• Nenhum resultado encontrado

LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ - NGÔ ĐẮC TÂN

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ - NGÔ ĐẮC TÂN"

Copied!
342
0
0

Texto

(1)

BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC

NGÔ ĐẮC TÂN

Viện Tòán học

Trung tâm Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia

LÝ THUYẾT TỔ HƠP

VÀ ĐÓ THỊ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ!

(2)

HỘI ĐỔNG BIÊN TẬP

___ ^

GS T rần Đức Vần (Chủ tịch) PGS Phan Huy Khải (Thư ký) GS Hà Huy Khoái

GS Phạm Hữu Sách GS Ngô Việt Trung

GS Hoàng Tụy GS Đỗ Long Vân

(3)

T > * + • -fV

Lời nói đau

Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông tin, 'lý thuyết tổ hợp và đồ thị đã trờ thành các lĩnh vực toán học quan trọng và cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng. Đó là do lý thuyết tổ hợp là chiếc cầu nối giữa các bài toán cần được giải quyết với công cụ tính toán, còn đồ thị là mô hình trực quan để mô tả các quan hệ hai ngôi.

Nhiều bài toán hiện nay được giải quyết bằng cách qui chúng về các bài toán tổ hợp. Việc giải quýết được các bài toán tổ hợp này, thường có sự hỗ trợ của máy tính, sẽ dẫn tới lời giải cho bài toán ban đầu. Có thể dẫn sự chứng minh giả thuyết bốn màu ra đây đề minh hoạ. Từ 1850, Guthrie đã có nhận xét rằng có thể dùng bốn màu khác nhau để tô các tỉnh của vương quốc Anh sao cho không có hai tỉnh kề nhau nào cùng màu. Với nhận xét này, người ta đặt giả thuyết rằng có thể dùng bốn màụ khác nhau để tỏ màu mọi bản đồ bao gồm các quốc gia sao cho không có hai quốc gia kề nhau nào có cùng màu. Giả thuyết này đẳ thách thức cấc nhà toán học hơn 100 năm. Mãi tới tận năm 1977, Appel và Haken mới qui được bài toán tô màu bản đồ về việc xem xét trên 1900 cấu hình tổ hợp. Với việc sử dụng trên 1200 giờ máy tính để xem xét các cấu hình tổ hợp trên, Appel và Haken đã chứng minh được giả thuyết bốn màu.

Trong khoảng mấy chục Ịiăm gần đâỵ, người ta đã quan tâm nhiều tới đồ thị và các ứng dụng của nó. Đó là do đồ thị đã chứng tỏ được là một mô hình hữu hiệu cho tính toán và tối ưu. Ngày nay khái niệm đồ thị đã xâm nhập không chì vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống như toán học, vật lý học hay hoá học, mà còn vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội khác.

Cuốn sách này được viết nhằm đáp ứng một phần nhu cầu tìm hiểu về lý thuyết tô’ hơp v.à đồ thị của nhiều đọc giả Việt Nam. Sách được hình thành trên cơ sở các bài giảng của tác giả từ những.năm 1996 tới nay cho các sinh viên Khoa Công nghê Tin hoc thuôc Viên Đai học Mỏr

(4)

Lý thuyết tổ hợp và đồ thị

Giáo đục và Đào tạo Hải Phòng, các học viên cao học và .nghiên cứu sinh của Viện Toán học. Cuốn sách bao gồm 10 chương, trong đó 5 chương đầu đề cập tới các vấn đề của lý thuyết tổ hợp, 4 chương tiếp theo đề cập tới các vấn đề của lý thuỵết đồ thị và chương cuối cùng đề cập tới bài toán tồn tại của ly thuyết tổ hợp trên ngôn ngữ của lý thuyết đồ thị.

Các đọc giả có trình độ phổ thông trung học có thể đọc được ngay các Chương 1 và 6. Tuy nhiên đề đọc được các chương còn lại đòi hồi đọc giả phải có kiến thức của một số lĩnh vực toán học liên quan như đại số tuyến tính, đại số trừu tượng, . . . .

Các Chương 2 và 3 là các chương độc lập với nhau. Đọc giả sau khi đọc xong Chương 1 có thể bỏ quá Chương 2 để đọc tiếp các chương tiếp theo hoặc có thề đọc tiếp Chương 2 rồi bỏ qua Chương 3 và đọc tiếp các chương sau. Các chương đề cập tới lý thuyết đồ thị (Chương 6,7,8 và 9) cũng độc lập với các chương đề cập tới lý thuyết tổ hợp (Chương 1,2,3,4 và 5). Đọc giả nào không quan tâm tới lý thuyết tổ hợp có thề đọc ngay từ Chương 6.

Cuối mỗi chương đều có phần bài tập để đọc giả tự kiểm tra kiến thức thu nhận được của mình. Các bài tập không được đánh dấu là các bài tập tương đối đơn giản nhằm giúp đọc giả nắm được các khái niệm và kết quả trong chương. Các bài tập có đánh dấu (*) là các bài tập nâng cao đòi hỏi đọc giả phải có đôi chút suy nghĩ và sáng tạo. Còn các bài tập có đánh dấu (**) là các bài tập khó.

Tôi xin cảm ơn Hội đồng biên tập Bộ sách Cao học Viện Toán học và đặc biệt là Chủ tịch Hội đồng GS TSKH Trần Đức Vản đã động viên tôi hoàn chỉnh cáe bài giảng để viết thành sách và cho phép tôi in trong bộ sách này. Tôi cũng xin bày tồ lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Phạm Trà Ân, PGS TS Phan Huy Khải, GS TSKH Hà Huy Khoái, TS Lê Công Thành, GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Hoàng Tụy, GS TSKH Đỗ Long Vân, GS TSKH Trần Đức Vân và nhiều đồng nghiệp khác đã dành không ít thời gian để đọc bản thảo và có nhiều nhận xét quý giá giúp tôi hoàn chỉnh cuốn sách này.

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn GS v s Nguyễn Văn Đậo, chủ tịch Hội đồng Khoa học tự nhiên đã quan tâm đến bộ sách cao học của Viện Toán học, cảm ơn Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để giáo trình sớm được xuất bản.

TS Nguyễn Hữu Điển, TS T ạ Duy Phượng và chị Vũ Thị Ái Vân

(5)

Lời nói đầu 5 đã giúp đỡ tôi trong việc soạn thảo và làm các thủ tục biên tập và in. Nhiều sinh viên và học viên dự các bài giảng của tôi đã phát hiện những chỗ không chính xác hoặc trao đổi với tôi về những chỗ khó hiểu. Những phát hiện và những thảo luận đó đã giúp tôi cải tiến cách trình bày để đọc giả dễ tiếp thu hơn. Tôi cũng xin có ỉời cảm ơn tới các đồng nghiệp, các sinh viên và học viên nói trên.

Cuốn sách chắc không khỏi có những thiếu sót. Tôi hoan nghênh và đánh giá cao các nhận xét của các đồng nghiệp và các đọc giả xa gần. Mọi nhân xét và góp ý xin gửi về địa chỉ: PGS TS Ngô Đắc Tân, Viện Toán học, 18 Đường Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội.

Hà Nội, 10 tháng 11 năm 2003 Ngô Đắc Tân

(6)
(7)

M ục lục

Lời nói đầu 3

1 Các bài toán và kết quả tổ hơp cơ bản 19

' 1.1 Khái quát về tổ hợp ... 19 1.2 Các qui tắc đếm cơ b ả n ... ... 25 1.3 Một số bài toán đếm cơ bản ... ... 27 '1.3.1 Chỉnh hợp có lặp ... ... 27 1.3.2 Chỉnh hợp không lặ p ... 27 1.3.3 Tổ hợp không lặp ... 29 1.3.4 TỔ hợp có lặp ... 30 1.3.5 Hoán vị không l ặ p ... : 32 1.3.6 Hoán vị có lặp . ... 33

1.3.7 Phân hoạch của tập hợp. Số Stirling loại hai và số Bell ... ... ... 34

1.4 Một vài ứng dụng ... ... ... 36

1.4.1 Bài toán đếm tấ t cả các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn ... ... 36

1.4.2 Bài toán đếm tấ t cả các hàm đơn ánh từ một tập hữu hạn vào một tập hữu h ạ n ...37

1.4.3 Bài toấn đếm tấ t cả các hàm toàn ánh từ một tập hữu hạn lên một tập hữu h ạ n ... ... 37

1.4.4 Bài toán đếm các đường tăng dần của một lưới nguyên ...3Ố 1.4.5 Hệ số nhị thức và hệ số đa t h ứ c ... 40

(8)

8 MỤCLỤC

1.5 Nguyên lý Dirichlet và bài tòán tồn t ạ i ...47

Bài tậìp Chương 1 ...50

2 Các phương pháp đếm dụng, hặm sinh 59 2.1 Các kiến thức hỗ t r ợ ... 59

2.1.1 Chuỗi luỹ thừa hình t h ứ c ... 60

2.1.2 Toán từ đạo hàm trong CN ... 67

2.1.3 Toán từ tích phân trong C N ...71

2.1.4 Các toán từ thường gặp khác trong C N ...73

2.1.5 Phép truy toán trong C N ... 79

2.2 Phương pháp đếm bằng hàm sinh thông t h ư ờ n g ... 86

2.3 Phương pháp đếm bằng hàm sinh m ũ ...97

Bài tập Chương 2 ...105

3 M ôt số phương pháp và kỹ thuật đ ếm cơ bản khác 109 3.1 Phương pháp đễm bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ . 109 3.2 Phương pháp đếm bằng công thức nghịch đ ả o ... 119 3.2.1 Công thức nghịch đảo nhị t h ứ c ... 121 3.2.2 Công thức nghịch đảo Stirling . ... 123 3.2.3 Công thức sà n g ... ... 124 3.3 Một vài kỹ thuật cơ bản . . . ...127 3.3.1 Tính tổng bằng tỉch phân hữu h ạ n ... 128

3.3.2 Xác định hệ thức trong các dãy số bằng phiếm hàm tuyến t í n h ...133

Bài tập Chương 3 . . . ... 136

4 Lý thu yết P ólya 139 4.1 BỔ đe B urnside... ...'... 139

4.2 Đa thức chỉ số chu t r ì n h ...146

4.3 Định lý đếm P ó l y a ... ... ...149

4.4 Đa thức chỉ số chu trình cho các nhóm Cn, Đ n và s n . . 155 4.4.1 Nhóm xyclic Cn . ... 156

(9)

MỤC LỤC 9 4.4.2 Nhóm nhị diện D n ... ... 157 4.4.3 Nhóm đối xứng S n ... ... .. 158 Bài tập Chương 4 ... 159 5 N ghịch đảo M õbius 163 5.1 Tập được sắp bộ p h ậ n ... 163 5.2 Đại số liên t h u ộ c ... ... ... 165

5.3 Nghịch đảo Mõbius trong tập được sắp bộ phận hữu hạn địa p h ư ơ n g ... ...170

5.4 ứ n g dụng của công thức nghịch đảo cho bài toán đếm . . 176

5.4.1 Công thức tính giá trị cùa (fi-hkva Euler <p(n) . . . 176

5.4.2 Dãy xyclic... ... 177

5.4.3 Công thức cho nguyên lý bao hàm và loại trừ . . . 179

Bài tập Chương 5 ...180

6 Các khái niệm và kết quả cơ bản của đồ thi 183 6.1 Vài nét về lịch sừ phát minh ra đồ t h ị ... 183 6.2 Các định nghĩa cơ b ả n ...185 6.3 Hành trình, đường, chu trình, vết và m ạ c h ...193 6.4 Cây ...197 6.5 Đồ thị E u le r... ... 200 6.6 Đồ thị Hamilton ...' ... 202 6.7 Đồ thị p h ẳ n g ...206 6.8 Nhúng đồ t h ị ...210 Bài tập Chương 6 ... 215

7 M ột số bài toán tối ưu trẽ n đồ thi 219 7.1 Biểu diễn đồ thị bằng ma t r ậ n ... 219

7.1.1 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề ... 220

7.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên t h u ộ c ... 220

7.1.3 Biểu diễn trọng đồ bằng các ma trận trọng lượng 22i 7.2 Bài toán tìm cấy bao trùm có trọng lượng nhỏ nhất . . . 223

(10)

10 MỤC LỤC

7.2.1 Thuật toán K r u s k a l ...224

7-2.2 Thuật toán P r i m ... 228

7.3 Bài toán tìm đường có trọng lượng nhò nhất ... .. v>. t ...'... 235

7.4 Bài toáĩi tìm luồng lớn nhất trong mạng vận tải . . . 243

7.5 Thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng lớn nhất và lát cắt nhỏ nhất trong mạng vận tải n g u y ên ... 249

7.6 Một số bài toán khác về luồụg ... 255

7.6.1 Mạng vận tải đ ỉ n h ...255

7.6.2 Mạng vân tải đ ỉnh -cu ng ...257

7.6.3 Mạng vận tải với nhiều đỉnh phát và nhiều đỉnh thũ . . . .' ĩ<... ...258

7.6.4 Mạng vận tải đỉnh với nhiều đỉnh phát và nhiều đỉnh thu và mạng vận tải đỉnh-cung?,với nhiều đỉnh phát và nhiều đỉnh t h u ... 260 Bài tập Chương 7 ... ... ...260 8 Độ liên thông, ghép căp và nhân tử,.của đồ th i 265 8.1 Độ liên t h ô n g ... 265 8.2 Ghép cặp ...270 8.3 Nhân t ử ...275 Bài tập Chương 8 ... ' \... 280 9 Tô màu đ ồ th ị 283 9.1 Tô màu đ ỉ n h ... ... 283 9.2 Đa thức tô m à u ...288 9.3 Tô màu cạnh . ; ... ... 292 9.4 Tô màu đồ thị p hẳng ... ... . 294

9.5 Tô màu đồ thị nhúng được vào mặt giống khác 0 ...298

Bài tập Chương 9 ...302

10 Lý thu y ết R am sey 305 10. Jf Các đỊnh lý Ramsey cơ bản ... 305

10.2 Đô th i‘con đơn sắc ... ... 310

(11)

MỤC LỤC 11 10.3Các định lý Ramsey trong đại số và hình h ọ c ...315 10.4 Các dãy c o n ... ... 322 Bài tập Chương 10 '...326

Tài liêu tham khảo 3ỊĨ1

Danh muc từ khoá 334

(12)

f

.. « I

\

L

(13)

D anh sách cạc bảng

2.1 Một số giá trị đầu tiên của i?2j và Í2j ‐ 1 ...105

5.1 Dùng cho Bài tập 5 .3 ... ... 180

7.1 Dùng cho Ví dụ 7 .4 ... 229

7.2 Dùng cho Ví dụ 7 .5 ... 235

7.3 Dùng cho Ví dụ 7 .6 ... ... 243

(14)
(15)

D anh sách các hình

1.1 Ví dụ một lưới nguyên và một đường tăng dần từ (0,0) tới (m, r i ) ... ... 39 2.1 Các loại truy t o á n ... .. . . . ...80 4.1 Hoán vị ơ và r ...141 . 4.2 Một sơ đồ màu của hình v u ô n g ... 141 4.3 Vòng hạt gồm 6 hạt màu trắng, vàng hoặc đ e n ... 148 4.4 Cấu trúc phân tử của P o r p h i n ... 154 5.1 Sơ đồ Hasse cho P ({ 1 ,2,3}) . . . . ... 165

6.1 Bài toán về bẩy chiếc cầu ò K õ nigsberg... 184

6.2 Ví dụ một đồ thị có hướng ... ... - 186 • 6.3 Ví dụ một đồ thị vô h ư ớ n g ... ... 187 6.4 Ví dụ một đa đồ thị có hư ớng... 188 6.5 Ví dụ một đa đồ thị vô hướng ...188 6.6 Ví dụ một trọng đồ có h ư ớ n g ... . 189 6.7 Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu ... ...192

6.8 Dùng để minh hoạ cho hành trình trong đồ t h ị ... 194

6.9 Đô thị P e te rs e n ... 195

6.10 Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G\ và Ơ2 . - . 196 6.11 Ví dụ một rừng gồm 4 c â y ... 197

6.12 Ví dụ đồ thị không nửa Euler, nửa Euler và Euler . . . .201

(16)

16 DANH SÁCH CÁC HÌNH • 6.13 Ví dụ đồ thị không nửa Hamilton, nừa Hamilton và

Hamil-ton ... ... 203

6.14 Đồ thị có chu trình Hamilton nhưng không thoả mãn điều kiện của Định lý 6 . 4 . ... t...205

6.15 Ví dụ đồ thị phằng và đồ thị không phẳng ...206

6.16 Ví dụ đồ thị đằng cấu với độ chính xác tới các đỉnh bậc 2209 6.17 Chiếu biểu diễn nhúng vào mặt cầu của G thành một biểu diễn phằng và ngược l ạ i ... 211 6.18 Giống của các m ặ t ...212 6.19 Dùng cho Bài tập 6.6 ... 216 6.20 Dùng cho Bài tập 6 .2 1 ... 217 7.1 Đồ thị có hướng G của Ví dụ 7 . 1 ...221 7.2 Trọng đồ có hướng G của Ví dụ 7.3 ...222 7.3 Trọng đồ dùng cho Ví dụ 7.4 và Ví dụ 7 . 5 ... 226 7.4 Trọng đồ có hướng G của Ví dụ 7.6 ... 240 7.5 Dùng cho Ví dụ 7.7 . . . . ... 252 7.6 Lần tăng luồng 1 và lần gáii nhãn 1 ... ... 253 7.7 Lần tăng luồng 2 và lần gán nhãn 2 ...253 7.8 Lần tăng luồng 3 và lần gán nhãn 3 ... 254 7.9 Lần tăng luồng 4 và lần gán nhãn 4 ...254 7.10 Lần tăng luồng 5 và lần gán nhãn 5 ...255 7.11 Dùng cho Bài tập 7 .1 ... ... 261 7.12 Dùng cho Bài tập 7 .4 ... 262 7.13 Dùng cho Bài tập 7 .5 ... 262 7.14 Dùng cho Bài tập 7.8 ... 263 7.15 Dùng cho Bài tập 7.9 . ... ... ... . 264 8.1 Ví dụ một phản x í c h ... 274 8.2 1-nhần tử hoá của K i ...279 9.1 Dùng cho Ví dụ 9.2 ... ... ...284 9.2 Đồ thị G và G o e ; . . ... 290

(17)

9.3 Bản đồ M và đồ thị M* tương ứng ... 295 9.4 Nhúng đồ thị K-J vào mặt xuyến S\ ... 299 10.1 Đồ thị Ơ3 + C5 ... 315 10.2 Dùng cho chứng minh Định lý 10.12: Các điểm kề nhau

cách nhau 1 đơn v ị ...317 10.3 Lục giác đều có cạnh bằng a với ^ < a < (4\/5 — 5)/10. . 317 10.4 Minh hoạ chó phần (i): gán màu của j € [1, w '\ cho ta

biết Wj được tô màu như thế n à o ... 321 10.5 Đồ thị dùng để chứng minh rằng R(3,4) > 9... 327 DANH SÁCH CÁC HÌNH___________ ._________________________ 17

(18)
(19)

Chương 1

Các bài toán và kết quả tổ

hơp cơ bán

Trong chương này ta sẽ đề cập tới đối tượng nghiên cứu của lý thuyết tô’ hợp, các qui tắc và kết quả đếm cơ bản và nguyên lý Dirichlet cho bài toán tồn tại. Một vài ứng dụng của các kết quả đếm cơ bản nói trên cũng được xem xét.

1.1 Khái quát v ề tổ hơp

Tư duy về tổ hợp ra đời rất sớm.

Trung Quốc, vào thời nhà Chu người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Nhà triết học cổ hy lạp Kxenokrat, sống ờ thế kỷ t£ứ 4 trước Công nguyên, đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pithagore và các học trò của ông đã phát hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ của các số. Một kết quả nổi tiếng của trường phái này là kết quả mà ngày nay chúng ta gọi là định lý Pithagore.

Tuy nhiên, có thể nói rằng lý thuyết tô’ hợp được hình thành như một ngành của toán học rời rạc chỉ vào quãng thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat,,Leibnitz, Euler.... Mặc dầu vậy, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong quãng thời gian hơn hai thế kỷ. Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, tổ hợp đã trò thành một lĩnh vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ. Nó là chiếc cầu nối

(20)

20 Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

giữạ các bài toán cần được giải quyết và công cụ tính toán là máy tính. Cụ thể là việc giải quyết các bài toán thực tế hay các bài toán trong các lĩnh vực khoa học thường được qui về việc giải quyết các bài toán tô hợp nào đấy.

Vì tổ hợp có liên quan tới nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đời sống và các khoa học khác nhau nên khó có thề định nghĩa nó một cách hình thức chặt chẽ. Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu các cấu hình tổ hợp và các cấu trúc tồ hợp mà ta có thể định nghĩa chúng một cách khái quát như dưới đây.

C ấu h ìn h t ổ h ợ p

Giả sử A i , . . . , A m là các tập bất kỳ, s là một sơ đồ sắp xếp (có thề là trực quan hình học hoặc có thề là trừ u tượng và được mô tả dưới dạng các qui tắc sắp xếp), còn R ị , ... , Rn là các điều kiện đã cho. Các" điều kiện này đặt các ràng buộc lên sự sắp xếp các phần từ của

A \ , . . . , A m theo sơ đồ s. Khi đó một sự sắp xếp bất kỳ các phần tử

của A \ , . . . , Am theo sơ đồ s thoả mãn các điều kiện R i , . . . ,Rn được gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A i , . . . , Am. Nếu các phần tử của A 1, . . . , Arn đều thuộc tập A thì cấu hình tổ hợp trên A i , ... , A m thường được gọi ngắn gọn là cấu hình tổ hợp trên A. V í d ụ 1.1. Giả sử Ai ={ Vua trắng} , ^2 ={ Hậu trắng} , ^3 ={ Tượng trắng 1, Tượng trắng 2} , a4 ={ Mã trắng 1, Mã trắng 2} , a5 ={ Xe trắng 1, Xe trắng 2} , ■ Ae ={ Tốt trắng 1, .. . , Tốt trắng 8} , 'b x ={ Vua đen} , Bq ={ Tốt đen 1, ... , Tốt đen 8} ; s là sơ đồ sắp xếp “bàn cờ vua 8 X 8 ô” ;

R u . . . ,Rn là các điều kiện được xác định bời luật cờ vua mà các

quân cờ cạn thoả mãn khi chúng được sắp xếp vào các ô bàn cờ. Khi

đó mỗi thế cờ là m ột cấu hình tổ hợp. □

(21)

1.1. Khái quát về tổ hợp 21 V í d ụ 1.2. Giả sử A\ là tập hợp gồm 12 học sinh nữ và A2 là tập hợp

bao gồm 20 học sinh nam cùa một lớp;

Sơ đò sắp xếp s là “3 hàng dọc, mỗi hàng có 6 vị trí”;

Điều kiện i?i: 3 vị trí đầu của hàng 1 phải là nữ, 3 vị trí sau của hàng 1 phải là nam;

Điều kiện i?2: ờ hàng 2, nam và nữ được xếp vào các vị trí xen kẽ nhau, nhưng vị trí đầu tiên phải là nam;

Điều kiện R3: 3 vị trí đầu của hàng 3 phải là nam, 3 vị trí sau của

hàng 3 phải là nữ.

Khi đó mỗi cách sắp xếp thành hàng của các học sinh từ A\ và

Ả2 theo sơ đồ s thoả mãn các điều kiện,i?i, i?2, R3 là một cấu hình

tổ hợp. □

C ấ u t r ú c t ổ h ơ p

Giả sử V là một tập bất kỳ. Ta ký hiệu &(V) là tập tấ t cả các cấu hình tổ hợp trên V (theo mọi sơ đồ sắp xếp s và mọi điều kiện

R i , . . . ,Rn có thề). -Khi đó bộ ba G = ( V ,E , f) được gọi là một cấu trúc tổ hợp trên V nếu V và Ẹ là các tập rời nhau, / là một hàm từ E

vào $(V ) và V, E. f thoả mãn một số tiên đề xác định nào đó.

V í d ụ 1.3. Giả sử V = { Wi,... ,vm} , E = { e I , ... , en} với V n E = 0. Ta cũng giả sử s là sơ đồ sắp xếp “cặp (xi,a;2)” và / là hàm từ E vao

$(V)-(a) Nếu với mọi e € E, f(e) là một cấu hình tổ hợp theo s trên các bản sao rời nhau A \ và A'2 cúa V thoả mãn Xi e Ai, X2 e Ả2, thì cấu

trúc tổ hợp (V, E, f ) được gọi là một đa đồ thị có hướng với tập đỉnh

V yà tập cung E. Nếu hàm / nói trên là đơn ánh, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, ỉ ) được gọi là một đơn đồ thị có hướng và thường được gọi tắ t

là đồ thị có hướng.

(b) Nếu với mọi e € E, f(e ) là một cấu hình tổ hợp theo s trên

Aỵ = V ;thoả mãn Xi € Ai, x<2 € Ai \{sci}, thì cấu trúc tổ hợp (V, E , /)

được gọi là một đa đồ thị có hướng không có khuyên. Nếu / lại là đơn ánh, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, / ) được gọi là một đơn đồ thị có hướng không có khuyên và thường được gọi tắt là đồ thị có hướng

không có khuyên. □

V í d ụ 1.4. G iảsừ V = { v i , . . . ,vmị , E ={ e i , .. . ,e„} với V n E = 0.

(22)

22 Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

Ta cũng giả sử s là sơ đồ sắp xếp “đa tập có 2 phần tử dạng {£1, 2:2}, tức là X\ và '£ 2 cổ thể như nhau” và / là hàm từ E vào ^(V ).

(a) Nếu với mọi e € E, /(e ) là một cấu hình tổ hợp theo s trên cắc bản sao rời nhau A \ và A2 của V thopi, mãn Xị 6 Aị, X2 € A2, thì cấu

trúc tổ hợp (V, E, / ) được gọi là một đa đồ thị vô hướng với tập đỉnh

V và tập cạnh E. Nếu hàm / nói trên là đơn ánh, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, / ) được gọi là một đơn đồ thị vô hướng và thường được gọi tắ t

là đồ thị vô hướng.

(b) Nếu với mọi e &'E, /(e ) là một cấu hình tổ hợp theo s trên

Aị = V thoả mãn Xị e A\, X2 € A ị, thì cấu trúẹ tổ hợf) ( V ,E ,f )

được gọi là một đa đồ thị vô hướng không có khuyên. Nếu / lại là đơn ánh, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) được gội là một đa n đồ thị vô hướng không có khuyên và thường được gọi tắ t là đồ thị vô hướng không

có khuyên. □

Các cấu trúc tổ hợp được biết nhiều tới hiện nay là đồ thị, siêu đồ thị (hypergraph), thiết kế khối (block design), matroid. Mỗi cấu trúc tổ hợp này đều đã có'một lý thuyết phát triển độc lập cho mình. Vì khối lượng của cuốn sách có hạn nên trong tài liệu này, ta chỉ đề cập tới cấu trúc đồ thị.

Các vấn đề của lý thuyết tổ hợp liên quan tới các cấu hình tổ hợp cũng rất đa dạng., Tuy nhiên, bốn loại bài toán kể ra dưới đây là thường gặp hơn cả. Trong các bài toán này, ngứời ta thường giả thiết rằng các tập A ỵ ,... , A m mà trên đó các cấu hình tổ hợp được tạo lập, đều là hữu hạn.

£ ^

1. Bài toán đem

Đây là các bài toán nhằm trả lời câu hổi: “Có bào nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã cho?” Phương pháp đếm thường dựa vào một số qui tắc, nguyên lý đếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khố khăn hay chưa giải quyết được trọn vẹn, người ta thường đặt ra bài toán đánh giá số các cấu hình tổ hợp đó bằng cách xác định cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng có hiệu quả vào những công việc mang tính chất đánh giá như tính xác suất của một sự kiện, tính độ phức tạp của một thuật toán, . . . .

V í d ụ 1.5. Cho một thế cờ G. Hỏi sẽ có bao nhiêu thế cờ nhận được nếu quân trắng thực hiện một nước cờ từ G, rồi quân đen thực hiện

(23)

1.1. Khái quát vẽ tổ hợp 23 một nước cờ nào đó từ thế cờ vừa nhận được? □ V í d ụ 1.6. Có bao nhiêu cách xếp hàng của học sinh ờ Ví dụ 1.2? 2. Bài toán liệt kê

■ Các bài toán này quan tâm đến việc tìm các thuật toán có hiệu quả để xây dựng tấ t cả các cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã cho. Theo thuật toán đó người ta lập trình để máy tính in ra tấ t cả các cấu hình tô’ hợp cần liệt kê. Các bài toán trong các lĩnh vực khác nhau thường đựợc đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ họp liệt kê đó có thoả mãn tính chất này hay tính chất khác hay không. Vì thế mà bài toán liệt kê là cơ sờ để giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Hiện nay, nhiều bài toán vẫn chưa có cách giải nào khác ngoài cách giải dựa vào bài toán liệt kê; Nếu trước đây, cách giải này còn mang tính lý thuyết thì bây giờ nó ngày càng khả thi nhờ sự tiến bộ nhanh chóng của khoa học máy tính.

V í d ụ 1.7. Giả sử G lặ một thế cờ cho trước. Hãy liệt kê tấ t cả các thế cờ nhận được sau khi quân trắng thực hiện một nước cờ từ G, rồi quân đen thực hiện một nươc cờ nào đó từ thế cờ vừa nhận được. □ V í d ụ 1.8. Hãy liệt kê các cách xếp hàng của học sinh ờ Ví dụ 1.2. □ 3. Bài toán tối ưu tổ hơp

Trong nhiều vấn đề, các cấu hình tổ hợp còn được gắn với một giá trị bằng số đánh giá giá trị sử dụng của các cấu hình tổ hợp đó. Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp cho các cấu hình này quan tâm tới việc tìm ra một hoặc một vài cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã ch"o tốt nhất theo một nghĩa nào đấy. Đây là những bài toán có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Lý thuyết tổ hợp đã đóng góp một phần đáng kể trong việc xây dựng những tPìuật toán hữu hiệu đề giải quyết các bài toán tối ưu tố hợp. Các bài toán cực trị (extremal problems) trong lý thuyết tổ hợp cũng có thể coi là các bài toán thuộc dạng này.

V í d u 1.9. Giả sử G là một thế cờ đã cho. Mỗi thế cờ nhận được sau khi quân trắng thực hiện một nước cờ từ G sẽ có lợi nhiều hay ít cho quân trắng. Theo kinh nghiệm, người chơi quân trắng gán cho mỗị thế cờ đó một trọng số: trọng số càng cao riếu thế cờ càng có lợi cho quấn trắng. Khi đó để chọn cho mình một nước đi tốt nhất từ G, người điợi quân trắng đã phải giải quyết một bài toán tối ưu tổ hợp là tìm ra một

thế cờ có lợi nhất cho mình sau một bước đi. □

(24)

24 Chương í. .Các bài toán và kết qud tồ hợp cơ bản

4. Bài toán tồn tại

Trong các bài toán đếm, bài toán liệt kê hay bài toán tối ưu tổ hợp, việc tồn tại các cấu hình tổ hợp thuộc dạng đã cho là hiển nhiên. Tuy nhiên, đối với một số cấu hình tổ hợp, việc chúng có toil tại hay không chưa được sáng tồ. Việc tìm ra câu trả lời “có” hay “không có” các cấu hình này chính là mục tiêu của bài toán tồn tại. Đề trà lời là “có”, ta thường phải xây dựng được một cấu hình tô’ hợp thuộc dạng đã cho. Nhiều bài toán loại này là những bài toán rất nan giải. Lịch sử toán học để lại nhiều bài toán khó thuộc loại này và việc cố gắng giải quyết chúng đã thúc đẩy không ít sự phát triển của nhiều hướng nghiên cứu trong lý thuyết tổ hợp.

V í d u 1.10. Giả sử Ai là tập gồm 2n vật. Ta cũng giả sừ rằng sơ đồ sắp xếp s được xác định bởi một lưới ô vuông tạo bời n đường kẻ ngang cách đều nhau một đơn vị đo và n đường kè dọc cũng cách đều nhau một đơn vị đo đó. Các đường kè ngang và kẻ dọc của lưới giao nhau tạo ra n X n giao điểm gọi là các điểm của lưới. Ta cần sắp xếp 2n vật của A\ lên các điểm của lưới này.

Điều kiện sắp xếp Ri'. T ất cá 2n vật từ tập Ai đều phải được sắp lên các điểm của lưới;

Điều kiện sắp xếp R2: Không có 3 vật nào được sắp thằng hàng với

nhau theo cả chiều ngang, dọc và chéo.

Với n < 16, cấu hình tổ hợp trên được biết là tồn tại. Tuy nhiên, với n > 16, cấu hình tổ hợp này có tồn tại hay không đến nay vẫn chưa sáng tỏ. Việc tìm ra câu trả lời “có” hay “không có” cấu hình tổ hợp như thế với n > 16 là nội dung của bài toán tồn tại cho cấu hình tô’

hợp nói trên. □

Hiện nay, bài toán liệt kê cấu hình tổ hợp là một bộ phận quan trọng của lĩnh vực phần mềm ứng dụng, còn bài toán tối ưu tổ hợp thì đã phát triển thành một lĩnh vực độc lập gọi là tối ưu tổ hợp. Đối với bài toán tồn tại, một số lý thuyết đã hình thành cho một số lớp bài toán (lý thuyết Ramsey, lý thuyết chứng minh tồn tại bằng phương pháp không kiến thiết như phương pháp xác suất). Tuy nhiên, chưa có một lý thuyết thống nhất để giải quyết mọi bài toán tồn tại và có lẽ một lý thuyết nhự thế sẽ không có. Cũng vì sự hạn chế của khối lượng cuốn sách, trong tài liệu này ta chủ yếu tập trung vào bài toán đếm và bài toán tồn tại.

(25)

1.2. Các qui tắc đếm cơ bản 25 Như vậy, những vấn đề được đề cập tới trong tài liệu riày chỉ là một phần khiêm tốn của lý thuyết tổ hợp theo nghĩa rộng. Tuy nhiên, đây lại là phần kinh điển và cơ bản nhất. Các vấn đề này là các vấn đề mà ta thường xuyên gặp phải trong mọi lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng. Hy vọng rằng các vấn đề khác của lý thuyết tổ hợp không được đề cập ờ đây sẽ xuất hiện ở các tài liệu trong tương lai.

1.2 Các qui tắc đếm cơ bản

Giả sử A \ và A2 là hai tập đã cho. Ta nói rằng giữa các phần tử của A\

và A i tồn tại tương ứng một-một nếu ta có thề sắp xếp tấ t cả các phần tử của cả A ị và A2 thành các cặp dạng (ai , a2) với d]_ £ Ai, Ũ2 € A2

sao cho các cặp nhận được đều rời nhau, tức là nếu (a, b) Ỷ (c> d) thì

a Ỷ c,b ^ d.

Từ định nghĩa của lực lượng bằng nhau ta có ngay qui tắc đếm cơ

bản sau đây. '

1. Q ui tắ c tư ơ n g ứ n g m ộ t-m ộ t

Nếu tồn tại tương ứng một-một giữa các phần tủ của các tập hữu hạn Ai và A2, thì Aị. và A i có cùng số các phần tử.

Bây giờ ta chứng minh hai qui tắc đếm cơ bản tiếp theo gọi là qui tắc cộng và qui tắc nhân.

2. Q ui tắ c cộ n g

Nếu A i , A2, . . . , A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là Ai C\Aj = ậ nếu i Ỷ j> thỉ

\Ai u ... u A n \ = \Aị\ + 1^-2i H---+ |Ai|> ở đây Ij4.il là lực luợng (số các phần tử) của tập Ai.

C h ứ n g m inh . Giả sử A i , . .. , A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau. Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh rằng

\Ai u ... u A nI = ỊAiỊ + • • • + |AnỊ.

Với n = 1, đằng thức trên hiển nhiên đúng. Với n = 2, đằng thức trên suy ra từ định nghĩa tổng của hai bản số. Giả sừ đẳng thức trên đã được chựng minh cho n = k > 2 và A i , . . . , Aỵ+\ là k + 1 tập hữu

(26)

26 Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bàn

hạn đôi một rời nhau. Khi đó (A\ u .. . u Ak) và Ak+I cũng rời nhau. Theo giả thiết qui nạp, ta có

ỊẨ! U . - . U A f c U ^ + i l = I(i4i u ... u Ak) u Ak+i\ = \A\ u ... u Ak\ + |j4fc+i|

= |Ẩi| + • • • + \Ak\ + |Ẩfc+i|.

Giả sừ A i , . .. , An là các tập hữu hạn bất kỳ. Ta định Ịighĩa tích

Ưê các của A i , . . . , An, ký hiệu là A\ X A2 X . .. X A n, là tập bao gồm

tất cả các bộ có thứ tự ( ai , ữ2, ■ ■ • , Cbn) gồm n thành phần ãị, 0,2,.. ■ ,an

sao cho <2.1 € A ị, 0 ,2 € A2, ... ,ữn G A n.

3. Q ui t ắ c nh ân

. Nếu A i , . .. , A n là các tập hữu hạn bất kỳ và A i X . . . X A n là tích

De các của các tập đó, thì

i-Al X A-2 X . . . X A nI = 1^4-111^4.21 • • • \An\.

C h ứ n g m in h . Ta cũng chứng minh đẳng thức trên bằng qui nạp theo

n. Với n = 1, đằng thức là hiển nhiên đúng. Với n = 2, đẳng thức suy

ra từ định nghĩa tích của hai bản số. Giả sử đằng thức đã được chứng minh cho n — k > 2 và A i , . .. , Ak, là k'+ 1 tập hữu hạn bất kỳ. Khi đó theo giả thiết qui nạp

1^1 X ... X Ak -X A k+1\ = \(Aỉ X . .. X A k) X A k+l\

, . = \Aì X . . . X A k\\Ak+1\

= |^ij|-^ 2| • • • |Afe||ylfc+i|.

Qui tắc cộng và qui tắc nhân cũng thường được phát biểu dưới dạng tương đương dưới đây. Việc chứng minh sự tương đương này không khó và xin dành cho đọc giả coi như bài tập.

Q ui t ắ c c ộ n g

Giả sử tã có n hành động loại trừ lẫn nhau H 1, . . . , Hn, túc là không thề xảy ra hai hành động đồng thời. Ta cũng giả sừ rằng hành động Hi có ãị cách thục hiện. Khi đó hành động H: hoặc Hị xảy ra, hoặc i?2 xảy ra, . . . , hoặc Hn xẩy ra, có cả thảy ai+a,2 + - ■ - + an cách thực hiện.

Q ui t ắ c n h â n

Giả sử một hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp và độc lập với nhau, trong đó giai đoạn thú i là hành động Hị. Ta cũng giả sử rằng

(27)

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản 27 hành động Hi có ai cách thục hiện. Khi đó hành động H có cả thảy

ai <22 ... an cách thục hiện.

1.3

M ôt số bài toán đếm cơ bản

1.3.1 C h ỉn h h ơ p có lăp

Giả sử A là một tập hữu hạn với \A\ = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử

A i , A2, . . . ,Ak là các bản sao rời nhau của A,

s là sơ đồ sắp xếp “bộ có thứ tự gồm k thành phần (xi, X2, ■ ■ ■ ,'Xfe)” , R là điều kiện sắp xếp “xi e Ai, x% € A2, , Xk G

Ak-Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên A i , . . . , A k■ theo s thoả mãn R được gọi là một chinh hợp có lặp chập k của n phần từ của A.

Dễ thấy rằng mỗi chỉnh hợp có lặp chập k của n phần từ của A có thể coi là một phần tử của tích Đề các A\ X ... X Ak- Do đó, nếu ta ký hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử của A bằng U(n, k), thì

U(n, k) = \Ai X Ả2 X . . . X Aỵ\. T h e o q u i t ắ c n h â n t a có: \Ài X Ả 2 X . . . , x Ak I = |A i | | A 2 Ị . . . I^fcl = n k.

Vì vậy

U{n,k)v=nk.

V í d ụ 1 .1 1 . Bài toán: Hãy tìm số các dãy nhị phân độ dài k.

Giải. Mỗi dãy nhị phân độ dài k có thể được xem là một chỉnh hợp có lặp chập k của 2 phần tử là 0 và 1. Suy ra số các dãy nhị phân độ dắi

h bằng ư (2, k) = 2k.

1.3.2 C h ỉn h h ợ p k h ô n g lặp

Giả sừ A là một tập hữu hạn với ỊA| = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử

Aỵ = A,

s là sơ đồ sắp xếp “bộ có thứ tự gồm k thành phần - , XkỴ' !

(28)

28 Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bẩn R là điều kiện sắp xếp “xi € A ị,X2 G A i , ... ,Xk E A i ”.

Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên Ai theo s thoả mãn R được gọi là một chinh hợp không lặp chập k của n phần tử của A. Chỉnh hợp không lặp thường đơn giản đươc gjyi \à chỉnh hợp.

Ký hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử của A bằng (n)k- Để tính số {n)k ta coi mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử của A là một cách thực hiện của hành động H “tạo ra chỉnh hợp” bao gồm k giai đoạn kế tiếp nhau H 1,H2, - ■ ■ ,Hk sau đây:

Giai đoạn H\\ Tạo ra thành phần đầu tiên Xi cho chỉnh hợp. Vì có

n phần tử của Aị = A có thể chọn ra để xếp vào vị trí Xỵ nên ta có n

cách thực hiện giai đọan H\.

Giai đoạn H2- Tạo ra thành phần thử hai 22 cho chỉnh hợp. Vì đã

lấy ra một phần tử của A i để xếp vào vị trí Xị nên chỉ còn lại n — 1 phần tử của A\ có thề chọn ra để xếp vào vị trí X2- Vậy có n — 1 cách

thực hiện giai đoạn ỈỈ2.

Giai đoạn Hk- Tạo ra thành phần thứ k là Xk cho chỉnh hợp. Vì trong (k — 1) giai đoạn trước ta đã lấy ra (k — 1) phần tử của Ai để xếp vào các vị trí XI,X2, - ■ ■ , Xk- 1 nên chỉ còn lại n — (k — 1) = n — k + 1

phần tử của Aỵ có thể chọn ra để xếp vào vị trí X ỵ . Vậy có n k + 1 cách thực hiện giai đoạn Hịị.

Theo nguyên lý nhân, ta có

) n(n — l)(n — 2) . . . (n — k + 1), nếu k < n,

(n)fc = i n

*

^

10, nêu k > n.

Ta định nghĩa hàm giai thừa n\ trên tập các số tự nhiên N = {0, 1, 2, . . . } như sau:

' 0! = 1,

n! = (n — l)!n với n = 1, 2, 3, . . . và gọi là giai thừa của rít

Sử dụng hàm giai thừa ta có thể viết gọn công thức tính (n)k■ Cụ thể là,

(n)jfc = n(n - 1) . . . (n - k + 1)

(29)

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản 29 n (n — 1) . . . (n — k + 1 )(n — k)(n — k — 1) . . . 2.1 n! (n — k)ĩ (n — k)(n — /c — 1) . . . 2.1 nếu k <71. Vậy ta có f ra! (n)fc = ị (n - *)! \ o , , nếu k < n, nếu k > n. V í d ụ 1 .12. Bài toán: Tìm số các số có 3 chữ số mà có thể xếp đưạc từ một chữ sổ 1, một chữ số 2, một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5 bằng nhựa.

G iải. Mỗi số có 3 chữ số có thề xếp được có thể coi là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số là 1, 2, 3, 4, 5. Vậy số các số có 3 chữ số có thể xếp được bằng (5)3 = ụr ^ gỊỊ = 3.4.5 = 60. □

1 .3 .3 TỔ h ợ p k h ô n g lặ p

Giả sử A là một tập hữu hạn với |yl| = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử

Ai = A,

s là sơ đồ sắp xếp “tập có k phần tử {XI,X2, *. ■ ,Xk}’\

R lằ điều kiện sắp xếp “x i G A \,X2,Xk Ễ

Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên Ai theo

s

thoả mãn R được gọi là một tổ hợp không lặp chập k của n phần tử của A. Tổ hợp không lặp thường được gọi đơn giản là tổ hợp.

Như vậy, một tổ hợp chập k của n phần tử cửa A có thể được xem nhữ là một tập con lực lượng k của A. Vì vậy, nếu ta ký hiệu số các tổ hợp chập k của n phần từ của A bằng 1 thì để tính ta có thể lập luận như sau. Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử của A có thể coi là một cách thực hiện của hành động H “tạo ra chỉnh hợp” bao gồm hai giai đoạn kế tiếp nhau Hi và H2 sau đây:

Giai đoạn Hi'. Tạo ra tập con lực lượng k của A Theo định nghĩa

(30)

30 Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tồ hợp cơ bản

của tổ hợp, ta thấy ngay rằng có cách thực hiện giai đoạn Hi; Giai đoạn H2: Tạo ra chỉnh hợp chập k của k phần tử của tập con

B được tạo ra ờ giai đoạn H 1. Ta có [k)k cách thực hiện giai đoạn H2

theo định nghĩa.

Theo nguyên lý nhân, (n)fc = (fc)fe. Suy ra Vì vậy,

/ X ( n\ k\

= J (n - ft)! : (k - k)l k\(n - k)\ ’ - - n ’

[ 0, nếu k > n.

Như ta đã nói ở trên, mỗi tổ hợp chập k của n phần tử của A có thể đưạc xem như là một tập con lực lượng k của A. Vì vậy, Ị^n^j chính bằng số các tập con lực lượng k của A. Với k = 0, vì chỉ có một tập con của A lực lượng 0 là tập rỗng, nên ta có thể định nghĩa một cách tự nhiên rằng = 1. Khi đó đẳng thức = - ị - — — cũng đúng cho cả k = 0.

V í d ụ Ị . 13. Bài toán: Trong mặt phằng cho 10 điểm khác nhau sao cho không có bà điềm nào thẳng hàng. Hỏi có thề lập được bạo nhiêu tam giác khác nhau với các đỉnh thuộc 10 điểm đó?

G iải. Ta tương ứng mỗi tập con lực lượng 3 của tập gồm 10 điểm đã cho với tam giác có các đỉnh thuộc các điểm của tập con đó. Dễ thấy rằng tương ứng này là tựơng ứng một-một giữa cáe phần từ của tập tấ t cả các tập con lực lượng 3 của tập gồm 10 điểm đã cho và tập tấ t cả các tạm giác với các đỉnh thuộc 10 điểm đó. Theo qui tắc tương ứng một-một số các tam giác có thề lập được bằng f ^ j 8 - 9 - 1 0 _ 10! 2- 3 3!(10 — 3)! = 120. 1 .3 .4 TỔ h ợ p có lặp Trước hết ta mờ rộng khái niệm tập hợp. Một sự tụ tập các vật có bản chất tuỳ ý, trong đó có thể có những vật không phân biệt được với nhau (và có thể coi như là sự lặp lại của

(31)

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản 31 cùng một vật), được gọi là đa tập hợp hay ngắn gọn là đa tập. Các vật trong đa tập cũng được gọi là các phần tử. Ta cũng dùng các phương pháp xác định tập hợp để xác định đa tập. Nhưng đối với đa tập ta cần xác định số các phần tử không phân biệt được với nhau. Số lượng các phần tử của một đa tập A cũng được gọi là lực lượng của A và được ký hiệu là IAị.

V í d u 1.14. Ả = {a, a, a, b, c, c} là một đa tập với I A\ = 6. □ Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi tập cũng là đa tập, nhưng ngược lại, một đa tập có thể không là tập hợp. Chẳng hạn, đa tập A ở trên không là tập hợp.

Nếu các phần tử của một đa tập A đều là phần tử của một tập B, thì ta sẽ nói rằng A là đa tập trên B. Chằng hạn, đa tập A ở trên là một đa tập trên tập B = {a, b, c}.

Giả sử A là một tập hữu hạn với |A| = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử

A i , A2, . . . ,Ak là các bản sao rời nhau của A,

s là s ơ đ ồ s ắ p x ế p “đ a t ậ p c ó k p h ầ n t ừ {XI,X2, ■ ■ • £ * } ” •.

R là điều kiện sắp xếp “x \Ả i,X2Ả2, ... ,XkA k” .

Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên A i , A2,. .: ,Ak theo s thoả mãn R được gọi là một tổ hợp có lặp chập k của n phần tử của A.

Như vậy theo định nghĩa, một tổ hạp có lặp chập k của n phần tử của A có thể coi là một đa tập lực lượng k với các phần tử đều thuộc

A. Ký hiệu số các tổ hợp có lặp chập k của n phần tử của Ẵ bằng CRỈ^.

Ta cũng nhận xét rằng nếu A = { a i,CL2, • •. , CLrì]ì thì một đa tập B lực; lượng k với các phần từ đều thuộc A hoàn toàn được xác định nếu số lần xuất hiện trong B của mỗi ai, i — 1,2,. .. ,n, được xác định. Giả sử d\ xụất hiện m i lần, <22 xuất hiện m2 lần, ... , an xuất hiện m n lần trong B. Khi đó TOi + 7712 + • • • + m n = k. Ta tương ứng B với dãy nhị phân

độ dài n + k — 1, trong đó chữ số 0 xuất hiện k lần, còn chữ số 1 xuất hiện (n— 1) lần. Dễ chứng minh được rằng tương ứng trên là tương ứng một-, một giữa các phần tử của tập M bao gồm tấ t cả các đa tập lực lượng

k với các phần từ đều thuộc Ả và tập N tấ t cả các dãy nhị phân dạng

0 . . . 0 1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 1 0 .‐.0

m i lần Í712 lần

(32)

32 Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

nói trên. Đến lượt mình, mỗi dãy nhị phân b = bib2 ■ ■ ■ b'n+k- 1 thuộc N hoàn toàn được xác định bởi tập con Kf) — {z e {1, . . . , n + k — 1} I bi = 0 trong 6} của tập K = {1,... , n + k - 1}. Dễ thấy rằng, tương ứng

b với Kị> cũng là tương ứng mệt-môt giữa cấc phần tử của tập N và

tập các tập con lực lượng k của"K. Vì vậy, theo qui tắc tương ứng

một-môt, __________________________ ____

ơ iĩ* = |Af| = | i V | = ^ + * _ 1 )..

V í d ụ 1.15. Bài toán: Tại Việt Nam hiện đang có bán 10 loại máy vi tính khác nhaụ mà ta gọi là loại máy 1, ... , loại máy 10. Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính. Hỏi cơ quan đó có bao nhiêu sự lựa chọn khác nhau?

Giải. Giả sử ai là một máy vi tính thuộc loại máy 1. ữ2 là một máy vi

tính thuộc loại máy 2, , aio là một máy vi tính thuộc loại máy 10,

và A = {al5 a2, ... , ữio}- Khi đó, mỗi sự lựa chọn mua 5 máy vi tính có thể coi là một đa tập lực lượng 5 với các phần từ đều thuộc A. Vì vậy, số sự lựa chọn mua 5 máy vi tính bằng

5 /10 + 5 - 1\ /1 4 \ 14! C K ỉ 0 - V 5 ; ~ V 5 / " 5 ! ( 1 4 - 5 ) ! 10 -11 -12 • 13 -14 „ _ „ - = --- ỉ— —— ^---= 11-13-14 = 2002. □ 2 ■ 3 • 4 • 5 1.3.5 H oán v ị k h ô n g lặp

Giả sử A là một tập hữu hạn với |A| = n. Khi đó một chỉnh hợp chập n của n phần tử của A được gọỉ là một hoán vị không lặp của n phần tử của A. Hoán vị không lặp thường được gọi đơn giản là hoán vị.

Nếu ký hiệu số các hoán vị của n phần tử của A là Pn thì theo định

nghĩa ta có ____________________________

_ , . n\ rủ ,

n = (n)" = Ị ĩ ĩ ^ n ỹ . = õỉ =

V í d ụ 1.16. Bài toán: Có bao nhiêu cách xếp 5 người đứng thành hàng ngang?

Giải. Mỗi cách xếp 5 người đứng thành hàng ngang có thể coi là một hoán vị của 5 ngứời đó. Vì vậy, số cáeh xếp cần tìm là 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5

= 120. ' □

(33)

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản 33 1.3.6 H o á n v ị có lặp

Giả sử Ả = {<21, <22, . . . , an} là một tập hữu hạn lực lượng n, còn m 1; m 2, ... , m-ạ là n số nguyên không âm đã cho sao cho ít nhất có một mị 7^ 0. Ta cũng giả sử

m = m \ + m 2 H---b m n,

Ai, A2, . ■. , Am là các bản sao rời nhau của A,

s là sơ đồ sắp xếp “bộ có thứ tự gồm m thành phần dạng (x’1, X'2,

• • • ) Xm) !

Ri là điều kiện uXị e Ai, X2 € A2, .. . , x m £ Ãm",

i?2 là điều kiện “ai xuất hiện ở đúng m,i thành phần, ữ2 xuất hiện

ở đúng m 2 thành phần, ... , an xuất hiện ở đúng m n thành phần” .

Khi đó cấu hình tổ hợp trên A i , . . . , A rn theo s thoả mãn Rỉ và i?2 được gọi là một hoán vị có lặp của các phần tử a j, . . . ,an của tập A với tham số lặp là TOi, m2, ■ ■. , m n.

Theo định nghĩa cùa chỉnh hợp có lặp và hoán vị có lặp ta thấy ngay rằng một hoán vị có lặp của các phần tử a i , . . . , an của tập A với tham số lặp là m i , m2, ■.. , m n chính là một chỉnh hợp có lặp chập m cúa n phần tử của A thoả mãn điều kiện # 2- Cũng thấy ngay rằng một hoán vị có lặp của các phần từ ai, 0,2, ■ ■. ,dn của tập A với tham số lặp là m\ = m2 = .. . = rrin = 1 chính là một hoán vị không lặp của n phần

từ của A.

Ký hiệu số các hoán vị có lặp của các phần tử ai , ữ2,-- - ,ữn với

coi một hoán vị có lặp trên là một cách thực hiện của hành động H “tạo ra hoán vị có lặp” bao gồm n giai đoạn kế tiếp nhau H i,H 2,. ■. ,H n sau đây:

Giai đoạn H\. Tạo ra m i thành phần-là ai cho hoán vị có lặp. Rõ ràng là mỗi tập con B\ = {i £ { I , . . . ,m ) I Xi = ai} của tập {1, 2, . . . ,m} tương ứng với đúng một cách thực hiện cùa giai đoạn

Giai đoạn ỈỈ2'- Tạo ra m 2 thành phần là Ũ2 cho hoán vị lặp. Vì đã

chọn ra Tĩii thành phàn để làm thành phần <21, nên chỉ còn lại m — m i thành phần có thể dùng đề chọn làm thành phần <22 • Lập luận như ờ này. Vì vậy có cách thực hiện Hị.

(34)

34 Chuơng 1. Cấc bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

' 772 — ĨTlỵ

giai đoạn Hị ta có I ) cách thực hiện giai đoạn i?2-' m 2

Giai đoan Hn: Tao ra m„ thành phần là an cho hoán vi có lăp. Vì

ờ .(n — 1) giai đoạn trước ta đã cĩỉọn ra (mj + rri2 + . . . + m„_i ) thành

phần, nên chỉ còn lại m - (m i + . . . + m n- 1) thành phần có thể dùng để

* V, , /m — (mi + ... +

chọn làm thành phan a„. Do đó ta có Ị thực hiện giai đoạn Hn.

rrin cách Theo nguyên lý nhân, ta có m \ _ / m \ í m — mi, , m nJ \ m i j \ m 2 m\ (m — mì)\ mi\{m — T n i ) \ m 2Ỉ(m — m \ — TO2)! Suy ra, m n\{m — m i m n)\' V í d u 1.17. Bài toán: Tìm số các số có 5 chữ số mà có thể xếp được từ hai chữ số 1, hai chữ số 2 và một chữ số 3 bằng nhựa?

G iải. Mỗi số cần lập có thể coi là một hoán vị có lặp của các phần tử của tập A — {1,2,3} với tham số lặp là m i = 2, m 2 = 2 và m 3 = 1. Do đó số

.... „ . / 2 -; 2 + 1^ 5! 3 - 4 - 5 on m các so có the lập được bang I 2 2 1 1 = 2^ = — 2— =

1 .3 .7 P h â n h oạch c ủ a tậ p h ợ p . s ố S tir lin g lo ại h a i v à số B e ll

Giả sử A là một tập hữu hạn với \A\ = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử

A i = A,

s là sơ đồ sắp xếp “tập {X i, X2, . , X k ị với X i , . . . ,X k cũng là

các “tập” để ta xếp các phần tử của A i vào” ,

Ri là điều kiện “mọi phần từ của A \ đều được sắp xếp vào một

trong các “tập” X i , . . . , X k ’,

(35)

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản 35

R2 là điều kiện “với mọi i = 1, . . . , k, có ít nhất một phần từ của Aị được xếp vào X i”.

Khi độ, một cấu hình tổ hợp trên Aị theo s thoả mãn các điều kiện

Ri và i ?2 được gọi là một phân hoạch của A thành k khối.

Số tấ t cả các phân hoạch thành Ả; khối của một tập A lực lượng n được gọi là số Stirling loại hai và được ký hiệu là S(n, k). Dễ thấy rằng S(n, k) = 0 nếu k > n. Ta cũng qui ước rằng S ( n , 0) ='0.

Số Tn = S(n, 1) + S(n, 2) + • • • + S(n, n) được gọi là số Bell. Như vậy, số Bell chính là số tấ t cả các phân hoạch của tập A lực lượng n. V í d ụ i.1 8 . Các phân hoạch của tập {a,b,c,d} thành ba khối là:

Bây giờ ta chứng minh hệ thức truy toán sau đây cho S(n, k): Định lý 1.1. S(n + l,k ) = kS(n,k) + S ( n ,k — ĩ).

C h ứ n g m inh. Xét tập bất kỳ có n + 1 phần từ, chằng hạn tập A =

{XI,X2, • • • , x n+\}. Theo định nghĩa ta có S(n + l,fc) phân hoạch tập A thành k khối. Mặt khác ta có thể chia tập p tấ t cả các phân hoạch

trên thành hai tập con P\ và P2 rời nhau như sau: Pi bao gồm tấ t -cả

các phân hoạch của A thành k khối trong đó có một khối là {x„+i}, còn P2 bao gồm tấ t cả các phân hoạch của A thành k khối trong đó

không có khối nào là {a;n+i}. Khi đó, mỗi phân hoạch thuộc P\ sẽ chia tập ị x i , x2, ■■ ■ , x n} thành (k — 1) khối và có S (n ,k — 1) cách chia như

thế. Vì vậy, |Pi I = S(n, k — 1). Nếu {xn+i} không là một khối, thì X„+1 cần chứa trong một khối với ít nhất một phần từ khác nữa của A. VI có S(n, k) cách phân hoạch tập {XI,X2, ... , x n} thành k khối và £„4‐1

có thể thuộc một khối bất kỳ trong số các khối đó, nên ta có tấ t cả là

kS(n, k) cách phân hoạch tập A thành k khối sao cho {xn+i} không là

'{{a},{ò},{c,oỉ}}, {{a},{ò,c},{d}}, {{a}, {M }, {c}}, {{ò},{a,c},{d}}, {{ò},{M },{c}}, {{c}, {a,ò}, {d}}.

Do đó 5(4,3) = 6. □

Ta sẽ chứng minh muộn hơn trong Chương 2 rằng

k

(36)

36 Chương 1. Các bài toán và kết quà tổ hợp cơ bản

m ột khối của phân hoạch. Vì p = Pi u Pĩ với Pị n P2 = 0 nên theo qui

tắc cộng

S{n + 1, k) = \p\ i |Pi| + |P2| = S(n, k - 1) + kS(n, k )

hay S(n + 1, k) — kS(n, k) + S(n, k — 1). ^ □

Dễ thấy rằng với mọi n > 1, S(n, 0) = 0, S(n, 1) = 1, S (n ,n) = 1 và S(n, k) = 0 nếu k > n. Vì vậy ta nhận được tam giác sau đây cho các số Stirling loại hai:

S{ 1,1) = 1 5 (2 ,1) = 1 5 (2 ,2) = 1 S (3 ,l) = l 5(3,2) = 3 5(3,3) = 1 5(4,1) = 1 5(4,2) = 7 5(4,3) = 6 5(4,4) = 1 5(5,1) = 1 5(5,2) = 15 5(5,3) = 25 5(5,- 4) = 10 5(5,5) = 1

1.4

M ôt vài ứng dung

Trong mục này ta áp đụng các kết quả đếm ờ mục trước để đếm một số cấu hình tổ hợp thường gặp khác.

1.4.1 B à i to á n đ ế m t ấ t cả các h à m t ừ m ộ t tậ p h ữ u h ạn v à o m ộ t tâ p h ữ u h ạn

Bài toán: Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với \N\ = n và \M\ = m. Hãy tìm số các hàm / : N ->■ M.

G iải. Giả sừ N = {ai, Ỡ2, ... , an}. Khi đó một hàm f : N —ì M tương ứng với đúng một bộ có thứ tự gồm n thành phần là (/(a i), / ( « 2)1 • • • > f (a„)) với /( a i), f ( a2) , , f( a n) € M . Do đó số các hàm / : N -*■ M bằng số chỉnh hợp có lặp chập n của m phần từ của M , tức lặ, bằng

U(m,n) = ra” . Vậy ta có:

Số tấ t cả các hàm / : TV —> M với \N\

= n và \M\ — m bằng u (m , n ) = m n.

(37)

1.4. Một vài úng dụng 37 1.4.2 B à i to á n đ ế m t ấ t cả các h àm đ ơ n á n h t ừ m ô t tâ p

h ữ u h ạ n v à o m ộ t tậ p h ữ u han

Bài toán: Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với \N\ = n và \M\ — m. •Hãy tìm số các hàm đơn ánh / : N -4 M.

Giải. Giả' sử N = { a i,02, . . . ,a„}. Khi đó một hàm đơn ánh / :

N -» M tương ứng với đúng một bộ có thứ tự gồm n thành phần là {f(a1) , f ( a 2) , . . . , f(an)) với ,ỉ{ a n) e l y à f{aị) Ỷ /(ạ,-)

nếu i ^ j . Do đó số các hàm đơn ánh / : N -» M bằng số chỉnh hợp chập n của m phần tử của M , tức là bằng (m )n. Vậy ta có:

Số tấ t cả các hàm đơn ánh / : N —* M với \N\ = n và \M\ = m bằng (m)n.

Nói riêng, khi \N\ — \M\ = m thì một hàm đơn ánh f : N —> M cũng là hàm toàn ánh. Do đó, / cũng là song ánh từ N lên M . Ngược lại, mỗi song ánh f : N - ì M cũng là một hàm đơn ánh từ N vào M . Như vậy, ta có tương ứng một-một giữa các phần tử của tập tấ t cả các hàm đơn ánh và tập tấ t cà các hàm song ánh từ N vào M . Vậy ta có:

Số tấ t cả các hàm song ánh / : N -» M với \N\ = \M\ = m bằng (m)rn = mĩ.

1 .4 .3 B à i to á n đ ế m t ấ t cả các h à m to à n á n h t ừ m ộ t tậ p h ữ u h ạ n lên m ộ t tậ p h ữ u hạn

Bài toán: Giả sử N và M là hai tạp hữu hạn với \N\ = n và \M\ = m. Hãy tìm số các hàm toàn ánh / : N —> M.

G iải. Giả sử M = {&1, . .. bm} và / : N -¥ M là một hàm toàn ánh. Ta định nghĩa quan hệ ~ trên N như sau: a i ~ (12 khi và chỉ khi f(a \) — /(<22). Dễ thấy rằng quan hệ ~ là một quan hệ tương đương

trên N. Vì thế mà các lớp tương đương của ~ tạo thành một phân hoạch của N . Vì / là hàm toàn ánh, nên phân hoạch này có đúng m khối, tức là ta có thể xem phân hoạch đó là tập N = { N i , . .. , N rn} với các Ni, i = 1, . . . ,m, là các khối của phân hoạch. Hơn thế nữa, hàm / cảm sinh ra hàm / : N —>■ M : Ni —» f ( N i ) = /(ữ j) với Oj € Nị. Dễ thấy rằng / là một song ánh giữa N và M*. Ngược lại, một phân hoạch

Referências

Documentos relacionados

Q uando escrevem os história, devem os ter em m ente que é-nos im possível atingir a origem absoluta de todas as coisas, inclusive do nosso assu n to .1 O que podem os fazer

Infelizmente este método direto não pode ser usado para resolver a equação geral (3) de modo que precisamos do método desenvolvido por Leibniz, conhecido como método do

No âmbito do cotidiano do trabalho em saúde esta experiência foi importante no processo de cuidado da Hipertensão Arterial Sistêmica-HAS. As práticas educativas

Nesse sentido, objetivou-se com este estudo interpolar a precipitação média anual para a região Norte do estado do Espirito Santo, por meio dos interpoladores Inverso da

c) A farmácia ou drogaria só pode aviar ou dispensar quando todos os itens da receita e da respectiva notifica- ção de receita estiverem devidamente preenchidos... 10- Qual

Torna público que requereu a SECRETARIA MUNICIPAL DE DESENVOLVIMENTO TERRITORIAL E MEIO AMBIENTE – SEDET, a AUTORIZAÇÃO AMBIENTAL MUNICIPAL de REGULARIZAÇÃO DE

Conclui-se que a TA determinada a partir de série de treinamento intervalado de alta intensidade parece ser útil para determinar a aptidão anaeróbia e predizer a performance de 100m

Se houver uma saída de um comando show do seu dispositivo Cisco (incluindo o comando show technical-support), você poderá usar a Output Interpreter Tool ( somente clientes