com BaiTapGiaiTichPhanSoPhuc TranSiTung

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----

BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12

TAÄP 4

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

1. Khaùi nieäm soá phöùc

· Taäp hôïp soá phöùc: C

· Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z a bi= +

(a, b RÎ , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 _{= –1)}

· z laø soá thöïc Û phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0) z laø thuaàn aûo Û phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0) Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo.

· Hai soá phöùc baèng nhau: a bi a b i+ = +’ ’ Ûì =_{í =}a a_{b b}'_' ( , , ', 'a b a b RÎ ) î

2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, bÎR) ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay bôûi ur=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phöùc)

3. Coäng vaø tröø soá phöùc:

·

(

a bi+

) (

+ a b i’+ ’

) (

= a a+ ’

) (

+ b b i+ ’

)

·

(

a bi+

) (

- a b i’+ ’

) (

= a a- ’

) (

+ b b i- ’

)

· Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi

· ur bieåu dieãn z, 'ur bieåu dieãn z' thì u ur r bieåu dieãn z + z’ vaø + ' u ur r bieåu dieãn z – z’. - ' 4. Nhaân hai soá phöùc :

·

(

a bi a b i+

)(

'+ '

) (

= ’– ’aa bb

) (

+ ab’ ’+ ba i

)

· (k a bi+ )=ka kbi k R+ ( Î )

5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi= -

· 1 1 2 2 ; ' ' ; . ' . '; z z z z z z z z z z z z z z æ ö = ± = ± = _{ç ÷}= è ø ; 2 2 .zz a= +b

· z laø soá thöïc Û z z= ; z laø soá aûo Û z= - z

6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi · z = a2+b2 = zz = OMuuuur · z ³ " Î0, z C, z = Û = 0 z 0 · . 'z z = z z. ' · ' ' z z z = z · z z- ' £ ±z z' £ +z z'

7. Chia hai soá phöùc: · z 1 1₂ z z - _{= (z ¹ 0) ·} 1 2 ' _' '. '. . z _{z z} z z z z z = - = _z = z z · ' _' z _{w z wz} z = Û =

I. SOÁ PHÖÙC

CHÖÔNG IV

SOÁ PHÖÙC

8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:

· z x yi= + laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w a bi= + Û z2 = Û w 2 2

2 x y a xy b ì _{- =} í ₌ î · w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0

· w 0¹ coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau · Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø ± a

· Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ± -a i.

9. Phöông trình baäc hai Az2 _{+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A 0¹ ).}

D =B2-4AC

· D ¹ : (*) coù hai nghieäm phaân bieät 0 _1,2 2

B z

A

- ± d

= , ( d laø 1 caên baäc hai cuûa D) · D = : (*) coù 1 nghieäm keùp: 0 _{1 2}

2

B z z

A

= =

-Chuù yù: Neáu z0 Î C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z cuõng laø moät nghieäm cuûa (*). ₀

10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc:

· z r= (cosj +isin )j (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z ¹ 0)

2 2 cos sin r a b a r b r ì ï = + ïï Û_í j = ï ï _{j =} ïî

· j laø moät acgumen cuûa z, j =( ,Ox OM) · z = Û =1 z cosj+isin (j jÎR)

11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc

Cho z r= (cosj +isin ) ,j z r'= '(cos ' sin ')j +i j :

· z z rr. '= '. cos(

[

j + j +') sin(i j + j ')

]

·

[

cos( ') sin( ')

]

' '

z r _i

z =r j - j + j - j

12. Coâng thöùc Moa–vrô:

·

[

r(cosj +isin )j

]

n=rn(cosnj +isin )nj , (n NÎ *) ·

(

cosj +isinj =

)

n cosnj +isinnj

13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc:

· Soá phöùc z r= (cos j+isin )j (r > 0) coù hai caên baäc hai laø:

cos2 sin2

cos sin cos sin

2 2 2 2 r i vaø r i r i æ j₊ jö ç ÷ è ø é ù æ j jö æj ö æj ö - _ç + _÷= _{ê ç} + p +_{÷ ç} + p_÷ú è ø ë è ø è øû

· Môû roäng: Soá phöùc z r= (cos j+isin )j (r > 0) coù n caên baäc n laø:

nr cos k2 isin k2 ,k 0,1,...,n 1 n n æ + ₊ + ö ₌ -ç ÷ è ø j p j p

VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia

AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân.

Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: a)

( ) (

4 –i + 2 3 – 5+ i

) ( )

+ i b) 2 1 2 3 i æ iö - +_ç - _÷ è ø c)

(

)

2 5 2 3 3 4 i æ iö - -_ç - _÷ è ø d) 3 1 3 2 1 3i 2 i 2i æ ö æ ö - + - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø e) 3 1 5 3 4 5i 4 5i æ ö æ ö + - - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø f)

(

2 3 3- i

)( )

+ i g) i i i i -+ - 2 1 3 _h) i 2 1 3 + i) i i -+ 1 1 k) m im l) a i a a i a -+ _m) ) 1 )( 2 1 ( 3 i i i + -+ o) 1 2 i i + - p) i a b i a+ _q) 2 3 4 5 i i -+ Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau:

a)

( ) ( )

1+i 2- 1–i 2 b)

( ) ( )

2+i 3- -3 i 3 c)

(

3 4i+

)

2 d) 3 1 3 2 i æ _- ö ç ÷ è ø e) 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 3 ( ) 1 ( ) 2 1 ( i i i i + -+ -+ _f)

_{( )}

6 2 i- g) _{( 1 )- +i} 3_{-(2 )i} 3 _h)

(1 )i

-

100 _{i) (3 3 )+ i} 5

Baøi 3. Cho soá phöùc z x yi= + . Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: a) z2-2z+ 4i b) 1 -+ iz i z

Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c Î R:

a) a + 2 1 b) 2a + 2 3 c) 4a4+9b2 d) 3a2+5b2

e) a +4 16 f) a -3 27 g) a + 3 8 h) a4+a2+ 1 Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc:

a) 1 4 3i- + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i- - d) 5 12i- + e) 4 5

3 2i

- - f) 7 24i- g) 40 42i- + h) 11 4 3.i+

i) 1 2

4+ 2 i k) 5 12i- + l) 8 6i+ m) 33 56i

-VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc

Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình.

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z):

a) _z2 _{+ z =}0 _{b) z}2 _{+ z}2 ₌₀

c) z+2z =2-4i d) _z2 _{- z=}0 e) z -2z= - - 1 8i f)

(

4 5- i z

)

= + 2 i

g) 1 4 = ÷ ø ö ç è æ -+ i z i z _h) i i z i i + + -= -+ 2 3 1 1 2 i) 2z -3z= -1 12i k)

(

3 2- i

) ( )

2 z i+ = 3i l) ) 0 2 1 ]( 3 ) 2 [( - + + + = i iz i z i m) 3 1 3 1 2 2 zæ_ç - iö_÷= + i è ø o) 3 5i 2 4i z + = - p)

(

z+3i z

)

(

2-2z+5

)

= 0 q)

( )(

z2+9 z2- + = z 1

)

0 r) 2z3-3z2+5z+ - = 3 3 0i

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (aån x):

a) _x2 _- 3._x+1₌0 _{b) 3 2.x}2 _{-2 3.x+ 2=0} c) x2- -

( )

3 i x+ - = 4 3i 0 d) 3 .i x2-2x- + = 4 i 0 e) _3x2_{- + = x 2 0 f) i x.} 2_{+2 .i x- =4 0} g) _3x3_{-24 0= h) 2x}4_{+16 0=} i) _(x+2)5_{+ = 1 0 k) x +}2 _{7 0=} l) x2+2 1

( )

+i x+ + = 4 2i 0 m) x2-2 2

( )

-i x+18 4+ i= 0 o) ix2+4x+ - = 4 i 0 p) x2+ -

(

2 3i x

)

= 0

Baøi 3. Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng laàn löôït laø: a) 2 3+ i vaø- + 1 3i b) 2i vaø- + 4 4i

Baøi 4. Tìm phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän a laøm nghieäm:

a) a = +3 4i b) a = 7-i 3 c) a = -2 5i d) a = - -2 i 3 e) a = 3-i 2 f) a = -i g) a = +(2 )(3 )i -i h) a =i51+2i80+3i45+4i38 i) 5 2 i i + = -a

Baøi 5. Tìm tham soá m ñeå moãi phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm z1, z2 thoaû maõn ñieàu kieän

ñaõ chæ ra:

a)z2-mz m+ + =1 0,ñk z: ₁2+z₂2 =z z_{1 2}+ 1 b) z2-3mz+ =5i 0,ñk z: ₁3+z₂3=18 c) x2+mx+ =3i 0,ñk z: ₁2+z₂2 = 8

Baøi 6. Cho z z laø hai nghieäm cuûa phöông trình ₁, ₂

(

1+i 2

)

z2- +

(

3 2i z

)

+ - = . Tính giaù 1 i 0 trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:

a) A z= ₁2+ z₂2 b) B z z= _{1 2}2 +z z_{1 2}2 c) 1 2 2 1 z z C z z = + Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

a) î í ì -= + + = + i z z i z z 2 5 4 2 2 2 1 2 1 _b) î í ì + -= + -= i z z i z z . 2 5 . 5 5 . 2 2 2 1 2 1 _c) 13 52 2 4 1 2 0 .( ) 1 z z z z ì + = ï í = ïî d) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 . . 1 z z z z z z z z z ì + + = ï _{+ + =} í ï ₌ î e) 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z ì -= ï -ï í -ï ₌ ï -î f) 1 1 3 1 z z i z i z i ì -= ï -ï í -ï ₌ ï + î

g) 12 22 1 2 5 2 4 z z i z z i ìï + = + í _{+ =} -ïî h) 2 1 z i z z i z ì - = ï í = -ïî i) 2 2 1 2 1 2 1 2 4 0 2 z z z z z z i ìï + + = í _{+ =} ïî Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

a) ì +_{í + = -}x_{x y}2y= -₃1 2_i i î b) 2 2 5 8 8 x y i x y i ì + = -í + = -î c) 4 7 4 x y xy i ì + = í _{= +} î d) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 i x y x y i ì + = -ï í ï _{+ =} -î e) 2 2 ₆ 1 1 2 5 x y x y ì _{+ =} -ï í + = ïî f) 3 2 1 1 17 1 26 26 x y i i x y ì + = + ï í + = + ïî g) _{2 2}5 1 2 x y i x y i ì + = -í _{+ = +} î h) 3 3 1 2 3 x y x y i ì + = í _{+ =} -î

VAÁN ÑEÀ 3: Taäp hôïp ñieåm

Giaû söû soá phöùc z = x + yi ñöôïc bieåu dieån ñieåm M(x; y). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M laø tìm heä thöùc giöõa x vaø y.

Baøi 1. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn moãi ñieàu kieän sau:

a) z z+ + = 3 4 b) z z- + - = 1 i 2 c) z z- +2i =2 z i- d) 2 . 1 2i z- = z+3 e) 2 2i- z = 2z- 1 f) z + = 3 1 g) z i+ = - -z 2 3i h) z 3i 1 z i -= + i) z- + = 1 i 2 k) 2 z+ = - i z l) z+ < 1 1 m) 1< - < z i 2

Baøi 2. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn moãi ñieàu kieän sau:

a) z+ laø soá thöïc 2i b) z- + laø soá thuaàn aûo 2 i c) .z z = 9 VAÁN ÑEÀ 4: Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc

Söû duïng caùc pheùp toaùn soá phöùc ôû daïng löôïng giaùc.

Baøi 1. Tìm moät acgumen cuûa moãi soá phöùc sau:

a) -2+2 3i. b) 4 – 4i c) 1- 3.i d) 4 sin . 4 cosp -i p e) 8 cos . 8 sinp -i p - f) (1-i. 3)(1+i) Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

a) 3 cos20

(

o+ sin 20i o

)(

cos25o+ sin 25i o

)

b) 5 cos .sin .3 cos .sin

6 i 6 4 i 4

æ p₊ pö æ p₊ pö

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

c) 3 cos120

(

o+_isin120o

)(

cos 45o+_isin 45o

)

_{d) 5 cos sin 3 cos sin}

6 6 4 4 æ ₊ ö æ ₊ ö ç ÷ ç ÷ _{è ø} è ø p p p p i i

e) 2 cos18

(

o +_isin18o

)(

cos 72o+_isin 72o

)

_f) cos85 sin 85 cos 40 sin 40 i i + + o o o o g) ) 15 sin . 15 (cos 3 ) 45 sin . 45 (cos 2 0 0 0 0 i i + + _{h) 2(cos 45} sin 45 ) 3(cos15 sin15 ) i i + + o o o o i) ) 2 sin . 2 (cos 2 ) 3 2 sin . 3 2 (cos 2 p p p p i i + + k) 2 2 2 cos sin 3 3 2 cos sin 2 2 æ ₊ ö ç ÷ è ø æ ₊ ö ç ÷ è ø p p p p i i

Baøi 3. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau:

a) 1 i- 3 b) 1 i+ c) (1-i 3)(1+i) d) 2.i.( 3- i) e) i i + -1 3 1 _f) i 2 2 1 + g) sinj+i.cosj h) 2+i 2 i) 1+i 3 k) 3 i- l) 3 0i+ m) tan5 8 i p + Baøi 4. Vieát döôùi daïng ñaïi soá caùc soá phöùc sau:

a) cos 45o_+isin 45o _{b) 2 cos sin}

6 6 æ ₊ ö ç ÷ è ø p p i c) 3 cos120

(

o_+isin120o

)

d) (2 )i+ 6 e) 3 (1 )(1 2 ) i i i + + - f) 1 i g) 1 2 1 i i + + h)

(

)

60 1 i 3 - + i) 40 7 1 3 (2 2 ) . 1 i i i æ ₊ ö - ç ÷ -è ø k) 1 cos3 sin3 4 4 2 i æ ö + ç ÷ è ø p _{p l)} 1 100 _{cos sin} 1 4 4 i _i i æ + ö æ ₊ ö ç ÷ ç _- ÷ _{è ø} è ø p _{p m)}

(

)

17 1 3 i -Baøi 5. Tính: a)

(

cos12o+ sin12i o

)

5 b)

(

1 i+

)

16 c) _{( 3-i)}6

d) éë 2 cos30

(

0+isin300

)

ùû e) 7 _(cos15o_{+isin15 )}o 5 _{f) (1 )+i} 2008_{+ -(1 )i} 2008

g) 21 3 2 1 3 3 5 ÷÷ ø ö çç è æ -+ i i _h) 12 2 3 2 1 ÷÷ ø ö çç è æ + i i) 2008 1 ÷ ø ö ç è æ + i i k) _{(cos sin ) .(1}5 _{3 )}7 3 i 3 i i p _- p _{+ l) 2008} 2008 1 _, 1 ₁ z bieát z z z + + = Baøi 6. Chöùng minh:

a) sin 5 16sint= 5t-20sin3t+5sint b) cos5 16 cost= 5t-20 cos3t+5cost

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau: a) (2 )( 3 2 )(5 4 )- - +i i - i b) 6 6 1 3 1 7 2 2 i i æ_{- +} ö æ _- ö + ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) 16 8 1 1 1 1 i i i i æ + ö ₊æ - ö ç _- ÷ ç ₊ ÷ è ø è ø d) 3 7 5 8 2 3 2 3 i i i i + ₊ -+ -e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )- i + i + + i - - i f)

1

+ + + + +

i i i

2 3

...

i

2009 g) i2000+i1999+i201+i82+i47 h) 1+ + + +i i2 ... in, (n³ 1) i) i i i i. . ...2 3 2000 k) i-5( )-i -7+ -( )i 13+i-100+ -( )i 94

Baøi 2. Cho caùc soá phöùc z₁= +1 2 ,i z₂ = - +2 3 ,i z₃= - . Tính: 1 i

a)z z₁+ + ₂ z₃ b) z z_{1 2}+z z_{2 3}+z z_{3 1} c) z z z _{1 2 3} d) z₁2+z₂2+z₃2 e) 1 2 3 2 3 1 z z z z +z + z f) 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z + + Baøi 3. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:

a) A z= 4+iz3- +(1 2 )i z2+3 1 3 ,z+ + i vôùi z= + 2 3i

b) ( 2 2 )(23 2), 1( 3 )

2

B= -z z + z - +z z vôùi z= - i Baøi 4. Tìm caùc soá thöïc x, y sao cho:

a) (1 2 )- i x+ +(1 2 ) 1y i= + i b) 3 3 3 3 x y _i i i - -+ = + -c) (4 3 ) 2 (3 2 ) 4 2 1 2 (3 2 )2 2 i x i xy y x xy y i - + + = - +

-Baøi 5. Tìm caùc caên baäc hai cuûa caùc soá phöùc sau:

a) 8 6i+ b) 3 4i+ c) 1 i+ d) 7 24i -e) 2 1 1 i i æ + ö ç _- ÷ è ø f) 2 1 3 3 i i æ _- ö ç ÷ ç _- ÷ è ø g) 1 2 2- 2 i h) i, –i i) 3 1 3 i i -+ k) 1 1 2+ 2i l) -2 1

(

+i 3

)

m) 1 1 1+i+1-i

Baøi 6. Tìm caùc caên baäc ba cuûa caùc soá phöùc sau:

a) i- b) –27 c) 2 2i+ d) 18 6i+

Baøi 7. Tìm caùc caên baäc boán cuûa caùc soá phöùc sau:

a) 2-i 12 b) 3 i+ c) 2i- d) 7 24i- + Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) z -3 125 0= b) z +4 16 0= c) z3+64i= 0 d) z3-27i= 0 e) z7-2iz4-iz3- = f) 2 0 z6+iz3+ - = g) i 1 0 z10+ - +( 2 )i z5- = 2i 0

Baøi 9. Goïi u u laø hai caên baäc hai cuûa ₁; ₂ z₁= + vaø 3 4i v v laø hai caên baäc hai cuûa ₁; ₂ 2 3 4

z = - . Tính i u₁+ u₂ + +v₁ v₂?

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: a) z +2 5 0= b)z2+ 2 2 0z + = c) z2+ 4 10 0z + = d) z2- 5 9 0z + = e) -2z2+ 3 1 0z - = f) 3z2- 2 3 0z + = g) (z z z z+ )( - ) 0= h) z2+ + = z 2 0 i) z2 = + z 2 k) 2z+3z = + 2 3i l)

(

z+2i

)

2+2

(

z+2i

)

- = m) 3 0 z3 = z n) 4z2+8 z2 = 8 o) iz2+ +(1 2 ) 1 0i z+ = p) (1 )+i z2+ +2 11 0i= Baøi 11. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

a) 2 4z i ₅4z i _{6 0} z i z i æ + ö _- + _{+ =} ç _- ÷ -è ø b)

(

)(

)

(

)

2 5 3 3 0 z+ i z- z + +z = c)

(

z2+ 2z

) (

-6 z2+ 2z

)

-16 0= d) z3- +

(

1 i z

)

2+ +

(

3 i z

)

- = 3i 0 e)

(

z + i z

)

(

2 2 2 0- z +

)

= f) z2-2iz+ - = 2 1 0i g) z2- -

(

5 14i z

)

-2 12 5

(

+ i

)

= 0 h) z2-80z+4099 100- i= 0

i)

(

z+ -3 i

)

2-6

(

z+ - +3 i

)

13 0= k) z2-

(

cosj +isinj +

)

z icos sinj j = 0 Baøi 12. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

a) x2- +

(

3 4i x

)

+ - = 5 1 0i b) x2+ +

( )

1 i x- - = 2 i 0 c) 3x2+ + = x 2 0 d) x2+ + = x 1 0 e) x - = 3 1 0

Baøi 13. Giaûi caùc phöông trình sau bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo:

a)z3-iz2-2iz- = 2 0 b) z3+ -

( ) (

i 3 z2+ 4 4- i z

)

- + = 4 4i 0 Baøi 14. Tìm m ñeå phöông trình sau:

(

z i z+

)

(

2-2mz m+ 2-2m

)

= 0

a) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm phöùc b) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm thöïc c) Coù ba nghieäm phöùc

Baøi 15. Tìm m ñeå phöông trình sau: z3+ +(3 )i z2- -3 (z m i+ = coù ít nhaát moät nghieäm thöïc ) 0 Baøi 16. Tìm taát caû caùc soá phöùc z sao cho (z-2)(z i+ laø soá thöïc. )

Baøi 17. Giaûi caùc phöông trình truøng phöông:

a) z4-8 1

( )

-i z2+63 16- i= 0 b) z4-24 1

( )

-i z2+308 144- i= 0 c) z4+6(1 )+i z2+ + = 5 6i 0

Baøi 18. Cho z z laø hai nghieäm cuûa phöông trình: ₁, ₂ z2- +

(

1 i 2

)

z+ - = . Tính giaù trò 2 3i 0 cuûa caùc bieåu thöùc sau:

a) z₁2+ z₂2 b) z z_{1 2}2 +z z_{1 2}2 c) z₁3+z₂3 d) _{1 2} 2 1 1 2 1 2 1 2 z z z z z z æ ö æ ö + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø e) 3 3 2 1 1 2 z z +z z f) 1 2 2 1 z z z + z

Baøi 19. Cho z z laø hai nghieäm cuûa phöông trình: ₁, ₂ x2- + = . Tính giaù trò cuûa caùc bieåu x 1 0 thöùc sau:

a) x₁2000+x₂2000 b) x1999₁ +x1999₂ c) x₁n+x n N₂n, Î

Baøi 20. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá phöùc thoaû maõn heä thöùc sau:

a) z 3 z i- = b) z2+z2 = 1 c) 1 z z =

Baøi 21. Haõy tính toång S= + +1 z z2+z3+...zn-1 bieát raèng z cos2 isin2

n n

p p

= + .

Baøi 22. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau:

a) i4+ + + + i3 i2 i 1 b) (1 )(2 )-i + i c) 2 1 i i + -d) 1 sin cos , 0 2 i - a+ a < <a p e) 3 cos sin 6 i 6 æ ö - ç + ÷ è ø p _{p f) cot ,} 2 i + < <p a p a g) sin (1 cos ), 0 2 i + - < <p a a a

Baøi 23. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau:

a)

(

)

(

)

8 ₆ 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) _{2 3 2} i i i _i + + + - _- b)

(

)

(

)

4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i - + + - + c)

(

1+i 3

) (

n+ -1 i 3

)

n d) sin cos 8 i 8 - p + p e) cos sin 4 -i 4 p _{p f) 2 2 3i} - + g) 1 sin cos , 0 2 i - a+ a < <a p h) 1 cos sin , 0 1 cos sin 2 i i + + < < + -a a _a p a a i) 4 3i-

Baøi 24. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau:

a)

(

)

(

)

8 ₆ 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) _{2 3 2} i i i _i + + + - _- b)

(

)

(

)

4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i - + + - + c)

(

1+i 3

) (

n+ -1 i 3

)

n Baøi 25. Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau coù giaù trò thöïc:

a)

(

2+i 5

) (

7+ 2-i 5

)

7 b) 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i æ + ö ₊æ + ö ç _- ÷ ç ₊ ÷ è ø è ø c) 6 6 1 3 1 3 2 2 i i æ_{- +} ö æ_{- -} ö + ç ÷ ç ÷ è ø è ø d) 5 5 1 3 1 3 2 2 i i æ_{- +} ö æ_{- -} ö + ç ÷ ç ÷ è ø è ø e) 6 6 3 3 2 2 i i æ ₊ ö æ _- ö + ç ÷ ç ÷ è ø è ø

Baøi 26. Trong caùc soá phöùc z thoaû maõn ñieàu kieän 2 3 3 2

z- + i = . Tìm soá phöùc z coù moâñun nhoû nhaát.

Baøi 27. Xeùt caùc ñieåm A, B, C trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc soá phöùc sau: 4 ; (1 )(1 2 ); 2 6 1 3 i _{i i} i i i + - + -

-a) Chöùng minh ABC laø tam giaùc vuoâng caân.

b) Tìm soá phöùc bieåu dieãn bôûi ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình vuoâng. Baøi 28. Giaûi caùc phöông trình sau, bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo:

a) z3+ -(2 2 )i z2+ -(5 4 ) 10i z- i= b) 0 z3+ +(1 )i z2+ -( 1)i z i- = 0 c) z3+ -(4 5 )i z2+ -(8 20 )i z-40i= 0

a) Tính ( 3 )P - i b) Giaûi phöông trình ( ) 0P z = . Baøi 30. Giaûi phöông trình 2 1 2 7 z z z æ + ö =_ç - _÷

-è ø , bieát z= + laø moät nghieäm cuûa phöông trình. 3 4i Baøi 31. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) z4+2z3-z2+2 1 0z+ = b) z4-2z3-z2-2 1 0z+ = c) z4- +

(

1 2

)

z3+ +

(

2 2

)

z2- +

(

1 2

)

z+ = 1 0 d) z4-4z3+6z2-4 15 0z- = e) z6+z5-13z4-14z3-13z2+ + = z 1 0

Baøi 32. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) (z2+3z+6)2+2 (z z2+3z+ -6) 3z2 = 0 b) 3 8 z i z i æ + ö = ç _- ÷ è ø c) (z2- +z 1)4-6 (z z2 2- +z 1)2+5z4 = 0 d) 3 2 1 0 z i z i z i z i z i z i æ - ö ₊æ - ö ₊æ - ö_{+ =} ç ₊ ÷ ç ₊ ÷ ç ₊ ÷ è ø è ø è ø

Baøi 33. Chöùng minh raèng: neáu z £ thì 1 2 1 2 z i iz -£ + .

Baøi 34. Cho caùc soá phöùc z z z . Chöùng minh: ₁, ,_{2 3}

a) z z₁+ ₂2+ z₂+z₃2+ z₃+z₁2 = z₁2+ z₂2+ z₃2+ z z₁+ +₂ z₃2

b) 1+z z_{1 2}2+ z z₁- ₂2 = +

(

1 z₁2

)(

1+ z₂2

)

c) 1-z z_{1 2} 2- z z₁- ₂2 = -

(

1 z₁2

)(

1- z₂2

)

d) Neáu z₁ = z₁ = thì c z z₁+ ₂2+ z z₁- ₂2 =4c2.

Chaân thaønh caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø caùc em hoïc sinh ñaõ ñoïc taäp taøi lieäu naøy. transitung_tv@yahoo.com