Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Minicurso 1
GEOMETRIA: ONTEM, HOJE E AMANHÃ
José Carlos Pinto Leivas Universidade Luterana do Brasil
leivasjc@yahoo.com.br
Resumo: Este mini-curso tem por objetivo discutir o ensino de Geometria e sua evolução histórica e desenvolver atividades que promovam a formação de pensamento geométrico desde o Ensino Fundamental até a Licenciatura em Matemática. Está planejado para promover um comparativo entre diversos sistemas axiomáticos, como o euclidiano e o hilbertiano, de modo a se refletir sobre formas como Geometria vem sendo praticada tanto na escola básica quanto na formação inicial de professores de Matemática. Apresenta estilos pelos quais passou a Geometria e que foram abandonados na formação do professor, tais como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Geometria Sintética. São propostas atividades que forneçam indicativos de abordagem de conteúdos e metodologias atuais como Geometrias Não-Euclidianas e Geometria Fractal, além de propriedades topológicas elementares. Recursos Didáticos como o Jogo do Tentângulo e dobraduras são empregados para ilustrar formas de desenvolver alguns tópicos usuais voltados à escola básica. Daremos indicativos de como a Geometria e seu ensino podem ser pensados em tempos atuais e futuros como, por exemplo, na Geometria Analítica, com curvas geodésicas na esfera formando triângulos geodésicos com soma diferente de 180º. Também será desenvolvida atividade que conduza a uma bola não euclidiana, a partir de equações de retas no plano e distâncias não euclidianas. Utilizamos uma fundamentação teórica seguida de atividades concretas que podem ser dirigidas aos três níveis de ensino, sendo que algumas mais específicas a cada um deles. O uso de habilidades de imaginação, intuição e visualização é o elemento norteador do trabalho. Por fim, serão indicadas, ainda, possibilidades de uso de Tecnologias, Teoria de van Hiele, propriedades topológicas e dimensão fractal.
Palavras-chave: Geometria; Educação Matemática; Jogos; Dobradura.
Introdução
Algumas discussões no cenário nacional têm se apresentado a respeito do ensino de Geometria e seu abandono. Em nosso entender, isso já não mais pode ser argumentado, haja vista, o número elevado de trabalhos existentes na área nos últimos eventos de Educação Matemática como é o caso dos Encontros Nacionais de Educação Matemática (ENEM), segundo levantamento realizado por Andrade e Nacarato (2004), o qual aponta que 20% dos trabalhos são sobre esse tema nesse evento.
Acreditamos que, muito mais do que discutir sobre o abandono ou não do ensino dessa área do conhecimento, é necessário dar indicativos de como a Geometria pode vir a ser abordada numa linguagem atual, utilizando conteúdos, recursos e metodologias modernas.
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Assim, concordamos com Klein (1927) que, ao percebe a necessidade de promover mudanças de concepções governamentais e de professores na Alemanha, talvez o berço da Educação Matemática, afirma seu propósito de não apenas se referir aos estudos da Matemática universitária, mas também ao de interesse do professor que se preocupa com o ensino dessa disciplina. Diz ele que, desde as primeiras décadas do século XX, os professores de Matemática e de Ciências Naturais das universidades têm manifestado interesse pela formação adequada dos futuros professores, que atendam às necessidades da Ciência. Para ele,
Este fenômeno é bem recente; antes, durante e por muito tempo, se cultivava na Universidade exclusivamente a ciência superior sem levar em consideração em nada as necessidades da Escola e sem cuidar o mínimo da relação com o ensino de Matemática com ela. (KLEIN, 1927, p. 1)1.
Destaca ainda o autor que reclamações de professores do ensino secundário que chegam até ele, não deixam de ser razoáveis, pois “se é correto que o ensino universitário deve ter um caráter especial, também é verdade que o abuso deste segmento deixa o professor, que na Universidade se forma, na ignorância de muitas coisas tão importantes quanto gerais.” (Ibid., p. 2).
É nossa intenção no mini-curso, mesclar alguns pressupostos teóricos, estabelecendo conexões da forma como a Geometria vem sendo ensinada tanto na Escola Básica quanto na formação do professor de Matemática, com indicativos de como fazer Geometria atualmente. Além disso, pretendemos alertar o futuro professor para tópicos que deverá se preparar a fim de procurar romper o círculo vicioso de que não se ensina Geometria no Ensino Fundamental e Médio por não se ter adquirido uma boa fundamentação teórico-metodológica na formação inicial.
Dessa forma, o mini-curso está estruturado da seguinte forma:
1 Geometria – ontem
Os Elementos de Euclides se constituem na obra mais lida, mundialmente, depois da Bíblia e, atualmente, apresenta uma edição em língua portuguesa, traduzida diretamente do grego. (BICUDO, 2009). Muitos professores e estudantes ainda têm a compreensão de que a
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obra é exclusivamente de Geometria e não percebem a relação de que essa era a forma de conhecimento de mundo utilizada por tantos séculos pela humanidade. No Livro V, por exemplo, encontramos inicialmente definições de magnitude, múltiplos, razões e proporções. “Caso magnitudes, em quantidade qualquer, estejam em proporção, como um dos antecedentes estará para um dos conseqüentes, assim todos os antecedentes para todos os consequentes”. (BICUDO, 2009, p. 218). Salientamos o envolvimento de Geometria nas demonstrações dos teoremas enunciados.
A organização da Geometria, segundo a Axiomática de Hilbert, é feita por meio de grupos de axiomas:
Grupo 1: axiomas de incidência (dois) Grupo 2: axiomas de ordem (quatro) Grupo 3: axiomas de medição (seis) Grupo 4: axiomas de congruência (três) Grupo 5: axioma das paralelas (um)
A geometria descritiva auxilia na organização das representações num plano de objetos espaciais o que favorece a resolução de problemas que envolvem tais objetos. Ela foi criada por Gaspar Monge e elaborada e permite uma visualização dos objetos a partir de suas projeções sobre planos - épuras, a partir de uma posição do observador. Exemplificamos as representações em épura (fig. 1), as quais podem ser obtidas pela colocação de cartões no interior de um cubo transparente, que representam planos em diversas posições.
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O desenho geométrico, num grande número de cursos de formação de professores de Matemática, a exemplo da Geometria Descritiva, foi excluído e, em nossos entender, é fundamental para compreender Geometria pelo uso que faz de instrumentos como régua, esquadro, compasso e transferidor. Em nossa prática pedagógica na Licenciatura em Matemática, é frequente encontrar estudantes que desconhecem ou nunca utilizaram tais objetos, especialmente o último. Entretanto, tais objetos são fundamentais para a inscrição e circunscrição de polígonos na circunferência. Na figura 2, a inscrição de um quadrado ABCD na circunferência C1 e a circunscrição na C2. C B A D C1 r s C2
Fig. 2: inscrição e circunscrição de quadrado
Klein (1927) argumenta que a diferença entre a denominada Geometria Sintética, isto é, aquela na qual figuras são estudadas por elas mesmas sem a intervenção de quaisquer fórmulas, e a Geometria Analítica, aquela na qual as figuras são estudadas fazendo uso de sistemas de coordenadas, é apenas quantitativa, no sentido de, ao não predominar figuras ou fórmulas, ter-se uma ou outra.
A Geometria Analítica não pode prescindir em absoluto da representação geométrica nem, ao contrário, a Geometria Sintética pode ir muito longe sem expressar com precisão, com fórmulas adequadas, seus resultados. Porém, como ocorre sempre que se trata de algo opinável, os matemáticos têm se dividido em dois grupos, os que têm dado origem à escola sintética pura e aqueles à analítica pura, baseados ambos exclusivamente na pureza do método e não na natureza das coisas que estudam, o que conduz aos geômetras analíticos se perderem frequentemente em cálculos sem representação geométrica alguma, e os sintéticos evitarem artificialmente o uso de toda fórmula. (KLEIN, 1927, p. 74)
A partir dessas considerações, ampliaremos discussão sobre considerações constantes nos Elementos, especialmente aquelas que ainda são tratadas na formulação euclidiana e que
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deveriam ser modificados a partir da axiomática hilbertiana. Assim, poderemos traçar comparativos com objetos modernos em termos de criações geométricas, tais como, os axiomas na formulação euclidiana:
Ponto é aquilo que não tem partes; E linha reta é comprimento sem largura; E extremidades de uma linha são pontos; e os postulados:
Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto; E com todo centro e distância, descrever um círculo.
Além desses, pensaremos em teoremas como Descrever um quadrado sobre a reta dada, o qual, na atualidade, pode ser construído por meio de softwares de Geometria Dinâmica, a serem indicados aos participantes tais como o GeoGebra, o Régua e Compasso.
Estabeleceremos comparativo na forma de organizar a Geometria por Euclides e a de Hilbert e discutir os exemplos citados anteriormente à luz desse sistema e sua organização nos diversos grupos de axiomas. Alguns professores e livros didáticos ainda definem, à moda euclidiana, ponto, reta e plano e não os consideram como elementos primitivos no sistema organizado por Hilbert. Destacaremos o Grup VI - o das paralelas, para trazer à tona a criação de Geometrias Não-Euclidianas, como será feito em uma das atividades do mini-curso.
Indicaremos aos participantes outros aspectos que a Geometria pode e deve incorporar tendo por base a eliminação de disciplinas que a complementam como área de conhecimento na Licenciatura em Matemática, tais como, Geometria Descritiva, Desenho Geométrico, Geometria Sintética e Analítica.
2 Geometria – hoje
Motivaremos o mini-curso com a questão levantada por Freudenthal (1973) “O que é Geometria?” e analisaremos o posicionamento considerado pelo autor quanto aos níveis a que se destina o ensino da disciplina:
- num nível mais avançado: a Geometria é uma parte da Matemática de certo modo axiomaticamente organizada.
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- num nível mais elementar: essencialmente consiste em compreender o espaço em que a criança vive, respira e se move. O espaço que a criança deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, de modo a poder aí viver, respirar e mover-se melhor.
Freudenthal (1973) insiste na importância de que a Matemática, quando vai ser aprendida, deve estar intimamente ligada à realidade.
Nessa perspectiva realizaremos atividades que auxiliem a obter respostas a tal pergunta, inclusive discutindo e argumentando o que há de essencial na Geometria para os dias atuais e que façam sentido de ser tratados tanto na formação do professor quanto na sua prática profissional.
3 Geometria – amanhã
Entendemos que, para fazer o ensino de Geometria que responda ao questionamento anterior com vistas a modernizar seu estudo, é necessário refletir e realizar atividades que utilizem, especialmente:
- Imaginação é uma forma de expressar concepções mentais de um conceito matemático, o qual pode vir a ser representado por um símbolo ou esquema visual, algébrico, verbal ou uma combinação dos mesmos, com a finalidade de comunicar para o próprio indivíduo ou para outros tal conceito.
- Intuição como sendo um processo de construção de estruturas mentais para a formação de um determinado conceito matemático, a partir de experiências concretas do indivíduo com um determinado objeto.
- Visualização como sendo um processo de formar imagens mentais, com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito matemático, com vistas a auxiliar na resolução de problemas analíticos ou geométricos.
A fim de desenvolver pensamento geométrico e, por não dispormos, no momento, de outros recursos como laboratório de informática e recursos didáticos, optamos, nesse mini-curso, por realizar as atividades a seguir, que utilizam recursos de fácil obtenção.
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As atividades propostas para o mini-curso terão por objetivo principal o desenvolvimento de pensamento geométrico e serão embasadas principalmente na exploração dos três aspectos imaginação, intuição e visualização.
4.1. Atividade voltada ao Ensino Fundamental
Como metodologia, usaremos o jogo como estratégia didática para o ensino de Geometria.
A atividade proposta é constituída do Tentângulo, um jogo que desenvolve habilidades de percepção em Geometria na relação de inclusão de figuras em campos. Pode ser empregado para trabalhar os seguintes conteúdos: áreas e perímetros, figuras eqüipotentes, composição e decomposição de figuras, simetrias e frações de modo geometrico. A atividade também é útil para o Ensino Médio e formação de professores.
4.2. Atividade voltada ao Ensino Médio
Como metodologia, usaremos o recurso didático da dobradura, com o qual construiremos superfícies prismáticas, piramidais e troncos dessas a fim de estabelecermos relações entre áreas, perímetros e volumes de objetos espaciais. A atividade também se destina ao Ensino Fundamental e à formação de professores.
4.3. Atividades voltadas à formação do professor
Como objetos de estudo estarão as “geodésicas de uma esfera”, as quais podem ser obtidas a partir de uma simples bola de isopor, como também por meio de curvas dadas algebricamente sobre uma esfera, proporcionando uma visão de uma Geometria Não-Euclidiana, como possibilidade de utilizar ferramentas oriundas da Geometria Analítica.
Além dessa, serão mostradas, explorando intuição, imaginação e visualização, a existência de triângulos cuja soma dos ângulos internos não é, necessariamente, igual a 180º, (figura 3).
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Fig. 3: Triângulo com três ângulos retos na superfície esférica
Também será construída uma “bola quadrada”, por meio de uma função modular e representação de retas no sistema cartesiano. Assim, explora-se modelo de Geometria em que a distância entre pontos não é a usual euclidiana. A figura 4, ilustra uma bola quadrada, ou seja, um conceito equivalente ao de círculo na métrica euclidiana usual.
Fig. 4: Bola na métrica dos catetos
Para Eisemberg e Dreyfus (1991), os benefícios de visualização na elaboração de conceitos são evidentes e, esforços curriculares estão sendo feitos na tentativa de inverter essa tendência. “Mas é só recentemente que um esforço concentrado parece estar em andamento para trazer ao currículo escolar visualização”. (p. 34)
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As atividades podem ser perfeitamente compreendidas por professores que atuam nos três níveis de escolaridade, e, dependendo dos participantes, poderá ser empregado um maior ou menor rigor matemático.
4.4. Outras atividades
Dentro das limitações de tempo e recursos disponíveis promoveremos atividades que possibilitem modernização no ensino de Geometria por meio de:
- propriedades topológicas elementares como vizinhança, separação, ordem, envolvimento e continuidade;
- objetos fractais e a dimensão fracionária;
- níveis de van Hiele para a formação de pensamento geométrico.
5 Referências
ANDRADE, J.A.; NACARATO, Adair M. Tendências didático-pedagógicas no ensino de geometria: um olhar sobre os trabalhos apresentados nos ENENs. Educação Matemática em Revista, Recife, v. 11, n. 17, p. 61-7, 2004.
BICUDO, Irineu. Os Elementos – Euclides. trad. São Paulo: Editora da UNESP, 2009. EISENBERG, T.; DREYFUS, T. On the reluctance to visualize in Mathematics. In: ZIMERMANN, W. E CUNNINGHAM, S. (Eds.). Visualization in teaching an learning mathematics. Washington, USA: Mathematical Association of America, 1991. pp.25-37.
FREUDENTHAL, Hans. Revisiting mathematics education: China Lectures. London: Kluwer Academic Publisher. 1973. Mathematics Education Library.
KLEIN, Félix. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Trad. Roberto Araújo. Madrid: Biblioteca Matemática, 1927.
