PTC Programação Matemática Aplicada a Controle

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PTC3420 - Programação Matemática

Aplicada a Controle

Oswaldo Luiz do Valle Costa

PTC - EPUSP

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Conteúdo

1) Programação Linear

2) Programação Não Linear Sem Restrições

3) Programação Não Linear Com Restrições de Igualdade 4) Aplicações Para Controle Ótimo

5) Programação Não Linear Com Restrições de Igualdade e

Desigualdade

Agradecimento: Agradeço a Profa. Celma de Oliveira Ribeiro por ter fornecido os arquivos latex do curso PRO-3341-Modelagem e Otimização de Sistemas de Produção, que foram parcialmente usados na preparação das aulas desse curso.

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Bibliografia

1) Linear and Nonlinear Programming, David G. Luenberger,

Yinyu Ye, Springer, 2015.

2) Linear Programming and Network Flow, Mokhtar S. Bazaraa,

John J. Jarvis, Hanif D. Sherali, Wiley, 2011.

3) Nonlinear Programming, Dimitri P. Bertsekas, Athena

Scientific, 2016.

4) Introduction to Mathematical Programming: Applications and

Algorithms, Wayne L. Winston, Munirpallam Venkataramanan, Thomson, 2002.

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Objetivo do Curso Estudar problemas do tipo:

min f (x) sujeito a x ∈ X onde x ∈ Rn_{. Deseja-se determinar x}∗

∈ Rn _{tal que x}∗

∈ X e f (x∗) ≤ f (x) para todo x ∈ X.

Note que

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Programação Linear (PL)

Os problemas de programação linear caracterizam-se por: Função objetivo linear

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Forma Matricial

Os problemas de programação linear podem ser escritos na forma matricial: min c0x sujeito a A1x = b1 A2x ≤ b2 x ≥ 0 em que c ∈ Rn_{, x ∈ R}n_{, A} 1∈ Rm1×n, A2 ∈ Rm2×n, b1 ∈ Rm1, b2∈ Rm2. • _Rm×n_{→ matrizes m × n.}

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Programação Linear - Forma Padrão

Veremos que os problemas de PL podem ser colocados na forma padrão abaixo. min c0x sujeito a Ax = b, x ≥ 0. i) A ∈ Rm×n, onde m < n ii) c ∈ Rn iii) b ∈ Rm

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Programação Não-Linear a) Sem restrições min f (x) sujeito a x ∈ Rn b) Com restrições min f (x) sujeito a hi(x) = 0, i = 1, . . . , n gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . , r, x ∈ Rn

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Conceitos básicos - Programação Linear

Região Factível ou Viável

A região viável é a interseção das regiões definidas tanto pelo conjunto de restrições, como pelas condições de não negatividade das variáveis.

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Exemplos de PL

Exemplo 1 - Resolução Gráfica max z = 5x1 + 3x2

s.a 3x1 + 5x2 ≤ 15

5x1 + 2x2 ≤ 10

xj ≥ 0 j = 1, 2

Esboce graficamente a região de factibilidade

Esboce as curvas de nível da função objetivo e determine uma solução do problema

O que aconteceria se a função objetivo fosse f (x) = 5x1+ 2x2?

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Exemplos de PPL

Exemplo 2 - Resolução Gráfica max z = 3x1 - x2

s.a −3x1 +3x2 ≤ 6

−8x1 + 4x2 ≤ 4

xj ≥ 0 ∀j

Esboce graficamente o conjunto de pontos viáveis

Esboce as curvas de nível da função objetivo e determine uma solução do problema

O que aconteceria se a função objetivo fosse f (x) = −3x1+ x2

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Exemplos de PPL

Exemplo 3 - Re-escreva com restrições de desigualdade e 3 variáveis

max 5x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + x5

s.a x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 8

3x1 + 4x2 + x3 + x5 = 7

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Exemplos de PPL

Exemplo 4 max x1+ x2 s.a x1+ x2 ≤ 1 x1+ x2 ≥ 2 xj ≥ 0 ∀ j

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Tipos de problemas de programação linear

Quanto ao conjunto de pontos viáveis

   Viável Limitado Ilimitado Inviável

Quanto à existência de solução Viável

Tem solução ótima Ilimitado

Quanto ao conjunto de soluções ótimas

Possui solução única

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Tipos de problemas de programação linear

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Tipos de problemas de programação linear

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Forma Matricial

Considere o problema de Programação Linear

max 5x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + x5

s.a x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 8

3x1 + 4x2 + x3 + x5 = 7

xj ≥ 0 ∀j

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Conceitos básicos - Programação Linear

Variáveis x = x1 x2 x3 x4 x5 0 (5 × 1) Coeficientes da função objetivo

c = − 5 2 3 −1 1 0 (5 × 1) Matriz de coeficientes A = 1 2 2 1 0 3 4 1 0 1 Lado direito b = 8 7

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Conceitos básicos - Programação Linear

Na forma matricial min c0x s.a Ax = b x ≥ 0 Forma Padrão

O problema acima está escrito na forma padrão Restrição de igualdade

Problema de minimização Variáveis x ≥ 0

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Forma padrão

Transformação para a forma padrão

Os problemas de programação linear não necessariamente estão na forma padrão, porém é possível transformá-los.

Restrições de ≤

É introduzida uma variável de folga, Pn j=1aijxj ≤ bi ⇔ Pn j=1aijxj+ yi = bi yi ≥ 0 Restrições de ≥

É introduzida uma variável de excesso, Pn j=1aijxj ≥ bi ⇔ Pn j=1aijxj− yi = bi yi ≥ 0 Problema de maximização

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Quanto ao sinal das variáveis xj ≤ 0

Considera-se a mudança de variáveis yj = −xj ≥ 0

xj ∈ R

Variável pode ser escrita como a diferença entre duas variáveis não negativas, de tal forma que:

xj = x+_j − x−_j

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Forma padrão

Exemplo - Transformação para a forma padrão A empresa Couro Duro S/A fabrica cintos de dois tipos: Luxo e Regular.

O cinto de luxo requer 2 horas de mão de obra e 1 metro quadrado de couro. O cinto regular necessita de 1 hora de mão de obra especializada e a mesma quantidade de couro. Disponibilidade semanal: 40 metros quadrados de couro e 60 horas de mão de obra

Contribuição para lucro: $ 3 nos regulares e $ 4 nos de luxo

1 Formule um modelo matemático para maximizar os ganhos

semanais

2 Coloque o modelo na forma padrão e interprete as novas

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exemplo

Converta o seguinte problema para a forma padrão:

max 3x1 + 2x2 + 7x3

s.a 2x1 + 3x2 ≤ 42

2x1 - x3 ≤ 18

3x1 - x2 + 4 x3 ≥ 24

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Exemplo Considere o problema max 3x1 + 2x2 s.a x1 + x2 ≤ 2 x1 + 3x2 ≤ 3 x1 ≥ 0 x2≥ 0

Represente o problema graficamente Coloque-o na forma padrão

Identifique os vértices do problema original com pontos do problema na forma padrão

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