Um Modelo Analítico de Estabilidade de Poços Baseado em Princípios de Conservação de Energia

Um Modelo Analítico de Estabilidade de Poços Baseado em

Princípios de Conservação de Energia

Rodrigo P. de Figueiredo

Depto de Engenharia de Minas, Escola de Minas, UFOP, Ouro Preto, Brasil Hélio Maurício Santos

IMPACT Solutions Group, UK

Eurípedes do A. Vargas Jr.1,2; Raquel Q. Velloso1

1 _{Depto. de Engenharia Civil, PUC-RIO –}2 _{Instituto de Geociências, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil}

Armando P. Menezes Fo

CENPES, PETROBRAS, Rio de Janeiro, Brasil

RESUMO: São apresentados os primeiros resultados de um modelo analítico da formação de

breakouts em poços, fundamentado nas idéias de conservação de energia estabelecidas por Griffith.

A dedução teórica propriamente dita foi feita com base na Teoria Geral das Eigenstrains (TGE), originada no trabalho seminal de Eshelby sobre inclusões elipsoidais em meios elásticos infinitos. Tal teoria permite determinar, entre outras várias coisas, a energia liberada pela introdução de furos em tais meios. Assim, admitindo-se que um breakout é o resultado de uma transformação na seção do furo, de circular para elíptica, é possível, igualando-se as energias liberadas na sua formação às energias de superfície envolvidas na geração e/ou propagação de microfissuras, estabelecer uma expressão analítica muito simples para a sua extensão final. A única propriedade mecânica necessária é a Energia de Superfície. Uma avaliação expedita da mesma, com base unicamente em ensaios laboratoriais de compressão uniaxial/triaxial, é proposta e os respectivos resultados demonstrados para o arenito Rio Bonito. Um aspecto relevante do modelo é incorporar, além das energias mecânicas (devidas às tensões in situ e à pressão da lama), também o efeito de variações de temperatura no interior do poço. Finalmente, apresenta-se um exemplo de utilização do modelo, para um poço hipotético aberto no arenito Rio Bonito.

PALAVRAS-CHAVE: Estabilidade de Poços, Princípios de Conservação de Energia, Inclusões de Eshelby, Teoria Geral das Eigenstrains, Balanço Energético de Griffith, Breakouts.

1 INTRODUÇÃO

A utilização de princípios de conservação de energia na formulação de um modelo analítico para avaliação da estabilidade de poços foi sugerida por Santos (1997). A motivação seria uma maior facilidade, comparativamente aos procedimentos clássicos de análise de tensões, para a incorporação de eventos comuns durante a perfuração como: variações de temperatura, interação rocha-fluído etc. As referências a problemas de estabilidade associados a tais fenômenos são crescentes na literatura (Guenot, 1987; Fjaer et al. 1992, Rogiers 2002; Gautam & Wang 2002; Bérard & Cornet 2003 etc). Por outro lado, a pertinência de se formular

problemas de estabilidade em termos de energia é bem conhecida em mecânica das rochas (Jaeger & Cook 1979; Salamon 1984; Bazant et al. 1993 etc). Neste trabalho os resultados iniciais de um modelo para previsão de

breakouts, baseado nas idéias de Griffith (1921)

e Eshelby (1957), serão apresentados.

Inicialmente será deduzida uma expressão para a extensão do breakout, considerando somente o efeito das tensões in situ. Posteriormente, serão consideradas também a pressão interna da lama e variações de temperatura no interior do poço. Em ambos os casos, exemplos dos resultados do modelo serão apresentados, para um poço hipotético aberto no arenito Rio Bonito.

2 DEDUÇÃO TEÓRICA DO MODELO 2.1 Balanço Energético de Griffith

Griffith (1921) demonstrou que a propagação de uma fissura elíptica ocorrerá se, e somente se, a energia potencia total liberada no meio for exatamente o bastante para suprir a energia gasta na formação das novas superfícies. Tem-se um câmbio de energia, que em termos matemáticos é dado por (Shah et al. 1995)

S Ε ∆ − = ∆∆Π (1)

em que: ∆ES é a Energia de Superfície e ∆∆Π é

Energia Potencial Total Liberada pela extensão da fissura (Shah et al. 1995). Uma direta analogia com esse câmbio de energia será aqui aplicada à formação de breakouts.

2.2 Variações de Energia Potencial Associadas à Formação de Breakouts

Considere um plano elástico infinito sujeito a tensões principais in situ, σ1 e σ3, maior e

menor, respectivamente. Admita-se a existência de um furo circular no mesmo. O aparecimento de um breakout pode ser simplesmente interpretado como sendo uma transição na seção transversal, por exemplo, de uma forma inicial circular para uma elíptica final (Fig. 1). Figura 1. Formação de um breakout.

Com tal entendimento a Eq. (1) de Griffith pode ser aqui aplicada com a seguinte

interpretação: ∆∆Π seria a Energia Potencial Total Liberada pela transição entre as seções circular e elíptica e ∆ES é, igualmente, a Energia

de Superfície. Todavia, no presente contexto,

seria a energia gasta em todos os processos inelásticos induzindo a propagação de micro-fissuras, que resultam finalmente no breakout.

Para obtenção de ∆∆Π será utilizada a Teoria Geral das Eigenstrains (TGE), introduzida no trabalho seminal de Eshelby (1957) e estendida significativamente por Mura (1992). Tal teoria trata dos efeitos de heterogeneidades/inclusões elipsoidais em meios elásticos infinitos, das quais são casos particulares furos com seções transversais circular e/ou elíptica. A TGE permite, pois, entre outras coisas, determinar a Energia Potencial Liberada (∆Π) pela introdução de um furo circular ou elíptico num meio elástico infinito, senão vejamos (Mura, 1992): ) 2 3 3 ( ' 2 3 1 2 1 2 3 2 circular ₌₋π _{σ + σ − σ σ} ∆Π E R (2)a ] 2 ) 2 ( ) 2 [( ' 2 1 3 2 1 2 3 elíptico σ σ σ σ π aR a R a R R a E − + + + − = ∆Π (2)b

nas quais, _E'=_E/(1−υ2)_{; E é o Módulo de}

Young;υ é o Coeficiente de Poisson; a e R são como na Fig. 1.

A transição entre as seções circular e elíptica, que corresponde ao breakout, pode, portanto, ser simplesmente calculada como

circular elíptico _−∆Π

∆Π =

∆∆Π , que resulta em:

[

]

Igualando-se a expressão acima à ∆ES e

resolvendo a equação quadrática resultante para

a (extensão do breakout), obtém-se:       − − + ′∆ = ₂ 1 S 2 3 2 1 3 1 3 2 E 2 2 σ σ σ σ σ E R a (4)

Pode-se perceber que, uma vez conhecida ∆ES (do que trataremos na seqüência), tem-se

um modelo analítico bastante simples para determinar a extensão do breakout.

Caso as tensões in situ fossem hidrostáticas, com σ1 = σ3 = σ, o breakout simplesmente ampliaria as dimensões da seção transversal inicial, a qual permaneceria sendo circular. Passando, então, o raio inicial R para um valor σ1

σ3

R a

final a, a Eq. (3) ficaria: ' / ) ( 2 2 _a2_−R2 _E − = ∆∆Π πσ (5)

É interessante notar que a Eq. (5) coincide exatamente com a expressão de Salamon (1984), deduzida por método diferente, para a energia liberada pela expansão de cavidades de seção transversal circular.

2.3 Determinação de ∆ES

Supõe-se que a expansão do poço (breakout) ocorra de uma maneira progressiva, estando, durante todo o processo, a superfície do mesmo submetida à compressão simples. Assim, propõe-se determinar ∆ES via ensaios de

compressão uniaxial. A idéia pode ser entendida observando-se a Fig. 2. A área sob a curva da Fig. 2(a) − em cinza, correspondente a um comportamento elástico-linear perfeito, vem a ser a energia de deformação armazenada no corpo, que constitui parte da energia potencial total do mesmo (Chou & Pagano, 1992). Por outro lado, na Fig. 2(b) nota-se o comportamento real, com a área hachurada representando a energia gasta com todos os fenômenos inelásticos. Será admitido que tal área corresponde justamente à interpretação dada a ∆ES no item 2.1.

(a) (b)

Figura 2. Curvas tensão x deformação em compressão uniaxial: (a) elástica-linear perfeita; (b) inelástica real.

Assim, em princípio, ∆ES pode ser calculada

pela diferença entre as áreas sob as curvas elástica ideal e real de um ensaio de compressão uniaxial. Isso será feito, para o arenito Rio Bonito, em um exemplo a ser apresentado adiante.

2.4 Energia Potencial Total Associada à Pressão da Lama e Variações Térmicas no Interior do Poço

Utilizando um procedimento conhecido na TGE por Método das Inclusões Equivalentes (MIE − Eshelby 1957; Mura 1992), Figueiredo (2003)

estabeleceu as energias potenciais associadas ao trabalho da pressão interna de lama e às deformações induzidas por variações térmicas no interior do poço. Por limitação de espaço e dada a extensão da dedução a mesma não será reproduzida aqui. Apenas será indicada a expressão final obtida para a variação da Energia Potencial Total decorrente desses agentes, quando ocorre o breakout, a saber:

[

]

[

]

∆∆Π é a variação de energia potencial total associada à pressão p da lama e à variação térmica T no interior do furo; αé o Coeficiente de Dilatação Térmica Linear.

A expressão (análoga à Eq. (4)) para a extensão do breakout, porém incluindo T

p

∆∆Π ,

fica então dada por:

{ }       − + − − + + − ′ + ∆ ′ + − − = 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 S 2 3 2 1 3 1 3 2 E ( ) ( 4 )( ) 2 ( ) 2 2 p p p p T p T E E R a σ σ σ α σ σ α σ σ σ σ (7) 3 RESULTADOS OBTIDOS

Serão apresentados os resultados para um poço hipotético aberto no arenito Rio Bonito. Para tanto, foi calculado, a partir de ensaios de compressão uniaxial nessa rocha, o valor de ∆ES, conforme procedimento explicado no item

2.3. A Fig. 3 ilustra os resultados de tais ensaios.

Os parâmetros elásticos encontrados foram:

E = 2.15 GPa e υ = 0.21. Já a Resistência à Compressão Uniaxial (σc) está em torno de 6.5 MPa. ∆ES, por outro lado, é uma função do nível de tensão atuante, como se depreende da Fig. 3(b). 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 axial strain [%] 0 5 10 15 20 ax ia l st re ss [M P a] 0 10 20 30 40 stress [MPa] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 en er gy d en si ty [M P a] total energy stored energy released energy polynomial fit experiment elastic curve

(a) (b)

Figura 3. (a) Resultados dos ensaios de compressão uniaxial no arenito Rio Bonito (azul = curva real; verde = curva elástica ideal); (b) Curvas energia (área sob as curvas de (a)) x tensão (vermelho = ∆ES; laranja = ajuste

polinomial quadrático).

Para aplicação ao problema da formação de

breakouts, a função em questão, ∆ES(σ), foi

ajustada por um polinômio quadrático (curva laranja na Fig. 3(b)), qual seja:

C B A − + = ∆Ε σ σ2 σ S( ) (8) em que: A = 2.7 x 10-4; B = 2.4 x 10-3e C = 6.6 x 10-3. Por outro lado, sabe-se da solução de Kirsch (Jaeger & Cook 1979) que σ(no caso, a tensão tangencial à parede do furo) é função das tensões in situ: σ =3σ1−σ3. Assim, a expressão

da Eq. (4) fica dada especificamente por:

      − − + ′ − − − + = 2 1 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 3 2 ( (3 ) (3 ) ) 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ E A B C R a (9)

A Fig. 4 ilustra a extensão a do breakout (normalizada por R) em função de σ1 para valores de σ3de 15 e 20 MPa.

15 20 25 30 35 40 45

"in situ" stress,_{σ1 ∞}[MPa]

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a/ R σ 3 ∞= 15 MPa σ 3 ∞= 20MPa

Figura 4. Extensão do breakout em função de σ1.

Pode-se notar que para baixos valores de σ1 (16 e 21 MPa, respectivamente, para σ3 de 15 e 20 MPa) não há formação de breakout. Já para valores suficientemente altos, a extensão do mesmo cresce com σ1, sendo maior para um σ3 mais baixo, como seria de esperar.

A Fig. 5 ilustra, para o caso de σ3= 20 MPa, a influência de uma variação T de temperatura

no interior do poço, sem pressão de lama. Foi assumido α = 2 x 10-5(oC)-1 (Homand-Étienne, 1986). 20 25 30 35 40 45 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a/ R

σ

Figura 5. Extensão do breakout em função de σ1e T (σ3=

20 MPa).

Percebe-se que a extensão do breakout aumenta para um acréscimo de temperatura e vice-versa. A influência notada, todavia, não é muito grande. Tendência similar foi encontrada por Fjaer et al. (1992), que aponta, para os parâmetros em questão, uma variação nas tensões tangenciais à parede do furo de apenas ± 1.09 MPa. Cabe ressaltar que não foi considerado o efeito da temperatura sobre ∆ES(σ). Pode-se esperar que o mesmo seja

relativamente pequeno para os valores de T aqui exemplificados (Jaeger & Cook, 1979).

Na Fig. 6 está mostrada a influência da pressão da lama, para o caso de σ3 = 20 MPa e sem variação de temperatura. Há que se ressaltar que no ajuste polinomial da Eq. (8) tem-se agora σ =3σ₁−σ₃−p (Jaeger & Cook 1979). A rigor, deveriam ser realizados ensaios triaxiais, nos quais o efeito da pressão “confinante”, p, fosse levado em conta no ajuste polinomial aplicado à função ∆ES(σ). Todavia,

no atual estágio de desenvolvimento do modelo isso ainda não foi feito. Assim, serão aqui

adotados os mesmos coeficientes de ajuste (A, B e C) obtidos nos ensaios uniaxiais. Essa é uma hipótese conservadora que, no entanto, não invalida o principal objetivo do exemplo, que é de ilustrar, qualitativamente, o efeito da pressão da lama sobre a formação do breakout.

20 25 30 35 40 45 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a/ R

σ

Figura 6. Extensão do breakout em função de σ1e p (σ3=

20 MPa).

A influência da pressão interna é bastante mais sensível que aquela da temperatura, sempre no sentido de diminuir a extensão do

breakout. Como dito acima, o efeito de p sobre ∆ESnão foi considerado, o que acarretaria ainda

maiores reduções na extensão do breakout. Finalmente, a Fig. 7 mostra a superposição de ambos os efeitos: temperatura e pressão da lama (para σ3 = 20 MPa). As considerações feitas anteriormente sobre a independência da função ∆ES(σ) com relação a p e T continuam

válidas. Os resultados mostram nitidamente que a pressão é um parâmetro de maior relevância que a temperatura. 20 25 30 35 40 45 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

a/

R

σ

Figura 7. Extensão do breakout em função de σ1, p e T

(σ3= 20 MPa).

4 CONCLUSÕES

Foi apresentado um modelo para previsão da formação de breakouts, fundamentado em princípios de conservação de energia, que incorpora tanto o efeito térmico como o de interação rocha-fluído não-penetrante (pressão da lama).

A expressão que fornece a extensão do

breakout é bastante simples e requer como

único parâmetro da rocha a Energia de Superfície. Foi proposto que a mesma possa ser determinada diretamente a partir de ensaios de compressão. Presentemente, apenas ensaios uniaxiais estão disponíveis. Idealmente, no entanto, ∆ES(σ) deveria ser determinada em

ensaios triaxiais, às temperaturas e pressões de interesse. A formulação analítica apresentada não requererá, todavia, qualquer alteração.

O principal atrativo do modelo está na facilidade com que a introdução de novos efeitos de energia relevantes para a estabilidade do poço pode ser feita. Podem ser citados:

ciclos de carregamento-descarregamento (provocando eventualmente a fadiga da rocha); vibração da coluna de perfuração etc.

O modelo encontra-se ainda em fase de desenvolvimento e algumas limitações, além das experimentais já citadas, devem ser ressaltadas. Não foi contemplada, por ora, a possibilidade de rupturas por tração nas paredes do poço. Mais além, não foi admitida a hipótese de que o breakout pudesse provocar também uma expansão da seção do poço ao longo da direção de σ1 (vertical na Fig. 1). Tais “acréscimos” não representam dificuldades conceituais e são passíveis de simples solução com a utilização do MIE da TGE.

REFERÊNCIAS

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