MODELO DE PREDIÇÃO DA FLUÊNCIA COM BASE EM BANCO DE
DADOS DO LABORATÓRIO DE CONCRETO DE FURNAS: ESTUDOS
PRELIMINARES
Prediction of the creep based on database of the Furnas Concrete
Laboratory: Preliminary studies
BOTASSI, S. S. (1); CALMON, J. L. (2); SILVA FILHO, L. C. P (3); ANDRADE, M. A. S. (1)
(1) Eng. Civis; Departamento de Apoio e Controle Técnico de Furnas Centrais Elétricas S.A.; Caixa Postal 457, Goiânia - GO, Brasil - CEP74001-970 - concreto@furnas.com.br
(2) Professor Dr. Ing., Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil. Departamento de Engenharia Civil, Centro Tecnológico, Universidade Federal do Espírito Santo
email: calmont@npd.ufes.br
(3) Professor DSc., Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
email: lcarlos@genesis.cpgec.ufrgs.br
Resumo
Não são poucas as expressões matemáticas para predição da fluência em âmbito mundial. Algumas delas envolvendo diferentes variáveis e de grande complexidade no manuseio, outras mais simplificadas e relativamente precisas para certos casos particulares de aplicação. Porém, em sua maioria são obtidas em função de resultados de fluência de concretos produzidos em outros países, com materiais e processos de ensaios distintos dos nacionais. Percebe-se diante deste fato que o meio técnico brasileiro carece de modelos empíricos relacionados com resultados provenientes de ensaios próprios, mais adequados à realidade de aplicação em obras nacionais.
Sendo assim, apresenta-se neste trabalho um modelo de predição da fluência numa fase preliminar baseado em um histórico de resultados de ensaios realizados ao longo dos últimos anos pelo Laboratório de Concreto de Furnas Centrais Elétricas S.A. Foi adotado para a elaboração do modelo o método de regressão múltipla não-linear com base em mais de 80 ensaios. Esses ensaios foram realizados em concretos convencionais, muitos deles aplicados às estruturas de barragens, com consumo de cimento variando entre 174 a 500 kg/m3.
Palavra-Chave: Concreto; Fluência; Predição.
Abstract
A model of prediction of creep is presented in this work. It was adopted for the elaboration of this model the nonlinear method of multiple regression based of more than 80 tests done in the Furnas Centrais Elétricas Laboratories (Goiânia – Brazil). These assays had been made for conventional concrete, many of them applied the dams, with cement consumption varying between 174 kg/m3 and 500 kg/m3.
1 Introdução
O comportamento deformacional do concreto frente a carregamentos contínuos ao longo do tempo tem se mostrado bastante variado para diversas situações de aplicação, em detrimento dos inúmeros parâmetros influentes em seu mecanismo atuante, o que torna sua predição uma árdua tarefa, muitas vezes praticamente impossível. A fluência, como é mais conhecida, sofre influencias tanto do campo ambiental (umidade, temperatura ambiente, condições construtivas, etc) como dos próprios materiais componentes do concreto.
Hipóteses simplificadoras são utilizadas para tentar facilitar a modelagem da fluência do concreto. Isto pode gerar como conseqüência limitações de aplicação no campo prático e restrições quanto a sua fidelidade representativa quando se necessita de resultados mais acurados, o que levam muitas das expressões a se limitarem puramente ao contexto acadêmico e por conseqüência tornando-as obsoletas aos propósitos práticos.
2 Objetivo
Pretende-se neste trabalho propor uma expressão empírica, baseada em resultados estritamente de ensaios padronizados conforme norma brasileira NBR-8224 (ABNT, 1983), capaz de predizer o comportamento da fluência para concretos convencionais nas idades de início de carregamento variando entre 5 a 28 dias. Desta forma, pode-se conhecer a priori a ordem de grandeza em que o efeito da fluência atuará em peças estruturais, auxiliando ainda em termos comparativos o quanto pode ser alterado o efeito da fluência variando algumas das características do concreto.
3 Modelos de Predição
As formulações de modelagem da fluência revelam uma nítida relação inversa entre a precisão e a generalidade. Fórmulas mais precisas são possíveis, porém elas serão inevitavelmente menos gerais em suas aplicações, além de serem provavelmente mais complexas (ACI 209R, 1997).
Os modelos de predição da fluência em sua grande maioria são baseados em expressões em função dos principais parâmetros intervenientes no fenômeno, e representados em sua grande maioria na forma de coeficiente de fluência ou função de conformidade1 (SANTOS, 2004). O coeficiente de fluência representa basicamente a relação da deformação por fluência em relação à deformação instantânea. Já a função de conformidade representa a deformação por fluência relacionada com o módulo de elasticidade a uma certa idade ou variando conforme o tempo de aplicação da carga.
1
A estrutura matemática dos modelos de fluência possuem a forma de expressões polinomiais, exponenciais, hiperbólicas e logarítmicas. Nelas os coeficientes dessas expressões são obtidos por meio de regressões múltiplas não-lineares a partir de correlações com os parâmetros intervenientes na fluência, podendo dessa forma possibilitar a estimativa da fluência sob limitações do conjunto universo de ensaios que foi baseada a regressão. Para se conhecer um pouco dos diversos modelos de predição existentes pode-se consultar os trabalhos de Santos (2004).
4 Estratégia de Elaboração do Modelo Matemático
O modelo foi escolhido em função dos resultados disponíveis no banco de dados. Os resultados de fluência utilizados foram baseados em ensaios com corpos-de-prova selados, o que leva aos resultados de fluência básica2, normalmente utilizados para uso em estudos de estruturas em grandes estruturas.
4.1 Levantamento dos Dados
Nesta fase foi realizado o levantamento de dados de fluência, como também dos principais parâmetros intervenientes na fluência que estavam disponíveis ao longo dos últimos anos no Laboratório de Concreto de Furnas Centrais Elétricas S.A. O total de resultados utilizados foi de 82 ensaios de fluência, resistência à compressão e módulo de elasticidade conforme as respectivas normas brasileiras vigentes, para 52 dosagens distintas. Foi ainda considerado o proporcionamento dos materiais que compuseram os concretos ensaiados.
4.1.1 Características dos Dados
Algumas das principais características dos concretos utilizados para compor o banco de dados encontram-se na Tabela 1. A grande maioria das dosagens utilizadas foi concebida para aplicação a barragens ou estruturas que necessitam grande volume de concreto, mesmo que para algumas delas envolvam consumos de aglomerantes elevados.
Tabela 1 – Características básicas dos concretos utilizados.
Idade de início dos ensaios (dia)
Aglomerante
(kg/m³) Água (kg/m³) fcj (MPa) Módulo de elast. (GPa)
5 a 28 174 a 500 143 a 222 6,70 a 46,70 4,98 a 41,96
Neste estudo foi omitido o efeito dos aditivos químicos, devido a sua grande variabilidade de marcas e tipos encontrados nas dosagens utilizadas para compor o banco de dados. Os principais aditivos encontrados foram: plastificantes, superplastificantes, retardadores, polifuncionais e incorporadores de ar. Ainda para efeito de simplificação do modelo foi considerado o consumo de aglomerante ao equivalente a soma de cimento mais adição
2
Deformação ao longo do tempo causada exclusivamente por um incremento de carga, sem considerar o efeito da deformação ocorrida pelo gradiente de umidade interna do concreto com o ambiente.
mineral, corrigida em função da relação entre a massa específica da adição pela massa específica do cimento.
4.2 Hipóteses
Simplificadoras
Os resultados de fluência utilizados referem-se somente aos valores de fluência básica, ou seja, não levando em consideração o efeito da fluência por secagem. O efeito da retração autógena não foi descontado dos resultados de ensaios de fluência básica. O volume de pasta considerado é equivalente ao volume de aglomerante mais água, calculado em função das suas respectivas massas específicas, e ainda incluindo o valor do ar aprisionado no concreto.
4.3 Escolha do Tipo de Expressão
Como o ensaio de fluência disponibiliza um grande número de resultados de deformações ao longo do tempo, optou-se por representar a fluência através de uma função logarítmica ajustada aos resultados de ensaio, conforme sugerida pelo Bureau of Reclamation (1956). Na Figura 1 é representada a função F(t,t0) e seu comportamento ao longo do tempo (t),
onde destaca-se que o coeficiente (a), ao qual representa a taxa de deformação por carga unitária em relação ao logaritmo neperiano do tempo3, será o valor considerado para representar a fluência do concreto. Isto se deve, pois a partir desse coeficiente tem-se o conhecimento da “velocidade” de deformação devido à fluência. Nessa figura tem-se ainda representado a idade em que se inicia o ensaio (t0). O coeficiente (b) da expressão
pode ser desprezível para fins de análise de fluência, pois ele representa o efeito deformacional instantâneo devido à aplicação da carga.
F(t,t0) = a.ln(t+t0+1) + b tempo t0 de fo rm aç ã o / c a rga
Figura 1 – Função logarítmica adotada para representar o comportamento da fluência no tempo.
O valor do coeficiente (a), mais conhecido pelo símbolo (Fk), pode ser utilizado no modelo
matemático de predição das tensões de origem térmica do concreto (ver Santos, 2004). Com ele alimenta-se a função de conformidade (Equação 1), conforme citado no item 3, o que representará o efeito deformacional na estrutura devida à fluência do
) , (tt0
J
3
concreto. Os valores de Fk e E(t0) irão variar em função da idade de aplicação do carregamento (t0). ) 1 ln( . 1 0 ) ( ) , ( 0 0 = +F t−t + E J K t t t (Equação 1)
A partir do coeficiente (a) obtido para cada ensaio de fluência foi realizado o pré-tratamento do banco dados com os demais parâmetros intervenientes na fluência. Adotou-se como referência a Equação 2 (função do tipo exponencial) para se tentar achar correlações desses parâmetros com a fluência. Esta decisão foi tomada após algumas tentativas de regressão múltipla com outros tipos de função (hiperbólica, polinomial, logarítmica, etc), os quais não apresentaram boa aderência com os parâmetros envolvidos.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
an n a a a a x x x x x K y = . 1 1. 2 2. 3 3. 4 4... (Equação 2)Nesta equação K, a1, a2, a3, a4 e an são os coeficientes de ajuste da curva aos parâmetros
envolvidos no modelo e são obtidos via regressão múltipla não-linear conforme descrito no item 4.4. As variáveis x1, x2, x3, x4 e xn representam os parâmetros relacionados com a
fluência.
4.4 Regressão Múltipla Não-Linear
As variáveis x1, x2, x3, x4 e xn devem ser independentes entre si para que se consiga uma
boa correlação com sua variável dependente y, porém no caso estudado isso não ocorre. Há dependência entre as variáveis xn uma vez que se sabe, por exemplo, que a
quantidade de água está relacionada com a resistência e com o volume de pasta, e ainda ambas variáveis estão correlacionadas com a fluência. Essa situação é conhecida como multicolinearidade e ela é encontrada com certa freqüência em problemas de tecnologia do concreto. Ela pode ser aceita e ainda se obter bons resultados preditivos da variável dependente principalmente quando as variáveis xn estiverem dentro do campo amostral
do banco de dados utilizado, conforme comenta Hines et al. (2006).
O programa utilizado para a regressão foi o Statistica ® versão 7.1. (STATSOFT, 2005). Adotou-se o método dos mínimos quadrados para a obtenção dos coeficientes an da
Equação 2 e a forma de resolução do problema não-linear adotada foi a de Gauss-Newton, considerando um nível de confiança de 95%.
5 Resultados
Obtidos
5.1 Aplicação da Regressão Múltipla Não-Linear
Para iniciar a regressão foram identificadas as potenciais variáveis que poderão interferir nos resultados de fluência. Nelas foram selecionadas: resistência à compressão, módulo de elasticidade, volume de pasta, ar incorporado, consumo de água e consumo de aglomerante. Nesta primeira análise foram obtidos os seguintes resultados apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 – Primeira análise dos valores encontrados para as variáveis da Equação 2.
Coeficientes relacionados com as variáveis (an)
Variável (xn)
Símbolo Valor encontrado Unid.
Nível de significância estatística
--- K 0,010603 10-6/MPa.ln(t) 0,608938
Resistência à compressão a1 -0,268984 10-6/ln(t) 0,009241
Módulo de Elasticidade a2 -0,400956 10-6.GPa/MPa.ln(t) 0,000024
Volume de pasta a3 1,169217 10-6.l/MPa.ln(t) 0,032178
Ar incorporado a4 0,009359 10-6.%/MPa.ln(t)* 0,862805
Consumo de água a5 1,449831 10-6.(kg/m3)/MPa.ln(t) 0,007869
Consumo de aglomerante a6 -0,478481 10-6.(kg/m3)/MPa.ln(t) 0,112043
Nota: * A representação % refere-se ao volume de ar aprisionado no concreto em relação seu volume total.
Os valores dos níveis de significância estatísticas apresentados na última coluna da Tabela 2 representam uma diminuição do índice de confiança dos coeficientes associados às variáveis da equação, ou seja, quanto maior forem seus valores menos representativos eles serão em relação ao conjunto amostral dos resultados de ensaios utilizados na regressão. Desta forma, percebe-se que os menores níveis de significância obtidos referem-se aos coeficientes que multiplicam as variáveis: resistência à compressão, módulo de elasticidade, volume de pasta e consumo de água (linhas destacadas da Tabela 2), aos quais serão tomados como variáveis para uma nova regressão.
Sendo assim, foram obtidos novos coeficientes an conforme apresentados na Tabela 3.
Percebe-se que em todos os níveis de significância associados aos coeficientes encontrados foram menores que 5%. Isso indica que os riscos dos coeficientes obtidos não representarem satisfatoriamente o conjunto universo de ensaios de fluência é inferior a 5%.
Tabela 3 – Valores finais encontrados para os coeficientes da Equação 2.
Coeficientes an relacionados com as variáveis xn
Variável
Símbolo Valor encontrado Unid.
Nível de significância estatística
Resistência à compressão a1 -0,326152 10-6/ln(t) 0,000005
Módulo de Elasticidade a2 -0,446394 10-6.GPa/MPa.ln(t) 0,000001
Volume de pasta a3 0,613841 10-6.l/MPa.ln(t) 0,045206
Apresenta-se na Equação 3 a função obtida com os coeficientes alcançados por meio de regressão múltipla não-linear apresentados na Tabela 3. O valor da constante (1010,5) desta expressão foi obtido a partir de multiplicadores inseridos juntamente com as variáveis na regressão para potencializar a expressividade da função.
446 , 0 326 , 0 511 , 1 614 , 0 . . 1010,5 . E fcj Ag V Fk = (Equação 3) Onde:
• V refere-se ao volume de pasta dado em litros/m3
; • Ag refere-se ao consumo de água dado em kg/m³; • Fcj refere-se à resistência à compressão dada em MPa; • E refere-se ao módulo de elasticidade dado em GPa.
• Fk refere-se ao coeficiente de fluência que multiplica ln(t+t0+1) na equação
apresentada na Figura 1, dado sua unidade em 10-6/(MPa.ln(dia));
5.2 Análise do Modelo
A análise do modelo de predição da fluência pode ser verificada conforme o gráfico da Figura 2. Nela estão representados os valores estimados versus os valores observados em ensaio. Percebe-se uma tendência de comportamento linear, o que indica uma boa aderência dos valores preditos com os obtidos em ensaios. Quanto mais próximo a reta inclinada obtida por regressão linear estiver da proporção “um para um”, indicará que os valores estimados estarão próximos dos valores observados.
Observado = 0,9963xEstimado - 0,2095 R2 = 0,6333 0 4 8 12 16 20 24 0 4 8 12 16 20 2 Fk (10-6/MPa) - Estimado Fk ( 1 0 -6 /M P a ) - O b s e rv a d o em en s a io 4
5.3 Análise dos Resíduos
Para verificar a consistência dos dados utilizados na regressão e se a expressão da Equação 3 atende a predição da fluência, torna-se importante analisar os resíduos provenientes da diferença entre o valor estimado e o observado em ensaio. A distribuição dos resíduos deve apresentar comportamento aleatório em relação ao valor estimado (não pode existir correlação), conforme observado no gráfico da Figura 3 e, a mesma, ainda, deve possuir comportamento normal quando feito o levantamento da freqüência dos resíduos (Figura 4).
-6 0 6 0 4 8 12 16 20 2 Fk (10-6/MPa) - Estimado R e s íduo ( 1 0 -6 /M Pa ) 4
Figura 3 – Distribuição dos resíduos em função dos valores estimados.
0 5 10 15 20 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 Resíduo Percentual (%) Fr e quê nc ia ( % )
6 Exemplo de utilização do modelo
Para avaliar como a Equação 3 se comporta quando ocorrer a variação de algumas das variáveis envolvidas (fcj, E, V, Ag), foi considerada a situação de um concreto com as características descritas na Tabela 4, onde todos os parâmetros intervenientes no modelo permaneceram constantes, exceto a resistência à compressão. A variação dos valores de resistência pode ser explicada na prática devido a oscilações na qualidade de produção do cimento utilizado ou até mesmo devido ao uso de tipos de cimentos distintos (CPV, CPIV ou CPIII, por exemplo).
Tabela 4 – Características do concreto utilizado no exemplo.
Idade de Referência
Volume de Pasta
(l/m³) Água (Kg/m³) Módulo (GPa) fcj (MPa)
28 dias 364 190 21,0 28±5
5 dias 364 190 10,8 15 ±3
Em função da oscilação dos valores de resistência obteve-se os valores do coeficiente Fk da expressão 3 (Tabela 5) e sua representação gráfica em função do tempo por meio da Figura 5 para efeito de comparação.
Tabela 5 - Resultados do coeficiente Fk em função da variação da resistência à compressão.
Variações da resistência Fk* estimado (10-6/MPa.ln(t))
fc28 8,81 fc28 - 5MPa 9,51 fc28 + 5MPa 8,28 fc5 15,31 fc5 - 3MPa 17,56 fc5 + 3MPa 13,91
Nota: * Coeficiente obtido pela expressão da equação 3.
É interessante notar nesse exemplo, por meio da figura 5, que as variações da resistência à compressão do concreto, sem a alteração significativa da dosagem e de seu módulo de elasticidade, devido a mudanças nas características do cimento - finura, teor de adição, por exemplo, fazem com que os efeitos na fluência sejam mais significativos para as idades iniciais.
0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Tempo (dia) Fl uê nc ia e s pe c íf ic a ( 1 0 -6 /M Pa ) fc28 fc28 - 5MPa fc28 + 5MPa fc5 fc5 - 3MPa fc5 + 3MPa
Figura 5 – Oscilações dos resultados de fluência em função das possíveis variações de resistência à compressão do concreto.
As repercussões que essa variação da fluência pode gerar como conseqüências em uma estrutura são significativas. Imagine, por exemplo, que nesse concreto na idade de cinco dias a variação obtida da fluência seja conforme apresentado na Tabela 6 a partir da equação 1.
Tabela 6 – Variação da fluência em termos da função de conformidade.
Variações da resistência Fk (10-6/MPa.ln(t)) Módulo de elast. (GPa) J (t, t0) (10-6/MPa)
fc5 - 3MPa 17,56 124,1
fc5 + 3MPa 13,91
10,8
117,5
O valor da última coluna da Tabela 6 pode ser convertido em nível de tensões para facilitar a visualização do efeito da variação da fluência. Para tanto, adota-se um carregamento devido a deformação térmica (Δ ) de 30.10ε -5 proveniente do calor gerado pela hidratação do aglomerante durante os primeiros cinco dias, conforme Equação 4. O coeficiente de expansão térmica (α) adotado foi de 10-5°C-1.
( )
5 5 10 . 30 30 . 10 .Δ = − = − = Δε α T (Equação 4)O valor de corresponde à elevação de temperatura gerada pela hidratação do aglomerante e estipulada em função das características do concreto neste exemplo.
T Δ
Supondo que toda a deformação térmica possa ser convertida em tensão, obtém-se então os valores de tensão de origem térmica a partir da Equação 5 (EMBORG, 1985; SANTOS, 2004).
) 0 , ( tt J ε σ = Δ Δ (Equação 5)
Desta forma têm-se os valores de tensão de origem térmica (Δ ) considerando a σ variação dos valores de fluência do concreto conforme apresentado na Tabela 7.
Tabela 7 – Valores de tensão em função da variação da fluência para idade de cinco dias.
Variações da resistência J (t, t0) (10-6/MPa) Δσ (MPa)
fc5 - 3MPa 124,1 2,42
fc5 + 3MPa 117,5 2,57
Os níveis de tensão alcançados na Tabela 7 são apenas ilustrativos da potencialidade na qual a fluência pode alterar o campo de tensões, sejam elas de origem térmica ou proveniente de carregamentos externos. Neste exemplo a variação de tensões foi de aproximadamente 6% na idade de cinco dias. Aparentemente pode ser pouco, mas deve-se ter em mente que essa análideve-se além de simplificada, leva em consideração apenas um dos diversos parâmetros intervenientes na fluência. Caso seja considerado o efeito de maior número de parâmetros, e suas inter-relações, provavelmente a variabilidade de resultados de tensões sendo interferida pela fluência será maior a ponto de ser imprescindível uma análise mais minuciosa.
7 Considerações
Finais
A expressão obtida (Equação 3) para a predição da fluência mostrou-se consistente com os valores observados em ensaio. Por meio de tratamento estatístico constatou-se que os principais parâmetros que apresentaram significância para a predição da fluência a partir do banco de dados disponível foram: a resistência à compressão, módulo de elasticidade, volume de pasta e consumo de água no concreto; sendo os dois primeiros parâmetros inversamente relacionados aos resultados de fluência e os dois últimos diretamente, conforme esperado. Isto não indica que os demais parâmetros não sejam importantes para a predição da fluência. O aconselhado seria uma análise paramétrica de cada parâmetro influente na fluência, fixando os demais. Assim poder-se-ia avaliar a real potencialidade de cada variável no problema de forma planejada, estejam elas implícita ou explicitamente inseridas no modelo.
A diferença entre os resultados estimados e os valores observados em ensaio, denominados resíduos, apresentaram uma dispersão de resultados em função dos diversos fatores intervenientes no problema que não puderam ser representados ou controlados no modelo.
Para fins de estimativa da fluência pode-se concluir, a partir da Figura 4, que a expressão 3 possibilita a obtenção de valores de fluência que não ultrapassem em mais de 50% o valor esperado com um nível de confiança de aproximadamente 95%. Essa interpretação é válida para concretos que apresentem valores de suas características básicas dentro dos intervalos apresentados na Tabela 1.
No exemplo de utilização do modelo (item 6) percebeu-se por meio da análise da variação da resistência à compressão, devida a alterações nas características do aglomerante, que a fluência é alterada de forma significativa a ponto de tornar susceptível a variações de tensão em uma estrutura. Caso forem considerados os efeitos provenientes das variações dos outros parâmetros, até mesmo os que não estão explicitamente representados no modelo, a fluência do concreto e, por conseguinte as tensões, sejam elas de quaisquer origens, se tornarão ainda mais expressivas.
É importante ressaltar que foram omitidos do modelo os efeitos das adições e aditivos, uma vez que houve grande variabilidade de produtos utilizados nas dosagens. Sabe-se ainda que os efeitos desses produtos podem ser substanciais conforme vários trabalhos já alertaram (BROOKS e NEVILLE, 1992; BROOKS, 2000; LI et al. 2002). Desta forma, a maneira mais adequada para delinear melhor os efeitos desses materiais sobre a fluência é elaborar um estudo experimental específico para tal finalidade, como o que está sendo conduzido por Furnas em parceria com a Universidade Federal do Espírito Santo - UFES e Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS.
8 Andamento da Pesquisa
Este trabalho, por ter forte apelo prático em detrimento da carência de resultados e modelos de fluência ajustados a realidade dos concretos brasileiros, tem sua garantia de continuidade confirmada dentro de um projeto de P&D ao qual está sendo realizado em parceria entre as instituições UFES, UFRGS e FURNAS, tendo como um dos produtos previstos um modelo de predição de fluência mais aprimorado, o qual será publicado em momento oportuno.
9 Referências
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