exprimir R em termos de . Para isso, da eq. (1) obtemos Q− k P R − ∆ =

Q− = k ∆−P

que, levada na eq. (6), nos permite chegar a

2 k Q 2 R − = (7)

Os sistemas hidráulicos típicos são compostos por tubulações, válvulas, orifícios, etc., sendo que tais elementos possuem suas resistências hidráulicas. Assim, muitas vezes necessitamos combinar tais resistências hidráulicas em série e/ou paralelo, de modo que é extremamente útil desenvolver expressões para essas associações.

Associação série

Consideremos a fig. 3, na qual temos duas válvulas de constantes ka e kb e resistências hidráulicas Ra e Rb em série, assim como uma válvula equivalente de constante keq e resistência hidráulica Req. Queremos achar keq e Req.

Fig. 3

Tendo em vista que as duas válvulas estão em série, elas têm a mesma vazão volumétrica Q, sendo que a diferença total de pressão é (usando a eq. (1)):

∆P = ∆Pa + ∆Pb = ₂ 2 b 2 a Q ) k 1 k 1 ( + donde obtemos P k k k k Q 2 b 2 a b a _∆ + =

Comparando essa última expressão com a eq. (1), vemos que

(8) 2 b 2 a b a eq k k k k k + = Aplicando a eq. (7) para a válvula equivalente:

_       + = − − 2 b 2 a 2 eq eq k 1 k 1 Q 2 k Q = 2 R

Por outro lado, aplicando a eq. (7) para as válvulas a e b:

₂ b b 2 a a k Q 2 R e k Q 2 R − − = =

o que permite concluir que

(9) Req = Ra + Rb

que é a mesma expressão para resistências elétricas em série, o que vem mostrar a existência de uma

analogia eletro-hidráulica. Generalizando a eq. (9) para n resistências hidráulicas em série:

(10)

∑

Podemos nos valer da conclusão anterior sobre a analogia eletro-hidráulica para estabelecer simplesmente que a resistência hidráulica equivalente a n resistências hidráulicas em paralelo é dada por

(11) _{R =}

∑

Quando um líquido é armazenado em um reservatório aberto, existe uma relação algébrica entre o volume de líquido e a pressão no fundo do reservatório. Se a área da seção reta do reservatório é dada pela função A(h), onde h é a altura da superfície livre do líquido em relação ao fundo do reservatório, então o volume de líquido é dado por

(12) =

∫

0A( )d

V

onde λ é uma variável muda usada na integração.

Por outro lado, a pressão absoluta no fundo do reservatório e a altura de líquido h estão relacionadas por

(13) P = Pa + ρgh

onde Pa é a pressão atmosférica (nas condições normais de temperatura e pressão Pa = 1,013 x 105 N/m2), g é a aceleração da gravidade (usualmente g = 9,81 m/s2_{) e ρ é a massa específica do líquido em kg/m}3_. As eqs. (12) e (13) estão ligadas pela variável h, de modo que é possível obter uma relação não linear entre P e V. A fig. 4 mostra uma curva característica típica dessa relação:

Para linearizar tal relação, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 4) e definimos como capacitância hidráulica C o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja:

(14) C = _dP1

dP dV dV

= A partir da regra de cadeia da derivação, podemos escrever

(15) dP dh dh dV C =

Por outro lado, da eq. (12) tiramos dV/dh = A(h) e da eq. (13) obtemos dh/dP = 1/ρg, de modo que podemos rescrever a eq. (15) como

A g ) h ( C ρ = (16)

Da eq. (16) podemos verificar facilmente que a unidade SI de C é [m5_/N].

No caso de reservatórios com seção reta constante A, a eq. (12) reduz-se a V = Ah, de modo que podemos substituir h = V/A na eq. (13) para obter

(17) V P_a A g + P = ρ

que é a equação de uma reta, conforme mostra a fig. 5:

Fig. 5

Da definição de capacitância podemos facilmente obter, para esse caso:

(18) _C

g A ρ =

O volume instantâneo de líquido em um reservatório é dado pela integral da vazão volumétrica líquida que entra no reservatório, somada ao volume inicial, ou seja:

V(t) = V(0) +

∫

t 0 i

Derivando, obtemos uma forma alternativa:

(19) Q(t) = Qi(t) - Qo(t)

que nada mais é do que a equação da continuidade para um fluido incompressível: A vazão instantânea é igual à vazão que entra menos a vazão que sai do

reservatório

No caso de reservatórios com seção reta variável A(h), podemos obter uma expressão para a variação temporal da altura h a partir da regra de cadeia da derivação:

dt dh dh dV dt = dV Q =

onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dh é dada por dV/dh = A(h). Logo, podemos isolar dh/dt para chegar a (20) _h. 1 = [Q(t) Q (t)] ) h ( A i − o

Da mesma forma, podemos obter uma expressão para a variação temporal da pressão P no fundo do reservatório a partir da regra de cadeia da derivação:

dt dP dP dV dt dV Q = =

onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dP = C(h). Logo, podemos isolar dP/dt para chegar a P. = [Q(t) Q (t)] ) h ( C 1 o i − (21)

onde C(h) é dada pela eq. (16).

Exemplo: Consideremos um reservatório formado por um cilindro de diâmetro D e comprimento L que

contem um líquido de massa específica ρ. Achar a capacitância hidráulica do reservatório para as posições (a) e (b) da fig. 6.

Solução

(a) Nesta configuração A = constante = πD2_{/4, logo podemos usar a eq. (18):} g 4 D g A Ca = _ρ = π_ρ2

(b) Agora, A varia com a altura h. Do triângulo OAB, ilustrado na fig. 7, podemos tirar:

2 2 2 2 )] h D ( 2 D [ ) 2 D ( 2 y OA OB AB − − − = − = Após simplificações: _{Y = 2 Dh − h}2 Usando a eq. (16): g h Dh L 2 g yL g ) h ( A C_b 2 ρ − = ρ = ρ =

3 FONTES DE ENERGIA HIDRÁULICA

Na imensa maioria dos sistemas hidráulicos industriais a fonte de energia é uma bomba, a qual normalmente é acionada por um motor elétrico. A representação simbólica de uma bomba está mostrada na fig. 8:

Relações típicas obtidas experimentalmente entre a diferença de pressão ∆P e a vazão volumétrica Q estão mostradas na fig. 9 para diferentes velocidades de rotação da bomba. Podemos notar, na fig. 9, a não linearidade de tais relações.

Fig. 8

Para fazer a linearização, devemos inicialmente determinar o ponto de operação para a velocidade de rotação em regime permanente, calculando os valores de ∆ , conforme ilustra a fig. 10. Após, traçamos a tangente a curva no ponto de operação, e definimos a sua inclinação como sendo - K, a qual tem unidades [N.s/m

-Q e P−

5_{] no SI. Tendo feito isso, podemos exprimir a diferença de pressão incremental em} termos da vazão volumétrica incremental como

(22) ∆^P = −KQ^

onde K é sempre positiva. Resolvendo a eq. (22) para , obtemos Q^

(23) ^ ^P

K 1 _∆ Q = −

Para obter a relação linear dada pela eq. (23) podemos desenvolver Q em série de Taylor retendo apenas os termos lineares: (24) ( P P) P d dQ P − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + − Q Q =

Comparando as eqs. (23) e (24), vemos que ₋

∆

∆P _P d

dQ _{é a inclinação da tangente à curva Q = Q(∆P) no ponto}

de operação, dada por -1/K.

4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO

Vamos considerar um exemplo ilustrativo.

Exemplo Ilustrativo: Seja o sistema de nível de líquido simples da fig. 11:

Sendo a vazão volumétrica na saída da válvula, Qo(t), dada pela relação não linear Qo = k P − Pa onde P

é a pressão absoluta no fundo do reservatório e Pa é a pressão atmosférica, desenvolver um modelo matemático linearizado para o sistema, sendo a entrada Qi(t) e a saída P(t).

Solução

Como a seção reta do reservatório é constante, temos C(h) = constante = C, logo a eq. (21) se torna [Q(t) Q (t)] ) h ( C i o . − 1 P=

Aplicando a eq. (1) à válvula de saída, Q_o = k P − P_a

logo (25) [Q (t) k P P ] C 1 a i . − − = P

Para linearizar o modelo, vamos desenvolver a eq. (25) em série de Taylor, retendo apenas os termos lineares: [Q(t) k P P ]] (Q Q ) C 1 [ dQ d P P _i __i Q a i i _ . i _ . −       − − + =

Podemos rescrever a equação acima em termos das variáveis incrementais (26) P^ = P − P− (27) = i − −i ^ i(t) Q(t) Q Q obtendo (28) ^_i Q i a i ^ Q a i ^ Q ) dQ dP P P 2 1 k 1 ( C 1 Q )] P P k ( dQ d 1 [ C 1 i _ i _ .         − − =       − − = P

Por outro lado, P e Qi devem satisfazer a eq. (1), isto é Q_i =k P−P_a donde tiramos _{a 2} Q_i2 k 1 P P= + Derivando a equação acima em relação a Qi:

(29) _{2 i}

i k Q

2 dQ

dP ₌

(30) ^_i a i _ i ^ Q i a ^ Q ) P P k Q 1 ( C 1 Q ) Q k 1 P P 1 1 ( C 1 i _ . − − =         − − = P Multiplicando a eq. (30) RC: ^_i a i _ i ^ i ^ a i _ ^ Q P P k Q R Q R Q ) P P k Q 1 ( R P RC . − − = − − =

Levando em conta a eq. (1) aplicada ao ponto de operação e a eq. (5) (definição de R), temos i _i _ ^ i ^ i ^ a i _ i ^ ^ i ^ ^ Q Q P Q R Q P P k Q Q P Q R P RC . − = − − =

donde chegamos ao modelo linearizado em termos das variáveis incrementais:

) t ( Q R P P RC ^ ^_i . ^ = + (31)

que é uma EDOL de 1a _{ordem, não homogênea. Notemos que o produto RC tem dimensão de tempo e é} definido como a constante de tempo do sistema:

(32) τ = RC

Podemos escrever a eq. (31) em termos de Qo Para isso, basta derivar a eq. (29) em relação ao tempo e substituir na eq. (31), donde obtemos

) t ( Q Q Q RC _o ^_o ^_i . ^ = + (33)

que é também uma EDOL de 1a _{ordem, não homogênea. Podemos observar que o sistema de nível de líquido} é análogo ao circuito elétrico e ao sistema mecânico das fig. 12 e 13, respectivamente:

Fig. 12 Fig. 13

(34) _RCde _{+e =e} (35) i o dto o o i . x x x k c _{+ =}

Comparando as eqs. (33), (34) e (35), temos a seguinte analogia eletro-mecânica-hidráulica:

Sistema Hidráulico Sistema Elétrico Sistema Mecânico

R R b C C 1/k i ^ Q ei xi o ^ Q eo xo

5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS SERVO-HIDRÁULICOS

Será ilustrada através de exemplos.

Exemplo Ilustrativo

A fig. 14 mostra um servo-hidráulico consistindo de uma válvula deslizante de controle e de um cilindro hidráulico, o qual constitui a unidade de potência do sistema. Os parâmetros do sistema envolvidos são: ps = pressão manométrica (acima da pressão atmosférica) de serviço, [Pa];

po = pressão manométrica de retorno, [Pa];

p1 e p2 = pressões manométricas nas tubulações 1 e 2, respectivamente, [Pa];

q1 e q2 = vazões mássicas nas tubulações 1 e 2, respectivamente (saídas do sistema), [kg/s]; x = deslocamento da válvula deslizante (entrada do sistema), [m];

y = deslocamento do pistão de potência, [m];

A1 e A2 = áreas dos orifícios 1 e 2, respectivamente, [m2]; c1 = c2 = c = coeficientes de descarga dos orifícios;

Fig. 14

Hipóteses simplificadoras (HS):

(1) a válvula "fecha" perfeitamente os orifícios, não havendo nem sobrepassagem e nem subpassagem, em relação ao orifício;

(2) as áreas dos orifícios 1 e 2 são proporcionais ao deslocamento x da válvula (a entrada do sistema); (3) os coeficientes de descarga dos orifícios e a queda de pressão através dos orifícios são

constantes, não dependendo da posição da válvula, ou seja, não dependem de x;

(4) a pressão de retorno po é muito pequena, podendo ser considerada nula, já que o ó1eo vai para um reservatório que normalmente está aberto à atmosfera, i.é, po = 0;

(5) o fluido hidráulico (ó1eo) é considerado incompressível, i.é., o seu peso específico é assumido como constante: γ = constante;

(6) as forças de inércia e de atrito viscoso são desprezíveis na presença da força hidráulica desenvolvida pelo pistão hidráulico;

(7) as vedações do cilindro hidráulico e da válvula são perfeitas, não havendo passagem de ó1eo de um lado para o outro dos pistões.

Vamos obter a função de transferência do sistema, considerando como entrada o deslocamento x da válvula de controle e como saída a vazão volumétrica de óleo q1. Devido à HS2:

A1 = A2 = kx

onde k é uma constante de proporcionalidade. A vazão através dos orifícios (ver textos de Mec Flu) é dada por: x p g 2 ck p g 2 cA ) p p ( g 2 cA q x p p g 2 ck ) p p ( g 2 cA q 2 2 2 o 2 2 2 1 s 1 s 1 1 γ = γ = − γ = − γ = − γ =

Fazendo ck γ g 2 _{= constante = C} Temos: x p C q x p p C q 2 2 1 s 1 = − = Da Equação da Continuidade: q1 = q2 Logo ps – p1 = p2 Definindo a queda de pressão no pistão como

∆p = p1 - p2 então p1 = ps – p2 = ps – p1 + ∆p

p1 = (ps + ∆p)/2 Também p2 = (ps - ∆p)/2 E a vazão q1 pode ser dada por

2 x f(x, p) p p C q s 1= −∆ = ∆

a qual é uma função não-linear. Vamos linearizar a equação em torno do ponto de operação 0 q e 0 p , 0

x_= ∆_= _₁= , usando a Série de Taylor e retendo apenas os termos lineares:

( p 0) p f ) 0 x ( x f 0 ) p p ( p f ) x x ( x f q q₁ _₁ _ _ ∆ − ∆ ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = ∆ − ∆ ∆ ∂ ∂ + − ∂ ∂ + =

onde as derivadas parciais são obtidas no ponto de operação (0, 0, 0), ou seja:

0 ) 2 1 ( 2 p p 1 2 1 Cx p f 2 p C 2 p p C x f ) 0 , 0 , 0 ( s s ) 0 , 0 , 0 ( s = − ∆ − = ∆ ∂ ∂ = ∆ − = ∂ ∂ Logo: q1 = C 2 ps _x Chamando C 2 ps _{= constante = K} p Então: q1 = Kp x

(36)

Em termos de função de transferência: Q1(s) = Kp X(s)

Logo (37) G(s) = ) s ( X ) s ( Q_{1 = K} p

O que mostra que a saída é diretamente proporcional à entrada:

Vejamos o que ocorre se for escolhida como saída o deslocamento do pistão hidráulico, y(t). A Equação da Continuidade aplicada ao cilindro hidráulico permite que escrevamos:

q1 = ρA

dt dy

onde ρ = γ/g é a massa específica do fluido hidráulico, [kg/m3_] A = área do pistão hidráulico, [m2_]

dt

dy = velocidade do pistão hidráulico, [m/s] Como já vimos (eq. (36)) que q1 = Kpx

então ρA dt dy _{= K} px donde dy = A Kp ρ xdt Chamando A Kp ρ = constante = Ki então dy = Kixdt e y = Ki

∫

Y(s) = Ki X(s) s 1 donde (38) s K ) s ( X ) s ( Y ) s ( _{= =} i G

Exemplo Ilustrativo

Seja o sistema hidráulico mecânico da fig. 15.

Fig. 15

Serão adotadas as mesmas HS anteriores, com exceção das HS5 e HS7, ou seja, agora o fluido apresenta uma certa compressibilidade

existe passagem entre os pistões e os cilindros Além disso, a HS6 só valerá em parte, devendo ser

considerada a força de inércia do pistão hidráulico, cuja massa será acrescentada à massa do sistema mecânico, ou seja, m representa as duas massas.

A obtenção do modelo matemático é feita separadamente para os sistemas hidráulico e mecânico.

Sistema hidráulico

Conforme já foi visto, a vazão q é dada, após linearização, por

(36) q = Kpx

(39) q = qo + qL + qC onde qo = vazão útil, que move o pistão

qL = vazão através da folga entre pistão e cilindro qC = vazão equivalente à compressibilidade

Expressões para qo, qL e qC:

• Equação da Continuidade aplicada ao pistão hidráulico:

(39) qo = A ρ dy/dt

• A componente qL pode ser escrita como

(40) qL = L ∆p

onde L = coeficiente de vazamento do sistema (constante)

• Para obter qC, temos que levar em conta o módulo de expansão volumétrica:

V dVp d Kc − ∆ =

onde V é o volume de óleo sob compressão (notemos que como dV é negativa, o sinal (-) faz com que KC

seja positivo). Então:

p d K V dV c ∆ = − dt p d K V dt dV c ∆ ρ = − ρ (41) _q dt p d K V c c = ρ ∆

Levando as eqs. (38), (39), (40) e (41) na eq. (36), obtemos:

(42) _{A K x} dt p d K V p L dt dy p c = ∆ ρ + ∆ + ρ Sistema mecânico

Por outro lado, a equação diferencial do sistema mecânico acionado pelo cilindro hidráulico é obtida aplicando-se a 2a _{Lei de Newton:}

2 2 2 2 y dt y d m ky dt dy c p A dt y d m F = ⇒ ∆ − − =

∑

(43) _{∆ =} 1 ₍ d _ky) dt dy c dt y m A p 2₂ + +

Derivando em relação ao tempo:

) dt dy k dt y d c dt y d m ( A 1 dt p d 2 2 3 3 + + = ∆ (44) Sistema hidráulico-mecânico

Levando as eqs. (43) e (44) na eq. (42):

x K ) dt dy k dt y d c dt y d m ( A K V ) ky dt dy c dt y d m ( A L dt dy A ₂ p 2 3 3 c 2 2 = + + ρ + + + + ρ

Ordenando, chegamos ao modelo matemático constituído por uma EDOL de 3a _ordem: x K y A Lk dt dy ) A K Vk A cL A ( dt y d ) A Lm A K Vc ( dt y d A KVm 2 c p 2 c 3 3 c + = ρ + + ρ + + ρ + ρ (45) Exemplo Ilustrativo

Como um terceiro exemplo, consideremos o atuador hidráulico da figura 16:

O atuador hidráulico é capaz de fornecer grandes aumentos de potência. O fluido hidráulico está disponível a partir de uma fonte de pressão constante. Considera-se o líquido incompressível. Um deslocamento x(t), para baixo, move a válvula de controle e faz com que o líquido force o pistão para baixo, levando a carga M a deslocamentos maiores, y(t). A vazão volumétrica Q é função do deslocamento x(t) (excitação) e da diferença de pressão nas faces do pistão, P:

Fig. 16

Linearizando a eq. (46) pela série de Taylor: (47) P P g x x g ) P P ( P g ) x x ( x g P x , P x P , x 0 P x , P 0 x P , x_{0 0 0 0 0 0} ∂ _{0 0} ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + − ∂ ∂ = Q

onde (x0,P0) é o ponto de operação. Chamando: (48) 0 x x =_∂∂_xg K (49) 0 P P = _∂∂_Pg K a eq. (47) fica: (50) Q=Kxx+K_PP

A força de excitação é dada pelo produto da área do pistão, A, pela diferença de pressão P. Logo, aplicando a 2a _{Lei de Newton ao pistão: −AP−cy}. _=My..

Levando o valor de P da eq. (50) na equação acima: _x . ..

P (K .x Q) cy My

K

A _{− − =}

ou, como Q=Ay. , temos, após ordenamento:

(51) x K K . A y ) K A c ( y M P x . P 2 .. = + + que é o modelo matemático do sistema. Para achar a função de transferência:

) s ( X K AK ) s ( sY ) K A c ( ) s ( Y Ms P x P 2 2 _{+ + =} (52) s ) K A c ( Ms K AK ) s ( X ) s ( Y P 2 2 P x + + =

Notemos que para um atuador em alta pressão e requerendo resposta rápida da carga, o efeito da compressibilidade do fluido deve ser levado em conta. Neste caso, a eq. (52) se tornaria bem mais complexa.

EXERCÍCIOS

1 Desenvolver um modelo matemático para o sistema da figura, constituído por um sistema de nível

Resp.: 1 2 1 1 1 1dh_{dt R}h q _Rh C + = + 1 1 2 2 1 2 2dh_dt (_R1 _R1 )h _Rh C + + =

2 Desenhar o circuito elétrico análogo ao sistema de nível de líquido do Exercício 1.

3 No sistema de nível de líquido da figura, o nível H inicialmente é igual a 1 m. No instante t = 0, é aberto o registro de enchimento e é atingida uma vazão constante de 0,05 m3_{/s. A capacitância} do tanque é de 2 m2_{. Admitindo que a vazão de saída Q e a carga H estão relacionadas pela} expressão Q = 0,02 H, para H em m e Q em m3_{/s, calcular o tempo necessário para que o} líquido atinja o nível de 2,5 m.

Resp.: 116,23 s

4 A fig. (a) mostra um sistema hidráulico em que uma bomba envia um líquido de massa específica ρ para o interior de um reservatório de seção reta A. As características da bomba estão mostradas na fig. (b), onde α e β são, respectivamente, a vazão máxima e a diferença de pressão máxima. A

válvula encontra-se inicialmente fechada e, no instante t = 0, é aberta. Desprezando a resistência da válvula, pedem-se:

(a) verificar que a altura h(t) do líquido dentro do reservatório, após a abertura da válvula, é dada pela EDOL

A h A g . _α =       β αρ + h ;

(b) expressões para a constante de tempo e a altura h em regime permanente; (c) resolver a EDOL, obtendo uma expressão para h(t).

Resp.: (b) g A αρ β = τ (c) (1 e ) g ) t ( t τ − − ρ β = h

5 Considerando o deslocamento do pistão x como entrada e o deslocamento do cilindro y como saída, achar a função de transferência do sistema hidráulico da figura, onde q é a vazão mássica em kg/s do fluido de massa específica ρ constante e A é a área do pistão. Desprezar a força de inércia.

Resp.: ρ + = 2 RA k s s ) s ( X ) s ( Y